TD Généralités sur les Fonctions

Terminale S TD - Maths

TD - GÉNÉRALITÉS FONCTIONS

I Exercices d’application

Exercice I.1. ⋆ 10 min

Montrer que la droite d’équation x = −1 est un axe de symétrie de la courbe représentativedans un repère orthogonal de la fonction f définie sur R par :

f(x) =4x2 + 8x+ 1

3x2 + 6x+ 4.

Exercice I.2. ⋆ 10 min

Montrer que le point I de coordonnées (1; 1) est un centre de symétrie de la courbe représentativedans un repère orthogonal de la fonction f définie sur R\{1} :

f(x) =x2 − 3

2x− 2

Exercice I.3. ⋆ 10 minSoit f la fonction définie sur R par : f(x) = x− 3 cosx.Montrer que l’étude de f peut se faire sur [0; 2π].Préciser la transformation à utiliser pour compléter la représentation graphique de f .

Exercice I.4. ⋆ ⋆ 15 min

Soit f la fonction définie sur R par : f(x) =sin x

1 + sin2 x.

Étudier la parité et la périodicité de f .Calculer f(π − x).Qu’en déduit-on ?

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Terminale S TD - Maths

II Exercices d’entraînement

Exercice II.1. ⋆ ⋆ ⋆ 60 min

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = cos (3x)− 2 cos3 (x).On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;~i,~j).

1. a. Montrer que pour tout x ∈ R :

sin (3x) =(

4 cos2 (x)− 1)

sin x et cos (3x) = 4 cos3 x− 3 cosx.

(

On pourra écrire que sin (3x) = sin (2x+ x) et que cos (3x) = cos (2x+ x))

.

b. Résoudre l’inéquation cos (2x) > 0.

2. a. Montrer que f est périodique de période 2π.

b. Montrer que f est paire.

3. a. Montrer que pour tout x ∈ R : f ′(x) = −3 cos (2x) sin x.

b. Étudier les variations de f .

4. a. Montrer que pour tout x ∈ R : f(x) = (2 cos2 x− 3) cos x.

b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de Cf avec l’axe des abscisses.

5. Représenter Cf sur l’intervalle [−2π; 2π].

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