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PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C
PRO-1027
Intégration numérique
Introduction Intégration numérique
– Méthode du trapèze (Cas discret)
– Polynômes d’interpolation et d’approximation Travail pratique 5 Examen final
Introduction
L’intégration d’une fonction f(x) dans un intervalle [a,b] représente l’aire sous la courbe
Le calcul de l’intégrale peut se faire soit de façon discrète ou de façon continue
Introduction
La méthode du trapèze est une méthode discrète par laquelle nous approximons l’aire sous la courbe d’une fonction représentée par un ensemble de points de contrôle, en additionnant l’aire des tra-pèzes associés à chaque paire de points adjacents
Lorsque nous avons la forme analytique de la fonc-tion f(x) le calcul de l’intégrale peut s’effectuer de façon explicite
Intégration numérique (Méthode du trapèze)
La méthode du trapèze consiste à additionner l’aire de chaque trapèze adjacent permettant l’approxima-tion de l’aire sous la courbe d’une fonction f(x)
11
1111
11111
111
111
1
2
12222
2
2
2
1
iiiii
iiiiiiiii
iiiiiiiiiiii
i
iiiiiii
iRiTi
N
iiiii
N
ii
yyxxA
yxyxyxyxA
yxyxyxyxyxyx
A
xxyxxyy
AAA
yyxxAA
• N: nombre d’intervalles• N+1: nombre de points de contrôle
Intégration numérique (Cas continu)
Illustration graphique
Intégration numérique (Splines cubiques)
Splines cubiques (forme générale)
ii
iiii
i
iii
ii
i
iii
iiiiiiii
yd
zhzh
h
yyc
zb
h
zza
dxxcxxbxxaxS
6
22
6
)()()()(
11
1
23
Intégration numérique (Splines cubiques)
L’intégrale prend alors la forme générale suivante:
)()(2
)(3
)(4
)(
)()(2
)(3
)(4
)(
)()(2
)(3
)(4
)(
1
1
234
1
1
1
21
31
41
1
1
234
1
1
1
1
i
n
iii
ii
ii
ix
x
ii
n
iiii
iii
iii
ix
x
xxi
n
iii
ii
ii
ix
x
hdhc
hb
ha
dxxS
xxdxxc
xxb
xxa
dxxS
xxdxxc
xxb
xxa
dxxS
n
n
i
i
n
• n-1: Nombre d’intervalles• n: Nombre de points de contrôle
Intégration numérique (Splines cubiques)
Lorsque la borne supérieur n’est pas une des valeurs de xi
x*
*
1
)(x
xdxxSA
Intégration numérique (Splines cubiques)
Lorsque la borne supérieur n’est pas une des valeurs de xi
– Localiser l’intervalle de x* (intervalle 3)
– Calculer l’intégrale suivante
)*()*(2
)*(3
)*(4
)()(2
)(3
)(4
)(
332
333
334
33
2
1
234*
1
xxdxxc
xxb
xxa
hdhc
hb
ha
dxxS ii
iii
ii
ii
x
x
Intégration numérique (Polynômes d’approximation)
Polynômes d’approximation (degré 1)
)()(2
22
2)(
)(
22
22
2
dfdf
x
x
ddff
x
x
xx
x
x
x
x
xxbxxa
dxbax
cbxxa
cbxxa
dxbax
cbxxa
dxbaxdxxf
baxyxf
f
d
f
d
f
d
f
d
f
d
Intégration numérique (Polynômes d’approximation)
Polynômes d’approximation (degré 2)
f
d
f
d
f
d
f
d
xx
x
x
x
x
x
x
dcxxb
xa
dxcbxax
dxcbxaxdxxf
cbxaxy
232
2
2
23
)(
Intégration numérique (Polynômes d’approximation)
Polynômes d’approximation (degré 3)
f
d
f
d
f
d
f
d
xx
x
x
x
x
x
x
edxxc
xb
xa
dxdcxbxax
dxdcxbxaxdxxf
dcxbxaxyxf
23423
23
23
234
)(
)(
Travail pratique 5
Dérivation de polynômes d’approximation (Cas APPLE VS MICROSOFT)
Examen final
Voir comment améliorer l’efficacité de la cons-truction de la matrice A des termes sommatifs utilisée pour déterminer les coefficients des polynômes d’approximation
ini
ii
ii
ii
i
nni
ni
ni
ni
ni
niiiii
niiiii
niiiii
niiii
Yx
Yx
Yx
Yx
Y
b
b
b
b
b
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxN
3
2
3
2
1
0
2321
36543
25432
1432
32
Examen final
Bien comprendre comment localiser des maxima à partir d’une fonction dérivée
Bien comprendre le calcul des intégrales dans les cas où nous utilisons des splines et que les bornes d’intégration sont quelconques
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