Méthode dEuler… … utilisée en physique pour tracer une courbe qui sapproche de la courbe...

Méthode d’Euler…Méthode d’Euler…

… … utilisée en physique pour utilisée en physique pour tracer une courbe qui tracer une courbe qui s’approche de la courbe s’approche de la courbe théoriquethéorique

Il s’agit de tracer la courbe Il s’agit de tracer la courbe G = f(t) où G est une G = f(t) où G est une grandeur qui peut être :grandeur qui peut être :

soit la vitesse v d’un solide

soit la tension uC aux bornes d’un condensateur

soit l’activité A d’un échantillon radioactif

t

AuCv

Cette courbe est tracée Cette courbe est tracée pas à paspas à pas, , c’est-à-dire que, c’est-à-dire que,

partant de partant de GG00 à la date à la date tt0 0 ……

il faut calculer G1 à partir de G0 …

puis G2 à partir de G1puis G3 à partir de G2

et etc …

t

G

G0

t0

G1

G2

G3

t

G

G0

t0

G1

G2

G3

G0 est la valeur de la grandeur à la date t0G1 est la valeur de la grandeur à la date t1avec t1 = t0 + Δ t

t1Δ t

et G1 = G0 + ΔG0

Δ G0

et G2 = G1 + ΔG1

avec t2 = t1 + Δ t

G2 est la valeur de la grandeur à la date t2

t2

Δ t

Δ G1

Δt est le pas et ne varie pas

ΔG est l’accroissement de la grandeur G entre deux dates, ΔG varie…

Δ G2

Δ t

t

G

Gi

Gi+1

Comment calculer ΔG à chaque instant : t1 puis t2 …?

… en utilisant l’équation différentielle quiest de la forme : G’(t) = dG/dt = a . G + b

C’est là que le physicien fait une approximation, et écrit que, si Δt est un intervalle de temps suffisamment petit :

ΔG

Δt≈

dG

dt= a . G + b

et donc ΔG = ( a.G + b) Δt

Δ t

Δ G

Ce qui donne finalement :

ΔG0 = ( a G0 + b) Δt

et donc G1 = G0 + ΔG0

puis ΔG1 = ( a G1 + b) Δt et donc G2 = G1+ ΔG1

puis ΔG2 = ( a G2 + b) Δt

G0

G3 = …..

C’est une méthode itérative !

Il faut connaître la valeur initiale G0

Il faut fixer un pas Δt assez petit

Les valeurs de a et b sont fournies dans l’équation différentielle

Reprenons l’ensemble sous forme de tableau :

Δt

Δt

et etc…

DateDate Valeur de GValeur de G ΔΔG = ( a.G + b ) . G = ( a.G + b ) . ΔΔtt

tt00 GG00ΔΔGG00 = ( a. = ( a.GG00 + b ) . + b ) . ΔΔtt

tt11 GG11 = = GG00 + + ΔΔGG00

ΔΔGG11 = ( a. = ( a.GG11 + b ) . + b ) . ΔΔtt

tt22 GG22 = = GG11 ++ ΔΔGG11

ΔΔGG22 = ( a. = ( a.GG22 + b ) . + b ) . ΔΔtt

tt33 GG33 = = GG22 ++ ΔΔGG22

ΔΔGG33 = ( a. = ( a.GG33+ b ) . + b ) . ΔΔtt

Δt

Je calcule G0

On calcule

ΔG0

On part de G0On calcule G1

…

…puis ΔG1On calcule G2

…

…puis ΔG2

après avoir fixé le pas Δt …

On calcule G3 …

Reste à appliquer cette méthode pour tracer :

t

A ou N

t

uC

t

v

Décroissance radioactive :

dN/dt = - λ N ( dA/dt = - λ A )

Charge d’un condensateur :

duC /dt = - uC/RC + E/ RC

Vitesse limite de chute :

dv/dt = a v + b

Équation différentielle :

Valeur initialeReport des points après calcul

A vous d’appliquer la méthode d’Euler

Les anabacs regorgent d’exemplesBon courage !