ATS 2021-22 Chapitre EM5

EM5 - Magnétostatique

1 Courants et interaction magnétique

1.1 Expériences fondatrices

Les premiers aimants ont été extraits des mines de Magnésie en Grèce, qui a donné le mot magnétismebien que ce ne soit qu’à la renaissance que la distinction entre phénomènes électriques et magnétiques ait étéétablie. Les aimants sont neutres et ne réagissent pas à la présence de charge, mais s’attirent ou se repoussentmutuellement selon leur orientation :

Différente de l’interaction électrique décrite par le champ ~E, il existe donc une interaction magnétique décritepar un autre champ, noté ~B.

Le célibat séculaire de l’électricité et du magnétisme prend fin en 1820 avec l’expérience du danois Œrstedqui place une boussole (= petit aimant) sous un fil parcouru par un courant et qui voit celui-ci faire dévier ladirection de la boussole :

Conclusion : les charges en mouvement ont des effets magnétiques.Cette découverte fascine le physicien français Ampère, qui va consacrer une partie de sa vie à prouver

qu’aimants et courants sont équivalents : il montre en particulier que deux fils parcourus par des courantss’attirent ou se repoussent comme des aimants, selon les sens de parcours des intensités. La raison pour laquelleles aimants peuvent être vus comme des circuits parcourus par un courant sera comprise bien plus tard, grâceà la mécanique quantique. Pour faire simple, le mouvement des électrons autour des noyaux s’apparentent àde petites spires de courant, qui dans le cas des atomes composant les matériaux aimantés ont la particularitéd’être toutes alignées. D’où la superposition des effets de chaque atome. Pour aller plus loin, on pourra visionnerla vidéo de Veritasium "How magnets works" (sous-titré en français...).

En résumé, en régime stationnaire :

et Aimant = Spire de courant

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1.2 Champ magnétique

Le champ magnétique ~B s’exprime en Tesla (T ). Vous devez savoir citer quelques ordres de grandeurs :— champ magnétique terrestre : B ≈ 10−5 T— champ magnétique au voisinage d’un aimant du commerce : B ≈ 0.1 T— champ magnétique d’une machine IRM (bobines supraconductrices) : B ≈ 1 T— champ magnétique dans l’entrefer d’un moteur électrique : B ≈ 1 T

Les plus gros champs magnétiques observés dans la nature sont produits par les pulsars (étoiles à neutrons)et atteignent 108 T . Le mieux que l’homme (russe) réussisse à produire en laboratoire est 2800 T pendantquelques dizièmes de seconde, en faisant imploser des tores supraconducteurs avec du TNT...

Le champ magnétique produit par un aimant décroit vite avec la distance et sa direction n’est pas non plusuniforme. La meilleure façon de produire un champ magnétique quasi-uniforme dans un domained’espace est de faire circuler un courant dans une bobine (ou "solénoïde", terme inventé parAmpère) :

Nous montrerons (EM6) que le champ ~B créé dans un solénoïde comptant n spires par mètre vaut ~B = µoni~u.

1.3 Ligne de champ magnétique

Sans surprise, on nomme ligne de champ magnétique les courbes tangentes en tout point auchamp ~B.

Le schéma précédent montre celles produites par le solénoïde, voici ci-dessous celles d’un aimant en U, d’unaimant droit puis de la Terre :

1.4 Force de Laplace

L’analogue magnétique de la force électrique ~Felec = q ~E subie par une charge q plongée dans un champ~E, est la force subie par un élément de courant I ~dl plongé dans un champ ~B, appelée force de Laplace :

d~FLap = I ~dl ∧ ~B

~dl est tangent au fil parcouru par I et orienté dans le même sens que lui. Bien sur, pour exprimer larésultante des forces subie par un circuit dessinant un contour C, il suffit d’intégrer :

~FLap =ˆC

I ~dl ∧ ~B

NB : on notera que le produit vectoriel impose à (I, ~B, ~dF ) de former un trièdre direct, ce qui permet de trouverla direction de ~dF avec les doigts de sa main droite.

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Illustration sur l’expérience du "rail de Laplace" :

Exprimer la force de Laplace ressentie par la barre mobile. Trouver l’équation différentielle vérifiée par x(t) puisexprimer x(t) et v(t).

2 Propriétés du champ magnétique

2.1 Principe de superposition

Si ~B1 est le champ créé par une distribution de courants 1 et ~B2 le champ créé par une distribution decourants 2, le champ total créé en M est simplement :

~B(M) = ~B1(M) + ~B2(M)

2.2 Symétries

2.2.1 Principe de Curie

Les courants étant la source du champ ~B, le principe de Curie impose que :

~B a les "mêmes" symétries que la distribution de courants...

en pratique, les choses sont plus compliquées car c’est en fait la force magnétique qui doit avoir les mêmes symé-tries que les courants. Or la présence du produit vectoriel entre ~FLap et ~B "renverse" en partie les conséquencespour ~B (Cf 2.2.4).

2.2.2 Symétries étudiées

Les symétries que vous devrez identifier sur la distribution de courants sont toujours : invariances, plans desymétrie et d’antisymétrie. La différence avec l’électrostatique vient de la définition de la symétrie/antisymétriepour les courants (qui sont des grandeurs orientées ou vectorielles) :

Illustration sur le cas d’un cylindre parcouru par des courants ~j en volume et d’une spire parcourue parune intensité I :

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2.2.3 Conséquences des invariances de la distribution (identique à l’électrostatique)

Si la distribution de courant est invariante par translation ou rotation, ~B ne dépend pas de la variablespatiale associée à cette translation ou rotation.

2.2.4 Conséquences des symétries planes de la distribution (inverse de l’électrostatique)

Pour tout point M ∈ (S), avec S plan de symétrie des courants : ~B(M)⊥(S).Pour tout point M ∈ (A), avec A plan d’antisymétrie des courants : ~B(M) ∈ (A).

Intérêt pratique : le fait de savoir que ~B(M) est inclu ou orthogonal à des plans permet de déterminer sadirection. La recherche des plans de symétrie ou d’antisymétrie passant par M permet donc d’éliminerdes composantes de ~B(M).

Tout se passe comme si ~B était antisymétrique par rapport aux plans de symétrie et symétriques parrapport aux plans d’antisymétrie...

2.2.5 Application au cas du fil rectiligne inifini

La distribution de courant est invariante par translation suivant (Oz) et par rotation autour de (Oz), d’où :

~B(M) = ~B(r, �θ, �z))

Le plan (M,~er, ~ez) est un plan de symétrie des courants, d’où ~B(M) y est orthogonal et donc :

~B(M) = B(M)~eθ

En résumé :~B(M) = B(r)~eθ

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