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Chapitre 3: Représentation des systèmes par la notion de variables d’état
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R. Beguenane, UQAC, 2005/2006 6GEI630 : Systèmes Asservis
Contenu du chapitre
3.1. Introduction3.2. Les variables d’état d’un système dynamique3.3. Équation différentielle d’état3.4. Les modèles diagramme blocs et graphe de fluence3.5. Autre alternative des modèles diagramme blocs et graphe de fluence3.6. La fonction de transfert à partir de l’équation d’état3.7. La réponse temporelle et la matrice de transition d’état3.8. Discrétisation de la réponse temporelle 3.9. Analyse des modèles à variables d’état avec MATLAB
2/16
3.4. Les modèles diagramme blocs et graphe de fluence (Suite)
Les chemins directs sont bel et bien:b0s-4, b1s-3, b2s-2, b3s-1
Et toutes les boucles de retour(a0s-4, a1s-3, a2s-2, a3s-1) se touchent
Les chemins directs toucheront toutes les boucles de retour
Forme canonique à phase variable
uxaxaxaxax
xxxxxx
433221104
433221
,,
)('var,,, systèmeduphaseslesétatdiableslessontxxxx 44321
43322110 xbxbxbxbty )(et
40
31
22
13
40
31
22
13
1
sasasasa
sbsbsbsb
sU
sYsG
)(
)()(
3/16
4
3
2
1
3210
4
3
2
1
32104
3
2
1
1
0
0
0
1000
0100
0010
x
x
x
x
bbbbty
CXty
tu
x
x
x
x
aaaax
x
x
x
dt
d
BuAXX
)(
)(
)(
Sous forme matricielle:
Mais il exister plusieurs façons de représenter les états d’un système.Le graphe de fluence et le diagramme bloc de la représentation d’état ci-dessous en est un autreexemple:
4/16
On remarque que tout les chemins directs commencent à partir du signal d’entrée U(s).Ainsi ce modèle est appelé : Forme canonique à entrée directe (input feedforward canonical form)
40
31
22
13
40
31
22
13
1
sasasasa
sbsbsbsb
sU
sYsG
)(
)()(
5/16
ubxax
ubxxax
ubxxax
ubxxax
0104
14113
23122
32131
Ainsi 1xy
)()(
)()(
)(
tu
x
x
x
x
ty
tDuCXty
tu
b
b
b
b
x
x
x
x
a
a
a
a
x
x
x
x
dt
d
BuAXX
00001
000
100
010
001
4
3
2
1
0
1
2
3
4
3
2
1
0
1
2
3
4
3
2
1
Note:Même si la forme canonique à entréedirecte présente la même fonction detransfert que la forme canonique àphase variable, mais les variables d’étatssont de nature différente dans chacunedes deux formes.
Exemple 1
688
68223
2
sss
ss
sU
sYsT
)(
)()(
Les deux modèles de variables d’état
3
3
s
sx 321
321
61681
682
sss
ssssT )(
3
2
1
286
x
x
x
ty )(
6/16
)(tuXX
1
0
0
8166
100
010
I.Forme canonique à phase variable(Les variables d’état directes pour
Fournir la sortie y(t))
7/16
II.Forme canonique à entrée directe(L’entrée directe pour fournir la sortie
y(t))1xty )()(tuXX
6
8
2
006
1016
018
Il est évident que l’ensemble desvariables d’état des deux modèlessont différents mais ils sont linéairementdépendants (via une matrice de transformation adéquate)
En conclusion Nous pouvons obtenir n équationsde 1er ordre à partir d’une équation différentielle d’ordre n, enutilisant l’un des 2 modèles précédents.
3.5. Les modèles alternatifs des graphes de fluence et de diagramme blocs
Les blocs diagramme des systèmes de contrôle réels représentent des variables et sous-systèmes physiquesExemple: Contrôle d’un Moteur DC
tensionu
tutrx
tix
vitessetyx
)()(
)(
)(
20
1
4
13
2
1
8/16
-20
Modèle à variables d’état
-20
Nous désirons sélectionner les variables physiques comme des variables d’état
5
205
5
15
ss
s )(Note: Faire en sorte que le rang du dénominateur est > à celui du numérateur
-20
))()((
)(
))()((
)()(
)(
)(
321325
130
ssssss
sq
sss
ssT
sR
sY
)(trXX
1
5
0
500
2020
063
325321
s
k
s
k
s
ksT
sR
sY)(
)(
)(
Xy 001
Autre solution: forme canonique diagonal
301020 321 kkk
9/16
-20
)(trXX
1
1
1
300
020
005 Xy 301020
La forme canonique diagonal
10/16
Exemple Contrôle du pendule inversé
11/16
),,,(),,,( yyxxxx 4321
0 )(tumlyM
02 mglmlyml
À l’équilibre: des forces = 0 des couples = 0
042 )(tuxmlxM
0342 gxxlx
)(tumgxxM 324xl Éliminant des 2 équations
mM De l’autre côté, puisque 2xÉliminant des 2 équations
034 )(tuMgxxMl
12/16
)(,
)(,
tuMl
xl
gxxx
tuM
xM
mgxxx
1
1
3443
3221
Ml
MB
lg
MmgA
/
/
/
)/(
1
0
1
0
000
1000
000
0010
13/16
3.6. La fonction de transfert à partir de l’équation d’état
Considérant un système SISO (Système à 1 entrée et 1 sortie)
BuAXX
CXy Équation différentielle d’état
Équation de sortie
Noter que u, et y sont des scalaires(Système à 1 entrée et 1 sortie)
)()(
)()()(
sCXsy
sBusAXssX
)()()(
)()()(
)()()(
sBussX
sBuAsIsX
sBusXAsI
1
)()()( sBusCsy
BsCsG )()(
14/16
Exemple Fonction de transfert d’un circuit RLC
BuAXX
CXy Équation différentielle d’état
Équation de sortie
RC
CB
LRL
CA
0
0
1
1
10
/
//
/
LRsL
CsAsI
//
/
1
1
LCs
L
Rss
sL
CLRs
sAsIs
1
1
11
2
1
)(
/
//
)()()(
0
11
1
0C
s
s
sL
sCs
LRs
RsG/
)()(
)()(
/
)( LCs
LR
s
LCRsG
12
/)(
Ce qui correspond parfaitement avec le résultat vue avec la méthode de graphe de fluence (Chapitre II)
15/16
3.7. La réponse temporelle et la matrice de transition d’état
16/16
dBUtXttXtXt
)()()()())(()(
0
1 0
Il est important de connaître la réponse temporelle des variables d’état d’un système asservi pour examiner ses performances.
La réponse transitoire d’un système peut être obtenu en évaluant la solution d’équationdifférentielle du vecteur d’état. Dans la section 3.3, il a été montré comment obtenir une telle solution:
Si les conditions initiales sont connues, ainsi que l’entrée et la matrice de transition, la réponsetemporelle de X(t) peut être évaluée numériquement.
La principale difficulté est comment évaluer la matrice de transition (t), qui représente la réponse du système.
L’utilisation de la technique de graphe de fluence est considéré comme un moyen pour résoudreet aboutir à une telle évaluation.
2/14
3.8. Discrétisation de la réponse temporelle
BuAxx T
txTtx )()(~
)()()(])1[( kTTBukTxITATkx kTt
Approximation d’Euler(pour T infinitésimale)
ITATP
kTBukxTPkx
)(
)()()()1(
)(0
/1
//1
/10tu
CX
LRL
CX
Exemple 1
)(0
2
31
20tuXX
sT 2.0Pour )(2.0)()2.0()1( kBukxIAkx
)(0
4.0
4.02.0
4.01tuXX
3/14
6.0
6.0)0(
4.02.0
4.01)1( XXÀ t=T (ou k=0)
36.0
36.0)1(
4.02.0
4.01)2( XXÀ t=2T (ou k=1)
Etc.
Pour u=0, et
0
0)0(X
Voir plus loin le résultat de la simulation avec MATLAB
),,( tuxfx
T
txTtx )()(~
Butxfx ),(
Buxfx )(
Sys. Non-lin.
Sys. Non-lin.(mais linéaire avec u)
Sys. Non-lin. stationnaire(mais linéaire avec u)
Méthode de discrétisation est nécessaire
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3.9. Analyse des modèles à variables d’état avec MATLAB
BuAxx
DuCxy Systèmes SISO
Nous allons considérer les fonctions suivantes: ss, lsim, et expm.
représentation par fonction de transfert (avec la fonction tf) représentation d’état (avec la fonction ss)
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6/14
Exemple6168
68223
2
sss
ss
sR
sYsT
)(
)()(
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Diagramme bloc correspondant
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dBUtXttXtXt
)()()()())(()(
0
1 0
)exp()( Att avec
Comment évaluer la matrice de transition d’état avec MATLAB
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Exemple
BuAXX
CXy Équation différentielle d’état
Équation de sortie
0
01
0
2
31
20
D
C
B
A
0
1
10
)(
)(
tu
XAvec
À l’instant t=0.2s
67030
67030
1
1
5219014840
296809671002020
.
..
..
..)()..().( XX
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Évaluation avec la fonction LSIM de MATLAB
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