TP9: Equations différentielles II. Rappels Résolution d’équations différentielles linéaires...

TP9: Equations différentielles II

Rappels Résolution d’équations différentielles linéaires

homogènes à coefficients constants Exemple d’enoncé: Ay’’+By’+Cy=0 Remplacer y par

Résoudre l’équation

Rechercher le delta Si delta=0=> exponentielle multipliée par un polynôme de degré égal au

degré de l’équation différentielle moins 1

Si delta>0=> somme des exponentielles des li multipliée par un coefficient constant

Si delta<0=> somme des sin et cos des parties imaginaires des racines multipliées par l’exponentielle de la partie réelle des racines et par un coefficient constant

xe

0² xxx CeeBeA 0)²( CBAe x

)( EDxey x

xx EeDey 21

)cossin( IxBIxAey Rx

Rappels

Point d’équilibre Déplacement vers la droite si est supérieur à 0,

vers la gauche sinon. Ce point est stable si lorsqu’on prend la limite de la

fonction en l’infini, on converge vers ce point, pour une condition initiale fixée en un point suffisamment proche du point d’équilibre

x

A. Exercices supplémentaires

Analyser les équations suivantes graphiquement. Déterminer tous les points fixes, classifier leur stabilité et esquisser un graphe des fonctions solution sur R+. Ne pas résoudre les équations.

tracer le graphique

16²4 xx

droite la t versdéplacemen positivefonction gauche la t versdéplacemen négativefonction

A. Exercices supplémentaires

tracer le graphique

³xxx

A. Exercices du syllabus

173 a) y’’-9y=0

c)y’’+6y’+9y=0

f) 0²

² y

dx

dy

xd

yd

09² xx ee 3 xx BeAey 33

096² xxx eee 3 xeBAxy 3)(

0² xxx eee ²3341 i2

3

2

11 i

2

3

2

12 i

2

3et

2

1

)2

3sin

2

3cos(2

1 xB

xAey

x

B. Exercices du syllabus

177 déterminer y tel que y(0)=0 Y’’=-y’

y’’+y’=0

Condition initiale:

0² xx ee 01

12

xBeAy

BA 0 xAeAy

B. Exercices du syllabus

179 a) b)

c) 182

a) b) c) condition initiale=

0)1²( xe xBxAy sincos

24

sin4

cos

10sin0cos

BA

BAxxy sincos

xBxAy cossin'

10sin0cos

00cos0sin

BA

BA xy cos (0,1)en maximum

dx

dyy

xAey 0

0xAey

00

xeyA

00

xxeyy

B. Exercices du syllabus

184 0)

1²(

LCL

Re t

CL

LCR

LCL

R

²

4²14

²

²

0²

4²

CL

LCR

0²

4²

CL

LCR

0²

4²

CL

LCR

tL

R

eBAty 2)(

)2²

²4

sin(2

tCL

CRL

AeytL

R

tCL

CRL

L

RtCL

CRL

L

R

BeAey)

2²

²4

2()

2²

²4

2(

C. Exercice supplémentaire

Equation homogène associée

Solution générale:

𝑦 ′ ′+3 𝑦 ′−4 𝑦=0

043² ttt eee 2

5325)4.(49

tt BeAey 4

C. Exercice supplémentaire

Solution particulière

Solution générale

tp ey 2

6

1

tttt eAeAeAe 2222 42.34 1464 AAA6

1 A

ttt BeAeey 42

6

1

C. Exercice supplémentaire

Equation homogène associée

Solution générale:

𝑦 ′ ′+3 𝑦 ′−4 𝑦=0

043² ttt eee 2

5325)4.(49

tt BeAey 4

C. Exercice supplémentaire

(b)Solution particulièretttt eAeAeAe 1043 10431 AAA !!!100

C. Exercice supplémentaire

(c)Solution particulière

(d) solution générale104332 AtAtAAtA

t

t

etAy

etAy

)2(''

)1('

tttt eAteetAetA 104)1(3)2( 105 A

tp tey 2

ttt BeAetey 42

C. Exercice supplémentaire

Equation homogène associée

Solution générale:

𝑦 ′ ′+2 𝑦 ′+4 𝑦=0

042² xxx eee i31

)3sin()3cos( xexey xx

C. Exercice supplémentaire

Solution particulière

xxBxAxBxAxBxA sin13)sincos()cossin(2sincos

xBxAy

xBxAy

sincos''

cossin'

)sin()cos( xBxAy

C. Exercice supplémentaire

Solution générale

xxy p sin3cos2

1323

023

AB

BA

2

3

A

B

xxxexey xx sin3cos2)3sin()3cos(

C. Test

1. Dx-12(x²-1)²(x²+1)³(x²-2)(x²+2)²(x²-4)³(x²+4)

2.90xy=5x²y+xy²+x+y=60 5x+5y+x+y=60x+y=10(x+y)²=100=x²+y²+2xyx²+y²=100-2*5=90

C. Test

3BF non derivable en certain points A ou B ou

EExclusion de E car valeur en 0 différente de 2

Test

4. 40 13 cartes par couleur 52-12=40

5.E

(3x+2)=20x-4