Cours de La RDM_abdel

7/21/2019 Cours de La RDM_abdel

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Ofcede la

Formation Proessionnelle et de la Promotion du T ravail

DIRECTION RECHERCHE ET INGÉNIERIE DE FORMTION

Institut Spécialisé de Technologie Appliquée (ISTA)

S ECTEUR : BTP S PÉCIALITÉ : TECHNICIEN SPECIALISE GROS

OEUVREN IVEAU : 1ER ANNÉE T ECHNICIEN SPECIALISE

RÉALISE PAR :

ABDELOUAHID EL ATMIOUI INGÉNIEUR .BÂT.GENIE CIVIL

MOD!"E #$NOTIONS DE

RESISTANCE DESMATERIAUX

http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Cylindrical_coordinates2.svg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Riemann_sphere1.jpg



Cours de Resistance des Matériaux Gros Œuvres 1ème Année ISTA (LAAYO!"#

I.S.T.A LAAYOUNE Spécialité : TS GROS ŒUVRE

Niveau : TECHNICIEN SPECIALISE

1èmeAée !Aée Sc"lai#e $%%&'$%%(

Ce c"u#) e)t #éali)é p"u# #ép"*#e au+ ,e)"i) )uivat) :

PRECISIONS SUR LECOMPORTEMENT ATTENDU

A-Déterminer les forces etles moments

B- . Déterminer lescaractéristiques

géométriques dessections

C- Calculer les contraintescorrespondantes aux

différentes sollicitationssimples

CRITERES PARTICULIERS DEPERFORMANCE

• Connaissance parfaite des

caractéristiques d’une force

• Calcul exact du moment d’uneforce par rapport à un point


différentes charges et appuisusuels


conditions analytiquesd’équilibre statique et calculexact des réactions d’appuis

• Calcul exact du centre de

graité

• Calcul exact du moment

d’inertie par rapport aux axesneutres

• Calcul exact des contraintes de

traction et de compression• Calcul exact des contraintes de

flambage

• Calcul exact des contraintes de

flexion

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page $




Introduction

La résistance des matériaux : e)t ue ,#ac-e *e la mécai.ue *e) milieu+ c"tiu) a*aptée au+

*é/"#mati") *e) )t#uctu#e) 0mac-ie) 2éie mécai.ue "u ,3timet) 2éie civil45

Cette )ciece pe#met *e #amee# la l"i *e comportement global d'une structure 0#elati" et#e

sollicitations'/"#ce) "u c"uple' et *éplacemet)4 6 ue loi de comportement locale *e) maté#iau+

0#elati" et#e c"t#aite) et *é/"#mati")45 L7",8ecti/ état le *ime)i"emet *e la )t#uctu#e

)uivat u c#itè#e *e #é)i)tace "u *e *éplacemet a*mi))i,le5

Sel" l7ite)ité *e la c"t#aite9 il a *7a,"#* déformation élastique 0l"#).ue la )"llicitati"

*i)pa#a;t9 le maté#iau #ep#e* )a /"#me et )a p")iti" iitiale4 pui) déformation plastique 0l"#).ue la)"llicitati" *i)pa#a;t9 ue ce#taie *é/"#mati" )u,)i)te4 et e/i rupture l"#).ue le) limite)

it#i)è.ue) *u maté#iau )"t *épa))ée)5

Historiquement : le P#emie# c"u#) *e Résistance des Matériaux *"é pa# Au2u)t <=-le# 6

l7Uive#)ité *e G=tti2e e 1(>$5

Le calcul *e R?@ e)t vali*e *a) u *"maie limité pa# le) -p"t-è)e) )uivate) :

La matiè#e e)t :

• élastique 0pa) *e pla)ti/icati"49• linéaire 0pa) *e "'liéa#ité49

• homogène 0pa) *e va#iati" *e c"mp"#temet *a) le maté#iau49

• isotrope 0pa) *e va#iati" *e c"mp"#temet )uivat la *i#ecti"45

Le p#",lème e)t :

• iso-statique 0pièce e é.uili,#e ciémati.ue49

• e petits déplacements 0pa) *e 2#a* *éplacemet49

• quasi-statique 0pa) *7e//et *ami.ue49

• quasi-isotherme 0pa) *e c-a2emet *e tempé#atu#e45

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http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_des_milieux_continus

http://fr.wikipedia.org/wiki/Machine

http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nie_m%C3%A9canique

http://fr.wikipedia.org/wiki/B%C3%A2timent_(construction)

http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nie_civil


http://fr.wikipedia.org/wiki/Force_(physique)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Couple_(physique)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mat%C3%A9riaux


http://fr.wikipedia.org/wiki/Contrainte

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9formation

http://fr.wikipedia.org/wiki/August_W%C3%B6hler


http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6ttingen


http://fr.wikipedia.org/wiki/1842

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_des_milieux_continus

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Sommaire Pa2e

Introduction

¢1 : Car!e" Com#inai"on d$action"Définitions

Les actions mécaniques ou charges.

¢% : ETUDE DES LIAISONSPrésentationEffort Transmissible Par Une LiaisonNombre d’inconnues induites ar les liaisonsExemles de différents t!es d’auis de outre

¢& : CONDITIONS 'ENERALES DE L$E(UILI)REH!oth"sesNotion d’action mécanique de liaison extérieure et intérieure # un s!st"me donne $Enoncé du rincie %ondamental de la statique &P.%.'($

)as articuliers $*ésolution d+un robl"me de statique $,éthode De *ésolution Des Probl"mes De 'tatiqueLe Degré H!erstatiqueEquilibre D’un '!st"me *éticulé

¢* : Caract+ri"ti,ue" de" "e""ion")entre De -raite,oment 'tatique,oment quadratique,oment quadratique olaire

¢- : RDM : '+n+rait+"/ut de la *D,.H!oth"ses de la *D,.Notion de contrainte.*éartition uniforme des contraintes &sur une section(

¢/ : Traction "im0e et com0re""ion "im0eDéfinitions.Essai de traction

)oefficient de Poisson $ υ

¢ : Ci"aiement "im0eDéfinitions.)ontrainte de cisaillement &En cisaillement simle(.Equation de déformation)alcul ratique

¢2 : E3ort Norma N4 E3ort Trancant 54 Moment6+ci""ant M

-énéralitésDiagramme de N&x(0 1&x(0 ,&x( ,éthode de détermination.

¢7 : Contrainte" de" 0outre" 8+cie"H!oth"ses.

)ontraintes normales σ &dues # ,&x(.

03

05

08

12

20

26

28

31

33

37

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page >




Déformations.

)ontraintes de cisaillement longitudinal τ &dues # 1&x((

¢19 : 6eion com0o"+eDéfinitionExemles

)ontraintes normales σ )ontraintes TangentiellesExcentricité de charge

¢11 : Le" 8;ce"Définition%ormulaireUtilisation

¢1% : <outre continue en )ETON ARME-énéralité,éthode forfaitaire. 2rt b.3.4045 age 567,éthode )28U9T ,éthode )28U9T minorée.)ontr:le de béton

Concu"ion

/ibliograhique ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

• 2ide mémoire *ésistance des matériaux

• )ours de résistance des matériaux

• ,écanique

• ,atériau

• 'tatique du solide

• ,écanique statique

41

44

46

56

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http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mat%C3%A9riau

http://fr.wikipedia.org/wiki/Statique_du_solide

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_statique

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique

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¢1 : D+cente de car!e" Com#inai"on d$action"

D+=nition"

Buts de la Mécanique

' Etu*ie# l7é.uili,#e *e) )"li*e) 0)tati.ue4 "u le m"uvemet 0*ami.ue4

' ?éte#mie# u état *e c"t#aite et u état *e *é/"#mati" e t"ut p"it *e la matiè#e 0R5*5@4

!é"inition du solide en statique#

E )tati.ue9 u )"li*e e)t u c"#p) :

H"m"2èe : la ma))e e)t #épa#tie *e /a" -"m"2èe )u# t"ut le v"lume5

Gé"mét#i.uemet pa#/ait : le) *é/aut) *e /"#me e )"t pa) p#i) e c"mpte *a) la )c-émati)ati" *u )"li*e5

I*é/"#ma,le : " e tiet pa) c"mpte *e) *é/"#mati") *u )"li*e )"umi) 6 u e//"#t5

I)"t#"pe : le )"li*e a le) mDme) ca#acté#i)ti.ue) mécai.ue) *a) t"ute) le) *i#ecti")5

$rincipe des actions mutuelles

P"u# *eu+ )"li*e) % et 1 e c"tact9 lacti" e+e#cée

pa# le )"li*e % )u# le )"li*e 1 e)t é2ale et "pp")ée 6

lacti" e+e#cée pa# le )"li*e 1 )u# le )"li*e %5

Le" action" m+cani,ue" oucar!e".

Le) acti") mécai.ue) #ep#é)etet le) e//"#t) e+e#cé) )u# *e) )"li*e) "u et#e )"li*e)5 Ce) acti")mécai.ue) )"t )c-émati)ée) "u m"*éli)ée) pa# *e) /"#ce) et *e) m"met)5

Il e+i)te *eu+ tpe) *acti") mécai.ue) :

Le) acti") 6 *i)tace

Le) acti") *e c"tact

%es actions mécaniques & distance

O )e limite#a au p"i*) *u )"li*e 0e//et *e la 2#avité45

Le p"i*) e)t #ep#é)eté pa# u vecteu# P :P"it *applicati" : cet#e *e 2#avité G

?i#ecti" : ve#ticale

Se) : ve#) le ,a)

Ite)ité : P F @2 0N4

@ : ma))e e 2

2 F 9(1 m!) : accélé#ati" *e la pe)ateu#

"u att#acti" te##e)t#e

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P




?a) le *"maie *u Géie Civil9 " p#e*#a :

o p"u# u )"li*e e )u#/ace 0plac-e#4 : le p"i*) )u#/aci.ue 0#elati/ 6 ue )u#/ace4 N!m

o p"u# u )"li*e e l"2ueu# 0p"ut#e4 : le p"i*) liéai#e 0#elati/ 6 ue l"2ueu#4 N!m

Exemple

?éte#mie# le p"i*) )u#/aci.ue *u plac-e# *e 1( cm *épai))eu#5

?éte#mie# le p"i*) liéai#e *ue p"ut#e *e )ecti" B%+$% cm5!onnées $oids olumique du béton armé *+,m

%es actions mécaniques de contact

Actions de contact ponctuelles (charges concentrées)

Si *eu+ )"li*e) )"t e c"tact e u p"it "u )u# ue t#è) petite )u#/ace9 lacti" *e c"tact e)t

#ep#é)etée pa# u vecteu# /"#ce *"t le p"it *applicati" e)t le p"it *e c"tact5

Exemple !ppui d"une poutre sur une poutre#

Uité : N

Actions de contact linéiques (charges réparties)

Si *eu+ )"li*e) )"t e c"tact )uivat ue li2e9 lacti" e)t )c-émati)ée pa# u vecteu# /"#ce .

appli.ué )u# t"ute la li2e *e c"tact5

Exemple $loison sur planc%er#

Uité : N!ml

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.

1

$

K$!1




Actions de contact ou charges réparties sur une surface

Exemple &ent sur mur#

Vet

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page (

)c-émati.uemet




¢% : ETUDE DES LIAISONS

<RESENTATION

?a) le ,3timet9 le) liai)") et#e )"li*e) )e #amèet 6 t#"i) /amille) p#icipale) :

Appui )imple9 a#ticulati" "u piv"t et eca)t#emet5

C-a.ue /amille peut )upp"#te# "u t#a)mett#e *e) e//"#t) *i//é#et)5

E66ORT TRANSMISSI)LE <AR UNE LIAISON

Lacti" e+e#cée pa# le) )u#/ace) *e liai)" *e) )"li*e) 0% et 14 e c"tact e)t )c-émati)ée pa# ue

#é)ultate S 0c""#*"ée) S+ et S 4 et u m"met évetuel @5

Tpe *e liai)" Acti") *e c"tact et#e

% et 1 E+emple)

Appui )imple

01 ic"ue4

A#ticulati" "u

Piv"t

0$ ic"ue)4

Eca)t#emet

0 ic"ue)4

Plus généralement

Suivat la atu#e *e la liai)" et#e *eu+ )"li*e)9 le) )i+ c""#*"ée) S+9 S9 55555555@9 *u t"#)eu#

peuvet Dt#e ulle) "u "5 0@"uvemet) p"))i,le) "u "45

⇒ Le)em,le *e) c""#*"ée) " ulle) ca#acté#i)et le//"#t t#a)mi))i,le pa# la liai)"5 0Pa#

c")é.uet ue c""#*"ée ulle )i2i/ie .ue le m"uvemet c"##e)p"*at et li,#e et#e le) *eu+

)"li*e)4

⇒ Le "m,#e *e *e2#é *e li,e#té c"##e)p"* au "m,#e *e) c"mp")ate) ulle) *u t"#)eu# a))"cié5

.emarque :

' La )"mme *e) e//"#t) t#a)mi))i,le) et *e) *e2#é) *e li,e#té e)t é2ale 6 J *a) le)pace et 6

*ime)i") *a) le pla 0"m,#e *e c""#*"ée) *u t"#)eu#45

' Si le "m,#e *e//"#t) t#a)mi))i,le)↑9 le "m,#e *e) *e2#é) *e li,e#té↓5' Le) e//"#t) t#a)mi))i,le) pa# ue liai)" c"##e)p"*et 2éé#alemet au+ acti") c-e#c-ée) e

)tati.ue F "m,#e *ic"ue) *e )tati.ue5





Liai)") Sc-éma@vt5 #elati/)

*e li,e#té

T"#)eu# *e)

ite#acti")

E+emple) *a)

le ,3timet

Eca)t#emet

% T#a)lati"

% R"tati"

⇒ % M* *e li,e#té

S+ @+

S @

S @

A#ticulati"

0piv"t4

% T#a)lati"

1 R"tati"

⇒ 1 M* *e li,e#té

S+ %

S @

S @

Appui )imple

0p"ctuel4

0)uivat 4

$ T#a)lati")

R"tati")

⇒ B M* *e li,e#té

% %

% %

S %

Appui pla

$ T#a)lati")

1 R"tati"

⇒ M* *e li,e#té

% @+

% @S %

Nom#re d$inconnue" induite" 0ar e" iai"on"

Dans l’espace :

Appui )imple → 1 ic"ue : S5

Ite)ité *e S ic"ue

*i#ecti" c"ue ⊥ au pla *e c"tact5

A#ticulati" → B ic"ue)

Eca)t#emet → J ic"ue)

Dans le plan :

Appui )imple → 1 ic"ue : S5

Ite)ité *e S ic"ue

*i#ecti" c"ue ⊥ au pla *e c"tact5

A#ticulati" → $ ic"ue) : *i#ecti" et ite)ité *e S 0F S+9 S4 0@ F %4

Eca)t#emet → ic"ue) : *i#ecti" et ite)ité *e S 0F S+9 S4 et ite)ité *e @

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Eem0e" de di3+rent" t>0e" d$a00ui" de 0outre

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A

C

? E

$

1

K


¢& : CONDITIONS 'ENERALES DE L$E(UILI)RE

?>0ot;"e"

T"u) le) c"#p) étu*ié) )"t i*é/"#ma,le)5

Le) c""#*"ée) *7u p"it .uelc".ue )"t c")tate)5Le) )upp"#t) *e) /"#ce) )"t iva#ia,le)5

)ut :

O veut *éte#mie# le) actions e/térieures a2i))at )u# u ))tème9 *a) le ,ut ulté#ieu#

*appli.ue# la R5*5@5

U ))tème état c"mp")é *u )"li*e ui.ue "u *u e)em,le *e )"li*e)5

Notion d$action m+cani,ue de iai"on et+rieure et int+rieure @

un ">"t;me donn+ :

Géé#alité) :

' A c-a.ue liai)" )e+e#cet *e) acti") mécai.ue) 0K"#ce) et m"met)4 *ite) *e liai)"9

c"##e)p"*at 6 lacti" *ue ,a##e )u# ue aut#e 0plu) 2éé#alemet *u ))tème )u# u aut#e au

iveau *e cette liai)"45

' Ce) acti") mécai.ue) )"t *ite) :

E+té#ieu#e) au ))tème l"#).uelle) #emplacet lacti" *ue liai)" .ue l" viet *e

c"upe# p"u# i)"le# ce ))tème5

Ité#ieu#e) au ))tème .ua* la liai)" a pa) été c"upée5

0/emple S"it le ))tème 0p"tece4 m"*éli)é ci'*e))"u) c"mp")é *e plu)ieu#) )"li*e) 0CEF CAF1 ?F$4

Cette p"tece e)t )cellée 0Eca)t#ée4 *a) le )"l5

?"e :

a! Au m"i) $ acti") e+té#ieu#e) au ))tème P"tece 01$4

,! Au m"i) $ acti") ité#ieu#e) au ))tème P"tece 01$4

c! Au m"i) acti") e+té#ieu#e) au ))tème 1

,! Au m"i) $ acti") ité#ieu#e) au ))tème 1

Enonc+ du 0rinci0e 6ondamenta de a "tati,ue <.6.SB:

P"u# .u7u )"li*e )"it e é.uili,#e 0)tati.ue4 il /aut .u7il e )u,i))e aucu *éplacemet :

Pa) *e t#a)lati" 0*a) 7imp"#te .uelle *i#ecti"45

Pa) *e #"tati"

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page 1$




?"c u )"li*e i*é/"#ma,le e é.uili,#e )"u) lacti" *e /"#ce) e+té#ieu#e) 0K 19K$9Q59K4 #e)te e

é.uili,#e )i :

la )"mme vect"#ielle S *e t"ute) le) /"#ce) e+té#ieu#e) e)t ulle 0pa) *e t#a)lati"4

∑Ke+t F K1 K$ Q55K F%

E p#"8ecti" )u# + et : $é.uati")

∑K+ F K1+K$+QQ5K+F% 014

∑K F K1K$QQ55KF% 0$4

Le m"met #é)ultat @I e imp"#te .uel p"it I *e t"ute) le) /"#ce) e+té#ieu#e) e)t ul 0Pa) *e #"tati"45

∑@I0Ke+t4 F @I0K14 @I0K$45555555 @I0K4 F% 04

?a) le pla :

1, ∑ K0+4 F %

, ∑ K04 F %, ∑ @04 F %

é.uati") *e la )tati.ue ⇒ ic"ue)5

?a) l7e)pace :

1, ∑ K0+4 F % 2, ∑ @0+4 F %

, ∑ K04 F % , ∑ @04 F %

, ∑ K04 F % 3, ∑ @04 F %

J é.uati") *e la )tati.ue ⇒ J ic"ue)5

Ca" 0articuier" :

Solide soumis à l'action de 2 forcesU )"li*e )"umi) 6 $ /"#ce) e)t e é.uili,#e )i le) $ /"#ce)

)"t *i#ectemet "pp")ée) :


F

-F




Solide soumis à l'action de 3 forces(dans le plan:)

U )"li*e )"umi) 6 /"#ce) e)t e é.uili,#e )i:

Le) /"#ce) )"t c"c"u#ate)5

La *ami.ue *e) /"#ce) e)t /e#mée5

R+"oution dun 0ro#;me de "tati,ue :

P"u# #é)"u*#e u p#",lème *e )tati.ue : étape) )"t éce))ai#e)

0tablir le schéma mécanique

U )c-éma mécai.ue e)t u )c-éma m"*éli)é 0)impli/ié4 *e la )t#uctu#e )u# le.uel )eule)appa#ai))et le) /"#ce) e+té#ieu#e) a2i))at *i#ectemet )u# le ))tème5

Méthodologie :

Modéliser le système :

C")i)te 6 )impli/ie# le *e))i *u ))tème 02ai *e temp)4 t"ut e 2a#*at )tati.uemet é.uivalet :

' Ga#*e# la /"#me 2éé#ale *u )"li*e 0"u le) )"li*e)4 et le #ep#é)ete# pa# )a /i,#e m"ee5

' Sc-émati)e# le) *i//é#ete) liai)") 0v"i# c-ap5II4

Isoler le système matériel à étudier :

' c"upe# au iveau *e) liai)") *u ))tème 6 étu*ie# avec le+té#ieu#

' #emplace# le) liai)") c"upée) pa# le) acti") mécai.ue) a))"ciée)5

Aouter les actions e!térieures :

' #ep#é)ete# le) acti") e+té#ieu#e) 0c-a#2e) *7e+pl"itati"9 c-a#2e) pe#maete)4 pa# *e) vecteu#)

/"#ce) 0c-a#2e) p"ctuelle)9 c-a#2e) #épa#tie)4 "u *e) vecteu#) m"met)5

' i*i.ue# t"ute) le) c"te) éce))ai#e)5

4aire le bilan

' Kai#e le ,ila *e) ic"ue) 0I4' Kai#e le ,ila *e) é.uati") p"))i,le) 0E4 *a) "t#e e+emple :

)i I ≤ E #é)"lu,le5

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page 1>

F!

F2"

F3

F!

F2

F3

*:ami.ue /e#mé




I > E " #é)"lu,le5

Appliquer le principe "ondamental de statique

?a) le pla :

é.uati") p"u# ic"ue) 0e 2éé#al : acti") *e c"tact45 Le ))tème e)t *it i)")tati.ue5

Ré)"u*#e le ))tème *7é.uati")

#appels et #emar$ues :

a! Acti") e+té#ieu#e) 06 u ))tème4 : Acti") *i#ectemet appli.uée) )u# le ))tème 0*"t p"i*)4 et

acti") *e) liai)") c"upée)

,! Le) c"upu#e) *ev#"t Dt#e c-"i)ie) *e /a" 6 /ai#e appa#a;t#e le) acti") #ec-e#c-ée) 0⇒ c-"i+

*e lélémet 6 i)"le#45

c! Ité#Dt *e) ))tème) )"umi) 6 $ /"#ce)5

Le )eul ité#Dt 0" é2li2ea,le4 *u élémet )"umi) 6 *eu+ /"#ce) e)t *e *"e# la *i#ecti" *e)

/"#ce) 0pui).ue "pp")ée)4 .ui )e t#a*uit pa# ue é.uati" )upplémetai#e *a) la #é)"luti" *e la

)tati.ue *e la /"#me : Ta K +

K :α =

0 4

0 45

0/emple

?a) "t#e e+emple5

2 c-a#2e pe#maete : p"i*) p#"p#e5

. c-a#2e *7e+pl"itati" : p"i*) *e) pe#)"e)5

K c-a#2e *7e+pl"itati" -"#i"tale5

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page 1B

%alcon à étudier

$ & 2'( )*+ml

g & , )*+ml

F & ! )*+ml

2-.. m

!-..

encastrement

$ & 2'( )*+ml

g & , )*+ml

F & ! )*+ml

2-.. m

!-..

AN

C

AN

C

RA

µA

schéma mécani$ue

⇒




MET?ODE DE RESOLUTION DES <RO)LEMES DE STATI(UE

5B607TI4 !8 $.5B%0M0 ?éte#mie#

c"mplètemet le) acti") mécai.ue) e+e#cée) )u# u

)"li*e appa#teat 6 u e)em,le *e )"li*e) *"é)5

@"*ali)e# le ))tème9 e le )c-émati)at et e

m"*ali)at le) *i//é#ete) liai)") et#e le) élémet)

E+t#ai#e le )"li*e *e l7e)em,le9 e c"upat au iveau

*e) liai)") avec le) aut#e) élémet)5 ?e))ie# le

)"li*e )eul *a) la mDme p")iti" 2#ap-i.ue5

Remplace# t"ute) le) liai)") c"upée) pa# le ))tème

*e /"#ce) a))"ciée)5

A8"ute# le) acti") 6 *i)tace 0p"i*)9 c-a#2e) )u#

lélémet45

Kai#e le ILAN *e t"ute) le) acti") ic"ue)

a2i))at )u# le )"li*e5et le ILAN *e) é.uati") p"))i,le)

RESULTATS : Le p#",lème e)t te#mié l"#).ue t"ute)

le) acti") a2i))at )u# le )"li*e )"t etiè#emet

c"ue)5

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page 1J

?éte#mie# *7aut#e)

élémet) 0 e i)"lat

*aut#e) )"li*e) 4 et

e /ai)at ite#vei#

le PRINCIPE *e)

acti") mutuelle)5

E+emple : élémet) ,ia#ticulé)

Ré)"u*#e

2#ap-i.uemet "u

aalti.uemet5

0C-"i)i# la mét-"*e

la plu) pe#/"#mate4

e appli.uat leP5K5S5

I)"le# u

)"li*e et

éta,li# )"

)c-éma

mécai.ueCe)t #éali)e#

ce) *eu+

étape)

La

Ré)"luti" e)t'

elle p"))i,le 6

pa#ti# *u ,ila

p#écé*et

TEST

NON OUI




Le De!r+ ?>0er"tati,ue

U )"li*e9 "u u e)em,le *e )"li*e)9 .ui p"))è*e *e) appui) "u *e) liai)") )u#a,"*ate) pa#

#app"#t 6 ce .ui e)t )t#ictemet éce))ai#e au maitie *e lé.uili,#e9 e)t *it )tati.uemet

i*éte#mia,le "u -pe#)tati.ue5

P"u# ce ca)9 le) acti") e+e#cée) e peuvet pa) Dt#e *éte#miée) 6 pa#ti# *e) )eule) é.uati") *e la

)tati.ue5

.appel :

Le PKS "u) pe#met *",tei# é.uati") :

∑Ke+t F%

E p#"8ecti" )u# + et $ é.uati")

∑@0Ke+t4F% 1 é.uati"

"tati" : Ne : "m,#e *é.uati") /"u#ie) pa# le PKS

Ni : N"m,#e *ic"ue)

?e2#é Hpe#)tati.ue !9 +i -+e

0/emple La p"ut#e 0AC4 e)t e appui )u# t#"i) a#ticulati") /i+e) A9 et C .ui *"et au t"tal )i+

ic"ue) )tati.ue) : A+9 A 9+ 99 C+9 C 5O e *i)p")e .ue *e t#"i) é.uati") p"u# la #é)"luti"9

le ))tème e)t *it -pe#)tati.ue *"#*#e 0J' F 45

.emarque Le calcul *u *e2#é -pe#)tati.ue e)t i*épe*at *u c-a#2emet

ca) )"t evi)a2é) :

)i NeFNi : la )t#uctu#e e)t isostatique5 La #é)"luti" *u p#",lème e)t p"))i,le pa# le) é.uati") *e la )tati.ue5

)i NeNi : la )t#uctu#e e)t h:postatique5 Elle e)t pa) e é.uili,#e et *"c i)ta,le5

)i NeNi : La )t#uctu#e e)t h:perstatique5 Elle p"))è*e *e) appui) "u *e) liai)") )u#a,"*ate) pa# #app"#t 6 ce .ui

e)t )t#ictemet éce))ai#e au maitie *e lé.uili,#e5 Le) é.uati") *e la )tati.ue e )u//i)et pa) p"u# la #é)"luti"

*u p#",lème5

E(UILI)RE D$UN SYSTEME RETICULE

D+=nition

O appelle ))tème #éticulé "u t#eilli)9 ue )t#uctu#e /"#mée *u a))em,la2e *e ,a##e) #ectili2e)#eliée) et#e elle) pa# *e) articulations5 Ce) liai)") )"t appelée) *e) n;uds5

Exemples de s'st(mes réticulés

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page 1&

é.uati")




?étail *u u* :

5b<ecti"s#

?éte#mie# le) e//"#t) e+e#cé) *a) le) ,a##e)9 e vue *e leu# *ime)i"emet9 au m"e

*-p"t-è)e) )impli/icat#ice)5

9:pothèses simpli"icatrices

o O c")i*è#e le) ,a##e) #ectili2e) et i*é/"#ma,le)9

o Le) e//"#t) e+e#cé) )u# la )t#uctu#e )"t appli.ué) ui.uemet )u# le) u*)90 pa) *e c-a#2e)

)u# le) ,a##e)45

o O é2li2e le p"i*) *e) ,a##e)9

.emarque :

Ue ,a##e a#ticulée 6 )e) *eu+ e+t#émité) e)t appelée biellette et e)t )"umi)e .u6 *e l=e""ortnormal5

Le) ,a##e) )"t pa# c")é.uet )"umi)e) 6 *e la t#acti" "u *e la c"mp#e))i"5

a##e e c"mp#e))i" :

a##e e t#acti" :

!étermination du degré h:perstatique#

Relati" et#e le "m,#e *e ,a##e) , et le "m,#e *e u*) : b > n-Si , $' : la )t#uctu#e e)t pa) #i2i*e9 elle e)t h:postatique5

Si , F $' : la )t#uctu#e e)t e é.uili,#e9 elle e)t isostatique et la #é)"luti" e)t p"))i,le avec le

p#icipe /"*ametal *e la )tati.ue5

Si , $' : la )t#uctu#e e)t h:perstatique9 il a *e) c"t#aite) ite#e) 0*e) ,a##e)

)u#a,"*ate)45

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page 1(




M+tode de" nud"

Principe de la méthode :

?éte#mie# le) acti") *e liai)") *a) le) ,a##e) *ue )t#uctu#e #éticulée e étu*iat lé.uili,#e *e

c-a.ue u*5

.emarque

C-a.ue u* étu*ié e *"it pa) av"i# plu) *e $ ,a##e) ic"ue) 5Si la ,a##e p"u))e le u*9 elle e)t e c"mp#e))i"

Si la ,a##e ti#e le u*9 elle e)t e t#acti"

M+tode de RITTER

Principe de la méthode :

1!Ap#è) av"i# *éte#mié le) acti") *e liai)" et#e le t#eilli) et )" )upp"#t 0#éacti") *appui)4

$! P"u# *éte#mie# le) /"#ce) *a) ue "u plu)ieu#) ,a##e) il )u//it *e la c"upe# 0p"u# /ai#e

appa#a;t#e la /"#ce c-e#c-ée4 5

! C"tiue# la c"upu#e *e /a" 6 c"upe# le t#eilli) e *eu+>! Etu*ie# lé.uili,#e *u m"#ceau p"u# *éte#mie# le) e//"#t) *a) le) ,a##e)

.emarque L"#) *e la c"upu#e *u t#eilli) il e *"it pa) av"i# plu) *e ,a##e) ic"ue) c"upée)5

A00ication"

s:steme reticule

S"it la )t#uctu#e ci'*e))"u) :

Vé#i/ie# .ue la #é)"luti" *u p#",lème e)t p"))i,le5

Calcule# le) acti") *e liai)") avec le+té#ieu#

E.uili,#e *e) *i//é#et) u*)

C"clu)i" : ta,leau #écapitulati/

Barres 0""ort T:pe d=e""ort

A

AC

?

CC?





¢* : Caract+ri"ti,ue" de" "e""ion"

CENTRE DE 'RA5ITE

!é"initions

$oints matériels p"it) .ui "t ue ma))e *"c u p"i*) 0P F m524

$oids /"#ce *att#acti" te##e)t#e .ui e)t c")tate et t"u8"u#) "#ietée ve#) le ,a) )uivat ue

ve#ticale

7entre de graité p"it pa#ticulie# "W l" peut c"cet#e# la ma))e 0"u p"i*)4 *e t"u) le) p"it)

maté#iel) c")tituat le ))tème *e /a" .ue le ))tème #e)te é.uivalet )tati.uemet pa#lat5

.emarque

P"u# le) pièce) aat ue épai))eu# c")tate9 le p"i*) e)t p#"p"#ti"el 6 la )u#/ace $ > * S5

⇒ 7entre de graité de section

Si

+i5SiXG

1i

1i

∑

∑

→

→= Si

:i5SiYG

1i

1i

∑

∑

→

→=

7entre de graité de "ormes simples

FORMULAIRE

CENTRE DE GRAVITE

G e)t au milieu 0ite#)ecti" *e) *ia2"ale)4 G e)t au cet#e *u ce#cle

G e)t 6 lite#)ecti" *e) mé*iae)

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page $%




Méthode pour déterminer un centre de graité d=une section comple/e

?éc"mp")e# la )ecti" c"mple+e e )u#/ace )imple *"t " c"a;t la )u#/ace et la p")iti" *u

cet#e *e 2#avité 0ca##é9 #ecta2le9 t#ia2le9 ce#cle9 *emi'ce#cle4

@ett#e le) a+e) O+9 O 0atteti" au+ )i2e) +94

Appli.ue# la /"#mule *u ,a#cet#e )u# c-a.ue )u#/ace p"u# ",tei# le cet#e *e 2#avité *e la )ecti"t"tale5

P#é)ete# le) #é)ultat) *a) u ta,leau

Su#/ace

élémetai#e+Gi Gi Si +Gi Si Gi Si

T"tau+ Σ Si F Σ +Gi Si F Σ Gi Si F

⇒ 4ormule du bar:centre

.emarque :

L"#) *e la *éc"mp")iti" il peut Dt#e plu) #api*e *e p#e*#e ue )u#/ace plu) 2#a*e 6 la.uelle "

*é*uit ue aut#e )u#/ace p"u# av"i# la )u#/ace #éelle *e lélémet5

⇒ ?a) ce ca) S 6 *é*ui#e )e#a c"mptée é2ativemet5

MOMENT STATI(UE

9:pothèse

S"it ue )ecti" S appa#teat 6 u pla +5"5 )"umi)e 6 *e) c"t#aite) σ p#"p"#ti"elle) 6 + 0σ F

Z5+45

avec

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page $1

σ1 F Z5+1

σ$ F Z5+$

σ F Z5+

∆S1

∆S

∆S$

+1+

$

+

" +

σ1

σ$

σ

S




avec

Rema#.ue : Si la+e " t#ave#)e S9 le) / )"t *e )e) c"t#ai#e *e pa#t et *aut#e *e "5

$roblème

O veut *éte#mie# lite)ité *e la #é)ultate R *e) / .ui )e#a appelé :

> Moment statique de S,o: 0" appa#teat au pla *e S4R F / 1 / $ / Q5

F Z5+15∆S1 Z5+$5∆S$ Z5+5∆S Q5

F Σ Z5+5∆S Si ∆S→% ⇒ R F Z *)5+S∫

!é"inition du Moment statique

@"met )tati.ue *e S!" A F *)5+S∫ @"met )tati.ue *e S!"+ A+ F *)5:

S∫ 0/emple Calcule# le m"met )tati.ue *u #ecta2le !,a)e e /"cti" *e , et -5

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page $$

" +//

∆S1

∆S

∆S$

+1

+$

+

"

+

/ 1

/ $

/

+

/ 1 F Z5+15∆S1

/ $ F Z5+$5∆S$

/ F Z5+5∆S

S

,

-

+




$ropriété du Moment statique

a , O )ait .ue XG F ∫ ∫ ∫

=)

)

)*)5+

S

1

*)

*)5+

⇒ A F XG + S

⇒ A+ F YG + S

b , Si " pa))e pa# G⇒ XGF % ⇒ A F %

c , Uité : L 0 m9 cm Q4 et Si2e *e A+ "u A : [uelc".ue5

Moment ,uadrati,ue

9:pothèse

@Dme -p"t-è)e .ue p"u# le m"met )tati.ue5

$roblème

O veut *éte#mie# le m"met #é)ultat!"5 > Moment quadratique de S,o: 0" appa#teat au

pla *e S4

⇒ @t#!" F / 15+1 / $5+$ / 5+ Q55

F σ15∆S15+1 σ$5∆S$5+$ σ5∆S + Q5

F Z5+15∆S15+1 Z5+$5∆S$ +$ Z5+5∆S +Q5

F Z5+15∆S1 Z5+$5∆S$ Z5+5∆S Q5

@t#!" F Z Σ +5*)

F Z *)5+S $

∫

!é"inition du Moment quadratique

@"met .ua*#ati.ue *e S!" I F *)5+S

$

∫ @"met .ua*#ati.ue *e S!"+ I+ F *)5:

S

$∫

8nité %2 ( m2? cm2@##)

0/ercice ?éte#mie# le m"met .ua*#ati.ue *u #ecta2le

1!,a)e 0"+4 e /"cti" *e , et -

$!mé*iat#ice 0G+4e /"cti" *e , et -


,

-

+

+G




Can!ement de coordonn+e" t d$?u>!en"B

Pro/l0me

C"ai))at I/= " veut *éte#mie# I/ O# I/ > *)5:S

$∫ S"it le p"it @ 6 la,)ci))e

⇒ I/ > *)5H@S

$

∫ F *)54*:0S

$

∫ +I/ F *)4**5:5$5:0 $

S

$ ++∫ Si2e *e A+ "u A : [uelc".ue5

I/ F *)5:S

$∫ d *)5:S∫ d ∫ S*)

⇒ I/ > I/= d *)5:S∫ Sd

⇒

"héorème d’#$%&'

I/ > I/= SdS : Ai#e *e la )ecti"

* : ?i)tace et#e le) $ a+e)

N5 : Le t-é"#ème *Hu2e) pe#met *e *éte#mie# le m"met .ua*#ati.ue *ue )u#/ace pa#

#app"#t 6 u a+e .uelc".ue9 e pa#tat ui.uemet *u a+e pa))at pa# G *"t " c"a;t le

m"met .ua*#ati.ue9 et e a8"utat le te#me S* 0le) $ a+e) état !!45

Moment ,uadrati,ue 0oaire

9:pothèses

S"it ue )ecti" S appa#teat 6 u pla +5"5 )"umi)e 6 *e) c"t#aite) ta2etielle) τ avec :

a!τ p#"p"#ti"elle) 6 + 0τF

Z5+45

,!τ pe#pe*iculai#e au #a"

i))u *e "5

a!τ "u /t *a) le mDme )e) *e

#"tati"! " 0 ca) *e la t"#)i"45

$roblème

O veut *éte#mie# le m"met #é)ultat *e) /t!"5 > Moment quadratique polaire de S,oC 0S

appa#teat au pla +"4

⇒ @t#!" F / 15 ρ1 / $5 ρ$ / 5 ρ Q55

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page $>

@

:

+

+

H *

G

F A!G+F %

/t F τ5∆S

τ1 F Z5ρ1

τ$ F Z5 ρ$

τ F Z5 ρ

∆S1

∆S

∆S$

+

$

ρ

"/t

1/t$

/t

S

ρ$

ρ1

et




F Z5 ρ15∆S15 ρ1 Z5 ρ$5∆S$ ρ$ Z5 ρ5∆S ρQ5

F Z5 ρ15∆S1 Z5 ρ$5∆S$ Z5 ρ5∆S Q5

@t#!" F Z Σ ρ 5∆) F Z *)5S

$∫ ρ

!é"inition du Moment polaire

@"met .ua*#ati.ue p"lai#e *e S!" : I p F *)5S

$∫ ρ Uité : L> 0 m>9 cm>Q554

$ropriété

ρ F + : I p F *)45:+0S

$$∫ + F *)5+S

$∫

*)5:S

$∫

Le m"met .ua*#ati.ue p"lai#e e)t la )"mme *e) m"met) .ua*#ati.ue)! $ a+e) pe#pe*iculai#e)

I p F I+ I

¢- : RDM : '+n+rait+"

)ut de a RDM.

La #é)i)tace *e) maté#iau+ )e p#"p")e *7étu*ie# la *é/"#mati" et la limite *e #é)i)tace *7u )"li*e

0)t#uctu#e4 )"umi) 6 u ))tème *e /"#ce) e+té#ieu#e)5

C"c#ètemet :

C"t#aite :

Klèc-e :

?>0ot;"e" de a RDM.

1) %es matériau/ sont : -"m"2èe) 0te+tu#e *u maté#iau c"tiue et i*eti.ue4

i)"t#"pe) 0mDme) p#"p#iété) mécai.ue) *a) t"ute) le)*i#ecti")4

) %es solides étudiés sont en "orme de poutre#S"li*e e2e*#é pa# ue ai#e plae 0)4 *"t le cet#e *e 2#avité *éc#it ue *#"ite "u ue /ai,le

c"u#,e G%G19 le pla *e 0S4 #e)tat "#mal 6 cette c"u#,e5

\ O étu*ie e))etiellemet le) p"ut#e) *#"ite) p"))é*at u pla *e )mét#ie5

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page $B




) +aier Bernouilli

Le) )ecti") plae) pe#pe*iculai#e) 6 la li2e m"ee #e)tet plae) ap#è) *é/"#mati" et

pe#pe*iculai#e)5

2) %oi de 9oo*e le) *é/"#mati") )"t /ai,le)9 p#"2#e))ive) et #éve#)i,le)

⇒ ?"maie éla)ti.ue

⇒ Relati" liéai#e et#e c"t#aite) et *é/"#mati")

) $rincipe de St Denant le) e//et) )"t i*épe*at) *u m"*e *e liai)"9 mai) ui.uemet

/"cti" *e) )"llicitati") e )e plaat )u//i)ammet l"i *e ce) liai)")5

Notion de contrainte.

\ S"it u )"li*e e é.uili,#e )"u) l7acti" *e /"#ce) e+té#ieu#e) :

\ C"up") le )"li*e )uivat ue )ecti" 0S45

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page $J

G1

G$

Li2e m":ee

G%

G

Li2e m":ee

G%

G$

0S4!"

!#

!$

!%

!&

!

2




\ I)"l") le t#"" 014 )ituée 6 2auc-e et éta,li))") )" )c-éma mécai.ue :

ila *e) /"#ce) appli.uée)

♦ K"#ce) e+té#ieu#e) 0K19 K$9 K4

♦ Acti") *e c"tact *e 0$4 → 014 e t"u) p"it) *e S

\ Su# c-a.ue élémet *e )u#/ace 0∆)4 )u# S a2it ue /"#ce∆K 0*e *i#ecti" .uelc".ue e 2éé#ale4

C"mp")ate) *7ue c"t#aite5

∆K : 6 $ c"mp")ate)

♣ C"mp")ate "#male pe#pe*iculai#e 6 0S4 : ∆K

♣ C"mp")ate ta2etielle *a) le pla 0S4 : ∆Kt

L7e)em,le *e) /"#ce) ∆K e)t:

a4 *e) /"#ce) ité#ieu#e) l"#).ue l7" étu*ie le )"li*e e etie#

,4 *e) /"#ce) e+té#ieu#e) l"#).ue l7" étu*ie u t#"" *e )"li*e5

?é/iiti")

O appelle c"t#aite "#male : σ F*K

*S 0t#acti"9 c"mp#e))i"4

O appelle c"t#aite ta2etielle : τF*Kt

*S 0ci)aillemet4 Uité) e Pa)cal et @é2aPa)cal @Pa

R+0artition uniorme de" contrainte" "ur une "ectionB

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page $&

G

G%

0S4

!"

!#

!$

!

S

K∆

∆

G0S4

S

K∆

∆K

Kt∆

+




S"it ue )ecti" /ictive )"umi)e 6 *e) c"t#aite) σ et τ

Hp"t-è)e : Répa#titi" ui/"#me *e) c"t#aite) σ )u# S 0t#acti" "u c"mp#e))i"45

P#",lème : Ré)ultate *e) /"#ce) "#male) / )u# S 0Ite)ité p")iti"45

Intensité de 4 (résultante des "n)

Su# c-a.ue élémet *e )u#/ace ∆) a2it ue /"#ce "#male /5

"# σ =/

)∆ ⇒ /1 F σ + ∆)1 /$ F σ + ∆)$ et / !! " ⇒ K !! "

⇒ K F σ 0 ∆)1 ∆)$ 55555555555554 F σ S ⇒ K F σ S

$oint d'application de 4

@ét-"*e : S)tème é.uivalet 0 Σ @t i*eti.ue4 ⇒ @t!"+0K4 F Σ @t!"+0/4

⇒ K 5 G F /1 5 1 /$ 5 $ 5

σ5S5G F Σ σ5∆)i5i )

SG = ∑ 5∆

Si @t!"0K4

¢/ : Traction "im0e et com0re""ion "im0e

D+=nition".

U )"li*e e)t )"llicité :E t#acti" )imple l"#).u7il e)t )"umi) 6 *eu+ /"#ce)

*i#ectemet "pp")ée) )ituée) )u# la li2e m"ee et .ui

te*et 6 l7all"2e#5

E c"mp#e))i" )imple l"#).u7il e)t )"umi) 6 *eu+ /"#ce)

*i#ectemet "pp")ée) )ituée) )u# la li2e m"ee et .ui

te*et 6 le #acc"u#ci#

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page $(

G

0S4

S$

K1∆

∆ /$

/t∆

+

/1

)$

∆)1

∫ = *)5:S1:G

∫ = *)5+S1+G

K K

K K




E""ai de traction

O )"umet ue ép#"uvette cli*#i.ue *e *ime)i") "#mali)ée) 6 u e))ai *e t#acti"5 O

e#e2i)t#e le) *é/"#mati") e /"cti" *e la /"#ce N 0 N au2metat p#"2#e))ivemet 8u).u6

",tei# la #uptu#e *e lép#"uvette45

0tude du graphe

N : e//"#t *e t#acti"

∆L : all"2emet *e l7ép#"uvette5

L : l"2ueu# *e l7ép#"uvette5

0tude de la Eone élastique 5A#

Le) all"2emet) )"t p#"p"#ti"el) au+ e//"#t) *e t#acti"5

N F Z ∆L

Limite éla)ti.ue : /e Ne

S= avec S )ecti" *e l7ép#"uvette5

Le) /"u#i))eu#) *7acie# 2a#ati))et cette valeu# e+emple : KeE B%% ⇒/e F B%% @Pa

Lall"2emet *e lép#"uvette ∆L e)t p#"p"#ti"el 6 )a l"2ueu# iitiale L"

∆L : all"2emet *e lép#"uvette

L" : l"2ueu# iitiale

⇒ *é/iit u all"2emet #elati/ ε = ∆L

L"

•C"t#aite)5

P"u# /ai#e appa#a;t#e le) c"t#aite) *a) lép#"uvette il /aut c"upe# celle'ci 06 ue a,)ci))e +4

Pa# applicati" *u p#icipe *e e#"uilli 0 ∆+ et *"c ε c")tat p"u# t"ute) le) /i,#e)4

et *e la L"i *e H""Ze σ F Z ∆L "u σ F Z ε⇒ σ : i*eti.ue p"u# t"ute) le) /i,#e) ⇒ σ e)t ui/"#mémet #épa#tie )u# la )ecti" S


A

O

C

Ela)ti.ue Pla)ti.ue

Ne

N#

N

Acie# *"u+

∆L




!iagramme contrainte - dé"ormation

Pui).ue ε = ∆L

L" et σ =

N

S : " peut

t#ace# le *ia2#amme *e le))ai e/"cti" *e σ et ε 0*ia2#amme

-"m"t-éti.ue au p#écé*et4

• L"i *e H""Ze 5

O peut #ema#.ue# .ue *a) la "e éla)ti.ue le) c"t#aite) )"t ,ie p#"p"#ti"elle) au+

*é/"#mati") :

⇒ taα σε=

σ F ε5taα )i " p")e E F taασ F ε5E

E : m"*ule *e Y"u2 "u m"*ule *7éla)ticité l"2itu*ial

E : e)t ue c")tate p"u# u maté#iau *"é pa# e+emple : E F $ 1%B @Pa p"u# l7acie#

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page %

x∆x

x

z

y

O

(S)

x

x

y

O

(S)

σ

N⇒ F +

S

A

O

N

C

Ela)ti.ue Pla)ti.ue

/e

/#

σ

Acie# *"u+

ε




Eone plastique A7#

L"#).ue l7" atteit cette "e " c")tate u all"2emet app#écia,le *e lép#"uvette )a) .ue

le//"#t au2mete ,eauc"up5

E *éc-a#2eat l7ép#"uvette " c")tate .u7il #e)te u all"2emet pe#maet *e l7ép#"uvette ∆e

0*é/"#mati" #émaete45

Ré)i)tace 6 la #uptu#e R# :

R# N#

S"=

7alculs pratiques

C"mpte teu *e) -p"t-è)e *e la R?@ 0e#"ulli 4 la c"t#aite *a) le) maté#iau+ *ev#a t"u8"u#)

Dt#e i/é#ieu#e 6 c"t#aite a*mi))i,le /i+ée #é2lemetai#emet9 "tée σ 0c"t#aite "#male

a*mi))i,le4 Exemple

σ F /e F $>% @Pa 0 p"u# u u acie# KeE $>% )uivat le C@ JJ4

σ F /)u F B%%!151B 0p"u# u acie# KeE B%% )uivat le AEL 6 lELU4

σ F )cσ F %5J /c$( 0p"u# le ,ét" c"mp#imée9 )uivat le AEL 6 lELS4

*érification d’une section

?"ée) :

N : E//"#t *e t#acti" "u *e c"mp#e))i"9 e N5

S : Ai#e *e la )ecti" )"llicitée9 e m5

σ : C"t#aite a*mi))i,le *u maté#iau5

O *"it vé#i/ie# .ue la c"t#aite "#male σ = N

S ≤ σ

Détermination d’une section

?"ée) :

N : E//"#t *e t#acti" "u *e c"mp#e))i"9 e N5 σ : C"t#aite a*mi))i,le *u maté#iau5

O veut *éte#mie# la )ecti" éce))ai#e et )u//i)ate *e /a" 6 ce lélémet #é)i)te :

?"c /ai#e e )"#te .ue : σ ≤ σ ⇒ *

+ =σ ≤ σ ⇒ S ≥ σ

+


A

O

C

Pla)ti.ue

Ne

N#

N

Acie# KeEB%%

∆L

∆e




+alcul d’allongement ou de raccourcissement:

?"ée) :


S : Ai#e *e la )ecti" )"llicitée9 e m5

L": L"2ueu# iitiale *e lélémet5

E : @"*ule *7éla)ticité l"2itu*ial

σ F ε5E

ε = ∆L

L"

*

+ =σ

,emarque :

Le) /"#mule) p#écé*ete) )"t vala,le) p"u# le) pièce) te*ue) et le) pièce) c"mp#imée)9 *ite)

c"u#te) 0p"u# le) pièce) c"mp#imée) l"2ue) 9 le calcul )e#a meé au /lam,emet45

CoeFcient de <oi""on : υ

Il e+i)te u #app"#t c")tat et#e la *é/"#mati" t#a)ve#)ale∆#

et l7all"2emet l"2itu*ial∆L

5∆#

# F ' υ

∆L

L 0∆# .ua* ∆L4 υ F c"e//iciet *e p"i))" 0ca#acté#i)ti.ue *u maté#iau4

P#",lème : *éte#mie# la va#iati" #elative *e v"lume e /"cti" *e la va#iati" #elative *e

l"2ueu#

V F π5# L*V

V

*l

l= −0 41 $ ν Valeu# *e υ Ca) limite F %5B ⇒ *V F % 0 ca"utc-"uc4

Ca) 2éé#al : c"mp#i) et#e %5$B et %55


1!*

+ =σ

$! E

σ ε =

! ∆L Fε5L"

Ou ∆L* # E

,o# + =




¢ : Ci"aiement "im0e

D+=nition".

U )"li*e e)t )"llicité e ci)aillemet )imple l"#).u7il e)t )"umi)

6 *eu+ /"#ce) *i#ectemet "pp")ée) a2i))at *e pa#t et *aut#e*ue mDme )ecti"

.emarques ' Ue telle *i)p")iti" état t#è) t-é"#i.ue9 le) ca) *e ci)aillemet )imple )"t t#è) #a#e) et

)acc"mpa2e )"uvet *e /le+i" et *e c"mp#e))i"5

' O a*met t"ute/"i) .uil a ci)aillemet )imple *a) le) ca) )uivat :

?éc"upa2e *ue t]le

A))em,la2e au m"e *e #ivet) "u *e

,"ul") *e $ pièce) mice) )"umi)e)

6 u e//"#t *e t#acti" )imple

Contrainte de ci"aiement En ci"aiement "im0eB.

O a*mett#a *a) u ,ut *e )impli/icati" .ue le) c"t#aite) *e ci)aillemet 0 pa#allèle) 6 la

)ecti" S4 )"t ui/"#mémet #épa#tie) )u# la )ecti" ci)aillée 0 ce .ui e)t /au+ e #éalité9 ca# cela

*épe* *e la /"#me *e la

)ecti"4

⇒

7ontrainte limite de cisaillement pour de l=acier

Elle e)t /"cti" *e /e *e lacie# : τ = JB

1%%/e


T

T

S

"utilt]

#ivet

N N

τ

= TS

τ : c"t#aite m"ee *e ci)aillemet

T : e//"#t t#ac-atS : )ecti" ci)aillée




E,uation de d+ormation

Le ci)aillemet et#a;e le *éc#"c-emet *e la )ecti" *#"ite a, pa# 2li))emet pa# #app"#t 6 )a

v"i)ie a,

La *é/"#mati" uitai#e e)t ici ue *é/"#mati" a2ulai#e i F*

*+ F taα

O# α e)t petit ⇒ taα F α 0e #a*ia4

τ > F

E appli.uat la l"i *e H""Ze *a) ca) " a :

G : @"*ule *éla)ticité t#a)ve#)al

α : ?é/"#mati" uitai#e e #a*ia

τ : C"t#aite *e ci)aillemet

Pa# léla)ticité " peut *ém"t#e# .ue ( )υ+=

1$EG

Cacu 0rati,ue

*érification d’une section

?"ée) :


S : Ai#e *e la )ecti" ci)aillée9 e m5

τ : C"t#aite a*mi))i,le *e ci)aillemet *u maté#iau5

O *"it vé#i/ie# .ue la c"t#aite *e ci)aillemet*

+ =τ ≤ τ

Détermination d’une section

?"ée) :


τ : C"t#aite a*mi))i,le *e ci)aillemet *u maté#iau5

O veut *éte#mie# la )ecti" éce))ai#e et )u//i)ate *e /a" 6 ce lélémet #é)i)te :

?"c /ai#e e )"#te .ue : τ ≤ τ ⇒ *

+ =τ ≤ τ ⇒ S ≥ τ

+





¢2 : E3ort Norma N4 E3ort Trancant 54 Moment6+ci""ant M

'+n+rait+"

4orme de poutre#

V"i# *é/iiti" *a) le c-apit#e R ? @5

+ature des charges#

+harges ponctuelles (concentrées) :

C-a#2e) appli.uée) e u p"it5

J5>%

+harges uniformément réparties : (q-ml ou g. / etc0 )0

Su# c-a.ue )e2met *e mDme l"2ueu# a2it la mDme c-a#2e5

0/ ' P"ut#e *e )ecti" c")tate )"umi)e 6 )" p"i*) p#"p#e

' P"ut#e )"u) u plac-e# 5A5

8nité . )e+p#ime e N!ml F le tau+ *e c-a#2e5

2

J5>%

.

⇒ ?ia2#amme *e c-a#2e #ecta2ulai#e5

+harges réparties quelconques:

)u# ∆+ ⇒ ∆/


J5>%

.

/

"




Ite)ité l"cale *e la c-a#2e

⇒ .0+4 F∆∆

/

+ 0/"cti" *e +45

'qui/alence /ectorielle des charges réparties :

Su# ∆+ : c-a#2e ∆/ F .0+4 5 ∆+ 0F ai#e -ac-u#ée4

⇒ C-a#2e t"tale F ai#e t"tale *u *ia2#amme *e) c-a#2e)5

⇒ P")iti" *e la #é)ultate F au C*2 *u *ia2#amme5

0léments de réduction des "orces e/térieures#

' S"it ue p"ut#e i)")tati.ue

S

+

' Si " c"upe e S e)t .u" i)"le le m"#ceau *e 2auc-e 0elève le m"#ceau *e *#"ite45

⇒ Il e)t éce))ai#e *e #éta,li# lé.uili,#e *e ce m"#ceau e appli.uat )u# S le) e//"#t) )uivat) :

N : E//"#t )uivat la li2e m"ee

V : E//"#t pe#pe*iculai#e 6 la li2e m"ee5

@ : @"met aut"u# *e 5

⇒ N9 V9 @9 #emplacet le) acti") 6 *#"ite *e la c"upu#e5

⇒ O peut *i#e au))i .ue le) acti") 6 2auc-e *e la c"upu#e N9 V9 @ F %

1énition :

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page J

N F ∑ p#"8ecti") ! "+ *e) /"#ce) 6 2auc-e *e S

Ou '∑ p#"8ecti") ! "+ *e) /"#ce) 6 *#"ite *e S5

V F ∑ p#"8ecti") ! " *e) /"#ce) 6 2auc-e *e S

Ou '∑ p#"8ecti") ! " *e) /"#ce) 6 *#"ite *e S5

@ F '∑ @"met) ! " au c*2 *e S *e) /"#ce) 6 2auc-e *e S5

Ou ∑ @"met) ! " au c*2 *e S *e) /"#ce) 6 *#"ite *e S5

S

+

V

N@




#emar$ue :

N9 V9 @9 )"t /"cti" *e + 0p")iti" *e la c"upu#e4 ⇒ ?ia2#amme N0+49 V0+4 et @0+4 le l"2 *e la

p"ut#e5

as particuliers :

1! N ≠ % V F % @ F % 0T#acti"9 c"mp#e))i" )imple4

$! N F % V F % @ ≠ % 0 4

! N F % V ≠ % @ F % 0 4

>! N F % V ≠ % @ ≠ % 0 4

B! N ≠ % V ≠ % @ ≠ % 0 4

.elations entre D? M et q

\ S"it u t#"" *e p"ut#e *é/iie ci'*e))"u) :

.0+4

'0@*@4

'0V*V4

V

@ *+

⇒ E.uili,#e *u t#"" :

∑ p#"8!" F %

V ' .0+45*+ ' V '*V F %

*V F .0+45*+

⇒ .0+4 F−*V

*+

∑ @t!" F %

@ ' V5*+ .0+4*+$

$ ' @ '*@ F %

' V5*+ F *@

V

*@

*+=

−

⇒ V F % ⇒ e+t#emum *e @

⇒. * @

*+=

$

$

Allure des diagrammes

C-a#2e c"cet#ée

C-a#2e

ui/"#mémet

#épa#tie

C-a#2e t#ia2ulai#e

p0+4 F p5+

V0+4

@0+4

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page &




#emar$ue :

*@ F 'V*+ ⇒ ∫ ∫ −=1

%

1

%

x

x

x

x

&dxdM

⇒ [ ] ∫ −= x

x

&dx x

x M

1

%

1

%

⇒ dx x

x& M M ∫ −=− 1

%

%1

⇒ [ ] ∫ −= x

x

&dx x

x M

1

%

1

%

⇒ dx x

x& M M ∫ −=− 1

%

%1

Dia!ramme de NB4 5B4 MB M+tode de d+termination.

%a statique est supposée terminée

⇒ Sc-éma mécai.ue #éel 0 e pa) c"cet#e# le) c-a#2e) #épa#tie) 45

0/emple

Si +(/) ≠ G ( 4le/ion composée)

⇒ ?a) u p#emie# temp) : Kai#e $ )c-éma) mécai.ue)

U e e p#eat .ue le) p#"8ecti") ⊥ 6 la li2e m"ee *e la p"ut#e et le) c"uple) 0 K049 @t4

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page (

+% +1

m%

m1

⇒ @% F ai#e 6 *#"ite *e S *e le//"#t t#ac-at5 @1

R, K

Ra@c

L

,

a




U e e p#eat .ue le) p#"8ecti") !! 6 la li2e m"ee 0K0+45

!é"inir les Cones pour chaque schéma 1 et

⇒ ?"e ue é.uati" et *"c ue allu#e *i//é#ete *a) c-a.ue "e5

.emarque C-a2emet *e "e .ua* :

p"u# N0+4 : ' C-a2emet *e tau+ *e c-a#2e e c"mp#e))i" "u t#acti"

' Rec"t#e ue /"#ce "#male 6 la p"ut#e5

p"u# V0+4 : ' C-a2emet *e tau+ *e c-a#2e ⊥ 6 la li2e m"ee

' Rec"t#e ue /"#ce ⊥ 6 la p"ut#e5

p"u# @0+4 : ' C-a2emet *e "e *e V0+4

' Rec"t#e u m"met appli.uée 6 la p"ut#e5

Tracé

Avec é.uati") Sa) é.uati")


R,04 K04

Ra@c

R,0+4

K0+4




'!emple de résultats

¢7 : Contrainte" de" 0outre" 8+cie"

?>0ot;"e".

P"ut#e c"mp"#tat u pla *e )mét#ie ve#tical5

Li2e) *7acti" *e) /"#ce) *a) ce pla *e )mét#ie

P"ut#e e /le+i" )imple 0NF% V≠% @≠%4

Contrainte" normae" due" @ MB.

S"it la p"ut#e )uivate #ep")at )u# *eu+ appui) )imple) et )"umi)e 6 la /le+i"5

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page >%

K

4 %

44

4

%%

%

5

*6

Mf

-

7 7

F8 + 2 F5

8

- F8 + 2

F8 9 +:

9

7

K

4 % K4 %

Pla *e )mét#ie

O

0S4

G

*+

S




0tudions la section (S)

⇒ I)"le# u petit t#"" *e l"2ueu# *+5

?7ap#è) Navie# e#"ulli le) )ecti") *#"ite) #e)tet plae) pe*at la *é/"#mati"5

O c")tate *"c ue #"tati" *e la )ecti" 0S4 aut"u# *e G5

Le) all"2emet) "u le) #acc"u#ci))emet) )"t p#"p"#ti"el) 6 l7"#*"ée *e la /i,#e

c"##e)p"*ate5

P#e") ue /i,#e a,!! li2e m"ee

⇒ ,,F ∆+ F ' *α 0∆+ % .*5 *α %

E appli.uat la %oi de 9oo*e σ F ε E:

O *é*uit .ue le) c"t#aite) "#male) sont proportionnelles au/ dé"ormations

ε : ?é/"#mati" ε = ∆+

*+

E : m"*ule *e Y"u2 "u m"*ule *7éla)ticité l"2itu*ial5

⇒ σ F ε E F E : *

*+5 5−

α σ F ε E F −E :

*

*+5 5

α ⇒ σ e)t p#"p"#ti"elle 6

D+ormation".

;8poth0ses : O é2li2e li/luece *e V

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page >1

O

:

+

0S4

G

+∆

:

*+

, ,7a

*α

O

:

+

0S4

G

*+

σ*/

*):

'@@

-1

-$




La )ecti" S état e é.uili,#e :

Le) /"#ce) élémetai#e) e+e#cée) )u# la )ecti" 0S4 0/"#ce) *e liai)")4 *"ivet é.uili,#e# le m"met

/léc-i))at @5

⇒ Calcul *u m"met #é)ultat 5@ tG! *e) e//"#t) )u# S :

@ tG! F ∫ ×*/ F ' @

*/ F σ *) et σ F Z

⇒ ∫ ×*/ F *) ×σ×∫ F *)*+*5E ×α−×∫ F 'E5

*

*+

α*)$×∫ F ' E5

*

*+

α IG^ F ' @

⇒ *

*+

@

E IG^

α=

5

<5pression de σ (ontrainte normale)

σ α

= −E : *

*+5 5

*

*+

@

E IG^

α=

5

Aec : σ04 F c"t#aite "#male 6 l"#*"ée et la,)ci))e + *e la p"ut#e5

"#*"ée *u p"it *e calcul *e σ5

@0+4 @"met /léc-i))at 6 la,)ci))e *u p"it *e calcul

ontraintes <5tr=mes

P"u# ",tei# le) c"t#aite) "#male) e+t#Dme) )"llicitat ue p"ut#e *"ée9 il )u//it *e p#e*#e

le) m"met) e+t#Dme) 0 @ma+4 et le) "#*"ée) e+t#Dme) *e la )ecti"5

Ki,#e )up 55555 σ)up FGÎ 1-0ma+4@ ×−

Ki,#e i/ 55555 σi/ FGÎ

$-0ma+4@ ×−

>tilisation de l?e5pression

a! Vé#i/icati" *ue )ecti" *"ée :

?"ée): @/ ma+i I!G^ σa*

⇒ Calcul *e σ et vé#i/ie σ σa*

,! C-"i+ *u p#"/ilé *u c"mme#ce :

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page >$

⇒ 7ontrainte de "le/ion σ04 FGÎ

4+0@ ×−



σ−≥ @

vIG^


?"ée): @/ ma+i σa*

O veut : σ F − ×@

IG^

≤ σa*

P")") v F

⇒ σ F−

@

I

vG^ ⇒

avecI

v

G^ F ca#acté#i)ti.ue *u p#"/ilé 0*a) u ta,leau4

.emarque : .ua* le p#"/ilé e)t )mét#i.ue v-

=$

Exercice : Eta,li# la /"#mule *e σ0ma+4 p"u# ue )ecti" #ecta2ulai#e pleie e /"cti" *e , et -5

Contrainte" de ci"aiement on!itudina τdue" @ 5BB

Mise en é@idence :

S"it u empila2e *e plac-e) 0"u aut#e4 #ep")at )u# *eu+ appui) )imple) et )"umi)e) 6 *e la

/le+i"5

<5pression de τ:

S"it le t#"" *e p"ut#e *e l"2ueu# *+5 Su# ce t#"" étu*i") la p"#ti" i/é#ieu#e #ep#é)etée

pa# *e) -ac-u#e)5 L7é.uili,#e *e ce m"#ceau *e t#"" "u) pe#met *7éc#i#e :

∫ σ−"S

1*) ∫ σ"S

$*) ∫ τ−S

*) F % )i " peut c")i*é#e# )u# *+ .ue τ e)t c")tat


G

τ

+ G

*+

,

*)

1

σ 1*S

τ *) 1

$

τ $*)

σ $*S

S"

c"#*e

O #ema#.ue .ue le) plac-e) 2li))et

le) ue) )u# le) aut#e) ce .ui impli.ue

*e) c"t#aite) ⁄⁄ au pla *e 2li))emet

0 c"t#aite) ta2etielle) τ4

*é/"#mati"

⇒

τ⇒

τ⇒

τ⇒

τ⇒τ

⇒τ⇒

τ⇒




∫ τS

*) F τ × , *+ )i e G1 le m"met /léc-i))at e)t é2al @/1

e G$ le m"met /léc-i))at e)t é2al @/ $

σ F@/

IG^

× ⇒ σ1 F

@

I

/

G^

1 × σ$ F

@

I

/

G^

$ ×

τ × , *+ F *)I

@

"SG^

$/

∫ ×

' *)I

@

"SG^

1/

∫ ×

F ∫ "S

G^

/ *)I

*@

"# ∫ "S

*) F @"met )tati.ue *e S" pa# #app"#t 6 G

τ F ,! I*+

GL! *@

GL

/

×µ×

− F ,5!I

G!V

G

µ×− )ac-at .ue l7e//"#t t#ac-at V F −*@

*+

/

τ : C"t#aite *e ci)aillemet l"2itu*ial au iveau *e la c"#*e 0c"upu#e /ictive4

V : e//"#t t#ac-at

µ!G : m"met )tati.ue !G *e la p"#ti" *e )ecti" )ituée au'*el6 *e

G!I : Ie#tie t"tale *e la )ecti" ! G

, : e)t la la#2eu# *e la c"upu#e /ictive5

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page >>

τ F ,5!I

G!V

G

µ×−




¢19 : 6eion com0o"+e

D+=nition

U élémet e)t )"umi) 6 *e la /le+i" c"mp")ée9 )i état )"llicité e /le+i" )imple il e)t )"umi) e

plu) 6 u e//"#t "#mal5

Kle+i" c"mp")ée ⇒ 0N≠% V≠% @≠%4

Eem0e"

A#,alét#ie# *ue /e#me

P"ut#e icliée

P"teau *e p"#ti.ue

EtcQ

Contrainte" normae"

Pui).ue lélémet e /le+i" c"mp")é e)t )"umi) 6 @0+4 et 6 N0+4 le) c"t#aite) au#"t *eu+

"#i2ie)

" 0*ue 6 @0+44 FGÎ

:5@− 0*ia2#amme t#ia2ulai#e4

+ 0*ue 6 N0+44 FS

N 0*ia2#amme #ecta2ulai#e4

E appli.uat le p#icipe *e )upe#p")iti" " peut éc#i#e :

>S

NGÎ

:5@−

Le *ia2#amme *e) c"t#aite) 0 "u *e Navie#4 )u# ue )ecti" *"ée p"u##a Dt#e *é/ii e

a**iti"at le) *ia2#amme) *e " et +

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page >B

p

p

p




4llures possi/les du diagramme

Valeu#) #elative) *e

σ/ et σ N?ia2#amme *u 6

N0+4 : σ N 04

?ia2#amme *u 6

@0+4 : σ/ 0 e -aut4?ia2#amme Ré)ultat

Nσ / σ

Nσ F / σ

Nσ

/ σ

.emarque 0/i,#e eut#e9 li2e m"ee4

Exercice

S"it ue )ecti" *ue p"ut#e e ,"i) *e -auteu# - F B% cm et *e la#2eu# , F 1% cm )"umi) 6 u

m"met /léc-i))at F B ZN5m et 6 u e//"#t "#mal N F B% ZN

1! T#ace# le *ia2#amme *e Navie# )u# cette )ecti" 0 p#éci)e le) valeu#) e+t#Dme)

$! ?éte#mie# e 0*i)tace et#e la /i,#e eut#e et la li2e m"ee e /"cti" *e N9 I! G^9 @ et S

! E *é*ui#e la valeu# *e e5

Contrainte" Tan!entiee"

Le) c"t#aite) ta2etielle) état e2e*#ée) .ue pa# la /le+i" 0V0+44

⇒ C"mme e /le+i" )imple

Ecentricit+ de car!e

S"it ue pièce )"umi)e ui.uemet 6 u e//"#t

"#mal N " appli.ué

au C5*5G *e la )ecti"9 mai) e+cet#é *ue valeu# e5

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page >J

τ F ,5!I

G!V

G

µ×−

lm lm lm

e

NG

-




.emarque p"u# /ai#e la R*@ il /aut *éte#mie# le) élémet) *e #é*ucti" *e) c-a#2e) au C*G *e

la )ecti" 0t#a)/é#e# le) acti") e G45

C"clu)i" : Ue pièce c"mp#imée "u te*ue pa# ue /"#ce " appli.uée au C*G *e )a )ecti"9 e)t

)"llicitée e /le+i" c"mp")ée9 0N et @ F N5e4

P#",lème : ?éte#mie# *a) le ca) ci *e))u) le+cet#icité ma+i e e /"cti" *e - *e /a"

.uaucue *e) /i,#e) *u p"teau e )"it te*ue5

S"luti" : Il /aut Nσ H / σ ⇒ S

NGÎ

:5@> avec F -!$ et I!G^ F

1$

,-

⇒S

N

1$

,-5$

-5@

>⇒

S N

5 ,-@J

$> "# @ F Ne ⇒

,- N

5 ,- NeJ

$> ⇒ e ≤

J- 0N"au cet#al4

Remar,ue

O e peut *éte#mie# ue p"ut#e e /le+i" c"mp")ée 0$ ic"ue) I!V et S p"u# ue é.uati" :σ ≤σ 45 O e peut *"c .ue la vé#i/ie#5

E p#ati.ue : c-"i)i# le p#"/ilé e /le+i" )imple 0é2li2e N0+44 pui) vé#i/ie# e /le+i" c"mp")ée5

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page >&

e

Ré*ucti"

e G

⇒

N@ FN5e



A

p

N!ml

L


¢11 : Le" 8;ce"

D+=nition

La /lèc-e *ue p"ut#e /léc-ie e)t la l"2ueu# *u *éplacemet *e )a li2e m"ee pa# #app"#t 6 )a

p")iti" t-é"#i.ue 0*#"ite4 )"u) le//et *e) c-a#2e) .ui lui )"t appli.uée)

6ormuaire

Le) é.uati") *e V0+4 0"té T ici4 et *e @0+4

Lé.uati" *e la *é/"#mée 0 /"cti" *e) appui) et *e) c-a#2e)4

Le) valeu#) pa#ticuliè#e) *e V0+49 @0+4 et la /lèc-e 0K ma+9 Q4

Utii"ation

Déri"ication d=un pro"ilé#

Ici le) ca#acté#i)ti.ue) *e la p"ut#e ai)i .ue )" c-a#2emet )"t c"u)

Il )u//it *e vé#i/ie# .ue la /lèc-e ma+i #e)te i/é#ieu#e 6 ue /lèc-e limite "u /lèc-e a*mi))i,le

Exemple : L!$%% Fp"#tée!$%%4

0/ercice

!étermination d=un pro"ilé & la "lèche#

C-"i)i# le p#"/ilé éce))ai#e et )u//i)at p"u# )ati)/ai#e la c"*iti" *e /lèc-e imp")ée5

1! ?"ée)

K"#mulai#e *e) /lèc-e)

Sc-éma mécai.ue *e la p"ut#e

Ta,leau *e p#"/ilé

Klèc-e a*mi))i,le

$! @ét-"*eEc#i#e .ue la /lèc-e 0/"cti" *e I!G^ 4 ≤ /lèc-e a*mi))i,le

⇒ S"#t I!G^ *e l7ié.uati"⇒choi/ du pro"ilé (dans le tableau)

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page >(

P

/lèc-e *é/"#mée

[ue)ti") 0)i p F B ZN!m et L F B m4

a! ?éte#mie# le p#"/ilé 6 la #é)i)tace

0σ≤σ )

,! ?éte#mie# )a /lèc-e ma+i5 0 E F $51

1%B_@pa4



A

p

N!ml

L

A

p

N!ml

L


0/ercice

.ésoudre un problème h:perstatique

1! ?"ée)

K"#mulai#e *e) /lèc-e)

Sc-éma mécai.ue *e la p"ut#e : -pe# *e *e2#é 1

$! @ét-"*e

?éc"mp")e# le )c-éma mécai.ue e $ )c-éma) i)")tati.ue) *"t lu *e) *eu+ /ait appa#a;t#e ue#éacti" *appui5

Pui) éc#i#e .ue la )"mme *e) /lèc-e) au iveau *e cet appui F % ce .ui c")titue ue é.uati"

)upplémetai#e5 0pe#met *e *éte#mie# la #éacti" *appui4

0/ercice?éte#mie# R p"u# le )c-éma mécai.ue

)uivat


[ue)ti" 0)i p F B ZN!m et P F 1% ZN et

FB m4

E utili)at le p#icipe *e

)upe#p")iti"9 *éte#mie# le p#"/ilé

éce))ai#e et )u//i)at p"u# .ue la

/lèc-e ma+i #e)te i/é#ieu# 6 L!$%%

,! ?éte#mie# )a /lèc-e ma+i5 E F $51

$




¢1% : <outre continue en )ETON ARME

'+n+rait+

O a #ema#.ué .ue utili)at le) mét-"*e) *e R5?5@ 0@ét-"*e) *e) /"#ce) T-é"#ème *e) t#"i)

m"met)4 p"u# le) p"ut#e) c"tiue) e 5A9 le) #é)ultat) ",teu) e c"`ci*aiet pa) avec la#éalité5

E pa#ticulie# le) m"met) )u# appui) )"t )u#e)timé)5 Cela viet *u /ait .ue le) mét-"*e) *e

R5?5@

Ne tieet pa) c"mpte *e la va#iati" *ie#tie *e la p"ut#e e ,ét" 0 ie#tie *i//é#ete e t#avée et )u# appui 4

Ne tiet pa) c"mpte *u ca#actè#e /luat *u ,ét"5

E)t t#"p pa#/aite pui).uelle tiet c"mpte *e) c-a#2e) )ituée) )u# *e) t#avée) él"i2ée) *e la t#avée c")i*é#ée9 al"#) .ue

le ,ét" am"#ti #api*emet le) e//et)5

Pa# c")é.uet p"u# le) p"ut#e) e 5A il e+i)te $ mét-"*e)

Méthode "or"aitaire Méthode 7aquot

.emarquesCalcul) evi)a2é) 6 lELU "u 6 lELS5

Ne c"ce#e .ue le) p"ut#e) a))"ciée) 6 u plac-e# "u *alle) calculée) e /le+i" *a) u )eul

)e)5

M+tode oraitaire. Art #./.%4%1 0a!e 1*7

!omaine d'utilisation 0 art10203.345a4 Applica,le au+ plac-e#) 6 c-a#2e) *7e+pl"itati" m"*é#ée: [ )"it G : c-a#2e) pe#maete)

Il /aut [ ≤ $G

Ou

[ ≤ B ZN!m$

,4 T#avée) aat mDme ie#tie5

c4 Le) p"#tée) )ucce))ive) )"t *a) u #app"#t c"mp#i) et#e %9( et 19$B5

*4 Ki))u#ati" peu ui)i,le5

Ce) .uat#e c"*iti") )"t impé#ative) p"u# utili)e# cette mét-"*e /"#/aitai#e *é/iie ci' ap#è)5

$rincipe de la méthode# art10203.344P#icipe *e la mét-"*e ,a)é )u# le p-é"mèe *a*aptati" *e) p"ut#e) e 5A

O évalue le) m"met) ma+i )u# appui) et e t#avée) e /"cti" *u m"met *e /le+i" ma+i @" *e

la t#avée i)" a))"ciée 0avec le mDme c-a#2emet45 Le) m"met) c"##e)p"*et 6 ue /#acti" *e @"

@t F Zt + @" @t m"met e t#avée

@a F Za + @" @a m"met )u# appui

Le) c"e//iciet) Zt et Za )"t c-"i)i) /"#/aitai#emet *a) le) pla2e) *é/iie) au $5

1émonstration

S"it la p"ut#e )u# appui) )imple)

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page B%



A

o

$

$

A"


@% F PL!> ⇒A%

S"it la mDme p"ut#e eca)t#ée 6 c-a.ue e+t#émité avec ui.uemet *e) acie#) i/é#ieu#)

Ap#è) /i))u#ati" : ⇒ Ca) 1

Ec"#e @" ⇒ A%

S"it ec"#e la mDme p"ut#e eca)t#ée 6 c-a.ue e+t#émité mai) avec ui.uemet *e)

acie#) e c-apeau

Ap#è) /i))u#ati" :

@ ma+F P!$ + L!$ FPL!> F @" ⇒

A%

onclusion

[uelle .ue )"it la p")iti" *e) acie#) p"u# ue p"ut#e ,i'eca)t#ée9 la )ecti" *acie# éce))ai#e e)t

la mDme et c"##e)p"* 6 la )ecti" ",teue p"u# ue p"ut#e i)"5

Il )u//i#a *"c *e #épa#ti# cette )ecti" A" 0lé2è#emet ma8"#ée pa# )écu#ité4 *a) la p"ut#e *e /a"

6 évite# le) /i))u#e)5

Avec : A"$

AeAAt ≥+

+

O# A e)t p#"p"#ti"elle 6 @ ⇒

Avec ue )écu#ité @"5Z $

@e@@t ≥++

!étermination des moments en traées et sur appuis !nnexes E pa-e 231

N"tati" *e) m"met) e valeu#) a,)"lue)

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page B1

$

A o

P!$ P!$

A Ae

At




@: m"met *e /le+i" )u# l7appui *e 2auc-e 06 l7Oue)t4

@e: m"met *e /le+i" )u# l7appui *e *#"ite 06 E)t4

@t: m"met *e /le+i" ma+imal *a) la t#avée

@": m"met *e /le+i" ma+imal *a) la t#avée i)" a))"ciée

(

pl@"

$

= @" F p"u# ue c-a#2e ui/"#mémet #épa#tie

Le) valeu#) *e @t9 @9 et @e *"ivet vé#i/ie# le) c"*iti") )uivate) :

@"459%1%B91ma+0$

@e@@t α+≥+

+

[G

[

+=α [ : c-a#2e *7e+pl"itati" " p"*é#ée

G : c-a#2e pe#maete " p"*é#ée

@"5$

49%10@t

α+≥ p"u# ue t#avée ite#mé*iai#e

@"5$

49%$910@t

α+≥ p"u# ue t#avée *e #ive

Le) m"met) )u# appui) ite#mé*iai#e) e )"t pa) i/é#ieu#) 6:

'p"u# ue p"ut#e 6 *eu+ t#avée)

5 'p"u# ue p"ut#e 6 plu) *e *eu+ t#avée)

?e pa#t et *aut#e *e c-a.ue appui ite#mé*iai#e9 " #etiet la plu) 2#a*e valeu# *e) m"met) )u#

appui) 02auc-e "u *#"ite45

0aluation des e""orts tranchants

' S"it e calculat le) e//"#t) t#ac-at) e teat c"mpte *e) m"met) )u# appui)5

' S"it e appli.uat ue p"*é#ati" /"#/aitai#e5

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page B$




%ongueur des chapeau/ et arrts des barres in"érieures du second lit#

Ca) 2éé#al: " t#ace le) c"u#,e) evel"ppe) et l7" *éte#mie l7épu#e *7a##Dt *e) ,a##e) 0 *écala2e

*e %9 * l"2ueu# *7ac#a2e 45

T"ute/"i) )i [ ≤ G et )i le) c-a#2e) )"t ui/"#mémet #épa#tie) " peut a*"pte# la *i)p")iti"

)uivate :

avec L7 F @a+ 4L)>$L

>1L0 )i t#avée *e #ive

L7 F @a+ ' 4L)B$L

B1L0 )i t#avée ite#mé*iai#e

L b F @a+ 0 4L)$7L0 L) : l"2ueu# *e )cellemet

M+tode CA(UOT

!omaine d'application# art 10203.335

S7appli.ue au+ p"ut#e)9 p"ut#elle)9 a))"ciée) 6 *e) plac-e#) *e c")t#ucti") i*u)t#ielle)9 c7e)t 6*i#e 6 c-a#2e) *7e+pl"itati" #elativemet élevée)5

[ $G "u [ B ZN!m$





$rincipe de la méthode# art10203.334

@ét-"*e *e c"tiuité )impli/iée *ue 6 Al,e#t CA[UOT :

Cette mét-"*e e)t *é#ivée *u t-é"#ème des trois moments. mais a/ec certains austements. propre

au! poutres en 10A0(cf0 : &énéralités)

Elle pe#met *"c *e *éte#mie# le) moments sur chaque appui 9 e e c")i*é#at9 "tammet9 .ue

le) *eu+ t#avée) a*8acete) et leu# c-a#2emet5

Méthode 7aquot#

!nnexe E2

4ppli$uée poutres à moments d'inertie égau5 dans les diAérentes tra@ées etnon solidaires des poteau5 Annexe E2,2

Moment sur appui

@"met )u# appui A p"u# *e) c-a#2e) ui/"#mémet #épa#tie)5 0l F Cte 4

47L7L0B5(

7L p7L p

@ e

ee

A

+

×+×= IF Cte

avec %' > % )i c7e)t ue t#avée *e #ive

avec %' > G?J % *a) le) aut#e) ca)5

@"met )u# appui A p"u# *e) c-a#2e) p"ctuelle)5 0 l F Cte 4

et e )"t lu) )u# u ta,leau p"u# ue valeu# *e 'et 'v"i# AEL !nnexe E#2#2. 1

e

$eee

e

$

A7L7L7LP

7L7L7LP

@+

××+

+

××=

KL et Ke )"t lu) *a) u ta,leau p"u# ue valeu# *e7L

a ete7L

, /oir !E, !nnexe E#2#2.1

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page B>




7ourbes eneloppes des M(/) art B#3#? et art B#3#1?1

+as de charge

P"u# c")t#ui#e la c"u#,e evel"ppe *e) m"met) "u mDme *éte#mie# le) m"met) e+t#Dme)9 il e)t

éce))ai#e *e c")i*é#e# cas *e c-a#2e *i//é#et) :

as !

⇒ @"met) ma+i) )u# appui5

⇒ *ection des aciers sur appuis

as 2

⇒ @"met) ma+i) p"u# le) t#avée) impai#e)5⇒ *ection des aciers dans les tra/ées impaires5

⇒ @"met) ma+i) p"u# le) t#avée) pai#e)5

⇒*ection des aciers dans les tra/ées paires5

as 3

⇒ @"met) ma+i) p"u# le) t#avée) impai#e)

⇒ ,on-ueurs des c%apeaux dans les tra/ées paires

⇒ @"met) ma+i) p"u# le) t#avée) pai#e)

⇒L"2ueu#) *e) c-apeau+ *a) le) t#avée) impai#e)

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page BB

1#g 1#q

1#g 1#q(traées impaires)

1#g 1#q(traées paires)

g 1# q(traées impaires)

g 1#q(traées paires)




,ésultat

"racé d’une cour6e en/eloppe

O peut evi)a2e# *eu+ @ét-"*e)

Méthode théori$ue (é$uation de M(5) et calculette )

@0+4 F'0@'R A5+ p5+$!$4 Avec RA F pL!$ 'L

@e@−

⇒

@0+4 F$

p++5

$

pL+5

L@e@@

$

−+−−−

⇒

@0+4 F @+45L

@e@$

pL0

$

p+$

−−−+− 0é.uati" 6 #et#e# *a) la calculette4

Le) @"met) "t u )i2e5

Méthode graphi$ue?

Létu*e *ue t#avée *ue p"ut#e c"tiue peut )e *éc"mp")e# e $ ca) *e ,a)e :

@"met )u# appui) )eul)

C-a#2emet i)"

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page BJ

7as

7as

7as 1

G#J

h G#J

h

G#J

hG#J

h

7ourbe eneloppe décalée de G#Jh

p

@ M

e



@t >


⇒ T#ace#

)u# la t#avée c")i*é#ée la li2e *e /e#metu#e 6 pa#ti# *e) m"met) )u# appui

pui) le m"met i)" )eul et e/i /ai#e l’addition des deu! diagrammes

.emarque : p"u# t#ace# la pa#a,"le c"##e)p"*at au ca) i)" *ue c-a#2e ui/"#mémet #épa#tie9 il

)u//it *e calcule# le) valeu#) *e) m"met) t"u) le) %51L

O# @0+4 F pl!$5+'p+$!$

⇒@0%51L4 F(

pLJ5% pL%H5%4L%15%L15%0

$

p$

$$$ ==− F%5J@"

@0%5$L4F %5J>@" @0%5L4F %5(>@"

@0%5>L4F %5J@"

Détermination de Mma!

$récis

O# @0+4 F'0@'R A5+ p5+$!$4

Et @ e)t ma+i .ua* V0+4 F%

O# V0+4 F'RA p+!$ Avec RA F pL!$ 'L

@e@− )i2e *e) m"met)

⇒(o) > pRA

0valeu# 6 #et#e# *a) le+p#e))i" *e @0+44

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page B&

Li2e *e /e#metu#e

@$@1

Ca) *ue c-a#2e

ui/"#mémet #épa#tie Ca) *ue c-a#2e p"ctuelle

@$@1




7alcul de Du ma/ (0""ort Tranchant) Anne!e '0303.7

'!pression de *

Le) e//"#t) t#ac-at) *7appui )"t calculé) pa# la mét-"*e 2éé#ale au+ p"ut#e) c"tiue) e /ai)at

état *e) m"met) *e c"tiuité5

I)"l") ue t#avée *ue p"ut#e c"tiue

V0A'4 F 'R A

V0A'4 F '0R Ai)" L

@'L@$

4

⇒V0A'4 F 'R Ai)" 'L@@ $A

−

V0'A4 F R

⇒V0'A4 F R Ai)" '

L

@@ $A−

K"#mule 2éé#ale V0+4 F Vi)" 'L

@@ $A−

avec Vi)" e//"#t t#ac-at *e la p"ut#e i)")tati.ue

+as à considérer

P"u# ",tei# le//"#t t#ac-at )u# c-a.ue appui il )u//it *e c-a#2e# au ma+imum le) t#avée)

a*8acete) 6 celui'ci :

4ppui de ri@e

4ppui intermédiaire

Etc55

Formateur A$de%oua&id "% Atmioui in'énieur )t*GC Page B(

p

@$

M

A

A

p

M

A

@$

A

1#g 1#q

(traées de rie)

1#g 1#q

de part et d=autre de l=appuiconsidéré




M+tode CA(UOT minor+e.

?a) le ca) "W l7ue *e) t#"i) c"*iti") c"mplémetai#e) 6 celle *u c-a#2emet e )e#ait pa)

)ati)/aite9 " *"it appli.ue# la mét-"*e CA[UOT et il e)t a*mi))i,le *e mi"#e# le) m"met) )u#

appui) *u) au+ )eule) c-a#2e) pe#maete) pa# u c"e//iciet c"mp#i) et#e 1 et $! le) valeu#) *e)

m"met) e t#avée )"t ma8"#ée) e c")é.uece

ContrGe de #+ton

@ét-"*e K"#/aitai#e et mét-"*e Ca.u"t 5

!5++00S

S"it la p"ut#e c"tiue *é/iie ci'*e))"u)

A B 7 !

q > () *+,ml

3#GG 3#GG 3#GG

g > 1) *+,ml

La /i))u#ati" e)t 8u2ée peu p#é8u*icia,le5

N80STI5+S

I! @ét-"*e /"#/aitai#e

1! @tA état e)timé 6 %5> @"9 *éte#mie# t"u) le) m"met) miimau+ #é2lemetai#e) )u# appui) et

e t#avée e utili)at la mét-"*e /"#/aitai#e5

$! E *é*ui#e l7allu#e *u *ia2#amme *e @0+4 e p#éci)at le) valeu#) pa#ticuliè#e)5

II! @ét-"*e Ca.u"t1! E e c")i*é#at .ue le) ca) *e c-a#2e *"at le) m"met) ma+imau+ e t#avée9 *éte#mie#

ce) m"met)5

$! T#ace# p"u# ce) ca) *e c-a#2e9 et *e /a" p#éci)e9 le *ia2#amme *e @0+4 p"u# le) t#avée) A et

C?5

Concu"ion

O utili)e la résistance des matériaux avat t"ut p"u# c"cev"i# le) élémet) *e c")t#ucti" et

vé#i/ie# leu# #é)i)tace et leu# *é/"#mati"5 [uel.ue) #api*e) calcul) peuvet Dt#e meé) /acilemet

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Ci)aillemet Gli))emet #elati/ *e) )ecti") tect"i.ue *e) pla.ue)

T"#)i" R"tati" pa# 2li))emet #elati/ *e) )ecti") a#,#e *e t#a)mi))i" *7u


http://fr.wikipedia.org/wiki/Sym%C3%A9trie


http://fr.wikipedia.org/wiki/Compression

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cisaillement

http://fr.wikipedia.org/wiki/Torsion

http://fr.wikipedia.org/wiki/Sym%C3%A9trie


http://fr.wikipedia.org/wiki/Compression

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cisaillement

http://fr.wikipedia.org/wiki/Torsion




*#"ite) m"teu#

Kle+i" )impleKléc-i))emet )a) all"2emet *e) /i,#e)

c"teue) *a) le pla m"e plac-e *e pl"2e"i#

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Kléc-i))emet )a) e//"#t t#ac-at *a)

ce#taie) "e)

pa#tie *e p"ut#e et#e *eu+

c-a#2e) c"cet#ée)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Flexion




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Cours de La RDM_abdel