Mathématiques et réalité - Dias 2014

La diversité empirique pour faire exister les

objets mathématiques

Thierry DiasHaute Ecole pédagogique du canton de Vaud

Lausanne, Suisse

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Thierry Dias – juillet 2014

Références épistémologiques principales pour cette allocution :

Petitot, J. (1987). Refaire le Timée : introduction à la philosophie mathématiques d'Albert Lautman. Revue d'histoire des sciences, 40(1), 79-115.

Petitot, J. (1991). Idéalités mathématiques et réalité objective. Approche transcendantale. Hommage à Jean Toussaint Dessanti, Trans Europ-Repress, Mauvezin.

Descaves, A. (2011). L'apprentissage du sens, certes ! Mais dans quel ses prendre le sens ? Actes du colloque de la COPIRELEM, Tours.

Conne, F. (1999). Faire des maths, faire faire des maths, regarder ce que ça donne, In Le Cognitif en didactique des mathématiques, G. Lemoyne et F. Conne eds, presses universitaires de l'UdeM, p.31-69


1. De la réalité des objets mathématiques

2. Situation, savoir/connaissance/expérience

3. Des environnements et des choses pour

faire exister les objets mathématiques


1. De la réalité des objets mathématiques

•un positionnement épistémologique nécessaire

•la question du sens

•réel partagé

•distinction choses/objets


Les quatre piliers de l'épistémologie des mathématiques

(Petitot) :

-les actes constitutifs de l'activité mathématique

-le statut de la connaissance et de la légalité symbolique

-le problème de la donation et de la réalité des objets et

des structures mathématiques

-la nature de l'applicabilité des mathématiques au monde

de l'expérience


Les objets mathématiques peuvent être

considérés comme des principes de cohérence.

Les objets mathématiques sont des corrélats

d'actes opérant sur un donné perceptif.

(Descaves, 2001)


subsomption*(catégorisation)

langage formel

Faits(et divers)

empiriques

Faits(et divers)

empiriques

CONCEPTSschématisation*

modélisation

corrélationcorrélation

MATHEMATIQUES

pas de dénotation

*subsomption au sens Kantien: rapporter la pluralité des données de l'intuition à l'ensemble des concepts purs de l'entendement

choseschoses

expériences sensibles

expériences sensibles

*schématisation au sens (relativement) Kantien: passage par des schèmes intermédiaires entre entendement et sensibilité

objetmathématique

spécifique


Sens et réalité ?

Osons un renversement de point de vue :Ce ne sont pas les situations concrètes qui donnent du sens (c'est à dire leur cohérence) aux objets mathématiques, mais plutôt les mathématiques et leurs objets qui déterminent les formes de la réalité.

"On ne peut pas confondre le sens des objets mathématiques avec celui de leur utilisation dans des situations concrètes." (Descaves)


C'est notamment la cohérence des règles

opérant sur le système symbolique qui donne

du sens aux situations et aux éventuelles

expériences qu'elles provoquent chez les

élèves.

voire la métaphore de l'iceberg proposée par Drijvers…


• Dépasser la juxtaposition des expériences.

• Ce qui fait sens n'est pas l'expérience mais la théorie

liée aux objets de savoir mathématiques (leur

syntaxe, leur sémantique).

• Éviter de croire ou de compter sur la rencontre

fortuite des savoirs lors des expériences :

expérimenter /vs manipuler.


Réel partagé (Lelong, 2004) : nécessité (mais non

suffisance) des expériences sociales interactives.

Une communauté d'individus (d'élèves par

exemple) qui collaborent dans leurs actes et

leurs mots en vue de catégorisations permettant

l'élaboration de concepts.


Distinction choses/objets (Conne)

Enseigner consiste à mettre en scène des objets de savoir que les élèves perçoivent comme des choses avec lesquelles ils peuvent interagir.

Pour différents sujets, une même chose ne réfèrera pas forcément au même objet.


conclusion du positionnement épistémologique :

La réalité peut être associée à la notion de

véracité (Granger, 1999) : les objets, les choses,

les actes et les pensées sont, ou, pour le moins,

peuvent devenir.


2. Situation : savoir / connaissance / expérience

La situation est une modélisation théorique d'un

niveau de réalité qui tient compte des différents

types d'interactions qu'il faut distinguer selon les

statuts des sujets et des objets qui interagissent.


Finalité didactique : réussir la rencontre entre les objets et les sujets

L'environnement créé pour les échanges de signes et de

connaissances et pour les expériences sur les choses ne

garantit pas la rencontre des objets mathématiques.

C'est la consistance des situations (la richesse de leurs

milieux) qui permet ou non le processus de

conceptualisation.


savoirssavoirs

connaissancesconnaissances

situationexpériences

environnement d'apprentissageenvironnement d'apprentissage

faits et phénomènes divers empirique

objetsobjets

choseschoses

signesreprésentations

point de vue enseignantpoint de vue enseignant

point de vue apprenantpoint de vue apprenant


3. Des expériences pour faire exister les objets mathématiques

ou comment rendre opérationnels les principes épistémologiques…


Différents contextes de mise en œuvre des situations expérimentales :

- les élèves ayant des besoins spécifiques

- les enseignants en formation initiale

- les enseignants en formation continue


• nous proposons aux élèves des milieux matériels

spécifiques et adaptés susceptibles de provoquer

des expériences et des créations personnelles et/ou

collectives,

• nous ajoutons dans ces environnements des

contraintes spécifiques (parfois au cours de la résolution),

• nous observons et interagissons avec les

propositions faites par les élèves.


Le choix de l'espace et de la géométrie

Pour devenir géométrique, l'a priori de l'espace sensible (l'espace représentatif) doit être idéalisé. Or, bien qu'empiriquement contraint, ce procès d'idéalisation est empiriquement (et expérimentalement) indécidable. Il relève d'une faculté formelle et a priori d'abstraction intellectuelle qui est autonome relativement à l'espace sensible.(Petitot, 1987).


le choix d'un travail dans l'espace :

-pour échapper à l'emprise du formalisme

numérique,

-pour aider au passage du local au global

(facilitation des processus de généralisation),-pas de formalisme préalable prégnant.


exemple 1 :Construire en grand

originalité de la situation : ses variables de grandeur (dimension 3, longueur et aire)

choses : baguettes, connecteurs, ficelleobjets : plan, angles, symétries, limite

tâche expérimentale : construire, observer, anticiper, comprendre

des fuzzy constructions

des fuzzy constructions


L'expérimentation consiste à intervenir,

anticiper, transformer, vérifier dans une

chronologie d'actes qui appartient à chaque

sujet mais qui s'interpellent constamment.


montrer, désigner, expérimenter les choses qui peuvent être les modélisations des objets mathématiques idéaux

Construire en grand: varier les registres de représentation


La variation et la mise en lien des registres

de représentations des objets

géométriques est susceptible de révéler les

connaissances et les aptitudes des

apprentis mathématiciens (élèves et/ou

enseignants).


l’enjeu spatial et corporel dans la construction des connaissances géométriques

à la rencontre des objets géométriques via la catégorisation et la mise en réseau des connaissances

réel partagé

réel partagé


Construire en grand: pour faire des expériences différentes, pour exprimer et changer son point de vue.


exemple 2 :paver l'espace avec uniquement les solides

platoniciens

originalité de la situation : son ancrage culturel et esthétique

choses : enveloppes, boitesobjets : plan, angles, symétries, limite

tâche expérimentale : explorer, mettre en relation



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