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Ecuaciones de Horton, Física III
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CL05_A01_AB_Horton y Franklin_V0.doc 1 de 6
Ecuación de Horton y Franklin Determinación del número de platos teóricos necesarios para una separación dada para sistemas multicomponentes sin líneas de operación y equilibrio rectas. (página 359 "Operaciones de Transferencia de Masa" Robert Treybal) Como en este caso se pueden transferir todas las sustancias de una corriente a la otra se definen relaciones molares con respecto a las corrientes que ingresan a la columna '
1n n N nG y G Y+= (1)
'
1
n nn
N
G yYG +
= (2)
'
0n n nL x L X= (3)
'
0
n nn
L xXL
= (4)
Balance en el plato 1 ' ' ' '
0 0 1 2 0 1 1 1N NL X G Y L X G Y+ ++ = + (5) Se debe escribir un balance de este tipo para cada soluto que se transfiere. La relación de equilibrio para cada soluto se puede expresar mediante la siguiente ecuación n n ny m x= (6)
' '
1 0N n nn
n n
G Y L XmG L+ = (7)
' '0
1
n nn n
n N
G m LY XL G +
= (8)
' 0
1
n nn
n N
G m LmL G +
= (9)
' ' '
n n nY m X= (10)
' ' '
0 0 0
' ' '1 1 1
Y m X
Y m X
=
= (11)
CL05_A01_AB_Horton y Franklin_V0.doc 2 de 6
' ' ' '
1 1 0 0 1 2 0 1N NG Y L X G Y L X+ += + − (12) Reemplazando las ecuaciones (11) en la ecuación (12)
' ' ' '0 01 0 2 1' '
1 0 1 1N N
L LY Y Y YG m G m+ +
= + − (13)
' ' ' '0 01 0 2 1
0 0 0 1 1 01 1
0 1 1 1N N
N N
L LY Y Y YG m L G m LG GL G L G+ +
+ +
= + − (14)
' ' ' '0 11 0 2 1
0 0 1 1
L LY Y Y YG m G m
= + − (15)
Utilizando la definición del factor de absorción ( )' ' '
1 1 0 0 21Y A A Y Y+ = + (16)
( )
' '' 0 0 2
111
A Y YYA+
=+
(17)
Para el plato 2
( )
' '' 1 1 3
221
A Y YYA+
=+
(18)
Remplazando la ecuación (17) en la ecuación (18)
( )( )
( )( )( )
' ''0 0 2
1 3 ' ' '1 1 0 0 1 2 1 3'
22 2 1
1 1
1 1 1
A Y YA YA A A Y A Y A Y
YA A A
⎛ ⎞+⎜ ⎟ +⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠= =
+ + + (19)
( )( )
( )( )( )
' '1 0 0 1 3' 1
22 1 2 1
11
1 1 1 1
A A Y A YAYA A A A
⎡ ⎤ + +⎢ ⎥− =
+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ (20)
( )( )( )( )
( )( )( )
' '2 1 1 1 0 0 1 3'
22 1 2 1
1 1 1
1 1 1 1
A A A A A Y A YY
A A A A
⎡ ⎤+ + − + +⎢ ⎥ =
+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ (21)
CL05_A01_AB_Horton y Franklin_V0.doc 3 de 6
( )( )( )
( )' ' ' '1 0 0 1 3 1 0 0 1 3'
22 1 2 1 12 1 1
1 111 1
A A Y A Y A A Y A YY
A A A A AA A A
+ + + += =
+ + + −+ + − (22)
( )' '1 0 0 1 3'
22 1 2
11
A A Y A YY
A A A+ +
=+ +
(23)
Para el plato 3
( )
' '' 2 2 4
331
A Y YYA+
=+
(24)
Remplazando la ecuación (23) en la ecuación (24)
( )
( )
' '1 0 0 1 3 '
2 42 1 2'
33
11
1
A A Y A YA Y
A A AY
A
⎡ ⎤+ ++⎢ ⎥
+ +⎢ ⎥⎣ ⎦=+
(25)
( ) ( )
( )( )' ' '
2 1 0 0 1 3 2 1 2 4'3
2 1 2 3
1 1
1 1
A A A Y A Y A A A YY
A A A A
⎡ ⎤+ + + + +⎣ ⎦=+ + +
(26)
( )( )( )
( )( )( )
' '2 1 2 1 0 0 2 1 2 4'
32 1 2 3 2 1 2 3
1 11
1 1 1 1
A A A A A Y A A A YY
A A A A A A A A
⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥− =
+ + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ (27)
( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
' '2 1 2 3 2 1 2 1 0 0 2 1 2 4'
32 1 2 3 2 1 2 3
1 1 1 1
1 1 1 1
A A A A A A A A A Y A A A YY
A A A A A A A A
⎡ ⎤+ + + − + + + +⎢ ⎥ =
+ + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ (28)
( )( )
( )( )
' 3 2 1 3 2 3 2 1 2 2 2 13
2 1 2 3
' 3 2 1 3 2 33
2 1 2 3
11 1
11 1
A A A A A A A A A A A AYA A A A
A A A A A AYA A A A
⎡ ⎤+ + + + + − −⎢ ⎥ =
+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥
+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦
(29)
( )' '2 1 0 0 2 1 2 4'
33 2 1 3 2 3
11
A A A Y A A A YY
A A A A A A+ + +
=+ + +
(30)
Para el Plato N
( )' '1 2 1 0 0 1 2 1 1 2 1 1'
3 2 1 3 2
11
N N N N NN
N N N
A A A A Y A A A A A A YY
A A A A A A A A− − − − ++ + + + +
=+ + + +
(31)
CL05_A01_AB_Horton y Franklin_V0.doc 4 de 6
( )' '0
1 2 1 0 1 2 1 1 2 1 1' 1
3 2 1 3 2
1
1
N N N N NN
NN N N
LA A A X A A A A A A YGYA A A A A A A A
− − − − ++
+ + + + +=
+ + + + (32)
Como Y’N es la composición de una corriente que pertenece a la columna se la elimina reemplazándola por el valor obtenido a partir de un balance de materia para el componente analizado que abarca toda la columna ' ' ' '
0 0 1 1 0 1 1N N N NL X G Y L X G Y+ + ++ = + (33)
' ' ' '1 10 1 1
0 0
N NN N
G GX X Y YL L
+ ++= + − (34)
' '1
0
n Nn n
n n
L GX YG m L
+= (35)
' ' ' '1 1 10 1 1
0 0 0
N N N NN N
N N
L G G GY X Y YG m L L L
+ + ++= + − (36)
' ' ' '1 1 10 1 1
0 0 0
N N N NN N
A G G GY X Y YL L L
+ + ++= + − (37)
' ' ' '00 1 1
1
1 1N N
N N N N
LY X Y YA G A A+
+
= + − (38)
Igualando las ecuaciones (31) y (38)
( )
' ' '00 1 1
1
' '01 2 1 0 1 2 1 1 2 1 1
1
3 2 1 3 2
1 1
1
1
NN N N N
N N N N NN
N N N
L X Y YA G A A
LA A A X A A A A A A YGA A A A A A A A
++
− − − − ++
+ − =
+ + + + +
+ + + +
(39)
( )
( )
' ' '03 2 1 3 2 0 1 1
1
' '01 2 1 0 1 2 1 1 2 1 1
1
1 11
1
N N N NN N N N
N N N N NN
LA A A A A A A A X Y YA G A A
LA A A X A A A A A A YG
++
− − − − ++
⎛ ⎞+ + + + + − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ + + + +
(40)
CL05_A01_AB_Horton y Franklin_V0.doc 5 de 6
( )
( )
' ' '03 2 1 3 2 0 1 1
1
' '02 1 0 1 2 1 1 2 1 1
1
1
1
N N N NN
N N N N N NN
LA A A A A A A A X Y YG
LA A A X A A A A A A A YG
++
− − − ++
⎛ ⎞+ + + + + − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ + + + +
(41)
( )
( )
( )( )( )
'03 2 1 3 2 0
1
'02 1 0
1
'3 2 1 3 2 1
'1 2 1 1 2 1 1
'3 2 1 3 2 1
1
1
1
1 0
N N NN
NN
N N N N
N N N N N
N N N
LA A A A A A A A XG
LA A A XG
A A A A A A A A Y
A A A A A A A Y
A A A A A A A A Y
+
+
+
− − − +
+ + + + −
+
+ + + + −
+ + + + −
+ + + + =
(42)
( )
( )
( )( )( )
'03 2 1 3 2 0
1
'02 1 0
1
'3 2 1 3 2 1
'2 1 2 1 1
'3 2 1 3 2 1
1
1
1 0
N N NN
NN
N N N N
N N N N N N
N N N
LA A A A A A A A XG
LA A A XG
A A A A A A A A Y
A A A A A A A A Y
A A A A A A A A Y
+
+
+
− +
+ + + + −
+
+ + + + −
+ + + + −
+ + + + =
(43)
( ) ( )
( )( )
( )
'00 3 2 1 3 2 2 1
1
3 2 1 3 2'1
2 1 2 1
'1 3 2 1 3 2
1
1
1 0
N N N NN
N N N
N
N N N N N
N N N
L X A A A A A A A A A A AG
A A A A A A A AY
A A A A A A A A
Y A A A A A A A A
+
+
−
⎡ ⎤+ + + + − +⎣ ⎦
⎡ ⎤+ + + + −⎢ ⎥ −⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦
+ + + + =
(44)
( )( )
( )
( )
' '1 1 3 2 1 3 2
'00 3 2
1
'1 2 1 2 1
1
1
N N N N
N NN
N N N N N N
Y Y A A A A A A A A
L X A A A AG
Y A A A A A A A A
+
+
+ −
− + + + + +
+ + + =
+ + + +
(45)
CL05_A01_AB_Horton y Franklin_V0.doc 6 de 6
( )( )
( )
( )
' '1 1 3 2 1 3 2
'1 2 1 2 1
'00 3 2
1
1
1
N N N N
N N N N N N
N NN
Y Y A A A A A A A A
Y A A A A A A A A
L X A A A AG
+
+ −
+
− + + + + +
= + + + +
− + + +
(46)
( ) ( )( )
( )( )
' '1 1 2 1 2 1'
1 3 2 1 3 2
'3 20 0
'1 1 3 2 1 3 2
1
1
1
N N N N N N
N N N N
N N
N N N N N
Y Y A A A A A A A AY A A A A A A A A
A A A AL XG Y A A A A A A A A
+ −
+
+ +
− + + + +=
+ + + +
+ + +−
+ + + +
(47)
La ecuación (47) es la 8.103 de Treybal (Página 360) Edmister definió los factores de absorción efectivos que reemplazan a las sumatorias en las ecuaciones de Horton-Franklin.
( )
( )
1'
0.5
1
11
1 0.25 0.5
N
N
E N
A AA
A
A A A
+=
+
⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦
(48)
( ) ( )( )
' ' 1'1 1 0 0' ' ' 1
1 1 1
11
NN E E
NN N N E
Y Y A AL XY A G Y A
++
++ + +
− −⎛ ⎞= −⎜ ⎟
−⎝ ⎠ (49)
Análogamente se pueden obtener las ecuaciones que describen el proceso de desorción
( )
( )
1'
10.5
1
11
1 0.25 0.5
N
E N
S SS
S
S S S
+=
+
⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦
(50)
( ) ( )( )
' ' 1'0 1 1
' ' ' 10 0 0
11
NN E EN N
NE
X X S SG YX S L X S
+
+ ++
− −⎛ ⎞= −⎜ ⎟
−⎝ ⎠ (51)
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