Congrès Dédra-Math-isons 2009-2010 La Quatrième Dimension Matteo Malacarne Thomas Van Himbeeck...

Congrès Dédra-Math-isons 2009-2010

La Quatrième Dimension

Matteo Malacarne

Thomas Van Himbeeck

Frédéric Van Naemen

Hoang Son Nguyen

Table des matières

Une approche visuelle : la tesselation

Une approche géométriqueDe la deuxième à la troisième dimensionUne nouvelle dimension

Une approche analytiqueDes recherches, des calculs et des dessins …

Introduction : Escher et ses salamandres

Introduction : Escher et ses salamandres

Introduction : Escher et ses salamandres

Table des matièresIntroduction : Escher et ses salamandres

Une approche géométriqueDe la deuxième à la troisième dimensionUne nouvelle dimension

Une approche analytiqueDes recherches, des calculs et des dessins …

Une approche visuelle : la tessellation

Une approche visuelle : la tesselation

Point

Segment

Polygone

Polyèdre

Un hypercube : projection interne

Un hypercube : projection parallèle

Une approche visuelle : la tesselation

Polychore

Table des matièresIntroduction : Escher et ses salamandres

Une approche visuelle : la tesselation

De la deuxième à la troisième dimensionPavages de polygones : polyèdres réguliersLes solides de Platon

Une nouvelle dimensionPaver en trois dimensionsAngles diédrauxLes six polychores réguliers

Une approche analytique : la quatrième dimension interceptée par la nôtre ?Des recherches, des calculs et des dessins …

Une approche géométrique

Une approche géométriqueDe la deuxième à la troisième dimension:

Pavages de polygones : polyèdres réguliers

{6,3}

{4,4}

{3,6}

Une approche géométriqueDe la deuxième à la troisième dimension:

Pavages de polygones : polyèdres réguliers

Une approche géométriqueDe la deuxième à la troisième dimension:

L’angle interne

p

360

180

Une approche géométriqueDe la deuxième à la troisième dimension

Les solides de Platon

q. 360

q.(180 360

p) 360

1

21

p1

q

Nœud du pavage

Formule de l’angle interne

On isole p et q

Il n’existe alors que 5 combinaisons {p,q} possibles

Une approche géométriqueDe la deuxième à la troisième dimension:

Les solides de Platon

{3,3}

{3,4}

{3,5}

{4,3}

{5,3}

Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:

Paver en 3 dimensions

}4,3,4{

Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:

Angles diédraux

2arcsincos

180

p

sin180

q

Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:

Les six polychores réguliers

Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:

Les six polychores réguliers

r. 360

r.2arcsin

cos180

q

sin180

p

360

cos180

q

sin180

p

sin180

r

Par la formule des angles diédraux

Nœud du pavage

On isole p et q dans le même membre et r dans l’autre

Il n’existe alors que 6 combinaisons {p,q,r} possibles

Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:

Les six polychores réguliers

L’hypertétraèdre (ou pentachore) :- 5 cellules tétraédriques - 10 faces triangulaires (triangles équilatéraux)- 10 arêtes- 5 sommets

{3,3,3}

L’hyperoctaèdre (ou hexadécachore) : - 16 cellules tétraédriques- 32 faces triangulaires (triangles équilatéraux) - 24 arêtes - - 8 sommetss

{3,3,4}

Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:

Les six polychores réguliers

L’hypericosaèdre (ou hexacosichore) :- 600 cellules tétraédriques- 1200 faces triangulaires (triangles équilatéraux)- 720 arêtes- 120 sommets

{3,3,5}

Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:

Les six polychores réguliers

L’hypercube (ou tesseract) :- 8 cellules cubiques- 24 faces carrées- 32 arêtes- 16 sommets

{4,3,3}

Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:

Les six polychores réguliers

L’icositétrachore (pas d’analogue en 3 dimensions) :- 24 cellules octaédriques - 96 faces triangulaires (triangles équilatéraux)

- 96 arêtes- 24 sommets

{3,4,3}

Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:

Les six polychores réguliers

L’hyperdodécaèdre (ou hecatonicosachore) :- 120 cellules dodécaédriques - 720 faces pentagonales (pentagones réguliers)- 1200 arêtes- 600 sommets

{5,3,3}

Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:

Les six polychores réguliers

Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:

Les six polychores réguliers

Table des matièresIntroduction : Escher et ses salamandres

Une approche visuelle : la tesselation

Une approche géométriqueDe la deuxième à la troisième dimension

Pavages de polygones : polyèdres réguliersLes solides de Platon

Une nouvelle dimensionPaver en trois dimensionsAngles diédrauxLes polychores réguliers

Des recherches, des calculs et des dessins …

Une approche analytique

Une approche analytiqueDes recherches …

Elements analytiques de l’hypercube

Une approche analytiqueDes recherches …

Intersections

Une approche analytiqueDes calculs et des dessins …

Intersections d’un hypercube avec un espace