Sur la solution de l'équation de boltzmann relativiste sans collisions en présence de...

Acta Physica Academiae Scientiarum Hungaricae, Tomus 23 (2), pp. 247--250 (1967)

SUR LA SOLUTION DE L ' • DE BOLTZMANN R E L A T I V I S T E SANS COLLISIONS

EN PR• DE CERTAINS CHAMPS EXT•

I. ABOI~YI

INSTITUT DE PHYSlQUE TIt• DE L'UNIVERSIT• ROLAND EOTV0S, BUDAPEST

(Re~u le 17 u 1966)

Consid› un systeme de particules identiques dou› de masse au repos m 0. Ce systeme soit soumis/l une force ext› dont le quadriveeteur foree se d› d'un potentiel scalaire ~ (x):

F~ = -- 0~ ~ , (1)

oh 9i repr› le quadrivecteur gradient par rapport aux variables de posir tion de l'espace-temps. (Dans ce qui suit, la sommation est sous-entendue su- les indices r›233233 de 1 /i 4, et x~ = ict.)

Nous nous int› au probleme de l 'int› de l '› de Boltzmann relativiste pour le cas oh l 'interaction mutuelle des particules peut ~tre n›233 (par exemple /l cause de la densit› tres faible). Cela veut dire que le systeme sera d› par l '›

(p~O~ + moF i v i ) f ( x , P ) : O, (2)

oŸ f ~-f(x, p) est la fonction de distribution qui d› de quadrivecteurs position xr et impulsion pr, et le symb61e Vi signifie le quadrivecteur gradient dans l'espace des Pr. [1]

II est bien connu (cf. par exemple [2]) que pour les partieules libres, on d› la forme fonctionnelle de la solution de l '› (2) ~ partir d'un >>th› H<{ en faisant l'usage des invariants simples de collision. Nous accepterons pour notre cas aussi que le nombre des particules et le quadrivee- teur de l'impulsion sont conserv› c'est-h-dire nous allons construire la solution de (2) sous la forme

f ( x , p ) = exp {x(x) "3f-flr(X)pr}, (3)

oŸ les fonctions cr (x) et q jouent le r6le des multiplicateurs de Lagrange correspondant aux quantit› conserv› e t ~r~r < 0 pour assurer la conver- gence des int› qui donnent les moyennes. Ici

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flr : (k T) -1 Ur,

oh Ur est le quadrivecteur vitesse hydrodynamique, T la temp› absolue, k la constante de Boltzmann.

La substitution de (3) dans (2) nous donne

PrOr~ (x) -~- Pr Ps Or ~s (X) -t- mo Fr~r (X) : O . (4)

Si l 'on exclut la rotation du syst~me comme corps rigide, rotation qui pent ~tre cach› dans les param~tres flr, ii he faut retenir des solutions de

0r~,(x) + 0,~r(x) = 0 (5)

que les quatre fir ind› du quadrivecteur position. Ce qui reste de l ' › (4) peut ~tre trait› en multipliant par f ( x , p)

et en int› sur l'espace des impulsions. Ainsi on obtiendra l '›

S p , f do~.Ora(X) - mo(Or qS) flr S f dto = O, (6)

oh d o) est l '›233 invariant de volume dans l 'espace des impulsions [2]. • donn› que par d›

m o U r (X) -~- ~p~fdo9 (7) Sf d,o

on a tout de suite (x) = (k T) -1 (~ (x) (8)

une constante additive pros. Finalement la fonction de distribution prend la forme

1 f ( x , p ) : exp - ~ { p r l � 9 1 - (~(X)} (9)

un facteur de normalisation pros. Dans un repare sp› oh le syst~me est au repos macroscopiquement,

l 'exponentielle se r›

exp {-- 1 ~ ( E A- q~)}, (10)

ofi E est l'› totale de la particule. Dans ce repare, les modifications rela- tivistes (sauf celle de la masse au repos) viennent de la forme invariante de l '›233 de volume d ~o.

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SOLUTION DE L'• DE BOLTZMAN~q ]~ELATIVISTE 249

Malheureusement, la g›233 de la solution maxwellienne ne se laisse pas r› quand le systbme est soumis ~ un champ ›233 oh le quadrivecteur forec pond› est

e f f i . . . . Fil~ptc avec F.~ = Ot~ A i - - 0 i AI~ �9

m o c

(11)

Ici A i (x) repr› le quadrivecteur potentiel. En effet, la condition d'exis- tence d'une solution de la forme (3) de l '› de Boltzmann

s'›

( psO s + e Fikp ,r } f ( x , p ) = 0 (12) C

e p~0~~ (x) + PrPsOsflr(x) § -- FikPk ~i(x) = 0 .

r (13)

Si l'on veut exclure la rotation rigide du syst~me, on doit poser (5) et ne retenir que des fli ind› du quadrivecteur position. Ainsi l 'on a

p~{~s~(x)+ eFi~(X)c f l i } = 0 . (14)

Donc, afŸ que cette › puisse 6tre satisfaite pour n'importe queUe valeur de pr, ii faut que selon l '›

O s ~ (x) = - - e Fi~ (x) fli (15) C

l'expression Fis (x) fli soit un quadrivecteur gradient complet. Cela veut dire que le tenseur

G~~ - - (0~ O~ - - 9 s 0~) ~r (x) = e di (0~ Fi~ (x) - - O~ Fis (x)) r

doit disparaitre pour n'importe quelle paire d'indices r,s. Cette relation peut ~tre ais› mise sous la forme:

fli•i Frs (x) = 0. (16)

A cause de (16), une solution de la forme (3) de l ' › de Bo l t zmann relativiste (2) ne peu t exister que pour les champs F,s (x) qui sont constant sur les lignes d 'univers .

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• donn› que flr est parall~le h Ur, dans un repare ofi lc syst~mc est mac roscop iquemen t au repos, (15) a la forme

~~ ~ ( x ) = - F ~ ~ / ~ ~

ou a u t r e m c n t dit, Frs ne peu t �91 q u ' u n champ tel, dont les composan tes magn› s ' annulent .

BIBLIOGRAPHIE

1. I. ABoN~x, Cahier de Physique, N os 171--172, 461, 1964. 2. W. IS~tAEL, Journal of Mathematical Physics, 4~ 1163, 1963.

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