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SPHERES - BOULES
1- Définition
La sphère de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace situés à une distance de O égale à R.
O
D
A
B
C
E
A, B, C et D appartiennent à la sphère.
[OA], [OB], [OC] et [OD] sont des rayons de la sphère.
OA=OB=OC=OD
Définition
La boule de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace situés à une distance de O inférieure ou égale à R.
O
D
A
B
C
E
A, B, C et D et O appartiennent à la boule.
Tous les points de [OA] appartiennent à la boule
E n’appartient pas à la boule.
Définition
Un grand cercle d’une sphère de centre O et de rayon R est un cercle de centre O et de rayon R .
O
D
A
B
C
E
[AC] est un diamètre du grand cercle rouge
[OD] est un rayon du grand cercle vert
Exemples de sphères
Un réservoir de gaz
Une lampe à plasma
Exemples de sphères
Des ballons
Des balles
Des bulles
Exemples de boules
2- Aire
24 RL’aire d’une sphère de rayon 7 cm (en cm²) :
196²744 2R
L’aire d’une sphère de rayon R est égale à :
²44,615 cm
Volume
3
3
4R
Le volume d’un boule de même rayon 7cm (en cm3) :
3
13727
3
4
3
4 33 R
Le volume d’une boule de rayon R est égale à :
34361 cm
Section d’une sphère par un plan
La section d’une sphère par un plan est un cercle
La section d’une boule par un plan est un disque
Remarque
Si le plan passe par le centre de la sphère, la section est un grand cercle
Remarque
Si le plan et la sphère n’ont qu’un point commun, on dit que le plan est tangent à la sphère.
3 - Construction
Pour dessiner une sphère en perspective :
- On trace un cercle
- On trace à main levée
une ellipse dont une
moitié en pointillé
(un grand cercle)
3 - Construction
Pour dessiner un autre grand cercle :
-On place deux points
-diamétralement opposés
- On trace à main levée
une ellipse dont une
moitié en pointillé
Qui passe par les deux points
Exercice
Quel est la nature du triangle AOC ?
O
A
B
[OA] et [OC] sont des rayons
de la sphère donc OA = OC
Donc AOB est isocèle en O
On sait que :
C appartient au cercle de diamètre [AB]
CQuel est la nature du triangle ABC ?
Or si dans un cercle, un triangle a pour sommet les extrémités d’un diamètre et au autre point de ce cercle alors ce triangle est rectangle en ce point
Donc ABC est rectangle en C
4- Méthode
La section de la sphère S de centre O et de rayon 4 cm par le plan P perpendiculaire à (OA) est le cercle de centre A et de rayon AB.
O
A B
[OB] est un rayon de la sphère.
OB=4 cm
P
La distance de O à P est OA = 3 cm
OAB est un triangle rectangle en A
Méthode
O
A BP
OAB est un triangle rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore : OB²=OA²+AB²
7
7916²
²3²4²
²²²
AB
AB
AB
OAOBAB
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