Fonction exponentielle Fonction exponentielle Les savoir-faire 160 Connaître le sens de variation,...

Fonction exponentielle

http://mathGM.free.fr

Lycée Louise Michel (Gisors)

Les savoir-faire

160 Connaître le sens de variation, le signe et la représentationgraphique de exp.

161 Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture.

162 Calculer des limites contenant des exponentielles.

163 Résoudre des équations ou inéquations contenant desexponentielles.

164 Dériver des fonctions contenant des exponentielles.

165 Dém. : Unicité d’une fonction dérivable sur R égale à sa

dérivée et qui vaut 1 en 0.

166 Dém. : Les limites de la fonction exponentielle.

Le problème de Nabolos

Soit f une fonction dérivable sur R vérifiant f (0) = 1 et f ′ = f .L’objectif de la situation est de tracer une approximation de la courbede f .On va construire un nuage de points de coordonnées (xn ; yn), tel queles réels xn appartiennent à l’intervalle [0 ; 2] et par yn soit proche def (xn). Ainsi, le nuage de points (xn ; yn) formera une approximationde la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2].

1. Traduire que f est dérivable en a ∈ R.En déduire f (a + h) ≃ hf ′(a) + f (a).

Interpréter graphiquement ce résultat endonnant la valeur du point d’interrogation.

2. En déduire f (a + h) ≃ (1 + h)f (a).

Interprétation graphique

a a + h

f (a + h)

L’intro de Nabolos (suite)

3. Soit h un réel fixé, voisin de 0. On construit les suites (xn) et (yn)par :ß

x0 = 0

xn+1 = xn + hetß

y0 = f (0)

yn+1 est la valeur approchée de f (xn+1) obtenue au 2..

Donner la nature de la suite (xn) et montrer que yn+1 = (1 + h)yn.En déduire la nature de la suite (yn).On prend h = 0, 1, recopier et compléter le tableau puis construire lenuage de points.

0 1... ...

x20 = y20 ≃ f (x20)

Définition

Propriété

Soit f une fonction définie et dérivable sur R telle quef (0) = 1 et f ′ = f . Pour tout x ∈ R :

f (x) × f (−x) = 1 et f (x) 6= 0

Définition

Propriété

f (x) × f (−x) = 1 et f (x) 6= 0

Théorème

Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telleque f ′ = f et f (0) = 1.

Définition

Propriété

f (x) × f (−x) = 1 et f (x) 6= 0

Théorème

Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telleque f ′ = f et f (0) = 1.

Définition

La fonction exponentielle est la fonction notée exp définiesur R par : exp’(x) = exp(x) et exp(0) = 1.

Relation fonctionnelle

Premières propriétés

Pour tout x ∈ R :

exp(−x) = .

Pour tout x ∈ R :

exp(−x) =1

exp(x).

exp(x) > .

Pour tout x ∈ R :

exp(−x) =1

exp(x).

exp(x) > 0.

Pour tout x ∈ R :

exp(−x) =1

exp(x).

exp(x) > 0.

Relations fonctionnelles

Pour tous réels x et y :

exp(x + y) = .

Pour tout x ∈ R :

exp(−x) =1

exp(x).

exp(x) > 0.

exp(x + y) = exp(x) × exp(y).

exp(x − y) = .

Pour tout x ∈ R :

exp(−x) =1

exp(x).

exp(x) > 0.

exp(x − y) =exp(x)

exp(y).

Pour tout n ∈ Z : exp(nx) = .

Pour tout x ∈ R :

exp(−x) =1

exp(x).

exp(x) > 0.

exp(x − y) =exp(x)

exp(y).

Pour tout n ∈ Z : exp(nx) = (exp(x))n

Notation e

Définition

On note e l’image de 1 par la fonction exp. Ainsi, exp(1) = e.Ce nombre est appelé constante de Neper ou nombre d’Euler.

Remarque : Le nombre e est irrationnel et vautapproximativement 2, 718.

Notation e

Définition

Notation

Pour tout p ∈ Z, exp(p) = exp(p × 1) = (exp(1)p) = ep .

En généralisant cette écriture : pour tout x ∈ R, exp(x) = ex .

Notation e

Définition

Notation

Pour tout p ∈ Z, exp(p) = exp(p × 1) = (exp(1)p) = ep .

En généralisant cette écriture : pour tout x ∈ R, exp(x) = ex .

Exemples

Simplifier les écritures suivantes :

et B =(

−6× e

3. Vidéo

Variations

Propriété

La fonction exp est dérivable sur R donc continue sur R ;Pour tout x ∈ R, exp′(x) = exp(x) > 0 donc la fonction expest strictement croissante sur R.

Variations

Propriété

Conséquences

Pour tous réels a et b :

ea = e

b ⇐⇒ ; ea

< eb ⇐⇒

Variations

Propriété

Conséquences

ea = e

b ⇐⇒ a = b ; ea

< eb ⇐⇒

Variations

Propriété

Conséquences

ea = e

b ⇐⇒ a = b ; ea

< eb ⇐⇒ a < b

Variations

Propriété

Conséquences

ea = e

b ⇐⇒ a = b ; ea

< eb ⇐⇒ a < b

Limites

limx→+∞

ex = +∞ ; lim

x→−∞

ex = 0

Tableau de variations et courbe

exp’(x)

exp(x)

−∞ +∞

+∞+∞

−3 −2 −1 1 2

e0 = 1

e1 = e ≃ 2, 718

y = exp(x)

Exemples

Dérivée

Dériver les fonctions définies par :

1. f (x) = 4x − 3ex 2. g(x) = (x − 1)ex 3. h(x) =

xVidéo

Exemples

Dérivée

1. f (x) = 4x − 3ex 2. g(x) = (x − 1)ex 3. h(x) =

xVidéo

Equations, inéquations

1. Résoudre l’équation ex2

−3− e

−2x = 0. Vidéo

2. Résoudre l’inéquation e4x−1 > 1. Vidéo

Exemples

Dérivée

1. f (x) = 4x − 3ex 2. g(x) = (x − 1)ex 3. h(x) =

xVidéo

Equations, inéquations

1. Résoudre l’équation ex2

−3− e

−2x = 0. Vidéo

2. Résoudre l’inéquation e4x−1 > 1. Vidéo

Limites

Calculer les limites suivantes :1. lim

x→+∞

x + e−3x

2. limx→−∞

1x Vidéo

Compléments sur la fonction exponentielle

Dérivée de eu

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.La fonction e

u est dérivable sur I et admet pour dérivée :

(eu)′ =

Dérivée de eu

(eu)′ = u′e

Croissances comparées

Dérivée de eu

(eu)′ = u′e

limx→+∞

Dérivée de eu

(eu)′ = u′e

limx→+∞

x= + ∞.

limx→−∞

xex = .

Dérivée de eu

(eu)′ = u′e

limx→+∞

x= + ∞.

limx→−∞

xex = 0.

Dérivée de eu

(eu)′ = u′e

limx→+∞

x= + ∞.

limx→−∞

xex = 0.

Autre limite

limx→0

ex − 1

Dérivée de eu

(eu)′ = u′e

limx→+∞

x= + ∞.

limx→−∞

xex = 0.

Autre limite

limx→0

ex − 1

Dérivée de eu

(eu)′ = u′e

limx→+∞

x= + ∞.

limx→−∞

xex = 0.

Autre limite

limx→0

ex − 1

Remarques : Pour tout n ∈ N, limx→+∞

xn= et

limx→−∞

Dérivée de eu

(eu)′ = u′e

limx→+∞

x= + ∞.

limx→−∞

xex = 0.

Autre limite

limx→0

ex − 1

xn= + ∞ et

limx→−∞

Dérivée de eu

(eu)′ = u′e

limx→+∞

x= + ∞.

limx→−∞

xex = 0.

Autre limite

limx→0

ex − 1

xn= + ∞ et

limx→−∞

x = 0.

Exemples

Dérivée

1. f (x) = ex2+1 2. g(x) = xe

3x Vidéo

Exemples

Dérivée

1. f (x) = ex2+1 2. g(x) = xe

3x Vidéo

Limite : croissance comparée

Déterminer limx→+∞

ex + x

ex − x2

Vidéo

Fonction exponentielle Fonction exponentielle Les savoir-faire 160 Connaître le sens de variation,...

Documents

Logarithme népérien - Exponentielle

Fonction exponentielle Dérivation Exercices corrigés · Fonction exponentielle – Dérivation – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2 Soit la fonction

Logarithme népérien · 2013. 5. 22. · John Napier (1550-1617) (dit Néper en France) Vers une nouvelle fonctionEtude de la fonction logarithme népérien La fonction exp : t 7!et

Autour de la fonction exponentielle I. Les points du programme concernés II. Une introduction possible de la fonction exponentielle III. Quel champ dapplication

Cours de terminale S Logarithme népérienmathsollivier.free.fr/ts/fonctionlnP.pdf · Relation fonctionnelle Compléments Déﬁnition Déﬁnition Propriété La fonction exponentielle

Fonctions usuelles - mpsi.daudet.free.frmpsi.daudet.free.fr/maths/polys/cours/FonctionsUsuelles/Usuelles... · Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications

Chapitre 6 fonction exponentielle

Fiche(1) Fonction exponentielle - LeWebPédagogique · 2011-05-07 · Fonction exponentielle Page 3 sur 15 Etude de fonctions Exercice 1 Soit f la fonction définie sur ℝ par :

Cours de terminale S Fonction exponentiellemathsollivier.free.fr/ts/fonctionexpoP.pdfA. OLLIVIER Cours de terminale S Fonction exponentielle Théorème et déﬁnition Relation fonctionnelle

Lycée Mihai Eminescu Iassy Fonction logarithme Fonction exponentielle Georgiana Mocanu Classe: le XI-ème A Prof. coordinateur : Cristina Anton - 31 octobre

Fonction exponentielle Exerciceslaroche.lycee.free.fr/telecharger/TS/exercices/exercices... · 2011. 8. 28. · h de 0,1). A l’aide d’un tableur, on peut représenter cette fonction

Fonction exponentielle Encadrement du nombre Exercices ... · Or, pour tout , car la fonction est décroissante sur . Ainsi, il vient que car la fonction est croissante sur . Comme

Lycée Louise Michel (Gisors)mathgm.free.fr/documents/EDS1/cours/diapo_fonctions_expo.pdfFonction exponentielle Les savoir-faire La fonction exponentielle Étude de la fonction exponentielle

Sommaire I. La radioactivité II. La croissance bactérienne Explication pour benêts Définition ludique III. La fonction exponentielle IV. Expériences

Fonction exponentielle Limites Exercices corrigés · Fonction exponentielle – Limites – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 1 Sont abordés dans cette

ROC : Restitution organisées des connaissances · ANALYSE 2 Analyse 2.1 Unicité de la fonction exponentielle ... Remarque : Cette relation s’appelle la relation fonctionnelle

NOTATION EXPONENTIELLE - Mathématique

Chapitre III : EXPONENTIELLE, LOGARITHME, PUISSANCE

Mathématiques SN La fonction EXPONENTIELLE. Rappels sur les lois des exposants Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - base exposant = puissance

Chapitre 7 – La fonction exponentielle · Cours de Mathématiques – Terminale STI – Chapitre 7 - La fonction exponentielle 3) Limites a) En -∞ On sait que lim x 0+ ln x =−∞