Outils de base de la Mécanique des fluides

Outils de base de la Mécanique des fluides

Outils de base de la Mécanique des fluides

• Les fluides vus comme des milieux continus

Outils de base de la Mécanique des fluides

• Les fluides vus comme des milieux continus

• Lois de conservation

Conservation de la masse

Conservation de la quantité de mouvement et loi de Newton

Les contraintes dans un fluide

Outils de base de la Mécanique des fluides

• Les fluides vus comme des milieux continus

• L’équation de Navier-Stokes

• Lois de conservation

Conservation de la masse

Conservation de la quantité de mouvement et loi de Newton

Les contraintes dans un fluide

Outils de base de la Mécanique des fluides

• Les fluides vus comme des milieux continus

• Nombre de Reynolds et similitude

• L’équation de Navier-Stokes

• Lois de conservation

Conservation de la masse

Conservation de la quantité de mouvement et loi de Newton

Les contraintes dans un fluide

Outils de base de la Mécanique des fluides

• Les fluides vus comme des milieux continus

• Approximation des fluides parfaits

Equation d’Euler

Loi de Bernoulli

• Nombre de Reynolds et similitude

• L’équation de Navier-Stokes

• Lois de conservation

Conservation de la masse

Conservation de la quantité de mouvement et loi de Newton

Les contraintes dans un fluide

Les fluides comme milieux continus

Les caractéristiques microscopiques déterminent les propriétés macroscopiques : masse volumique, compressibilité, viscosité, diffusion de la chaleur, …

Les fluides comme milieux continus

Les caractéristiques microscopiques déterminent les propriétés macroscopiques : masse volumique, compressibilité, viscosité, diffusion de la chaleur, …

On raisonne sur des éléments de volume

- assez petits pour décrire finement les champs de vitesse et de pression

- grands devant les échelles moléculaires

Les fluides comme milieux continus

Les caractéristiques microscopiques déterminent les propriétés macroscopiques : masse volumique, compressibilité, viscosité, diffusion de la chaleur, …

On raisonne sur des éléments de volume

- assez petits pour décrire finement les champs de vitesse et de pression

- grands devant les échelles moléculaires

La transition micro/macro est autour du nanomètre.

Exception : Gaz raréfiés (régime de Knudsen)

<latexit sha1_base64="/7HBdC7nzWXQ9A7oOmecxtOc2RU=">AAAB7XicbVA9SwNBEJ2LXzF+RS1tFoNgFe5E0cIiaGMZwXxAcoS9zVyyZu/22N0TwpH/YGOhiK3/x85/4ya5QhMfDDzem2FmXpAIro3rfjuFldW19Y3iZmlre2d3r7x/0NQyVQwbTAqp2gHVKHiMDcONwHaikEaBwFYwup36rSdUmsv4wYwT9CM6iHnIGTVWag6vuyhEr1xxq+4MZJl4OalAjnqv/NXtS5ZGGBsmqNYdz02Mn1FlOBM4KXVTjQllIzrAjqUxjVD72ezaCTmxSp+EUtmKDZmpvycyGmk9jgLbGVEz1IveVPzP66QmvPIzHiepwZjNF4WpIEaS6eukzxUyI8aWUKa4vZWwIVWUGRtQyYbgLb68TJpnVe+i6t6fV2o3eRxFOIJjOAUPLqEGd1CHBjB4hGd4hTdHOi/Ou/Mxby04+cwh/IHz+QNUJY73</latexit>

h < `

Description des écoulements

v(r0, t0,t)

r0, t0

Description lagrangienne

Trajectoire des particules de fluide

Description des écoulements

v(r0, t0,t)

r0, t0

u(r,t0)

u(r0,t0)

u(r,t)

u(r0,t)

Description lagrangienne

Description eulerienne

Trajectoire des particules de fluide

Lignes de courant à t0

Lignes de courant à t

Conservation de la masse dans un écoulement

Conservation de la masse dans un écoulement

Ω

ndSS = ∂Ω

u

u

n

n�u.n

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Volume entrant par unité de surface par unité de temps

Conservation de la masse dans un écoulement

Ω

ndSS = ∂Ω

u

u

n

n

�Z

@⌦⇢u.n dS +Q

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

�u.n<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Volume entrant par unité de surface par unité de temps

Conservation de la masse dans un écoulement

Ω

ndSS = ∂Ω

u

u

Z

⌦

@⇢

@tdV =

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

n

n

�Z

@⌦⇢u.n dS +Q

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

�u.n<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Volume entrant par unité de surface par unité de temps

Z

⌦

@⇢

@tdV =

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

�Z

@⌦⇢u.n dS +Q

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Z

⌦

@⇢

@tdV =

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

�Z

@⌦⇢u.n dS +Q

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Z

⌦

@⇢

@tdV +

Z

⌦r.(⇢u)dV = Q

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

r. ⌘<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

divergence

Z

⌦

@⇢

@tdV =

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

�Z

@⌦⇢u.n dS +Q

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Z

⌦

@⇢

@tdV +

Z

⌦r.(⇢u)dV = Q

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

@⇢

@t+ ⇢r.u+ u.r⇢ = 0

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

En l’absence de source de masser. ⌘

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

divergence

gradiant<latexit sha1_base64="5z2iFyo9csDsWOJJwK4wPDs17DQ=">AAAB9HicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0WPRi8cKthaaUDbbSbt0s0l3N4VS+ju8eFDEqz/Gm//GbZuDtj4YeLw3w8y8MBVcG9f9dgpr6xubW8Xt0s7u3v5B+fCoqZNMMWywRCSqFVKNgktsGG4EtlKFNA4FPoWDu5n/NEKleSIfzTjFIKY9ySPOqLFS4EsaCkp8HGZ81ClX3Ko7B1klXk4qkKPeKX/53YRlMUrDBNW67bmpCSZUGc4ETkt+pjGlbEB72LZU0hh1MJkfPSVnVumSKFG2pCFz9ffEhMZaj+PQdsbU9PWyNxP/89qZiW6CCZdpZlCyxaIoE8QkZJYA6XKFzIixJZQpbm8lrE8VZcbmVLIheMsvr5LmRdW7qroPl5XabR5HEU7gFM7Bg2uowT3UoQEMhvAMr/DmjJwX5935WLQWnHzmGP7A+fwBnnmSAA==</latexit>r ⌘

Z

⌦

@⇢

@tdV =

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

�Z

@⌦⇢u.n dS +Q

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Z

⌦

@⇢

@tdV +

Z

⌦r.(⇢u)dV = Q

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

@⇢

@t+ ⇢r.u+ u.r⇢ = 0

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

En l’absence de source de masse

Si le fluide est « incompressible », masse volumique constante

r.u = 0<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

r. ⌘<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

divergence

gradiant<latexit sha1_base64="5z2iFyo9csDsWOJJwK4wPDs17DQ=">AAAB9HicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0WPRi8cKthaaUDbbSbt0s0l3N4VS+ju8eFDEqz/Gm//GbZuDtj4YeLw3w8y8MBVcG9f9dgpr6xubW8Xt0s7u3v5B+fCoqZNMMWywRCSqFVKNgktsGG4EtlKFNA4FPoWDu5n/NEKleSIfzTjFIKY9ySPOqLFS4EsaCkp8HGZ81ClX3Ko7B1klXk4qkKPeKX/53YRlMUrDBNW67bmpCSZUGc4ETkt+pjGlbEB72LZU0hh1MJkfPSVnVumSKFG2pCFz9ffEhMZaj+PQdsbU9PWyNxP/89qZiW6CCZdpZlCyxaIoE8QkZJYA6XKFzIixJZQpbm8lrE8VZcbmVLIheMsvr5LmRdW7qroPl5XabR5HEU7gFM7Bg2uowT3UoQEMhvAMr/DmjJwX5935WLQWnHzmGP7A+fwBnnmSAA==</latexit>r ⌘

Fluide comme “incompressible” ?

Fluide comme “incompressible” ?

�⇢

⇢=

1

⇢

@⇢

@p�p

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Fluide comme “incompressible” ?

�⇢

⇢=

1

⇢

@⇢

@p�p

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

�⇢

⇢=

1

⇢c2�p

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

: vitesse du son<latexit sha1_base64="IAXJ5b2I81udfgHAcvJ7DyY45fo=">AAAB6HicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0ZMUvHhswX5AG8pmO2nXbjZhdyOU0F/gxYMiXv1J3vw3btsctPXBwOO9GWbmBYng2rjut1NYW9/Y3Cpul3Z29/YPyodHLR2nimGTxSJWnYBqFFxi03AjsJMopFEgsB2M72Z++wmV5rF8MJME/YgOJQ85o8ZKDdYvV9yqOwdZJV5OKpCj3i9/9QYxSyOUhgmqdddzE+NnVBnOBE5LvVRjQtmYDrFrqaQRaj+bHzolZ1YZkDBWtqQhc/X3REYjrSdRYDsjakZ62ZuJ/3nd1IQ3fsZlkhqUbLEoTAUxMZl9TQZcITNiYgllittbCRtRRZmx2ZRsCN7yy6ukdVH1rqpu47JSu83jKMIJnMI5eHANNbiHOjSBAcIzvMKb8+i8OO/Ox6K14OQzx/AHzucPxoOM5w==</latexit>c

Fluide comme “incompressible” ?

�⇢

⇢=

1

⇢

@⇢

@p�p

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

�⇢

⇢=

1

⇢c2�p

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

En écoulement dominé par l’inertie du fluide: �p ⇠ ⇢u2<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

�⇢

⇢⇠ u2

c2= M2

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

: Nombre de Mach

: vitesse du son<latexit sha1_base64="IAXJ5b2I81udfgHAcvJ7DyY45fo=">AAAB6HicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0ZMUvHhswX5AG8pmO2nXbjZhdyOU0F/gxYMiXv1J3vw3btsctPXBwOO9GWbmBYng2rjut1NYW9/Y3Cpul3Z29/YPyodHLR2nimGTxSJWnYBqFFxi03AjsJMopFEgsB2M72Z++wmV5rF8MJME/YgOJQ85o8ZKDdYvV9yqOwdZJV5OKpCj3i9/9QYxSyOUhgmqdddzE+NnVBnOBE5LvVRjQtmYDrFrqaQRaj+bHzolZ1YZkDBWtqQhc/X3REYjrSdRYDsjakZ62ZuJ/3nd1IQ3fsZlkhqUbLEoTAUxMZl9TQZcITNiYgllittbCRtRRZmx2ZRsCN7yy6ukdVH1rqpu47JSu83jKMIJnMI5eHANNbiHOjSBAcIzvMKb8+i8OO/Ox6K14OQzx/AHzucPxoOM5w==</latexit>c

<latexit sha1_base64="qiSGP287cgZFWaq8XXo6g1RMCMk=">AAAB6HicdVDJSgNBEK2JW4xb1KOXxiB4CjOi6EkCXrwICZgFkiH0dGqSNj09Q3ePEIZ8gRcPinj1k7z5N3YWIW4PCh7vVVFVL0gE18Z1P5zc0vLK6lp+vbCxubW9U9zda+g4VQzrLBaxagVUo+AS64Ybga1EIY0Cgc1geDXxm/eoNI/lrRkl6Ee0L3nIGTVWqt10iyWv7E5B3F/kyyrBHNVu8b3Ti1kaoTRMUK3bnpsYP6PKcCZwXOikGhPKhrSPbUsljVD72fTQMTmySo+EsbIlDZmqixMZjbQeRYHtjKgZ6J/eRPzLa6cmvPAzLpPUoGSzRWEqiInJ5GvS4wqZESNLKFPc3krYgCrKjM2msBjC/6RxUvbOym7ttFS5nMeRhwM4hGPw4BwqcA1VqAMDhAd4gmfnznl0XpzXWWvOmc/swzc4b5+mq4zS</latexit>

M

Fluide comme “incompressible” ?

�⇢

⇢=

1

⇢

@⇢

@p�p

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

�⇢

⇢=

1

⇢c2�p

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

En écoulement dominé par l’inertie du fluide: �p ⇠ ⇢u2<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

�⇢

⇢⇠ u2

c2= M2

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

: Nombre de Mach

: vitesse du son

Fluide quasi incompressibleM ⌧ 1<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

<latexit sha1_base64="IAXJ5b2I81udfgHAcvJ7DyY45fo=">AAAB6HicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0ZMUvHhswX5AG8pmO2nXbjZhdyOU0F/gxYMiXv1J3vw3btsctPXBwOO9GWbmBYng2rjut1NYW9/Y3Cpul3Z29/YPyodHLR2nimGTxSJWnYBqFFxi03AjsJMopFEgsB2M72Z++wmV5rF8MJME/YgOJQ85o8ZKDdYvV9yqOwdZJV5OKpCj3i9/9QYxSyOUhgmqdddzE+NnVBnOBE5LvVRjQtmYDrFrqaQRaj+bHzolZ1YZkDBWtqQhc/X3REYjrSdRYDsjakZ62ZuJ/3nd1IQ3fsZlkhqUbLEoTAUxMZl9TQZcITNiYgllittbCRtRRZmx2ZRsCN7yy6ukdVH1rqpu47JSu83jKMIJnMI5eHANNbiHOjSBAcIzvMKb8+i8OO/Ox6K14OQzx/AHzucPxoOM5w==</latexit>c

<latexit sha1_base64="qiSGP287cgZFWaq8XXo6g1RMCMk=">AAAB6HicdVDJSgNBEK2JW4xb1KOXxiB4CjOi6EkCXrwICZgFkiH0dGqSNj09Q3ePEIZ8gRcPinj1k7z5N3YWIW4PCh7vVVFVL0gE18Z1P5zc0vLK6lp+vbCxubW9U9zda+g4VQzrLBaxagVUo+AS64Ybga1EIY0Cgc1geDXxm/eoNI/lrRkl6Ee0L3nIGTVWqt10iyWv7E5B3F/kyyrBHNVu8b3Ti1kaoTRMUK3bnpsYP6PKcCZwXOikGhPKhrSPbUsljVD72fTQMTmySo+EsbIlDZmqixMZjbQeRYHtjKgZ6J/eRPzLa6cmvPAzLpPUoGSzRWEqiInJ5GvS4wqZESNLKFPc3krYgCrKjM2msBjC/6RxUvbOym7ttFS5nMeRhwM4hGPw4BwqcA1VqAMDhAd4gmfnznl0XpzXWWvOmc/swzc4b5+mq4zS</latexit>

M

M ⇠ 1<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

M > 1<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Ondes de chocou

ndS

Ω

S = ∂Ω

n

u

u

n

Conservation de la quantité de mouvement

Z

⌦

@⇢u

@tdV =

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Z

⌦⇢f dV

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

+

Z

@⌦�.n dS

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

�Z

@⌦⇢u u.n dS

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

scalairevecteur

Z

⌦

@⇢u

@tdV = �

Z

@⌦⇢u u.n dS +

Z

⌦⇢f dV +

Z

@⌦�.n dS

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Z

⌦

@⇢u

@tdV +

Z

⌦r.⇢uu dV =

Z

⌦⇢f dV +

Z

⌦r.� dV

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Théorème de la divergence:

Conservation de la quantité de mouvement

: Flux de quantité de mouvement,<latexit sha1_base64="8AJo72ZtQEcBA0U2dutJ5sIFyn4=">AAAB+XicbVDLSsNAFL2pr1pfUZduBovgqiSi6LLoxmUF+4AmlMl00g6dTMI8CiX0T9y4UMStf+LOv3HSZqHVAwOHc+7lnjlRxpnSnvflVNbWNza3qtu1nd29/QP38KijUiMJbZOUp7IXYUU5E7Stmea0l0mKk4jTbjS5K/zulErFUvGoZxkNEzwSLGYEaysNXDeQ4xQFCdbjKM6NmQ/cutfwFkB/iV+SOpRoDdzPYJgSk1ChCcdK9X0v02GOpWaE03ktMIpmmEzwiPYtFTihKswXyefozCpDFKfSPqHRQv25keNEqVkS2ckiolr1CvE/r290fBPmTGRGU0GWh2LDkU5RUQMaMkmJ5jNLMJHMZkVkjCUm2pZVsyX4q1/+SzoXDf+q4T1c1pu3ZR1VOIFTOAcfrqEJ99CCNhCYwhO8wKuTO8/Om/O+HK045c4x/ILz8Q3LlJPE</latexit>⇢uu

⇢uiuj<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

tenseur de composantesproduit tensoriel

@

@xj(⇢uiuj) = ui

@⇢uj

@xj+ ⇢uj

@ui

@xj<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Sa divergence :(somme sur j)

Conservation de la quantité de mouvement

⇢@u

@t+ u

✓@⇢

@t+r.⇢u

◆+ ⇢u.ru = ⇢f +r.�

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

⇢@u

@t+ u

@⇢

@t+ ur.⇢u+ ⇢u.ru = ⇢f +r.�

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Pour un volume élémentaire de fluide :

⇢

✓@u

@t+ u.ru

◆= ⇢f +r.�

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

ma = F<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

= 0Conservation de la masse

Accélération d’un élément de fluide

⇢

✓@u

@t+ u.ru

◆= ⇢f +r.�

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

ma = F<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

a =@u

@t+ u.ru

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

instationnarité accélération convective

un écoulement stationnaire où u.ru 6= 0<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Écriture de l’accélération convective

Variation spatiale de ux projetée sur la vitesse (ux, uy, uz)

Pour la composante i : uj@ui

@xj=

X

j=1,3

uj@ui

@xj<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Pour la composante x : ux@ux

@x+ uy

@ux

@y+ uz

@ux

@z<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Les contraintes dans un fluide

Dans un fluide à l’équilibre, sans écoulement macroscopique

n La résultante des interactions entre atomes ou molécules est une pression isotrope

� =

0

@�p 0 00 �p 00 0 �p

1

A

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

�ij = �p �ij<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

r.� = �rp =

0

B@� @p

@x

� @p@y

�@p@z

1

CA

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

⇢

✓@u

@t+ u.ru

◆= ⇢f +r.�

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Dans un fluide à l’équilibre, sans écoulement macroscopique

0 = ⇢g �rp<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

p = p0 � ⇢gz<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Dans un fluide hors d’équilibre thermodynamique, avec écoulement macroscopique

Fluides newtoniens Fluides non newtoniens

Eau, huile, glycérol, gaz…Solutions de polymères, polymères

fondus, suspensions concentrées, pâtes, mousses, cristaux liquides …Contraintes :

fonctions linéaires du gradient de vitesse

Fluide isotrope

Les contraintes dans un fluide newtonien

Contraintes : fonctions linéaires de la partie symétrique du gradient de vitesse

partie symétrique du gradient de vitesse : déformation d’un élément de fluide

partie antisymétrique du gradient de vitesse : rotation en bloc d’un élément de fluide

Comportement mécanique du fluide caractérisé par une seule quantité :

sa viscosité dynamique <latexit sha1_base64="wYfvviWs6I5R/5dBG2ywaku+C7M=">AAAB63icbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0WPRi8cK9gPaUDbbTbt0swm7E6GE/gUvHhTx6h/y5r9x0+agrQ8GHu/NMDMvSKQw6LrfTmltfWNzq7xd2dnd2z+oHh61TZxqxlsslrHuBtRwKRRvoUDJu4nmNAok7wSTu9zvPHFtRKwecZpwP6IjJULBKOZSnyMdVGtu3Z2DrBKvIDUo0BxUv/rDmKURV8gkNabnuQn6GdUomOSzSj81PKFsQke8Z6miETd+Nr91Rs6sMiRhrG0pJHP190RGI2OmUWA7I4pjs+zl4n9eL8Xwxs+ESlLkii0WhakkGJP8cTIUmjOUU0so08LeStiYasrQxlOxIXjLL6+S9kXdu6q7D5e1xm0RRxlO4BTOwYNraMA9NKEFDMbwDK/w5kTOi/PufCxaS04xcwx/4Hz+AAo0jjw=</latexit>⌘

Les contraintes dans un fluide newtonien

� =

0

BBB@

�p+ 2⌘ @ux@x ⌘

⇣@ux@y + @uy

@x

⌘⌘�@ux@z + @uz

@x

�

⌘⇣

@ux@y + @uy

@x

⌘�p+ 2⌘ @uy

@y ⌘⇣

@uy

@z + @uz@y

⌘

⌘�@ux@z + @uz

@x

�⌘⇣

@uy

@z + @uz@y

⌘�p+ 2⌘ @uz

@z

1

CCCA

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

�ij = �p �ij + 2 ⌘ eij<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

e =1

2(ru+ruT )

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

r.� = �rp+ ⌘�u<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

�xz = ⌘@ux

@z<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

h

x

z

U

Ordres de grandeur de viscosités :

eau : 10-3 Pa.s (1 mPoiseuille) glycérine : 1,3 Pa.s

air : 1,8 10-5 Pa.s hélium : 3,3 10-6 Pa.s (4 K)

Contrainte de cisaillement visqueux

Contrainte : dimension

d’une pression

Viscosité dynamique :

pression X tempsPa.s en S.I.

Gradient de vitesse : dimension de

l’inverse d’un temps

Dans un fluide newtonien, avec écoulement macroscopique

r.� = �rp+ ⌘�u<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

viscosité cinématique <latexit sha1_base64="NB6s5S7LHakv/gxR+MHvRj5KJLM=">AAAB9HicbVBNSwMxEM3Wr1q/qh69BIvgqe6Koheh6MVjBfsB3aVk09k2NJusSbZQlv4OLx4U8eqP8ea/MW33oK0PBh7vzTAzL0w408Z1v53Cyura+kZxs7S1vbO7V94/aGqZKgoNKrlU7ZBo4ExAwzDDoZ0oIHHIoRUO76Z+awRKMykezTiBICZ9wSJGibFS4Iv0xgdDznw1kN1yxa26M+Bl4uWkgnLUu+UvvydpGoMwlBOtO56bmCAjyjDKYVLyUw0JoUPSh46lgsSgg2x29ASfWKWHI6lsCYNn6u+JjMRaj+PQdsbEDPSiNxX/8zqpia6DjIkkNSDofFGUcmwkniaAe0wBNXxsCaGK2VsxHRBFqLE5lWwI3uLLy6R5XvUuq+7DRaV2m8dRREfoGJ0iD12hGrpHddRAFD2hZ/SK3pyR8+K8Ox/z1oKTzxyiP3A+fwB3G5Hm</latexit>

⌫ = ⌘/⇢

<latexit sha1_base64="/3qqAl8tnxgy2z0BQLmFsosSM3o=">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</latexit>

⇢

✓@u

@t+ (u.r)u

◆= ⇢f +r.�

Équation de Navier-Stokes<latexit sha1_base64="8kIgQy9aGO5qYjfZ/Qf7oBqR74w=">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</latexit>

⇢@u

@t+ ⇢(u.r)u = �rp+ ⌘�u+ ⇢f

<latexit sha1_base64="V2/H6pRSyfQ/l4aQQbT9NOsZksY=">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</latexit>

@u

@t+ (u.r)u = �1

⇢rp+ ⌫�u+ f

@ux@t + ux

@ux@x + uy

@ux@y + uz

@ux@z = � 1

⇢@p@x + ⌫

⇣@2ux@x2 + @2ux

@y2 + @2ux@z2

⌘+ fx

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

@uy

@t + ux@uy

@x + uy@uy

@y + uz@uy

@z = � 1⇢@p@y + ⌫

⇣@2uy

@x2 + @2uy

@y2 + @2uy

@z2

⌘+ fy

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

@uz@t + ux

@uz@x + uy

@uz@y + uz

@uz@z = � 1

⇢@p@z + ⌫

⇣@2uz@x2 + @2uz

@y2 + @2uz@z2

⌘+ fz

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

L’équation de Navier-Stokes dans toute sa splendeur (horreur ?)

Comment la simplifier ?

Une analyse dimensionnelle de l’équation de Navier-Stokes

u ⇠ U<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

r ⇠ 1/L<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

� ⇠ 1/L2<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Échelle de longueur pertinente qui caractérise la variation spatiale de vitesse

⇢ u.ru ⇠ ⇢ U2

L<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Terme inertiel

⌘ �u ⇠ ⌘ UL2

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Terme visqueux

⇢u.ru

⌘�u⇠ ⇢UL

⌘=

UL

⌫<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

<latexit sha1_base64="8kIgQy9aGO5qYjfZ/Qf7oBqR74w=">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</latexit>

⇢@u

@t+ ⇢(u.r)u = �rp+ ⌘�u+ ⇢f

Nombre de Reynolds

Deux dynamiques différentes selon le nombre de Reynolds

Re ⌧ 1<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Écoulement dominé par la viscosité

Re � 1<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Écoulement dominé par l’inertie