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Introduction à l’automatisation
-ELE3202-
Cours #3: Réponse en fréquence, Conception d’un système de commande & Exercices
Enseignant: Jean-Philippe Roberge
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Cours # 3
Bref rappel du cours #2:
Transformée unilatérale de Laplace: Utilisation des tables
Transformée inverse par décomposition en fractions
partielles (3 cas)
Fonctions de transfert
Simplification des diagrammes fonctionnels (Schéma blocs)
Réponse temporelle des systèmes
Nouveau : Présentation de l’applet « Exploration du plan-s »
Réponse en fréquence Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
2
Cours #3
Conception de boucles de commande (1ère partie)
Analyse de la réponse en régime transitoire
Analyse de la réponse en régime permanent
Exercices:
Issus des questionnaires d’examen
Autres
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
3
Retour sur le cours #2 (I)Transformée unilatérale de
Laplace
4
Rappel - la transformée unilatérale de Laplace est définie comme:
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
0
stf t F s e f t dt
L
0 0
1 0
u t t
u t t
Retour sur le cours #2 (II)Transformée unilatérale de
Laplace
5Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Nous avions présenté 8 propriétés:
Et deux théorèmes:
Valeur initiale:
Valeur finale:
0
0 lim limst
f f t sF s
0
lim limt s
f t sF s
Retour sur le cours #2 (III)Transformée inverse & décomposition en
F.P.
6Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
1er cas – Les pôles de la fonction à décomposer sont réels et distincts:
2e cas – Les pôles sont réels et complexes:
3e cas – Les pôles sont réels et multiples:
1 2
1 2
... n
n
C C CF s
s p s p s p
1 2 322
11
......
N s N s C C s CF s
D s s p s as bs p s as b
1 2 12
1 11 1 2 1 1
... ......
k k nk k
k nk k
N s C C C C CF s
s p s p s ps p s p s p s p s p
Retour sur le cours #2 (IV)Fonctions de transfert
7Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
La fonction de transfert est la transformée de Laplace de la réponse du système à une impulsion de Dirac, avec conditions initiales nulles. Elle représente la sortie sur l’entrée:
2
1Y s sortieG s
R s entrée Ms bs k
2
1
Ms bs k Y(s)R(s)
Retour sur le cours #2 (V)Simplification des diagrammes fonctionnels
8
1)
2)
3)
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Retour sur le cours #2 (VI)Simplification des diagrammes
fonctionnels
9
4)
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Retour sur le cours #2 (VII)Simplification des diagrammes
fonctionnels
10
5)
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Retour sur le cours #2 (VIII)Réponse temporelle d’un
système
11
Système normalisé du premier ordre (forme standard d’un système de
1er ordre):
Position de l’unique pôle d’un système du premier ordre:
En appliquant un échelon à l’entrée du système, la valeur finale de la
sortie du système est K:Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
:1
KG s
s
0 0
1 1lim lim
1s s
Ks G s s Ks s s
Retour sur le cours #2 (IX)Réponse temporelle d’un
système
12
Système normalisé du deuxième ordre (forme standard d’un système
de 2e ordre):
Les pôles du système sont situés en:
1) Si : Système sur-amorti
2) Si : Système avec amortissement critique
3) Si : Système sous-amorti
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
2
2 22n
n ns s
2 1n ns
0
Retour sur le cours #2 (X)Réponse temporelle d’un
système
13Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
1) 2) 3)
Retour sur le cours #2 (XI)Réponse temporelle d’un système
14Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Retour sur le cours #2 (XII)Réponse temporelle d’un système
15Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Retour sur le cours #2 (XIII)Exploration du plan s
16Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
http://www.jproberge.net/plan-s.html
Cours #3
Réponse en fréquence (I)
18
Introduction: Qu’est-ce que la réponse en fréquence?
R: Le nom le dit, il s’agit de la réponse d’un système en régime permanent vis-à-vis un signal d’entré qui varie à une certaine fréquence.
Q: Pourquoi est-il intéressant de s’intéresser à la réponse en fréquence?
R: Il existe plusieurs raisons pour lesquelles il est intéressant et important de se soucier de la réponse en fréquence:
Technique d’analyse très facile à expérimenter en pratique (facile à réaliser, fiable…)
Nous renseigne énormément aux niveaux des caractéristiques du système (surtout par rapport à la réponse transitoire)
Permet même, dans certains cas, l’identification de la fonction de transfert d’un système lorsqu’on ne la connait pas a priori.
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Réponse en fréquence (II)Le concept de la réponse en
fréquence
19
Important: En régime permanent, un système linéaire auquel on applique une entrée de type sinusoïdale génère aussi, à sa sortie, un signal sinusoïdal qui oscille à la même fréquence ω.
En effet, considérons un système T(s) stable auquel on applique une entrée sinusoïdale:
La sortie du système est donc:
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
2 2
1
sin
Et:
T n
ii
Ar t A t R s
s
N ss
s p
1
2 2 2 21
1
... nn
ni
i
N s A k k sY s T s R s
s s p s p ss p
Réponse en fréquence (III)Le concept de la réponse en
fréquence
20
On s’intéresse à la réponse temporelle du système, donc, en prenant les transformées inverses:
En régime permanent:
Il peut alors être démontré (nous allons en faire la preuve dans les prochains transparents) que lorsque t→∞, le système est oscillant et:
Donc, la sortie du système oscille en effet à la même fréquence ω, mais à une amplitude et une phase généralement différentes de celles de l’entrée.Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
1
2 2 2 21
1
... nn
ni
i
N s A k k sY s T s R s
s s p s p ss p
1 11 2 2
0 lorsque
... np tp tn
t
sy t k e k e
s
L
1. . 2 2
lim limR P t t
sY t y t
s
L
. . cosR PY t M t
Réponse en fréquence (IV)Le concept de la réponse en
fréquence
21
Prouvons maintenant que:
Par décomposition en fractions partielles:
Identifions maintenant les éléments K1 et K2:
Donc, on peut ré-écrire:
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
1. . 2 2
lim lim cosR P t t
sY t y t M t
s
L
1 22 2
s K K
s s j s j
1
2
1 1
2 2 2
1 1
2 2 2
i Gi G
i Gi G
jj j i Gi G
s j
jj j i Gi G
s j
s M MK G s j G j M e M e e
s j
s M MK G s j G j M e M e e
s j
1 1. . 2 2
2 2i G i Gj ji G i G
R P
M M M Me esY t
s s j s j
L L
cos sin Identité d'Eulerjte t j t
*2 1
G
G
M G j
K K
G j
Réponse en fréquence (V)Le concept de la réponse en
fréquence
22
Évaluons maintenant la transformée inverse de ce dernier résultat:
** Ce qu’il fallait démontrer
Et puisque:
On parvient à la conclusion suivante: La réponse en fréquence d’un système est entièrement déterminée par:
En effet, puisque:
la réponse en régime permanent à une entrée sinusoïdale est alors sinusoïdale avec la même fréquence, avec une amplitude |G(jw)| fois celle de l’entrée, et avec un déphasage de G(jw) par rapport à l’entrée. Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
. . cos cos2
i G i Gj t j t
R P i G i G i G
M
e eY t M M M M t M t
1. .
2 2i G i Gj ji G i G
R P
M M M Me eY t
s j s j
L
. . cosR P i G i GY t M M t
s j
G j G s
et G GM G j G j
Réponse en fréquence (VI)Le concept de la réponse en
fréquence
23Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Vu que la réponse en régime permanent est entièrement déterminée par la quantité complexe G(jw), on appelle G(jw) la réponse fréquentielle du système. La réponse fréquentielle est souvent représentée graphiquement sous forme de diagramme de Bode. Celui-ci comprend deux graphiques: Un graphique de |G(jw)| où |G(jw)| est en décibel (20 log10 |
G(jw)|) ; et Un graphique de G(jw) en degrés.
L’abscisse est à l’échelle logarithmique pour ces deux graphiques.
Réponse en fréquence (VII)Le concept de la réponse en
fréquence
24Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
La réponse en fréquence d’un système G(s) peut être représenté dans le domaine fréquentiel par:
Où:
La norme et la phase sont donc données par:
Attention: Dans le diagramme de Bode, l’ordonnée du premier
graphique est en décibel, donc 20log10(|G(jw)|). Le deuxième
graphique représente directement φ(w).
lim Rs j
G j G s jX
R Re et ImG j X G j
2 2 1 tanX
G j R XR w
Réponse en fréquence (VIII)Système du premier ordre
25Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Considérons un système de premier ordre:
La fréquence 1/τ est la fréquence de coupure et le système est atténué de 3 décibels à cette fréquence. Pour les fréquences supérieures, la courbe |G(jw)| suit une asymptote de -20db/décade.
Le déphasage passe de 0 à -90 degrés, en passant par -45 degré à la fréquence de coupure
1
1G s
s
Réponse en fréquence (IX)Système du premier ordre
26Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Réponse en fréquence (X)Système du premier ordre
27Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Réponse en fréquence (XI)Système du premier ordre
28Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Démonstration d’un outil Matlab: Tf()
ltiview
Réponse en fréquence (XII)Système du deuxième ordre
29Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Considérons un système du deuxième ordre:
Que l’on peut ré-écrire:
2
2 22n
n n
G ss s
2
22 2
1
2 21
n
n n
n n
G ss s s s
Réponse en fréquence (XIII)Système du deuxième ordre
30Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Réponse en fréquence (XIV)Système du deuxième ordre
31Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Réponse en fréquence (XV)Système du deuxième ordre
32Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Pour il y a une fréquence de résonance (|G(jw)| > 1) :
et la valeur de |G(jw)| est donnée par:
Ainsi, pour de petites valeurs de < 0.5, on peut utiliser l’approximation :
Pour = 0.707, la fréquence wn est la fréquence de coupure avec une
atténuation de 3 décibels. Pour les fréquences supérieures, la courbe |G(jw)| suit une asymptote de -40db/décade. Le déphasage passe de
0 à -180 degrés, en passant à -90 degré à la fréquence wn.
21 2r n
2
1
2 1G j
1 0.7072
1
2G j
Réponse en fréquence (XV)Exemple
33Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Réponse en fréquence (XVI)Exemple
34Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Réponse en fréquence (XVII)Exemple
35Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Réponse en fréquence (XVIII)Exemple
36Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Réponse en fréquence (XIX)Exemple
37Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Réponse en fréquence (XX)Exemple
38Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Réponse en fréquence (XXI)Exemple
39Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Réponse en fréquence (XXII)Exemple
40Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Réponse en fréquence (XXIII)Exemple
41Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Réponse en fréquence (XXIV)Exemple
42Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (I)
43Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (II)
44Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
La performance d’un système de commande est décrite en termes de plusieurs types de critères: 1) La stabilité: Les pôles sont-ils tous à partie réelle négative (demi-plan
gauche)? 2) Les spécifications de la réponse temporelle en régime transitoire:
P: dépassement (en %), en anglais : overshoot
Tp: Temps de dépassement
Ts: Temps de réponse à 2% (ou 5%)
Kp: Constante d’erreur de position (vis-à-vis l’échelon)
Kv: Constante d’erreur de vitesse (vis-à-vis rampe)
3) Les spécifications de la réponse fréquentielle: BW (Band Width): Bande passante
Mm: Gain à la résonance
4) L’atténuation des perturbations
Conception de boucles de commande (III)
45Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (IV)
46Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (V)
47Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (VI)
48Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (VII)
49Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (VIII)
50Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (IX)
51Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (X)
52Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (XI)
53Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Exercices (I)
54Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Exercices (II)
55Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Exercices (III)
56Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Exercices (IV)
57Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Exercices (V)
58Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Références
59Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop
Control Systems Engineering – Norman S. Nise
Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle
Linear System Theory – Wilson J. Rugh
Caractérisation et conception d’une commande robuste pour un système de type pendule inversé - Jean-Philippe Roberge
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