1/10/08Amphi 7 Les puissances virtuelles 1 Principe des puissances virtuelles Chapitre 7 Une...

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Principe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuelles

Chapitre 7

Une écriture qui regroupe toutes les équations

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Principe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuelles

Système et équations (chapitre 6)

Puissance virtuelle des efforts intérieurs

Définitions et énoncés (intuitions)

Vérification du Principe des puissances virtuelles (1)

Vérification du Principe des puissances virtuelles (2)

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3

'

Le sous-système matériel

d

Champ forces volumiques

dtxF ),( da

daT '

Efforts de contact

Efforts intérieurs (contraintes) d

Efforts d’accélération

)(. UUdanWU

Efforts d’accélération

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Équations générales du mouvement

),,(div tx),( tx ),( txF en tout point régulier de

Symétrie du tenseur des contraintesSymétrie du tenseur des contraintes

Relations de saut Relations de saut (référentiel galiléen)(référentiel galiléen)

Vecteur contrainte et conditions aux limites Vecteur contrainte et conditions aux limites

'' . nT sur toute interface '

(t) sur]][[.]][[ . nnWUU

t

Équations de champ Équations de champ (référentiel galiléen)(référentiel galiléen)

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Transformation des équations

Objectif : rassembler toutes les équations dans un principe unique

Préalable : calculer les puissances développées par les différents efforts dans un mouvement virtuel (mouvement arbitraire imaginé par observateur)

Technique : traduire les équations du mouvement sous forme d’égalité entre puissances développées

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Principe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuelles

Système et équations

Puissance virtuelle des efforts intérieurs

Définitions et énoncés

Vérification du Principe des puissances virtuelles (1)

Vérification du Principe des puissances virtuelles (2)

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Puissance d’une liaison élémentaire

d

IÛ

IJIJIJ ÛFÛFU ..)ˆ()i( dpJÛ

)(. IJJI ÛÛF

)(.. IJJI rÛgradF

ÛgradrFt

IJJI ..

)ˆ()i( Udp ÛgradrFt

IJJI :

Ix

Jx

IJIJ xxr JIIJ FF

JIF

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Densité « particulaire » de puissance virtuelle

JIF

IJrdrc )(n

c

t

r

cJIc rdÛgradrFdrUc

):())(2

1)ˆ( (n)i(dP

Puissance élémentaire entre I et JÛgradrF

t

IJJI :

Nombre de liaisons entre et avec

Ix

cIJIJ rxxr Jx

ccJI rtF

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Puissance virtuelles des efforts intérieurs

JIF

IJr

dÛgradrdrrtrU

t

r

ccccc

c

:)(2

1)ˆ( n)i(dP

dÛgradUt

:)ˆ()i(dP

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10

Puissance des efforts intérieurs sur

'

dÛgradUt

:)ˆ()i(dP

Par analyse particulaire

Repris en définition générale

dÛgradU

Ut

:')i( :)ˆ(

pour m.v.ˆ,

P''

dÛ jiij ,

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11

Dualité contraintes déformations

12

1 dÛ

1e

da11

daedaT 1.

jiij

tÛÛgrad , :

12

1112 dÛda 1

1

111 dx

x

Ûda

dÛ 1,111

1dxPuissance fournie par d dans l’élongation d’axe 1e

da11

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12

Dualité contraintes déformations

22

1 dÛ

da21

daedaT 1.

jiij

tÛÛgrad , :

dÛdxx

ÛdadÛda 1,2211

1

22122

1212

1e2e

1dxPuissance fournie par d dans le glissement d’axe 2e

da21

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Principe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuelles

Système et équations

Puissance virtuelle des efforts intérieurs

Définitions et énoncésVérification du Principe des puissances virtuelles (1)

Vérification du Principe des puissances virtuelles (2)

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danWUUÛ

xUtxtxU

'

'

.]][[

d)(ˆ.),(),()ˆ(

.

A

Puissance des efforts d’accélérationPuissance des efforts d’accélération

'

dForces d’inertie

volumique

)(. UUdanWU

saut de qté de mouvement par unité de surface

Puissance développée dans un Puissance développée dans un mouvement virtuel de vitessemouvement virtuel de vitesse

calculée par intégration surcalculée par intégration sur 'Û

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axUtxT

dxUtxFtxU

d)(ˆ.),(

)(ˆ.),(),()ˆ(

''

'(e)

P'

Puissance des efforts extérieursPuissance des efforts extérieurs

'

Puissance développée dans un Puissance développée dans un mouvement virtuel de vitessemouvement virtuel de vitesse

calculée par intégration surcalculée par intégration sur 'Û

da

daT '

Efforts de contact

Champ forces volumiques

dtxF ),(

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Première intuition

Pas de de puissance développée par efforts intérieurs si mouvement virtuel respecte géométrie locale

Vrai en particulaire

0)ˆ(0).(0 )i(

2 UÛÛrrdt

dIJIJIJ dp

à vérifier dans un cadre généralà vérifier dans un cadre général

i.e si mouvement virtuel rigidifiant

OMUxU 00 ˆˆ)(ˆ translation + rotation

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Seconde intuition

En référentiel galiléen, efforts d’accélération équilibrent efforts extérieurs et intérieurs

à vérifier dans un cadre généralà vérifier dans un cadre général

Dans un référentiel GALILÉEN

U mouvement virtuelrégulier

)ˆ()ˆ()ˆ( )e()i( UUU A'PP

'

doncdans tout mouvement, la puissance développée par les uns sera égale à la puissance développée par les autres

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Les intuitions à vérifierLes intuitions à vérifierLes intuitions à vérifierLes intuitions à vérifier

'

0)ˆ()i( UP

U mouvement virtuel rigidifiant

Dans un référentiel GALILÉEN

U mouvement virtuelrégulier

)ˆ()ˆ()ˆ( )e()i( UUU A'PP

'

Principe des puissances virtuelles

++

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Principe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuelles

Système et équations

Puissance virtuelle des efforts intérieurs

Définitions et énoncés

Vérification du Principe des Puissances Virtuelles (part 1)

Vérification du Principe des puissances virtuelles (2)

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Vérification de la première partie du PPV

Objectif : vérifier la première intuition sur la puissance virtuelle des efforts intérieurs dans un mouvement rigidifiant

, '

0)ˆ()i( UP(mouvement virtuel rigidifiant)

OMUxU 00 ˆˆ)(ˆ

??

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21

OMUÛ

dÛgradtx

t

t

.ˆ,'

,0:),(

0

'

',Â

,0ÂÂ:),(

33

'

RR

dtxt

,',0)ˆ()i( UP OMUxU A ˆ)(ˆ0

Hypothèse:

AA

t

AOMU ˆˆ,ˆˆ .0

OMUt

.ˆ0

rigidifiant

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xtxtxt ,0),(),(

,',0),(),('

dtxtxt

',Â

,0ÂÂ:),(

33

'

RR

dtxt

Symétrie deSymétrie de ),( tx

HypothèseHypothèse

33

'

Â,'

,0Â:),(Â:),(

RR

dtxtxt

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De la première partie du PPV à la symétrie de

x

txtxt ),,(),( '

0)ˆ()i( UP(mouvement virtuel rigidifiant)

OMUxU 00 ˆˆ)(ˆ

O.K

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Principe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuelles

Système et équations

Puissance virtuelle des efforts intérieurs

Définitions et énoncés

Vérification du Principe des puissances virtuelles (1)

Vérification du Principe des puissances virtuelles (part 2)

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Vérification de la seconde partie du PPV

??U mouvement virtuel régulier '

)ˆ(UA')ˆ()e( UP)ˆ()i( UP

')i( d::)ˆ( ÛgradU

tP

danWUUÛdÛUt

')(

.]][[:)ˆ( ..'

A'

'' ')e( ..:)ˆ( daTÛdFÛU P

Mouvement virtuel = champ construit par observateurMouvement virtuel = champ construit par observateur

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'

'

d) (div

d.) (

..

Û

anÛ

Formule de la divergenceFormule de la divergence

anÛt

d.]] [[')(

.

''d:d) (div. ÛgradÛ

t

anÛt

d.]] [[')(

.

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'

d: Ûgradt

danWUUÛdÛt

')(

.]][[..'

'' '.. daTÛdFÛ

0

', Û

Du PPV aux équations du mouvementDu PPV aux équations du mouvement

danWUUÛ

daTÛdFÛ

t

')(

'

.]][[

0

.

..''

'.d.]] [[d) (div ...

)('danÛanÛÛ

t

'

d: Ûgradt

Théorème de la divergence

HypothèseHypothèse

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Transformer puissance efforts intérieursTransformer puissance efforts intérieurs

danWUUÛ

daTÛdFÛ

t

')(

'

.]][[

0

...

''

'.d.]] [[d) (div ...

)('danÛanÛÛ

t

div n.

n].][[ '

d: Ûgradt

HypothèseHypothèse

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Retrouver les équations du mouvementRetrouver les équations du mouvement

' sur.0 ' Tn

'sur div 0 IF

danWUUnÛ

daTnÛdFÛ

t

')(

'

.]][[].][[

.div 0

.

..''

)( sur.]][[].][[0 tnWUUn

Û

Équations du mouvementÉquations du mouvement

HypothèseHypothèse

O.K

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Principe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuelles

-Équations de champÉquations de champ- Relations de sautRelations de saut-Vecteur contrainte-Vecteur contrainteet conditions aux limiteset conditions aux limites

U mouvement virtuel régulier

)ˆ()ˆ()ˆ( )e()i( UUU A'PP

'

dans un référentiel GALILÉEN

U mouvement virtuel rigidifiant

0)ˆ()i( UP -Symétrie de Symétrie de