CSC 105 - maths.cnam.frmaths.cnam.fr/IMG/pdf/csc105requisqcm_cle0e2c57-1.pdf · Instructions pour...

SITI, Dept. IMATH

CSC105

QCM sur les pre-requis

Pour suivre ce cours, vous aurez besoin de certaines connaissances mathematiquesque l’on s’efforcera de vous rappeler au fur et a mesure mais il est fortement conseillede revoir celles qui vous semblent trop lointaines.Voici quelques tests pour vous aider a evaluer votre niveau.Ce sont

soit des questions de cours,

soit des questions de deduction a partir du cours, ne necessitant pas decalcul mais un peu de reflexion pour determiner la bonne reponse et/oueliminer les reponses incorrectes.

soit des questions necessitant quelques calculs intermediaires pourdeduire les resultats (munissez vous de papier et crayons)

Vous devez pouvoir y repondre sans regarder le cours.Si cela n’est pas encore le cas, revoyez le cours, comprenez bien les reponses etrecommencez le QCM dans quelques temps, sans le cours.

F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH

Instructions pour un QCM :Pour debuter l’exercice, cliquer sur Debut, puispour chaque question, cliquer sur la case de la reponse qui vous semble cor-recte (vous pouvez modifier votre reponse en cliquant sur une autre case),enfin, cliquer sur Fin pour avoir votre note (1 point par question).

Cliquer pour acceder :

Test sur les complexes (quelques rappels)

Test sur les matrices

Test sur les series (quelques rappels)

Test sur l’integration (quelques rappels)

Test sur les equations differentielles

Debut du QCM sur les complexes (cliquer sur l’encadre pour commencer)

Soient x , y , r des reels, i l’imaginaire pur et le complexe z = x + i y .

1. Cocher une relation correcte ?

i2 = 1 i2 = −1 i2 = −i

2. Que vaut r , le module de z ?√x2 + y2 x + y x

3. Que vaut θ, la phase de z ? :

y tan(x/y) Atan(y/x)

4. Que vaut z, le complexe conjugue de z ?

x − i y r e− i θ r e2 i θ

5. Que vaut zn (n entier) ?

xn + i yn rnei n θ

rn(cos(nθ) + i sin(nθ))

6. Que vaut z − z ?

2r 2x 2 i y

7. Que vaut z z ?

x2 r2 1

8. Indiquer la partie relle, Re(z)), et la partie imaginaire, Im(z), de z :

(a) z = (3 + 4i) + (1− 2i){Re(z) = 3Im(z) = 8

{Re(z) = 11Im(z) = −2

{Re(z) = 4Im(z) = 2

(b) z = (3 + 4i)(1− 2i){Re(z) = 3Im(z) = 8

{Re(z) = 11Im(z) = −2

{Re(z) = 4Im(z) = 2

(c) z =3 + 4i1− 2i{

Re(z) = −1Im(z) = 2

{Re(z) = 11Im(z) = −2

{Re(z) = 4Im(z) = 2

(d) z = log(rei θ){Re(z) = log(r)cos(θ)Im(z) = log(r)sin(θ){Re(z) = log(r)Im(z) = θ{Re(z) = log(r)Im(z) = log(θ)

9. Cocher les bonnes expressions des complexes representesdans le plan complexe ci-contre (r ∈ R+, θ ∈ R+) R

(a) z2 = reiθ z2 = r z2 = −r z2 = i r z2 = rei π2

(b) z4 = r z4 = −r z4 = i r z4 = reiθ z4 = reiπ

(c) z5 = re−iθ z5 = z∗6 z5 = z∗3 z5 =reiθ+i2π

z5 =reiθ+iπ

Fin du QCM (cliquer pour avoir votre score) Pourcentage :

Pour avoir la correction de ce test, cliquezsur et retournez aux pages des

questions du test pour voir les corrections.

Legende de la correction :8 : votre reponse etait incorrecte,4 : votre reponse etait correcte,l indique une solution correcte.

[7]qz1

Debut du QCM sur les matrices (cliquer sur l’encadre pour commencer)

1. Soient A =

(2 00 1

)et B =

(2 03 1

). Cocher les reponses correctes :

(a) Que vaut le determinant de A ?

det(A) = 3 det(A) = 2 det(A) = 1 det(A) = 0

(b) Quelles sont les valeurs propres de A ?

aucune 0 1, 2 0, 1, 2

(c) A est-elle inversible ?

oui non

(d) Que vaut le determinant de B ?

det(B) = 3 det(B) = 2 det(B) = 1 det(B) = 0

(e) Quelles sont les valeurs propres de B ?

aucune 0 1, 2 0, 1, 2

(f) B est-elle diagonalisable ?

oui non

2. Soient A =

(0 1−1 0

)et B =

(2 14 2

(a) Que vaut le determinant de A ?

det(A) = −1 det(A) = 0 det(A) = 1 det(A) = 2

(b) Quelles sont les valeurs propres de A ?

aucune 1 1,−1 i,−i

(c) A est-elle inversible ?

oui non

(d) A est-elle diagonalisable dans R?

oui non

(e) Que vaut le determinant de B ?

det(B) = 4 det(B) = 2 det(B) = 1 det(B) = 0

(f) Quelles sont les valeurs propres de B ?

aucune 1, 2 2, 4 0, 4

(g) B est-elle inversible ?

oui non

(h) B est-elle diagonalisable ?

oui non

3. Soient A =

(1 32 0

(a) Quelles sont les valeurs propres de A ?

0, 3 1, 3 2, 3 −2, 3

(b) Un vecteur propre associe a la valeur propre 3 est :

(1, 0) (3, 2) (2, 3) (1, 1)

[7]qalg

Debut du QCM sur les series (cliquer sur l’encadre pour commencer)

1. Etudier la nature (convergente ou divergente) de la serie de terme general un pour

(a) un =43n

convergente divergente

(b) un =1n

(c) un =(−1)n

nconvergente divergente

(d) un =2n2 − 1

nconvergente divergente

(e) un =2n − 1n3 + 3

(f) un =2

√2n + 3

(g) un = cos(1√

2n) convergente divergente

(h) un =sin(an)

n2convergente divergente

2. Indiquer le rayon de convergence de la serie entiere

(a)∑n≥0

xn R = 1 R = +∞ R = 2

(b)∑n≥0

n2xn R = 1 R = +∞ R = 2

(c)∑n≥0

2n R = 1 R = +∞ R = 2

(d)∑n≥0

3n + 1R = 1 R = +∞ R = 3

(e)∑n≥0

n!xn R = 0 R = +∞ R = 1

(f)∑n≥0

n2 + 4n − 1n!

xn R = 1 R = +∞ R = 2

3. Indiquer la somme de la serie entiere

(a)∑n≥0

1− xln(1− x) ex

(b)∑n≥0

xn = 11− x

ln(1− x) ex

(c)∑n≥0

1n + 1

xn+1 = cos(x) ln(1− x) ex

(d)∑n≥0

(−1)n

(2n)!x2n = cos(x) ln(1− x) ex

(e)∑n≥0

(−1)n x2n+1

2n + 1= cos(x) sin(x) Arctan(x)

[7]qserie

Debut du QCM sur l’intgration (cliquer sur l’encadre pour commencer)

Cocher les reponses correctes , a, b et A sont des nombres reels :

1. a 6= 0,∫ A

−Asin(ax)dx =

non definie 0 1 2π

2. a 6= 0,∫ ∞

0sin(ax)dx =

non definie 0 1 2π

3. a 6= 0,∫

sin(ax)cos(ax)dx =

cos(ax)2 cos(ax)(sin(ax))2

2a(cos(ax))2

4. a 6= 0,∫

ei a x dx =

−ei a x

ei a x

a−a ei a x

5. a 6= 0,∫ A

−Aei a x dx =

2sin(a A)

ei a A

eibx eiax dx =

1a+b (cos((a + b)x) + isin((a + b)x) 1

a+b (sin((a + b)x)− icos((a + b)x)

7. a 6= 0,∫

(x2 + bx + 1)ei a x dx =

[x2 +(b− 2ia )x +1− 2

a2 − bia ]

ei a x

ia+A −[ x3

3 + bx2

2 + x ]ei a x

[7]qintegr

Debut du QCM sur les equations differentielles (cliquer sur l’encadre pour commencer)

On note : A et B des constantes quelconques, y ′(t) = dydt (t), y ′′(t) = d2y

dt2 (t).Cocher les reponses correctes :

1. Quelle est la solution de y ′(t) + y(t) = 0 ?

y(t) = A y(t) = Ae−t y(t) = Aet

2. Quelle est la solution de y ′(t) + y(t) = 3 ?

y(t) = 3 + Ae−t y(t) = 3Ae−t y(t) = Ae−t + 3t

3. Quelle est la solution de y ′(t) + y(t) = t ?

y(t) = t + Ae−t y(t) = t − 1 + Ae−t y(t) = A(t + 1)e−t

4. Quelle est la solution de y ′(t) + y(t) = e−t ?

y(t) = t + Ae−t y(t) = t − 1 + Ae−t y(t) = A(t + 1)e−t

5. Quelle est la solution de y ′(t) + y(t) = t + e−t ?

y(t) = t + Ae−t y(t) = t − 1 + Ae−t y(t) =A(t + 1)e−t + t − 1

6. Quelle est la solution de y ′′(t)− 2y ′(t) + y(t) = 0 ?

y(t) = Aeit + Be−it y(t) = Aet + Be−t y(t) =Acos(2t) + Bsin(2t)

7. Quelle est la solution de y ′′(t) + 2y ′(t) + y(t) = 0 ?

y(t) = Aeit + Be−it y(t) = Aet + Be−t y(t) =Acos(2t) + Bsin(2t)

[7]qeqd

SITI, Dept. IMATH

C’est tout pour le moment en QCM.

Suivez les conseils donnes et continuez reviser

Bon travail

Petit rappel de cours sur les complexes

ySoient i l’unit imaginaire et z un nombre complexe,i est la racine carree canonique de −1 (ou encore i2 = −1).

Les representations :. la representation cartesienne : z = x + i y ,

avec x la partie reelle de z et y sa partie imaginaire,. la representation polaire : z = r eiθ = r (cos(θ) + i sin(θ)),

avec r le module de z et θ sa phase(on rappelle la relation d’Euler : eiθ = cos(θ) + i sin(θ)).

La phase est definie modulo 2π puisque eiθ = ei(θ+2kπ) ∀k ∈ Z

Egalite de 2 complexes : z = x + i y = r eiθ, z′ = x ′ + i y ′ = r ′ eiθ′

. ils ont meme partie reelle et meme partie imaginaire : z = z′ ⇔ (x = x ′, y = y ′)

. ils ont meme module et meme phase (modulo 2π) : z = z′ ⇔ (r = r ′, θ = θ′[2π])

Operations : comme dans R en utilisant i2 = −1 et (x + iy)(x − iy) = x2 + y2 pourdistinguer partie reelle et partie imaginaire, ou les proprietes de l’exponentielle (pour lepolaire).Complexe conjuge z∗ de z = x + i y : z∗ = x − i y = re−i θ

z + z∗ = 2Re(z) = 2x , z − z∗ = 2Im(z) = 2y

z z∗ = |z|2 = r2 ,zz∗

=reiθ

re−iθ= ei2θ

Logarithme de z : log(z) = log(reiθ) = log(r) + iθF. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH

Petit rappel de cours sur les suites et series

Suite de fonctions et convergence :(fn) une suite de fonctions definies sur Df et [a, b] ⊂ Df ,Convergence ponctuelle (ou simple) :

. la suite converge ponctuellement (ou simplement) en x ∈ [a, b] si la limn→∞

existe et est finie en x ∈ [a, b].

. si la suite converge ponctuellement en x , ∀x ∈ [a, b], la suite (fn) convergeponctuellement vers la fonction f definie sur [a, b] par f (x) = lim

n→∞fn(x), ce qui

s’ecrit : limn→∞

|fn(x)− f (x)| = 0 ∀x ∈ [a, b]

. Remarque : la continuite des fn n’implique pas la continuite de la limite f .

Convergence uniforme :

. la suite converge uniformement sur [a, b] si limn→∞

supx∈[a,b](|fn(x)− f (x)|) = 0

. si la suite converge uniformement alors elle converge ponctuellement.

. la continuite des fn implique la continuite de la limite f ;donc si les fn sont continues et la limite f est discontinue, la convergence n’est pasuniforme.

. si convergence uniforme alors, pour [a, b] borne,

limn→∞

afn(x)dx =

n→∞fn(x)dx

. si les fn sont C1([a, b]), si (f ′n) converge uniformement vers g sur [a, b], si∃c ∈ [a, b] tq lim

n→∞fn(c) = lc , alors (fn) converge uniformement vers f sur [a, b]

avec g = f ′ et f (c) = lc : la fonction derivee de la limite est egale a la fonctionlimite des derivees.

Serie numerique :

la serie de terme general uk est∞∑

. la serie est dite convergente si la suite des sommes finies Sn =n∑

uk converge

versune valeur finie, alors appelee somme de la serie.

. si la serie converge alors limn→∞

un = 0 ; donc si limn→∞

un 6= 0, la serie diverge.

attention : limn→∞

un = 0 n’est pas une condition suffisante de convergence de la

serie.

. si 2 series sont convergentes, la serie somme converge vers la somme dessommes.

. si 2 series sont convergentes, la serie produit converge vers le produit dessommes.

Suite geometrique de raison a :

Sn =n∑

ak =1− an+1

1− a, la serie

∞∑k=0

converge vers1

1− apour |a| < 1

diverge pour |a| ≥ 1

Serie de Riemann∞∑

{converge pour α > 1diverge pour α ≤ 1 ,

la serie harmonique∞∑

diverge donc.

Serie a termes positifs :

. si 0 ≤ un ≤ vn ou siun+1

vn∀n ≥ no alors

∞∑k=0

vk converge⇒∞∑

uk converge et∞∑

uk diverge⇒∞∑

vk diverge

. si 0 ≤ k ≤un

vn≤ k ′ ou si lim

n→∞

vn= l 6= 0 alors les 2 series sont de meme

nature.

. Regle de d’Alembert : si un > 0 et limn→∞

un= l alors{

si 0 ≤ l < 1, la serie converge,si l > 1, la serie diverge.

(si l=1 on ne peut conclure par cette regle)

. Regle de Cauchy : si un > 0 et limn→∞

u1/nn = l alors{

si 0 ≤ l < 1, la serie convergesi l > 1, la serie diverge.

(si l=1 on ne peut conclure par cette regle)

Serie a termes complexes : un = an + i bn

. la convergence de∞∑

uk ⇔ les convergences de∞∑

ak et∞∑

. si la serie est absolument convergente (∞∑

|uk | convergente) alors la serie est

convergente.. en polaire un = ρnvn avec ρn > 0, si, pour tout n entier, |

n∑k=0

vk | ≤ Cte

(indpendante de n) et si la suite (rn) est decroissante de limite 0, alors la serie∞∑

uk est convergente.

Serie entiere : (reelle ou complexe)

. le rayon de convergence de la serie∞∑

ak zk , est le nombre R ≥ 0 (qui peut etre

infini) tel que la serie converge absolument pour tout z verifiant |z| < R, et divergesinon.

. Lemme d’Hadamard :par le critere de d’Alembert (ou de Cauchy) :

si limn→∞

an| = a (ou lim

n→∞u1/n

n = a) alors R = 1/a

. la somme de 2 series entieres, de rayon de convergence respectivement R1 etR2, est une serie entiere de rayon de convergence R = inf (R1,R2) si R1 6= R2, ouR ≥ R1 = R2.

. ∀N entier, la somme finie SN (z) =N∑

anzn converge uniformement vers

S(z) =∞∑

ak zk sur [−r , r ] pour tout r , tel que 0 < r < R.

. la fonction S(z) =∞∑

ak zk est continue et indefiniment continuement derivable

sur ]− R,R[.

. la serie pme-derivee S(p)(z) =∞∑

(k + p)!

p!k!ak zk a meme rayon de convergence

que S(z) =∞∑

ak zk .

. la serie derivee∞∑

kak zk−1 a meme rayon de convergence que S(z) =∞∑

et sa somme, fonction derivable sur ]− R,R[ est egale S′(z),

S′(z) =∞∑

kak zk−1.

Petit rappel de cours sur l’integration

Primitives∫

f (x)dx :pour f definie sur I ⊂ R. F , une primitive de f sur I est une fonction derivable verifiant F ′(x) = f (x) pour

tout x interieur I.

. Si F est une primitive de f , F+ Constante est aussi une primitive de f .

Integrales :

Integrale sur un intervalle borne : pour f definie sur [a, b] intervalle borne,

. Si f est continue sur [a, b] (ou continue par morceaux) alors∫ b

a f (x)dx est definie.

. si f admet une primitive F sur [a, b] alors l’integrale∫ b

a f (t)dt = F (b)− F (a)

Integrale generalise :∫∞

a f (x)dx ou∫ b−∞ f (x)dx ou

∫∞−∞ f (x)dx :

. si f definie sur [a,∞[ et | limA→∞

af (t)dt | <∞ : l’integrale est convergente

(sinon diverge).

Integrale generalisee :∫ b

a f (x)dx pour f definie sur [a, b[ ou ]a, b] ou ]a, b[

. si f definie sur [a, b[ et | limx→b−

af (t)dt | <∞ : l’integrale est convergente

(sinon diverge).

Criteres de convergence (ou divergence) :

. Riemann :∫ ∞a

dt converge pour α > 1 (sinon diverge),∫ b

dt converge pour α < 1 (sinon diverge)

. majoration : si ∀x ∈ [a, b], 0 ≤ f (x) ≤ g(x) alors 0 ≤∫ b

af (t)dt ≤

ag(t)dt ,

donc :

si∫ b

ag(t)dt converge alors

af (t)dt converge et si

af (t)dt diverge,

ag(t)dt

aussi.

. comparaison : si f et g definie sur [a, b[ et limx→b−

g(x)= 1

alors∫ b

a f (t)dt et∫ b

a g(t)dt sont de meme nature.

Calcul de∫ b

a f (x)dx lorsqu’elle converge :

. par les primitives :∫ b

af (x)dx = F (b)− F (a)

. par changement de variables :∫ b

af (x)dx =

∫ β

αf (u(t)) u′(t)dt

avec x = u(t) o u est une fonction definie sur [α, β], derivable et bijective de [α, β]sur [a, b] et telle que u(α) = a et u(β) = b.

. par integration par parties :∫ b

au(x)v ′(x)dx = [u(x)v(x)]ba −

au′(x)v(x)dx

(decoule de la formule de derivation d’un produit (uv)′ = u′v + uv ′)

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