Math sujet partiel

Aix-MarseilleUniversite -LicenceMI 1`ereannee-S2Alg`ebreLineairePartieln3Aucundocumentautorise. Calculettesinterdites.Touslesespacesvectorielsconsideresdanslasuitesontdesespacesvectorielssur Rdedimen-sionnie.Exercice11) Donnerladenitiondunoyauduneapplicationlineaire.Enoncerletheor`emedurang.2) Soit f : E Funeapplicationlineaire. Montrer quef est injectivesi et seulement siKer(f) = {0}.3) Soitf: E Funeapplicationlineaire. Montrerquesifestinjectivealorsonalinegalitedim(E) dim(F). Montrerquesifestsurjectivealorsdim(E) dim(F).Exercice2SoitA =1 2 0 0 10 1 0 1 01 1 1 2 00 1 1 1 1.1. LamatriceAest-elleinversible?2. DequelsespacesvectorielsKer(A)etIm(A)sont-ilsdessous-espacesvectoriels?3. MontrersanscalculqueKer(A) = {0}.4. DeterminerKer(A). Ondonnerasadimensionainsiquunebase.5. DeterminerlerangdelamatriceAainsiquunebasedesonimage.6. Resoudrelesyst`emeAX= cavecc =1001.Exercice3SoitA=3 2 22 1 22 2 1. Notonsf : R3 R3lapplicationlineairedontlamatricedanslabasecanoniquede R3estA. Notonsu1=110,u2=101etu3=111.1) Calculerdet(A). Endeduirequefestunisomorphisme.22) Montrerque {u1, u2, u3}estunebasede R3.3) Donnerlesimagesdesvecteursu1,u2,u3parf.4) Donner la matrice de fdans la base {u1, u2, u3}. On notera cette matrice B. En deduire uneinterpretationgeometriquedef.5) Calculerdet(B). Justierpourquoilonretrouveleresultatdelaquestion1).Exercice4SoientEunespacevectorielsur RetfunendomorphismedeEveriant:f f= Id.1) Montrerquefestbijective. Exprimerf1enfonctiondef.2) Soitv E \ {0}. Montrerquelafamille(v, f(v))estlibre.3) OnsupposequeEestunespacevectoriel dedimension2. Montrerquelafamille(v, f(v))estunebasedeEetdeterminerlamatricedefdanscettebase.4) SoitFunsous-espacevectoriel deE. NotonsG:=F+ f(F). MontrerqueGestunsous-espacevectoriel deE. Montrerquef(G) G. Alaidedelaquestion1)endeduirequef(G) = G.Exercice5SoitH= {P R2[X]telsqueP

(0) = 0}.1. MontrerqueHestunsousespacevectorieldelespacedespolynomes`acoecientsdans R.2. DeterminerunebasedeHetendeduiresadimension.