E.N.S. de Cachan Département E.E.A.M2 FE 3e annéePhysique appliquée 2011-2012

TD de Physique no 8 :Mécanique des fluides I

Exercice no 1 : Lignes de courants et trajectoires

Soit un champ des vitesses, avec un axe (Oz) vertical et orienté vers le haut, défini par :

~v =vx = u0

vz = −gt + v0

1. Comment peut-on qualifier ce champ des vitesses ? Déterminer les trajectoires et les lignes de courants.2. On appelle ligne d’émission à la date t associée à un point M0, l’ensemble des points de l’espace occupés

à t par des particules passées précédemment au point M0. Les lignes d’émission caractérisent l’écoulement d’unfluide et ce sont elles que l’on visualise lorsque l’on a recours à des traceurs. Déterminer la ligne d’émissionissue du point (0, 0).

Exercice no 2 : Écoulement dans un dièdre droit

Considérons un écoulement bidimensionnel dont le champ des vitesses, défini dans un référentiel (O, x, y, z),dans la région x > 0 et y > 0, est :

~v(~r, t) = −kx~ex + ky~ey

1. Que peut-on dire de cet écoulement ?2. Déterminer les trajectoires des particules de fluide et les lignes de courants.3. Déterminer l’accélération d’une particule de fluide en utilisant, tout d’abord, le formalisme lagrangien,

puis, le formalisme eulérien.

Exercice no 3 : Bilans de masse

Soit une surface S orientée, fermée ou non. On rappelle que si S est fermée elle est orientée par conventionde l’intérieur vers l’extérieur.

1. Soit M un point de la surface S et d~S = dS. ~N un élément de surface centré en M ( ~N est la normaleà cet élément de surface). On définit la densité volumique de courant de masse :

~j(M, t) = ρ(M, t)~v(M, t)

où ρ(M, t) (resp. ~v(M, t)) est la masse volumique (la vitesse) du fluide en M à t

a) Établir la relation liant ~j(M, t) à dDm, le débit massique élémentaire traversant d~S.b) En déduire l’expression intégrale du débit massique à travers S.

2. Bilan de masse avec source, équation intégrale. Considérons un volume V (volume de contrôle) del’espace occupé par le fluide, délimité par une surface fermée S fixe (surface de contrôle) dans le référentield’étude. On suppose qu’il existe, dans ce volume V , un terme source associé à un débit massique Dm,source.a) Exprimer, en fonction de la masse volumique, la variation de masse dm, pendant le temps dt, du fluide situédans le volume de contrôle V fixe.b) Traduire alors, sous forme intégrale, la conservation de la masse.

3. Bilan de masse sans source, équation locale. On se place dans le cas où les termes sources sont nuls.a) Établir l’équation locale de conservation de la masse.b) Traiter le cas du régime stationnaire.

1

c) Écrire l’équation locale de conservation de la masse en faisant intervenir la dérivée particulaire de ρ, lamasse volumique du fluide.

Exercice no 4 : Débit volumique

1. Donner l’expression intégrale du débit volumique.2. Montrer qu’un écoulement incompressible est également caractérisé par un champ de vitesses de di-

vergence nulle.3. Que peut-on alors dire du débit volumique le long d’un tube de champ d’un écoulement incompressible ?

Comment évolue la vitesse lorsque les lignes de courant se resserrent ?

Exercice no 5 : Champ des vitesses d’un fluide incompressible

On considère un fluide incompressible (de masse vo-lumique ρ) émis, avec un débit massique Dm (dépendantou non du temps), par une source linéique de hauteur hconfondue avec l’axe (Oz) (cf figure ci-contre). Les par-ticules de fluides sont émises perpendiculairement au fil,c’est à dire que : ~v(~r, t) = v(r, t)~er.

1. Écrire le champ des vitesses de cet écoulement.2. Calculer l’accélération d’une particule de fluide.

Exercice no 6 : Divergence et rotationnel du champdes vitesses

1. Considérons une particule de fluide de forme cubique. Notons τ(t) le volume élémentaire de cetteparticule à l’instant t.a) Établir, en limitant les calculs à l’ordre 1, la relation :

div ~v =1τ

dτ

dt

où ~v est le champ des vitesses de l’écoulement et dτ est la variation du volume de la particule fluide entre lesinstants t et t + dt. Commenter.b) Retrouver alors le critère des écoulements incompressibles.

2. Considérons l’écoulement dont le champ des vitesses a pour expression ~v(x, y) = c(−y~ux + x~uy).a) Calculer la divergence du champ des vitesses. Commenter.b) Donner l’expression du rotationnel du champ des vitesses.c) Considérons une particule de fluide dont la section avec le plan (xOy) est un carré de sommets O(0, 0),A(L, 0), B(L,L) et C(0, L) à l’instant t. Déterminer la section de cette particule de fluide à l’instant t + dt.On notera O′, A′, B′ et C ′ les sommets de la section de la particule de fluide à l’instant t + dt correspondantrespectivement à O, A, B et C.d) Donner l’expression du vecteur rotation ~Ω de la particule fluide et montrer que ~Ω = 1

2~rot ~v. Conclure.

D’une manière générale on définit le vecteur-tourbillon ~Ω = 12

~rot ~v. Nous admettrons que le vecteur-tourbillon traduit la rotation locale des particules de fluide quel que soit l’écoulement considéré.

Exercice no 7 : Vortex

La tornade est un écoulement à symétrie cylindrique tel qu’il existe un vecteur tourbillon ~Ω uniforme àl’intérieur d’un cylindre d’axe (Oz) et de rayon a.

1. Établir l’analogie existant entre ~Ω et ~v, d’une part, et le champ magnétique ~B et le vecteur densitévolumique de courant ~j de la magnétostatique, d’autre part. Appliquer alors les symétries et les invariancespour déterminer la forme du champ des vitesses.

2. Établir le champ des vitesses de l’écoulement.3. La circulation de ~v sur un cercle de rayon r > a vaut C = 2πa2Ω. Un vortex constitue le cas limite

pour lequel a→ 0 tout en ayant C finie et non nulle. Déterminer le champ des vitesses d’un vortex.4. L’écoulement associé à un vortex est-il potentiel ? On rappelle qu’en coordonnées cylindriques le rota-

tionnel a pour expression :

~rot ~A =(1

r

∂Az

∂θ− ∂Aθ

∂z

)~ur +

(∂Ar

∂z− ∂Az

∂r

)~uθ +

(1r

∂rAθ

∂r− 1

r

∂Ar

∂θ

)~uz

2

5. Quel est l’analogue du vortex en magnétostatique ?

Exercice no 8 : Le dipôle hydrodynamique

1. Établir l’analogie de structure qu’il existe entre le champ électrostatique dans une région vide decharges et le champ des vitesses d’un fluide en écoulement potentiel et incompressible.

2. On considère une source de fluide filiforme confondue avec l’axe (Oz) de débit volumique par unité delongueur DV,l. Cette source pourrait, par exemple, modéliser un tuyau d’arrosage confondu avec l’axe Oz etpercé d’une multitude de petits trous.a) Justifier que ~v est un vecteur polaire. Exploiter les symétries et les invariances de la distribution de débitvolumique pour établir la structure du champ des vitesses associé à l’écoulement.b) Déterminer le champ des vitesses.c) En déduire le potentiel des vitesses.

3. On considère l’association d’une source de débit volumique DV,l

(> 0) et d’un puits de débit volumique linéique −DV,l parallèles etdistants de d comme présenté sur la figure ci-contre.a) Utiliser le théorème de superposition pour déterminer le potentiel desvitesses de l’écoulement potentiel et incompressible associé. On choisirace potentiel nul en O.b) Définir par analogie avec l’électrostatique le moment de ce dipôlehydrodynamique. Donner l’expression simplifiée du potentiel dans lacadre de l’approximation dipolaire.c) En déduire l’expression du champ des vitesses.

Exercice no 9 : Écoulement autour d’un obstacle cylindrique

Considérons un écoulement uniforme de vitesse ~v = v0~ex. On im-merge un cylindre de longueur infinie d’axe (Oz) et de rayon a (cf figureci-contre). L’étude est menée en coordonnées cylindriques.

1. Conditions aux limites.a) Quelle condition aux limites impose la présence du cylindre ?b) Comment est le champ des vitesses infiniment loin de l’obstacle (c’està dire pour r → +∞) ?

2. Établir un écoulement cinématiquement acceptable (c’est à direqui respecte les conditions aux limites) à l’aide du théorème de superpo-sition.Indication : On pourra utiliser le résultat de l’exercice no 8.

Exercice no 10 : Applications des relations de Bernouilli

1. Effet Venturi. Considérons un écoulement parfait stationnaire incompressible homogène dans une ca-nalisation horizontale possédant un rétrécissement. Notons SA (resp. SB) la section de la conduite loin (resp.au niveau) du rétrécissement. En supposant la vitesse uniforme sur les sections SA et SB , établir l’expressionde la différence de pression PA − PB en fonction de µ la masse volumique du fluide, vA la vitesse loin durétrécissement, SA et SB .

2. Mesure de débits par effet Venturi. On complète le dispositifen plaçant deux tubes latéraux verticaux perturbant peu l’écoulement(faible section) comme présenté sur la figure ci-contre. On note hA

(resp. hB) la hauteur de fluide dans le tube loin (resp. au niveau)du rétrécissement et P0 la pression atmosphérique. Montrer que cedispositif permet de déterminer le débit volumique de l’écoulement.

3. On place un 3e tube vertical au point C en aval du rétrécisse-ment. Avec les mêmes hypothèses, à quoi est égale la hauteur de fluidehC dans ce tube ? Qu’observe t-on en pratique et pourquoi ? Quellehypothèse est à remettre en cause ?

3

4. Tube de Pitot. Le tube de Pitot (cf figure ci-contre) est utiliséen aérodynamique pour mesurer la vitesse d’un écoulement d’air uni-forme et stationnaire. Il est constitué d’un tube métallique de sections ' 5 mm2 dont l’extrémité arrondie est percée d’un trou très fin derayon r ' 0, 5 mm. Le tube est placé longitudinalement à l’écoulementet on note ~v∞ = U∞~ex la vitesse et P∞ la pression loin en amont dutube. Le tube comporte une prise de pression latérale PB et une prisede pression axiale P0 entre lesquelles un manomètre mesure la diffé-rence de pression P0 − PB . Justifier pourquoi la vitesse du fluide estnulle au niveau de la prise de pression axiale. Établir l’expression deU∞ en fonction de h′, g l’intensité de la pesanteur, µ la masse volumique du fluide, et µeau la masse volumiquede l’eau.

Exercice no 11 : Théorème de TorricelliUn réservoir cylindrique (cf figure ci-contre) de section S rempli d’eau

se termine par un tube horizontal de longueur L et de section s << S situéà sa base et fermé par un robinet qu’on ouvre à l’instant t = 0. Initialementla hauteur d’eau dans le réservoir est h0 ; à l’instant t on la note h(t).

1. Une fois le robinet ouvert, on suppose l’écoulement unidimensionnelà l’interface air-eau dans le réservoir avec ~v(M, t) = −V (t)~uz et dans le tubehorizontal où ~v(M, t) = v(x, t)~ux. Montrer que :

v(x, t) =S

sV (t) = −S

s

dh

dt

ce qui permet avec s << S de négliger V (t) devant v(t) dans toute la suite.2. En dehors d’une phase de courte durée, on constate que la vitesse d’éjection vaut v(t) =

√2gh(t)

c’est à dire la même valeur que pour un point matériel lâché en chute libre, ce qui constitue le théorème deTorricelli. Montrer qu’on peut interpréter ce fait en supposant que le théorème de Bernouilli est applicablebien que l’écoulement varie au cours du temps (approximation des régimes quasi-stationnaires).

3. En déduire l’expression de la hauteur d’eau h(t) en fonction de S, s, h0, g, t, puis l’expression de ladurée T nécessaire pour vider le réservoir. Analyser la pertinence de l’influence de S, s, g et h0 sur T .

4. On s’intéresse au régime transitoire initial au cours duquel la vitesse v(t) atteint sa valeur√

2gh0 enrégime quasi-stationnaire sans que le niveau h0 dans le réservoir ait eu le temps de varier notablement. Ennégligeant l’accélération locale dans le réservoir, mais pas dans le tube, montrer que :

2Ldv

dt= gh0 − v2

et chercher une solution de la forme v(t) = v∞ tanh(t/τ) ; exprimer v∞ et τ en fonction de g, h0 et L. Comparerτ et T et commenter. On rappelle que (tanhu)′ = 1− tanh2 u.

5. Lorsque le tube est trop fin, tout ce qui précède est faux. Interpréter qualitativement.

Exercice no 12 : 0scillations dans d’un fluide dans un tube en U

Un fluide incompressible, de masse volumique ρ, est contenu dans les deux branches d’un tube en U desection S. La "longueur" totale de fluide dans le tube est notée L. À l’équilibre, les deux surfaces libres dufluide dans les deux branches du tube sont à une même altitude choisie comme origine d’un axe (Oz) verticalascendant.

Déterminer la période des oscillations du fluide dans le tube.

Exercice no 13 : Tourbillon

On considère, dans un référentiel galiléen Rg, un écoulement stationnaire d’un fluide parfait. Il s’agit d’unmouvement tourbillonnaire à symétrie de révolution autour d’un axe vertical (Oz). Le fluide est soumis auchamp de pesanteur ~g = −g~uz.

On se place en coordonnées cylindriques (r, θ, z) d’axe (Oz). Dans le modèle envisagé, le vecteur tourbillon~Ω = 1

2~rot ~v vaut Ω~uz si r < a et ~0 si r > a. Le fluide est homogène de masse volumique uniforme ρ0.

4

1. Quelle analogie peut-on faire avec la magnétostatique ? En déduire la forme du champ des vitesses ~vde l’écoulement. Montrer que ce champ des vitesses est associé à un écoulement incompressible. On donne encoordonnées cylindriques :

div ~A =1r

∂

∂r(rAr) +

1r

∂Aθ

∂θ+

∂Az

∂z

2. Déterminer les expressions du champ des vitesses ~v pour r < a et pour r > a.3. Déterminer le champ des pressions. On distinguera les deux cas r < a et r > a, et on posera :

P0 = limr→∞

P (r, z = 0)

Tracer la courbe r → f(r) = P − P0 + ρ0gz. On notera : pm = ρ0Ω2a2.4. Applications.

a) Le modèle précédent est appliqué à une tornade pour laquelle vmax = 150 km.h−1 et ρ0 = 1, 3 kg.m−3.Calculer la dépression pm. La comparer à P0 = 105 Pa.b) Le modèle décrit un tourbillon de vidange. Le fluide est de l’eau surmontée de l’atmosphère uniforme P0.Déterminer la forme de la surface libre du fluide.

Exercice no 14 : Effet Magnus

Un écoulement permanent, incompressible, homogène est caractérisé par la vitesse ~v = v0~ex, loin d’uncylindre immobile, d’axe (Oz) et de rayon a. L’exercice no 9 a montré que le champ des vitesses associé à cetécoulement a pour expression en coordonnées cartésiennes :

~v = v0

([1−

(a

r

)2]cos θ~ur −

[1 +

(a

r

)2]sin θ~uθ

)Le cylindre est maintenant mis en rotation autour de son axe. Cette rotation induit un champ de vitessesupplémentaire de la forme :

~v =ωa2

r~uθ

où ω est la vitesse de rotation du cylindre.1. Montrer que l’écoulement possède deux points d’arrêt à la surface du cylindre lorsque ω < 2v0

a . Tracerl’allure les lignes de courant de l’écoulement.

2. Que peut-on dire des points d’arrêts de l’écoulement lorsque ω = 2v0a puis ω > 2v0

a ?3. Déterminer la pression P (a, θ) en tout point du cylindre.4. En déduire la force exercée par le fluide sur le cylindre, par unité de longueur de ce dernier.5. Calculer la circulation Γ du champ des vitesses du fluide le long d’un contour entourant le cylindre et

exprimer la force linéique précédente en fonction de Γ.

Problème : Vidange d’un conduit

Question préliminaire :On considère l’écoulement parfait, non permanent et potentiel, d’un fluide incompressible sous l’action du

champ de pesanteur terrestre. Soit, l’axe vertical orienté de bas en haut et de vecteur unitaire ~ez, z la coted’un point de l’écoulement, t le temps, p la pression, µ0 la masse volumique du fluide et ~g = −g~ez (g > 0) lechamp de pesanteur.

1. Montrer qu’à tout instant et en tout point de l’écoulement, on peut écrire :

∂Φ∂t

+v2

2+

p

µ0+ gz = C(t)

où C(t) est une fonction quelconque du temps, éventuellement nulle et Φ le potentiel des vitesses.

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Équation de vidangeOn considère l’écoulement d’un fluide incompressible sous l’action de la

pesanteur dans une trémie à parois lisses ayant la forme d’un cône de révolutiond’axe parallèle à ~g et d’angle au sommet très petit (figure ci-contre1). L’origineétant le sommet O du cône, on note h(t) la cote de la surface libre et a cellede l’orifice d’écoulement. Pour étudier cet écoulement, on admettra le modèlesuivant :

– les frottements sur les parois sont négligeables,– l’écoulement se fait par tranches, il est possible d’en effectuer l’étude

approchée à l’aide du champ des vitesses d’expression :~v = v(z, t)~ez (v(z, t) < 0).

2. Discuter chacune des hypothèses décrivant l’écoulement.3. Justifier que le débit volumique se conserve et déterminer l’expression du champ des vitesses v(z, t) de

cet écoulement en fonction de z, h, h (h < 0).4. Déterminer, en fonction de z, h, h et a, le potentiel des vitesses, Ψ, que l’on mettra sous la forme

Ψ(z, t) = Φ(z, t) + c(t), où c(t) est une fonction quelconque du temps et où Φ(a, t) = 0.5. On suppose que les pressions en z = a et en z = h sont égales. Établir dans ces conditions l’équation

différentielle non linéaire du deuxième ordre vérifiée par λ(t) = h(t)/a, appelée équation de vidange de latrémie :

−2λd2λ

dt2+ (λ− 1)(λ2 + 2λ + 3)

(dλ

dt

)2

=2g

a

Régime transitoireÀ l’instant t = 0, la trémie est remplie jusqu’à

une hauteur h0 = aλ0, avec(

dλdt

)t=0

= 0, puis lefluide se met en mouvement. L’intégration numé-rique de l’équation de vidange fournit les trajec-toires de phase (dλ

dt en fonction de λλ(0) ) de la figure

ci-contre, pour a = 1 m et pour λ0 égal successi-vement à 5, 10 et 20. On constate l’existence d’unrégime initial transitoire pendant lequel la vitessedλdt varie significativement, alors que λ ne varie pra-tiquement pas.

6. Montrer que pendant ce régime transitoire,c’est à dire tant que λ0−λ

λ0«1, dλ

dt peut se mettre sousla forme :

dλ

dt=

(dλ

dt

)∞

tanht

τ

et déterminer l’expression de(

dλdt

)∞

et celle de τ (durée caractéristique du régime transitoire) en fonction deh0, a et g.

7. Application numérique : a = 1 m, h0 = 20 m et g = 9, 81 m.s−2. Calculer la valeur numérique de τ .Temps de vidange

8. On néglige maintenant le terme en d2λdt2 de l’équation de vidange. Donner la durée de vidange, tv sous

la forme :tv =

√a

2gf(h0

a

)en exprimant f

(h0a

)sous la forme d’une intégrale. Dans quelle mesure cette approximation est-elle pertinente ?

9. Application numérique : les données restant celles de la question 7, calculer la valeur numérique de tvà l’aide d’un programme de calcul d’intégrale définie implanté sur calculatrice. Dans l’intégration numériquede l’équation du mouvement (cf figure précédente), on trouve que λ atteint la valeur 1 pour

√2ga t = 26, 5

(λ0 = 5), 138, 5 (λ0 = 10) et 747, 2 (λ0 = 20).10. Discussion : les considérations développées dans ce modèle vous semblent-elles applicables dans le cas

où le fluide est un matériau granulaire ?

1Sur cette figure, l’angle au sommet du cône a été exagéré.

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