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Optimisation du portefeuille clients d’EDF suivant des
modèles de type Markowitz
DALLAGI Anes
2
Problématique
Le but de ce stage est de construire différents modèles simples de type Markowitz permettant de sélectionner des portions de chaque secteur de clientèles sous contrainte de volume total du portefeuille (part de marché de l’acteur).
Trouver le bon critère de rendement
Trouver le bon critère de risque
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Problématique : la gestion du portefeuille client
Un double objectif :
Une contrainte de marché :
Minimisation du risque
Maximisation du rendement
Des contraintes de volume sur le marché
Un objectif de part de marché cible
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Plan
• Aperçu théorique sur la gestion de portefeuille selon Markowitz :– Un modèle avec une variance ;– Un modèle avec une CVaR.
• Une classification idéale…
• Application à un portefeuille d’éligibles.
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La gestion de portefeuille selon Markowitz
Deux problèmes :
Trois mesures de risque :
Variance ;
CVaR ;
VaR.
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La variance comme mesure de risque pour le portefeuille client
La variance mesure l’incertitude placée sur la variable aléatoire en occurrence notre rendement.
En essayant de minimiser la variance on essaye de rendre notre portefeuille plus prévisible et donc moins risqué
Elle s’écrit :
Avec :
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La VaR comme mesure de risque pour le portefeuille client
La fonction de p&l s’écrit :
La Value at Risk est, étant donné un niveau de confiance à %, définie par : la perte minimale qui peut se réaliser dans les % pires cas.
La probabilité que L ne dépasse pas un seuil est donnée par :
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La CVaR comme mesure de risque pour le portefeuille client
La CVaR (Conditional Value at Risk), est, étant donné un niveau de confiance à %, définie par : la moyenne des pertes qui
peuvent se réaliser dans les % pires cas.
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Rendement et variance d’un portefeuille
Taux de rendement d’un portefeuille :
Taux de rendement espéré d’un portefeuille :
Variance du rendement d’un portefeuille :
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Le portefeuille à variance minimale
XA
XB
N
Y
Les lignes d’isorendement :
Les ellipses d’isovariance :
La ligne critique : NY
Le point de variance minimale : MVP
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Modélisation du rendement
La demande comme une variable aléatoire :
Les prix des contrats :
Le terme de recette :
Le terme de coût :
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Un modèle avec une variance (1)
La variance mesure l’incertitude placée sur la variable aléatoire (marge ou chiffre d’affaire)
Avec :
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Un modèle avec une variance (2)
La frontière d’efficience est l’ensemble des portefeuilles tel qu’on ne peut pas diminuer leur risque sans diminuer leur rendement et inversement.
Dans le plan Écart type – espérance la frontière d’efficience d’un problème de Markowitz avec une variance est une hyperbole.
En faisant varier Rmin ou Vmax sous des
contraintes d’égalités on obtient des tranches de la
frontière d’efficience :
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Un modèle avec une CVaR (1)
Soit L la fonction p&l
Soit la fonction quantile de L :
Une mesure spectrale de risque s’écrit :
La CVaR s’écrit alors comme étant une mesure spectrale particulière :
1
0
)()()( dppFpXM X
Fonction d’aversion au risque
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Un modèle avec une CVaR (2)
• Le problème d’optimisation sans contrainte pourrait s’écrire :
• Le problème d’optimisation avec contraintes du portefeuille s’écrit :
Des valeurs ordonnées : problème d’optimisation
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Modèle de Markowitz avec une CVaR (2)
Le problème d’optimisation avec contraintes est équivalent à :
L1:N L2:N L3:N LN:NLN:N ..............
La variable auxiliaire indique la position des % plus pires valeurs
Avec la fonction objective définie de la façon suivante :
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Un modèle avec une CVaR (2)
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Une classification idéale…
Volumes comparables
Corrélations entre les classes
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Résultats VAR / CVaR
0007.0
2857.0
5627.0
1455.0
0051.0
*VARX
Critère de variance
0
0
0
5147.0
4853.0
*CVaRX
Critère de CVaR
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Résultats VAR / CVaR
Sensibilité au seuil de rentabilité
Profil du rendement : entre variance et CVaR
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Application à un portefeuille d’éligible
• Portefeuille initial / Portefeuille filtré• Problème de normalisation…• Les résultats pour une minimisation de variance• Les résultats avec une maximisation de rendement• Entre marge et chiffre d’affaire, minimisation du
risque et maximisation du rendement
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Portefeuille initial / Portefeuille filtré
• Le jeu de données :– 1165 clients ;– Volumes variants de 160 MWh à 350 GWh ;– Courbes de charge prévisionnelle sur l’année 2003.
Filtrage
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La classification• On classifie le jeu de données filtré en tenant compte de la forme
(profil) des courbes de charges :– Initialiser par une (ACP) ; – Projeter les courbes de charges sur le premier plan factoriel ;– Quadriller le plan factoriel ;– Repérer les centres des classes et rapprocher les plus similaires en
utilisant les cartes de Kohonen
Pas d’information sur la variance
Deux solutions :– Calcul des meures de risque sur la consommation instantanée– Assimiler les clients d’une même classe à un seul client
• Les données disponibles ne représentent que la consommation sur une année d’un client
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Les classes de clients obtenuesProportions en volume des
classes obtenues
Répartition en volume à l’intérieur de chaque classe
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Markowitz et comparaison des classes
• Résoudre un problème de type Markowitz revient à trouver une relation d’ordre sur IR²
• On suit un double objectif : minimisation du risque et maximisation du rendement
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Minimisation de la variance sous contrainte de chiffre d’affaire (1)
Le problème à résoudre se présente comme suit :
Avec :–.–.–. Le nombre total de clients dans une classe–. Pourcentage de part de marché cible–.
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Minimisation de la variance sous contrainte de chiffre d’affaire (2)
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Maximisation du chiffre d’affaire sous contrainte de variance
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Minimisation de la variance sous contrainte de marge (1)
Le problème à résoudre est identique au précédant sauf que :
La disposition des classes sur le plan risque rendement change :
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Minimisation de la variance sous contrainte de marge (2)
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Maximisation de la marge sous contrainte de variance
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Marge et chiffre d’affaireMinimisation du risque et maximisation du rendement :
une différence de points de vues
• Un critère de rendement avec un chiffre d’affaire correspond au point de vue commercial ;
• Un critère de rendement avec une marge correspond à une vue global d’EDF ;
• Même si les résultats en terme de portefeuilles optimaux sont assez différents, les deux problèmes restes équivalents aux coefficients Rmin et Vmax près.
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Conclusions
• Le choix de la mesure de risque– L’utilisation d’une CVaR pourrait être plus appropriée…
• Le choix de la modélisation du rendement– Inclure des pénalités et des coûts de dépassement…
– Entre marge et chiffre d’affaire…
– Stabilité des coûts marginaux…
• La classification des clients– Homogénéisation des volumes…
– Nombre de classes…
– Adéquation entre critères d’optimalité et critères commerciaux…
• Envisager une réparation dynamique intra et inter classes…
• Envisager l’utilisation des prix des contrats comme levier…
Optimisation du portefeuille clients d’EDF suivant des
modèles de type Markowitz
DALLAGI Anes
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