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Mathématiques Financières - Chapitre 2 Année universitaire 2012-2013
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Chapitre 2:
Actualisation des cash-flows
2.1 Valeur actuelle
2.2 Actualisation des cash-flows
2.3 Projets avec plusieurs cash-flows
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2.1 Valeur actuelle
Quelle est la valeur future de 1 000 dhs placés
pendant 10 ans au taux d’intérêt annuel de 8%?
Réponse:
VF = 1 000 1.0810 = 2 158.92 dhs
Comment calculer le montant qu’il faut placer
aujourd'hui, à un taux d’intérêt donné, pour avoir un
montant A après une période donnée?
3
Il s’agit de calculer la valeur actuelle d’un montant
d’argent futur.
Exemple: Si on veut avoir 1 000 dhs dans un an, et
que le taux d’intérêt annuel est 10%, combien
devrait-on placer aujourd’hui?
Il faudrait que le montant placé aujourd’hui ait une
VF égale à 1 000 dhs.
4
Chaque dirham placé aujourd’hui a une VF égale à
1.1 dhs.
On cherche donc à résoudre pour x l’équation
suivante:
x 1.1 = 1 000
La solution à cette équation est la valeur actuelle de
1 000 dhs:
x = 1 000/ 1.1 = 909.09 dhs
909.09 dhs est la VA de 1 000 dhs dans 1 an.
5
Si, maintenant, on veut avoir 1 000 dhs dans deux
ans, combien devrait-on placer aujourd’hui?
Il s’agit de résoudre pour x l’équation suivante:
x 1.12 = 1 000
La solution à cette équation est:
x = 1 000/ 1.12 = 1 000/ 1.21 = 826.45 dhs
826.45 dhs est la VA de 1 000 dhs dans 2 ans.
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L’actualisation est le calcul des valeurs actuelles
de sommes futures.
Le taux d’intérêt utilisé dans l’actualisation est
appelé taux d’actualisation.
De manière générale, la VA d’un dirham touché
après n années, avec un taux d’actualisation i, est:
1
1n
VAi
(1)
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Combien vaut aujourd’hui 1 dirham qu’on ne
touche que dans 5 ans si le taux d’actualisation est
10%?
5
10.62092 dhs
1.1VA
La VA de 1 000 dhs dans 5 ans au taux d’actuali-
sation de 10% est:
5
1 000 1 000620.92 dhs
1.1 1.61051VA
8
Le 1.61051 n’est autre que le coefficient de
capitalisation vu dans le Chapitre 1.
Le calcul des VA peut être fait en utilisant le tableau
1.1 des coefficients de capitalisation.
On peut également les calculer en utilisant le
tableau 2.1 des coefficients d’actualisation.
On note que la VA diminue rapidement avec
l’augmentation de la durée de placement.
9
n \ i 2% 4% 6% 8% 10% 12%
1 0.9804 0.9615 0.9434 0.9259 0.9091 0.8929
2 0.9612 0.9246 0.8900 0.8573 0.8264 0.7972
3 0.9423 0.8890 0.8396 0.7938 0.7513 0.7118
4 0.9238 0.8548 0.7921 0.7350 0.6830 0.6355
5 0.9057 0.8219 0.7473 0.6806 0.6209 0.5674
10 0.8203 0.6756 0.5584 0.4632 0.3855 0.3220
15 0.7430 0.5553 0.4173 0.3152 0.2394 0.1827
20 0.6730 0.4564 0.3118 0.2145 0.1486 0.1037
Tableau 2.1 : Coefficient d’actualisation
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Définition:
Une obligation est un titre de créance émis par des
sociétés ou des gouvernements. Elle verse des
coupons (intérêts) à intervalles réguliers et est
remboursée à l’échéance.
Une obligation zéro coupon est une obligation qui
ne verse pas de coupons.
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Exercice 2.1:
Vous avez reçu comme cadeau d’anniversaire une
obligation zéro coupon de 500 dhs avec une
échéance de 5 ans.
Combien vaut aujourd’hui ce cadeau si le taux
d’actualisation est de 6%?
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2.2 Actualisation des cash-flows
Définition:
Un cash-flow est le résultat monétaire dégagé par
un actif.
Il est différent du résultat comptable, car ce dernier
intègre les amortissements et les provisions, qui
sont des éléments non monétaires.
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Méthode de la VAN:
La VAN (valeur actuelle nette) correspond à la VA
de tous les cash-flows futurs moins la VA de tous
les investissements, présents et futurs.
En anglais, on dit NPV: net present value.
La méthode de la VAN consiste à considérer
rentables et accepter les projets ayant une VAN
positive et à considérer non rentables et refuser les
projets ayant une VAN négative.
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Exemple:
Une obligation avec valeur nominale 100 dhs et
échéance dans 5 ans est cotée 75 dhs en bourse.
On voudrait décider s’il est plus rentable d’acheter
cette obligation ou bien de placer ces 75 dhs dans
un compte d’épargne au taux annuel de 8%.
On peut recourir à la méthode de la VAN pour
décider si l’investissement dans cette obligation est
rentable.
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L’investissement initial est de 75 dhs.
Comme c’est une somme à verser aujourd’hui, on
n’a pas besoin de l’actualiser.
Le seul cash-flow futur procuré par cette obligation
est le remboursement de 100 dhs après 5 ans.
Le taux d’actualisation à utiliser est le taux que
pourrait rapporter l’argent s’il est investi ailleurs.
Ce taux d’actualisation est appelé dans ce contexte
coût d’opportunité du capital.
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Dans notre exemple, le coût d’opportunité du
capital est de 8%.
La VA du remboursement à l’échéance est donc:
5
100 10068.06 dhs
1.08 1.4693VA
Comme 68.06 est plus petit que 75, alors:
VAN 68.06 75 6.94 0
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Cet investissement est donc non rentable.
La VAN est une mesure de la variation de la
richesse en valeur actuelle.
Une VAN de – 6.94 dhs signifie que cet
investissement entraîne une baisse de la richesse en
d’environ 7 dhs en valeur d’aujourd'hui.
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Méthode du TIR:
Le TIR (taux interne de rentabilité) correspond au
taux d’actualisation auquel la VAN est nulle.
En anglais, on dit IRR: internal rate of return.
La méthode du TIR consiste à considérer rentables
et accepter les projets ayant un TIR supérieur au
coût d’opportunité du capital.
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Si un investissement de 75 dhs rapporte 100 dhs
après 5 ans, cela correspond à quel taux de
rentabilité?
Le résultat de ce calcul est le TIR. Il est obtenu en
solvant l’équation suivante pour i:
5
10075
1 i
20
La solution est donnée par:
5
1/5
1/5
1001
75
1001
75
1001 5.92%
75
i
i
i
Le rendement de cette obligation est plus faible que
8%. On refuse donc cet investissement.
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Remarques:
La méthode du TIR donne toujours le même
résultat que la méthode de la VAN si:
• il s’agit d’un investissement unique, et
• aucun cash-flow futur n’est négatif.
De manière générale, les deux méthodes ne donnent
pas le même classement des investissements.
Dans le cas du choix entre plusieurs
investissements, on choisit celui qui a la plus
grande VAN.
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Remarque:
Le TIR est parfois appelé TRI (taux de rendement
interne) ou TRA (taux de rendement actuariel).
Méthode du délai de récupération:
Le délai de récupération (payback) correspond à
la période durant laquelle on passe d’une VA à une
VF lorsque le taux d’intérêt est i.
La méthode du délai de récupération consiste à
choisir le projet le plus court délai de récupération.
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Si on a placé 75 dhs au taux annuel de 8%, combien
de temps faut-il attendre pour obtenir 100 dhs?
Le résultat de ce calcul est le délai de récupération.
Il est obtenu en solvant l’équation suivante pour n:
10075
1.08n
24
La solution est donnée par:
1001.08 4 / 3
75
ln 1.08 ln 4 / 3 ln 4 ln 3
ln1.08 ln 4 ln 3
ln 4 ln 33.738 ans
ln1.08
n
n
n
n
On peut récupérer 100 dhs plus rapidement en
plaçant l’argent dans un compte d’épargne, puisque
3.738 est plus petit que 5.
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Exercice 2.2:
Vous envisagez l’achat d’un terrain au prix de
10 000 dhs. Vous anticipez que sa valeur dans 5 ans
sera de 15 000 dhs. Le taux d’intérêt des comptes
d’épargne sont de 8%.
Dites si cet achat est rentable en utilisant:
1. la méthode de la VAN,
2. la méthode du TIR,
3. la méthode du délai de récupération.
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Exercice 2.3:
Vous voulez emprunter 50 000 dhs. Si vous prenez
un prêt bancaire, le taux annuel est de 12%. Vous
avez aussi la possibilité d’empruntez ce montant à
un ami auquel vous allez rembourser 90 000 dhs
dans 4 ans. Que devriez-vous choisir?
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2.3 Projets avec plusieurs cash-flows
À la différence des exemples présentés jusqu’ici,
plusieurs projets impliquent plusieurs cash-flows
futurs. Par exemple:
• placer chaque mois un montant dans un compte
d’épargne pour préparer sa retraite;
• évaluer une obligation rapportant plusieurs
coupons versés régulièrement dans le futur;
• emprunt remboursé en plusieurs échéances (fin de
chaque mois);
• achat d’un réfrigérateur à crédit…
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Valeur future d’une séquence de cash-flows
Calculons la valeur future d’une épargne:
vous déposez 1 000 dhs au début de chaque année
dans un compte d’épargne qui rapporte 10% par an.
Combien auriez-vous après deux ans?
Le dépôt initial 1 000 dhs devient 1 100 dhs à la fin
de la première année.
Avec le deuxième dépôt, le solde au début de la
deuxième année est 1 100 + 1 000 = 2 100 dhs.
Ces 2 100 dhs deviennent 2 310 dhs à la fin de la
deuxième année.
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Ce résultat peut aussi être obtenu en calculant les
VF séparément:
La VF du dépôt initial après 2 ans est:
1 000 (1.1)2 = 1 210 dhs
La VF du deuxième dépôt est:
1 000 1.1 = 1 100 dhs
La somme de ces deux valeurs est:
1 210 + 1 100 = 2310 dhs
Ce qui donne le même résultat de capitalisation.
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Exercice 2.4:
Vous déposez 10 000 dhs en janvier 2013, 20 000
dhs en janvier 2014 et 30 000 dhs en janvier 2015,
dans un compte d’épargne au taux de 6%. Combien
allez-vous avoir en 2016?
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Valeur actuelle d’une séquence de cash-flows
Vous voulez placer de l’agent au rendement annuel
de 10%, de manière à pouvoir retirer 1 000 dhs
après un an et que le solde après deux soit de 2 000
dhs.
Combien devriez-vous déposer aujourd’hui?
Il s’agit de calculer la VA de chacun de ces cash-
flows et d’en faire la somme.
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Ces VA sont données par:
2
1000 10001 000 après 1 an 909.09 dhs
1.1 1.1
2000 20002 000 après 2 ans 1652.89 dhs
1.1 1.21
VA
VA
La VA totale est:
909.09 + 1 652.89 = 2561.98 dhs
C’est le montant à placer aujourd’hui.
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Investissements générant plusieurs cash-flows
Vous avez la possibilité d’investir dans un projet
qui va vous rapporter 1 000 dhs dans un an et 2 000
dhs dans 2 ans. L’investissement initial est 2 500
dhs. Sachant que cet investissement est sans risques
et que vous avez la possibilité de placer votre argent
dans un compte d’épargne au taux annuel de 10%,
qu’allez-vous faire?
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On va utiliser la méthode de la VAN pour prendre
notre décision.
Comme les cash-flows générés par cet
investissement sont les mêmes que ceux de
l’exemple précédent, alors nous pouvons écrire:
VAN = – 2 500 + 2 561.98 = 61.98 dhs
Comme la VAN est positive, alors vous devriez
faire cet investissement.
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La droite de temps
Une droite de temps, comme celle représentée plus
bas, permet de visualiser l’arrivée des cash-flows.
0 1 2 3 4
–100 20 50 60 80
Temps
Cash-flow
