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Historique Systemes dynamiques Equations Numerique Couches limites Stabilite Turbulence
La mecanique des fluides
Thierry Alboussiere
20 juin 2006
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Historique Systemes dynamiques Equations Numerique Couches limites Stabilite Turbulence
La mecanique des fluides
Thierry Alboussiere
20 juin 2006
1. Historique
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Historique Systemes dynamiques Equations Numerique Couches limites Stabilite Turbulence
La mecanique des fluides
Thierry Alboussiere
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1. Historique
2. Approche de type systeme dynamique
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Historique Systemes dynamiques Equations Numerique Couches limites Stabilite Turbulence
La mecanique des fluides
Thierry Alboussiere
20 juin 2006
1. Historique
2. Approche de type systeme dynamique
3. Quelles equations pour le mouvement des fluides
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Historique Systemes dynamiques Equations Numerique Couches limites Stabilite Turbulence
La mecanique des fluides
Thierry Alboussiere
20 juin 2006
1. Historique
2. Approche de type systeme dynamique
3. Quelles equations pour le mouvement des fluides4. Calcul numerique des ecoulements fluides
H S ` E N C S T
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Historique Systemes dynamiques Equations Numerique Couches limites Stabilite Turbulence
La mecanique des fluides
Thierry Alboussiere
20 juin 2006
1. Historique
2. Approche de type systeme dynamique
3. Quelles equations pour le mouvement des fluides4. Calcul numerique des ecoulements fluides
5. Les couches limites
H S ` E N C S T
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Historique Systemes dynamiques Equations Numerique Couches limites Stabilite Turbulence
La mecanique des fluides
Thierry Alboussiere
20 juin 2006
1. Historique
2. Approche de type systeme dynamique
3. Quelles equations pour le mouvement des fluides4. Calcul numerique des ecoulements fluides
5. Les couches limites
6. La stabilite
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La mecanique des fluides
Thierry Alboussiere
20 juin 2006
1. Historique
2. Approche de type systeme dynamique
3. Quelles equations pour le mouvement des fluides4. Calcul numerique des ecoulements fluides
5. Les couches limites
6. La stabilite
7. La turbulence
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Historique Systemes dynamiques Equations Numerique Couches limites Stabilite Turbulence
Lheritage technique des chinois, des grecs, des arabes,des romains
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Historique Systemes dynamiques Equations Numerique Couches limites Stabilite Turbulence
Archimede et lequilibre statique des fluides
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Historique Systemes dynamiques Equations Numerique Couches limites Stabilite Turbulence
Archimede et lequilibre statique des fluides
Archimede (287212 av. JC)formule quantitativement lesforces exercees par les fluides :Tout corps plonge dans un flu-
ide recoit une poussee vertiale
dirigee vers le haut egale aupoids du fluide deplace
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s or qu S s s qu s qu o s u r qu Couc s s S ur u c
Aristote (384322 av. JC)
La nature
a horreurdu vide...
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q q q q
Pascal et la pression
Pascal (16231662) definit la notionde pression et prouve au Puy de Domeque la pression atmospherique est dueau poids de latmosphere.
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Pascal et la pression
La pression exerceepar la colonne dair delatmosphere est com-
pensee par le poids dela colonne de mercure.A lextremite haute levide exerce une pressionnulle.
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Leonard De Vinci (1452 1519)
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Leonard De Vinci (1452 1519)
Decrit les mouvements fluides Invente le terme turbulence,
turbolenza
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Isaac Newton (1642 1727)
le produit de la masse et de laccelerationest egal a la somme des forces exercees
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Leonhard Euler (1707 1783)
determine lequation des fluides par-
faits qui secoulent sans resistance(viscosite nulle).
u
t+ (u )u = p.
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Le paradoxe de dAlembert (17171783)
Un corps se mouvant a vitesse constante dans un fluide parfait nesubit
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Le paradoxe de dAlembert (17171783)
Un corps se mouvant a vitesse constante dans un fluide parfait nesubit ni trainee
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Le paradoxe de dAlembert (17171783)
Un corps se mouvant a vitesse constante dans un fluide parfait nesubit ni trainee ni portance.
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Les experiences de Couette (18581943)
A faible vitesse, la force necessaire est proportionnelle a la vitessedifferentielle et inversement proportionnelle a lepaisseur de fluide.
Il identifie la viscosite du fluide au coefficient de proportionnalite.
F = U
R
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Georges Stokes (181919O3)
Mathematicien, il etablit
rigoureusement lequation desfluides visqueux.
0 = p+ u
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Navier (17851836)
Il fait la synthese de lequation dEuler des fluides parfaits et cellede Stokes pour les fluides visqueux : lequation de Navier-Stokes
u
t+ (u )u = p+ u
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Les experiences de Reynolds (18421912)
Reynoldsdecouvreun criteredapparition
des instabilites
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Les experiences de Reynolds
Re = UD/
U vitesse moyenne
D diametre
viscositecinematique
Transition instablevers Re 2000
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Lhistoire de la mecanique des fluides
Les realisations des chinois, des grecs, des arabes, des romains Lequilibre statique des fluides : Archimede, Pascal Description des mouvements fluides : De Vinci
Les lois de la mecanique : Newton
Les fluides parfaits : Euler, dAlembert Les fluides visqueux : Stokes Lequation visco-inertielle de Navier-Stokes : Navier
Les experiences de Reynolds Letude des instabilites : Orr, Lin, Joseph, Arnold Letude de la turbulence : Leray, Kolmogorov
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Le systeme dynamique Navier-Stokes
u
t+ (u )u = p+ u
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Le systeme dynamique Navier-Stokes
u
t= F(u)
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Le systeme dynamique Navier-Stokes
u
t= F(u)
Une condition initiale : le champ de vitesse u0, cest-a-dire unchamp de vecteur defini en tout point dun domaine D.
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Le systeme dynamique Navier-Stokes
u
t= F(u)
Une condition initiale : le champ de vitesse u0, cest-a-dire unchamp de vecteur defini en tout point dun domaine D.
Lespace des phases : lensemble des champs de vecteurs definisdans D, qui satisfont divu = 0 et des conditions aux limites, parexemple, u = 0 sur le bord D.
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C b d d d l b ?
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Combien de degres de liberte ?
Lespace des phases est de dimension infinie !
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C bi d d d lib t ?
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Combien de degres de liberte ?
Lespace des phases est de dimension infinie !
En regime chaotique, on parle alors de chaos spatio-temporel
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C bi d d d lib t ?
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Combien de degres de liberte ?
Lespace des phases est de dimension infinie !
En regime chaotique, on parle alors de chaos spatio-temporel
Non seulement levolution temporelle de la vitesse en un pointdonne est complexe, mais a un instant donne la distributionspatiale de la vitesse est complexe egalement
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St bilit d t i
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Stabilite des mouvements visqueux
Si la viscosite est suffisamment grande (ou le nombre de Reynoldsinferieur a une valeur critique), on peut montrer que lattracteurdu systeme dynamique de Navier-Stokes est un point.
Le nombre de Reynolds est le parametre clef de la nature dessolutions de Navier-Stokes.
Aux grands nombres de Reynolds, lattracteur a une dimension treselevee (mais finie !). Cest la turbulence.
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L fl id f it
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Les fluides parfaits
Densite constante, viscosite nulle
Chaque particule fluide obeit a la loi de Newton
Contrainte : le volume de tout ensemble de particules reste
constant (role de la pression)
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Lequation de continuite
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Lequation de continuite
SV
pnn u
Vdiv(u)dV= 0
t
V dV+
Su.n dS= 0
DDt V dV= 0
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Lequation de continuite
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L equation de continuite
SV
pnn u
Vdiv(u)dV= 0
t
V dV+
Su.n dS= 0
DDt V dV= 0
divu = 0
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Lequation dEuler
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L equation d Euler
D
Dt
V
u dV= S
pn dS
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Lequation dEuler
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L equation d Euler
D
Dt
V
u dV= S
pn dS
t
V
u dV+S
u (u.n) dS= V
p dV
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Lequation dEuler
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L equation d Euler
D
Dt
V
u dV= S
pn dS
t
V
u dV+S
u (u.n) dS= V
p dV
V
u
t+
xj( uj u) dV=
V
p dV
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Lequation dEuler
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L equation d Euler
D
Dt
V
u dV= S
pn dS
t
V
u dV+S
u (u.n) dS= V
p dV
V
u
t+
xj( uj u) dV=
V
p dV
u
t+ (u )u = p.
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Lequation dEuler
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L equation d Euler
La derivee temporelle D/Dt = /t + u
est la derivee
particulairet
x
t
x = uxt
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Lequation dEuler
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L equation d Euler
La derivee temporelle D/Dt = /t + u
est la derivee
particulairet
x
t
x = uxt
Du
Dt= p.
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Reversibilite
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Reversibilite
u up p
t tLecoulement symetrique est egalement solution
Consequences : pas de tranee. Labsence de portance est plustechnique a montrer.
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Et la viscosite ?
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t la viscosite
U
u(y)
y
x =
du
dy
U + U
U
0 = p+ u
Historique Syst`emes dynamiques
Equations Num
erique Couches limites Stabilit
e Turbulence
Reversibilite
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u
u
p pLecoulement symetrique est egalement solution
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Equations Num
erique Couches limites Stabilit
e Turbulence
Fluide reel
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Un fluide reel est a la fois inertiel et visqueux (meme faiblement)
u
t+ (u
)u =
p+ u
Historique Syst`emes dynamiques
Equations Numerique Couches limites Stabilit
e Turbulence
Fluide reel
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Un fluide reel est a la fois inertiel et visqueux (meme faiblement)
u
t+ (u
)u =
p+ u
Du coup, on perd la reversibilite !
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Methodes numeriques
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u est definie sur un domaine R3 et sur un intervalle de temps
[0;T
]
0 T
Discretisation des equations :
1. en temps : explicite, implicite, Runge-Kutta
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Methodes numeriques
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u est definie sur un domaine R3 et sur un intervalle de temps
[0;T
]
0 T
Discretisation des equations :
1. en temps : explicite, implicite, Runge-Kutta2. en espace :
differences finies volumes finis elements finis
methodes spectrales
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Les differences finies
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par nud
une equation
N
y
x
ECO
S
Les derivees partielles sont remplacees par des differences :
p
x=
pE pO2x
(ordre deux)
2
uxy2
=
uNx uCx
y uCxu
Sx
yy
= uNx 2u
Cx + u
Sx
(y)2
faciles a mettre en uvre difficiles a adapter a un maillage non structure
la conservation nest pas satisfaite
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Les volumes finis
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s
O
o e
n
E
N
S
C
une equationpar volume
Le domaine est decoupe en volumes disjoints le recouvrant, centressur les points du maillage.Les equations integrales sont appliquees sur chaque volume, les
grandeurs etant interpolees entre les points du maillage.
conservation de la masse, de la QDM, ... sur chaque volume prise en compte de la taille de chaque volume
adaptation possible aux maillages non structures
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Les elements finis
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Des fonctions elementaires engendrent un espace de recherche,sous-espace de lespace de recherche initial
u = uiei
Les equations sont projetees sur les fonctions elementaires
eiEq(uiei)dV
projection de la solution sur le sous-espace Tres bien adaptee aux maillages non structures matrices obtenues moins faciles a traiter
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Les methodes spectrales
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u(x) = kx,ky,kzf(k)eik.x
zespace reel
x
y
kz espace spectral
ky
kx
N
NN
NN
N
continuite : divu = 0 k.u = 0Navier-Stokes
u
t + (u.)u = p+ u
ut
+ i kju uj
I kk
k2
= k2u
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Les methodes spectrales
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erreur decrot exponentiellement avec N discretisation maximale : 20483 (FFT) bote periodique seulement (turbulence theorique)
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Discretisation en temps
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Schema explicite ut = F(u) un+1uu
t = F(un)
Schema implicite ut = F(u)
un+1uu
t = F(un+1)
Schema explicite et implicite sont dordre un. Des schemas dordreplus eleves peuvent etre utilises (Runge-Kutta,...)
Le choix entre differents schemas (meme dordre egal) influence la
resolution numerique.
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Stabilite et viscosite numerique
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Stabilite : un schema de discretisation instable peut conduire a desdivergences, alors que lon sait que la vraie solution est bornee
viscosite : le schema numerique peut conduire a une viscositeapparente plus grande que la viscosite donnee en entree
Exemple : transport de la temperature 1D, instationnaire
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Stabilite et viscosite numeriques
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T
temperature
U
marche de
x
T
t
+ UT
x
= 0
Explicite aval Tn+1i Tni
T = UTni+1Tni
x
Explicite amontTn+1
iTni
T = UTni T
ni1
x
Implicite avalTn+1i T
ni
T = UTn+1i+1 Tn+1i
x
Implicite amontTn+1
iTni
T = UTn+1
iTn+1
i1
x
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Stabilite et viscosite numeriques
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Schema explicite amont : Tn+1i Tni = UTx (Tni Tni1)
UT < xUT = xUT > x
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Lanalyse numerique
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Variables ui, vi, wi, p,...
On construit un grand vecteur solution i, de taille : nombre demailles par nombre de variables
t = A + B
Chaque ligne de calcul fait intervenir les variables sur les maillesvoisines. La matrice est tres creuse et de forme bande
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Logiciels de mecanique des fluides
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Logiciels commerciaux generaux :CFX, FLOW3D, Fluent (Vol finis)Fidap (Elts finis)Femlab (Elts finis), FreeFem (gratuit, Inria)
Logiciels specifiques (souvent Vol finis)CombustionCompressibleDiphasique
Performances actuelles : jusqua 100 millions de points de maillage.
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Analyse dimensionnelle
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DU
U D est inferieur a 2000 : solution laminaire
U D est superieur a 2000 : turbulence
Variables dimensionnelles : U, D, , , de dimension m s1
, m,kg m1 s1, kg m3.4 variables, 3 dimensions 1 nombre adimensionnel
u
t + (u.)u = p+ u
U2
D
U
D2
Inertie/Viscosite Re
=
U D
=
U D
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Equations adimensionnelles
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Variables adimensionnelles
ua =uU
, ta =tUD
Equation adimensionnelle
uata
+ (ua.a)ua = apa + 1Re
aua
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Faibles nombres de Reynolds
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Rheologie
Newtonien
non Newtonien
Comportement rheologiques non lineaires : difficultes numeriques.Applications : bitumes, gels, dentifrice, polymeres, sang, ...
Tribologie
Frottement de surfaces en mouvement relatif. Paliers, roulements,laminoirs...
Sedimentation
Sable, boues,
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Melange chaotique, microfluidique
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Un mouvement fluide simple peut engendrer des trajectoireschaotiques
dxpdt
= u.
Melange de ciments, de pates, reactants,... MEMS
Concentration :c
t + u.c = Dc
2
D
D
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Les couches limites Prandtl (18751953)
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U
profile
velocityReal
profile
theoryInviscid
u
t+ (u.)u = p+ u
U2
L
U
2Les termes visqueux sont comparables aux termes inertiels a une
echelle L U L
1/2
L Re1/2
Historique Systemes dynamiques Equations Numerique Couches limites Stabilite Turbulence
Pas de reversibilite
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Separation des couches limites
gradient de pression(defavorable)
pointdinflexion
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Ecoulement parfaits imaginaires
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En realite
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En realite
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Enjeu pratique
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Exploiter la separation des couches limites : par exemple, pourdecoller au bord de fuite des ailes davion
portance
Eviter de creer des zones recirculantes qui dissipent beaucoupdenergie tranee
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Stabilite lineaire
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u
t+ (u.
)u =
p+ u
u0 solution. Plus une petite perturbation u = u0 + uEq(u) - Eq (u0)
u
t + (u0.)u + (u.)u0 + (u.)u = p+ uu
t= L(u)
u0 stationnaire L et
t commutent base commune devecteurs propres u = e tf(x)Probleme aux valeurs propres f = L(f)Si une valeur propre a une partie reelle positive, la solution estlineairement instable.
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Ecoulements de Poiseuille
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DU
Le nombre de Reynolds critique de lecoulement de Poiseuille plan
vaut UD/= 5772. Au-dela, cette solution simple est encorevalable, mais ne se trouve jamais realisee...
Dans dautres cas (Poiseuille circulaire), on ne trouve pas de seuil
(UD/= ). En revanche, si on augmente le nombre deReynolds, une perturbation finie de taille de plus en plus faiblesuffit a rendre lecoulement instable puis turbulent.
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Les differentes notions de stabilite
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A(t)
A(t)
STABILITE CONDITIONNELLEt
A0
STABILITE GLOBALE
INSTABLE
A(t)
t
AC(R)
RE RG RL
A(t)
tt
A(t)
STABILITE GLOBALE MONOTONE
R
LINEAIREMENT INSTABLE
t
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La turbulence
Un probleme existentiel
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Un probleme existentiel ...
Partant dun champ de vitesse C dans un domaine borne, on nesait pas si les equations de Navier-Stokes deviennent singulieres enun temps fini !
Euler, ou Navier-Stokes en dimension 2 : solutions regulieres
Euler, ou Navier-Stokes en dimension 3 : ?? 1 million de dollars agagner, en tant que lun des 7 problemes de linstitut Clay
Calculs numeriques et analytiques : recherche de singularites
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La turbulence
Un probleme existentiel
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Un probleme existentiel ...
Partant dun champ de vitesse C dans un domaine borne, on nesait pas si les equations de Navier-Stokes deviennent singulieres enun temps fini !
Euler, ou Navier-Stokes en dimension 2 : solutions regulieres
Euler, ou Navier-Stokes en dimension 3 : ?? 1 million de dollars agagner, en tant que lun des 7 problemes de linstitut Clay
Calculs numeriques et analytiques : recherche de singularites
Werner Heisenberg the great quantum physicist said: When I die, I will
ask God two questions. Why is there relativity? Why is there turbulence?
I am sure he will answer the first.
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La turbulence
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Un probleme pratique ...
En attendant de savoir si le probleme est bien pose, on a besoin de
calculer des ecoulements turbulents.
Quelle est la difficulte ? Comment choisir la maille despace ?Comment choisir le pas de temps ?
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Cascade de Richardson
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Big fleas have little fleas
that sit on their back to bite themAnd little fleas have lesser fleas
And so on ad infinitum
Jonathan Swift
Big whirls have little whirls
that sit on their back to bite them
Little whirls have lesser whirls
And so on to viscosity
Lewis Richardson
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Cascade de Kolmogorov
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echelleecoulementmoyen
l
dissipation
Petite echelleEchelle de Kolmogorov
log(k)
energie venant
de lecoulement moyenlog(E
(k
))
3
-5
c
ascade
u = U + v
E =
Vv2
2 dV
E = V
v2
2
dV
E =
0 E(k)dk
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Analyse dimensionnelle de Kolmogorov
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Distribution de lenergie turbulente E =
E(k)dk
E(k) = f(k, )
ou est le taux de dissipation de la turbulence
Dimensionnellement : E(k) = 23 k
53
Lechelle telle que Re
1 est lechelle de Kolmogorov
=l
Re3/4
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Calculs futuristes et optimistes
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Reynolds possible actuellement en 2006, avec 20483
Re 20484/3 26000
Autour dune aile davion L 1m, U 100m.s1,
105m2.s1 dou Re
107. Il faut
L
Re3/4
1
200000
Il faut multiplier le nombre de point dans une direction, par 100par rapport a 2006. Donc le nombre total de nuds Nt par lecube, 1 million.
La puissance de calcul est au moins proportionnelle a N
4/3
t , 100millions de fois plus quaujourdhui.
Loi de Moore : fois 2 tous les 18 mois dans 40 ans !
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Les ingenieurs et la turbulence
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Remplacer le calcul direct (DNS Direct Numerical Simulation) parun modele. Modele des contraintes de Reynolds.Differentes methodes
viscosite turbulente methode k Reynolds Stress modelling LES (Large Eddy Simulation)
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Viscosite turbulente et Methode k
U
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= U
y
+ ujui
= ( + t)U
y
On estime la viscosite turbulente par analyse dimensionnelle
t ul
Energie turbulente k et dissipation specifique de la turbulence
t k2
+ deux equations de transport (approchees) pour k et Methode la plus utilisee dans lindustrie. Coefficients ajustes pourles cas connus.
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Large Eddy Simulation
log(E (k))
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90% 10%1/h log(k)
k
53
log(E(k))
de lenergie de lenergie
Les grands tourbillons sontresolus exactement, et les
petits sont modelises parune viscosite turbulente.
Avantages : les grandeurs fluctuantes sont calculees, meilleursresultatsMoins cher que la DNS, plus cher que k Incertitude sur linfluence des petites echelles sur les grandes...
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La mecanique des fluides est une science a la fois jeune etancienne
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La mecanique des fluides est une science a la fois jeune etancienne
Elle beneficie a plein de lessor du numerique
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La mecanique des fluides est une science a la fois jeune etancienne
Elle beneficie a plein de lessor du numerique
mais en demande toujours plus...
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La mecanique des fluides est une science a la fois jeune etancienne
Elle beneficie a plein de lessor du numerique
mais en demande toujours plus... Elle offre de nombreux problemes de stabilite
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La mecanique des fluides est une science a la fois jeune etancienne
Elle beneficie a plein de lessor du numerique
mais en demande toujours plus... Elle offre de nombreux problemes de stabilite Elle constitue un probleme mathematique fondamental
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La mecanique des fluides est une science a la fois jeune etancienne
Elle beneficie a plein de lessor du numerique
mais en demande toujours plus... Elle offre de nombreux problemes de stabilite Elle constitue un probleme mathematique fondamental Peut-etre connectee, notre capacite a modeliser correctement
la turbulence
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