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Ofcede la
Formation Proessionnelle et de la Promotion du T ravail
DIRECTION RECHERCHE ET INGÉNIERIE DE FORMTION
Institut Spécialisé de Technologie Appliquée (ISTA)
S ECTEUR : BTP S PÉCIALITÉ : TECHNICIEN SPECIALISE GROS
OEUVREN IVEAU : 1ER ANNÉE T ECHNICIEN SPECIALISE
RÉALISE PAR :
ABDELOUAHID EL ATMIOUI INGÉNIEUR .BÂT.GENIE CIVIL
MOD!"E #$NOTIONS DE
RESISTANCE DESMATERIAUX
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Cours de Resistance des Matériaux Gros Œuvres 1ème Année ISTA (LAAYO!"#
I.S.T.A LAAYOUNE Spécialité : TS GROS ŒUVRE
Niveau : TECHNICIEN SPECIALISE
1èmeAée !Aée Sc"lai#e $%%&'$%%(
Ce c"u#) e)t #éali)é p"u# #ép"*#e au+ ,e)"i) )uivat) :
PRECISIONS SUR LECOMPORTEMENT ATTENDU
A-Déterminer les forces etles moments
B- . Déterminer lescaractéristiques
géométriques dessections
C- Calculer les contraintescorrespondantes aux
différentes sollicitationssimples
CRITERES PARTICULIERS DEPERFORMANCE
• Connaissance parfaite des
caractéristiques d’une force
• Calcul exact du moment d’uneforce par rapport à un point
• Connaissance parfaite des
différentes charges et appuisusuels
• Connaissance parfaite des
conditions analytiquesd’équilibre statique et calculexact des réactions d’appuis
• Calcul exact du centre de
graité
• Calcul exact du moment
d’inertie par rapport aux axesneutres
• Calcul exact des contraintes de
traction et de compression• Calcul exact des contraintes de
flambage
• Calcul exact des contraintes de
flexion
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Cours de Resistance des Matériaux Gros Œuvres 1ème Année ISTA (LAAYO!"#
Introduction
La résistance des matériaux : e)t ue ,#ac-e *e la mécai.ue *e) milieu+ c"tiu) a*aptée au+
*é/"#mati") *e) )t#uctu#e) 0mac-ie) 2éie mécai.ue "u ,3timet) 2éie civil45
Cette )ciece pe#met *e #amee# la l"i *e comportement global d'une structure 0#elati" et#e
sollicitations'/"#ce) "u c"uple' et *éplacemet)4 6 ue loi de comportement locale *e) maté#iau+
0#elati" et#e c"t#aite) et *é/"#mati")45 L7",8ecti/ état le *ime)i"emet *e la )t#uctu#e
)uivat u c#itè#e *e #é)i)tace "u *e *éplacemet a*mi))i,le5
Sel" l7ite)ité *e la c"t#aite9 il a *7a,"#* déformation élastique 0l"#).ue la )"llicitati"
*i)pa#a;t9 le maté#iau #ep#e* )a /"#me et )a p")iti" iitiale4 pui) déformation plastique 0l"#).ue la)"llicitati" *i)pa#a;t9 ue ce#taie *é/"#mati" )u,)i)te4 et e/i rupture l"#).ue le) limite)
it#i)è.ue) *u maté#iau )"t *épa))ée)5
Historiquement : le P#emie# c"u#) *e Résistance des Matériaux *"é pa# Au2u)t <=-le# 6
l7Uive#)ité *e G=tti2e e 1(>$5
Le calcul *e R?@ e)t vali*e *a) u *"maie limité pa# le) -p"t-è)e) )uivate) :
La matiè#e e)t :
• élastique 0pa) *e pla)ti/icati"49• linéaire 0pa) *e "'liéa#ité49
• homogène 0pa) *e va#iati" *e c"mp"#temet *a) le maté#iau49
• isotrope 0pa) *e va#iati" *e c"mp"#temet )uivat la *i#ecti"45
Le p#",lème e)t :
• iso-statique 0pièce e é.uili,#e ciémati.ue49
• e petits déplacements 0pa) *e 2#a* *éplacemet49
• quasi-statique 0pa) *7e//et *ami.ue49
• quasi-isotherme 0pa) *e c-a2emet *e tempé#atu#e45
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Sommaire Pa2e
Introduction
¢1 : Car!e" Com#inai"on d$action"Définitions
Les actions mécaniques ou charges.
¢% : ETUDE DES LIAISONSPrésentationEffort Transmissible Par Une LiaisonNombre d’inconnues induites ar les liaisonsExemles de différents t!es d’auis de outre
¢& : CONDITIONS 'ENERALES DE L$E(UILI)REH!oth"sesNotion d’action mécanique de liaison extérieure et intérieure # un s!st"me donne $Enoncé du rincie %ondamental de la statique &P.%.'($
)as articuliers $*ésolution d+un robl"me de statique $,éthode De *ésolution Des Probl"mes De 'tatiqueLe Degré H!erstatiqueEquilibre D’un '!st"me *éticulé
¢* : Caract+ri"ti,ue" de" "e""ion")entre De -raite,oment 'tatique,oment quadratique,oment quadratique olaire
¢- : RDM : '+n+rait+"/ut de la *D,.H!oth"ses de la *D,.Notion de contrainte.*éartition uniforme des contraintes &sur une section(
¢/ : Traction "im0e et com0re""ion "im0eDéfinitions.Essai de traction
)oefficient de Poisson $ υ
¢ : Ci"aiement "im0eDéfinitions.)ontrainte de cisaillement &En cisaillement simle(.Equation de déformation)alcul ratique
¢2 : E3ort Norma N4 E3ort Trancant 54 Moment6+ci""ant M
-énéralitésDiagramme de N&x(0 1&x(0 ,&x( ,éthode de détermination.
¢7 : Contrainte" de" 0outre" 8+cie"H!oth"ses.
)ontraintes normales σ &dues # ,&x(.
03
05
08
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Déformations.
)ontraintes de cisaillement longitudinal τ &dues # 1&x((
¢19 : 6eion com0o"+eDéfinitionExemles
)ontraintes normales σ )ontraintes TangentiellesExcentricité de charge
¢11 : Le" 8;ce"Définition%ormulaireUtilisation
¢1% : <outre continue en )ETON ARME-énéralité,éthode forfaitaire. 2rt b.3.4045 age 567,éthode )28U9T ,éthode )28U9T minorée.)ontr:le de béton
Concu"ion
/ibliograhique ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
• 2ide mémoire *ésistance des matériaux
• )ours de résistance des matériaux
• ,écanique
• ,atériau
• 'tatique du solide
• ,écanique statique
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46
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¢1 : D+cente de car!e" Com#inai"on d$action"
D+=nition"
Buts de la Mécanique
' Etu*ie# l7é.uili,#e *e) )"li*e) 0)tati.ue4 "u le m"uvemet 0*ami.ue4
' ?éte#mie# u état *e c"t#aite et u état *e *é/"#mati" e t"ut p"it *e la matiè#e 0R5*5@4
!é"inition du solide en statique#
E )tati.ue9 u )"li*e e)t u c"#p) :
H"m"2èe : la ma))e e)t #épa#tie *e /a" -"m"2èe )u# t"ut le v"lume5
Gé"mét#i.uemet pa#/ait : le) *é/aut) *e /"#me e )"t pa) p#i) e c"mpte *a) la )c-émati)ati" *u )"li*e5
I*é/"#ma,le : " e tiet pa) c"mpte *e) *é/"#mati") *u )"li*e )"umi) 6 u e//"#t5
I)"t#"pe : le )"li*e a le) mDme) ca#acté#i)ti.ue) mécai.ue) *a) t"ute) le) *i#ecti")5
$rincipe des actions mutuelles
P"u# *eu+ )"li*e) % et 1 e c"tact9 lacti" e+e#cée
pa# le )"li*e % )u# le )"li*e 1 e)t é2ale et "pp")ée 6
lacti" e+e#cée pa# le )"li*e 1 )u# le )"li*e %5
Le" action" m+cani,ue" oucar!e".
Le) acti") mécai.ue) #ep#é)etet le) e//"#t) e+e#cé) )u# *e) )"li*e) "u et#e )"li*e)5 Ce) acti")mécai.ue) )"t )c-émati)ée) "u m"*éli)ée) pa# *e) /"#ce) et *e) m"met)5
Il e+i)te *eu+ tpe) *acti") mécai.ue) :
Le) acti") 6 *i)tace
Le) acti") *e c"tact
%es actions mécaniques & distance
O )e limite#a au p"i*) *u )"li*e 0e//et *e la 2#avité45
Le p"i*) e)t #ep#é)eté pa# u vecteu# P :P"it *applicati" : cet#e *e 2#avité G
?i#ecti" : ve#ticale
Se) : ve#) le ,a)
Ite)ité : P F @2 0N4
@ : ma))e e 2
2 F 9(1 m!) : accélé#ati" *e la pe)ateu#
"u att#acti" te##e)t#e
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?a) le *"maie *u Géie Civil9 " p#e*#a :
o p"u# u )"li*e e )u#/ace 0plac-e#4 : le p"i*) )u#/aci.ue 0#elati/ 6 ue )u#/ace4 N!m
o p"u# u )"li*e e l"2ueu# 0p"ut#e4 : le p"i*) liéai#e 0#elati/ 6 ue l"2ueu#4 N!m
Exemple
?éte#mie# le p"i*) )u#/aci.ue *u plac-e# *e 1( cm *épai))eu#5
?éte#mie# le p"i*) liéai#e *ue p"ut#e *e )ecti" B%+$% cm5!onnées $oids olumique du béton armé *+,m
%es actions mécaniques de contact
Actions de contact ponctuelles (charges concentrées)
Si *eu+ )"li*e) )"t e c"tact e u p"it "u )u# ue t#è) petite )u#/ace9 lacti" *e c"tact e)t
#ep#é)etée pa# u vecteu# /"#ce *"t le p"it *applicati" e)t le p"it *e c"tact5
Exemple !ppui d"une poutre sur une poutre#
Uité : N
Actions de contact linéiques (charges réparties)
Si *eu+ )"li*e) )"t e c"tact )uivat ue li2e9 lacti" e)t )c-émati)ée pa# u vecteu# /"#ce .
appli.ué )u# t"ute la li2e *e c"tact5
Exemple $loison sur planc%er#
Uité : N!ml
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K$!1
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Actions de contact ou charges réparties sur une surface
Exemple &ent sur mur#
Vet
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)c-émati.uemet
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¢% : ETUDE DES LIAISONS
<RESENTATION
?a) le ,3timet9 le) liai)") et#e )"li*e) )e #amèet 6 t#"i) /amille) p#icipale) :
Appui )imple9 a#ticulati" "u piv"t et eca)t#emet5
C-a.ue /amille peut )upp"#te# "u t#a)mett#e *e) e//"#t) *i//é#et)5
E66ORT TRANSMISSI)LE <AR UNE LIAISON
Lacti" e+e#cée pa# le) )u#/ace) *e liai)" *e) )"li*e) 0% et 14 e c"tact e)t )c-émati)ée pa# ue
#é)ultate S 0c""#*"ée) S+ et S 4 et u m"met évetuel @5
Tpe *e liai)" Acti") *e c"tact et#e
% et 1 E+emple)
Appui )imple
01 ic"ue4
A#ticulati" "u
Piv"t
0$ ic"ue)4
Eca)t#emet
0 ic"ue)4
Plus généralement
Suivat la atu#e *e la liai)" et#e *eu+ )"li*e)9 le) )i+ c""#*"ée) S+9 S9 55555555@9 *u t"#)eu#
peuvet Dt#e ulle) "u "5 0@"uvemet) p"))i,le) "u "45
⇒ Le)em,le *e) c""#*"ée) " ulle) ca#acté#i)et le//"#t t#a)mi))i,le pa# la liai)"5 0Pa#
c")é.uet ue c""#*"ée ulle )i2i/ie .ue le m"uvemet c"##e)p"*at et li,#e et#e le) *eu+
)"li*e)4
⇒ Le "m,#e *e *e2#é *e li,e#té c"##e)p"* au "m,#e *e) c"mp")ate) ulle) *u t"#)eu# a))"cié5
.emarque :
' La )"mme *e) e//"#t) t#a)mi))i,le) et *e) *e2#é) *e li,e#té e)t é2ale 6 J *a) le)pace et 6
*ime)i") *a) le pla 0"m,#e *e c""#*"ée) *u t"#)eu#45
' Si le "m,#e *e//"#t) t#a)mi))i,le)↑9 le "m,#e *e) *e2#é) *e li,e#té↓5' Le) e//"#t) t#a)mi))i,le) pa# ue liai)" c"##e)p"*et 2éé#alemet au+ acti") c-e#c-ée) e
)tati.ue F "m,#e *ic"ue) *e )tati.ue5
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Liai)") Sc-éma@vt5 #elati/)
*e li,e#té
T"#)eu# *e)
ite#acti")
E+emple) *a)
le ,3timet
Eca)t#emet
% T#a)lati"
% R"tati"
⇒ % M* *e li,e#té
S+ @+
S @
S @
A#ticulati"
0piv"t4
% T#a)lati"
1 R"tati"
⇒ 1 M* *e li,e#té
S+ %
S @
S @
Appui )imple
0p"ctuel4
0)uivat 4
$ T#a)lati")
R"tati")
⇒ B M* *e li,e#té
% %
% %
S %
Appui pla
$ T#a)lati")
1 R"tati"
⇒ M* *e li,e#té
% @+
% @S %
Nom#re d$inconnue" induite" 0ar e" iai"on"
Dans l’espace :
Appui )imple → 1 ic"ue : S5
Ite)ité *e S ic"ue
*i#ecti" c"ue ⊥ au pla *e c"tact5
A#ticulati" → B ic"ue)
Eca)t#emet → J ic"ue)
Dans le plan :
Appui )imple → 1 ic"ue : S5
Ite)ité *e S ic"ue
*i#ecti" c"ue ⊥ au pla *e c"tact5
A#ticulati" → $ ic"ue) : *i#ecti" et ite)ité *e S 0F S+9 S4 0@ F %4
Eca)t#emet → ic"ue) : *i#ecti" et ite)ité *e S 0F S+9 S4 et ite)ité *e @
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Eem0e" de di3+rent" t>0e" d$a00ui" de 0outre
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A
C
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¢& : CONDITIONS 'ENERALES DE L$E(UILI)RE
?>0ot;"e"
T"u) le) c"#p) étu*ié) )"t i*é/"#ma,le)5
Le) c""#*"ée) *7u p"it .uelc".ue )"t c")tate)5Le) )upp"#t) *e) /"#ce) )"t iva#ia,le)5
)ut :
O veut *éte#mie# le) actions e/térieures a2i))at )u# u ))tème9 *a) le ,ut ulté#ieu#
*appli.ue# la R5*5@5
U ))tème état c"mp")é *u )"li*e ui.ue "u *u e)em,le *e )"li*e)5
Notion d$action m+cani,ue de iai"on et+rieure et int+rieure @
un ">"t;me donn+ :
Géé#alité) :
' A c-a.ue liai)" )e+e#cet *e) acti") mécai.ue) 0K"#ce) et m"met)4 *ite) *e liai)"9
c"##e)p"*at 6 lacti" *ue ,a##e )u# ue aut#e 0plu) 2éé#alemet *u ))tème )u# u aut#e au
iveau *e cette liai)"45
' Ce) acti") mécai.ue) )"t *ite) :
E+té#ieu#e) au ))tème l"#).uelle) #emplacet lacti" *ue liai)" .ue l" viet *e
c"upe# p"u# i)"le# ce ))tème5
Ité#ieu#e) au ))tème .ua* la liai)" a pa) été c"upée5
0/emple S"it le ))tème 0p"tece4 m"*éli)é ci'*e))"u) c"mp")é *e plu)ieu#) )"li*e) 0CEF CAF1 ?F$4
Cette p"tece e)t )cellée 0Eca)t#ée4 *a) le )"l5
?"e :
a! Au m"i) $ acti") e+té#ieu#e) au ))tème P"tece 01$4
,! Au m"i) $ acti") ité#ieu#e) au ))tème P"tece 01$4
c! Au m"i) acti") e+té#ieu#e) au ))tème 1
,! Au m"i) $ acti") ité#ieu#e) au ))tème 1
Enonc+ du 0rinci0e 6ondamenta de a "tati,ue <.6.SB:
P"u# .u7u )"li*e )"it e é.uili,#e 0)tati.ue4 il /aut .u7il e )u,i))e aucu *éplacemet :
Pa) *e t#a)lati" 0*a) 7imp"#te .uelle *i#ecti"45
Pa) *e #"tati"
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?"c u )"li*e i*é/"#ma,le e é.uili,#e )"u) lacti" *e /"#ce) e+té#ieu#e) 0K 19K$9Q59K4 #e)te e
é.uili,#e )i :
la )"mme vect"#ielle S *e t"ute) le) /"#ce) e+té#ieu#e) e)t ulle 0pa) *e t#a)lati"4
∑Ke+t F K1 K$ Q55K F%
E p#"8ecti" )u# + et : $é.uati")
∑K+ F K1+K$+QQ5K+F% 014
∑K F K1K$QQ55KF% 0$4
Le m"met #é)ultat @I e imp"#te .uel p"it I *e t"ute) le) /"#ce) e+té#ieu#e) e)t ul 0Pa) *e #"tati"45
∑@I0Ke+t4 F @I0K14 @I0K$45555555 @I0K4 F% 04
?a) le pla :
1, ∑ K0+4 F %
, ∑ K04 F %, ∑ @04 F %
é.uati") *e la )tati.ue ⇒ ic"ue)5
?a) l7e)pace :
1, ∑ K0+4 F % 2, ∑ @0+4 F %
, ∑ K04 F % , ∑ @04 F %
, ∑ K04 F % 3, ∑ @04 F %
J é.uati") *e la )tati.ue ⇒ J ic"ue)5
Ca" 0articuier" :
Solide soumis à l'action de 2 forcesU )"li*e )"umi) 6 $ /"#ce) e)t e é.uili,#e )i le) $ /"#ce)
)"t *i#ectemet "pp")ée) :
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Solide soumis à l'action de 3 forces(dans le plan:)
U )"li*e )"umi) 6 /"#ce) e)t e é.uili,#e )i:
Le) /"#ce) )"t c"c"u#ate)5
La *ami.ue *e) /"#ce) e)t /e#mée5
R+"oution dun 0ro#;me de "tati,ue :
P"u# #é)"u*#e u p#",lème *e )tati.ue : étape) )"t éce))ai#e)
0tablir le schéma mécanique
U )c-éma mécai.ue e)t u )c-éma m"*éli)é 0)impli/ié4 *e la )t#uctu#e )u# le.uel )eule)appa#ai))et le) /"#ce) e+té#ieu#e) a2i))at *i#ectemet )u# le ))tème5
Méthodologie :
Modéliser le système :
C")i)te 6 )impli/ie# le *e))i *u ))tème 02ai *e temp)4 t"ut e 2a#*at )tati.uemet é.uivalet :
' Ga#*e# la /"#me 2éé#ale *u )"li*e 0"u le) )"li*e)4 et le #ep#é)ete# pa# )a /i,#e m"ee5
' Sc-émati)e# le) *i//é#ete) liai)") 0v"i# c-ap5II4
Isoler le système matériel à étudier :
' c"upe# au iveau *e) liai)") *u ))tème 6 étu*ie# avec le+té#ieu#
' #emplace# le) liai)") c"upée) pa# le) acti") mécai.ue) a))"ciée)5
Aouter les actions e!térieures :
' #ep#é)ete# le) acti") e+té#ieu#e) 0c-a#2e) *7e+pl"itati"9 c-a#2e) pe#maete)4 pa# *e) vecteu#)
/"#ce) 0c-a#2e) p"ctuelle)9 c-a#2e) #épa#tie)4 "u *e) vecteu#) m"met)5
' i*i.ue# t"ute) le) c"te) éce))ai#e)5
4aire le bilan
' Kai#e le ,ila *e) ic"ue) 0I4' Kai#e le ,ila *e) é.uati") p"))i,le) 0E4 *a) "t#e e+emple :
)i I ≤ E #é)"lu,le5
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page 1>
F!
F2"
F3
F!
F2
F3
*:ami.ue /e#mé
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Cours de Resistance des Matériaux Gros Œuvres 1ème Année ISTA (LAAYO!"#
I > E " #é)"lu,le5
Appliquer le principe "ondamental de statique
?a) le pla :
é.uati") p"u# ic"ue) 0e 2éé#al : acti") *e c"tact45 Le ))tème e)t *it i)")tati.ue5
Ré)"u*#e le ))tème *7é.uati")
#appels et #emar$ues :
a! Acti") e+té#ieu#e) 06 u ))tème4 : Acti") *i#ectemet appli.uée) )u# le ))tème 0*"t p"i*)4 et
acti") *e) liai)") c"upée)
,! Le) c"upu#e) *ev#"t Dt#e c-"i)ie) *e /a" 6 /ai#e appa#a;t#e le) acti") #ec-e#c-ée) 0⇒ c-"i+
*e lélémet 6 i)"le#45
c! Ité#Dt *e) ))tème) )"umi) 6 $ /"#ce)5
Le )eul ité#Dt 0" é2li2ea,le4 *u élémet )"umi) 6 *eu+ /"#ce) e)t *e *"e# la *i#ecti" *e)
/"#ce) 0pui).ue "pp")ée)4 .ui )e t#a*uit pa# ue é.uati" )upplémetai#e *a) la #é)"luti" *e la
)tati.ue *e la /"#me : Ta K +
K :α =
0 4
0 45
0/emple
?a) "t#e e+emple5
2 c-a#2e pe#maete : p"i*) p#"p#e5
. c-a#2e *7e+pl"itati" : p"i*) *e) pe#)"e)5
K c-a#2e *7e+pl"itati" -"#i"tale5
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page 1B
%alcon à étudier
$ & 2'( )*+ml
g & , )*+ml
F & ! )*+ml
2-.. m
!-..
encastrement
$ & 2'( )*+ml
g & , )*+ml
F & ! )*+ml
2-.. m
!-..
AN
C
AN
C
RA
µA
schéma mécani$ue
⇒
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Cours de Resistance des Matériaux Gros Œuvres 1ème Année ISTA (LAAYO!"#
MET?ODE DE RESOLUTION DES <RO)LEMES DE STATI(UE
5B607TI4 !8 $.5B%0M0 ?éte#mie#
c"mplètemet le) acti") mécai.ue) e+e#cée) )u# u
)"li*e appa#teat 6 u e)em,le *e )"li*e) *"é)5
@"*ali)e# le ))tème9 e le )c-émati)at et e
m"*ali)at le) *i//é#ete) liai)") et#e le) élémet)
E+t#ai#e le )"li*e *e l7e)em,le9 e c"upat au iveau
*e) liai)") avec le) aut#e) élémet)5 ?e))ie# le
)"li*e )eul *a) la mDme p")iti" 2#ap-i.ue5
Remplace# t"ute) le) liai)") c"upée) pa# le ))tème
*e /"#ce) a))"ciée)5
A8"ute# le) acti") 6 *i)tace 0p"i*)9 c-a#2e) )u#
lélémet45
Kai#e le ILAN *e t"ute) le) acti") ic"ue)
a2i))at )u# le )"li*e5et le ILAN *e) é.uati") p"))i,le)
RESULTATS : Le p#",lème e)t te#mié l"#).ue t"ute)
le) acti") a2i))at )u# le )"li*e )"t etiè#emet
c"ue)5
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page 1J
?éte#mie# *7aut#e)
élémet) 0 e i)"lat
*aut#e) )"li*e) 4 et
e /ai)at ite#vei#
le PRINCIPE *e)
acti") mutuelle)5
E+emple : élémet) ,ia#ticulé)
Ré)"u*#e
2#ap-i.uemet "u
aalti.uemet5
0C-"i)i# la mét-"*e
la plu) pe#/"#mate4
e appli.uat leP5K5S5
I)"le# u
)"li*e et
éta,li# )"
)c-éma
mécai.ueCe)t #éali)e#
ce) *eu+
étape)
La
Ré)"luti" e)t'
elle p"))i,le 6
pa#ti# *u ,ila
p#écé*et
TEST
NON OUI
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Cours de Resistance des Matériaux Gros Œuvres 1ème Année ISTA (LAAYO!"#
Le De!r+ ?>0er"tati,ue
U )"li*e9 "u u e)em,le *e )"li*e)9 .ui p"))è*e *e) appui) "u *e) liai)") )u#a,"*ate) pa#
#app"#t 6 ce .ui e)t )t#ictemet éce))ai#e au maitie *e lé.uili,#e9 e)t *it )tati.uemet
i*éte#mia,le "u -pe#)tati.ue5
P"u# ce ca)9 le) acti") e+e#cée) e peuvet pa) Dt#e *éte#miée) 6 pa#ti# *e) )eule) é.uati") *e la
)tati.ue5
.appel :
Le PKS "u) pe#met *",tei# é.uati") :
∑Ke+t F%
E p#"8ecti" )u# + et $ é.uati")
∑@0Ke+t4F% 1 é.uati"
"tati" : Ne : "m,#e *é.uati") /"u#ie) pa# le PKS
Ni : N"m,#e *ic"ue)
?e2#é Hpe#)tati.ue !9 +i -+e
0/emple La p"ut#e 0AC4 e)t e appui )u# t#"i) a#ticulati") /i+e) A9 et C .ui *"et au t"tal )i+
ic"ue) )tati.ue) : A+9 A 9+ 99 C+9 C 5O e *i)p")e .ue *e t#"i) é.uati") p"u# la #é)"luti"9
le ))tème e)t *it -pe#)tati.ue *"#*#e 0J' F 45
.emarque Le calcul *u *e2#é -pe#)tati.ue e)t i*épe*at *u c-a#2emet
ca) )"t evi)a2é) :
)i NeFNi : la )t#uctu#e e)t isostatique5 La #é)"luti" *u p#",lème e)t p"))i,le pa# le) é.uati") *e la )tati.ue5
)i NeNi : la )t#uctu#e e)t h:postatique5 Elle e)t pa) e é.uili,#e et *"c i)ta,le5
)i NeNi : La )t#uctu#e e)t h:perstatique5 Elle p"))è*e *e) appui) "u *e) liai)") )u#a,"*ate) pa# #app"#t 6 ce .ui
e)t )t#ictemet éce))ai#e au maitie *e lé.uili,#e5 Le) é.uati") *e la )tati.ue e )u//i)et pa) p"u# la #é)"luti"
*u p#",lème5
E(UILI)RE D$UN SYSTEME RETICULE
D+=nition
O appelle ))tème #éticulé "u t#eilli)9 ue )t#uctu#e /"#mée *u a))em,la2e *e ,a##e) #ectili2e)#eliée) et#e elle) pa# *e) articulations5 Ce) liai)") )"t appelée) *e) n;uds5
Exemples de s'st(mes réticulés
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é.uati")
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?étail *u u* :
5b<ecti"s#
?éte#mie# le) e//"#t) e+e#cé) *a) le) ,a##e)9 e vue *e leu# *ime)i"emet9 au m"e
*-p"t-è)e) )impli/icat#ice)5
9:pothèses simpli"icatrices
o O c")i*è#e le) ,a##e) #ectili2e) et i*é/"#ma,le)9
o Le) e//"#t) e+e#cé) )u# la )t#uctu#e )"t appli.ué) ui.uemet )u# le) u*)90 pa) *e c-a#2e)
)u# le) ,a##e)45
o O é2li2e le p"i*) *e) ,a##e)9
.emarque :
Ue ,a##e a#ticulée 6 )e) *eu+ e+t#émité) e)t appelée biellette et e)t )"umi)e .u6 *e l=e""ortnormal5
Le) ,a##e) )"t pa# c")é.uet )"umi)e) 6 *e la t#acti" "u *e la c"mp#e))i"5
a##e e c"mp#e))i" :
a##e e t#acti" :
!étermination du degré h:perstatique#
Relati" et#e le "m,#e *e ,a##e) , et le "m,#e *e u*) : b > n-Si , $' : la )t#uctu#e e)t pa) #i2i*e9 elle e)t h:postatique5
Si , F $' : la )t#uctu#e e)t e é.uili,#e9 elle e)t isostatique et la #é)"luti" e)t p"))i,le avec le
p#icipe /"*ametal *e la )tati.ue5
Si , $' : la )t#uctu#e e)t h:perstatique9 il a *e) c"t#aite) ite#e) 0*e) ,a##e)
)u#a,"*ate)45
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Cours de Resistance des Matériaux Gros Œuvres 1ème Année ISTA (LAAYO!"#
M+tode de" nud"
Principe de la méthode :
?éte#mie# le) acti") *e liai)") *a) le) ,a##e) *ue )t#uctu#e #éticulée e étu*iat lé.uili,#e *e
c-a.ue u*5
.emarque
C-a.ue u* étu*ié e *"it pa) av"i# plu) *e $ ,a##e) ic"ue) 5Si la ,a##e p"u))e le u*9 elle e)t e c"mp#e))i"
Si la ,a##e ti#e le u*9 elle e)t e t#acti"
M+tode de RITTER
Principe de la méthode :
1!Ap#è) av"i# *éte#mié le) acti") *e liai)" et#e le t#eilli) et )" )upp"#t 0#éacti") *appui)4
$! P"u# *éte#mie# le) /"#ce) *a) ue "u plu)ieu#) ,a##e) il )u//it *e la c"upe# 0p"u# /ai#e
appa#a;t#e la /"#ce c-e#c-ée4 5
! C"tiue# la c"upu#e *e /a" 6 c"upe# le t#eilli) e *eu+>! Etu*ie# lé.uili,#e *u m"#ceau p"u# *éte#mie# le) e//"#t) *a) le) ,a##e)
.emarque L"#) *e la c"upu#e *u t#eilli) il e *"it pa) av"i# plu) *e ,a##e) ic"ue) c"upée)5
A00ication"
s:steme reticule
S"it la )t#uctu#e ci'*e))"u) :
Vé#i/ie# .ue la #é)"luti" *u p#",lème e)t p"))i,le5
Calcule# le) acti") *e liai)") avec le+té#ieu#
E.uili,#e *e) *i//é#et) u*)
C"clu)i" : ta,leau #écapitulati/
Barres 0""ort T:pe d=e""ort
A
AC
?
CC?
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¢* : Caract+ri"ti,ue" de" "e""ion"
CENTRE DE 'RA5ITE
!é"initions
$oints matériels p"it) .ui "t ue ma))e *"c u p"i*) 0P F m524
$oids /"#ce *att#acti" te##e)t#e .ui e)t c")tate et t"u8"u#) "#ietée ve#) le ,a) )uivat ue
ve#ticale
7entre de graité p"it pa#ticulie# "W l" peut c"cet#e# la ma))e 0"u p"i*)4 *e t"u) le) p"it)
maté#iel) c")tituat le ))tème *e /a" .ue le ))tème #e)te é.uivalet )tati.uemet pa#lat5
.emarque
P"u# le) pièce) aat ue épai))eu# c")tate9 le p"i*) e)t p#"p"#ti"el 6 la )u#/ace $ > * S5
⇒ 7entre de graité de section
Si
+i5SiXG
1i
1i
∑
∑
→
→= Si
:i5SiYG
1i
1i
∑
∑
→
→=
7entre de graité de "ormes simples
FORMULAIRE
CENTRE DE GRAVITE
G e)t au milieu 0ite#)ecti" *e) *ia2"ale)4 G e)t au cet#e *u ce#cle
G e)t 6 lite#)ecti" *e) mé*iae)
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Méthode pour déterminer un centre de graité d=une section comple/e
?éc"mp")e# la )ecti" c"mple+e e )u#/ace )imple *"t " c"a;t la )u#/ace et la p")iti" *u
cet#e *e 2#avité 0ca##é9 #ecta2le9 t#ia2le9 ce#cle9 *emi'ce#cle4
@ett#e le) a+e) O+9 O 0atteti" au+ )i2e) +94
Appli.ue# la /"#mule *u ,a#cet#e )u# c-a.ue )u#/ace p"u# ",tei# le cet#e *e 2#avité *e la )ecti"t"tale5
P#é)ete# le) #é)ultat) *a) u ta,leau
Su#/ace
élémetai#e+Gi Gi Si +Gi Si Gi Si
T"tau+ Σ Si F Σ +Gi Si F Σ Gi Si F
⇒ 4ormule du bar:centre
.emarque :
L"#) *e la *éc"mp")iti" il peut Dt#e plu) #api*e *e p#e*#e ue )u#/ace plu) 2#a*e 6 la.uelle "
*é*uit ue aut#e )u#/ace p"u# av"i# la )u#/ace #éelle *e lélémet5
⇒ ?a) ce ca) S 6 *é*ui#e )e#a c"mptée é2ativemet5
MOMENT STATI(UE
9:pothèse
S"it ue )ecti" S appa#teat 6 u pla +5"5 )"umi)e 6 *e) c"t#aite) σ p#"p"#ti"elle) 6 + 0σ F
Z5+45
avec
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page $1
σ1 F Z5+1
σ$ F Z5+$
σ F Z5+
∆S1
∆S
∆S$
+1+
$
+
" +
σ1
σ$
σ
S
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avec
Rema#.ue : Si la+e " t#ave#)e S9 le) / )"t *e )e) c"t#ai#e *e pa#t et *aut#e *e "5
$roblème
O veut *éte#mie# lite)ité *e la #é)ultate R *e) / .ui )e#a appelé :
> Moment statique de S,o: 0" appa#teat au pla *e S4R F / 1 / $ / Q5
F Z5+15∆S1 Z5+$5∆S$ Z5+5∆S Q5
F Σ Z5+5∆S Si ∆S→% ⇒ R F Z *)5+S∫
!é"inition du Moment statique
@"met )tati.ue *e S!" A F *)5+S∫ @"met )tati.ue *e S!"+ A+ F *)5:
S∫ 0/emple Calcule# le m"met )tati.ue *u #ecta2le !,a)e e /"cti" *e , et -5
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page $$
" +//
∆S1
∆S
∆S$
+1
+$
+
"
+
/ 1
/ $
/
+
/ 1 F Z5+15∆S1
/ $ F Z5+$5∆S$
/ F Z5+5∆S
S
,
-
+
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$ropriété du Moment statique
a , O )ait .ue XG F ∫ ∫ ∫
=)
)
)*)5+
S
1
*)
*)5+
⇒ A F XG + S
⇒ A+ F YG + S
b , Si " pa))e pa# G⇒ XGF % ⇒ A F %
c , Uité : L 0 m9 cm Q4 et Si2e *e A+ "u A : [uelc".ue5
Moment ,uadrati,ue
9:pothèse
@Dme -p"t-è)e .ue p"u# le m"met )tati.ue5
$roblème
O veut *éte#mie# le m"met #é)ultat!"5 > Moment quadratique de S,o: 0" appa#teat au
pla *e S4
⇒ @t#!" F / 15+1 / $5+$ / 5+ Q55
F σ15∆S15+1 σ$5∆S$5+$ σ5∆S + Q5
F Z5+15∆S15+1 Z5+$5∆S$ +$ Z5+5∆S +Q5
F Z5+15∆S1 Z5+$5∆S$ Z5+5∆S Q5
@t#!" F Z Σ +5*)
F Z *)5+S $
∫
!é"inition du Moment quadratique
@"met .ua*#ati.ue *e S!" I F *)5+S
$
∫ @"met .ua*#ati.ue *e S!"+ I+ F *)5:
S
$∫
8nité %2 ( m2? cm2@##)
0/ercice ?éte#mie# le m"met .ua*#ati.ue *u #ecta2le
1!,a)e 0"+4 e /"cti" *e , et -
$!mé*iat#ice 0G+4e /"cti" *e , et -
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page $
,
-
+
+G
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Can!ement de coordonn+e" t d$?u>!en"B
Pro/l0me
C"ai))at I/= " veut *éte#mie# I/ O# I/ > *)5:S
$∫ S"it le p"it @ 6 la,)ci))e
⇒ I/ > *)5H@S
$
∫ F *)54*:0S
$
∫ +I/ F *)4**5:5$5:0 $
S
$ ++∫ Si2e *e A+ "u A : [uelc".ue5
I/ F *)5:S
$∫ d *)5:S∫ d ∫ S*)
⇒ I/ > I/= d *)5:S∫ Sd
⇒
"héorème d’#$%&'
I/ > I/= SdS : Ai#e *e la )ecti"
* : ?i)tace et#e le) $ a+e)
N5 : Le t-é"#ème *Hu2e) pe#met *e *éte#mie# le m"met .ua*#ati.ue *ue )u#/ace pa#
#app"#t 6 u a+e .uelc".ue9 e pa#tat ui.uemet *u a+e pa))at pa# G *"t " c"a;t le
m"met .ua*#ati.ue9 et e a8"utat le te#me S* 0le) $ a+e) état !!45
Moment ,uadrati,ue 0oaire
9:pothèses
S"it ue )ecti" S appa#teat 6 u pla +5"5 )"umi)e 6 *e) c"t#aite) ta2etielle) τ avec :
a!τ p#"p"#ti"elle) 6 + 0τF
Z5+45
,!τ pe#pe*iculai#e au #a"
i))u *e "5
a!τ "u /t *a) le mDme )e) *e
#"tati"! " 0 ca) *e la t"#)i"45
$roblème
O veut *éte#mie# le m"met #é)ultat *e) /t!"5 > Moment quadratique polaire de S,oC 0S
appa#teat au pla +"4
⇒ @t#!" F / 15 ρ1 / $5 ρ$ / 5 ρ Q55
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page $>
@
:
+
+
H *
G
F A!G+F %
/t F τ5∆S
τ1 F Z5ρ1
τ$ F Z5 ρ$
τ F Z5 ρ
∆S1
∆S
∆S$
+
$
ρ
"/t
1/t$
/t
S
ρ$
ρ1
et
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F Z5 ρ15∆S15 ρ1 Z5 ρ$5∆S$ ρ$ Z5 ρ5∆S ρQ5
F Z5 ρ15∆S1 Z5 ρ$5∆S$ Z5 ρ5∆S Q5
@t#!" F Z Σ ρ 5∆) F Z *)5S
$∫ ρ
!é"inition du Moment polaire
@"met .ua*#ati.ue p"lai#e *e S!" : I p F *)5S
$∫ ρ Uité : L> 0 m>9 cm>Q554
$ropriété
ρ F + : I p F *)45:+0S
$$∫ + F *)5+S
$∫
*)5:S
$∫
Le m"met .ua*#ati.ue p"lai#e e)t la )"mme *e) m"met) .ua*#ati.ue)! $ a+e) pe#pe*iculai#e)
I p F I+ I
¢- : RDM : '+n+rait+"
)ut de a RDM.
La #é)i)tace *e) maté#iau+ )e p#"p")e *7étu*ie# la *é/"#mati" et la limite *e #é)i)tace *7u )"li*e
0)t#uctu#e4 )"umi) 6 u ))tème *e /"#ce) e+té#ieu#e)5
C"c#ètemet :
C"t#aite :
Klèc-e :
?>0ot;"e" de a RDM.
1) %es matériau/ sont : -"m"2èe) 0te+tu#e *u maté#iau c"tiue et i*eti.ue4
i)"t#"pe) 0mDme) p#"p#iété) mécai.ue) *a) t"ute) le)*i#ecti")4
) %es solides étudiés sont en "orme de poutre#S"li*e e2e*#é pa# ue ai#e plae 0)4 *"t le cet#e *e 2#avité *éc#it ue *#"ite "u ue /ai,le
c"u#,e G%G19 le pla *e 0S4 #e)tat "#mal 6 cette c"u#,e5
\ O étu*ie e))etiellemet le) p"ut#e) *#"ite) p"))é*at u pla *e )mét#ie5
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page $B
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) +aier Bernouilli
Le) )ecti") plae) pe#pe*iculai#e) 6 la li2e m"ee #e)tet plae) ap#è) *é/"#mati" et
pe#pe*iculai#e)5
2) %oi de 9oo*e le) *é/"#mati") )"t /ai,le)9 p#"2#e))ive) et #éve#)i,le)
⇒ ?"maie éla)ti.ue
⇒ Relati" liéai#e et#e c"t#aite) et *é/"#mati")
) $rincipe de St Denant le) e//et) )"t i*épe*at) *u m"*e *e liai)"9 mai) ui.uemet
/"cti" *e) )"llicitati") e )e plaat )u//i)ammet l"i *e ce) liai)")5
Notion de contrainte.
\ S"it u )"li*e e é.uili,#e )"u) l7acti" *e /"#ce) e+té#ieu#e) :
\ C"up") le )"li*e )uivat ue )ecti" 0S45
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page $J
G1
G$
Li2e m":ee
G%
G
Li2e m":ee
G%
G$
0S4!"
!#
!$
!%
!&
!
2
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Cours de Resistance des Matériaux Gros Œuvres 1ème Année ISTA (LAAYO!"#
\ I)"l") le t#"" 014 )ituée 6 2auc-e et éta,li))") )" )c-éma mécai.ue :
ila *e) /"#ce) appli.uée)
♦ K"#ce) e+té#ieu#e) 0K19 K$9 K4
♦ Acti") *e c"tact *e 0$4 → 014 e t"u) p"it) *e S
\ Su# c-a.ue élémet *e )u#/ace 0∆)4 )u# S a2it ue /"#ce∆K 0*e *i#ecti" .uelc".ue e 2éé#ale4
C"mp")ate) *7ue c"t#aite5
∆K : 6 $ c"mp")ate)
♣ C"mp")ate "#male pe#pe*iculai#e 6 0S4 : ∆K
♣ C"mp")ate ta2etielle *a) le pla 0S4 : ∆Kt
L7e)em,le *e) /"#ce) ∆K e)t:
a4 *e) /"#ce) ité#ieu#e) l"#).ue l7" étu*ie le )"li*e e etie#
,4 *e) /"#ce) e+té#ieu#e) l"#).ue l7" étu*ie u t#"" *e )"li*e5
?é/iiti")
O appelle c"t#aite "#male : σ F*K
*S 0t#acti"9 c"mp#e))i"4
O appelle c"t#aite ta2etielle : τF*Kt
*S 0ci)aillemet4 Uité) e Pa)cal et @é2aPa)cal @Pa
R+0artition uniorme de" contrainte" "ur une "ectionB
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page $&
G
G%
0S4
!"
!#
!$
!
S
K∆
∆
G0S4
S
K∆
∆K
Kt∆
+
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Cours de Resistance des Matériaux Gros Œuvres 1ème Année ISTA (LAAYO!"#
S"it ue )ecti" /ictive )"umi)e 6 *e) c"t#aite) σ et τ
Hp"t-è)e : Répa#titi" ui/"#me *e) c"t#aite) σ )u# S 0t#acti" "u c"mp#e))i"45
P#",lème : Ré)ultate *e) /"#ce) "#male) / )u# S 0Ite)ité p")iti"45
Intensité de 4 (résultante des "n)
Su# c-a.ue élémet *e )u#/ace ∆) a2it ue /"#ce "#male /5
"# σ =/
)∆ ⇒ /1 F σ + ∆)1 /$ F σ + ∆)$ et / !! " ⇒ K !! "
⇒ K F σ 0 ∆)1 ∆)$ 55555555555554 F σ S ⇒ K F σ S
$oint d'application de 4
@ét-"*e : S)tème é.uivalet 0 Σ @t i*eti.ue4 ⇒ @t!"+0K4 F Σ @t!"+0/4
⇒ K 5 G F /1 5 1 /$ 5 $ 5
σ5S5G F Σ σ5∆)i5i )
SG = ∑ 5∆
Si @t!"0K4
¢/ : Traction "im0e et com0re""ion "im0e
D+=nition".
U )"li*e e)t )"llicité :E t#acti" )imple l"#).u7il e)t )"umi) 6 *eu+ /"#ce)
*i#ectemet "pp")ée) )ituée) )u# la li2e m"ee et .ui
te*et 6 l7all"2e#5
E c"mp#e))i" )imple l"#).u7il e)t )"umi) 6 *eu+ /"#ce)
*i#ectemet "pp")ée) )ituée) )u# la li2e m"ee et .ui
te*et 6 le #acc"u#ci#
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page $(
G
0S4
S$
K1∆
∆ /$
/t∆
+
/1
)$
∆)1
∫ = *)5:S1:G
∫ = *)5+S1+G
K K
K K
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E""ai de traction
O )"umet ue ép#"uvette cli*#i.ue *e *ime)i") "#mali)ée) 6 u e))ai *e t#acti"5 O
e#e2i)t#e le) *é/"#mati") e /"cti" *e la /"#ce N 0 N au2metat p#"2#e))ivemet 8u).u6
",tei# la #uptu#e *e lép#"uvette45
0tude du graphe
N : e//"#t *e t#acti"
∆L : all"2emet *e l7ép#"uvette5
L : l"2ueu# *e l7ép#"uvette5
0tude de la Eone élastique 5A#
Le) all"2emet) )"t p#"p"#ti"el) au+ e//"#t) *e t#acti"5
N F Z ∆L
Limite éla)ti.ue : /e Ne
S= avec S )ecti" *e l7ép#"uvette5
Le) /"u#i))eu#) *7acie# 2a#ati))et cette valeu# e+emple : KeE B%% ⇒/e F B%% @Pa
Lall"2emet *e lép#"uvette ∆L e)t p#"p"#ti"el 6 )a l"2ueu# iitiale L"
∆L : all"2emet *e lép#"uvette
L" : l"2ueu# iitiale
⇒ *é/iit u all"2emet #elati/ ε = ∆L
L"
•C"t#aite)5
P"u# /ai#e appa#a;t#e le) c"t#aite) *a) lép#"uvette il /aut c"upe# celle'ci 06 ue a,)ci))e +4
Pa# applicati" *u p#icipe *e e#"uilli 0 ∆+ et *"c ε c")tat p"u# t"ute) le) /i,#e)4
et *e la L"i *e H""Ze σ F Z ∆L "u σ F Z ε⇒ σ : i*eti.ue p"u# t"ute) le) /i,#e) ⇒ σ e)t ui/"#mémet #épa#tie )u# la )ecti" S
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page $
A
O
C
Ela)ti.ue Pla)ti.ue
Ne
N#
N
Acie# *"u+
∆L
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!iagramme contrainte - dé"ormation
Pui).ue ε = ∆L
L" et σ =
N
S : " peut
t#ace# le *ia2#amme *e le))ai e/"cti" *e σ et ε 0*ia2#amme
-"m"t-éti.ue au p#écé*et4
• L"i *e H""Ze 5
O peut #ema#.ue# .ue *a) la "e éla)ti.ue le) c"t#aite) )"t ,ie p#"p"#ti"elle) au+
*é/"#mati") :
⇒ taα σε=
σ F ε5taα )i " p")e E F taασ F ε5E
E : m"*ule *e Y"u2 "u m"*ule *7éla)ticité l"2itu*ial
E : e)t ue c")tate p"u# u maté#iau *"é pa# e+emple : E F $ 1%B @Pa p"u# l7acie#
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page %
x∆x
x
z
y
O
(S)
x
x
y
O
(S)
σ
N⇒ F +
S
A
O
N
C
Ela)ti.ue Pla)ti.ue
/e
/#
σ
Acie# *"u+
ε
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Eone plastique A7#
L"#).ue l7" atteit cette "e " c")tate u all"2emet app#écia,le *e lép#"uvette )a) .ue
le//"#t au2mete ,eauc"up5
E *éc-a#2eat l7ép#"uvette " c")tate .u7il #e)te u all"2emet pe#maet *e l7ép#"uvette ∆e
0*é/"#mati" #émaete45
Ré)i)tace 6 la #uptu#e R# :
R# N#
S"=
7alculs pratiques
C"mpte teu *e) -p"t-è)e *e la R?@ 0e#"ulli 4 la c"t#aite *a) le) maté#iau+ *ev#a t"u8"u#)
Dt#e i/é#ieu#e 6 c"t#aite a*mi))i,le /i+ée #é2lemetai#emet9 "tée σ 0c"t#aite "#male
a*mi))i,le4 Exemple
σ F /e F $>% @Pa 0 p"u# u u acie# KeE $>% )uivat le C@ JJ4
σ F /)u F B%%!151B 0p"u# u acie# KeE B%% )uivat le AEL 6 lELU4
σ F )cσ F %5J /c$( 0p"u# le ,ét" c"mp#imée9 )uivat le AEL 6 lELS4
*érification d’une section
?"ée) :
N : E//"#t *e t#acti" "u *e c"mp#e))i"9 e N5
S : Ai#e *e la )ecti" )"llicitée9 e m5
σ : C"t#aite a*mi))i,le *u maté#iau5
O *"it vé#i/ie# .ue la c"t#aite "#male σ = N
S ≤ σ
Détermination d’une section
?"ée) :
N : E//"#t *e t#acti" "u *e c"mp#e))i"9 e N5 σ : C"t#aite a*mi))i,le *u maté#iau5
O veut *éte#mie# la )ecti" éce))ai#e et )u//i)ate *e /a" 6 ce lélémet #é)i)te :
?"c /ai#e e )"#te .ue : σ ≤ σ ⇒ *
+ =σ ≤ σ ⇒ S ≥ σ
+
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page 1
A
O
C
Pla)ti.ue
Ne
N#
N
Acie# KeEB%%
∆L
∆e
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+alcul d’allongement ou de raccourcissement:
?"ée) :
N : E//"#t *e t#acti" "u *e c"mp#e))i"9 e N5
S : Ai#e *e la )ecti" )"llicitée9 e m5
L": L"2ueu# iitiale *e lélémet5
E : @"*ule *7éla)ticité l"2itu*ial
σ F ε5E
ε = ∆L
L"
*
+ =σ
,emarque :
Le) /"#mule) p#écé*ete) )"t vala,le) p"u# le) pièce) te*ue) et le) pièce) c"mp#imée)9 *ite)
c"u#te) 0p"u# le) pièce) c"mp#imée) l"2ue) 9 le calcul )e#a meé au /lam,emet45
CoeFcient de <oi""on : υ
Il e+i)te u #app"#t c")tat et#e la *é/"#mati" t#a)ve#)ale∆#
et l7all"2emet l"2itu*ial∆L
5∆#
# F ' υ
∆L
L 0∆# .ua* ∆L4 υ F c"e//iciet *e p"i))" 0ca#acté#i)ti.ue *u maté#iau4
P#",lème : *éte#mie# la va#iati" #elative *e v"lume e /"cti" *e la va#iati" #elative *e
l"2ueu#
V F π5# L*V
V
*l
l= −0 41 $ ν Valeu# *e υ Ca) limite F %5B ⇒ *V F % 0 ca"utc-"uc4
Ca) 2éé#al : c"mp#i) et#e %5$B et %55
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page $
1!*
+ =σ
$! E
σ ε =
! ∆L Fε5L"
Ou ∆L* # E
,o# + =
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Cours de Resistance des Matériaux Gros Œuvres 1ème Année ISTA (LAAYO!"#
¢ : Ci"aiement "im0e
D+=nition".
U )"li*e e)t )"llicité e ci)aillemet )imple l"#).u7il e)t )"umi)
6 *eu+ /"#ce) *i#ectemet "pp")ée) a2i))at *e pa#t et *aut#e*ue mDme )ecti"
.emarques ' Ue telle *i)p")iti" état t#è) t-é"#i.ue9 le) ca) *e ci)aillemet )imple )"t t#è) #a#e) et
)acc"mpa2e )"uvet *e /le+i" et *e c"mp#e))i"5
' O a*met t"ute/"i) .uil a ci)aillemet )imple *a) le) ca) )uivat :
?éc"upa2e *ue t]le
A))em,la2e au m"e *e #ivet) "u *e
,"ul") *e $ pièce) mice) )"umi)e)
6 u e//"#t *e t#acti" )imple
Contrainte de ci"aiement En ci"aiement "im0eB.
O a*mett#a *a) u ,ut *e )impli/icati" .ue le) c"t#aite) *e ci)aillemet 0 pa#allèle) 6 la
)ecti" S4 )"t ui/"#mémet #épa#tie) )u# la )ecti" ci)aillée 0 ce .ui e)t /au+ e #éalité9 ca# cela
*épe* *e la /"#me *e la
)ecti"4
⇒
7ontrainte limite de cisaillement pour de l=acier
Elle e)t /"cti" *e /e *e lacie# : τ = JB
1%%/e
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page
T
T
S
"utilt]
#ivet
N N
τ
= TS
τ : c"t#aite m"ee *e ci)aillemet
T : e//"#t t#ac-atS : )ecti" ci)aillée
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E,uation de d+ormation
Le ci)aillemet et#a;e le *éc#"c-emet *e la )ecti" *#"ite a, pa# 2li))emet pa# #app"#t 6 )a
v"i)ie a,
La *é/"#mati" uitai#e e)t ici ue *é/"#mati" a2ulai#e i F*
*+ F taα
O# α e)t petit ⇒ taα F α 0e #a*ia4
τ > F
E appli.uat la l"i *e H""Ze *a) ca) " a :
G : @"*ule *éla)ticité t#a)ve#)al
α : ?é/"#mati" uitai#e e #a*ia
τ : C"t#aite *e ci)aillemet
Pa# léla)ticité " peut *ém"t#e# .ue ( )υ+=
1$EG
Cacu 0rati,ue
*érification d’une section
?"ée) :
N : E//"#t *e t#acti" "u *e c"mp#e))i"9 e N5
S : Ai#e *e la )ecti" ci)aillée9 e m5
τ : C"t#aite a*mi))i,le *e ci)aillemet *u maté#iau5
O *"it vé#i/ie# .ue la c"t#aite *e ci)aillemet*
+ =τ ≤ τ
Détermination d’une section
?"ée) :
N : E//"#t *e t#acti" "u *e c"mp#e))i"9 e N5
τ : C"t#aite a*mi))i,le *e ci)aillemet *u maté#iau5
O veut *éte#mie# la )ecti" éce))ai#e et )u//i)ate *e /a" 6 ce lélémet #é)i)te :
?"c /ai#e e )"#te .ue : τ ≤ τ ⇒ *
+ =τ ≤ τ ⇒ S ≥ τ
+
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page >
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¢2 : E3ort Norma N4 E3ort Trancant 54 Moment6+ci""ant M
'+n+rait+"
4orme de poutre#
V"i# *é/iiti" *a) le c-apit#e R ? @5
+ature des charges#
+harges ponctuelles (concentrées) :
C-a#2e) appli.uée) e u p"it5
J5>%
+harges uniformément réparties : (q-ml ou g. / etc0 )0
Su# c-a.ue )e2met *e mDme l"2ueu# a2it la mDme c-a#2e5
0/ ' P"ut#e *e )ecti" c")tate )"umi)e 6 )" p"i*) p#"p#e
' P"ut#e )"u) u plac-e# 5A5
8nité . )e+p#ime e N!ml F le tau+ *e c-a#2e5
2
J5>%
.
⇒ ?ia2#amme *e c-a#2e #ecta2ulai#e5
+harges réparties quelconques:
)u# ∆+ ⇒ ∆/
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J5>%
.
/
"
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Cours de Resistance des Matériaux Gros Œuvres 1ème Année ISTA (LAAYO!"#
Ite)ité l"cale *e la c-a#2e
⇒ .0+4 F∆∆
/
+ 0/"cti" *e +45
'qui/alence /ectorielle des charges réparties :
Su# ∆+ : c-a#2e ∆/ F .0+4 5 ∆+ 0F ai#e -ac-u#ée4
⇒ C-a#2e t"tale F ai#e t"tale *u *ia2#amme *e) c-a#2e)5
⇒ P")iti" *e la #é)ultate F au C*2 *u *ia2#amme5
0léments de réduction des "orces e/térieures#
' S"it ue p"ut#e i)")tati.ue
S
+
' Si " c"upe e S e)t .u" i)"le le m"#ceau *e 2auc-e 0elève le m"#ceau *e *#"ite45
⇒ Il e)t éce))ai#e *e #éta,li# lé.uili,#e *e ce m"#ceau e appli.uat )u# S le) e//"#t) )uivat) :
N : E//"#t )uivat la li2e m"ee
V : E//"#t pe#pe*iculai#e 6 la li2e m"ee5
@ : @"met aut"u# *e 5
⇒ N9 V9 @9 #emplacet le) acti") 6 *#"ite *e la c"upu#e5
⇒ O peut *i#e au))i .ue le) acti") 6 2auc-e *e la c"upu#e N9 V9 @ F %
1énition :
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page J
N F ∑ p#"8ecti") ! "+ *e) /"#ce) 6 2auc-e *e S
Ou '∑ p#"8ecti") ! "+ *e) /"#ce) 6 *#"ite *e S5
V F ∑ p#"8ecti") ! " *e) /"#ce) 6 2auc-e *e S
Ou '∑ p#"8ecti") ! " *e) /"#ce) 6 *#"ite *e S5
@ F '∑ @"met) ! " au c*2 *e S *e) /"#ce) 6 2auc-e *e S5
Ou ∑ @"met) ! " au c*2 *e S *e) /"#ce) 6 *#"ite *e S5
S
+
V
N@
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#emar$ue :
N9 V9 @9 )"t /"cti" *e + 0p")iti" *e la c"upu#e4 ⇒ ?ia2#amme N0+49 V0+4 et @0+4 le l"2 *e la
p"ut#e5
as particuliers :
1! N ≠ % V F % @ F % 0T#acti"9 c"mp#e))i" )imple4
$! N F % V F % @ ≠ % 0 4
! N F % V ≠ % @ F % 0 4
>! N F % V ≠ % @ ≠ % 0 4
B! N ≠ % V ≠ % @ ≠ % 0 4
.elations entre D? M et q
\ S"it u t#"" *e p"ut#e *é/iie ci'*e))"u) :
.0+4
'0@*@4
'0V*V4
V
@ *+
⇒ E.uili,#e *u t#"" :
∑ p#"8!" F %
V ' .0+45*+ ' V '*V F %
*V F .0+45*+
⇒ .0+4 F−*V
*+
∑ @t!" F %
@ ' V5*+ .0+4*+$
$ ' @ '*@ F %
' V5*+ F *@
V
*@
*+=
−
⇒ V F % ⇒ e+t#emum *e @
⇒. * @
*+=
$
$
Allure des diagrammes
C-a#2e c"cet#ée
C-a#2e
ui/"#mémet
#épa#tie
C-a#2e t#ia2ulai#e
p0+4 F p5+
V0+4
@0+4
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page &
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#emar$ue :
*@ F 'V*+ ⇒ ∫ ∫ −=1
%
1
%
x
x
x
x
&dxdM
⇒ [ ] ∫ −= x
x
&dx x
x M
1
%
1
%
⇒ dx x
x& M M ∫ −=− 1
%
%1
⇒ [ ] ∫ −= x
x
&dx x
x M
1
%
1
%
⇒ dx x
x& M M ∫ −=− 1
%
%1
Dia!ramme de NB4 5B4 MB M+tode de d+termination.
%a statique est supposée terminée
⇒ Sc-éma mécai.ue #éel 0 e pa) c"cet#e# le) c-a#2e) #épa#tie) 45
0/emple
Si +(/) ≠ G ( 4le/ion composée)
⇒ ?a) u p#emie# temp) : Kai#e $ )c-éma) mécai.ue)
U e e p#eat .ue le) p#"8ecti") ⊥ 6 la li2e m"ee *e la p"ut#e et le) c"uple) 0 K049 @t4
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page (
+% +1
m%
m1
⇒ @% F ai#e 6 *#"ite *e S *e le//"#t t#ac-at5 @1
R, K
Ra@c
L
,
a
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U e e p#eat .ue le) p#"8ecti") !! 6 la li2e m"ee 0K0+45
!é"inir les Cones pour chaque schéma 1 et
⇒ ?"e ue é.uati" et *"c ue allu#e *i//é#ete *a) c-a.ue "e5
.emarque C-a2emet *e "e .ua* :
p"u# N0+4 : ' C-a2emet *e tau+ *e c-a#2e e c"mp#e))i" "u t#acti"
' Rec"t#e ue /"#ce "#male 6 la p"ut#e5
p"u# V0+4 : ' C-a2emet *e tau+ *e c-a#2e ⊥ 6 la li2e m"ee
' Rec"t#e ue /"#ce ⊥ 6 la p"ut#e5
p"u# @0+4 : ' C-a2emet *e "e *e V0+4
' Rec"t#e u m"met appli.uée 6 la p"ut#e5
Tracé
Avec é.uati") Sa) é.uati")
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page
R,04 K04
Ra@c
R,0+4
K0+4
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'!emple de résultats
¢7 : Contrainte" de" 0outre" 8+cie"
?>0ot;"e".
P"ut#e c"mp"#tat u pla *e )mét#ie ve#tical5
Li2e) *7acti" *e) /"#ce) *a) ce pla *e )mét#ie
P"ut#e e /le+i" )imple 0NF% V≠% @≠%4
Contrainte" normae" due" @ MB.
S"it la p"ut#e )uivate #ep")at )u# *eu+ appui) )imple) et )"umi)e 6 la /le+i"5
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page >%
K
4 %
44
4
%%
%
5
*6
Mf
-
7 7
F8 + 2 F5
8
- F8 + 2
F8 9 +:
9
7
K
4 % K4 %
Pla *e )mét#ie
O
0S4
G
*+
S
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0tudions la section (S)
⇒ I)"le# u petit t#"" *e l"2ueu# *+5
?7ap#è) Navie# e#"ulli le) )ecti") *#"ite) #e)tet plae) pe*at la *é/"#mati"5
O c")tate *"c ue #"tati" *e la )ecti" 0S4 aut"u# *e G5
Le) all"2emet) "u le) #acc"u#ci))emet) )"t p#"p"#ti"el) 6 l7"#*"ée *e la /i,#e
c"##e)p"*ate5
P#e") ue /i,#e a,!! li2e m"ee
⇒ ,,F ∆+ F ' *α 0∆+ % .*5 *α %
E appli.uat la %oi de 9oo*e σ F ε E:
O *é*uit .ue le) c"t#aite) "#male) sont proportionnelles au/ dé"ormations
ε : ?é/"#mati" ε = ∆+
*+
E : m"*ule *e Y"u2 "u m"*ule *7éla)ticité l"2itu*ial5
⇒ σ F ε E F E : *
*+5 5−
α σ F ε E F −E :
*
*+5 5
α ⇒ σ e)t p#"p"#ti"elle 6
D+ormation".
;8poth0ses : O é2li2e li/luece *e V
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page >1
O
:
+
0S4
G
+∆
:
*+
, ,7a
*α
O
:
+
0S4
G
*+
σ*/
*):
'@@
-1
-$
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La )ecti" S état e é.uili,#e :
Le) /"#ce) élémetai#e) e+e#cée) )u# la )ecti" 0S4 0/"#ce) *e liai)")4 *"ivet é.uili,#e# le m"met
/léc-i))at @5
⇒ Calcul *u m"met #é)ultat 5@ tG! *e) e//"#t) )u# S :
@ tG! F ∫ ×*/ F ' @
*/ F σ *) et σ F Z
⇒ ∫ ×*/ F *) ×σ×∫ F *)*+*5E ×α−×∫ F 'E5
*
*+
α*)$×∫ F ' E5
*
*+
α IG^ F ' @
⇒ *
*+
@
E IG^
α=
5
<5pression de σ (ontrainte normale)
σ α
= −E : *
*+5 5
*
*+
@
E IG^
α=
5
Aec : σ04 F c"t#aite "#male 6 l"#*"ée et la,)ci))e + *e la p"ut#e5
"#*"ée *u p"it *e calcul *e σ5
@0+4 @"met /léc-i))at 6 la,)ci))e *u p"it *e calcul
ontraintes <5tr=mes
P"u# ",tei# le) c"t#aite) "#male) e+t#Dme) )"llicitat ue p"ut#e *"ée9 il )u//it *e p#e*#e
le) m"met) e+t#Dme) 0 @ma+4 et le) "#*"ée) e+t#Dme) *e la )ecti"5
Ki,#e )up 55555 σ)up FG^I 1-0ma+4@ ×−
Ki,#e i/ 55555 σi/ FG^I
$-0ma+4@ ×−
>tilisation de l?e5pression
a! Vé#i/icati" *ue )ecti" *"ée :
?"ée): @/ ma+i I!G^ σa*
⇒ Calcul *e σ et vé#i/ie σ σa*
,! C-"i+ *u p#"/ilé *u c"mme#ce :
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page >$
⇒ 7ontrainte de "le/ion σ04 FG^I
4+0@ ×−
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σ−≥ @
vIG^
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?"ée): @/ ma+i σa*
O veut : σ F − ×@
IG^
≤ σa*
P")") v F
⇒ σ F−
@
I
vG^ ⇒
avecI
v
G^ F ca#acté#i)ti.ue *u p#"/ilé 0*a) u ta,leau4
.emarque : .ua* le p#"/ilé e)t )mét#i.ue v-
=$
Exercice : Eta,li# la /"#mule *e σ0ma+4 p"u# ue )ecti" #ecta2ulai#e pleie e /"cti" *e , et -5
Contrainte" de ci"aiement on!itudina τdue" @ 5BB
Mise en é@idence :
S"it u empila2e *e plac-e) 0"u aut#e4 #ep")at )u# *eu+ appui) )imple) et )"umi)e) 6 *e la
/le+i"5
<5pression de τ:
S"it le t#"" *e p"ut#e *e l"2ueu# *+5 Su# ce t#"" étu*i") la p"#ti" i/é#ieu#e #ep#é)etée
pa# *e) -ac-u#e)5 L7é.uili,#e *e ce m"#ceau *e t#"" "u) pe#met *7éc#i#e :
∫ σ−"S
1*) ∫ σ"S
$*) ∫ τ−S
*) F % )i " peut c")i*é#e# )u# *+ .ue τ e)t c")tat
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page >
G
τ
+ G
*+
,
*)
1
σ 1*S
τ *) 1
$
τ $*)
σ $*S
S"
c"#*e
O #ema#.ue .ue le) plac-e) 2li))et
le) ue) )u# le) aut#e) ce .ui impli.ue
*e) c"t#aite) ⁄⁄ au pla *e 2li))emet
0 c"t#aite) ta2etielle) τ4
*é/"#mati"
⇒
τ⇒
τ⇒
τ⇒
τ⇒τ
⇒τ⇒
τ⇒
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∫ τS
*) F τ × , *+ )i e G1 le m"met /léc-i))at e)t é2al @/1
e G$ le m"met /léc-i))at e)t é2al @/ $
σ F@/
IG^
× ⇒ σ1 F
@
I
/
G^
1 × σ$ F
@
I
/
G^
$ ×
τ × , *+ F *)I
@
"SG^
$/
∫ ×
' *)I
@
"SG^
1/
∫ ×
F ∫ "S
G^
/ *)I
*@
"# ∫ "S
*) F @"met )tati.ue *e S" pa# #app"#t 6 G
τ F ,! I*+
GL! *@
GL
/
×µ×
− F ,5!I
G!V
G
µ×− )ac-at .ue l7e//"#t t#ac-at V F −*@
*+
/
τ : C"t#aite *e ci)aillemet l"2itu*ial au iveau *e la c"#*e 0c"upu#e /ictive4
V : e//"#t t#ac-at
µ!G : m"met )tati.ue !G *e la p"#ti" *e )ecti" )ituée au'*el6 *e
G!I : Ie#tie t"tale *e la )ecti" ! G
, : e)t la la#2eu# *e la c"upu#e /ictive5
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τ F ,5!I
G!V
G
µ×−
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¢19 : 6eion com0o"+e
D+=nition
U élémet e)t )"umi) 6 *e la /le+i" c"mp")ée9 )i état )"llicité e /le+i" )imple il e)t )"umi) e
plu) 6 u e//"#t "#mal5
Kle+i" c"mp")ée ⇒ 0N≠% V≠% @≠%4
Eem0e"
A#,alét#ie# *ue /e#me
P"ut#e icliée
P"teau *e p"#ti.ue
EtcQ
Contrainte" normae"
Pui).ue lélémet e /le+i" c"mp")é e)t )"umi) 6 @0+4 et 6 N0+4 le) c"t#aite) au#"t *eu+
"#i2ie)
" 0*ue 6 @0+44 FG^I
:5@− 0*ia2#amme t#ia2ulai#e4
+ 0*ue 6 N0+44 FS
N 0*ia2#amme #ecta2ulai#e4
E appli.uat le p#icipe *e )upe#p")iti" " peut éc#i#e :
>S
NG^I
:5@−
Le *ia2#amme *e) c"t#aite) 0 "u *e Navie#4 )u# ue )ecti" *"ée p"u##a Dt#e *é/ii e
a**iti"at le) *ia2#amme) *e " et +
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p
p
p
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4llures possi/les du diagramme
Valeu#) #elative) *e
σ/ et σ N?ia2#amme *u 6
N0+4 : σ N 04
?ia2#amme *u 6
@0+4 : σ/ 0 e -aut4?ia2#amme Ré)ultat
Nσ / σ
Nσ F / σ
Nσ
/ σ
.emarque 0/i,#e eut#e9 li2e m"ee4
Exercice
S"it ue )ecti" *ue p"ut#e e ,"i) *e -auteu# - F B% cm et *e la#2eu# , F 1% cm )"umi) 6 u
m"met /léc-i))at F B ZN5m et 6 u e//"#t "#mal N F B% ZN
1! T#ace# le *ia2#amme *e Navie# )u# cette )ecti" 0 p#éci)e le) valeu#) e+t#Dme)
$! ?éte#mie# e 0*i)tace et#e la /i,#e eut#e et la li2e m"ee e /"cti" *e N9 I! G^9 @ et S
! E *é*ui#e la valeu# *e e5
Contrainte" Tan!entiee"
Le) c"t#aite) ta2etielle) état e2e*#ée) .ue pa# la /le+i" 0V0+44
⇒ C"mme e /le+i" )imple
Ecentricit+ de car!e
S"it ue pièce )"umi)e ui.uemet 6 u e//"#t
"#mal N " appli.ué
au C5*5G *e la )ecti"9 mai) e+cet#é *ue valeu# e5
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page >J
τ F ,5!I
G!V
G
µ×−
lm lm lm
e
NG
-
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.emarque p"u# /ai#e la R*@ il /aut *éte#mie# le) élémet) *e #é*ucti" *e) c-a#2e) au C*G *e
la )ecti" 0t#a)/é#e# le) acti") e G45
C"clu)i" : Ue pièce c"mp#imée "u te*ue pa# ue /"#ce " appli.uée au C*G *e )a )ecti"9 e)t
)"llicitée e /le+i" c"mp")ée9 0N et @ F N5e4
P#",lème : ?éte#mie# *a) le ca) ci *e))u) le+cet#icité ma+i e e /"cti" *e - *e /a"
.uaucue *e) /i,#e) *u p"teau e )"it te*ue5
S"luti" : Il /aut Nσ H / σ ⇒ S
NG^I
:5@> avec F -!$ et I!G^ F
1$
,-
⇒S
N
1$
,-5$
-5@
>⇒
S N
5 ,-@J
$> "# @ F Ne ⇒
,- N
5 ,- NeJ
$> ⇒ e ≤
J- 0N"au cet#al4
Remar,ue
O e peut *éte#mie# ue p"ut#e e /le+i" c"mp")ée 0$ ic"ue) I!V et S p"u# ue é.uati" :σ ≤σ 45 O e peut *"c .ue la vé#i/ie#5
E p#ati.ue : c-"i)i# le p#"/ilé e /le+i" )imple 0é2li2e N0+44 pui) vé#i/ie# e /le+i" c"mp")ée5
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page >&
e
Ré*ucti"
e G
⇒
N@ FN5e
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A
p
N!ml
L
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¢11 : Le" 8;ce"
D+=nition
La /lèc-e *ue p"ut#e /léc-ie e)t la l"2ueu# *u *éplacemet *e )a li2e m"ee pa# #app"#t 6 )a
p")iti" t-é"#i.ue 0*#"ite4 )"u) le//et *e) c-a#2e) .ui lui )"t appli.uée)
6ormuaire
Le) é.uati") *e V0+4 0"té T ici4 et *e @0+4
Lé.uati" *e la *é/"#mée 0 /"cti" *e) appui) et *e) c-a#2e)4
Le) valeu#) pa#ticuliè#e) *e V0+49 @0+4 et la /lèc-e 0K ma+9 Q4
Utii"ation
Déri"ication d=un pro"ilé#
Ici le) ca#acté#i)ti.ue) *e la p"ut#e ai)i .ue )" c-a#2emet )"t c"u)
Il )u//it *e vé#i/ie# .ue la /lèc-e ma+i #e)te i/é#ieu#e 6 ue /lèc-e limite "u /lèc-e a*mi))i,le
Exemple : L!$%% Fp"#tée!$%%4
0/ercice
!étermination d=un pro"ilé & la "lèche#
C-"i)i# le p#"/ilé éce))ai#e et )u//i)at p"u# )ati)/ai#e la c"*iti" *e /lèc-e imp")ée5
1! ?"ée)
K"#mulai#e *e) /lèc-e)
Sc-éma mécai.ue *e la p"ut#e
Ta,leau *e p#"/ilé
Klèc-e a*mi))i,le
$! @ét-"*eEc#i#e .ue la /lèc-e 0/"cti" *e I!G^ 4 ≤ /lèc-e a*mi))i,le
⇒ S"#t I!G^ *e l7ié.uati"⇒choi/ du pro"ilé (dans le tableau)
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page >(
P
/lèc-e *é/"#mée
[ue)ti") 0)i p F B ZN!m et L F B m4
a! ?éte#mie# le p#"/ilé 6 la #é)i)tace
0σ≤σ )
,! ?éte#mie# )a /lèc-e ma+i5 0 E F $51
1%B_@pa4
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A
p
N!ml
L
A
p
N!ml
L
Cours de Resistance des Matériaux Gros Œuvres 1ème Année ISTA (LAAYO!"#
0/ercice
.ésoudre un problème h:perstatique
1! ?"ée)
K"#mulai#e *e) /lèc-e)
Sc-éma mécai.ue *e la p"ut#e : -pe# *e *e2#é 1
$! @ét-"*e
?éc"mp")e# le )c-éma mécai.ue e $ )c-éma) i)")tati.ue) *"t lu *e) *eu+ /ait appa#a;t#e ue#éacti" *appui5
Pui) éc#i#e .ue la )"mme *e) /lèc-e) au iveau *e cet appui F % ce .ui c")titue ue é.uati"
)upplémetai#e5 0pe#met *e *éte#mie# la #éacti" *appui4
0/ercice?éte#mie# R p"u# le )c-éma mécai.ue
)uivat
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page >
[ue)ti" 0)i p F B ZN!m et P F 1% ZN et
FB m4
E utili)at le p#icipe *e
)upe#p")iti"9 *éte#mie# le p#"/ilé
éce))ai#e et )u//i)at p"u# .ue la
/lèc-e ma+i #e)te i/é#ieu# 6 L!$%%
,! ?éte#mie# )a /lèc-e ma+i5 E F $51
$
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¢1% : <outre continue en )ETON ARME
'+n+rait+
O a #ema#.ué .ue utili)at le) mét-"*e) *e R5?5@ 0@ét-"*e) *e) /"#ce) T-é"#ème *e) t#"i)
m"met)4 p"u# le) p"ut#e) c"tiue) e 5A9 le) #é)ultat) ",teu) e c"`ci*aiet pa) avec la#éalité5
E pa#ticulie# le) m"met) )u# appui) )"t )u#e)timé)5 Cela viet *u /ait .ue le) mét-"*e) *e
R5?5@
Ne tieet pa) c"mpte *e la va#iati" *ie#tie *e la p"ut#e e ,ét" 0 ie#tie *i//é#ete e t#avée et )u# appui 4
Ne tiet pa) c"mpte *u ca#actè#e /luat *u ,ét"5
E)t t#"p pa#/aite pui).uelle tiet c"mpte *e) c-a#2e) )ituée) )u# *e) t#avée) él"i2ée) *e la t#avée c")i*é#ée9 al"#) .ue
le ,ét" am"#ti #api*emet le) e//et)5
Pa# c")é.uet p"u# le) p"ut#e) e 5A il e+i)te $ mét-"*e)
Méthode "or"aitaire Méthode 7aquot
.emarquesCalcul) evi)a2é) 6 lELU "u 6 lELS5
Ne c"ce#e .ue le) p"ut#e) a))"ciée) 6 u plac-e# "u *alle) calculée) e /le+i" *a) u )eul
)e)5
M+tode oraitaire. Art #./.%4%1 0a!e 1*7
!omaine d'utilisation 0 art10203.345a4 Applica,le au+ plac-e#) 6 c-a#2e) *7e+pl"itati" m"*é#ée: [ )"it G : c-a#2e) pe#maete)
Il /aut [ ≤ $G
Ou
[ ≤ B ZN!m$
,4 T#avée) aat mDme ie#tie5
c4 Le) p"#tée) )ucce))ive) )"t *a) u #app"#t c"mp#i) et#e %9( et 19$B5
*4 Ki))u#ati" peu ui)i,le5
Ce) .uat#e c"*iti") )"t impé#ative) p"u# utili)e# cette mét-"*e /"#/aitai#e *é/iie ci' ap#è)5
$rincipe de la méthode# art10203.344P#icipe *e la mét-"*e ,a)é )u# le p-é"mèe *a*aptati" *e) p"ut#e) e 5A
O évalue le) m"met) ma+i )u# appui) et e t#avée) e /"cti" *u m"met *e /le+i" ma+i @" *e
la t#avée i)" a))"ciée 0avec le mDme c-a#2emet45 Le) m"met) c"##e)p"*et 6 ue /#acti" *e @"
@t F Zt + @" @t m"met e t#avée
@a F Za + @" @a m"met )u# appui
Le) c"e//iciet) Zt et Za )"t c-"i)i) /"#/aitai#emet *a) le) pla2e) *é/iie) au $5
1émonstration
S"it la p"ut#e )u# appui) )imple)
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page B%
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A
o
$
$
A"
Cours de Resistance des Matériaux Gros Œuvres 1ème Année ISTA (LAAYO!"#
@% F PL!> ⇒A%
S"it la mDme p"ut#e eca)t#ée 6 c-a.ue e+t#émité avec ui.uemet *e) acie#) i/é#ieu#)
Ap#è) /i))u#ati" : ⇒ Ca) 1
Ec"#e @" ⇒ A%
S"it ec"#e la mDme p"ut#e eca)t#ée 6 c-a.ue e+t#émité mai) avec ui.uemet *e)
acie#) e c-apeau
Ap#è) /i))u#ati" :
@ ma+F P!$ + L!$ FPL!> F @" ⇒
A%
onclusion
[uelle .ue )"it la p")iti" *e) acie#) p"u# ue p"ut#e ,i'eca)t#ée9 la )ecti" *acie# éce))ai#e e)t
la mDme et c"##e)p"* 6 la )ecti" ",teue p"u# ue p"ut#e i)"5
Il )u//i#a *"c *e #épa#ti# cette )ecti" A" 0lé2è#emet ma8"#ée pa# )écu#ité4 *a) la p"ut#e *e /a"
6 évite# le) /i))u#e)5
Avec : A"$
AeAAt ≥+
+
O# A e)t p#"p"#ti"elle 6 @ ⇒
Avec ue )écu#ité @"5Z $
@e@@t ≥++
!étermination des moments en traées et sur appuis !nnexes E pa-e 231
N"tati" *e) m"met) e valeu#) a,)"lue)
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page B1
$
A o
P!$ P!$
A Ae
At
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Cours de Resistance des Matériaux Gros Œuvres 1ème Année ISTA (LAAYO!"#
@: m"met *e /le+i" )u# l7appui *e 2auc-e 06 l7Oue)t4
@e: m"met *e /le+i" )u# l7appui *e *#"ite 06 E)t4
@t: m"met *e /le+i" ma+imal *a) la t#avée
@": m"met *e /le+i" ma+imal *a) la t#avée i)" a))"ciée
(
pl@"
$
= @" F p"u# ue c-a#2e ui/"#mémet #épa#tie
Le) valeu#) *e @t9 @9 et @e *"ivet vé#i/ie# le) c"*iti") )uivate) :
@"459%1%B91ma+0$
@e@@t α+≥+
+
[G
[
+=α [ : c-a#2e *7e+pl"itati" " p"*é#ée
G : c-a#2e pe#maete " p"*é#ée
@"5$
49%10@t
α+≥ p"u# ue t#avée ite#mé*iai#e
@"5$
49%$910@t
α+≥ p"u# ue t#avée *e #ive
Le) m"met) )u# appui) ite#mé*iai#e) e )"t pa) i/é#ieu#) 6:
'p"u# ue p"ut#e 6 *eu+ t#avée)
5 'p"u# ue p"ut#e 6 plu) *e *eu+ t#avée)
?e pa#t et *aut#e *e c-a.ue appui ite#mé*iai#e9 " #etiet la plu) 2#a*e valeu# *e) m"met) )u#
appui) 02auc-e "u *#"ite45
0aluation des e""orts tranchants
' S"it e calculat le) e//"#t) t#ac-at) e teat c"mpte *e) m"met) )u# appui)5
' S"it e appli.uat ue p"*é#ati" /"#/aitai#e5
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%ongueur des chapeau/ et arrts des barres in"érieures du second lit#
Ca) 2éé#al: " t#ace le) c"u#,e) evel"ppe) et l7" *éte#mie l7épu#e *7a##Dt *e) ,a##e) 0 *écala2e
*e %9 * l"2ueu# *7ac#a2e 45
T"ute/"i) )i [ ≤ G et )i le) c-a#2e) )"t ui/"#mémet #épa#tie) " peut a*"pte# la *i)p")iti"
)uivate :
avec L7 F @a+ 4L)>$L
>1L0 )i t#avée *e #ive
L7 F @a+ ' 4L)B$L
B1L0 )i t#avée ite#mé*iai#e
L b F @a+ 0 4L)$7L0 L) : l"2ueu# *e )cellemet
M+tode CA(UOT
!omaine d'application# art 10203.335
S7appli.ue au+ p"ut#e)9 p"ut#elle)9 a))"ciée) 6 *e) plac-e#) *e c")t#ucti") i*u)t#ielle)9 c7e)t 6*i#e 6 c-a#2e) *7e+pl"itati" #elativemet élevée)5
[ $G "u [ B ZN!m$
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$rincipe de la méthode# art10203.334
@ét-"*e *e c"tiuité )impli/iée *ue 6 Al,e#t CA[UOT :
Cette mét-"*e e)t *é#ivée *u t-é"#ème des trois moments. mais a/ec certains austements. propre
au! poutres en 10A0(cf0 : &énéralités)
Elle pe#met *"c *e *éte#mie# le) moments sur chaque appui 9 e e c")i*é#at9 "tammet9 .ue
le) *eu+ t#avée) a*8acete) et leu# c-a#2emet5
Méthode 7aquot#
!nnexe E2
4ppli$uée poutres à moments d'inertie égau5 dans les diAérentes tra@ées etnon solidaires des poteau5 Annexe E2,2
Moment sur appui
@"met )u# appui A p"u# *e) c-a#2e) ui/"#mémet #épa#tie)5 0l F Cte 4
47L7L0B5(
7L p7L p
@ e
ee
A
+
×+×= IF Cte
avec %' > % )i c7e)t ue t#avée *e #ive
avec %' > G?J % *a) le) aut#e) ca)5
@"met )u# appui A p"u# *e) c-a#2e) p"ctuelle)5 0 l F Cte 4
et e )"t lu) )u# u ta,leau p"u# ue valeu# *e 'et 'v"i# AEL !nnexe E#2#2. 1
e
$eee
e
$
A7L7L7LP
7L7L7LP
@+
××+
+
××=
KL et Ke )"t lu) *a) u ta,leau p"u# ue valeu# *e7L
a ete7L
, /oir !E, !nnexe E#2#2.1
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7ourbes eneloppes des M(/) art B#3#? et art B#3#1?1
+as de charge
P"u# c")t#ui#e la c"u#,e evel"ppe *e) m"met) "u mDme *éte#mie# le) m"met) e+t#Dme)9 il e)t
éce))ai#e *e c")i*é#e# cas *e c-a#2e *i//é#et) :
as !
⇒ @"met) ma+i) )u# appui5
⇒ *ection des aciers sur appuis
as 2
⇒ @"met) ma+i) p"u# le) t#avée) impai#e)5⇒ *ection des aciers dans les tra/ées impaires5
⇒ @"met) ma+i) p"u# le) t#avée) pai#e)5
⇒*ection des aciers dans les tra/ées paires5
as 3
⇒ @"met) ma+i) p"u# le) t#avée) impai#e)
⇒ ,on-ueurs des c%apeaux dans les tra/ées paires
⇒ @"met) ma+i) p"u# le) t#avée) pai#e)
⇒L"2ueu#) *e) c-apeau+ *a) le) t#avée) impai#e)
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1#g 1#q
1#g 1#q(traées impaires)
1#g 1#q(traées paires)
g 1# q(traées impaires)
g 1#q(traées paires)
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,ésultat
"racé d’une cour6e en/eloppe
O peut evi)a2e# *eu+ @ét-"*e)
Méthode théori$ue (é$uation de M(5) et calculette )
@0+4 F'0@'R A5+ p5+$!$4 Avec RA F pL!$ 'L
@e@−
⇒
@0+4 F$
p++5
$
pL+5
L@e@@
$
−+−−−
⇒
@0+4 F @+45L
@e@$
pL0
$
p+$
−−−+− 0é.uati" 6 #et#e# *a) la calculette4
Le) @"met) "t u )i2e5
Méthode graphi$ue?
Létu*e *ue t#avée *ue p"ut#e c"tiue peut )e *éc"mp")e# e $ ca) *e ,a)e :
@"met )u# appui) )eul)
C-a#2emet i)"
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page BJ
7as
7as
7as 1
G#J
h G#J
h
G#J
hG#J
h
7ourbe eneloppe décalée de G#Jh
p
@ M
e
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@t >
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⇒ T#ace#
)u# la t#avée c")i*é#ée la li2e *e /e#metu#e 6 pa#ti# *e) m"met) )u# appui
pui) le m"met i)" )eul et e/i /ai#e l’addition des deu! diagrammes
.emarque : p"u# t#ace# la pa#a,"le c"##e)p"*at au ca) i)" *ue c-a#2e ui/"#mémet #épa#tie9 il
)u//it *e calcule# le) valeu#) *e) m"met) t"u) le) %51L
O# @0+4 F pl!$5+'p+$!$
⇒@0%51L4 F(
pLJ5% pL%H5%4L%15%L15%0
$
p$
$$$ ==− F%5J@"
@0%5$L4F %5J>@" @0%5L4F %5(>@"
@0%5>L4F %5J@"
Détermination de Mma!
$récis
O# @0+4 F'0@'R A5+ p5+$!$4
Et @ e)t ma+i .ua* V0+4 F%
O# V0+4 F'RA p+!$ Avec RA F pL!$ 'L
@e@− )i2e *e) m"met)
⇒(o) > pRA
0valeu# 6 #et#e# *a) le+p#e))i" *e @0+44
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page B&
Li2e *e /e#metu#e
@$@1
Ca) *ue c-a#2e
ui/"#mémet #épa#tie Ca) *ue c-a#2e p"ctuelle
@$@1
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7alcul de Du ma/ (0""ort Tranchant) Anne!e '0303.7
'!pression de *
Le) e//"#t) t#ac-at) *7appui )"t calculé) pa# la mét-"*e 2éé#ale au+ p"ut#e) c"tiue) e /ai)at
état *e) m"met) *e c"tiuité5
I)"l") ue t#avée *ue p"ut#e c"tiue
V0A'4 F 'R A
V0A'4 F '0R Ai)" L
@'L@$
4
⇒V0A'4 F 'R Ai)" 'L@@ $A
−
V0'A4 F R
⇒V0'A4 F R Ai)" '
L
@@ $A−
K"#mule 2éé#ale V0+4 F Vi)" 'L
@@ $A−
avec Vi)" e//"#t t#ac-at *e la p"ut#e i)")tati.ue
+as à considérer
P"u# ",tei# le//"#t t#ac-at )u# c-a.ue appui il )u//it *e c-a#2e# au ma+imum le) t#avée)
a*8acete) 6 celui'ci :
4ppui de ri@e
4ppui intermédiaire
Etc55
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page B(
p
@$
M
A
A
p
M
A
@$
A
1#g 1#q
(traées de rie)
1#g 1#q
de part et d=autre de l=appuiconsidéré
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M+tode CA(UOT minor+e.
?a) le ca) "W l7ue *e) t#"i) c"*iti") c"mplémetai#e) 6 celle *u c-a#2emet e )e#ait pa)
)ati)/aite9 " *"it appli.ue# la mét-"*e CA[UOT et il e)t a*mi))i,le *e mi"#e# le) m"met) )u#
appui) *u) au+ )eule) c-a#2e) pe#maete) pa# u c"e//iciet c"mp#i) et#e 1 et $! le) valeu#) *e)
m"met) e t#avée )"t ma8"#ée) e c")é.uece
ContrGe de #+ton
@ét-"*e K"#/aitai#e et mét-"*e Ca.u"t 5
!5++00S
S"it la p"ut#e c"tiue *é/iie ci'*e))"u)
A B 7 !
q > () *+,ml
3#GG 3#GG 3#GG
g > 1) *+,ml
La /i))u#ati" e)t 8u2ée peu p#é8u*icia,le5
N80STI5+S
I! @ét-"*e /"#/aitai#e
1! @tA état e)timé 6 %5> @"9 *éte#mie# t"u) le) m"met) miimau+ #é2lemetai#e) )u# appui) et
e t#avée e utili)at la mét-"*e /"#/aitai#e5
$! E *é*ui#e l7allu#e *u *ia2#amme *e @0+4 e p#éci)at le) valeu#) pa#ticuliè#e)5
II! @ét-"*e Ca.u"t1! E e c")i*é#at .ue le) ca) *e c-a#2e *"at le) m"met) ma+imau+ e t#avée9 *éte#mie#
ce) m"met)5
$! T#ace# p"u# ce) ca) *e c-a#2e9 et *e /a" p#éci)e9 le *ia2#amme *e @0+4 p"u# le) t#avée) A et
C?5
Concu"ion
O utili)e la résistance des matériaux avat t"ut p"u# c"cev"i# le) élémet) *e c")t#ucti" et
vé#i/ie# leu# #é)i)tace et leu# *é/"#mati"5 [uel.ue) #api*e) calcul) peuvet Dt#e meé) /acilemet
)i " )e limite 6 la poutre plan mo'en9 c7e)t'6'*i#e u ",8et *e 2#a*e l"2ueu# pa# #app"#t 6 )a)ecti" et *"té *7u pla *e )mét#ie 0pla m"e45 O appli.ue al"#) 6 ce) p"ut#e)9 le) *i//é#ete)
)"llicitati") tel) .ue :
Tpe C"mmetai#e E+emple
T#acti"All"2emet l"2itu*ial9 " tire *e c-a.ue
c]téC3,le *e #em"#.ua2e
C"mp#e))i" Racc"u#ci))emet9 " appuie *e c-a.ue c]té"au *7ue t"u# e a,)ece *e
vet
Ci)aillemet Gli))emet #elati/ *e) )ecti") tect"i.ue *e) pla.ue)
T"#)i" R"tati" pa# 2li))emet #elati/ *e) )ecti") a#,#e *e t#a)mi))i" *7u
Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page B
7/21/2019 Cours de La RDM_abdel
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*#"ite) m"teu#
Kle+i" )impleKléc-i))emet )a) all"2emet *e) /i,#e)
c"teue) *a) le pla m"e plac-e *e pl"2e"i#
Kle+i" pu#e "u
ci#culai#e
Kléc-i))emet )a) e//"#t t#ac-at *a)
ce#taie) "e)
pa#tie *e p"ut#e et#e *eu+
c-a#2e) c"cet#ée)
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