ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД “ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ”

МІНІСТЕРСТВА ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ КАФЕДРА МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

Затверджую: Декан математичного факультету ____________________________

(підпис) Гоменюк С.І. _

(ПІБ) “____”____________ 200__ р. Голова НМР факультету _ _ Стеганцква П.Г. _

(ПІБ)

Схвалено на засіданні кафедри математичного аналізу

(назва кафедри) Протокол № __2__ від “31”_серпня__20_12_р. Завідувач кафедри _Гребенюк С.М. _ ______________

(ПІБ) (підпис)

РОБОЧА ПРОГРАМА

з дисципліни «ФУНКЦІЇ СКІНЧЕННОЇ ВАРІАЦІЇ ТА ІНТЕГРАЛ РІМАНА-СТІЛТЬЄСА» _

Форма навчання денна Курс 2 Семестр 4 _

Організаційно-методична характеристика навчальної дисципліни Шифр галузі, найменування галузі знань, код напряму, напрям підготовки, освітньо-кваліфікаційний рівень

Академічна характеристика Структура

Галузь знань: 0402 – фізико-математичні науки, напрям підготовки: 6.040201 – математика, освітньо-кваліфікаційний рівень: бакалавр

Рік навчання: 2 Семестр: 4 Кількість навчальних тижнів: 16 Кількість годин на тиждень: 3 Статус курсу: фаховий Кількість ECTS кредитів:

українських: 2 європейських: 3

Кількість годин: Загальна: 81 Лекції: 16 Практичні заняття: 16 Самостійна робота: 24 Індивідуальна робота: 25 Вид підсумкового контролю: залік

Робоча програма складена на основі: навчальної програми з курсу «Функції скінченної варіації та інтеграл Рімана-Стілтьєса» для студентів спеціальності 6.040201 – математика, укладеної доцентом Д’яченко Н.М і затвердженої 29.08.2011 р. протокол№1 _

(назва навчальної програми, автори, дата затвердження) Укладач (і) робочої програми Д’яченко Н.М. _ (ПІБ викладача (ів) ____________________________________________________________________________________________________

Запоріжжя 2012

I. ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

МЕТА КУРСУ: систематизація і поглиблення студентами теоретичних відомостей та практичних вмінь з основних і спеціальних розділів курсу математичного аналізу. ОСНОВНІ ЗАВДАННЯ ВИВЧЕННЯ НАВЧАЛЬНОГО КУРСУ: • нагадати означення та теореми стосовно монотонної, неперервної функції та

інтегралу Рімана; • знайомство з основними означеннями, теоремами та їх доведенням про

монотонні функції, функції зі скінченною варіацією та інтегралом Стільтьєса; • прослідити зв'язок між монотонними функціями і функціями зі скінченною

зміною, між інтегралом Рімана і Рімана - Стілтьєса; • продемонструвати умови існування інтеграла Рімана - Стілтьєса; • навчити використовувати здобуті знання для розв'язування задач стосовно

виявлення функцій зі скінченною зміною, обчислення міри множини на прямій та обчислення інтегралу Рімана-Cтілтьєса;

• навчити наводити приклади до означень та теорем.

ЗНАЧЕННЯ КУРСУ: поглиблення знань з математичного аналізу.

Навчальна програма складена згідно ОПП вищої школи за професійним спрямуванням (анотації програм навчальних дисциплін для спеціальності «Математика») У результаті вивчення курсу студент повинен ЗНАТИ: • основні означення та твердження математичного та функціонального аналізу,

алгебри, які використовуються в вивченому курсі; • основні означення та теореми стосовно функцій зі скінченною зміною, міри

множини на прямій та інтегралу Рімана-Cтілтьєса: • як пов'язані монотонні функції і функції зі скінченною зміною, інтеграл Рімана і

інтеграл Рімана - Стілтьєса; • умови існування інтеграла Рімана - Стілтьєса;

ВМІТИ: • використовувати здобуті знання для розв'язування задач стосовно виявлення

функцій зі скінченною зміною, обчислення міри множини на прямій та обчислення інтегралу Рімана-Cтілтьєса;

• наводити приклади до означень та теорем, які демонструють застосування того чи іншого факту або поняття до розв'язання конкретних задач.

МІЖДИСЦИПЛІНАРНІ ЗВ’ЯЗКИ. Даний курс є спеціальним розділом математичного аналізу. Теоретичні знання і практичні навички, надбані при вивченні курсу застосовуються при вивченні функціонального аналізу і теорії міри та інтегралу. Матеріали, що надаються при вивченні курсу, використовуються при виконанні курсових, дипломних та магістерських робіт.

II. ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН ДИСЦИПЛІНИ

№ модуля № нав-х тижнів

№ теми

Теми лекцій, види інших аудиторних занять та самостійної

роботи

Обсяг, годин

Вид модульного і підсумкового контролю та їх рейтингова оцінка

(РО)

1. 1Тема 1. Монотонні функції Лекції: Практичні заняття: Самостійна робота:

1 1 1

2. 2Тема 2. Нульмірні обмежені множини на прямій. Лекції: Практичні заняття: Самостійна робота:

1 1 1

3. 4Тема 3. Диференціювання монотонної функції Лекції: Практичні заняття: Самостійна робота:

1 1 1

4. 5Тема 4. Функції обмеженої варіації Лекції: Практичні заняття: Самостійна робота:

4 4 4

Модуль.

Монотонні

функц

ії. Функц

ії обмеж

еної

варіації.

5. 6Тема 5. Неперервні функції обмеженої варіації Лекції: Практичні заняття: Самостійна робота:

1 1 1

РО підготовки до аудиторних занять та засвоєння теоретичного матеріалу – 6 балів РО підготовки до лабораторних і практичних занять та опанування практичними навичками – 12 балів РО модульний контроль – 12 балів

1 – 11 тижні (1-й півсеместр)

1 модульний контроль (разом по 1-му модулю).

24 30 балів

Тема 6. Інтеграл Рімана-Стілтьєса Лекції: Практичні заняття: Самостійна робота:

6 6 6

Модуль

2. Ін

теграл

Рімана-Стілтьєса

.

6.

______ 7.

Тема 7. Застосування інтеграла Рімана-Стілтьєса Лекції: Практичні заняття: Самостійна робота:

2 2 2

РО підготовки до аудиторних занять та засвоєння теоретичного матеріалу – 6 балів РО підготовки до лабораторних і практичних занять та опанування практичними навичками – 12 балів РО модульний контроль – 12 балів

12 – 17 тижні (2-й півсеместр)

2 модульний контроль (разом по 2-му модулю).

24 30 балів

Разом за два модулі 48 60 балів Індивідуальне завдання 24 20 балів Підсумковий семестровий контроль

Самостійна робота:

9 20 балів

І семестр Разом 81 100 балів

III. СТРУКТУРА І ЗМІСТ КУРСУ 2№ пп .

Зміст теми (лекційні заняття) Кіль- кість годин

Зміст практичних , семінарських ,

лабораторних занять

Кіль- кість годин

Перелік контрольних заходів ,

СР , ІР

Літера-тура

1 2 3 4 5 6 7 1. Монотонні функції

• Означення монотонної функції, стрибка, функції стрибків.

• Теорема про потужність множини точок розриву монотонної функції.

• Властивості функції, що є різницею монотонної функції та функції її стрибків.

1 Монотонні функції 1 [1-7]

2. Нульмірні обмежені множини на прямій. • Означення. Приклади. • Канторова множина та її міра

1 Нульмірні обмежені множини на прямій.

1 [1-7]

3. Диференціювання монотонної функції • Похідні числа. Теорема про існування похідної. • •

•

•

• •

•

Додатність похідних чисел монотонної функції. Леми про зв'язок похідних чисел та верхньої міри образу функцій. Нульмірність множини точок задання монотонної функції, в яких похідні числа нескінченні. Теорема про існування в майже усіх точках задання монотонної функції скінченні похідної. Теорема про сумовність похідної монотонної функції. Теорема про існування монотонної функції з нескінченною похідною в заданій нульмірній множині і скінченою у всіх інших точках. Приклад монотонної неперервної функції, що має нульову похідну в майже усіх точках, інтеграл від якої дорівнює 1.

1 Диференціювання монотонної функції

1 [1-7]

4. Функції скінченної варіації • Означення функції скінченної варіації. • Теорема про варіацію монотонної функції

4 Функції обмеженої варіації. Обчислення повних варіацій функцій обмеженої варіації.

4

1с.р. модульний контроль (колоквіум)

1 т.з.

[1-7]

• Теорема про обмеженість варіації функції, що задовольняє умові Ліпшица і наслідок з неї.

• Необхідна умова обмеженості варіації функції. • Арифметичні операції над функціями обмеженої варіації.• Адитивність повної варіації. • Необхідні і достатні умови для того, щоб функція була

функцією зі скінченною варіацією • Теорема про потужність множини точок розриву функції

скінченної варіації. • Обчислення повних варіацій функцій. Приклади.

Самостійна робота

5. Неперервні функції скінченної варіації. • Теорема про розклад неперервної функції скінченної варіації на різницю двох неперервних монотонних функцій та наслідки з неї.

1 Неперервні функції обмеженої варіації

1 [1-7]

6. Інтеграл Рімана-Стілтьєса. • Означення, приклади та основні властивості інтегралу

Рімана-Стілтьєса. • Теореми про існування інтегралу Рімана-Стілтьєса. • Теореми про зв’язок інтегралу Рімана-Стілтьєса та

інтегралу Рімана. • Обчислення інтеграла Стілтьєса від неперервної функції

по кусково-сталій функції. • Обчислення інтеграла Стілтьєса від неперервної функції

по функції, що має обмежену варіацію і має інтегровну за Ріманом похідну у всіх точках, окрім скінченної кількості..

6 Інтеграл Рімана-Стілтьєсата методи його обчислення

6

1с.р. модульний контроль (колоквіум)

[1-7]

7. Застосування інтеграла Рімана-Стілтьєса. • Деякі відомості із функціонального аналізу: поняття

нормованого простору, лінійного неперервного функціоналу в нормованому росторі та його норми, простір неперервних на відрізку функцій.

• Теорема про застосування інтеграла Рімана-Стілтьєса у функціональному аналізі.

2 Застосування інтеграла Рімана-Стілтьєса. Самостійна робота

2

[1-8]

Разом 16 16

IV. САМОСТІЙНА РОБОТА СТУДЕНТІВ

№ теми ЗАВДАННЯ Література Форма

контролю 1-6 Підготовка до лекцій [1-3] Опитування 1 Навести приклади монотонних функцій,

що мають задану множину точок розриву [1-4] Індивідуальне

завдання 3 Аналоги канторової множини [4] Опитування 4 Обчислення повних варіацій функцій [1,3,4] Індивідуальне

завдання 6 Обчислення інтегралу Стілтьєса [1,3,4] Індивідуальне

завдання 6 Застосування інтегралу Стілтьєса в

функціональному аналізі. [3,4] Опитування

1-6 Підготовка до контрольних робіт [1-4] Контрольна робота

1-6 Підготовка до заліку [1-4] екзамен

V. ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ

Тут N – номер прізвища студента в журналі академ. групи, g – остання цифра номера групи. Якщо – дійсне число, то [ – ціла частина числа t , а { }t ]t [ ]t t t= − – дробова частина числа . t

1. Побудувати монотонну функцію, що має ( 1)N − точок розриву на відрізку [0; ]N g⋅ .

2. Для відображення ( )2xf x gN

⎧ ⎫= + ⎨ ⎬⎩ ⎭

, :f → знайти образи множин 1 2[0; ], ;2 2N NA N A ⎡ ⎤= = −⎢ ⎥⎣ ⎦

і

прообрази множин { } { }1 2 13; ;2gB g B B g⎧ ⎫= = =⎨ ⎬

⎩ ⎭1+ .

3. Знайти похідні числа функції

а) 2

, 0;

( ) , 0; ;, 0 ;

x N xN

f x g x NNx x g x N

⎧ − < <⎪⎪

= = ±⎨⎪ + + < <⎪⎩

б) ( ) cos2

x gf xNπ⎧ ⎫= ⎨ ⎬

⎩ ⎭− в точках ; ;

20Nx N= ± ± .

4. Чи мають функції обмежену варіацію?

а) sin , 0

( )0, 0

N gx xf x x

x

+ π⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

на відрізку [ ; 0,1]

б) 2( ) ( )cos3f x Nx gx= + x на відрізку [0, ]π ,

в) на відрізку [ ; / , 0

( )0, 0

N gx xf x

x

−⎧⎡ ⎤ ≠⎪⎣ ⎦= ⎨=⎪⎩

;0,1]

г) log , 0;

( )0, 0

gN x x

f xx

⎧ ≠⎪= ⎨=⎪⎩

на відрізку [ ? 0,1]

5. Знайти варіацію функцій

а) на відрізку [ ; ( )2

3 , 0 1, 2, 1,2,3;

( ) , 1 2;sin , 3 4;

, 4

x g x xN x

f x x g xx x

N g x

+ ≤ < < <⎧⎪ =⎪⎪= − < <⎨⎪ π < <⎪⎪ − =⎩

3;

0,4]

б) 2

2sin , 0 2 ;

( ) , 0,2 ,3 ;

1 , 2 3

x x gg

f x N x g g

x g x gg

⎧⎧ ⎫π< <⎪⎨ ⎬

⎪⎩ ⎭⎪= =⎨⎪⎛ ⎞⎪ − < <⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎩

на відрізку [0,3 ]g .

6. Представити кожну із функцій прикладу 5 у вигляді суми функції її стрибків і неперервної функції. 7. Представити функцію

при 2 1( ) 2 при 1 0,

при 0 2

x g xf x x

N x x

+ − ≤ ≤⎧⎪= − <⎨⎪ − ≤ ≤⎩

,−<

у вигляді різниці двох зростаючих функцій. 8. Обчислити

а) 2

22

1

1( ) ( )sin

S dgx∫ gx ; б) ; в)( )

1

0

( ) (arctg( ))S Nx g d Nx g+ +∫1

0

1( ) (arctg( ))S d NxNx g

++∫ g

,;

<≤

; г)

. 2

0

( ) ( ) (cos )S gx N d xπ

+∫9. Обчислити інтеграли:

а) , де 3

1

( ) ( )S xdh x−∫

при 1,( ) при 1 2

при 2 3

g xh x N x

N g x

= −⎧⎪= − <⎨⎪ + ≤⎩

б) , де 2

2

0

( ) ( )S x dh x∫

1 при 0 ,2

1 30 при ,2 2( )

32 при ,2

32 при 2.2

g x

xh x

N x

N x

⎧− ≤ <⎪⎪⎪ ≤ <⎪

= ⎨⎪ + =⎪⎪⎪ − <⎩

≤

Знайти варіацію функції ( ) на відрізку а) [h x 1;3]− , б)[ . 0;2]

10. Обчислити інтеграли і , де 2

2

( ) ( ) ( )S f x dh x−∫

2

2

( ) ( ) ( )S h x df x−∫

( ) cosf x x= π ,

1, 2 1;2, 2; 1;

( ) 3, 1 0;, 0; 1;1, 0 1;1 2.

g xN x x

h x g xN x x x

g x x

+ − < < −⎧⎪ + = − = −⎪⎪= + − < <⎨⎪ = = =⎪

− < < < <⎪⎩

2;

Обчислити варіації кожної із функцій на відрізку [ 2;2]− .

11. Обчислити , якщо ( ) ( ) ( ( )) i ( ) ( ) ( ( ))b b

a a

S h x d f x S f x d h x∫ ∫

а) ,

( )2

3 , 0 1, 2 3;( ) , 1,2,3;

,1 2;

x g x xf x N x

x g x

⎧ + ≤ < < <⎪⎪= =⎨⎪

− < <⎪⎩

( ) sin4xπh x , [ , ] [0,3]a b = ; =

б) 2( ) logf x x= ;

( )2

1, 1, 2 4;2

( ) , 1,2,3;

5 ,1 2,4 8.

x g x x

h x N x

x x x

⎧− + ≤ < < <⎪⎪

= =⎨⎪

− < < < <⎪⎩

, 1] ;82

a b ⎡ ⎤=[ , ⎢ ⎥⎦.

⎣

Обчислити варіацію кожної функції на відрізку [ .. , ]a b

12. Обчислити інтеграл 3

1

1( ) {log }N

NS dx∫ x

]

.

13. Представити лінійний неперервний функціонал в просторі [ ,C g g− інтегралом Стілтьєса і обчислити його норму, якщо

( ) 2 ( ) (0) ( ) ( )2

g

g

NF f xf x dx Nf Nf g f g−

= + − − +∫ .

VI. ПЕРЕЛІК ЗАПИТАНЬ ДЛЯ КОНТРОЛЮ З КОЖНОГО МОДУЛЯ І ДИСЦИПЛІНИ В

ЦІЛОМУ

• Самостійна робота №1 1. Чи мають функції скінченну варіацію?

а) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠=0,0

0,1sin1)(

xx

xxxf на відрізку ],0[ π ;

б) xxxf 2sin)2()( += на відрізку ],0[ π . 2. Знайти варіацію функцій

а) на відрізку ; ⎪⎩

⎪⎨⎧

<<=

<<<≤=

21,103,2,1,5

32,10,2)(

xx

xxxf ]3,0[

б) на відрізку . ⎩⎨⎧

≤<−≤≤π= 32,)1(

,20,cos)( 3 xxxxxf ]3,0[

• Самостійна робота №2

1,2. Обчислити ∫∫b

a

b

axgdxfSixfdxgS ))(()()())(()()(

⎪⎩

⎪⎨⎧

<<=

<<<≤=

21,103,2,1,5

32,10,2)(

xx

xxxf , ,

⎩⎨⎧

≤<−≤≤π= 32,)1(

,20,cos)( 3 xxxxxg ]3,0[],[ =ba .

3 Обчислити

∫ ++

1

02 ))1(ln(

11)( xd

xS .

Запитання до заліку і колоквіумів

Модуль №1 1. Означення монотонної функції, стрибка, функції стрибків. Приклади. Довести, що монотонна функція

може мати точки розриву лише І роду. 2. Теорема про потужність множини точок розриву монотонної функції.

3. Довести, що різниця між монотонною функцією і функцією її стрибків є неперервною, монотонною функцією.

4. Образ і прообраз множини при відображенні: означення і властивості. 5. Множини на прямій лебегової міри нуль. Приклади. 6. Канторова множина та іі міра. 7. Похідні числа. Теореми про похідні числа. Додатність похідних чисел зростаючої функції. 8. Нульмірність множини точок задання монотонної функції, в яких похідні числа нескінченні. 9. Теорема про існування в майже усіх точках задання монотонної функції скінченні похідної. 10. Приклад монотонної неперервної функції, що має нульову похідну в майже усіх точках, інтеграл від

якої дорівнює 1. 11. Теорема про існування монотонної, неперервної на відрізку функції, яка має нескінченну похідну в

точках наперед заданої множини лебегової міри нуль. 12. Означення функції зі скінченною варіацією. 13. Теорема про скінченну варіацію монотонної функції. 14. Теорема про обмеженість варіації функції, що задовольняє умові Ліпшица і наслідок з неї. 15. Необхідна умова обмеженості варіації функції. 16. Арифметичні операції над функціями обмеженої варіації.. 17. Адитивність повної варіації. 18. Теорема про представлення функції обмеженої варіації різницею двох зростаючих функцій. 19. Теорема про потужність множини точок розриву функції скінченної варіації. 20. Теорема про представлення функції обмеженої варіації сумою функції її стрибків і неперервної функції. 21. Теорема про представлення неперервної функції зі скінченою зміною різницею двох неперервних

монотонних функцій та наслідки з неї. Модуль№2

22. Означення інтегралу Рімана – Стілтьєса., приклади. 23. Основні властивості інтегралу Стілтьєса. 24. Теорема про існування інтегралу Стілтьєса. 25. Теореми про зв’язок інтегралу Стілтьєса та інтегралу Рімана. 26. Обчислення інтегралу Стілтьєса від неперервної функції по кусково-сталій функції. 27. Обчислення інтегралу Стілтьєса від неперервної функції по функції, що має обмежену варіацію і має

інтегровну за Ріманом похідну у всіх точках, окрім скінченної кількості. 28. Застосування інгралу Стілтьєса у функціональному аналізі. 29. Граничний перхід під знаком інтегралу Стілтьєса.

Питання вхідного контролю

1. Означення монотонної функції. 2. Означення стрибка функції. 3. Означення функції стрибків. 4. Якого роду розриви може мати монотонна функція? 5. Яка потужність множини точок розриву монотонної функції? 6. Властивості функції, що є різницею між монотонною функцією і функцією її стрибків. 7. Означення множини лебегової міри нуль. 8. Чи вірне твердження: будь-яка обмежена на відрізку функція в кожній точці цього відрізку має хоча б

одне похідне число? 9. Чи вірне твердження: існує обмежена на відрізку функція, яка хоча б в одній точці цього відрізку не має

жодного похідного числа? 10. Яка міра множини тих точок, в яких монотонна функція має хоча б одне нескінченне похідне число? 11. Яка міра множини тих точок, в яких монотонна функція не має похідної? 12. Канторова множина та її міра 13. Необхідна умова обмеженості варіації функції. 14. Скільком дорівнює варіація зростаючої на відрізку функції? 15. Скільком дорівнює варіація спадної на відрізку функції? 16. Який зв’язок між функціями обмеженої варіації на відрізку і функціями, що мають на ньому обмежену

похідну? 17. Запишіть властивість адитивності варіації. 18. Яким чином виражається функція обмеженої варіації через дві монотонні функції? 19. Якого роду розриви може мати функція скінченної варіації? 20. Властивості функції, що є різницею між функцією скінченної варіації та функцією її стрибків.

21. Теорема про існування інтегралу Рімана – Стілтьєса. 22. Теорема про зв’язок інтегралу Рімана – Стілтьєса та інтегралу Рімана. 23. Формула інтегрування частинами. 24. Формула обчислення інтегралу Рімана – Стілтьєса від неперервної функції за кусково-сталою функцією.

VII. КРИТЕРІЇ ОЦІНЮВАННЯ ЗНАНЬ І ВМІНЬ СТУДЕНТІВ

Порядок перерахунку рейтингових показників нормованої 100-бальної університетської шкали оцінювання в традиційну 4-бальну шкалу та європейську шкалу ЕСТS.

Інтервальна шкала оцінок встановлює взаємозв’язки між рейтинговими показниками і шкалами оцінок.

За національною шкалою ЗА

ШКАЛОЮ

ECTS

За шкалою університету

Екзамен Залік

A 90 – 100 (відмінно) 5 (відмінно)

B 85 – 89 (дуже добре)

C 75 – 84 (добре)

4 (добре)

D 70 – 74 (задовільно)

E 60 – 69 (достатньо)

3 (задовільно)

Зараховано

FX 35 – 59

(незадовільно – з можливістю повторного складання)

F 1 – 34

(незадовільно – з обов’язковим повторним курсом)

2 (незадовільно) Не зараховано

− Оцінку «відмінно» студент отримує, якщо виявив всебічне системне і глибоке знання програмного матеріалу; засвоїв основну і додаткову літературу; чітко володіє понятійним апаратом, методами, методиками та інструментами, передбаченими програмою дисципліни; вмінню використовує їх для вирішення як типових, так і нетипових практичних ситуацій; виявляє творчі здібності в розумінні, викладі та використанні навчально-програмного матеріалу;

− Оцінку «добре» студент отримує, якщо виявив всебічне системне знання програмного матеріалу; засвоїв основну літературу; чітко володіє понятійним апаратом, методами, методиками та інструментами, передбаченими програмою дисципліни; вмінню використовує їх для вирішення типових практичних ситуацій; при розв’язанні задач або при відповіді на теоретичні запитання робить незначні помилки;

− Оцінку «задовільно» студент отримує, якщо засвоїв інформації в межах лекційного курсу; володіє необхідними методами, методиками та інструментами, передбаченими програмою; вміє використовувати їх для вирішення типових ситуацій, припускаючи окремих незначних помилок;

− Оцінку «незадовільно» студент отримує, якщо виявив значних прогалин у знаннях основного програмного матеріалу; не досить упевненню володіє окремими поняттями, методиками та інструментами, про що свідчать принципові помилки під час їх використання.

VIII. РОЗПОДІЛ БАЛІВ ЗА ВИДАМИ РОБОТИ ТА ФОРМАМИ КОНТРОЛЮ

1. Шкала бального оцінювання індивідуального завдання - 17-18 балів: всі завдання роботи повністю виконані без помилок; відповідає виявленню

студентом всебічного системного і глибокого знання програмного матеріалу; засвоєнню ним основної і додаткової літератури; чіткому володінню понятійним апаратом, методами, методиками

та інструментами, передбаченими програмою дисципліни; вмінню використовувати їх для вирішення як типових, так і нетипових практичних ситуацій; виявленню творчих здібностей в розумінні, викладі та використанні навчально-програмного матеріалу;

- 11-16 бали: всі завдання роботи повністю виконані без суттєвих помилок; відповідає виявленню знань основного програмного матеріалу; засвоєнню інформації в межах лекційного курсу; володінню необхідними методами, методиками та інструментами, передбаченими програмою; вмінню використовувати їх для вирішення типових ситуацій, припускаючи окремих незначних помилок;

- 0-10 бали: більше 30% всіх завдань роботи виконано не вірно; відповідає виявленню значних прогалин у знаннях основного програмного матеріалу; не досить упевненому володінню окремими поняттями, методиками та інструментами, про що свідчать принципові помилки під час їх використання.

Захист типового індивідуального завдання зараховується студентові, якщо він отримав не менше 11 балів. В іншому разі, студенту повертається робота на доопрацювання.

2. Контроль підготовки до аудиторних занять та засвоєння теоретичного матеріалу здійснюється через проведення опитування і математичні диктанти. Кожен з цих видів робіт оцінюється за такою шкалою:

− 4-5 балів: відповідає виявленню студентом всебічного системного і глибокого знання програмного матеріалу; засвоєнню ним основної і додаткової літератури; чіткому володінню понятійним апаратом, методами, методиками та інструментами, передбаченими програмою дисципліни; вмінню використовувати їх для вирішення як типових, так і нетипових практичних ситуацій; виявленню творчих здібностей в розумінні, викладі та використанні навчально-програмного матеріалу;

− 3 бали: відповідає виявленню знань основного програмного матеріалу; засвоєнню інформації в межах лекційного курсу; володінню необхідними методами, методиками та інструментами, передбаченими програмою; вмінню використовувати їх для вирішення типових ситуацій, припускаючи окремих незначних помилок;

− 0-2 бали: відповідає виявленню значних прогалин у знаннях основного програмного матеріалу; не досить упевненому володінню окремими поняттями, методиками та інструментами, про що свідчать принципові помилки під час їх використання.

Загальний рейтинговий бал з цього виду контролю обчислюється як середнє арифметичне отРіманих балів. 2. Контроль опанування практичними навичками здійснюється через проведення самостійних робіт. Шкала оцінювання:

- 11-12 балів: всі завдання роботи повністю виконані без помилок; відповідає виявленню студентом всебічного системного і глибокого знання програмного матеріалу; засвоєнню ним основної і додаткової літератури; чіткому володінню понятійним апаратом, методами, методиками та інструментами, передбаченими програмою дисципліни; вмінню використовувати їх для вирішення як типових, так і нетипових практичних ситуацій; виявленню творчих здібностей в розумінні, викладі та використанні навчально-програмного матеріалу;

- 3-8 бали: всі завдання роботи повністю виконані без суттєвих помилок; відповідає виявленню знань основного програмного матеріалу; засвоєнню інформації в межах лекційного курсу; володінню необхідними методами, методиками та інструментами, передбаченими програмою; вмінню використовувати їх для вирішення типових ситуацій, припускаючи окремих незначних помилок;

- 0-7 бали: більше 30% всіх завдань роботи виконано не вірно; відповідає виявленню значних прогалин у знаннях основного програмного матеріалу; не досить упевненому володінню окремими поняттями, методиками та інструментами, про що свідчать принципові помилки під час їх використання. 3. Модульний контроль здійснюється через проведення колоквіумів, що складається із теоретичних і практичних завдань і оцінюється за такою шкалою:

− 11-12 балів: студент виявив всебічне системне і глибоке знання програмного матеріалу; засвоїв основну і додаткову літературу; чітко володіє понятійним апаратом, методами, методиками та інструментами, передбаченими програмою дисципліни; вмінню використовує їх для вирішення як типових, так і нетипових практичних ситуацій; виявляє творчі здібності в розумінні, викладі та використанні навчально-програмного матеріалу;

− 8-10 бали: студент засвоїв інформації в межах лекційного курсу; володіє необхідними методами, методиками та інструментами, передбаченими програмою; вміє використовувати їх для вирішення типових ситуацій, припускаючи окремих незначних помилок;

− 0-7 бали: студент виявив значних прогалин у знаннях основного програмного матеріалу; не досить упевненню володіє окремими поняттями, методиками та інструментами, про що свідчать принципові помилки під час їх використання. 4. Бальна система стимулювання активності студентів (“бонуси”). Ця система додаткових балів вводиться з метою заохочування студентів до планомірної, систематичної роботи по вивченню теоретичного матеріалу і оволодінню ними знаннями і уміннями, передбаченими даною дисципліною, а також з метою стимулювання їх до творчого підходу при розв’язанні практичних завдань лабораторного практикуму. Вона передбачає додаткові бали за: − відвідування усіх лекційних занять – 1 бал за модуль; − захист кожного з типових індивідуальних завдань на наступному занятті після вивчення

відповідної теми – до 2 балів. Загальна бальна оцінка одержується простим сумуванням одержаних студентом балів за всі

види контролю та “бонуси”: Бальна оцінка за модулі:

мінімум додаткова (за результатами

здачі)

“бонус” Вид роботи

І ІІ ІЗ Разом: І ІІ ІЗ Разом: І ІІ ІЗ Разом: Аудит. заняття 3 3 8 2 2 4 1 1 2 Практичні навички

7 7 14 5 5 10 0 0 0

Модульний контроль

8 8 16 4 4 8 0 0 0

Індивід. завдання

11 11 7 7 2 2

Разом: 18 18 11 47 11 11 7 29 1 1 2 4 Максимально можлива бальна оцінка, яку може набрати студент за всі модулі дисципліни,

дорівнює 80 балів. Модуль зараховується студентові, якщо він набрав не менше 62,5% (або 5/8) від

максимальної суми балів за модуль. Для кожного модуля це становить 19 балів, а для допуску до екзамену – 50 бали. Для отримання зазначеної суми балів студент повинен додатково, окрім зазначеного в таблиці мінімуму, отримати ще 3 бали, що може здійснити за рахунок отримання бонусних балів або виконання типових індивідуальних завдань у більшій кількості, ніж передбачено мінімумом.

IХ. ЛІТЕРАТУРА

Основна: 1. Фихтенгольц Г.М1. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3-х т. / Г.М.

Фихтенгольц. – Т.2. – М.: Наука, 1966. – 800с. 2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3-х т. / Г.М.

Фихтенгольц. – Т.3. – М.: Наука, 1966. – 656с. 3. Ильин В.А. Математический анализ / В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х. Сендов. –

М.:Наука,1979.–720 с. 4. Колмогоров А.Н.1 Элементы теории функций и функционального анализа / А..Н Колмогоро.,

С.В. Фомин. – М.: Наука,1989. -624 с. 5. Натансон И.П.1 Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон. – М.: Наука,

1974. – 480 с.

Додаткова: 6. Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу: Общая теория множеств и функций /

Ю.С. Очан. // Под ред. М.Ф.Бокштейна. – М.: Просвящение, 1981. – 271 с. 7. Д’яченко Н.М2. Функції скінченної варіації та інтеграл Рімана – Стілтьєса: Навчальний

посібник для студентів напряму підготовки 6.040201 – «математика» / Н.М. Д’яченко, І.Г. Ткаченко. – Запоріжжя: ЗНУ, 2011. – 81 с.

8. Гливенко В.И.1 Интеграл Стильтьеса. / В.И.Гливенко. – Л.: ОНТИ, 1936 – 216 с. 9. Ларин А.А.3 Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса: Методическое

пособие / А.А. Ларин, И.П. Половинкин. – Воронеж: Изд-во ВГУ, 2002. – 24 с. 10. Чертянин В.А.4 О представдении интеграла Стилтьеса интегралом Римана, зависящим от

параметра / В.А. Чертянин // Матем. заметки. – Т. 78., вып. 6, 2005. – С. 919 – 933. 11. МацаевВ. И. 5 Об условиях существования интеграла Стилтьеса / В. И. Мацаев, М. З. Соломяк

// Матем. сб. – 88(130):4(8) (1972). – С. 522–535. 12. http://alexandr4784.narod.ru/F3/15.pdf

1 http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/calculus.htm 2 http://sites.znu.edu.ua/bank/public_files/2010/09/3844_1282952041_05_IRS.pdf 3 http://window.edu.ru/window_catalog/files/r27413/feb02044.pdf 4 http://www.mathnet.ru/links/b732bc919b683f812b36f72678ff25a7/mzm2651.pdf5 http://www.mathnet.ru/links/b3e88592f97e8269b4174eb00eec483e/sm3194.pdf