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REPUBLIQUE DU BENIN
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE
SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE POLYTECHNIQUE INTERNATIONALE DU BENIN
SECTEUR : INDUSTRIEL
Diplôme : DUT 1 – GTR et GEII 1
Année d’étude : 1e année (Second semestre)
Notes de Cours :
MATHEMATIQUES GENERALES 2
Professeur : Joël M. ZINSALO
Année Académique : 2012 - 2013
Mathématiques générales 2
MODULE : MATHEMATIQUES GENERALES 2
Formation : DUT / GTR – GEII
Année d’étude : 1ere année (Second semestre)
CONTENU DU MODULE
Chapitre 1 : Matrices : Définitions, types et opérations
Chapitre 2 : Déterminants et inversion d’une matrice carrée
Chapitre 3 : Systèmes linéaires et matrices
Chapitre 4 : Fonctions à plusieurs variables
Chapitre 5 : Intégrales doubles et triples
Chapitre 6 : Intégrales curvilignes et intégrales de surface
Chapitre 7 : Suites et séries numériques
Mode d’évaluation
C’est le mode d’évaluation en vigueur à l’Université Polytechnique
Internationale du Bénin : un contrôle continu et un examen terminal.
Par Joël M. ZINSALO Page 2
Mathématiques générales 2
CHAPITRE 1 :
1. Définitions
On appelle matrice un tableau A dont les éléments appartiennent à un
ensemble donné R ou C en général. Toute matrice est formée d’un certain
nombre n de lignes et d’un certain nombre p de colonnes.
Soient n et p deux entiers non nuls. On appelle matrice à n lignes et à p
colonnes d’éléments réels ou complexes tout tableau de la forme :
A=[a11a12⋯ a1 j⋯ a1p
a21a22⋯ a2 j⋯ a2 p
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ai1a i2⋯ aij⋯ a ip
⋮ ⋮ ⋮ ⋮an1an2⋯ anj⋯ anp
] ou A=(a11a12⋯ a1 j⋯ a1 p
a21 a22⋯ a2 j⋯ a2p
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ai1a i2⋯ aij⋯ a ip
⋮ ⋮ ⋮ ⋮an1an2⋯ anj⋯ anp
)Dans cette écriture, chacun des éléments de A est repéré par un indice double
situant, respectivement, la ligne et la colonne où se trouve cet élément. Ainsi
a21 est l’élément de A situé sur la 2e ligne et la 1ere colonne.
La matrice A est aussi notée :
A=(aij )1≤ i≤ n1≤ j≤ p
.
La notation a ij désigne l’élément se trouvant à l’intersection de la ieme ligne et de
la j eme colonne.
a ij s’appelle aussi terme général de la matrice A et les a ij sont appelés les
coefficients de la matrice A .
La matrice à n lignes et à p colonnes est une matrice dite matrice de format
(n , p ) ou tout simplement matrice (n , p ) ou matrice de taille n× p .
L’ensemble des matrices (n , p ) d’éléments de K où K =RouCest noté M n , p (K ).
Par Joël M. ZINSALO Page 3
MATRICES : DEFINITIONS – TYPES ET
OPERATIONS
Mathématiques générales 2
Exemples de matrices : Soit la matrice suivante
A=(5 86−2 01 94 17 )
A est à 2 lignes et à 5 colonnes.
A est une matrice de format (2,5 ) ou une matrice de taille 2×5.
Une matrice n’a pas de valeur numérique. Elle est simplement utilisée pour
simplifier l’écriture d’une certaine quantité d’informations et permet une
manipulation facile du point de vue mathématique.
2. Types de matrices
Une matrice ne contenant qu’une seule ligne n=1 est appelée matrice ligne
ou vecteur ligne.
Exemple :
A=(56 4 2−1 )
Une matrice ne contenant qu’une seule colonne p=1 est appelée matrice
colonne ou vecteur colonne.
Exemple :
A=( 5−23 )
Une matrice dont tous les éléments sont nuls est appelée matrice nulle et
est notée o.
Exemple :
A=[0 00 00 0]
Une matrice ayant même nombre de lignes que de colonnes (n=p ) est
appelée matrice carrée d’ordre n. C’est une matrice de format (n ,n ) ou
(n×n ) ou simplement matrice carrée d’ordre n. Les éléments a ii de cette
matrice sont appelés éléments diagonaux.
Exemple : La matrice A suivante est une matrice carrée d’ordre 3.
Par Joël M. ZINSALO Page 4
Mathématiques générales 2
A=[ 2713 941 05 ]ou A=(
2713 94105 )
L’ensemble des matrices carrées d’ordre n d’éléments de K où K =RouC
est noté M n (K ).
Nous donnons à présent les définitions de certaines matrices carrées
particulières.
Matrice diagonale : C’est une matrice carrée dont les seuls
éléments non nuls sont ceux de la diagonale principale.
Exemple :
A=(2000 90005)
On peut la noter A=Diag (2,9,5 ).
Matrice identité : On appelle matrice identité d’ordre n et on note
I n la matrice carrée, diagonale, de taille n, dont tous les éléments
diagonaux sont égaux à 1.
Exemple :
I 3=(10001000 1)
Matrice scalaire : On appelle matrice scalaire d’ordre n toute
matrice carrée α I n où α est réel ou complexe et de la forme :
[α ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ α ]
Matrice triangulaire :
Une matrice carrée dont tous les éléments au-dessous de la
diagonale principale sont nuls est appelée matrice triangulaire
supérieure.
Exemple :
Par Joël M. ZINSALO Page 5
Mathématiques générales 2
A=(2910 750 03)
Une matrice carrée dont tous les éléments au-dessus de la
diagonale principale sont nuls est appelée matrice triangulaire
inférieure.
Exemple :
A=(2 005 701 93)
Une matrice carrée est dite matrice triangulaire si elle est
triangulaire supérieure ou triangulaire inférieure. De cette
définition, on retient que la matrice diagonale est à la fois
triangulaire supérieure et triangulaire inférieure.
3. Transposée d’une matrice
On appelle transposée d’une matrice A de taille n× p la matrice notée A❑t
(onnote aussi A 'ou At ou~A ) de taille p×n dont les éléments de la ieme colonne
correspondent à ceux de la ieme ligne de A et dont les éléments de la j eme ligne
sont ceux de la j eme colonne de A. Autrement dit, la transposée d’une matrice A
est la matrice A❑t obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.
Exemple :
On considère la matrice suivante :
A=(27 1539 47105 6 )
La transposée de cette matrice est :
A❑t =(
2 317 9 01 4 557 6
).Théorème
Si A et B sont deux matrices de M n , p (K ), on a :
Par Joël M. ZINSALO Page 6
Mathématiques générales 2
( A+B )= A❑t
❑t + B❑
t
( λ ∙ A )=λ ∙ A❑t
❑t
( A❑t )❑
t=A .
Si A∈M n , p (K ) et B∈M p ,q (K ), on a :
( A ∙B )= B❑t
❑t ∙ A❑
t .
4. Matrice symétrique et matrice antisymétrique
Une matrice carrée A est dite symétrique si et seulement si A❑t =A. C’est une
matrice dont la disposition des éléments est symétrique par rapport à la
diagonale principale.
Une matrice A est dite antisymétrique si et seulement si A❑t =−A.
Exemple
A=[ 0 0 10 0 3−1 −3 0]; A❑
t =[0 0 −10 0 −31 3 0 ]
A❑t =−A, donc A est antisymétrique.
On remarque que les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont
tous nuls.
5. Opérations sur les matrices
5.1. Egalité de deux matrices
Deux matrices de même format (n , p ) sont dites égales si et seulement si leurs
éléments correspondants sont égaux.
5.2. Addition de deux matrices
L’addition de deux matrices de même taille s’effectue élément par élément.
L’addition de deux matrices n’est possible que si ces matrices ont le même
format (même nombre de lignes et de colonnes).
Par Joël M. ZINSALO Page 7
Mathématiques générales 2
Si A=(aij ) et B=(bij ) sont deux matrices de même format (n , p ), on appelle somme
des matrices A et B notée C=A+B la matrice de format (n , p ) de terme général
c ij=a ij+b ij .
Donc :
A+B= (aij+bij ) .
Exemple :
(1 2 −32 1 −20 −12 √5 )+(
3 1,2 00 1 00 1 0)=(
4 3,5 −32 2 −20 −11 √5 )
5.3. Produit d’une matrice par un scalaire
On appelle produit d’une matrice A=(aij ) par un scalaire λ, la matrice notée λA
dont les éléments sont respectivement les produits par λ des éléments a ij de A .
Donc :
λA=(λ aij ) .
Exemple :
2(4 3,5 −32 2 −20 −11 √5 )=(
8 7 64 4 −40 −22 2√5)
5.4. Produit matriciel
5.4.1. Produit d’une matrice ligne et d’une matrice colonne
On considère les matrices A et B suivantes :
A=[a1a2a3⋯an ] et B=[b1
b2
b3
⋮bn
] .On a :
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Mathématiques générales 2
A ∙B=a1 ∙b1+a2 ∙b2+⋯+an ∙ bn=scalaire
5.4.2. Produit d’une matrice (n , p ) par une matrice colonne
Il est possible d’effectuer le produit d’une matrice A par un vecteur colonne u si
le nombre de colonnes de A est égal à la dimension de u . Ainsi, si A est de
format (n , p ), son produit par u n’est possible que si u est de dimension p. Le
résultat est alors un vecteur v=A ∙u de dimension n .
Soient :
A=(a11a12⋯ a1 j⋯ a1p
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ai1ai2⋯ aij⋯ aip
⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮
an1an2⋯ anj⋯ anp
)et X=(x1
x2
⋮x j
⋮x p
)On définit le produit AX par :
(a11a12⋯ a1 j⋯ a1p
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ai1a i2⋯ aij⋯ a ip
⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮
an1an2⋯ anj⋯ anp)×(
x1
x2
⋮x j
⋮xp
)=(∑j=1
p
a1 j x j
⋮
∑j=1
p
aij x j
⋮
∑j=1
p
anj x j
)Exercice :
Soient A, B, C, D et E les matrices suivantes :
A=( 2123−2 0); B=( 1
−14 );C=(
31 264 154 1); D=(
212323122); E=(
231)
Calculer A ∙B, C ∙ E et C+D.
Résolution
Par Joël M. ZINSALO Page 9
Mathématiques générales 2
Calcul de A ∙B: Remarquons d’abord que ce produit a un sens puisque la
dimension de B est égale au nombre de colonnes de A.
A ∙B=( 2123−20)×( 1
−14 )=( 2×1+1× (−1 )+2×4
3×1+(−2 )× (−1 )+0×4)=(95)Calcul de C ∙ E
C ∙ E=(3 126 415 41)×(
231)=(
3×2+1×3+2×16×2+4×3+1×15×2+4×3+1×1)=(
112523)
Calcul de C+D
C+D=(3 126 415 41)+(
212323122)=(
3+21+12+26+3 4+21+35+1 4+21+2)=(
5 249 646 63 )
5.4.3. Produit d’une matrice A de type (n , p ) par une matrice B de
type ( p ,q )
Le produit de deux matrices A et B n’est possible que si le nombre de colonnes
de A est égal au nombre de lignes de B.
Le résultat est alors une matrice C ayant autant de lignes que A et autant de
colonnes que B.
Ainsi si A est de format (n , p ) et B de format ( p ,q ) (p est alors le nombre
commun de colonnes de A et de lignes de B) alors C=A ∙B est de taille (n ,q ) . Si
A=(aij ) et B=(bij ) alors le produit C=AB est une matrice dont le terme de la ieme
ligne, j eme colonne est :
c ij=∑k=1
p
a ikbkj
On peut considérer que B est la juxtaposition de ses q matrices colonnes et
effectuer le produit de A par chacune de ses colonnes.
La juxtaposition des q colonnes ainsi obtenues donne une matrice de format
(n ,q ) .
Par Joël M. ZINSALO Page 10
Mathématiques générales 2
Exemple :
(1 23 4 )(−5 1
7 0)=( 9 113 3)
(1 23 4 )(5 7
6 8)=(14 2339 53)
(0 11 0)(1 2
3 4 )=(3 41 2)≠ (2 1
4 3)=(1 23 4)(0 1
1 0)
(3 126 415 41)×(
2 313 234 24)=(
3×2+1×3+2×4 3×3+1×2+2×23×1+1×3+2×46×2+4×3+1×4 6×3+4×2+1×2 6×1+4×3+1×45×2+4×3+1×4 5×3+4 ×2+1×2 5×1+4×3+1×4 )
¿(171514282822262521)
Si A est une matrice de format (2,2 ) et B de format (2,3 ) alors le produit AB existe
mais BA n’existe pas.
De façon générale si deux matrices A et B sont données et les produits AB et
BA existent, on n’a pas souvent AB=BA .
La multiplication matricielle n’est pas commutative.
Propriétés
Sous réserve de compatibilité de formats, on a :
A (BC )=( AB )C
A (B+C )=AB+AC
( A+B )C=AC+BC
λ ( AB )=( λA )B=A ( λB )
Par Joël M. ZINSALO Page 11
Mathématiques générales 2
Si I n et I p sont les matrices unités d’ordre n et p et A une matrice de
format (n , p ), on a :
I n A=Aet A I p=A .
Exemple :
A=(1 00 0)et B=(0 0
1 0)alors AB=0et BA=B .
Cet exemple montre également que :
si AB=0 on n’a pas nécessairement A=0 ou B=0 , donc si AB=AC on n’a
pas toujours B=C .
si A=(a ) est une matrice (1,1 ), L une matrice ligne et C une matrice
colonne, on a : CA=aC et AL=aL .
Théorème
Pour une matrice carrée M on définit le carré de M par M 2=M ∙M .
On définit de même, le cube de M … puis, plus généralement, la
puissance ne de M, notée M n, comme étant le produit de M par elle-même
n fois.
Une matrice M est dite idempotente si elle est égale à son carré c'est-à-
dire :
M 2=M .
Dans ce cas, on a :
M n=M pour tout entier n≥2.
Une matrice M est nilpotente si l’une de ses puissances est la matrice
nulle :
∃r ≥1 ,M r=0.
6. Trace d’une matrice
Trace d’une matrice
Par Joël M. ZINSALO Page 12
Mathématiques générales 2
On appelle trace d’une matrice carrée A le scalaire noté tr (A ) égal à la somme
des éléments diagonaux de A. Ainsi pour une matrice A=(aij )1≤i≤n1≤ j≤n
on a par
définition :
tr ( A )=∑i=1
n
a ii .
Propriétés :
Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n. On démontre et nous
admettons :
tr ( A+B )=tr ( A )+tr (B)
tr ( λA )= λtr (A ) pour tout λ réel oucomplexe
tr ( AB )=tr (BA ) .
Exercice
Soient les matrices A, B, C, D, E et F et le vecteur u définis par :
A=(13
13
23
−23
43
23
23
−13
13); B=(1 6
2 51 3);C=(2 3 1
1 5 2);D=(a bc d); E=( 1 2
−1 −2);
u=(152)1. Effectuer, lorsque cela est possible, les produits deux à deux des
matrices suivantes.
2. Calculer A2 .
3. En déduire la valeur de A2 ∙u .
Par Joël M. ZINSALO Page 13
Mathématiques générales 2
CHAPITRE 2
1. Déterminants d’une matrice carrée
1.1. Déterminant d’une matrice carrée d’ordre 2
Soit la matrice carrée d’ordre 2 suivante :
A=[abc d ]Le déterminant de la matrice A est notée dét (A) et vaut :
Par Joël M. ZINSALO Page 14
DETERMINANT ET INVERSE D’UNE MATRICE
CARREE
Mathématiques générales 2
dét (A )=|abcd|=ad−bc .
On calcule le déterminant en effectuant le produit des éléments situés sur la
diagonale principale auquel on retranche le produit des éléments de la
diagonale secondaire.
Interprétation géométrique :
Considérons les vecteurs u=(a ,b ) et v=(c ,d ) de R2 dont les coordonnées sont les
réels des première et seconde colonnes de A, respectivement. Le déterminant
ad−bc représente alors l’aire algébrique du parallélogramme engendré par u et
v .
Exercice :
Calculer l’aire S du parallélogramme engendré par u=(2,1 ) et v=(1,2 ). L’aire à
calculer vaut :
S=|2112|=4−1=3et≤résultat étant positif , cela entraîneque la base ( u , v )est directe .
Corollaire : La famille de vecteurs (u , v ) est liée si seulement si détB (u , v )=0 avec
B la base B=( i , j ) .
(u , v ) est une base si détB (u , v )≠0.
THEOREME
détB est alterné pour tout u∈E, E un espace vectoriel si et seulement si
détB (u ,u )=0.
détB est antisymétrique si et seulement si :
∀ (u , v )∈E2 , détB (v ,u )=−détB (u , v )
détB (B )=1
Soit B' une autre base de E
Par Joël M. ZINSALO Page 15
Mathématiques générales 2
∀ (u , v )∈E2 , détB' (u , v )=détB' (B ) ∙ détB (u , v )
1.2. Déterminant d’une matrice carrée d’ordre 3
Considérons la matrice carrée d’ordre 3 donnée par :
A=[a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33]
Le déterminant de A est noté dét (A) et vaut :
dét (A )=|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33|=a11|a22 a23
a32 a33|−a12|a21 a23
a31 a33|+a13|a21 a22
a31 a32|
¿a11|a22 a23
a32 a33|−a21|a12 a13
a32 a33|+a31|a12 a13
a22 a23|
1.3. Déterminant d’ordre n
Nous commençons d’abord par définir les notions de mineurs, de cofacteurs et
de comatrice.
1.3.1. Mineur d’un élément
Si dans un déterminant D d’ordre n on supprime la ligne et la colonne qui
contiennent un élément donné a ij, on obtient un déterminant d’ordre n−1
appelé le mineur de a ij .
Exemple :
Soit le déterminant :
D=| 12 35 0 4
7−2 1|Par Joël M. ZINSALO Page 16
Mathématiques générales 2
Dans D, le mineur de l’élément 4 est le déterminant la ligne et la colonne de 4
et on obtient
| 1 27−2|=−2−74=−16.
1.3.2. Comatrice et matrice adjointe d’une matrice carrée
En désignant par ∆ ij le mineur de l’élément a ij, on appelle cofacteur de
l’élément a ijle nombre c ij défini par :
c ij=(−1 )i+ j∆ij
Exemple :
a23=4 alors c23=(−1 )2+3×∆23=(−1 )2+3
×| 127−2|=−16.
On appelle comatrice ou matrice des cofacteurs d’une matrice A et on note
com(A) la matrice carrée de même taille que A dont les éléments sont les
cofacteurs de A.
On appelle matrice adjointe de A et notée adj(A) la transposée de la
comatrice de A. On a donc :
adj (A )= Com (A)❑t .
Exemple
Soit
A=(213 4)
c11=(−1 )1+1×4=4 ;c12=(−1 )1+2×3=−3 ;c21=(−1 )2+1×1=−1 ;c22=(−1 )2+2×2=2
La comatrice de A est :
com (A )=(4−3−12)
et la matrice adjointe de A est :
Par Joël M. ZINSALO Page 17
Mathématiques générales 2
adj (A )=(4−1−3 2) .
Considérons une matrice carrée M d’ordre n. Pour toute ligne (respectivement
colonne) de M, le déterminant de M est égal à la somme des produits de
chacun des éléments de cette ligne (respectivement colonne) par son
cofacteur. Ainsi,
dét (M )=(−1 )i+1∆i1ai1+⋯+(−1 )i+n∆¿a¿=c i1ai1+⋯+c¿a¿
dét (M )=(−1 )1+ j∆1 ja1 j+⋯+ (−1 )n+ j∆nj anj=c1 ja1 j+⋯+cnjanj
Ce calcul est le développement du déterminant suivant cette ligne
(respectivement colonne).
Exemple :
Soit
M=(5 1 −23 2 12 3 −2)
Déterminons la comatrice de M notée com(M).
a11=5 ;∆11=| 213−2|=−7 ;c11=(−1 )1+1
×∆11=(−1 )1+1× (−7 )=−7
a12=1 ; ∆12=| 312−2|=−8 ;c12=(−1 )1+2
×∆12=(−1 )1+2× (−8 )=8
a13=−2; ∆13=|3 22 3|=5 ;c13=(−1 )1+3
×∆13=(−1 )1+3× (5 )=5
a21=3; ∆21=|1−23−2|=4 ;c21=(−1 )2+1
×∆21=(−1 )2+1× (4 )=−4
a22=2; ∆22=|5−22−2|=−6 ; c22= (−1 )2+2
×∆22= (−1 )2+2× (−6 )=−6
a23=1; ∆23=|5 12 3|=13 ;c23=(−1 )2+3
×∆23=(−1 )2+3× (13 )=−13
Par Joël M. ZINSALO Page 18
Mathématiques générales 2
a31=2; ∆31=|1−221 |=5 ;c31=(−1 )3+1
×∆31=(−1 )3+1× (5 )=5
a32=3; ∆32=|5−231 |=11; c32=(−1 )3+2
×∆32=(−1 )3+2× (11)=−11
a33=−2; ∆33=|5 13 2|=7 ;c33=(−1 )3+3
×∆33=(−1 )3+3× (7 )=7
d’où la comatrice de M est :
com (M )=(c11 c12 c13
c21 c22 c23
c31 c32 c33)=(−7 8 5−4 −6 −135 −11 7 )
La matrice adjointe de M est la transposée de la comatrice de M et on a :
adj (M )= Com(M )❑t =(−7 −4 5
8 −6 −115 −13 7 )
Développons le déterminant suivant la première ligne et suivant la 2e colonne.
Suivant la première ligne on a :
dét (M )=c11a11+c12a12+c13a13=(−7 )×5+8×1+5× (−2 )=−37
Suivant la deuxième colonne par exemple on a :
dét (M )=c12a12+c22 a22+c32a32=8×1+ (−6 )×2+(−11 )×3=−37
1.4. Déterminant d’une matrice triangulaire
Le déterminant d’une matrice triangulaire A est le produit des éléments de sa
diagonale principale, c'est-à-dire :
dét A triangulaire=∏i=1
n
a ii
Exemple :
Par Joël M. ZINSALO Page 19
Mathématiques générales 2
B=(24 3 60 12 100 4 200 0 3
)Le déterminant de cette matrice triangulaire supérieure est :
dét (B )=2×1×4×3=24.
Théorème :
Une matrice diagonale ou triangulaire est inversible si et seulement si tous ses
éléments diagonaux sont non nuls.
1.5. Propriétés
Propriété 1
La valeur d’un déterminant est inchangée si l’on ajoute à une ligne
(respectivement une colonne) une combinaison linéaire des autres lignes
(respectivement des autres colonnes).
Exemple : Le déterminant de la matrice carrée M suivante :
M=(5 1 −23 2 12 3 −2)
reste inchangé si l’on additionne à la 2e ligne 3 fois la 1e ligne moins la 3e ligne
(L2' =L2+3 L1−L3 ):
dét (M )=|5 1 −23 2 12 3 −2|
L1
L2
L3
=| 5 1 −216 2 −32 3 −2|
L1
L2'
L3
=−37.
Propriété 2
Lorsqu’on multiplie une ligne (ou une colonne) d’une matrice A par un
coefficient λ, alors la valeur de son déterminant est également multipliée par λ .
Les matrices
A1=L1
L2'
L3
(5 1 −26 4 22 3 −2)et A2=(5 1 −6
3 2 32 3 −6)
Par Joël M. ZINSALO Page 20
Mathématiques générales 2
ont des déterminants égaux, respectivement, au double et au triple de dét (M )
puisque L2'=2 L2 et C3
'=3C3 .
Par contre, si l’on multiplie toute la matrice M par 2, par exemple, cela revient
à multiplier chacune de ses trois lignes (ou de ses trois colonnes) par 2. Le
déterminant est alors multiplié par 2×2×2. Ainsi dét (2M )=8dét (M ) .
Retenons qu’en multipliant toute la matrice M par λ alors la matrice λM de
dimension n (d’ordre n) a pour déterminant :
dét ( λM )=λndét (M ) .
Propriété 3
La valeur du déterminant est multipliée par −1 si l’on permute deux lignes (ou
deux colonnes).
Propriété 4
On a :
dét ( M❑t )=dét (M ) .
Propriété 5
dét (AB )=dét ( A ) ∙ dét (B ) .
2. Inverse d’une matrice carrée
2.1. Définitions et propriétés
Une matrice carrée M d’ordre n est dite inversible s’il existe une matrice carrée
N de même taille, telle que M ∙ N=I n . Dans ce cas N est dite matrice inverse deM .
Une matrice non inversible est dite singulière .
Par Joël M. ZINSALO Page 21
Mathématiques générales 2
Si M est inversible, son inverse est unique et est notée M−1. La matrice M−1
est également inversible et son inverse est la matrice M .
Théorème
Si A et B sont deux matrices inversibles de même taille n alors le produit A ∙B
est inversible et son inverse est la matrice B−1 ∙ A−1 .
2.2. Condition d’inversibilité d’une matrice
Une matrice carrée M est inversible si et seulement si son déterminant est non
nul. Dans ce cas, son inverse est égale à la transposée de la comatrice de M
divisée par le déterminant de M .
M−1= 1dét (M )
∙ com(M )❑t
Exercice
Déterminer, si elles existent, les inverses des matrices :
M 1=(4−22−1)et M 2=(5 1 −2
3 2 12 3 −2)
On a :
dét (M 1)=|4−22−1|=−4+4=0. La matrice M 1 est donc non inversible (elle est
singulière).
Par rapport à la matrice M 2, son déterminant était calculé et vaut – 37. Elle est
donc inversible.
La comatrice de M 2 est :
com (M 2 )=(−7 8 5−4 −6 −135 −11 7 )
Par Joël M. ZINSALO Page 22
Mathématiques générales 2
M 2−1= 1
dét (M 2)∙ com(M 2)❑
t = 1−37 (−7 −4 5
8 −6 −115 −13 7 )= 1
37 ( 7 4 −5−8 6 11−5 13 −7)
2.3. Propriété et théorèmes
Propriété
Une famille (e1 , e2 ,⋯ , en ) est une base de Rn si et seulement si :
dét ¿
Théorème :
Si A et B deux matrices carrées inversibles, alors :
A−1 est inversible et ( A−1 )−1=A
A❑t est inversible et ( A❑
t )−1= ( A−1)❑
t
AB est inversible et ( AB )−1=B−1 ∙ A−1 .
CHAPITRE 3
Par Joël M. ZINSALO Page 23
SYSTEMES LINEAIRES ET
MATRICES
Mathématiques générales 2
1. Définition de systèmes linéaires
On appelle système de n équations linéaires à p inconnues le n−uplet
d’équations :
(S ) :{a11 x1+⋯+a1 j x j+⋯+a1 p x p=b1
a21 x1+⋯+a2 j x j+⋯+a2 p x p=b2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ai1 x1+⋯+aij x j+⋯+aip xp=bi
⋮ ⋮ ⋮ ⋮an1 x1+⋯+anj x j+⋯+anp x p=bn
où les coefficients a ij et b i (1≤i ≤net 1≤ j≤ p) sont des nombres réels ou complexes
et où les inconnues sont x1 ,⋯ , x j ,⋯ , x p .
La ie équation : a i1 x1+⋯+aij x j+⋯+aip x p=bi est notée Li et appelée ie ligne de (S ). On
appelle système homogène un système dont tous les seconds membres sont
nuls (∀ i∈ [1, n ] , bi=0 ) .
Un système n’ayant aucune solution est dit impossible et un système ayant
plusieurs solutions est dit indéterminé.
Nous pouvons regrouper d’une part les inconnues en un vecteur X et les
éléments des seconds membres en un vecteur B . Ces deux vecteurs sont de
dimension n . D’autre part, les coefficients a ij forment la matrice carrée de taille
n du système.
Soit :
X=(x1
x2
⋮x i⋮x p
);B=(b1
b2
⋮bi
⋮bn); A=(
a11⋯ a1 j⋯ a1 p
a21⋯ a2 j⋯ a2p
⋮ ⋮ ⋮ai1⋯ aij⋯ aip
⋮ ⋮ ⋮an1⋯ anj⋯ anp
)Le système (S) est équivalent à :
AX=B .
Par Joël M. ZINSALO Page 24
Mathématiques générales 2
Résoudre (S) c’est trouver l’ensemble des matrices colonnes X vérifiant AX=B .
A est appelée matrice du système (S ) .
2. Résolution d’un système linéaire de n équations
Soit (S) un système linéaire de n équations et autant d’inconnues. Soit A sa
matrice, X le vecteur inconnu et B le vecteur second membre.
Si A est inversible, alors (S) a une solution unique qui peut s’écrire sous
la forme :
X=A−1 ∙B
Si A n’est pas inversible, alors nous avons l’une des deux situations
suivantes :
(S) admet une infinité de solutions ;
(S) n’admet aucune solution.
3. Méthode du pivot de Gauss (M3) :
a) On échange les lignes de telle sorte que le coefficient en x1, dans la
première ligne soit non nul. C’est notre pivot.
b) On soustrait à la deuxième ligne un multiple de la première ligne de telle
sorte que le coefficient en x1 de la deuxième ligne soit nul.
c) On soustrait à la troisième ligne un multiple de la première ligne de telle
sorte que le coefficient en x1 de la troisième ligne soit nul. On
recommence avec les lignes suivantes.
d) On échange les lignes de 2 à n de telle sorte que le coefficient en x2,
dans la deuxième ligne soit non nul.
e) On soustrait à la troisième ligne un multiple de la deuxième ligne de
telle sorte que le coefficient en x2 de la troisième ligne soit nul. On
recommence avec les lignes suivantes.
f) On continue avec les autres variables, si pour une variable tous les
coefficients sont nuls, on passe à la variable suivante et on regarde cette
variable comme un paramètre. On trouve à la fin un système
triangulaire, il suffit alors de « remonter » :
Par Joël M. ZINSALO Page 25
Mathématiques générales 2
Exemple : Résoudre { 2 x1+2x2+x3=2¿ x1+2 x2+ x3=1¿ x1−2x2+2 x3=3
{ 2 x1+2x2+x3=2¿ x1+2 x2+ x3=1¿ x1−2x2+2 x3=3
⟺ {2x1+2 x2+x3=2
¿ x2+12x
3
=0
¿−3 x2+32x
3
=2
⟺ {2x1+2 x2+x3=2
¿x2+12x
3
=0
¿3 x3=2
⟺ { x3=23
x2=−13
x1=1
4. Théorème
Soit A une matrice carrée d’ordre n. A est inversible si et seulement si pout
tout Y de M n ,1 (K ) le système AX=Y possède une solution unique.
Exercice :
On donne
A=( 2 1 14 1 0−2 2 1)
A est – elle inversible ? Si oui, calculer A−1 .
En effet, soit
X=(x1
x2
x3)et Y=( y1
y2
y3)
Ax=Y⇔ { 2x1+x2+x3= y1
4 x1+ x2= y2
−2x1+2 x2+x3= y3
L2←L2−2 L1
L3←L3+L1 { 2x1+x2+ x3= y1
−x2−2 x3= y2−2 y1
3 x2+2x3= y1+ y3
Par Joël M. ZINSALO Page 26
Mathématiques générales 2
L3←L3+3 L2{ 2x1+x2+x3= y1
−x2−2x3= y2−2 y1
−4 x3=−5 y1+3 y2+ y3
donc (S)⇔{ x1=18y1+
18y2−
18y3
x2=−12
y1+12y2+
12y3
x3=54y1−
34y2−
14y3
La solution existe et est unique alors A est inversible et on a :
A−1=(18
18
−18
−12
12
12
54
−34
−14) .
5. Opérations élémentaires sur les lignes d’un système
On appelle opération élémentaire sur un système, le fait d’échanger deux
lignes, de multiplier une ligne par un réel non nul, ou d’ajouter à une ligne le
multiple d’une autre. Il faut faire bien attention à ne faire qu’une opération
élémentaire à la fois.
C’est toute opération de l’un des types suivants :
Li↔L j ( i≠ j ): échange des deux lignes Li et L j .
Li←αLi (α ≠0 ) : multiplication de la ligne Li par le nombre α non nul.
Li←Li+λL j (i≠ j ) : addition d’un multiple de la ligne L j à la ligne Li .
Théorème :
Par Joël M. ZINSALO Page 27
Mathématiques générales 2
On obtient un système équivalent à (S) en effectuant l’une des opérations
suivantes :
Li↔L j ( i≠ j )
Li←αLi (α ≠0 )
Li←Li+λL j (i≠ j )
Li←αL j+β L j (α ≠0 )
Li←Li+∑j ≠i
λ jL j .
Théorème :
Les systèmes suivants sont équivalents :
{L1
L2
⋮Ln
et {L1
⋮L j
L j+1+λ j+1 L j
⋮Ln+λnL j
6. Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d’une
matrice
Par analogie avec les opérations élémentaires sur les lignes d’un système (S),
on définit les opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice carrée A de
type (n , p ) .
Li←αLi : multiplication par α de la ie ligne (α ≠0 )
Li↔L j : échange de la ie et de la j e ligne.
Li←Li+λL j : addition à la ie ligne de la j e ligne multipliée par λ (i ≠ j ) .
On définit de façon analogue les opérations élémentaires sur les colonnes de A
:
C i↔C j;C i←αC i ;Ci←C i+λC j .
Par Joël M. ZINSALO Page 28
Mathématiques générales 2
Théorème :
On peut remarquer certaines propriétés du déterminant à deux lignes et deux
colonnes, qui seront encore vraies en dimension quelconque :
1. Le déterminant est linéaire par rapport à chacune des colonnes.
2. Le déterminant est linéaire par rapport à chacune des lignes.
3. Si l’on échange deux lignes alors le déterminant change juste de signe.
4. Si deux vecteurs colonnes sont colinéaires le déterminant est nul.
Théorème
Le déterminant a les propriétés suivantes :
1. Le déterminant reste inchangé lorsque l’on ajoute à une colonne le
multiple d’une autre colonne.
2. Lorsque l’on échange la place de deux colonnes le déterminant est
multiplié par -1.
Théorème
1. Le déterminant d’une matrice est nulle si et seulement si ses colonnes ne
forment pas une base de Rn.
2. Le déterminant du produit de deux matrices carrées est égal au produit
des déterminants des deux matrices.
det (AB)=det (A)det(B)
Par Joël M. ZINSALO Page 29
Mathématiques générales 2
CHAPITRE 4 :
1. Définitions et exemples
Dans la grande majorité des situations rencontrées en Mathématiques et dans
ses applications, Physique, Biologie, Ingénierie, Economie, etc., les systèmes
dont on étudie le comportement dynamique, dépendent non pas d’une variable
x, souvent le temps t, mais de plusieurs variables, par exemple temps et
espace. Le cas typique est donné par un point du plan (resp. espace) M=(x , y ),
(resp. M=(x , y , z) dont la position par rapport à un système d’axes fixé à
l’avance dépend de deux (resp. trois) paramètres ou coordonnées.
On appelle Rn (n∈N ¿) l’ensemble défini de la façon suivante :
Rn={(x1 , x2 ,…,xn )} , x i∈ Ret i=1 , n .
Pour :
n=2 ,R2={(x1 , x2 )}:on adoncuncouple .
n=3 ,R3={(x1 , x2 , x3 ) }: il s 'agit ici d 'un triplet .
On appelle fonction à plusieurs variables réelles x1 , x2 ,…, xn toute application f
d’une partie D⊂Rn tel que :
f :D⊂Rn⟶R
(x1 , x2 ,…,xn )⟼ f (x1 , x2 ,…,xn)
Exemple 1
f :D⊂R2⟶R
( x , y )⟼ f ( x , y )=x . y
Par Joël M. ZINSALO Page 30
FONCTIONS A PLUSIEURS VARIABLES
Mathématiques générales 2
Cette fonction à deux variables permet de calculer l’aire de la surface d’un
rectangle de longueur xet de largeur y.
Exemple 2
g :R3⟶R
( x , y , z )⟼ f ( x , y , z )=x . y . z
Cette fonction permet de calculer le volume d’un parallélépipède de longueur
x, de largeur y et de hauteur z.
Exemple 3
h :R3⟶R
( x , y , z )⟼h ( x , y , z )=x2 y−2xy+3 yz
2. Domaines de définitions et notion de boucles
2.1. Domaines de définition
On appelle domaine de définition d’une fonction f à deux ou trois variables
(x , y ) ou (x , y , z) l’ensemble défini comme suit :
D={( x , y )∈R2/ f (x , y ) existe}
ou
D={( x , y , z )∈R3/ f ( x , y , z )existe }
Exercice d’application
Considérons les fonctions f et g définies par :
f :D⊂R2⟶R( x , y )⟼ f ( x , y )=ln ( x+ y )
Déterminer le domaine de définition
Résolution
Df={( x , y )∈R2/ x+ y>0}
Par Joël M. ZINSALO Page 31
Mathématiques générales 2
Soit D la droite d’équation
x+ y=0⟹ y=−x
Df est l’ensemble des points du plan hachuré privé des points de la droite (D).
2.2. Notion de boucles fermées et de boucles ouvertes
Soit Ω (a ,b , c ) et r∈R+¿¿ ¿.
On appelle boucle ouverte de centre Ω et de rayon r l’ensemble noté B(Ω, r)
défini par :
B (Ω ,r )={x , y , z )∈R3/ (x−a )2+( y−b )2+(z−c)2<r2 }
On appelle boucle fermée l’ensemble :
B(Ω ,r )={x , y , z )∈R3/ ( x−a )2+( y−b )2+(z−c)2≤r 2}
La sphère ou boule est :
S (Ω ,r )=B (Ω ,r )={x , y , z )∈R3/ ( x−a )2+( y−b )2+( z−c )2=r 2}
Exercice
Soit la fonction g telle que :
g :R3⟶R
Par Joël M. ZINSALO Page 32
Mathématiques générales 2
( x , y , z )⟼ g ( x , y , z )= 1
√x2+ y2+z2−1
Dg={(x , y , z)∈R3/x2+ y2+z2−1>0 }
soit x2+ y2+z2>1.
Dg est l’extérieur de la boule de centre 0 et de rayon 1.
Le domaine de la fonction g est donc l’extérieur d’une boucle fermée de centre
O(0,0,0) et de rayon r=¿1.
3. Courbes de niveau
3.1. Lignes de niveau
On appelle ligne de niveau d’une fonction f définie sur R
Lf= {( x , y )∈D / f (x , y )=k } , k est une constante réelle.
Exercice d’application
Déterminer les lignes de niveau de la fonction f définie par f ( x , y )=x2+ y2 .
3.2. Surfaces de niveau
Soit f , une fonction définie sur D⊂R3
Sf={( x , y , z )∈D / f ( x , y , z )=k } , k=¿constante réelle.
Exercice d’application
Déterminer les surfaces de niveaux de f définie par :
f ( x , y , z )=x2− y2+z2
Sf={( x , y , z )∈R3/ x2− y2+z2=k } ,k=¿constante réelle.
1er cas : k=0
x2− y2+z2=0. Il s’agit d’un cône d’axe (Oy ) de sommet à l’origine.
2e cas : k<0.
Par Joël M. ZINSALO Page 33
Mathématiques générales 2
Il s’agit d’une famille d’hyperboloïdes à deux nappes.
3e cas : k>0
Il s’agit d’une famille d’hyperboloïdes à une nappe.
4. Limite et continuité d’une fonction à deux ou trois variables
Soit f une fonction définie sur :
D⊂R2ouR3 et soit un point ( x0; y0 )∈R2ou (x0 , y0 , z0 )∈R3 pouvant appartenir
ounonà D . Dire que f ( x , y )ou f ( x , y , z ) tend versunr é el l lorsque (x , y ) tend vers (x0 , y0 ¿ ou
(x , y , z) tend vers (x0 , y0 , z0) signifie que pour tout (x , y ) très proche de (x0 , y0 ¿ ou
pour tout (x , y , z) très proche de (x0 , y0 , z0¿ ,le nombre f (x , y ) ou f (x , y , z) est très
proche du nombre réel l. On note :
lim( x , y )→ (x0, y0)
f (x , y )=l ou limx→x0
y→ y0
f (x , y)=l
lim( x , y , z )→ (x0, y0 , z0)
f (x , y , z)=l ou limx→x0
y→ y0
z→z0
f (x , y , z)=l
Exercice d’application
Calculer les limites suivantes :
limx→αy→0
sin xyy
; limx→+∞y→a
x2− y2
x2+ y2 oùa∈R¿
Continuité
Soit (x0 , y0 )∈D, on dit que f est continue en(x0 , y0 ) si:
lim( x , y )→ (x0, y0)
f (x , y )=f (x0 , y0 )
Les polynômes à deux variables sont continus en tout point de R2.
Exemple : f ( x , y )=x2+ xy+ y2est continue en tout point de R2 .
5. Les dérivées partielles
Par Joël M. ZINSALO Page 34
Mathématiques générales 2
On appelle dérivée partielle première de f par rapport à x au point (x0 , y0), la
limite si elle existe du rapport suivant :
limΔ x→0
f (x0+Δ x , y0 )−f (x0 , y0 )Δ x
avec Δ x=x−x0
On la note f x' (x0 , y0 ) ou
∂ f∂ x
(x0 , y0 )et on lit dé rond f sur dé rond x en (x0 , y0 ).
On appelle dérivée partielle première de f par rapport à y au point (x0 , y0), la
limite si elle existe du rapport suivant :
limΔ y→0
f (x0 , Δ y+ y0 )−f (x0 , y0 )Δ y
avec Δ y= y− y0
On la note f y' (x0 , y0), ou
∂ f∂ y
(x0 , y0 )On lit dé rond f sur dé rond y en (x0 , y0 ).
On appelle accroissement de f au point (x1 , y1 ¿ au point (x2 , y2 ¿la quantité
définie par :
Δ f=f (x2 , y2 ¿−f (x1 , y1)
Exercice d’application
Calculer f x' (0,0 )et f y
' (0,0 ) de la fonction définie par :
f ( x , y )={xy (x2− y2 )
x2+ y2 , ( x , y )≠ (0,0 )
0 , ( x , y )=(0,0)
Remarque : Dans la pratique, pour calculer la dérivée partielle d’une fonction
par rapport à x, on fixe y et on dérive par rapport à x. La dérivée partielle par
rapport à y se fait en fixant x. Mais tout cela est possible si la fonction n’admet
pas de point singulier.
Exemple : f ( x , y )=ln (x2+ y2 )∂ f∂ x= 2 x
x2+ y2
Par Joël M. ZINSALO Page 35
Mathématiques générales 2
∂ f∂ y= 2 y
x2+ y2
Définitions
Soit f une fonction définie de Rn→R et x0un nombre réel,x0∈ R , f est
partiellement dérivable en (x0 , y0 ) si et seuleument si ses dérivées partielles en
(x0 , y0 )par rapport à chaque variable existent. De plus f est continument
partiellemnt dérivable en (x0 , y0 )si et seulement si chaque dérivée partielle
existe et sont continues en (x0 , y0 )d’où le mot « continument ». On dit aussi que
f est de classe C1 en (x0 , y0 ) . On dit que f est de classe C k sur un domaine E si et
seulement si toutes les dérivées partielles de f jusqu’à l’ordre kexistent et sont
continues sur E.
6. Différentiabilité et différentielle totale d’une fonction
6.1. Différentiabilité d’une fonction
Soit f la fonction de variable (x , y ) définie sur une partie D⊂R2 et (x0 , y0)∈D. On
dit que f est différentiable en (x0 , y0) s’il existe une fonction numérique φ de
variable ( x , y ) définie sur D de limite nulle lorsque (x , y ) tend vers (x0 , y0) et que
la relation suivante est vérifiée :
f ( x , y )=f (x0 , y0 )+(x−x0 ) f x' (x0 , y0 )+( y− y0 ) f y
' (x0 , y0 )+φ(x , y)√ (x−x0 )2+( y− y0 )
2
avec :
lim( x , y )⟶ (x0 , y0)
φ(x , y)=0.
Si f est différenciable au point (x0 , y0 ) alors la partie linéaire par rapport à x et y
c'est-à-dire (x−x0 ) f x' (x0 , y0 )+( y− y0 ) f y' (x0 , y0 ) est appelée la différentielle première
de f au point (x0 , y0 ) et est noté df (x0 , y0 ) et on a :
df (x0 , y0 )=(x−x0 ) f x' (x0 , y0 )+( y− y0 ) f y' (x0 , y0 ) .
En posant x−x0=dx et ( y− y0 )=dy, on a :
Par Joël M. ZINSALO Page 36
Mathématiques générales 2
df (x0 , y0 )=f x' (x0 , y0 )dx+ f y
' ( x0 , y0 )dy
Théorème 1
Toute fonction différentiable au point (x0 , y0 ) est continue en ce point. Si f est
différentiable, elle est continue et admet des dérivées premières. La réciproque
est vraie si les dérivées premières f x' et f y
' sont continues. Une fonction
différentiable est donc dérivable.
Théorème 2
Soit f une fonction définie sur D⊂R2. Supposons qu’en tout point deD, il existe
des dérivées partielles premières par rapport à x et y. Si les dérivées partielles
premières sont définies et continues sur D alors f est différentiable en tout
point de D. La conséquence imédiate est la suivante. Si f est différentiable en
(x0 , y0 ) alors il existe existe des dérivées partielles en ce point.
Exercice d’application
Montrer que : f ( x , y )=|xy| est différentiable au point (0,0).
6.2. Différentielle totale d’une fonction
La différentielle totale d’une fonction f de n variables s’effectue par la formule :
df= ∂ f∂ x1
d x1+∂ f∂ x2
d x2+∂ f∂ x3
d x3+⋯⋯⋯+ ∂ f∂ xn
d xn
Considérons par exemple un rectangle de hauteur h et de base b. Son aire est
mesurée par la fonction :
S=bh=f (b ,h ) .
Si la base b varie de db et si la hauteur h varie de dh, calculons la variation
algébrique d’aire dS à l’aide de la différentielle.
dS= ∂ f∂b
db+ ∂ f∂h
dh=hdb+bdh
Par Joël M. ZINSALO Page 37
Mathématiques générales 2
Exercice
Donner une approximation de la variation de volume d’un cylindre droit de
rayon r=10 cm et de hauteur h=50 cm quand r augmente de 1 cm et h
diminue de 2 cm. Calcul exact de la variation ∆V ?
Calcul approché de la variation ∆V par la différentielle dV ?
Résolution
Le volume du cylindre droit est :
V=π r2h=V (r , h )
Calcul exact de la variation ∆V
Soit V 1 la valeur initiale avec r1=10 cm et h1=50cm
V 1=π r12h1=π ×102×50=15708 cm3
Soit V 2 la valeur finale avec r2= (10+1 ) cm et h2=(50−2 ) cm
V 2=π r22h2=π ×112×48=18246cm3
On a :
∆V=V 2−V 1=18246−15708=2538cm3
Calcul approché de la variation ∆V par la différentielle dV
On a :
dV=∂V∂r
dr+ ∂V∂h
d havec∂V∂r=π (2r )het ∂V
∂h=π r2
Soit :
dV=π (2 r )hdr+π r2dh
d’où
∆V=π (2 r )h∆r+π r2∆h
∆V=π (2×10 )× (1 )+π 102 (−2 )=3148−628=2513cm3
Par Joël M. ZINSALO Page 38
Mathématiques générales 2
6.3. Différentielle logarithmique
C’est la différentielle du logarithme de la valeur absolue de la fonction. Pour
f (x , y , z) fonction de trois variables, la différentielle logarithmique est :
d [ ln|f (x , y , z)|]=dff=1f [ ∂ f∂ x dx+ ∂ f∂ y dy+ ∂ f
∂ zdz ]
C’est donc le quotient de la différentielle totale par la fonction.
Propriétés
Soient u(x , y , z ) et v (x , y , z ) fonctions différentiables de 3 variables
indépendantes x, y et z.
Produit de fonctions
d [ln [|u ∙ v|]]=d [ ln|u|]+d [ ln|v|]=duu+ dv
v
Quotient de deux fonctions
d [ ln|uv|]=d [ ln|u|]−d [ ln|v|]=duu−dv
v
Evaluation à une puissance r
d [ln|ur|]=d [rln|u|]=rd [ ln|u|]=r duu
Exercice
Calculer la différentielle logarithmique de :
f ( x , y )= x2− y2
x2+ y2
ln|f ( x , y )|=ln|x2− y2
x2+ y2 |=ln|x2− y2|−ln|x2+ y2|
On a :
d [ln|f ( x , y )|]=dff=d [ ln|x2− y2|]−d [ ln|x2+ y2|]=d (x2− y2 )
x2− y2 −d (x2+ y2)x2+ y2
d [ln|f ( x , y )|]=2 xdx−2 ydy
x2− y2−2xdx+2 ydy
x2+ y2
On regroupe les termes relatifs à dx et à dy:
dff=[ 1
x2− y2− 1
x2+ y2 ]2 xdx−[ 1
x2− y2+ 1
x2+ y2 ]2 ydy
Par Joël M. ZINSALO Page 39
Mathématiques générales 2
¿( 4 x y2
x4− y4 )dx−( 4 x2 yx4− y 4 )dy
Intérêt de la différentielle logarithmique
La différentielle logarithmique df / f d’une fonction de plusieurs variables réalise
une approximation de la variation relative : ∆ f / f de la fonction pour les
variations ∆ x, ∆ y, ∆ z soient suffisamment petits (approximation au premier
ordre).
Exercice
Donner une approximation de la variation relative du volume ∆V /V d’un
parallélépipède rectangle de côtés x=20cm, y=40cm et z=25cm quand x et y
augmentent de 0,2cm et que z diminue de 1cm.
Résolution
Le volume d’un parallélépipède rectangle est donné par la formule :
V ( x , y , z )=x ∙ y ∙ z
Calcul exact de la variation relative
Volume initial : V 1=20×40×25=20 000cm3
Volume final : V 2=20,2×40,2×24=19 489cm3
∆VV=V 2−V 1
V 1
=19489−2000020000
= −51120 000
=−0,0256=−2,56 %
Calcul approché par la différentielle logarithmique
lnV=lnx+lny+lnz⇒ d lnV=d lnx+d lny+d lnz
dVV=dx
x+ dy
y+ dz
zavec dx=dy=+0,2cmet dz=−1cm
dVV=0,2
20+ 0,2
20− 1
25=0,01+0,005−0,04=−0,025=−2,5 %
d’où :
∆VV
≈−2,5 %
6.4. Calcul d’erreur
Par Joël M. ZINSALO Page 40
Mathématiques générales 2
Soit a le résultat de la mesure de la grandeur A. Si α est la valeur exacte de A,
la différence δa=a−α est appelée erreur absolue de la mesure ; elle résulte de
causes diverses : erreurs systématiques ou accidentelles. L’erreur absolue sur
a n’étant pas connue, on doit se contenter d’en rechercher une limite
supérieure ∆ a appelée incertitude absolue telle que |δa|≤∆a; on a donc
a−∆ a≤α ≤a+∆a ou encore α=a±∆ a .
On se rend mieux compte de l’approximation d’une mesure en comparant
l’erreur à la grandeur mesurée.
On appelle erreur relative le rapport δa /α de l’erreur absolue à la valeur
exacte ; δa e t α n’étant pas connues, on doit, là encore, se contenter d’une
limite supérieure appelée incertitude relative que l’on calculée en remplaçant
δa par ∆ a et en prenant pour α la valeur approchée a.
L’incertitude relative caractérise la précision de la mesure.
Exemple : Pour a=2±0,001m donc ∆ a/a=0,001/2=5. 10−4. La précision est de 5
dix-millième près.
On cherche maintenant à calculer l’erreur sur une grandeur X dépendant de
plusieurs paramètres A, B, C indépendants les uns des autres :
X=f ( A ,B ,C )
On ne connaît en réalité que des valeurs approchées a ,b , c et les incertitudes
absolues ∆ a ,∆b ,∆ c sur ces valeurs ; une valeur approchée de X est donc
x=f (a ,b , c ).
A partir de la différentielle de f en (a ,b , c )
dx=f a' da+ f b
' db+ f c' dc
Soit en valeur absolue
|dx|=|f a' ||da|+|f b'||db|+|f c
' ||dc|
On obtient l’incertitude absolue sur x.
Par Joël M. ZINSALO Page 41
Mathématiques générales 2
∆ x=|f a' |∆a+|f b' |∆b+|f c'|∆c
Puis l’incertitude relative sur x
∆ x|x|=|f a
'|∆a|x|+|f b
' |∆b|x|+|f c' |∆c
|x|
Exemple : connaissant la formule T=2π √ l / g donnant la période du pendule
simple, on peut calculer l’accélération de la pesanteur
g=γ ( l ,T )=4 π2l /T 2 dont la différentielle est :
dg=∂γ∂ l
dl+ ∂γ∂T
dT=4 π2
T 2 dl−8 π2lT3 dT
D’où l’incertitude absolue
∆ g=4 π2
T 2 (∆ l+2 lT
∆T )et l’incertitude relative
∆ gg=∆ l
l+2
∆TT
Avec l=1m ,∆ l=5.10−4m,T=2 s ,∆T=0.01 s, on obtient :
∆ gg=0.0105=1.05 %et g=π2=9.87 m.s−2
Ce qui donne une incertitude absolue de ∆ g=0.10 et g=9.87±0.1ms−2
Remarque : on trouve assez fréquemment en Physique des fonctions positives
à variables séparables f (a ,b , c )=φ1 (a )φ2 (b )φ3(c).
La fonction logarithmique permet alors de simplifier le calcul de l’intégrale
relative ln f=lnφ1+ lnφ2+ lnφ3 d’où en différentiant
dff=d φ1
φ1
+d φ2
φ2
+d φ3
φ3
Et si φ1, φ2 , φ3>0, alors on a :
∆ ff=∆φ1
φ1
+∆ φ2
φ2
+∆ dφ3
φ3
7. Dérivées d’ordres supérieures et dérivées mixtes
Par Joël M. ZINSALO Page 42
Mathématiques générales 2
Supposons que f soit définie sur une partie D⊂R2
Admettons que les dérivées partielles premières sont appelées dérivées
partielles seconde. Elles sont de 4 types :
∂2f∂ x2=
∂∂ x ( ∂ f∂ x )= f xx
' '
∂2 f∂ y2=
∂∂ y ( ∂ f∂ y )=f yy
' '
∂2 f∂ x∂ y
= ∂∂x ( ∂ f∂ y )
∂2 f∂ y∂ x
= ∂∂ y ( ∂ f∂ x )
Les deux premières s’appellent dérivées secondes et les deux dernières sont
appelées dérivées secondes mixtes.
Une fonction de n variables admet n dérivées partielles premières et n2
dérivées partielles secondes.
Exercice : On considère la fonction :
f ( x , y , z )=x y2 z3
Calculer∂ f∂ x
,∂2 f∂ x2 ,
∂2 f∂ x∂ y
,∂3 f
∂ x∂ y2 ,∂3 f
∂ x ∂ y ∂ z,
∂4 f∂ x∂ y3
Énonçons le théorème suivant sur l’égalité des dérivées secondes mixtes :
c’est le théorème de Schwarz.
Théorème de Schwarz
Soit f une fonction définie sur D⊂R2. On suppose que f admet deux dérivées
secondes mixtes.
Par Joël M. ZINSALO Page 43
Mathématiques générales 2
f xy' ' = ∂2 f
∂ x ∂ yet f yx
' ' = ∂2 f∂ y ∂ x
Ces dérivées secondes mixtes sont égales en tout (x , y ) de D si elles sont
continues en tout point (x , y ) de D.
On a :
∂2 f∂ x∂ y
= ∂2 f∂ y∂ x
Exercice d’application
Soit f , une fonction définie par :
f ( x , y )={xy x2− y2
x2+ y2 , ( x , y )≠(0,0)
0 si ( x , y )=(0,0)
Calculer les dérivées secondes mixtes par rapport à x et y en (0 ,0)
Différentielle seconde
Soit f la fonction de variables ( x , y ) définie sur une partie D⊂R2 ,on suppose que
f admet des dérivées partielles secondes toutes continues sur D. La
différentielle seconde de D en tout point (x , y ) est :
d2 f ( x , y )=f xx' ' (x , y )d x2+f xy
' ' ( x , y )dxdy+f yy' ' ( x , y )d y2
Pour une fonction à trois variables ( x , y , z ), on a :
d2 f ( x , y , z )=f xx' ' ( x , y , z )d x2+ f xy
' ' ( x , y , z )dxdy+ f xz' ' ( x , y , z )dxdz+ f yz
' ' ( x , y , z )dydz+ f yy' ' ( x , y , z )d y2+ f zz
' ' ( x , y , z)d z2
8. Formule d’approximation
Soit f la fontion définie sur D dans R2, soit (x0 , y0 ¿∈D. On suppose que f est
différentiable au point x0 , y0 ¿. Cela suppose que f admet des dérivées partielles
premières au point (x0 , y0 ¿. Pour des quantités |y− y0| suffisamment petites, on
peut approximer la fonction f suivant le voisinage de (x0 , y0 ¿ .
f ( x , y )≈ f (x0 , y0 )+(x−x0 ) f x' (x0 , y0 )+( y− y0 ) f y' (x0 , y0)
Cette formule est appelée formule d’approximation d’ordre 1 au point (
x0 , y0 ¿ .
Par Joël M. ZINSALO Page 44
Mathématiques générales 2
Exercice d’application
En utilisant la formule d’approximation d’ordre 1, calculer la valeur approchée
du nombre suivant :√(1,07)2+(1,96)3
9. Formule de Taylor à l’ordre 2
Théorème : Soit f une fonction définie sur D⊂R2 et (x0 , y0 ¿∈D. On suppose que
f est deux fois continument différentiable dans le voisinage de (x0 , y0 ), c'est-à-
dire f admet des dérivées partielles d’ordre 1 et 2 toutes continues dans le
voisinage de (x0 , y0 ) alors la formule suivante est vérifiée :
f ( x , y )= f (x0 , y0 )+(x−x0 ) f x' (x0 , y0 )+( y− y0 ) f y
' (x0 , y0 )+12 [ (x−x0 )
2 f xx' ' (x0 , y0 )+2 (x−x0 ) ( y− y0 ) f xy
' ' (x0 , y0 )+( y− y0 )2 f yy
' ' (x0, y0 ) ]+R2(x , y )
où R2(x , y) est le reste.
Cette formule est appelée formule de Taylor à l’ordre 2 dans le voisinage
(x0 , y0 ) et R2(x , y) est le reste de la formule de Taylor à l’ordre 2 dans le
voisinage de (x0 , y0 )à l'ordre 2.
Exercice d’application
On donne f ( x , y )=ln (x2+ y2) et (x0 , y0 ) est égal au couple (1,1). Développer cette
fonction par la formule de Taylor à l’ordre 2 au voisinage de (1,1). En déduire
l’approximation de cette fonction dans ce voisinage.
Présentons le cas d’une fonction à trois variables :
Théorème
Soit f une fonction de trois variables x1 , x2 et x3 définie par f (x1 , x2 , x3 ) que l’on
suppose suffisamment différentiable. On a alors :
f (x1+h1 , x2+h2, x3+h3 )=f (x1, x2, x3 )+(h1
∂ f (x1 , x2 , x3 )∂ x1
+h2
∂ f (x1, x2, x3 )∂x2
+h3
∂ f (x1 , x2 , x3 )∂ x3
)+ 12 ! (h1
2 ∂2 f ( x1 , x2 , x3 )
∂ x12 +h2
2 ∂2 f (x1, x2, x3 )
∂ x22 +h3
2 ∂2 f (x1 , x2 , x3 )
∂ x32 )+(h1h2
∂2 f (x1 , x2 , x3 )∂ x1∂ x2
+h1h3
∂2 f ( x1 , x2 , x3 )∂ x1∂ x3
+h2h3
∂2 f (x1 , x2, x3 )∂ x2∂x3
)+⋯+(ordres érieurs )En pratique, on utilise principalement le développement de degré 1 qui ne fait
intervenir que les dérivées partielles d’ordre 1.
Par Joël M. ZINSALO Page 45
Mathématiques générales 2
Exercice
Soit la fonction de deux variables :
1. Développer f au voisinage de (1 ,0).
2. Trouver à l’aide du polynôme de Taylor de degré 2 l’approximation de f en
prenant .
3. Trouver l’ordre de cette approximation en utilisant .
Solution
1. Développement de f au voisinage de (1,0)
En posant , le développement de Taylor permet
d’écrire :
Calculons d’abord f(1,0).
Calculons ensuite les dérivées partielles du premier ordre :
Calculons ensuite les dérivées partielles du second ordre :
Par Joël M. ZINSALO Page 46
Mathématiques générales 2
Calculons enfin la dérivée mixte :
D’où le développement de suivant :
2. Approximation de f en prenant
Le résultat précédent donne en posant
f (1,1 , 0,1 )≈1+2×0,1+0,1+0,12+0,1×0,1f (1,1 , 0,1 )≈1 ,32
3. Ordre de cette approximation en utilisant .
Donc :
|f (1,1, 0,1 )−P (1,1 , 0,1 )||f (1,05 , 0 ,05 )−P (1 ,05 , 0 ,05 )|
=|1 ,319816758−1 ,32||1 ,154978128−1 ,155|
=183 ,24169⋅10−6
21 ,87227⋅10−6
¿8 ,37≈23
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Mathématiques générales 2
D’où le polynôme de degré 2 est une
approximation d’ordre 3 de au voisinage du point
(1 ,0).
10. Les fonctions implicites
On appelle fonction implicite, toute fonction y dépendant de x et qui vérifie la
relation F ( x , y )=0 où F est une fonction différentiable des variables x et y.
Exemple
F ( x , y )=x2+ y2−2=0
x2+ y2−2=0 ⟹ y2=2−x2
⟹ y=√2−x2 ou y=−√2−x2
Avec x∈ [−√2; √2 ]
Théorème
La dérivée d’une fonction implicite donnée par l’équation y= y (x) donnée par
l’équation ou F est une fonction différentielle des variables x et y peut être
calculé par la formule suivante :
y '=−∂F
∂ x∂F∂ y
A condition que les dérivées supérieures d’ordre implicite peuvent être calculé
en dérivant successivement la formule ci-dessous et en considérant y comme
fonction de x. De même, les dérivées partielles d’une fonction implicite de deux
variables données par l’équation :
F ( x , y , z )=0
Par Joël M. ZINSALO Page 48
Mathématiques générales 2
Où F est une fonction différentiable des variables x , yetz peuvent être calculé
d’après les formules suivantes :
∂ z∂ x=−∂F
∂ x∂F∂z
et∂ z∂ y=−∂F∂ y∂ F∂ y
àcondition que∂F∂z
et∂F∂ y
soient nonnuls .
Exercice d’application
cos (x+ y )+ y=0, calculer y ’(x )
Exercice d’application
Calculer∂ z∂ x
et∂ z∂ y
sachant que z3−3 zxy−a3=0 oùaest une constanteréelle
11. Différentielle totale d’une fonction à plusieurs variables
Soit f , une fonction de variables x , y , z, la dérivée totale de f notée df
df=∂ f∂ x
dx+ ∂ f∂ y
dy+ ∂ f∂ z
dz
12. Fonctions composées
Soit f , une fonction définie sur D⊂R2 f : ( x , y )⟼ f ( x , y )
Supposons que (x , y ) soient fonctions des variables u et v appartenant à un
domaine D ' de R2, alors f ( x , y )=f (x (u , v ); y (u , v )). f est appellée fonction
composée. Nous pouvons dériver la fonction composée par rapport à u ou par
rapport à v.
∂ f∂u=∂ f∂ x
∙∂ x∂u+ ∂ f∂ y
∙∂ y∂u
∂ f∂ v=∂ f∂ x
∙∂ x∂v+ ∂ f∂ y
∙∂ y∂v
Exercice d’application
Soit f ( x , y )=arctan (x+ y ) avec x=u2+v2 et y=√u ∙ v.Dériver f par rapport à u et v
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Mathématiques générales 2
13. Opérateurs des dérivées partielles
13.1.Opérateurs usuels
Soit f une fonction définie sur D⊂R2 ou D⊂R3 . Le plan R2 est rapporté à un
repère cart é sien(O;i , j) et l’espace R3 est rapporté à (O; i , j , k ).
On suppose que f est différentiable en tout point de D.
13.1.1. Gradient
On appelle gradient de f en tout point de D la quantité vectorielle notée :
grad f ( x , y ) ou ∇ f (x , y).
grad f ( x , y )=∂ f∂ x
i+ ∂ f∂ y
j
grad f ( x , y , z )= ∂ f∂ x
i+ ∂ f∂ y
j+ ∂ f∂ z
k
13.1.2. Divergence
On appelle divergence du champ vectoriel V tel
que V=P (x , y , z )i+Q(x , y , z ) j+R (x , y , z) k et on note ¿ V ( x , y , z )la quantité scalaire
définie par :
¿ V ( x , y , z )=∂ P∂x+ ∂Q∂ y+ ∂R∂z
13.1.3. Laplacien
On appelle Laplacien de f (x , y , z), la quantité scalaire noté : ∆ f (x , y , z) ou
∇2 f (x , y , z), définie par :
∆ f ( x , y , z )=∂2 f∂ x2+
∂2 f∂ y2+
∂2 f∂ z2
∆ f=¿(∇ f )
Par Joël M. ZINSALO Page 50
Mathématiques générales 2
Les fonctions f vérifiant la relation ∆ f=0 sont appelées fonctions
harmoniques. Elles interviennent dans la résolution des ondes et de la
chaleur.
13.1.4. Rotationnel
On appelle rotationnel du champ vectoriel V=P (x , y , z )i+Q(x , y , z ) j+R (x , y , z) k la
quantité notée rot V définie par rot V=∇∧V avec ∇ ( ∂∂ x ; ∂∂ y
;∂∂ z ) et V (PQR)
∇∧ V=|i∂∂ x
P
j∂∂ y
Q
k∂∂ z
R|¿( ∂ R∂ y−∂Q
∂ z ) i−( ∂ R∂x −∂ P∂z ) j+( ∂Q∂ x −∂P
∂ y ) krot V=( ∂ R∂ y
−∂Q∂ z )i−( ∂ R∂ x −∂P
∂ z ) j+( ∂Q∂x −∂P∂ y ) k
Les opérateurs usuels peuvent être écrits dans tous les systèmes de
coordonnées.
Coordonnées cartésiennes
Soit f (x , y , z) et V=P ( x , y , z ) i+Q ( x , y , z ) j+R ( x , y , z ) k
grad f=∂ f∂x
i+ ∂ f∂ y
j+ ∂ f∂ z
k
∆ f= ∂2 f∂ x2+
∂2 f∂ y2+
∂2 f∂ z2
Par Joël M. ZINSALO Page 51
k
i
j
Mathématiques générales 2
¿ V=∂ P∂ x+ ∂Q∂ y+ ∂R∂ z
rot V=( ∂ R∂ y−∂Q
∂ z )i−( ∂ R∂ x −∂P∂ z ) j+( ∂Q∂x −∂P
∂ y ) k
Coordonnées cylindriques
Soit f (r , θ , z ) et A=A r(r ,θ , z) er+Aθ(r ,θ , z) eθ+A z(r ,θ , z )e z
grad f=∂ f∂ r
er+1r∂ f∂θ
eθ+∂ f∂ z
ez
∆ f=1r
∂∂ r (r ∂ f∂r )+ 1
r2
∂2 f∂θ2+
∂2 f∂ z2
¿ V=1r
∂ (r A r )∂ r
+ 1r
∂ Aθ
∂θ+∂ A z
∂ z
rot V=( 1r ∂ A z
∂θ−∂ Aθ
∂ z )er−( ∂ A z
∂ r−∂ A r
∂ z ) eθ+1r ( ∂ ( r Aθ )
∂ r−∂ A r
∂θ ) ez
Coordonnées sphériques
Soit f (r , θ ,φ) et A=A r(r ,θ ,φ) er+Aθ(r , θ ,φ) eθ+A z(r , θ ,φ) eφ
Par Joël M. ZINSALO Page 52
Mathématiques générales 2
grad f=∂ f∂ r
er+1r∂ f∂θ
eθ+1
r sinθ∂ f∂φ
eφ
∆ f=1r∂2 (rf )∂ r2 +
1r2 sinθ
∂∂θ (sinθ ∂ f
∂θ )+ 1r2 sin2θ
∂2 f∂φ2
¿ V=1
r2
∂ (r2 Ar )∂r
+1
rsinθ
∂ ( sinθ Aθ )∂θ
+1
rsinθ∂ Aφ
∂φ
rot V= 1rsinθ ( ∂ ( sinθ Aφ)
∂θ−∂ Aθ
∂φ ) er−1r ( ∂ (r Aφ )
∂r− 1sinθ
∂ A r
∂φ ) eθ+1r ( ∂ (r Aθ )
∂r−∂ A r
∂θ ) eφ
13.2.Propriétés
13.2.1. Linéarité
Le gradient, la divergence, le laplacien et le rotationnel sont des opérateurs
linéaire, on a donc quelque soit le type d’opérateur, on a : T (f +g)
T ( f +g )=T ( f )+T (g )
T ( λf )=λT ( f ) , λ=constante
13.2.2. Composition d’opérateurs
Dans cette rubrique, nous donnons quelques formules importantes :
grad ( f ∙ g )=f ∙ grad (g )+g ∙ grad ( f )
¿ ( f ∙ A )=f ∙÷ ( A )+ A ∙ grad ( f )
rot (U ∙ A )=U ∙ rot ( A )+ (gradU )∧ A
¿ ( rot A )=0
rot ( grad ( f ) )=0
rot ( rot ( A ) )= grad (¿ ( A ) )−Δ A
A∧ ( B∧C )=( A ∙ C ) B−( A ∙ B ) C
grad ( A ∙ B )= A∧ rot B+ B∧ rot A+( B ∙ grad ) A+( A ∙ grad ) B
¿ ( A∧ B )=B ∙ rot A− A ∙ rot B
¿ ( grad f )=∆ f
rot ( A∧ B )=(¿ B ) A−( A ∙ grad ) B−(¿ A ) B+( B ∙ grad ) A
14. Dérivées directionnelles et plans tangents
14.1.Dérivées directionnelles
Par Joël M. ZINSALO Page 53
Mathématiques générales 2
Soit f une fonction définie sur D⊂R2 ou R3 . Soit l, un vecteur de R2 ou R3. On
appelle dérivée de f suivant la direction du vecteur l et on note ∂ f∂ l
la quantité
scalaire
∂ f∂ l= ∂ f∂ x
cosα+ ∂ f∂ y
sinα
cos α et sinα sont les composantes du vecteur unitaire l
‖l‖ cette relation peut
aussi s’écrire sous la forme :
∂ f∂ l=grad ( f )∙ l
‖l‖∂ f∂ l= ∂ f∂ x
cosα+ ∂ f∂ y
cos β+ ∂ f∂ z
cos γ
avec cos (α ), cos (β ) et cos (γ ) les composantes du vecteur unitaire appelé cosinus
directeur vérifiant la relation :
cos2α+cos2β+cos2 γ=1.
Le gradient d’une fonction indique la direction correspondant à la croissance la
plus rapide de la fonction au point donné.
La dérivée ∂ f∂ l
dirigée vers le gradient, atteint sa plus grande valeur qui
est égale à :
( ∂ f∂ l )pgv=|grad (f )|avec
|grad ( f )|=√( ∂ f∂ x )2+( ∂ f∂ y )2+( ∂ f∂ z )2Exercice d’application
1. Calculer la dérivée de f définie par f ( x , y )=x2− y2 au point M (1 ;1) dans la
direction du vecteur l formant un angle α=60° avec l’axe positif Ox
2. Calculer la dérivée de g définie par g ( x , y , z)=x y2 z3 au point M (3;2 ;1 ) dans
la direction du vecteur MN où N (5 ; 4 ;2)
3. Calculer la dérivée de h définie par : h ( x , y )=ln ( x2+ y2) au point M (3 ;4 )
dans la direction du gradient h.
Par Joël M. ZINSALO Page 54
Mathématiques générales 2
14.2.Plans tangents à une surface
On appelle plan tangent à une surface en un point M , le plan qui contient
toutes les tangentes aux courbes tracées sur la surface et passant par le point
M . Si la surface est donnée par l’équation F ( x , y , z )=0, alors l’équation du plan
tangent au point M (x0 ; y0; z0) de la surface est de la forme :
( ∂ F∂ x )M (x−x0 )+( ∂ F∂ y )M ( y− y0 )+( ∂ F∂ z )M ( z−z0 )=0
Exercice d’application
Former l’équation du plan tangent au point (1 ;1 ;1) de surface d’équation:
x2−2 xy+ y2−x+2 y=0.
Planche d’exercices
Exercice 1
1. On considère la fonction f définie par :
f ( x , y )={xy x2− y2
x2+ y2 si ( x , y )≠ (0 ;0 )
0 sinon
et g ( x , y )={ g (0,0 )=a
g ( x , y )= x3 y
2 x4+ y 4si ( x , y )≠ (0 ;0 )
a¿Montrer que f est diff é rentiable en(0 ;0).
b¿Montrer que∂2 f
∂ x ∂ y(0 ;0 ) et ∂2 f
∂ y ∂x(0 ;0 ) existent et les comparer .Conclure .
c ¿f est – elle continue sur R2?
d ¿f est – elle de classe C1 sur R2?
e) f est – elle différentiable sur R2?
f ¿ Etudier lacontinuit é deg en (0,0 )a aunnombre r é el.
2. Soit la fonction suivante : h :R3→R
( x , y , z )↦ h (x , y , z )= x+zx2+ y2−z2
Par Joël M. ZINSALO Page 55
Mathématiques générales 2
a. Déterminer le domaine de définition de h
b. h a-t-elle une limite en (0, 0, 0) ? en (2, 0, -2) ?
3. Déterminer le domaine de définition de la fonction k et représenter une de
ses lignes de niveau :
k ( x , y )=Argch( 1+x1− y )
4. a) La fonction suivante admet – elle une limite en (0,0) ?
f ( x , y )=¿
b) A l’aide de la formule d’approximation d’ordre 1, calculer :
√sin2 1,55+8e0,05.
Exercice 2
1- Déterminer et représenter graphiquement le domaine de définition des
fonctions définies par :
f ( x , y )=ln ( x+ yx− y ); g ( x , y )=√1−( x− y )2
h ( x , y )= 1
√ y−√x; k ( x , y )=ln ( y
x2+ y2−1 )2- Déterminer les courbes de niveaux des fonctions suivantes :
f ( x , y )=x5−5 y2; g ( x , y )=x2+x+ y2h ( x , y )=x cos y ;
k ( x , y , z )=x2− y2−z2 ; p ( x , y , z )=x+ y+3 z
3- On considère la fonction u définie par :
u ( x , y )=4 y2−2 y+4 x2+x
a. Calculer u(−1 ;−1)
b. Déterminer l’équation de la courbe de niveau u=5
c. Déterminer le lieu des points M (x , y )∈ R2 tels que u ( x , y )≤2
4- Déterminer le domaine de définition et étudier la continuité des fonctions
suivantes :
u ( x , y )= x2 y
x2+ y2 ;u ( x , y )={ x
4+ y4
x2+ y2 si ( x , y )≠ (0; 0 )
0 sinon
u ( x , y )={sin (x2 y )x2+ y2 si ( x , y )≠ (0 ;0 )
0 sinon
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Mathématiques générales 2
Exercice 3
1. On considère la fonction f définie par :
f ( x , y )={xy x2− y2
x2+ y2 si ( x , y )≠ (0 ;0 )
0 sinon
a¿Montrer que f est diff é rentiable en(0 ;0).
b¿Montrer que∂2 f
∂ x ð y(0; 0 ) et ∂2 f
∂ yð x(0 ;0 ) existent et les comparer .
2. Soit g la fonction de classe C2 définie par :
g :R2→R
( x , y )↦ g(x , y)
telle que :
g (0 ;0 )=∂ g∂ x
(0 ;0 )=∂ g∂ y
(0 ;0 )=∂2 g∂x2
(0 ;0 )= ∂2 g∂x ð y
(0 ;0 )= ∂2g∂ y2
(0 ;0 )=0
Montrer que la fonction h définie par :
h ( x , y )=g( x , y )x2+ y2
est continue. Indication : Utiliser la formule de Taylor.
Exercice 4
L’espace R3 étant rapporté à sa base canonique ( i , j , k ) les coordonnées d’un
point M de R3 sont notées ( x , y , z ) et on pose r2=x2+ y2+z2. On donne les champs
u1, u2, u3, u4 définis pour tout point M de R3− {(0,0,0 ) } par :
u1 (M )= kr; u2 (M )=z grad ( 1r ); u3 (M )=u1 (M )−u2 (M ) ; u4 (M )=u1 (M )+u2 (M ) .
1. Calculer en fonction de x , y , z et r les composantes de u1, u2, u3 , u4 et u5 .
2. Calculer les divergences des champs u1, u2, u3, u4 .
3. Calculer les composantes des vecteurs rot (u1) et rot (u2).
4. Calculer rot (u1)× rot (u2 ).
5. Vérifier que u4= grad f où f est une fonction de R3 dans R, définie par :
f ( x , y , z )= zr−1.
Exercice 5
Soit le champ vectoriel défini par :
Par Joël M. ZINSALO Page 57
Mathématiques générales 2
V ( x , y , z )=φ (r ) (x i+ y j+z k )avec r=√x2+ y2+ z2
où φ est une fonction d’une variable différentiable.
1. Calculer ¿ V , rot V .
2. A quelle condition ¿ V=0? En déduire l’expression de φ .
Exercice 6
On considère la fonction f définie de R3 vers R par :
f ( x , y , z )= x y2 z3
1. Calculer df ( x , y , z ) et ∆ f / f .
2. En déduire l’incertitude ∆ z / z en fonction ∆ f / f , ∆ x / x et ∆ y / y.
3. Application : Un cône de révolution a un volume V=1789±2cm3 et pour
rayon r=10±0,05cm. Sachant que du cône est proportionnel à l’aire de sa
base et à sa hauteur et que π=3,14 ±0,01, calculer l’incertitude relative ∆ h/h
sur la mesure de la hauteur du cône. Donner un encadrement de h.
Chapitre 5
1. Les intégrales doubles
1.1. Définition
Soit f une fonction définie et continue sur un domaine plan D.
On appelle intégrale double de f de variables x et y dans le domaine D, le réel
défini par :
∬D
❑
f ( x , y )dxdy .
L’intégrale double est donc l’intégrale d’une fonction de deux variables. Elle
nous permettra, entre autres, de calculer l'aire d'un domaine d'intégration,
ainsi que le volume d'un solide limité par les graphes de fonctions de deux
variables.
Par Joël M. ZINSALO Page 58
Intégrales double et triple
Mathématiques générales 2
1.2. Propriétés essentielles des intégrales doubles
On a :
∬D
❑
f ( x , y )±g (x , y )¿ dxdy=¿∬D
❑
f ( x , y )dxdy ±∬D
❑
g ( x , y )dxdy
∬D
❑
cf ( x , y )dxdy=c∬D
❑
f ( x , y )dxdy avec c=cte r é elle
Si le domaine d’intégration D est partagé en deux domaines D1et D2, alors :
∬D
❑
f ( x , y )dxdy=∬D 1
❑
f ( x , y )dxdy+∬D 2
❑
f ( x , y )dxdy
Soit la fonction f : D→R est intégrable sur D et f ≥0 alors :
∬D
❑
f ( x , y )dxdy ≥0
Si f ≤ g et elles sont toutes intégrales sur D alors :
∬D
❑
f ( x , y )dxdy ≤∬D
❑
g ( x , y )dxdy
Si f est définie sur D⊂R2→R et f est intégrable sur D alors on a :
|∬D
❑
f ( x , y )dxdy|≤∬D
❑
f ( x , y )dxdy
Si D1 ϲ D2et f : D2→R et f est intégrable surD2 avec f ≥0 alors
∬D1
❑
f ( x , y )dxdy ≤∬D 2
❑
f ( x , y )dxdy
Inégalité de CAUCHY-SCHAUVRZ pour les intégrales doubles
Soit f et g deux fonctions définies sur D ϲ R2 et intégrable sur D, alors f . g , f 2et g2
sont intégrables sur D et
(∬D
❑
fg)2
≤(∬D
❑
f 2)∙(∬D
❑
g2)Par Joël M. ZINSALO Page 59
Mathématiques générales 2
1.3. Règles de calcul des intégrales doubles
On distingue trois types fondamentaux de domaine d’intégration.
1erCas :
Le domaine d’intégration D est tel que
D = {(x , y)∈R2/a≤x ≤b et c ≤ y ≤d} dans ce cas on a :
∬D
❑
f ( x , y )dxdy=∫a
b
(∫c
d
f (x , y )dy)dx=∫c
d
(∫a
b
f ( x , y )dx )dyLe domaine D peut aussi s’écrire : D= [a ,b ]× [c ,d ] .
Exercice d’application
Calculer
I=∬D
❑
(x¿¿3¿ y+3 x y2)dxdy sur D={ (x , y )∈ R2/0≤x ≤2et 2≤ x≤3}¿¿
et J= ∬[0,1 ]× [0,1 ]
❑
( x+ y )dxdy .
I=∫0
2
(∫2
3
(x3 y+3 x y2 )dy )dx¿∫
0
2
( 12 x3 y2+ x y3)dx¿∫
0
2
( 52 x3+19 x)dx¿ [ 52 .
14x4+ 19
2x2]
0
2
¿¿
I= 48
Par Joël M. ZINSALO Page 60
Mathématiques générales 2
J= ∬[0,1 ]× [ 0,1]
❑
( x+ y )dxdy=∫0
1
( y+12 )dy=1.
En conclusion le calcul d’une intégrale double est ramenée au calcul de deux
intégrales simples.
CAS PARTICULIER
Il peut arriver que f (x , y ) soit sous la forme f ( x , y )=g ( x ) . h ( y ) . Dans ce cas, on a
∬D
❑
f ( x , y )dxdy=(∫a
b
g ( x )dx)×(∫c
d
h ( y )dy)Exercice d’application
Soit :
D= (x , y )∈ R2/0≤x ≤4et 1≤ y ≤e }et f ( x , y )=x2lny
Calculer donc∬D
❑
f ( x , y )dxdy .
I=(∫0
4
x2dx )×(∫1
e
ln y dy )¿ [ x3
3 ]04
×∫1
e
ln y dy
J=∫1
e
ln ydy
u' ( y )=1 ;u ( y )= y ;v ( y )=lny alors v ' ( y )= 1yJ= y lny−∫
1
2
y .1ydy
I=[ 43
3−0] . [e . ln e−e− (1 ln 1−1 ) ]
I=643∗1
I=643
2emeCAS :
Le domaine d’intégration est défini de la façon suivante :
Par Joël M. ZINSALO Page 61
Mathématiques générales 2
D= {( x , y )∈R2/ a≤ x≤bet φ1 ( x )≤ y ≤φ2 ( x ) }
où φ1et φ2 sont des fonctions continues sur [a ,b ]. Alors on a :
∬D
❑
( x , y )dxdy=∫a
b (∫φ2(x)
φ1(x)
f ( x , y )dy)dx :
c’est le théorème de Fubini.
Onad’ abord calculé ∫φ2( x)
φ1( x)
f ( x , y )dy où x est considéré constant .
Exercice d’application :
I=∬D
❑
f ( x , y )dxdy où f ( x , y )=2x− y
D= {( x , y )∈R2/1≤x ≤2et x≤ y≤ x2 }
D=∫1
2 (∫x
x2
(2 x− y )dy)dx=∫1
2 ([2 xy−12y2]
x
x2
)dx=∫1
2
(2x3−12x4−2 x2+ 1
2x2)dx
¿ [24 x4−15×
12x3−3
2×
13x3]
1
2
¿ 910
.
3emeCas :
Il peut arriver que φ1et φ2 soient continues sur l’intervalle [c ,d ] et D se présente
comme suit
D= {( x , y )∈R2/φ1 ( y )≤ x≥φ2 ( y ) et c ≤ y ≤d }Alors on utilise le théorème de Fubini :
∬D
❑
f ( x , y )dxdy=∫c
d
(∫φ1
φ2
f (x , y )dx)dyDans ce cas ,oncalcule d 'abord∫
φ1
φ2
f (x , y )dx où yest considéré constant .
Exercice d’application
Soit D= {f ( x , y )∈R2/x ≥1 , y ≥1et x+ y ≤3}
Par Joël M. ZINSALO Page 62
O
Mathématiques générales 2
Calculer
I=∬D
❑1
( x+ y )3dxdy
On a donc :
D= {f ( x , y )∈R2/1≤ x≤3− y et 1≤ y≤2}
I=∫1
2
([ −13−1
×1
( x+ y )3−1 ]1
3− y
)dy¿∫
1
2
([−12
×1
( x+ y )2 ]13− y
)dy¿−1
2∫
1
2
( 1(3− y+ y )2
− 1(1+ y )2 )dy
¿−12∫
1
2
( 19− 1(1+ y )2 )dy
I=−12
×[ 19 y+ 11+ y ]1
2
= 136
I= 136
On peut aussi dire que :
D= {f ( x , y )∈R2/1≤ y≤3−xet 1≤ x≤2}
Par Joël M. ZINSALO Page 63
Mathématiques générales 2
Par suite, on a :
I=∫1
2
([ −13−1
×1
( x+ y )3−1 ]1
3−x
)dx¿∫
1
2
([−12
×1
( x+ y )2 ]13− x
)dx¿−1
2∫
1
2
( 1( x+3−x )2
− 1( x+1 )2 )dx
¿−12∫
1
2
( 19− 1( x+1 )2)dx
I=−12
×[ 19 x+ 1x+1 ]1
2
= 136
I= 136
Exercice
D= {( x , y )∈R2/ x≥0 ; y ≥0et x+ y ≤1}Calculer
I=∬D
❑
f ( x , y )dxdy avec f ( x , y )=x2+ y2
On a :0≤ x≤1∨ y ≥0et x+ y≤1 ;0≤ y et y≤1−x
On a donc :
{ 0≤ x≤10≤ y ≤1−x
Par Joël M. ZINSALO Page 64
1
y
1 xO
D
Mathématiques générales 2
Alors
I=∫0
1
(∫0
1−x
(x2+ y2 )dy)dxI=∫
0
1
([ x2 y+13y3]
0
1− x)dxI=∫
0
1
( x2 (1−x )+ 13(1−x )3)dx
I=[ x3
3−x4
4−
112
(1−x )4 ]0
1
I=16
1.4. Interprétation géométrique de l’intégrale double
Soit f une fonction de variables x et y. définie et continue dans une certaine
région du plan xOy .
Soit z=f (x , y ) définie et continue dans une certaine région du plan xOy .
Considérons dans cette région un domaine D limité par une courbe fermée (C ) .
La fonction z=f (x , y ) est représentée par une surface Σ et le cylindre droit de
génératrices parallèles à (Oz ) et qui a pour base la courbe (C ) rencontre cette
surface suivant une courbe (Γ ) .
Par Joël M. ZINSALO Page 65
Mathématiques générales 2
Figure : Interprétation géométrique de l’intégrale double
Considérons dans le plan xOy deux familles de droites parallèles. Une première
famille est constituée par des droites parallèles à (Oy ) régulièrement espacées
de dx.
Une seconde famille est constituée par des droites parallèles à (Ox )
régulièrement espace de dy .
Le domaine D est ainsi découpé en domaines élémentaires, l’aire d’un domaine
élémentaire étant dS=dxdy.
La quantité dV=f (x , y )dxdy représente, à des infiniment petits du 2nd ordre près,
par rapport à dS, le volume intérieur au cylindre élémentaire de base dS et
limité transversalement par le plan xOy d’une part et par la surface Σ d’autre
part.
Le volume V intérieur au cylindre de base (C) et limité par le plan xOy et la
surface Σ est égale à la somme des volumes élémentaires dV .
Par Joël M. ZINSALO Page 66
Mathématiques générales 2
Cette somme, notée :
dV=∬D
❑
f (x , y )dxdy
est appelée intégrale double de f (x , y ) étendue au domaine D.
Le domaine D est appelé domaine d’intégration.
Si f ( x , y )=1 ,l' intégrale double∬D
❑
dxdy représente la sommedes aires élémentaires
dS, c'est-à-dire l’aire du domaine D. On note :
Ą (D )=∬D
❑
dxdy=airedudomaine D
Exercice
1. Calculer le volume du corps limité par les surfaces y=1+x2, z=3 x, y=5, z=0
et situé dans le 1er octant.
2. Calculer :
I=∬D
❑
(x− y )dxdy , si≤domaine Dest limité par leslignes y=2−x2 et y=2x−1.
J=∬D
❑
( x+2 y )dxdy si≤domaine D est limité par les droites y=x , y=2x , x=2 , x=3.
K=∬D
❑
xy √x2+4 y2dxdy siD={( x , y )∈R2/0≤ x≤1et 0≤ y ≤√1−x2 }
1.5. Changement de variables dans une intégrale double.
1.5.1. Les C1 difféomorphismes
Soit Φ une fonction à double variables x et y ,
Soient U et V deux domaines ouverts de R2 .
Supposons que Φ :U→V est une application.
Par Joël M. ZINSALO Page 67
Mathématiques générales 2
Soient P et Q deux applications définies sur U→R telles que :
∀ ( x , y )∈U ,Φ ( x , y )=(P (x , y ) ,Q ( x , y ) ) .
On dit que Φ est unC1 difféomorphisme si et seulement si les conditions
suivantes sont vérifiées :
{ Φest de classeC1 surUΦest bijective
Φ−1est declasse C1 sur V
On appelle matrice jacobienne de Φen ( x , y )la matrice carrée d’ordre 2 notée
JΦ ( x , y ) définie par :
JΦ ( x , y )=(∂ P∂ x
( x , y ) ∂ P∂ y
(x , y )
∂Q∂ x
(x , y ) ∂Q∂ y
( x , y ))On appelle Jacobien ou déterminant jacobien de Φen ( x , y ) le déterminant de
la matrice jacobienneJΦ ( x , y ) noté dét [JΦ ( x , y ) ]. On a :
dét [JΦ ( x , y ) ]=|∂ P∂ x ( x , y ) ∂P∂ y
( x , y )
∂Q∂ x
( x , y ) ∂Q∂ y
( x , y )|dét [JΦ ( x , y ) ]=∂ P
∂x(x , y ) ∙ ∂Q
∂ y( x , y )−∂ P
∂ y( x , y ) ∙ ∂Q
∂ x( x , y )
Le Jacobien se note aussi :
J ouD(u , v )D (x , y )
.
De façon générale, le changement de variables dans une intégrale double
s’effectue de la façon suivante :
∬Φ(D )
❑
f ( x , y )dxdy=∬D
❑
f (Φ(u ,v)) ∙|dét [ JΦ ( x , y ) ]|dudv .
Par Joël M. ZINSALO Page 68
Mathématiques générales 2
On peut quelquefois utiliser une symétrie simultanée du domaine D et de la
fonction f pour réduire l’intégrale double de f .
1.5.2. Changement de variable en coordonnées polaires
La transformation d’une intégrale double lorsqu’on passe des coordonnées
cartésiennes x et y aux coordonnées polaires ρ et θ liées par la relation :
{x=ρ cosθy=ρ sinθ
se réalise d’après la formule suivante :
∬D
❑
f ( x , y )dxdy=∬D
❑
f ( ρcos θ ,ρ sin θ ) ρdρdθ .
En effet, désignons par Φ : (θ , ρ )↦ ( ρ cosθ , ρ sin θ ). Ici, P ( x , y )=ρcos θ et
Q ( x , y )= ρsin θ .
Le Jacobien est :
dét [JΦ ( x , y ) ]=|∂ P∂ x ( x , y ) ∂P∂ y
( x , y )
∂Q∂ x
( x , y ) ∂Q∂ y
( x , y )|=|− ρsin θ cosθρ cosθ sinθ|=−ρ
alors :
∬D
❑
f ( x , y )dxdy=∬D
❑
f ( ρcos θ ,ρ sin θ ) ρdρdθ .
Si le domaine d’intégration est limité par deux demi-droites et θ=θ1 et θ=θ2 avec
θ1<θ2 et par deux courbes ρ=ρ1 (θ )et ρ= ρ2 (θ ) où ρ1 (θ ) et ρ2 (θ ) sont des fonctions
uniformes pour θ1≤θ≤θ2 et ρ1 (θ )≤ρ2 (θ ), alors l’intégrale double se calcule par la
formule suivante :
∬D
❑
F ( ρ ,θ ) ρdρdθ=∫θ1
θ2
dθ(∫ρ1 (θ )
ρ2 (θ )
F ( ρ ,θ ) ρdρ)où F ( ρ ,θ )=f ( ρ cosθ , ρ sinθ )
Par Joël M. ZINSALO Page 69
Mathématiques générales 2
Dans ces conditions, on calcule d’abord, l’intégrale :
∫ρ1 ( θ)
ρ2( θ)
F ( ρ,θ ) ρdρ dans laquelle θ est considéréeconstante .
1.5.3. Intégrale double en coordonnées curvilignes
Soit à transformer en passant des coordonnées cartésiennes x , y aux
coordonnées curvilignes liées par :
{x=x (u , v )y= y (u , v )
où les fonctions x (u , v )et y (u , v ) admettent des dérivées premières continues
dans un domaine D' du plan uO' v et le Jacobien de la transformation dans D’ ne
s’annule pas :
J=|∂ x∂u ∂x∂v
∂ y∂u
∂ y∂v|≠0.
Dans ces conditions, la formule de transformation d’une intégrale double est de
la forme :
∬D
❑
f ( x , y )dxdy=∬D'
❑
(x (u , v ) , y (u , v ) )|J|dudv .
EXERCICE D’APPLICATION
1. En passant aux coordonnées polaires calculer :
I 1=∬D
❑
√ x2+ y2dxdy siD est≤premier quadrant dudisque x2+ y2≤a2 .
2. Calculer :
I 2=∬D
❑
( x+ y )3 ( x− y )2dxdy
Par Joël M. ZINSALO Page 70
Mathématiques générales 2
siD est≤carr é e limite par les droites x+ y=0 ;x− y=0 ; x+ y=3 ; x− y=−1
3. Calculer
I 3=∬D
❑
x2 y2dxdy avec D= {( x , y )∈R2/ x2+ y2≤1}
4. Calculer :
I 4=∬D
❑
(x2+ y2 )dxdy
où D={( x , y )∈R2/x ≥0et x2+ y2−2 y≤0}
Solution
Calculons les intégrales données.
I 1=∬D
❑
(√x2+ y2 )dx dy avecDest≤premier quadrant dudisque x2+ y2≤a2
En cordonnées polaires, on a :
{x=ρcosθy=ρsinθ
∬D
❑
(√ x2+ y2) dxdy=∫a
π2
dθ∫0
a
¿¿¿
¿∫0
π2
dθ∫0
a
ρ2dρ
¿ a3
3∫0
π2
dθ
I 1=π a3
6
I 2=∬D
❑
( x+ y )3 ( x− y )2dxdy
où D est un carré limité par
x− y=1
x+ y=3
x+ y=1
x− y=−1
Posonsu=x+ yet v=x− y on aura :
u=1; v=1u=3 ; v=−1
Par Joël M. ZINSALO Page 71
Mathématiques générales 2
{u= x+ yv=x− y
⇒{ x=12(u+v )
y=12(u−v )
Alors le jacobien de la transformation est :
J=|∂ x∂u ∂x∂v
∂ y∂u
∂ y∂v|=|12 1
212−12|=−1
2
|J|=12
I 2=∬D
❑
( x+ y )3 ( x− y )2dxdy=12∬D'
❑
u3 v2dudv
Vu le fait que le domaine D’ est lui aussi un carré, on a :
I 2=12∫
1
3
u3du∫−1
1
v2dv=12∫1
3
u3[ 13 v3]−1
1
du=16∫1
3
u3 [1+1 ] du=203
I 2=203
I 3=∬D
❑
x2 y2dxdy avec D= {( x , y )∈R2/ x2+ y2≤1}
I 3=∬D
❑
x2 y2dxdy
D= {( x , y )∈ R2/ x2+ y2≤1}
Posons :
Par Joël M. ZINSALO Page 72
Mathématiques générales 2
{x=ρcosθy=ρsinθ
0≤ ρ≤1 , θ≤θ≤2π
I 3=∫0
2π
∫0
1
( ρcosθ )2 ¿
¿∫0
2π
(sinθcosθ )2dθ∫0
1
ρ5dρ
¿ 16∫
0
2π
(12 sin 2θ)2
dθ= 124∫0
2π
sin2 (2θ )dθ= 148∫0
2π
(1−cos 4θ )dθ
I 3=π
24
I 4=∬D
❑
(x2+ y2 )dxdy
D= {( x , y )∈R2/ x≥0et x2+ y2−2 y ≤0}
{x2+ y2−2 y ≤0x≥0
⇒ {( x−0 )2+ ( y−1 )2−2 y ≤0x≥0
Posons{x=ρcosθy=ρsinθ
Pour ρ>0 , x2+ y2−2 y≤0⇔ρ2−2 ρ sinθ ≤0⇔ρ≤2sin θ soit 0≤ ρ≤2sin θ .
Or x≥0⇔ρcosθ≥0.Puisque ρ>0 , alors cosθ ≥0.
cosθ ≥0⇔cosθ≥ cosπ2⇔0≤θ≤
π2.
Le domaine d’intégration devient :
{0≤ ρ≤2 sinθ
0≤θ≤π2
Par Joël M. ZINSALO Page 73
Mathématiques générales 2
I 4=∫0
π2
¿¿
I 4=∫0
π2
(1−cos2θ )2dθ=∫0
π2
(1−2cos2θ+1+cos4θ2 )dθ=3
2π2=3 π
4
I 4=3 π4
1.6. Applications des intégrales doubles
Calcul de la Masse
Soit ρ(x , y) la densité de masse ou densité superficielle d’un domaine D. La
masse totale de D est donnée par :
M=∬D
❑
ρ(x , y )dx dy .
Moments d’ordre 1 ou moments statiques
On a :
M x=∬D
❑
y ρ(x , y )dxdy .
M y=∬D
❑
x ρ(x , y)dx dy .
Calcul des coordonnées du centre de gravité
On a :
xG=M y
M=∬D
❑
x ρ( x , y )dx dy
∬D
❑
ρ(x , y)dx dy
yG=M x
M=∬D
❑
y ρ(x , y)dx dy
∬D
❑
ρ(x , y )dx dy
Calcul des Moments d’inertie
Le moment d’inertie par rapport aux axes (Ox) et (Oy) sont respectivement :
Par Joël M. ZINSALO Page 74
Mathématiques générales 2
I x=∬D
❑
y2ρ( x , y )dx dy
I y=∬D
❑
x2 ρ(x , y )dx dy
Le moment d’inertie par rapport à l’origine des coordonnées ou
moment d’inertie polaire est donné par :
IO=I x+ I y=∬D
❑
(x2+ y2 ) ρ(x , y)dx dy
Le moment d’inertie par rapport à un point A est par définition le réel défini
par :
I A=∬D
❑
((x−xA )2+( y− y A )
2 ) ρ(x , y)dx dy
Pour un domaine homogène, la densité superficielle n’est plus variable c’est-à-
dire ρ ( x , y )=ρ=cte .
Pour des figures planes, on a : ρ ( x , y )=ρ=1.
Formule de Huygens
Soit (D , ρ) un système matériel. G le centre de gravité de (D , ρ ) .
H un point ou une droite ou un plan.
HG parallèle à H et passant par G.
d la distance de H à HG
M la masse de (D , ρ ) .
IH le moment d’inertie de (D , ρ) par rapport à H
IHG le moment d’inertie de (D , ρ) par rapport à HG
On a :
IH=I HG+M ∙d2
Exercice 1
Par Joël M. ZINSALO Page 75
Mathématiques générales 2
Calculer les coordonnées du centre de gravité de chacune des figures limitées
par :
1¿ l' ellipse x2
25+ y2
9=1et par sacorde
x5+ y
3=1.
2¿ leslignes y2=4 x+4 , y2=−2 x+4.
Exercice 2
1) Calculer le moment d’inertie polaire de la figure délimitée par les lignes
d’équations :
xa+ yb=1, x=0 , y=0.
2) Calculer le moment d’inertie de la figure limitée par la cardioïde
ρ=a (1+cosθ ) par rapport à l’axe Ox .
2. Les intégrales triples
2.1. Définition et méthode de calcul
Soit f une fonction définie sur D⊂R3 . On appelle intégrale triple la quantité
notée :
∭D
❑
f (x , y , z )dxdydz .
La détermination de cette intégrale triple se fait de façons similaires au calcul
d’intégrale double en commençant par les fonctions étagées sur les pavés.
La formule de FUBINI possède deux formes distinctes :
- soit en prenant une intégrale simple d’une intégrale double sur le domaine
D :
D= {( x , y , z )∈R3/a1≤x ≤b1;a2≤ y ≤b2;a3≤ z≤b3 }
∭D
❑
f (x , y , z )dxdydz=∫a1
b1 ( ∬a2≤ y ≤b2
a3≤ y ≤ b3
f ( x , y , z )dydz )dxet il ya trois façons de procéder ainsi : on parle alors de procédé de
sommation par tranches.
Par Joël M. ZINSALO Page 76
Mathématiques générales 2
- soit en prenant une intégrale double d’une intégrale simple
∭D
❑
f (x , y , z )dxdydz= ∬a1 ≤ y ≤b
1
(a2≤ x≤ b2)
❑ (∫a3
b3
f ( x , y , z )dz)dxdyet il y a trois façons de procéder ainsi : on parle alors de procédé de
sommation par piles.
On en déduit bien sur un procédé de sommation à l’aide de 3 intégrales
simples, de 6 façons possibles :
∭D
❑
f (x , y , z )dxdydz=∫a1
b1 (∫a2
b 2 (∫a3
b3
f ( x , y , z )dz )dy)dxThéorème
On suppose qu’il existe deux fonctions φ1et φ2 continues et définies sur [a ,b ]
telle que c ≤φ1(x)≤φ2(x)≤d. De plus, on suppose qu’il existe deux fonctionψ1 et ψ2
continues sur [a ,b ]× [c ,d ] telle que l’on puisse écrire le domaine D de la façon
suivante :
D= {( x , y , z )∈R3/a≤x ≤b ,φ1 (x )≤ y≤φ2 ( x ) et ψ1 ( x , y )≤ z≤ψ2 ( x , y ) }.
Si f est intégrable surD alors on a :
∭D
❑
f (x , y , z )dxdydz=∫a
b ( ∫φ1(x)
φ2(x) ( ∫ψ 1 ( x, y )
ψ 2 ( x, y )
f (x , y , z )dz)dy )dxC’est la formule de Fubini totale.
Formule de Fubini partielle
On suppose qu'il existe une fonction qui à tout z∈ [a ,b ] associe un domaine
Ω z⊂R2. On définit un autre domaine Ω⊂R3 par :
Ω={( x , y , z )∈R3 ,a≤ z≤b , ( x , y ) }∈Ωz .
S la fonction f est intégrable, alors on a :
∭Ω
❑
f (x , y , z )dxdydz=∫a
b
(∬Ωz
❑
f ( x , y )dxdy )dz .C’est la formule de Fubini partielle.
Théorème
Soit D le parallélépipède [a ,b ]× [c ,d ]× [γ , δ ]. Si
Par Joël M. ZINSALO Page 77
Mathématiques générales 2
∀ ( x , y , z)∈D , f ( x , y , z )=g(x )∙ h( y) ∙l(z )
où g , h , l sont des fonctions continues sur [a ,b ] , [c ,d ] et [γ , δ ] respectivement,
alors :
∭D
❑
f (x , y , z )dx dy dz=(∫a
b
g (x)dx)(∫a
b
h( y )dy)(∫a
b
l(z )dz)2.2. Interprétation physique de l’intégrale triple
Soit dans l’espace rapporté à un système d’axes de coordonnées cartésiennes
un corps solide hétérogène.
Si l’on considère une portion du solide de volume ∆V et de masse ∆ m, sa
masse spécifique ou masse volumique est ∆ m/∆V . Elle dépend de la région
considérée. Etant donné un point P du corps solide et une portion de ce solide
de volume ∆V et de masse ∆ m entourant le point P, on appellera masse
spécifique au point P la limite de ∆ m/∆V quand le volume ∆V tend vers zéro
dans ses trois dimensions.
Figure : Interprétation physique de l’intégrale triple
Par Joël M. ZINSALO Page 78
Mathématiques générales 2
La masse spécifique au point P apparaît alors comme une fonction de ce point,
c'est-à-dire une fonction des trois variables x, y , z coordonnées du point P :
ρ=f ( x , y , z ) .
Au moyen de trois familles de plans parallèles aux plans de coordonnées nous
pouvons découper le volume V du corps solide en volumes élémentaires :
dV=dx dy dz .
La masse d’un tel volume élémentaire est :
dm= ρdV=f ( x , y , z )dxdy dz .
et la masse totale est la somme des masses élémentaires. Cette somme,
notée :
∭V
❑
f (x , y , z )dx dy dz
est appelée intégrale triple étendue au volume V de la fonction f ( x , y , z ). Le
volume V est le domaine d’intégration.
La fonction f ( x , y , z ) envisagée ci-dessus est toujours positive puisqu’elle
représente une masse spécifique. Mais la définition de l’intégrale triple est
évidemment générale et s’applique à une fonction de signe quelconque.
Exercice
Calculer :
1. I 1=∭D
❑
z dx dy dz
où le domaine D est défini par les inégalités :
0≤ x≤12, x ≤ y≤2x ,0≤z ≤√1− x2− y2
2. I2=∭D
❑
xyz dx dy dz
où le domaine D est défini par les inégalités :
x≥0 , y ≥0 , z ≥0 , x2+ y≤1.
Par Joël M. ZINSALO Page 79
Mathématiques générales 2
Solution
Calculons :
1. I 1=∭D
❑
z dx dy dz
où le domaine D est défini par les inégalités :
0≤ x≤12, x ≤ y≤2x ,0≤ z ≤√1− x2− y2
I 1=∫0
12
dx∫x
2x
dy ∫0
√1− x2− y2
z dz=12∫0
12
dx∫x
2x
[ z2 ]0√1−x2− y2
I 1=12∫
0
12
dx∫x
2 x
(1−x2− y2 )dy=12∫0
12
[ y− y x2−13y3]
x
2x
I 1=12∫
0
12
(2 x−2 x3−83x3−x+x3+ 1
3x3)dx
I 1=12∫
0
12
(x−103
x3)dx=12 [ 12 x2−5
6x4]
0
12=1
2 ( 18−56− 1
16 )= 7192
I 1=7
192
2. I2=∭D
❑
xyz dx dy dz
où le domaine D est défini par les inégalités :
x≥0 , y ≥0 , z ≥0 , x2+ y≤1.
I 2=∫0
1 ( ∫01− x2
(∫0
y
xyz dz )dy )dxI 2=∫
0
1 ( ∫0
1− x2
12x y3dy)dx
Par Joël M. ZINSALO Page 80
Mathématiques générales 2
I 2=∫0
112x(1−x2 )4
4dx
I 2=[−180
(1−x2 )5]0
1
= 180
2.3. Changement de variables
Si, lors du calcul d’une intégrale triple, on a besoin de passer des variables x, y,
z aux nouvelles variables u, v, w liées aux premières par les relations x=x (u , v ,w )
, y= y (u , v ,w ), z=z (u , v ,w ) où x (u , v ,w ) , y (u , v ,w ) et z (u , v ,w ) et leurs dérivées
premières sont des fonctions qui établissent une correspondance biunivoque et
bicontinue entre les points du domaine D de l’espace Oxyz et les points d’un
certain domaine D’ de l’espace Ouvw, et que le jacobien J ne s’annule pas dans
le domaine D’ :
J=|∂ x∂u
∂x∂v
∂ x∂w
∂ y∂u
∂ y∂v
∂ y∂w
∂z∂u
∂ z∂v
∂ z∂w|≠0 ,
et que f ( x , y , z )=f (x (u , v ,w ) ; y (u , v ,w ); z (u , v ,w )), alors on se sert de la formule
suivante :
∭D
❑
f (x , y , z )dxdydz= ∭(u ,v , w)∈D '
❑
f (x (u , v ,w ) , y (u , v ,w ) , z (u , v ,w ) ) .|J|dudvdw
2.3.1. Passage en coordonnées cylindriques
Un point M (x , y , z )de R2 est repéré par un système de coordonnées cylindriques
(θ , ρ , z ) où (θ , ρ) est un système de coordonnées polaires de la projection
orthogonale m de M sur le plan xOy .
Par Joël M. ZINSALO Page 81
Mathématiques générales 2
Figure : Passage en coordonnées cylindriques
On a ainsi les formules de changement de variables :
{x=ρ cosθy=ρ sinθ
z=z
Le jacobien J peut être calculé :
J=|∂ x∂θ
∂x∂ ρ
∂ x∂z
∂ y∂θ
∂ y∂ ρ
∂ y∂z
∂ z∂θ
∂ z∂ ρ
∂z∂ z|=|−ρ sinθ cosθ 0
ρ cosθ sinθ 00 0 1|=−ρ
On retiendra que pour passer en coordonnées cylindriques dans une intégrale
triple, on remplacera dxdydz par|J|dθdρdz soit ρdθdρdz .
2.3.2. Passage en coordonnées sphériques
Un point M (x , y , z )∈R3 est repéré par un système de coordonnées sphériques
(θ , ρ ,φ ) où ou ρ=OM et θ est l’angle polaire de la projection orthogonale m de M
est la projection orthogonale sur le plan xOy (orienté directement) et OM .
On impose de façon classique θ∈ [0,2 π ] ouθ∈ [−π ; π ] et φ∈[−π2 ;π2 ].
Par Joël M. ZINSALO Page 82
Mathématiques générales 2
Figure : Passage en coordonnées sphériques
On a ainsi les formules de changement de variables suivantes :
{x=ρ cosθ cos φy=ρ sinθ cosφ
z=ρ sinφ
et le jacobien J est :
J=|∂ x∂θ
∂x∂ ρ
∂ x∂φ
∂ y∂θ
∂ y∂ ρ
∂ y∂φ
∂z∂θ
∂ z∂ ρ
∂z∂φ|=|−ρ sinθcosφ ρ cosθ cosφ −ρ cosθ sinφ−ρ cosθ cos φ ρsinθ cos φ −ρ sinθ sinφ
0 sinφ ρ cos φ |
J=−ρ2cos φ
On retiendra que :
Pour passer en coordonnées sphériques, on remplace dxdydz par ρ2|cos φ|dθdρdφ.
On peut aussi utiliser les formules de changement de variable suivante :
{x=ρ sin θ cosφy=sin θ sinφz= ρcos θ
dxdydz=ρ2|sinθ|dθdρdφExercice d’application :
1) Calculer :
I 1=∭D
❑
|x2− y2|dxdydz où D= {( x , y , z )∈R3/0≤ z ≤1et x2+ y2≤ z }
on passera en coordonnées cylindriques
Par Joël M. ZINSALO Page 83
Mathématiques générales 2
2) Calculer
I 2=∭D
❑
(x2+ y2+x2)dxdydzou D={( x , y , z )∈ R3/ x2+ y2+z2≤1}
3) Calculer
I 3=∭D
❑
(x2+ y2)dxdydz où Dest lamoitié supérieure de laboule x2+ y2+z2≤ R2
4) Calculer
I 4=∭D
❑
x2dx dydz où Dest laboule x2+ y2+z2≤R2
5) Calculer
I 5=∭D
❑
z√ x2+ y2dx dy dz
où D est limité par le cylindre x2+ y2=2xet les plans y=0 , z=0 , z=a.
2.4. Applications des intégrales triples
Le volume d’un corps qui occupe un domaine D est donné par la formule :
V=∭D
❑
dxdy dz
Si la masse volumique de ce corps est une grandeur variable ρ=ρ (x , y , z ) alors la
masse se calcule par la formule :
M=∭D
❑
ρ ( x , y , z )dx dy dz
Les coordonnées du centre de gravité du corps sont déterminées par les
formules :
xG=∭D
❑
ρ ( x , y , z ) x dxdy dz
∭D
❑
ρ ( x , y , z )dx dy dz
Par Joël M. ZINSALO Page 84
Mathématiques générales 2
yG=∭
D
❑
ρ ( x , y , z ) y dx dy dz
∭D
❑
ρ ( x , y , z )dx dy dz
zG=∭D
❑
ρ ( x , y , z ) z dxdy dz
∭D
❑
ρ (x , y , z )dx dydz
Les moments d’inertie par rapport aux axes des coordonnées sont
respectivement :
I x=∭D
❑
( y2+z2 )dx dydz
I y=∭D
❑
(x2+ z2 )dx dy dz
I z=∭D
❑
(x2+ y2 )dx dy dz
Le moment d’inertie d’un solide ou d’un corps de masse volumique ρ ( x , y , z ) par
rapport à un axe ∆ est par définition le réel défini par :
I∆=∭D
❑
ρ ( x , y , z ) ( (x−xH )2+( y− yH )
2+( z−zH )2 )dx dy dz
où H est le projeté de M sur ∆ .
Exercice
1) Calculer les coordonnées du centre de gravité du corps prismatique limité
parles plans x=0, z=0, y=1, y=3, x+2 z=3.
2) Calculer les moments d’inertie par rapport aux plans de coordonnées et par
rapport aux axes de coordonnées du solide homogène (S ,μ ) où S est
l’ellipsoïde plein défini par :
x2
a2 +y2
b2 +z2
c2 ≤1oùa ,bet c sont desréels positifsnonnuls fixés .
Par Joël M. ZINSALO Page 85
Mathématiques générales 2
CHAPITRE 6
LES INTEGRALES CURVILIGNES ET
LES INTEGRALES DE SURFACE
1. Courbes paramétrées
1.1. Définitions et interprétations
On appelle courbe paramétrée la donnée d’une fonction de R dans R2 telle que
f :R⟶ R2
t⟼ {x ( t )y (t )
Ceci permet de décrire un ensemble de point facilitant le moyen de trouver les
points de cet ensemble.
Trouver une paramétrisation c’est trouver une courbe paramétrique qui décrit
un ensemble de points.
Une courbe paramétrique peut aussi s’interpréter comme la description d’un
point du plan en fonction du temps dans un certain domaine.
Par Joël M. ZINSALO Page 86
Mathématiques générales 2
Sur une même courbe, on peut bouger de plusieurs manières et on en déduit
qu’il y a une infinité de paramétrisations possibles.
Exemple :
Soit Γ1 la courbe paramétrée définie par :
{x ( t )=3 t−2 t2−1¿ y (t )=−t+t 2+1
avec t∈R .
1.2. Paramétrage classique
1.2.1. Segment
On peut décrire le segment joignant les points A (a1 , a2) et B (b1 , b2 ) soit en termes
de barycentre M= ¯{(A ,1−t ) ; (B ,t ) } soit en écrivant AM=t AB avec t∈ [0,1 ]
On est donc parti de A pour arriver à B. La paramétrisation classique dans ce
cas s’écrit :
{x ( t )=(1−t )a1+t b1=a1+t (b1−a1 )y ( t )= (1−t )a2+t b2=a2+t (b2−a2 )
1.2.2. Ellipse
Les courbes d’équations :
( x−α )2
a2 +( y−β )2
b2 =1
sont des ellipses de centre A(α ; β) d’axes (ox ) et (oy ). La paramétrisation
classique pour les ellipses est la suivante :
{x ( t )=α+acos ty ( t )=β+b sin t
Par Joël M. ZINSALO Page 87
Mathématiques générales 2
On remarque si a2=b2 alors on a un cercle.
1.2.3. Parabole
Les courbes d’équations k (x−a)2+b= y sont des paraboles de sommet A (a ,b ) et
dont l’axe de symétrie est parallèle (Oy). On peut choisir :
{ x ( t )=ty (t )=k (t−a)2+b
ou
{ x ( t )=t+ay ( t )=k t2+b
Les courbes d’équations k ( y−a)2+b=x sont les paraboles de sommet B(b ;a) et
dont l’axe de symétrie est parallèle à (Ox).
On peut choisir :
{x (t )=k (t−a)2+by (t )=t
ou
{x ( t )=k t 2+by ( t )=t+a
1.2.4. Hyperbole
Les courbes d’équations :
( x−α )2
a2 −( y−β )2
b2 =1
sont des hyperboles de centre A(α ; β) d’axes (Ox ) et (Oy) et d’asymptotes les
droites d’équations :
x−αa− y−β
b=0 et
x−αa+ y−β
b=0.
Par Joël M. ZINSALO Page 88
Mathématiques générales 2
On peut choisir :
{ x ( t )= acos t
+α
¿ y ( t )=b tan t+ β
1.3. Courbes paramétrées en polaire
On donne parfois les paramétrisations en polaire de la forme r=ρ (θ ) . On a
alors :
{ x (θ )=ρ (θ )cosθ¿ y (θ )=ρ(θ)sin θ
Les coniques peuvent s’écrire de la forme :
r=a
1−bcos (θ−φ )avec{ b≥0
a∈Rφ∈ [−π ; π ]
sont fixés .
Si b=0 on a un cercle de centre O ¿) et de rayon |a|.
Sinon, on a une conique dont un des axes (l'axe focal) est dirigé par la
droite passant par (0 ;0) et d'angle φ par rapport à l'axe (Ox).
Si b=1 c’est une parabole
Si b∈ [0;1 ] c’est une ellipse
Si b¿1 c’est une hyperbole
2. Les intégrales curvilignes
2.1. Définitions et généralités
Soit P(x , y) une fonction de variables x et y continue sur un domaine D⊂R2 avec
y=f ( x ) où f est une fonction continue sur [a;b ] et AB étant l’arc de courbe
d’équation y=f (x ) contenu dans D.
Par Joël M. ZINSALO Page 89
Mathématiques générales 2
L’intégrale :
I=∫AB
❑
P ( x , y )dx
est appelée intégrale curviligne de P ( x , y ) le long de l’arc AB et c’est par
définition l’intégrale :
I=∫a
b
P (x , f ( x ) )dx .
De même si on considère la fonction inverse de f ( x ) soit x=f−1 ( y )=φ ( y ),
l’intégrale curviligne
H=∫AB
❑
Q ( x , y )dy
prise le long de l’arc AB n’est autre que
H=∫f (a)
f (b )
Q (φ ( y ) , y )dy .On appelle intégrale curviligne générale l’expression :
J=∫AB
❑
P ( x ; y )dx+Q ( x ; y )dy
qui représente la somme des intégrales définies I et H .
Par Joël M. ZINSALO Page 90
Figure 2
Mathématiques générales 2
Généralisation au cas d’un contour quelconque
Généralisons d’abord au cas où l’arc AB a l’allure indiquée sur la figure ci-
après :
Les conditions imposées à f ne sont plus satisfaites. Il suffit alors de
décomposer le domaine d’intégration AB en autant d’arcs partiels où f est
monotone. On aura l’intégrale curviligne.
∫AB
❑
❑=∫AC
❑
❑+∫CD
❑
❑+∫DE
❑
❑+∫EB
❑
❑
Si AB peut avoir une représentation paramétrique :
{x=x (t )y= y (t )
l'intégrale curviligne sur l’arc AB
∫AB
❑
P ( x ; y )dx+Q ( x ; y )dy
s’exprime également par :
∫t0
t
φ ( t )dt
où φ (t )=P ( x ; y ) x ' (t)+Q ( x ; y ) y ' (t)
Par Joël M. ZINSALO Page 91
Mathématiques générales 2
dont la valeur reste indépendante de la représentation choisie.
2.2. Intégrales curvilignes de 1 ere espèce
On appelle intégrale curviligne de 1ere espèce l’intégrale curviligne de f de
variable x et y prise le long de l’arc AB. Elle se calcule d’après la formule
suivante :
∫AB
❑
f ( x , y )ds=∫a
b
f (x ,φ ( x ) )√1+[φ ' ( x ) ]2dx
avec {a≤ x≤by=φ ( x )
Si la courbe est donnée par ces équations paramétriques
{ x=x( t)¿ y= y (t )
avec t 1≤ t ≤ t2, alors l’intégrale curviligne de 1ere espèce est calculée par :
∫AB
❑
f ( x , y )ds=∫a
b
f (x (t ) , y (t ) )√ [ x ' (t ) ]2+[ y' (t ) ]2dt .
D’une façon analogue, on détermine et on calcule l’intégrale curviligne de 1ere
espèce d’une fonction f (x , y , z) prise le long d’une courbe d’équations
paramétriques :
{x=x (t)y= y (t )z=z (t)
par la formule :
∫AB
❑
f ( x , y , z )ds=¿∫a
b
f (x (t ) , y ( t ) , z (t ) )√ [x ' ( t ) ]2+[ y ' (t ) ]2+[ z ' (t ) ]2dt ¿
ds étant la différentielle de l’arc AB.
Par Joël M. ZINSALO Page 92
Mathématiques générales 2
Interprétation physique
Si f (x , y )>0, alors l’intégrale curviligne de première espèce donnée par :
∫AB
❑
f ( x , y )ds
représente la masse de la courbe AB de densité linéaire variable ρ=f ( x ; y ) .
Propriétés
P1 : L’intégrale curviligne de 1ere espèce est indépendante du sens de parcours
du chemin d’intégration
∫AB
❑
f ( x , y )ds=∫BA
❑
f ( x , y )ds
P2:∫AB
❑
[f 1 ( x , y )± f 2 (x , y ) ]ds=∫AB
❑
f 1 ( x , y )ds± ∫AB
❑
f 2 ( x , y )ds
P3:∫AB
❑
cf ( x , y )dx=c∫AB
❑
f ( x , y )dxoùc∈R
P4 : Si la courbe d’intégration K est décomposée en deux parties K1 et K2 alors
∫K
❑
f ( x , y )ds=∫K 1
❑
f 1 ( x , y )ds+∫K 2
❑
f 2 ( x , y )ds .
2.3. Intégrale curviligne de 2 ieme espèce
Soit P ( x , y ) et Q ( x , y ) 2 fonctions continues aux points de l’arc AB d’une courbe
lisse K régie par l’équation y=φ ( x ) avec a≤ x≤b.
Par Joël M. ZINSALO Page 93
Mathématiques générales 2
L’intégrale curviligne de 2ieme espèce de l’expression P ( x , y )dx+Q (x , y )dy
prise le long de l’arc orienté AB est le travail accompli par la force variable
F=P ( x , y ) i+Q ( x , y ) j le long du chemin curviligne AB. Elle est notée :
∫AB
❑
P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy .
Propriétés
P1 : Intégrale curviligne de 2ieme espèce change de signe lorsqu’on change de
sens du parcours du chemin d’intégration :
∫BA
❑
P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy=−∫AB
❑
P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy
P2:∫AB
❑
P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy=∫AB
❑
P ( x , y )dx+∫AB
❑
Q ( x , y )dy
L’intégrale curviligne de 2ieme espèce se calcule d’après la formule suivante :
∫AB
❑
P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy=∫a
b
[P (x ,φ ( x ) )+φ' (x )Q (x ,φ ( x ) ) ]dx
avec {a≤ x≤by=φ ( x )
Si la courbe est donnée par ses équations paramétriques :
{x=x ( t )y= y (t )z=z ( t )
où t 1≤ x≤ t2
Alors
∫AB
❑
P ( x , y , z )dx+Q ( x , y , z )dy+R ( x , y , z )dz=∫t 1
t 2
[ x ' ( t )P (x (t) , y (t) , z (t))+ y ' (t )Q (x (t ), y (t ), z (t))+z ' (t )R (x ( t) , y (t ), z (t)) ]dt
Exercice
Par Joël M. ZINSALO Page 94
Mathématiques générales 2
1- Calculer I=∫K
❑
( x− y )ds où K est un segment de droite compris entre A (0,0 ) et
B(4,3).
L’équation de la droite (AB) est :
y= 43x et ona y '=4
3.
Par conséquent :
I=∫K
❑
( x− y )ds=∫0
4
( x−43x)√1+( 43 )
2
dx= 516∫0
4
x dx=52
2- Calculer la masse de l’arc de courbe { x (t )=t
y (t )=12t 2
z (t )=13t 3
où0≤ t ≤1 dont la densité
linéaire varie suivant la loi ρ=√2 y .
On a :
M=∫K
❑
ρ ds=∫K
❑
√2 y ds=∫0
1
√212t2 ∙√[ x ' ( t ) ]2+[ y ' (t ) ]2+[ z ' (t ) ]2dt
M=∫0
1
t √1+t 2+ t 4dt=12∫0
1
√(t2+ 12 )
2
+ 34d (t 2+ 1
2 )
M=12 [ t 2+ 1
22√1+ t2+t 4+
38
ln(t 2+12+√1+t 2+t 4)]
0
1
M=18 (3√3−1+ 3
2ln
3+2√33 ) .
3- Calculer les coordonnées du centre de gravité de l’arc de cycloïde
d’équations :
x=t−sin t , y=1−cos t , o≤ t ≤π .
On a :
Par Joël M. ZINSALO Page 95
Mathématiques générales 2
Les coordonnées du centre de gravité G d’un arc homogène d’une courbe K se
calcule d’après les formules :
xG=1L∫K
❑
x dL , yG=1L∫K
❑
ydL
L=∫0
π
√ [ x ' ( t ) ]2+ [ y ' ( t ) ]2dt=∫0
π
√(1−cos t )2+sin2t dt=2∫0
π
sint2dt=−4 [cos
t2 ]0
π
L=4.
Alors :
xG=14∫K
❑
x dL=14∫0
π
( t−sin t )2 sint2dt=1
2∫
0
π
(tsin t2−sin
t2sint )dt
xG=12 [−2t cos
t2+4sin
t2+ 4
3sin3 t
2 ]0π
=83
yG=14∫K
❑
ydL=14∫
0
π
(1−cos t )2sint2dt=1
2∫0
π
(sint2−sin
t2cost )dt
yG=12 [−2cos
t2+ 1
3cos
3 t2−cos
t2 ]0
π
=43
4- Calculer l’intégrale curviligne :
I=∫C
❑
(2 x− y )dx+ ( x+ y )dy
C étant le cercle de rayon R centré en O décrit complètement dans le sens
direct à partir du point x0=R , y0=0.
Solution :
Un tel cercle a pour équation :
x2+ y2=R2
On peut obtenir une représentation simple en coordonnées paramétriques
en posant :
{ x=Rcosθ¿ y=Rsinθ
⇒{dx=−Rsinθ dθ¿dy=Rcosθ dθ
oùθest l' angle (Ox , OM )
Lorsque M décrit le cercle, θ varie de 0 à 2π .
Alors :
I=∫0
2π
[ (2Rcosθ−Rsinθ ) (−Rsinθ )+R (cosθ+sinθ ) (Rcosθ ) ]dθ
Par Joël M. ZINSALO Page 96
Mathématiques générales 2
I=R2∫0
2π
(1−sinθcosθ )dθ=2 π R2.
2.4. Formes différentielles
2.4.1. Définitions
Cas de deux variables
Soit U un ouvert de R2 . Exemples d’ouverts : ¿−1;1 [×]−2 ;3¿ est un ouvert de R2
par contre ¿−1;1¿¿×¿−1 ;1¿¿ n’est pas un ouvert de R2 .
On appelle forme différentielle sur U toute application ω telle qu’il existe deux
applications P et Q telles que :
∀ ( x , y )∈U ,ω=P (x , y )dx+Q ( x , y )dy .
Cas de trois variables
Soit U un ouvert de R3.
On appelle forme différentielle sur U toute application ω telle qu’il existe trois
applications P, Q et R telles que :
∀ ( x , y , z)∈U ,ω=P ( x , y , z )dx+Q ( x , y , z )dy+R ( x , y , z )dz .
Une forme différentielle peut être exacte ou fermée.
2.4.2. Formes différentielles exactes
Une forme différentielle ω=P ( x , y )dx+Q (x , y )dy est dite exacte sur un ouvert U de
R2 (ou ω admet des primitives sur U) si et seulement s’il existe une fonction f
définie sur D de R2 telle que : df=ω.
df=ω⇔ { ∂ f∂ x=P ( x , y )
∂ f∂ y=Q (x , y )
car df=∂ f∂ x
dx+ ∂ f∂ x
dy et ω=P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy .
f est appelée primitive de ω sur U.
Par Joël M. ZINSALO Page 97
Mathématiques générales 2
La définition est analogue pour trois variables réelles.
Dans des cas simples, une forme différentielle peut apparaître comme exacte
de manière évidente.
Exemples :
xdx+ ydy=d (12 (x2+ y2))xdy+ ydx=d ( xy )
x
x2+ y2dx+ y
x2+ y2dy=d( 12 ln (x2+ y2))
Théorème
Si la forme différentielle ω=P ( x , y )dx+Q (x , y )dy est exacte sur un ouvert U et si f
est une primitive de ω alors pour tout chemin Γ inclus dans U joignant des
points d’origine A et d’extrémité B,
∫Γ
❑
ω=∫Γ
❑
P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy=f (B )−f (A )
2.4.3. Formes différentielles fermées
La forme différentielle ω=P ( x , y )dx+Q (x , y )dy est dite fermée si et seulement si :
∂P∂ y=∂Q
∂ x
Dans le cas où ω=P ( x , y , z )dx+Q ( x , y , z )dy+R ( x , y , z )dz, elle sera dite fermée si et
seulement si :
{∂P∂ y−∂Q
∂x=0
∂Q∂z−∂ R
∂ y=0
∂ R∂ x−∂P
∂ z=0
Par Joël M. ZINSALO Page 98
Mathématiques générales 2
THEOREME
Toute forme différentielle exacte est fermée mais la réciproque est fausse.
Exercice d’application
Soit la forme différentielle définie sur U=R2−{(0 ;0 ) } par :
ω= − y
x2+ y2dx+ x
x2+ y2dy
Montre que ω est fermée sur U mais n’est pas exacte en considérant un cercle
de centre O, de rayon 1 parcouru une fois dans le sens direct.
THEOREME
Un domaine est dit simplement connexe ou domaine sans trou si l’intérieur de
toute courbe est contenue dans un domaine D.
Exemple :
R2 est un domaine sans trou ou domaine simplement connexe
L’ellipse est un domaine sans trou
R2− {(0 ;0 ) } est un domaine avec trou.
THEOREME
La forme différentielle ω=P ( x , y )dx+Q (x , y )dy est exacte sur un domaine
simplement connexe si et seulement :
∂P∂ y=∂Q
∂ x∀ ( x , y )∈R2
Exercice
Soit la forme différentielle suivante :
ω=(3 x2 y+2 x+ y3 )dx+ (x3+3 x y2−2 y )dyDéterminer la fonction f dont la différentielle est égale à la forme exacte ω.
2.5. Notion de facteur intégrant
S’il arrive que la forme différentielle n’est pas exacte, on peut toujours trouver
une fonction qui multiplie la forme pour en faire une forme exacte. Cette
fonction est appelée facteur intégrant.
Par Joël M. ZINSALO Page 99
Mathématiques générales 2
Si ω=P ( x , y )dx+Q (x , y )dy n’est pas exacte, alors on peut prendre comme
facteur intégrant la fonction :
μ : ( x , y )↦ μ ( x ; y )
telle que μω=μPdx+μQdy soit exacte c'est-à-dire
∂μP∂ y
=∂ μQ∂ x
(1 )
En dérivant la relation (1 ) par rapport à x et y, on obtient la relation suivante.
μ∂P∂ y+P ∂μ
∂ y=μ
∂Q∂ x+Q ∂μ
∂x(2 )
L’équation (2 ) est le type d’équation appelé différentielle aux dérivées
partielles que nous ne savons pas encore résoudre, mais seulement on peut
examiner des cas particuliers.
1ere cas : μ dépend uniquement de x
μ ( x , y )⟶μ ( x )
μ∂P∂ y+P ∂μ
∂ y=μ
∂Q∂ x+Q ∂μ
∂x
μ ( x )⇒ ∂μ∂ y=0
Donc l’équation devient
μ∂P∂ y=μ
∂Q∂x+Q ∂μ
∂ x
μ( ∂ P∂ y−∂Q
∂ x )=Q ∂μ∂x
⇒ 1μ∂μ∂x=( ∂ P∂ y
−∂Q∂x )
Q
Puisque μ=μ ( x ) alors :
∂μ∂ x=dμdx
et on a :
Par Joël M. ZINSALO Page 100
Mathématiques générales 2
1μdμdx=( ∂ P∂ y −∂Q
∂ x )Q
⇒ ddx
ln|μ|=( ∂ P∂ y −∂Q
∂ x )Q
2ème cas : μ dépend uniquement de y : μ=μ ( y )
μ=μ ( y )
μ∂P∂ y+P ∂μ
∂ y=μ
∂Q∂ x+Q ∂μ
∂x
or
μ=μ ( y )⇒ ∂ μ∂ x=0
Donc l’équation devient :
μ∂P∂ y+P ∂μ
∂ y=μ
∂Q∂ x
P∂μ∂ y=μ( ∂Q∂ x −∂ P
∂ y )⇒ 1μ∂μ∂ y=( ∂Q∂ x −∂P
∂ y )P
Puisque μ=μ ( y ) alors :
∂ μ∂ y=dμdy
et on a :
1μdμdy=( ∂Q∂x −∂P
∂ y )P
⇒ ddy
ln|μ|=( ∂Q∂x −∂P
∂ y )P
Exercice d’application
1- Soit la forme différentielle :
ω=(x+ y2 )dx+(−2 xy )dy.
Déterminer un facteur intégrant fonction uniquement de x pour que ω soit
une forme exacte.
2- On considère la forme différentielle
ω=(3 x+2 y+ y2) dx+(x+4 xy+5 y2 )dy
Par Joël M. ZINSALO Page 101
Mathématiques générales 2
Déterminer un facteur intégrant μ tel que ( x , y )⟼ μ (x , y )=φ (x+ y2 ) où φ est
une fonction différentiable sur I continue sur R .
3- On considère la forme différentielle
ω=(x2+ y2+1 )dx−2 xy dy
Déterminer un facteur intégrant μ tel que ( x ; y )⟼ μ ( x , y )=φ ( y2−x2 ) où φ est
une fonction différentiable sur I continue sur R .
2.6. Indépendance d’une intégrale curviligne de seconde espèce du
contour d’intégration
Soient P ( x , y ) et Q ( x , y ) et leurs dérivées partielles premières continues dans un
domaine simplement connexe D et soit K un contour situé entièrement dans ce
domaine alors la condition nécessaire et suffisante pour que l’intégrale
curviligne :
∫K
❑
P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy
soit indépendante du contour d’intégration consiste à vérifier dans le domaine
D l’identité :
∂P∂ y=∂Q
∂ x.
Lorsque les conditions ci-dessus sont satisfaites, l’intégrale curviligne sur un
contour fermé C intérieur au domaine D est nulle :
∮C
❑
P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy=0
Par Joël M. ZINSALO Page 102
Mathématiques générales 2
Exercice
Calculer :
I=∫(1 ;1 )
(2 ;3 )
[ ( x+3 y )dx+( y+3 x )dy ]
1- calculer :
J=∮K
❑
( xdx+ ydy )
Sur divers contours fermés :
a- le long de la circonférence {x=cos ty=sin t
b- le long du contour limité par un arc de parabole y=x2 et un
segment de droite y=1.
2- Calculer :
K=∫(1,1 )
(2,3 )
[ (2xy− y4−3 )dx+(x3−x y3) dy ]
2.7. Formule de GREEN-RIEMANN
Soit Ω un domaine borné régulier de R2 et Γ son bord. Si le plan est orienté,
alors on peut orienter la courbe Γ avec la règle suivante :
Si en un point de Γ, le vecteur t dirige la tangente à la courbe
Si n est un vecteur orthogonal à t dirigé vers l’intérieur de Ω alors
quand on parcourt Γ dans le sens de t, on dit que l’on va dans le sens
positif si et seulement la base ( t ,n ) est directe. Sinon, on dit que l’on va
dans le sens négatif.
THEOREME
Soit Γ+¿ ¿ un bord parcouru dans le sens positif comme décrit précédemment.
Alors si ω=P ( x , y )dx+Q (x , y )dy est une forme différentielle de classe C1 alors
l’intégrale
Par Joël M. ZINSALO Page 103
Mathématiques générales 2
∫Γ+¿ ¿
❑ω=∬D
❑
( ∂Q∂ x −∂P∂ y )dxdy
Exercice
Calculer en appliquant la formule de GREEN-RIEMAN
I=∫C
❑
(−x2 ydx+x y2dy )
où C est la circonférence parcourue dans le sens antihoraire.
2.8. Calcul des aires de surfaces
L’aire S d’une figure limitée par un contour fermé se calcule d’après la
formule :
S=12∮C
❑
x dy− y dx
Le contour d’intégration est parcouru de façon que le domaine limité par ce
contour reste à gauche (sens positif).
Exercice
1) Calculer l’aire de la surface limitée par l’astroïde :
{ x=acos3t¿ y=a sin3t
où0≤ t ≤2π
2) Calculer l’aire de la surface limitée par les paraboles y2=x, x2= y .
3. Intégrale de surface
L’intégrale de surface se définit à partir de l’intégrale double, comme
l’intégrale curviligne se définit à partir de l’intégrale simple. Considérons la
surface définie par z=f (x , y ) .
Par Joël M. ZINSALO Page 104
Mathématiques générales 2
Figure : Intégrale de surface
et la portion S limitée par un contour Γ qui se projette sur le plan xOy suivant le
contour C.
Si F ( x , y , z ) est une fonction de trois variables x , y , z continue dans une région
de l’espace qui contient la surface S. Par définition, on appelle intégrale de
surface la quantité :
∬S
❑
F ( x , y , z )dx dy
l'intégrale double de la fonction :
G ( x , y )=F (x , y , f ( x , y ))
étendue au domaine D intérieur à la courbe C dans le plan xOy .
On appelle intégrale de surface de 1ere espèce la quantité réelle définie par :
∬S
❑
F ( x , y , z )dS=∬D
❑
F (x , y , f ( x , y ) )∙√1+( ∂ z∂ x )2
+( ∂ z∂ y )2
dx dy
D étant la projection de S sur le plan xOy .
Par Joël M. ZINSALO Page 105
Mathématiques générales 2
Si ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) et R ( x , y , z ) sont des fonctions continues et que S+¿ ¿ est la
face de la surface lisse S définie par la direction de la normale n (cos α , sin β ,cos γ ),
alors l’intégrale de surface de 2ème espèce correspondante s’exprime comme
suit :
∬s+¿ ¿
❑Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬S
❑
(P cos α+Q cos β+R cos γ )dS
Lors du passe à l’autre face S−¿ ¿ de la surface, cette intégrale change de signe.
Si la surface S est donnée sous forme implicite c'est-à-dire son équation est
donnée par ϕ ( x , y , z)=0, alors les cosinus directeurs de la normale sont définis
par les formules suivantes :
cos (α )=
∂ϕ∂ x
±√( ∂ϕ∂ x )2+( ∂ϕ∂ y )2+( ∂ϕ∂ z )2
cos (β )=
∂ϕ∂ y
±√( ∂ϕ∂ x )2+( ∂ϕ∂ y )2+( ∂ϕ∂ z )2
cos (γ )=
∂ϕ∂ z
±√( ∂ϕ∂ x )2+( ∂ϕ∂ y )2+( ∂ϕ∂ z )2où le signe devant le radical doit concorder avec la face considérée de la
surface.
Les moments d’inerties d’une portion de la surface par rapport aux axes de
coordonnées s’exprime par les intégrales de surface suivantes :
I ox=∬S
❑
( y2+z2 )dS ; I oy=∬S
❑
(x2+z2 )dS ; I oz=∬S
❑
(x2+ y2 )dS
On peut calculer les coordonnées du centre de gravite G d’une portion de
surface d’après les formules :
xG=1S∬S
❑
xdS ; yG=1S∬S
❑
y dS ; zG=1S∬S
❑
z dS
Par Joël M. ZINSALO Page 106
Mathématiques générales 2
Exercice
1) Calculer
I=∬S
❑
( x2+ y2 )ds
où S est une portion de surface conique z2=x2+ y2 contenue dans les plans
z=0et z=1
2) Calculer le moment d’inertie de l’hémisphère z=√a2−x2− y2 par rapport à
l’axe (oz ).
3) Calculer les coordonnées du centre de gravité de la portion du plan z=x
limitée par les plans x+ y=1 ; y=0 et x=0.
4. Formules de STOKES et d’OSTROGRASKI-GAUSS : éléments de la
théorie du champ
4.1. Formule de Stokes
Rappelons la formule de GREEN-RIEMANN :
∫Γ+¿ ¿
❑P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy=¿∬D
❑
( ∂Q∂x −∂P∂ y )dx dy ¿
Dans le cas de deux variables x et y , on admet que cette formule se généralise
dans l’espace pour donner la formule identique dans R3 appelée formule de
Stokes :
∫Γ+¿ ¿
❑P ( x , y , z )dx+Q ( x , y , z )dy+R ( x , y , z )=¿∬S
❑ [( ∂ R∂ y−∂Q∂ z )dy dz+( ∂P∂z −∂ R
∂x )dx dz+( ∂Q∂ x −∂ P∂ y )dx dy ]¿
Γ étant la courbe autour de laquelle est prise l’intégrale curviligne et S une
surface s’appuyant sur Γ.
4.2. Formule d’OSTROGRADSKI
Soit ∆ un domaine de R3 limité par une surfaceS et P ,Qet R trois fonctions de
x , y et z continument dérivables sur ∆ . Alors la formule d’OSTROGRADSKI
s’énonce comme suit :
∬S
❑
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭∆
❑
( ∂ P∂ x + ∂Q∂ y+ ∂ R∂ z )dxdydz
Par Joël M. ZINSALO Page 107
Mathématiques générales 2
Si un vecteur variable F est une fonction vectorielle du point de l’espace M
alors
F=F (M )=F ( r )
où M (x , y , z ) et r=x i+ y j+z k alors ce vecteur définit un champ vectoriel et on a :
F (M )=P i+Q j+R k
¿ ( F )=∂ P∂ x+ ∂Q∂ y+ ∂ R∂ z
rot ( F )=|i∂∂ x
P
j∂∂ y
Q
k∂∂ z
R|=( ∂R∂ y −∂Q∂z )i−( ∂R∂ x −∂P
∂ z ) j+( ∂Q∂x −∂ P∂ y ) k
On appelle flux du champ vectoriel F (M ) à travers une surface S dans le sens
défini par le vecteur unitaire de la normale n=cos (α ) i+cos (β ) j+cos (γ ) k à la surface
S, l’intégrale de surface :
∬S
❑
F n dS=∬S
❑
(P cos α+Q cos β+R cos γ )dS
La formule d’Ostrogradski-Gauss sous forme vectorielle est de la forme :
∯S
❑
F n dS=∭D
❑
¿ ( F )dV
On appelle intégrale linéaire du vecteur F pris le long d’une courbe K
l’intégrale curviligne :
∫K
❑
F d r=∫K
❑
(Pdx+Qdy+Rdz )
qui représente le travail accompli par le champ vectoriel le long de la
courbe K.
N.B
Si le contour C est fermé alors l’intégrale linéaire :
∮C
❑
F d r=∮C
❑
(Pdx+Qdy+Rdz )
est appelée circulation du champ vectoriel le long du contour C.
Par Joël M. ZINSALO Page 108
Mathématiques générales 2
La formule de stokes sous la forme vectorielle s’écrit :
∮C
❑
F d r=∬S
❑
r rot F ds
c'est-à-dire que la circulation du vecteur le long du contour d’une certaine
surface est égale au flux du rotationnel à travers celle-ci.
5. Potentiel scalaire
Soient U un ouvert de R3 et F :U→R3 un champ de vecteurs de classe C1 sur U.
On dit que F dérive d’un potentiel scalaire (ou F admet un potentiel scalaire) si
et seulement s’il existe un champ scalaire f :U→R de classe C1 sur U tel que :
F= grad f
s'il existe, un tel champ scalaire f est appelé potentiel scalaire de F .
On appelle champ scalaire une région de l’espace dans laquelle à chaque point
( x , y , z ) est associée une grandeur f ( x , y , z ) .
L’ensemble des points d’un champ scalaire où la fonction f prend une valeur
constante f ( x , y , z )=C est appelé suivant le cas, isobare (pour la pression),
isotherme (pour la température), équipotentiel (pour le potentiel)…
Théorème
Soient U un ouvert de R3 et F :U→R3 un champ de vecteurs de classe C1 sur U.
Si F admet un potentiel scalaire alors rot F=0.
Exercice
1. Montrer que le champ vectoriel :
F :R3−{(0,0 ) }×R→R
F ( x , y , z )=( −2 x z3
( x2+ y2 )2,− 2 y z3
(x2+ y2 )2,1+ 3 z2
x2+ y2 )dérive d’un potentiel scalaire et calculer celui-ci.
2. Trouve la circulation du champ vectoriel F=( x+3 y+2 z ) i+ (2x+z ) j+ ( x− y ) k
suivant le contour d’un triangle ABC où A (2,0,0 ) , A (0,3,0 ) et A (0,0,1 ) .
3. En appliquant la formule d’OSTROGRADSKI transforme I en intégrale de
volume :
Par Joël M. ZINSALO Page 109
Mathématiques générales 2
I=∯S
❑
( ∂u∂x dydz+ ∂u∂ y
dxdz+ ∂u∂ z
dxdy) .
Planche d’exercices
Exercice 1
1. Soit ω la forme différentielle donnée par :
ω=(3 y2−x )dx+(2 y3−6 xy )dy
a) ω est – elle exacte ? Déterminer un facteur intégrant μ : ( x , y )↦φ (x+ y2 ) où φ
est une fonction d’une variable réelle différentiable.
b) Calculer alors l’intégrale curviligne :
∫(−2 ;2)
(1 ;3)
(3 y2−x )dx+(2 y3−6 xy )dy
2. Calculer les intégrales doubles ou triples suivantes :
a¿ I ¿1=∬D1
❑
( x−2 )dxdy où D1 est l'∫ é rieur du triangle de sommets A (−2;2 ) ,O (0,0 ) et B (2,4 ) .
b¿ I 2=∬D2
❑
dxdy oùD2 est≤disquedecentre K (−1;0 ) et derayon1.
c ¿ I 3=∭D3
❑dxdydz
√ x2+ y2+( z−2 )2où D3est laboule unit é .
c ¿ I 4=∬D4
❑
√4−x2− y2dxdy où D4 est≤demi−disque telque x2+ y2≤4et y≤0.
Par Joël M. ZINSALO Page 110
Mathématiques générales 2
3. Une plaque occupe le domaine D4 et sa densité superficielle en tout point
M (x , y ) a pour mesure la distance de M à l’axe des abscisses. Calculer la
masse de la plaque.
Exercice 2
1. Déterminer le volume intérieur à l’ellipsoïde d’équation :
x2
a2 +y2
b2 +z2
c2=1oùa ,bet c sont trois r é els strictement positifs .
2. Calculer les coordonnées du centre de gravité du domaine :
D={( x , y )∈ R2/ x2
a2 + y2
b2 ≤1, x≥0et y≥0}3. Calculer l’intégrale curviligne sur C de la forme différentielle ω définie par :
ω= xdy− ydx
x2+ y2
où C est le carré orienté de sommets consécutifs
A (a ,a ) , B (−a ,a ) ,C (−a ,−a ) et D (a ,−a ) .
En déduire que la forme différentielle n’est pas exacte.
4. Calculer la circulation du champ de vecteurs :
F ( x , y )=( −x
(x2+ y2 )3 /2;
− y
(x2+ y2)3/2 )le long du segment [AB ] avec A (1,1 ) ,B(2,2) et parcouru de A vers B.
5. Changer l’ordre d’intégration dans l’intégrale suivante où f est supposée
continue :
I=∫−1
1
∫−1+x2
2+ x2
f (x , y )dydx .
Exercice 3
On considère le domaine de R3 suivant :
D={( x , y , z )∈ R3/ x≥0 , y≥0 , x2+cos2( y )+z2≤2 (1+siny ) , y ≤ π2 }.
On souhaite calculer les intégrales suivantes :
I 1=∭D
❑
xzdxdydz et I2=∭D
❑
cosy dxdydz
1. Etudier le changement de variables donné pour tout ( x , y , z )∈D par :
(u , v ,w )=( x , y ,−z ) .
Par Joël M. ZINSALO Page 111
Mathématiques générales 2
Que se passe t – il dans I 1 et I 2? Peut – on en déduire quelque chose pour I 1
ou I 2?
2. Montrer que :
D={( x , y , z )∈ R3/0≤ y≤π2, ( x , z )∈D y}
où D y={( x , z )∈R2/ x≥0 , x2+ z2≤ (1+siny )2 } .3. En déduire, en précisant le nom du théorème employé, que :
I 2=∫0
π2
F ( y )dy ,oùF ( y )=∬D y
❑
cos y dxdz
4. Soit y fixé. En utilisant un changement de variables en polaire de la forme :
( x , z )= (rcosθ ,rsinθ )montrer qu' il existeune constante k que l'on pr é cisera telle que :
F ( y )=k cosy (1+siny )2 .
On précisera le domaine de (r , θ ) et le nom des outils employés. Calculer I 2.
5. Calculer l’intégrale double suivante :
J=∬∆
❑
e3x chy dxdy où∆= {( x , y )∈R2/ x≥0 , y ≥0 , x+ y ≤1} .
Exercice 4
On note pour tout R>0, CR={( x , y )∈R2/x2+ y2=R2 }, le cercle de centre (0,0) et de
rayon R. On note CR+¿¿ ce cercle parcouru dans le sens trigonométrique. On
définit Γ1= {( x , y )∈R2/ 4 x2+ y2=1} une courbe de R2 et
on note Γ1+¿ ¿ cette courbe parcourue dans le sens trigonométrique. On considère
le domaine suivant :
D= {( x , y )∈R2/1−3 x2≤x2+ y2≤4 } .On note Γ+¿ ¿ le bord de D orienté dans le sens positif. Soit ω la forme
différentielle définie sur R2 ¿{(0,0 )¿} par :
ω= − y
4 x2+ y2dx+ x
4 x2+ y2dy .
1. Rappeler la nature de Γ1 et dessiner sur unemême figure Γ1 ,C2 et D .
2. Donner une paramétrisation de Γ1+¿ ¿ et calculer, en utilisant cette
paramétrisation, l’intégrale curviligne suivante :
J=∫Γ1+¿¿
❑ω.
Par Joël M. ZINSALO Page 112
Mathématiques générales 2
3. On se propose de calculer l’intégrale curviligne :
I=∫Γ+¿ ¿
❑ω.
a) Enoncer la formule de Green-Riemann.
b) En appliquant la formule de Green-Riemann sur D, calculer I.
c) En déduire I 2=J .
d) En vous inspirant de la méthode précédente, montrer que IR=I2 pour tout
R>0.
4. Trouver tous les cercles C du plan tels que :
∫C
❑
ydx+x2dy=0.
5. En appliquant la formule d’Ostrogradski-Gauss, transformer l’intégrale de
surface suivante en une intégrale de volume :
K=∯S
❑∂u∂x
dydz+ ∂u∂ y
dxdz+ ∂u∂z
dxdy .
CHAPITRE 12
SUITES ET SÉRIES NUMERIQUES – SERIES ENTIERES
Dans ce chapitre, on développera les suites et séries.
1. Suites numériques
1.1. Définitions et Propriétés
Soit I⊂N . On appelle suite numérique toute application de I dans K qui à n
on associe Un.
I→K
n⟼U n
Si K=R, la suite est appelée suite réelle
Si K=C , la suite est appelée suite complexe
Un est appelé le terme général de la suite
Une suite de terme général Un pour n ∊ N est notée (U n)n∈N ou (U n).
Par Joël M. ZINSALO Page 113
Mathématiques générales 2
Propriétés
Toute suite complexe est bornée.
Toute suite réelle tendant vers +∞ est minorée
Toue suite réelle tendant vers - ∞ est majorée
Soit (U n)n∈N une suite réelle
(U n)n∈N est croissante si et seulement si ∀n ∊ N, U n≤U n+1
(U n)n∈N est décroissante si et seulement si ∀n ∊ N, Un ≥ Un+1
(U n)n∈N est strictement croissante si et seulement si ∀n ∊ N, Un<Un+1
(U n)n∈N est strictement décroissante si et seulement si ∀n ∊ N,
Un>Un+1
La suite (U n)n∈N est constante si et seulement si ∀n ∊ N , Un=Un+1
Une suite (U n)n∈N est dite stationnaire si et seulement si ∃ p ∊ N ,
Un=Up.
Toute suite réelle croissante et majorée est convergente.
Toute suite réelle décroissante et minorée est convergente.
Toute suite réelle croissante et non majorée tend vers +∞.
Toute suite réelle décroissante et non minorée tend vers -∞.
Pour toute suite (U n)n∈N à terme strictement positif (Un>0) :
Si U n+1
U n≥1 alors (U n)n∈N est croissante.
Si U n+1
U n≤1 alors (U n)n∈N est décroissante.
Pour U n=f (n), avec f une fonction définie sur un intervalle I⊂R
Si f est croissante sur I alors la suite (U n)n∈N est croissante sur I.
Exemple
Soit (U n)n∈N une suite de terme général :
U n=3√ 2n−3
3n+1avec n≥2
Etudier la monotonie de (Un)
Propriété
Par Joël M. ZINSALO Page 114
Mathématiques générales 2
Si limn→+∞
(U n)¿l ∊ Ralors (U n )est convergente .
Si limn→+∞
(U n)¿∞alors (U n )est divergente .
On dit que (U n)n∈N est majorée s’il existe un nombre réel M tel que ∀n ∊ N , Un ≤
M.
On dit que (U n)n∈N est minorée s’il existe un nombre réel m tel que ∀n ∊ N , Un ≥
m.
Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Une suite décroissante est majorée par son 1er terme c’est-à-dire
U0>U1>U2>U3>………………….
Une suite croissante est minorée par son 1er terme c’est-à-dire
U0<U1<U2<U3<………..............
Une suite croissante et majorée admet nécessairement une limite. Il en est de
même d’une suite décroissante et minorée.
Toute suite convergente est une suite de Cauchy.
1.2. Les différents types de suites réelles
1.2.1. Suite arithmétique
Une suite de nombre (U n)n∈N est dite arithmétique s’il existe un nombre réel r
tel que :
∀n ∊ N , Un+1=Un+r avec r : la raison de la suite
Exemple
{ U 0=1¿U n+1=U n+2
Cette suite représente la suite des nombres impairs qui est une suite
arithmétique de raison r=2 et de premier terme U0=1
Propriétés
Une suite Un est arithmétique (U n)n∈N, alors ∀n ∊ N ,ona :
Par Joël M. ZINSALO Page 115
Mathématiques générales 2
U n=U n−1+U n+1
2
Et de manière générale on a :
U n=U n−p+U n+p
2
Si U0 est le 1er terme d’une suite arithmétique et si on note r la raison de la
suite, alors il existe une formule qui permet de calculer n’importe quel Un en
fonction de son indice n.
U n=U 0+n . r
De manière générale, si Up est le 1er terme alors
U n=U p+(n−p) .r
Une suite arithmétique n’est jamais convergente.
Soit (U n)n∈N une suite arithmétique de raison r et de premier terme
Uo alors la somme :
Sn=U 0+U 1+U 2+U 3+……….+U n⏟(n+1) termes
Soit Sn=(n+1) .U 0+U n
2
Soit pour retenir :
Sn=(nombre de termes).Premier terme+Dernier terme
2
1.2.2. Suite géométrique
Une suite de nombre Un est dite géométrique s’il existe un nombre réel q tel
que :
∀n ∊ N ,U n+1=qU navec q=raisonde la suite
Par Joël M. ZINSALO Page 116
Mathématiques générales 2
Propriétés
Une suite (Un) à termes positifs est géométrique si et seulement si ∀n ∊ N,
Un=√U n−1U n+1 .
De manière générale ∀n ∊ N, Un=√U n− pU n+ p
Si U0 est le 1er terme er q la raison alors il existe une formule qui permet
de calculer n’importe quel Un en fonction de n.
U n=U 0 .qn
De façon générale si le premier terme est Up alors
U n=U p .qn−p
Si (Un) est une suite géométrique de raison q≠1 et de 1er terme U0 alors
Sn =U 0+U 1+U 2+……………..+U n
Sn=U 01−qn+1
1−q
Soit pour retenir :
Sn=1er terme×1−raisonnombre determe
1−raison
Si q=1, Sn= (n+1).U n
Une suite géométrique est convergente si et seulement si ¿q∨¿1et dans
ce cas elle a pour limite 0 (zéro). Dans ce cas, la somme S est égale à :
S=U 0
1−q
Si ¿q∨≥1, alors la suite diverge.
1.2.3. Suites arithmético-géométriques
On appelle suite arithmético-géométrique toute suite récurrente (U n) dont la
définition est de la forme :
Par Joël M. ZINSALO Page 117
Mathématiques générales 2
{ U 0donné¿U n+1=aU n+b
On décide de prendre a≠1 et b≠0 sinon la suite sera arithmétique ou
géométrique.
Une telle suite n’est ni arithmétique, ni géométrique.
La limite de cette suite est telle que
f (l)=l⇒ al+b=l
⇒ l= b1−a
1.2.4. Suites adjacentes
Deux suites réelles (U n)et (V ¿¿n)¿ sont dites adjacentes si et seulement si :
¿
Dans ce cas, les deux suites admettent la même limite.
1.2.5. Suites récurrentes linéaires
Une suite (U n) est dite récurrente linéaire d’ordre 2 lorsqu’il existe des réels a et
b différents de 0 tels que :
U n+2=aU n+1+bU n
Pour cette suite, les deux premiers termes U 1 et U 2 sont connus et on a :
U n+2−aU n+1−bU n=0 (1)
L’équation caractéristique associée à (1) est r ²−ar−b=0. Pour cela, on calcule
le discriminant ∆=a ²+4 b.
Si ∆>0, alors l’équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes r1
et r2. Il existe donc (α 1 ,α 2)∊ R ² tels que :
Par Joël M. ZINSALO Page 118
Mathématiques générales 2
U n=α1 r1n+α 2r 2
n
Pour déterminer α 1et α 2 on résout le système :
{ U 1=α1 r11+α 2r2
1
¿U 2=α 1r 12+α2 r2
2
Si ∆=0 alors l’équation caractéristique admet une racine réelle double
r 1=r 2=r 0=a /2
alors il existe (α 1 ,α 2)∊ R ² tels que :
Un=(α1n+α 2)r0n .
Pour déterminer α 1et α 2 il suffit de résoudre le système :
{ U 1=(α1×1+α 2)r01
¿U 2=(α1×2+α2)r02
Si ∆<0, alors l’équation caractéristique admet deux racines complexes z1 et z2
telles que :
z1=λ e iθ et z2=λ e−iθ alors il existe (α 1 ,α 2)∊ R ² tels que :
U n=λn[α 1cos (nθ)+α 2 sin(nθ)]
Pour déterminer α1 et α2 il suffit de résoudre le système :
{ U 1=λ (α 1cosθ+α 2 sinθ)¿U 2=λ2[α1 cos(2θ)+α 2sin (2θ)]
Exercice
Déterminer le terme général de chacune des suites suivantes :
(V n ) :{ V 0=1 ,V 1=6¿∀ n ∊ N ¿V n+1=4V n−4V n−1
Par Joël M. ZINSALO Page 119
Mathématiques générales 2
(wn ) :{ w0=3 ,w1=6¿∀n ∊ N ¿wn+1=4 wn−16wn−1
2. Séries numériques
2.1. Définition et propriétés
Définition
Soit une suite (U n)n∈N de nombre. On appelle série numérique de terme général
Un, la somme infinie de forme :
U 0+U 1+U 2+…U n+…
On utilise souvent la notation suivante :
∑n≥0
U nou∑k=0
+∞
U k ou∑n ∊ N
U n
On appelle somme partielle de rang n de la série de terme général Sn définie
par
Sn=∑k=0
n
U n=U 0+U 1+…U n
On dit que la série de terme général (U ¿¿n)¿converge si :
limn→+∞
Snest unequantit é finie .
Dans le cas où
limn→+∞
Sn=∞
ou n’existe pas, on dit que la série de terme générale U ndiverge.
Supposons que
S= limn→+∞
Sn
alors on écrit :
Par Joël M. ZINSALO Page 120
Mathématiques générales 2
S=∑n≥0
U n
Dans ce cas S est appelé la somme de la série de terme général U n.
La série constituée par les termes d’une progression géométrique décroissante
quelconque :
a+a .q+a .q2+a .q3+…+a .qn−1+…=a(1+q+q2+q3+…+qn−1)
avec |q|¿1 est une série convergente dont la somme est :
Sn=a
1−q
La série suivante :
1+ 12+ 1
3+ 1
4+…+ 1
n+…
est appelée série harmonique et elle divergente.
Exercice
Etudier la convergente de la série
23+ 1
3+ 1
6+ 1
12+ 1
24+…
Résolution
23+ 1
3+ 1
6+ 1
12+ 1
24+…=2
3 (1+12+ 1
4+ 1
8+ 1
16+…)
Par Joël M. ZINSALO Page 121
Mathématiques générales 2
La série est constituée par des termes d’une progression géométrique
infiniment décroissante et pour cette raison la série est convergente ici a=23 et
q=12 d’où
S=a
1−q=
23
1−12
=43
Exercice
Etudier la convergente de la série suivante :
111+ 1
12+ 1
13+…
Résolution
La série proposée est obtenue par suppression des dix premiers termes d’une
suite harmonique. Par conséquent cette suite diverge.
Etudions alors les critères de convergence des séries.
2.2. Critères de convergence des séries à terme positif
Critère n°1
Si la série U 1+U 2+U 3+…+U n+… converge alors la série Um+1+Um+2+U m+3+…
obtenue à partir de la série donnée en supprimant les m premiers termes,
converge elle aussi. Cette dernière série est appelée mième reste de la série
initiale.
Critère n°2
Si la série U 1+U 2+U 3+… converge et a pour somme le nombre S, alors la série
aU 1+aU 2+aU 3+… converge elle aussi, la somme de cette dernière série étant
égale à aS.
Par Joël M. ZINSALO Page 122
Mathématiques générales 2
Critère n°3
Si la série de terme général (U n) converge alors :
limn→+∞
U n=0
dans le cas contraire la série diverge.
Critère n°4
Soit Sn la somme partielle de rang n et S la somme de la série. La quantité
rn=S−Sn
¿ ∑k=n+1
∞
U k
est appelée le reste de la série.
La série de terme général U n converge si et seulement si :
limn→+∞
rn=0
Critère n°5 (critère de comparaison)
Considérons les séries de termes généraux U net V n tels que U n≥0 et 0≤U n≤V n à
partir d’un certain rang.
Si la série de terme général V n converge alors la série de terme général U n
converge aussi.
Si la série de terme généralU n diverge, alors la série de terme général V n
converge également. C’est le premier critère de comparaison.
Enonçons le deuxième critère de comparaison :
S’il existe une limite finie et différente de 0
limn→∞
U n
V n
=k ≠0
Par Joël M. ZINSALO Page 123
Mathématiques générales 2
alors les deux séries de terme général U n et V n convergent simultanément.
Critère n°6 (critère de D’Alembert)
Si à partir d’un certain rang n et U n≥0, on a :
limn→∞
U n+1
U n
=q<1alorsla s é rie de terme gé né ralU nconverge
limn→∞
U n+1
U n
=q>1alorsla s é rie de terme gé né ralU ndiverge .
limn→∞
U n+1
U n
=1alorsonassiste àuncas douteux .Pour cela ,il faudrautiliser d ’ autrescrit è res .
Si limn→∞
U n+1
U n
=l⇒ limn→∞
n√U n=l
Exercice d’application
Etudier la convergence de la série
∑n≥0
xn
n !avec x>0.
Résolution
Ici le terme général de la série est :
U n=xn
n !alorsU n+1=
xn+1
(n+1)!
U n+1
U n
=
xn+1
(n+1)!xn
n!
= xn+1
(n+1)!×n!xn=
xn+1
limn→+∞
U n+1
U n
= limn→+∞
xn+1
=0<1donc las é rie converge .
Critère n°7 (critère de Cauchy)
Considérons la série de terme général U net ∀n∈N , U n>0. On a :
Par Joël M. ZINSALO Page 124
Mathématiques générales 2
limn→+∞
n√U n=q si{ q>1alors (U n )divergeq<1alors (U n )converge
q=1cas douteux
Application
Etudier la convergence de la série
∑n≥1
12n (1+ 1
n )n ²
Résolution
Le terme général de la série est
U n=12n (1+ 1
n )n ²
n√U n=(U ¿¿n)1n ¿
¿ [ 12n (1+ 1
n )n2
]1n
¿( 12n )
1n [(1+ 1
n )n2
]1n
¿ [(12 )n]
1n [(1+ 1
n )n2
]1n
¿ 12 (1+ 1
n )n
n√U n=limn→+∞
1
2 (1+ 1n )
n
= e2>1donc la s é rie diverge
Critère n°8 (critère intégral de Cauchy)
Si U n=f (n) où f est la fonction x→ f (x) positive, décroissante et continue pour
x≥a≥1, alors la série de terme général U n est l’intégrale généralisée
∫a
+∞
f ( x )dxconverge oudiverge simultané ment .
Application
Soit la série
∑n≥1
1n ²
Par Joël M. ZINSALO Page 125
Mathématiques générales 2
Résolution
Selon le critère de D’Alembert appliqué à cette série où
U n=1n ²
et
U n+1=1
(n+1) ²
on a :
U n+1
U n
=
1(n+1) ²
1n ²
= n ²(n+1)2
=( nn+1 )
2
limn→+∞
U n+1
U n
=¿ limn→+∞ ( n
n+1 )2
=1casdouteux .¿
Utilisons donc le critère intégral de Cauchy.
Soit
f (x)= 1x ²
f est positive, décroissante et continue pour x≥1 alors calculons
∫1
+∞
f ( x )dx
On a
∫1
+∞
f ( x )dx=∫1
+∞1x ²
dx
¿ limb→+∞∫1
b1x ²
dx
¿ limb→+∞ [−1
x ]1b
¿ limb→+∞
(−1b+1)=1 .
Par Joël M. ZINSALO Page 126
Mathématiques générales 2
Cette intégrale généralisée converge. Par conséquent la série donnée
converge.
2.3. Les séries absolument convergentes
Si la série de terme général V n=¿U n∨¿ converge alors la série de terme général
U n converge aussi et on dit qu’elle est absolument convergente.
Si la série de terme général V n=¿U n∨¿ diverge alors la série de termeU nest
semi-convergente.
2.4. Les séries à termes alternés
Ce sont des séries dont le terme général est alternativement positif et négatif à
partir d’un certain rang.
Si pour la série à termes alternés U 1−U 2+U 3−U 4+U 5−U6+U 7−U 8⋯+ (−1 )n−1U n
(U ¿¿n≥0)¿, les conditions :
Première condition
U 1 ¿U 2¿U 3¿U 4¿U 5 ¿U 6 ¿U 7 ¿U 8………
Deuxième condition
limn→+∞
U n=0
sont satisfaites alors cette série converge.
3. Séries entières
On appelle série entière de la variable x toute série de terme général :
U n=an xnn∈N oua0+a1 ( x−a )+a2 ( x−a )2+⋯⋯⋯+an ( x−a )n
Les coefficients a ,a0 , a1 ,⋯⋯⋯ , an∈R .
La somme partielle Sn:
Sn=a0+a1 x+a2 x2⋯⋯⋯+an x
n
est un polynôme de degré n .
Par Joël M. ZINSALO Page 127
Mathématiques générales 2
3.1. Domaine de convergence d’une série entière
Considérons par exemple la série géométrique :
∑n=0
∞
xn=1+ x+x2+⋯+xn+⋯ avec x∈R .
C’est une série entière dans laquelle tous les coefficients valent 1.
Si|x|<1 sa somme est : s ( x )= 11−x
et si|x|≥1alors s ( x ) est infinie .
En résumé la série converge pour x∈ ¿−1,1¿.
3.2. Intervalle de convergence
Si ∀ x0∈R la série converge, on dit que l’intervalle de convergence de {an xn } est
infini. Si la série diverge sauf pour x0=0 , on dit que l’intervalle de convergence
est nul.
S’il existe une valeur R, telle que pour |x|<R, la série converge et pour |x|>R la
série diverge, on dit que le rayon de convergence de la série est R. L’intervalle
de convergence est au moins ¿ – R ,+R ¿.
Lorsque |x|=R, la série peut aussi bien converger que diverger.
1.2. Recherche du rayon de convergence
Les critères de D’Alembert et de Cauchy permettent souvent de trouver la
valeur du rayon de convergence R.
En effet :
|U n+1
U n|=|an+1
an|∙|x|
Si limn→+∞|an+1
an|=¿ l alors lim
n→+∞|U n+1
U n|=¿ l|x|¿¿
On sait que {an xn } converge si l|x|<1. On en conclut que :
Si|x|< 1lla sé rie convergeabsolument
Si|x|> 1lla sé rie diverge .
Par Joël M. ZINSALO Page 128
Mathématiques générales 2
D’où1lest la valeurdurayon deconvergence :
R= limn→+∞| an
an+1|
Cette formule reste valable si l=0 ; auquel cas R=+∞ et si l=∞, R=0.
L’application de la règle de Cauchy conduira à :
1R= lim
n→+∞
n√|an|
En effet :
n√|Un|=n√|an x
n|=|x|n√|an|
Si n√|an| tend vers une limite l lorsque n tend vers ∞, la règle de Cauchy
permet de conclure :
Si l|x|<1il y aconvergence
Si l|x|>1il y adivergence
Ce que l’on peut encore exprimer par les conditions :
Si|x|< 1lla sériean x
n converge
Si|x|> 1lla sériean x
ndiverge
¿ rayonde convergeest bienR=1l.
Exercice :
Etudier la convergence des séries :
x+12x2+ 1
3x3+⋯ ; ( x−2 )+ 1
22(x−2 )2+ 1
33(x−2 )3 et 1! (x−5 )+2! (x−5 )2+3! (x−5 )3
Planche d’exercices
Exercice 1
1. Calculer le terme général des séries numériques suivantes :
23+( 37 )
2
+( 411 )
3
+( 515 )
4
+⋯⋯⋯⋯⋯⋯
Par Joël M. ZINSALO Page 129
Mathématiques générales 2
12+ 3
22+ 5
23+ 7
24+⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2. Calculer la somme des séries numériques suivantes
11∙3+ 1
3 ∙5+ 1
5 ∙7+ 1
7 ∙9+⋯⋯⋯
11∙2∙3
+ 12∙3 ∙4
+ 13 ∙4 ∙5
+⋯⋯⋯
3. Etudier la convergence des séries numériques suivantes
12+ 2
5+ 3
8+ 4
11+⋯⋯⋯
0,6+0,51+0,501+0,5001+⋯⋯⋯
13+( 25 )
2
+( 37 )3
+( 49 )4
+⋯⋯⋯⋯⋯⋯
21+ 22
210+23
310+⋯⋯⋯+ 2n
n10+⋯⋯⋯⋯⋯
1
√3+ 2
3+ 3
3√3+ 4
9+ 5
9√3+⋯⋯⋯⋯
1+ 1
22+ 1
32+ 1
42+⋯⋯⋯
12 ln2
+ 13 ln 3
+ 14 ln 4
+⋯⋯⋯⋯
4. Etudier la convergence des séries numériques de terme général :
U n=1
4 ∙2n−3
Exercice 2
1. Etudier la convergence des séries entières suivantes :
( x−2 )+ 1
22( x−2 )2+ 1
32( x−2 )3+⋯⋯⋯
x+12x2+ 1
3x3+⋯⋯⋯⋯
1 ! ( x−5 )+2 ! ( x−5 )2+3 ! ( x−5 )3+⋯⋯⋯
x1!+ x
2
2!+ x3
3 !+⋯⋯⋯⋯
Par Joël M. ZINSALO Page 130
Mathématiques générales 2
2. Etudier la convergence des séries entières :
∑k=1
∞
( k+12k+1 )
k
( x−2 )2k
∑n=1
∞xn (n−1)
2
n !
3. Calculer la somme des séries entières :
1+2 x+3 x2+4 x3+⋯⋯⋯ (|x|<1 )
x+ x2
2+ x
3
3+ x
4
4+⋯⋯⋯ (|x|<1 )
4. Développer en série entière des fonctions suivantes :
f ( x )=sin2 x ;g (x )=e−x2
5. En appliquant le développement en série de cos x, calculer cos18 ° à 0,0001
près.
6. Calculer √e à 0,00001 près.
Exercice 3
1. Trouver le terme général de la suite récurrente (U n) telle que :
¿
2. Trouver les réels a et b tels que :
ab=0,58333⋯⋯
3. Etudier la convergence des séries suivantes :
a) en appliquant le critère de D’Alembert :
1110+( 11
10 )2
∙125+( 11
10 )3
∙135+( 11
10 )4
∙145+…⋯⋯
b) en appliquant le critère intégral :
19 ln 9
+ 119 ln19
+ 129 ln 29
+…⋯⋯
c) en appliquant le critère de Cauchy :
∑n≥1( 3n2+14n2+1 )
n
Par Joël M. ZINSALO Page 131
Mathématiques générales 2
Exercice 4
On considère les intégrales définies I et J suivantes :
I=∫0
11
1−t+ t2 dt et J=∫0
11
1+t 3 dt
1. Calculer I en posant t=12(1+√3 tan θ ) .
2. Calculer les nombres réels a, b et c tels que pour tout réel t ≠−1, on ait :
1
1+ t3= a
1+ t+b (2t−1 )t2−t+1
+ c
t 2−t+1
3. Calculer J.
4. On pose
I n=∫0
1t n
1+ t3 dt
Démontrer que ∀n∈N ,0≤ I n≤1
n+1.
En déduire la convergenceet lalimite de la suite ( I n )
5. Démontrer que la série de terme général U n converge et calculer sa
somme :
U n=(−1 )n
3n+1
On remarquera que :
13n+1
=∫0
1
t3ndt
6. La série ∑U n est – elle absolument convergente ?
Exercice 5
1. Trouver la somme partielle sn et la somme s des séries suivantes :
∑n≥1
1n (n+1 )
;∑n≥0
[arctan (n+1 )−arctann ];∑n≥ 0( 2e )
n
2. Démontrer que la suite :
√2 ;√2+√2 ;√2+√2+√2 ;⋯⋯⋯ ; √2+⋯⋯+√2+√2+√2+√2}n fois
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est convergente et trouver sa limite.
3. Calculer la somme :
Sn=3+33+333+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+333⋯ 3⏟n fois
4. Trouver le terme général de la suite récurrente (xn ) telle que :
{xn+3=6 xn+2−12xn+1+8xn
x0=1x1=8x2=20
5. Etudier la convergence des séries suivantes :
a¿ 19 ln 9
+ 119 ln19
+ 129 ln 29
+…⋯⋯(critère intégral deCauchy)
b¿∑n≥ 1( 2n2+2n+15n2+2n+1 )
n
(critère deCauchy)
c ¿1−( 23 )2
−( 35 )3
+( 47 )4
+⋯⋯⋯+(−1 )n (n−1)
2 ∙( n2n−1 )
n
+⋯
d ¿ 12+ 3
2²+ 5
23+⋯⋯⋯(ondevrad ' abord déterminer≤terme général)
Exercice 6
1. Montrer que les suites (an )et (bn ) sont adjacentes :
an=∑k=0
n1k !
et bn=an+1
n ∙n !
2. Calculer la limite des suites de terme général :
U n=[e−(1+ 1n )
n]√n2+2−√n2+1
;V n=[cos( nπ3n+1 )+sin( nπ
6n+1 )]n
3. Calculer :
limn→∞ [(1−4
1 )(1− 49 )(1− 4
25 )⋯⋯(1− 4(2n−1 )2 )]
4. En appliquant le critère de Cauchy, étudier la convergence de la série :
∑n≥1( 2n2+2n+15n2+2n+1 )
n
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Mathématiques générales 2
Exercice 7
On considère la suite qui à tout n entier n>0 associe le nombre U n tel que :
a¿U n>0
b¿ (U n )une suite géométriquede raison25
c ¿ Les trois premiers termes vérifient l'égalité 5U 1 ∙U 3=6U 2 .
1. Exprimer U 1. Exprimer U n en fonction de n.
2. Etudier le sens de variation de la suite.
3. Exprimer la somme :
Sn=U 1+U 2+⋯⋯⋯⋯⋯+U n
en fonction de n.
4. Trouver la limite de la suite (Sn ).
Exercice 8
1. Calculer les côtés a, b et c d’un triangle de surface 6 unités d’aires tels que
a, b et c forment une suite arithmétique de raison 2.
2. Déterminer la nature de la suite (xn )n∈N définie par :
xn=3n−1
2n
3. On donne trois réels a1=2; a2 et a3sont respectivement les carrés de deux
entiers consécutifs. Trouver la raison d de la suite arithmétique.
4. Calculer la somme des 10 premiers termes d’une suite géométrique (bn )
sachant que :
b1=3et b9−b5=36.
Exercice 9
1. Calculer la somme :
Sn=3+33+333+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+333⋯ 3⏟n fois
2. Montrer que :
√111⋯ 1⏟2n fois
−22⋯ 2⏟n fois
=33⋯ 3⏟n fois
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3. Trouver les réels a et b tels que :
ab=0,58333⋯⋯
Exercice 10
Un technicien de Bénin Télécom-SA retenu pour un projet d’installation de
lignes téléphoniques dans une région donnée reçoit le premier jour 1 ligne
téléphonique, le 2e jour 2 lignes téléphoniques, le 3e jour 4 lignes
téléphoniques, le 4e jour 8 lignes téléphoniques et ainsi de suite.
A la fin du projet, il s’aperçoit qu’il a reçu au total 65535 lignes téléphoniques.
Combien de jours le projet a – t – il duré ?
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