Sur la distribution des solutions des équations du type “norme-forme”

Acta Mathematica Academiae Seientiarum Hungaricae Tomus 26 (1--2), (1975), 135--142.

SUR LA DISTRIBUTION DES SOLUTIONS DES t~QUATIONS DU TYPE -NORME-FORME"

Par K. GYORY et A. PETH() (Debrecen)

1. Introduction

Soient a~, ... , a,, (m~2) des 616ments fix6s d 'un corps de nombres alg6briques K de degr6 n ~ 2 et de rang r -~ l (voir ci-aprbs). Consid6rons les solutions xl , . . . , x,,,CZ de l '6quation

0) N o r m ~ / o ( x 1 a 1 @ . . . -~ x mare) = a (0 r a C Q), a

6tudide par de nombreux auteurs. I1 suffit de consid6rer les cas off al . . . . , a m sont des entiers Q-lin6airement ind@endants et aEZ. On sait que d'apr~s un th6or~me r6cent de W. M. SCHM~OT [11] (1) poss6de une infinit6 de solutions pour un a E Z si, et seulement si le module M = {al, .. . , ~,,,} est ddg6n6r6 (volt [11] ou [4]). Dans [12] W. M. SCHgIDT a d6montr6 que toutes les solutions c~CM appartiennent seule- ment g u n nombre fini de familles de solutions.

Nous 6tudions dans cet article l '6quation (1) dans le cas classique o/1 rang M = = deg K = n, c'est-~-dire o/1 le module est complet. I1 est connu (voir [4]) que dans ce cas, s'il y a une solution xl . . . . . xnCZ, alors il en existe une infinit6. De plus, on peut ramener la recherche des solutions xl . . . . . xn~Z de (1) ~t celle des unit6s de norme + 1 de l 'anneau des coefficients ~ u du module M, et h celle d 'un hombre fini d'61dments a E M de norme a e t deux/ t deux non associ6s. Mais la construction des unit6s fondamentales des l 'anneau des coefficients est un probl6me compliqu6. Par cons6quent il semble int6ressant d'6tudier l 'ordre de grandeur du nombre PM (N) des solutions xl . . . . . x, ~ Z ayant la propri6t6 max (]xi])<= N. Comme K n'est

1--<i<:n

pas quadratique imaginaire, on a PM(N)=O ou P M ( N ) - ~ pour N ~ . Dans le cas n = 2 l 'ordre de grandeur de PM(N) est connu, grace au r~sultat

de S. LANG [5], [6] concernant l 'approximation des hombres quadratiques r6els (voir [5], [6], [9]). Darts le cas n = 3 G. BABAEV [1], [2] et A. PETH(~ [9] ont obtenu des r6sultats sur la distribution des solutions de (1) pour des modules M et pour des corps K sp6ciaux. Darts ce travail, nous d6terminons l 'ordre de grandeur de PM(N) pour des corpg de hombres atg6briques arbitraires /~ l 'aide des estima- tions de C. L. SIEGEL [13] concernant les unit6s ind6pendantes des corps de hombres algdbriques.

Nous introduisons d 'abord quelques notations. D6signons par H(ei) la hauteur du nombre alg6brique as et soit H _ -> max H(c~z) une constante. D6signons par s e t

2t respectivement le nombre des conjugu6s r6els et non rdels de K dans C et soit

1 Z et Q d6signent respectivement l'anneau des entiers rationnels et le corps des hombres ration- nels.

A e t a Ma~heraat~ca A c a d e m i a e Sc~er~tiarum Hungar~cae 26, 1975

136 K. G Y O R Y ET A. PETH()

s + t - - l = r le rang de K. Soient

(2) cl = (Ha/2na2-~/~) -~"('-1) et c2 = d"(a)(4n~H) 3" (r >= 1),

off d(a) d6signe le nombre des diviseurs positifs de a. Avec ces notations on peut 6noncer notre th6or6me sous la forme suivante:

TIq~OR~ME. Soit M = {~ . . . . , %} un module complet d'un corps de hombres algdbri- ques K de degrk n e t de rang r>=! et soient ~1 . . . . . % des entiers de hauteur <=H. Supposons que (1)possdde une solution en entiers rationnels pour un aEZ. Alors pour le hombre de solutions P.v, (N) on a

(3) c~ log' N <= PM (N) -<_ c2 log ~ N,

gt condition que log N>=2c[1/~+21og lai) n

REMARQUE 1. Si 1111 module M = {~.1 . . . . , %,} est non-d6g6n6r6 dans K, alors Pea(N)=O(1) pour tout aEZ (voir [11]). Si M est d696n6r6, si (1) a une infinit6 des solutions pour un aEZ et si nous connaissons le maximum r des rangs des sous- corps L pour lesquels il existe une (M, L)-famille infinie de solutions, on peut d6duire (3) d'une mani6re analogue m~me dans ce cas g6n6ral a (avec d'autres constantes ca, c.,>0 non effectives) ~t l'aide du th6orame mentionn6 de W. M. SCHMIDT [12].

REMARQUE 2. Si le module M = {e~, ..., %} eat complet et re>rang M = n , on peut 6galement obtenir des estimations pour PM (N) comme cons6quence de notre th6or6me.

2. D~monstrafion du th~or~me

Dans ce qui suit soit K un corps de nombres alg6briques de degr6 n e t soit D K la valeur absolue de son discriminant. D6signons par s e t 2t le nombre des conjugu6s r6els et non r6els de K et soit r = s + t - 1 . Soient K (1) . . . . , K (') les conjugu6s de K index6s de telle mani6re que K (1), . . . , K (s) soient r6els et K (s+0, K (s+t+O (1 <= i<= t) soient conjugu6scomplexes. Enfin, pour k<=s soit ek= 1 et pour s<k<=n soit ek = 2.

LEMME 1 (C. L. SIEGI~L [13]). Si r-~ l, il existe clans K des unitds ind@endantes ql , ... , ~7~ telles que

{ I (4) ek ilogl'l~k)]l "< 3 51ogD~; "-~ 2n- -2 ] /D-7=ca ( k , l = l . . . . , r) . r - -1

La valeur absotue des termes de l'inverse de la matrice (ek log lq[ k) [) est <= 10t ( r - 1) e .4

Soit M un module complet dans le corps K et consid6rons tous les 616merits ~CK pour lesquels czMC=M. Ces ~ forment un ordre NM qui s'appelle l'anneau des

On peut donner une cons tan te el > 0 qul dSpend de a I aussi mais dans une fo rme assez com- pliqu6e.

a Note ajout& aux dpreuves. R 6 c e m m e n t n o u s avons d6mont r6 que P ~ x ( N ) = c , l o g + N + + O ( l o g r - l N ) . Si M est complet , la cons tan te c > 0 est effectivement calculable.

r - 1

4 Si r = l , on peu t prendre 1 au lieu de ( r - l ) '''h .

Acta Mathematica Acaclem~ae Scient iarum Hungaricae 26, 1975

SUR LA DISTRIBUTION DES SOLUTIONS DES I~QUATIONS 137

coefficients de M ([4]). D6signons par DM ! a valeur absolue du discriminant de M et soit OK l 'anneau des entiers de K.

LEMME 2. Soit M ~ 0 K un module complet. Si r ~ i , dans ~ il existe des unit~s indgpendantes e~, ..., e~ de norme 1 telIes que

(5) [logle}g)]] ~ 2ca(Dd(D))"-a= e~

o/t

(i, k = 1, . . . , r),

DK"

REMARQUE. Si M'=c~M &~K), alors ~ ' = N M - Par cons6quent, notre pro- position est vraie pour chaque module M complet, en supposant que D~ d&igne la valeur absolue du discriminant d 'un module M'C= OK off M'=c~M (c~EK).

D~MONSTm~TION. En cons6quence de M ~ OK on a DM=D2.D~, off D E Z est l'indice du module M.

Soit t/c OK une unit& Nous allons d6montrer qu'it existe un hombre naturel t', tel que t/t~N~. En effet, la valeur absolue du discriminant du module t/ZM est ]D(t/'M)]=DM=D2.DK pour tout /, c'est-~-dire que l'indice de t ous l e s modules qtM est 6gal/t D. Soit wl . . . . . w,, une base d'entiers de K et soit M ~ O K un module complet arbitraire d'indice D. Darts M il y a une base cq, .. . , % de la forme

(6) ~i = a i l w l + . . . +auwi (i = 1, . . . , n),

off a~kC Z (i, k = 1, . , . , n),

(7) all ... a,~ = D

et

(8) 0 <= a u < a z

pour chaque 1 <=j<=i-i (voir [7]). Soit D=pf~...p~. la d6composition de D e n nombres premiers. I1 est connu que le hombre de solutions de (7) en hombres

. & ( f l ~ + n - - l ~ naturels est / / [ n 1 j . On peut montrer par r6currence s u r n que l 'on a

"r

{ f l ~ : n l l ) < = ( / ~ + l ) " - x _

/L

pour tout v, par consdquent le hombre de solutions de (7) est ~ M ( /~+ 1) "-~ =

=(d(D))" -L En plus, en fixant une solution au, ..., a,,,, le nombre de solutions de (8) en a~j (1 <=j=z'< - 1) est

< n--l~n--2 = a l l -22 . . . a . _ l , . _ a --<-- (all ... a n . ) " - 1 = D " - I .

Le nombre des modules d'indice D dans OK est doric ~(Dd(D))"-L 1,1 en r6sulte qu'il existe un nombre entier l<=l<=(Dd(D)) "-~ tel que ~I~M=M, dof f t/IC~ M.

Soient th, .. . , t/~ des unit& satisfaisant aux conditions du lemme 1 et soient 11 . . . . , l~>0 des nombres pairs tels que

t< l i<=2(Dd(D) ) "-~ et ~ i = @ C N M ( i = l . . . . , r) .

A c t a Ma~hernatica A c a d e m i a e Scient iaru~n Hungar~cae g6, ~975.

1 3 8 K. GYORY ET A. PETHO

e~ . . . . , e, sont inddpendants dans ~ et, d 'aprds le temme 1, on obt ient Ntqo (ei)= 1 ( i -=1, . . . , r ) et

[logle?)l{ --/,[logl~}k)l] <-_ Z~c~ <= 2ca(Dd(D)) "-~ (i, k = 1 . . . . , r).

Dans ce qui suit d~signons par h (e) le m a x i m u m des valeurs absohles des con- jugu~s de ~.

LEMMI? 3. Soit g~ M , INKIQ (p)] = a et soient el, ..o, e~C Or des unit~s ind@endantes pour lesquelles on a Ilog ]e} k) II < c~ (i, k = 1 . . . . , r). II existe des nombres entiers ration- ee l s al , . . . , a,. et p ' r K tels que

(9) # = # ' ~ . . . e~ et h(#') ~ a~/ 'exp {r~c~}.

D~MONSa'~ATmN. Voir [3], p. 188 et 205.

DI~MONSTRATION DU THI~OR~ME. Supposons que (1) adme t une solution p~CM. N o u s allons minorer d ' abo rd le n o m b r e de solutions PM(n). Soient e~ . . . . , e ~ M des unit6s qui satisfont aux condit ions du lemme 2. Alors, d 'apr~s le l emma 3, ~I existe des nombres entiers rat ionnels a~ . . . . . a, tels que

(10) # # ~ . . . e~ , ~ M

et

(11) h(#') ~ laI~/"e'~'~ = c6.

Fixons une solution # ' ~ M avec Ia propri6t6 (11) et cons id&ons routes los solutions # de la forme (10), off a~ . . . . . a~ sont des nombres entiers rat ionnels tels que

log (N/c7) .(12) lai[ <= ( n - l ) r . l o g h ( e i ) (i = 1 . . . . , r)

avec u n e constante c~>0 qui sera d6termin6e ult~rieurement. C o m m e h(1/e~)<= <=h"-~(ei), on a ]e~q<-_(h(ei)) I"~l('-~, et ainsi il r6sulte de (10) que

et log I~,<*~t ~ log h (g') + (n - 1) {la~l log/~/(~1) ~-"" + larl log h(e,)}

=< log c~ + log (N/CT), d'off

(13) ]#(1)[ <= cnN C7

(i = 1, . . . , n).

Cons id6rons la reprdsentat ion d 'un tel # sous la forme

(14) # ~ X l g l - 4- . . . 31-Xn~n,

off x ~ Z pour tout i. On d6duit de (13) et (14)

c~N

C7 (i = 1 . . . . , n).

A e t a M a t h e m a t i c a A e a d e m i a e S e i e n f ~ a r u ~ Hungar i cae 26, 1975

SUR LA DISTRIBUTION DES SOLUTIONS DES EQUATIONS 139

De ce syst6me d'in6gaiit6s on peut ais6ment obtenir une majora t ion pour les ]x,]. En effet, la vaieur absolue du d6terminant de ce systSme est ID(cq, ... , CZn)l l /z= _-na/~.u. En rempla9ant les 616ments de la k-i6me colonne par u o), . . . , p('), en con- s6quence de l'in6galit6 de H a d a m a r d et de (15) on d6duit

-<= s ... I , l - ick

Vu que h (~ )~ nH(~) (voir [3]), on obt ient

et lc zl)12 + . , . • ~(,)j 2<=nh 2 <=n H - ) <=n3H ~

[Dk[ ~ (nS/Z H) "-! ]In c~N C7

Par cons6quent on a

]Xk] - - - - - [Dk] < _

D ~ - of i

( j = 1, . . . , n)

C /-~1/2 7L.,M

~ N (k = 1, . . . , n),

(n3/2 H f1-1 p nc~ (16) c7 = D ~ 2

T o u s l e s # = x 1 a~ + . . . + x, ~, consid6r6s satisfont donc ~ (1) et ~ ]Xk[ <= N (k = 1, . . . , n). Or, le n o m b r e de ces # est sup6rieur ou 6gat au nombre des al . . . . , a~ consid6r6s, d 'oS, en tenant compte de tog h(ei)<=rc~_, on obt ient

p M ( N ) > = k l 2 " l ~ i=1 (r(n-- 1) log h(el)j

[ 2 ]r ~ 1 [ _logcT]r>_(r~(n_l)c4)_rlogrN, = [ ~ ) J = / I o g h @ i ~ l o g r U [ 1 l o g U ) -

condit ion que log N=>2 log c7. En cons6quence, vu que

D~ ~ c3-<2*(logDK)"-IV'~ et D - - D~2'

o n R

3

c4 = 2c,(Dd(D))'-l < 2c3(2D3/2) "-1 2 "+3 D~("-i)' < ~ (log DK) n-1 I/OK. D~M(,- 1)

De plus, il r6suite que n

DM = [ D ( ~ I , . . . , , , )1 <= f-/([a(1)_, 2 . , . . . + la},)]~) <= (nSH2) , j = l

A c t a M a t h e m a f i c a A e a d e m i a e S e ~ e n ~ i a r u m H u n g a r i c a e 26, !975

140 K. GYORY E T A . PETH0

et, d'apres l'in6galit6 de Minkowski,

/ i

D K > 27zrte11~n .

On d6duit de DK~5 et des estimations obtenues que log DK~D~ 8 et

8 1

(r2(n - 1)q)" --<= (//~ na2--5) " ("- ' ) , et finalement

8 1

PM(N) > logaN.

On majore ensuite ie nombre de solutions P~t(N). S o i t / l=x ~cq + ... + x , ~ , C M une solution arbitraire de (1) telle que max (t&I)<=N. Vu que p~OK, et en vertu

l~_i<=n du lemme 3, il existe un #'COK pour lequel

(17) ,u = #'t.,~ ... ~/~, (a~CZ; i = 1, . . . , r)

et h(#') <= lall/"e'% = c8

avec les unit4s ~1, ..-, ~b consid6r6es dans le lemme 1. Nous donnons d 'abord une majoration pour le nombre des /z'~ OK de cette

sorte, deux h deux non associ6s. I1 est connu (voir [4]) que dans K le nombre des entiers de norme • et deux a deux non associ6s est <=(d(a))". D6signons par I l'indice du sous-groupe engendr4 par rh, . . . , ~b et par les racines de l'unit4 de OK dans Ie groupe des unit6s de O K. On a I=Ro /R , off R d6signe le r4gulateur du corps K et

R0 = [det (eklog Iq[k) l)],,k=a ....... .

On obtient ais6ment R0<_-(l/rca) ~. En plus, en d6signant par w le nombre des racines de l'unit6 dans K, d'aprSs un th6oreme de R. REMAK [10] on a

2n+s-1-. w

~/tT-+s.~z-2"-2-1.3.5 ... ( n + s + 1) oh

. Y /

m m / = l o g 2 , 2 r c / pour s=>l , tVs + t I

2 = min log 2, 4re pour s = 0.

I1 en r6sulte, apr~s un petit calcul, que 8v

I <= (2

Le nombre des #" consid6r6s ci-dessus (dont le quotient n'est pas de la forme (q~... i~ r oh ( racine de l'unit6) est donc

8r

<= c0.

Ac~a Ma~hemat ica A c a d e m i a e Sc ien$iarum Hungar icae 26, t975

SUR LA DISTRIBUTION DES SOLUTIONS DES I~QUATIONS 141

Prenons les conjugu6s de (17) et prenons la vateur absolue des nombres obtenus

lu<'~l = lu'<'>l. 1~<~ ... I ~ 1 a~ (i = 1, . . . , n), d'ofl

08) a~ei log I~1<01 + .... + a~ei log [t/}0[ = e~ log Ip(i)] - ei log [/~'(i)[.

Vu que

on obt ient

]/~(0[ [ 1( . ~ ~(~)z < Nn max h(~k) <= n~HN, -~- XI~ /)--~ ... q-~n~n [ = l<=k<= n

' I ~ 1 glP II l1 1~ II 211 g[#'(i)[l < l e~log ( O _ e ~ l o ,(o <=2 og (~) + o = J

--<_ 2 (n - - 1)[logn2HN+logcs] (i = 1 . . . . , n).

En cons6quence du lemme 1, de (18) il r~sulte donc que

et

r - 1

[aki <= 2 r ( n - 1)(log n2HN+ log cs) l O t ( r - 1) 2

PM(N) <= C9W(2C10+ 1) r.

=c~0 (k = l, . . . , r)

Mais , d ' apr~s un thdor6me de O. ORE [8] W<=2DK. Ainsi, si

1ogN => n 3~ H 2 + - - log [a[ = c1!, /7

on peut d6duire des es t imat ions obtenues

Vu que

c9w(2c~o + t) ~ ~ d"(a)(4n3H) 3~" 1ogr N.

2c;1/, + 2 log [a[ > c1~, 2 log c7, (3) est d~montr6 pou r /1

l o g N _-> 2ci-i/' +2log la[. t/

B i b l i o g r a p h i e

[1] F. 13a6aes , Pacnpe/~eaei-me ~e:-~rx To'~er i~a HeKOTOpI, LX HOpMermbIX rIoBepxHocTsX, /:[OKd ,4na~. HayK C C C P , 134 (1960), 13--15.

[2] F. Ba6aeB, Pacnpe~eaenue lr moueK na aaee6pauuecKux noaepxnocmax (~ymaH6e, 1966). [3] A. BAKER, Contributions to the theory of diophantine equations, Philos. Trans. Roy. Soc.

London, A 263 (1968), 173--208. [4] S. L BOREWlCZ--I. R. SAFAREVI~, Zahlentheorie, Birkhfiuser Verlag (Basel urtd Stuttgart,

1966). [5] S. LANG, Asymptotic approximations to quadratic irrationalities I and II, Amer. J. Math. ,

87, (1965), 481--496. [6] S. LANG, Introduction to diophantine approximations, Addison-Wesley Pub/. Comp., 1966.

Acta Ma~hernatica Academiae ScSentiavum Hungar~ca~ 26, 1975

' I42 •. GYORY ETA. PETHO: SUR LA DISTRIBUTION DES SOLUTIONS DES EQUATIONS

[7] T. NAGELL, Contributions ~t la th6orie des modules et des anneaux Mg6briques, Arkiv f6r Mat., 6 (1965), 161--178.

[8] O. Om~, Les corps a l#br iques et la th6orie des id6aux, Mdmorial Sei. Mhth., 64 (Paris, 1934). [9] A. PETH6, Ober die Darstellung der rationalen Zahlen durch zerlegbare Formen, Publ. Math.

Debreeen, 21 (1974), 31--38. [10] R. REMAK, Llber die Absch/itzung des absoluten Betrages des Regulators eJnes algebraischen

Zahlk6rpers nach unten, Y. Reine Angew. Math., 167 (1932), 360~378. [11] W. M. SCnMIDT, Some recent progress in diophantine approximations, Acres Congr. Int. des

Math., Vol. I. (Nice, 1970). [12] W. M. SCnMmT, Norm form equations, Annals o f Math., 96 (1972), 526--551. [13] C. L. SIEGEL, Absch~itzung yon Einheiten, G6ttingen Nachriehten, 9 (1969), 71--86.

(Re~u [e 18 ddcembre 1973.)

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