08 précontrainte

CHAPITRE 08 ETUDE DE LA PRECONTRAINTE

VIII-1- Procédés de la précontrainte : Le procédé utilisé pour la mise en tension des câbles est la « post-tension ». Ce type de précontrainte consiste en la mise en tension des câbles déjà enfilés dans des gaines après le coulage et le durcissement du béton à l’aide d’un vérin appuyé sur le béton, une fois que la tension voulue est atteinte, le câble ainsi tendu est bloqué avec un système d’ancrage à travers lequel on injecte un coulis de mortier pour protéger les câbles contre la corrosion et assurer l’adhérence entre le câble et le béton.

VIII-1-1- Calcul de la précontrainte : La détermination de la force de précontrainte exercée en permanence par un câble doit tenir compte de deux phases successives :

VIII-1-1-1- Phase de mise en tension : Le calcul de la contrainte de traction de l’acier du câble sur toute sa longueur permet de déterminer la valeur à obtenir pour les allongements à la mise en tension ; complété par la prise en compte des rentrées de clavettes aux ancrages et le raccourcissement instantané du béton, il fournit la valeur initiale de la force de précontrainte le long du câble.

VIII-1-1-2- Variation dans le temps de la tension dans le câble : Le calcul de la valeur finale de cette tension doit tenir compte des

raccourcissements différés du béton dus au retrait et au fluage ainsi que de la relaxation d’acier. Cette valeur est à introduire dans le calcul de l’ouvrage.

VIII-1-2- Mise en œuvre des câbles et ancrages : Les cloches d’ancrage et les trompettes avec le frettage sont fixés au coffrage au moyen de deux vis de la plaque d’about préfabriquée, l’utilisation des plaques d’ancrages préfabriquées a pour rôle d’assurer la diffusion de la précontrainte. Les pièces sont exécutées avec un béton de haute qualité. La zone d’ancrage des câbles de précontrainte doit être spécialement conçue pour que les forces de précontrainte soient transmises à l’ouvrage en toute sécurité, et pour que les mises en tension puissent se faire facilement. Les fiches sur les ancrages et celles sur les dispositions constructives contiennent les informations et recommandations valables pour chaque type et notamment : la distance minimale admissible entre axes des ancrages et entre ces axes et le parement le plus proche, ainsi que les dégagements à prévoir derrière l’ancrage pour la mise en place du vérin de mise en tension.

VIII-1-3- Programme de mise en tension des câbles : Un câble de précontrainte est mis en tension en exerçant, à l’aide d’un vérin une force donnée, à chaque extrémité (deux ancrages actifs) ou à une seule extrémité seulement (un ancrage actif et un autre passif). Cette force est généralement choisie égale au maximum admissible en fonction des prescriptions du fournisseur et de la section d’acier. L’ordre de mise en tension des câbles fait partie de l’étude. Il doit être mis au point après vérification des phases provisoires de construction. Une attention particulière sera portée aux résistances du béton nécessaires, en fonction des sections les plus sollicitées de l’ouvrage et des zones d’ancrage des câbles. Lors de la mise en tension à 100%, le béton sous les plaques d’ancrage doit avoir une résistance min de 0,9 fc28, min.

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VIII-1-4- Montage de la précontrainte : En général, les câbles sont mis en place par tirage. Les différentes phases d’exécution sont les suivantes :

Pose des gaines. Montage des ancrages. Mise en place des torons. (Par tirage, par enfilage). Pré blocage des ancrages fixés. Bétonnage. Mise en tension des câbles. Coupe des torons sur longueurs. Injection. Cachetage des ancrages.

Les torons sont tendus à laide d’un vérin hydraulique actionné par une pompe, le vérin prend appui sur ‘ plaque d’about ’. Les torons seront tendus jusqu’à ce que la pression manométrique requise soit atteindre, pour contrôler la force de tension produite, on mesure l’allongement du câble. Après l’opération de précontrainte, l’intérieur de la gaine doit être injecté au coulis de ciment dans le but de réaliser aussi l’adhérence entre l’acier et le béton de même que la protection de l’acier contre la corrosion, l’injection est effectué au moyen des coiffes d’injection fixées aux ancrages ou de raccords d’injection fixés aux gaines de raccordement (trompette) après réalisation du cachetage définitif.

VIII-1-5- Injection des câbles : Pour assurer une meilleure adhérence (acier - béton) et par conséquent une bonne transmission de contraintes ; Ainsi une protection du câble de précontrainte, ce dernier est injecté par un coulis de ciment. Cette injection se fait à partir de tubes ou évents dont la position est choisie en fonction de la géométrie et de la longueur du câble. Dans le cas courant, il y a un évent à chaque ancrage et à chaque point haut du câble, ces derniers ayant aussi pour fonction de permettre l’évacuation de l’air repoussée par le coulis d’injection.

La recette d’un coulis de ciment :25 kg de ciment + 6 kg de sable 0/2 mm (tamisé) + 12 litre d’eau + Plastifiant (750g intra plat de Sika).Les câbles sont lavés et soufflés à l’air comprimé pour :

Lever la gaine, débarrasser éventuellement les fils de l’huile souvent employée pour diminuer les frottements.

Mouiller la gaine et les fils pour éviter le bourrage du mortier d’injection et faciliter son écoulement à l’avancement.

Vérifier qu’aucun obstacle ne rend difficile l’injection du coulis.

VIII-1-6- Calcul du nombre de câbles :VIII-1-6-1- Les caractéristiques de la poutre avec hourdis à mi travée :

Section nette : B = 8177.6cm2.

SΔ=940421.34cm3

V’ = S/Δ / B=115 cm

V = h – V‘ =55cm

IGN=I/Δ – B x V‘2 =17613478.4cm4

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ρ= IG / (V x V' x B) = 0.3405Données : d’ = Ht - 0,9 Ht = 1,5 - 0,9 x 1.5 = 0,15 m. MMAX = 605.22t.m. MMIN = 396.21t.m.

VIII-1-6-2- Aciers de précontraintefprg = 1770MPafpeg = 1583MPaAp = 1.35xgl2/8xZpxFyp=1.35x22.02x(32.4)2/1.35x8x1770=1632mm²

φ int gaine=80mm

Ap ¿ 1632mm² soit 12T15 dont Ap = 1668 mm² Tension à l’origine :

σ 0=min (0,8 fprg ;0 ,90 fpeg )=min (0,8∗1770 ;0 ,90 x 1583 )=min (1416 ;1424 .7 )=1416Mpa Effort à l’origine :

Po=σ0∗Ap=1416∗1668 10−6=2. 362Kn

VIII-1-7- Détermination du nombre de câble en phase de service :Contrainte en fibre inférieure de la poutrePA

+PeoV 'I

−MV 'I

≥0

P=(1A +eoV 'I )≥MV '

I

P≥

MV 'I1A

+eoV 'I

M=6 . 0522MNm (à l ' ElS )d0' =0 ,15

eo=V '−d=1 ,15−0 . 15=1

I=0 ,1761A=0 .818

P≥

6.0522∗1 ,150 ,176110 ,818

+1∗1 ,150 ,1761

=5. 1

Nombre de câble en prenant des pertes de précontrainte égale à 25%

n= P0 ,75 Po

= 5 .10 ,75∗2 ,362

=2.88

Le nombre de câbles est de 3 câbles 12T15

VIII-1-8- Détermination du nombre de câble:

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Calcul de Ap :(Il y déjà fait)Ap = 1668 mm².

Dimensionnement :PI = ΔM / ρ h = 6.0522 – 3.9621 / 0.3405 x 1.7 = 3.61MN.PII = MMAX / (ρv + v’ – d’) =6.0522/(0.3405x0.55+1.15-0.15)= 5.1 MN. PII > PI : alors notre section est sur critique, le fuseau de passage du câble à une de ses frontière qui coupe la zone d’enrobage, donc l’effort de précontrainte économique PI n’est plus suffisant. La précontrainte doit reprendre 100 % du poids propre donc :PMIN = sup (PI, PII) = 510t. P0 = min (0.8 fprg Ap, 0.9fpeg Ap) = 236.18t. NB : Estimation des pertes à 25%.

N = PMIN / 0.75 P0=2.88. Alors, on prend 3 câbles de 12T15.

VIII-1-9- Détermination du nombre de câbles à l’about :

VIII-1-9-1- les Caractéristiques de la poutre seule à mi travée:

d’ = 0.15m. h =1.5m. e0 =-(v‘-d‘)=-0.6916m.Section nette : Bn = 4852.6cm2

V’ = S/Δ / Bn=84.16cm V = h- V‘ =65.84cm IG=I/Δ – B x V‘2 =10641654.2cm4 ρ= IG / (V x V' x B) = 0.3958ρ= 39.58 %.

fc28=35MPa ft28=0.06xfc28+0.6=2.7MPaσsup = MMIN V/ IG + P (1/Bn + e0 V/ IG) -1.5 ft28.σinf = MMIN (-V’)/ IG + P (1/Bn + e0 (-V’)/ IG) 0.6 fc28.σsup = 24.51+ P (-2.22) -4.05 et σinf = -31.33 + P (7.52) 21.Alors : P 1286.49t et P 695.88 t. Donc : P = 695.88 et P0 = 236.2t. N = P/ P0 = 2.95¿ 3 câbles de 12T15.

VIII-1-9-2- Vérification des contraintes normales : σ = MP.V/ IN + N/Bn + Mg.V/ IN σmax.Telles que :

σ : contrainte supérieure (σsup) ou contrainte inférieure (σinf) selon V et V’. F : force de précontrainte (F = P0 x pertes en % x mise en tension %). MP: moment dû à la précontrainte (M = F x n de câbles considérés x e). N : effort de la précontrainte (N = nombres de câbles x F). Mg : moment dû au poids propre. σmax : contraintes maximale.

La vérification se fait selon les cinq étapes suivantes :

Première étape :NB : Les caractéristiques géométriques à prendre sont la section à mi travée de la poutre seule.

Après le septième jour, la mise en tension est 50 %.

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Les pertes considérées sont de 10 %. fc7 = 0,685 fc28 log (7+1) = 21.65 MPa = 216.5 bars.

σmax. = 130 bars (σmax.= 0,6 fcj) en construction.

Deuxième étape : La mise en tension des câbles est de 100 % à 28 jours. Les pertes considérées sont de 20 %. fc28 = 35 MPa = 350 bars. σmax = 210 bars.

Troisième étape : On pose les poutres sur leurs appuis définitifs et on coule l’hourdis sur place. Les efforts considérés dans cette phase :

Efforts dus à la deuxième phase. Poids propre de l’hourdis coulé sur place.

Vu que l’hourdis n’est pas assez résistant dans cette phase, la section résistante reste celle de la poutre seule.

Quatrième étape : Tablier à vide (poutres + superstructures).

La mise en tension du troisième câble est faite à 100 %. Les pertes considérées sont de 25 %. fcj = 350 bars. σmax = 175 bars. (σmax = 0,5 fcj) en exploitation la combinaison quasi

permanente.

Cinquième étape : L’ouvrage est en service.

Mise en tension est déjà faite à 100 %. Les pertes considérées sont de 25 %. fcj = 350 bars. σmax = 210 bars. (σmax = 0,6 fcj) en exploitation la combinaison est fréquente.Vérification : l’objectif principal sur le chantier est de mettre tous les câbles à l’about.

a) Première étape : (Mise en tension à 50%).

Contraintes dues au moment de la précontrainte :F1 = F2 = F3 = 236.2 x 0.5 x 0.9 = 106.29t.M = N x F x e0 = 2 x 106.29 x -0.6916= -147.02t.mσsup = M x V / In =-147.02 x 0.6584/0,106 =-913.19t/m².σinf = M x V’ / In = 147.02 x 0.8416/0.106 =1167.28t/m².

Contraintes dues à la précontrainte :N = 2 x 106.29=212.58t.σsup = N / Bn = 212.58/0.48526=438.07t/m².σinf = N / Bn = 212.58/0.48526=438.07t/m².

Contraintes dues au poids propre de la poutre :Moment dû au poids propre de la poutre Mg =181.08t.mσsup = MgV / In = 181.08x 0.6584 / 0,106 =1124.75t/m²

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σinf = MgV’ / In = -181.08x 0.8416 / 0,106 =-1437.71t/m² Contrainte totale :

σsup = (-913.19 + 438.07+ 1124.75) 10-1 = 64.89<130 bars. Vérifiée.σinf = (-1167.28+438.07-1437.71) 10-1 =16.76< 130 bars. Vérifiée.

b) Deuxième étape : (Mise en tension à 100%). Contraintes dues au moment de la précontrainte :

F1 = F2 = F3 = 236.2 x 1 x 0.8 = 188.96 t.M = N x F x e0 = 2 x 188.96 x -0.6916= -261.37 t.mσsup = M x V / In = - 261.37x 0.6584/ 0.106 = -1623.45 t/m².σinf = M x V’ / In = 261.37 x 0.8416 / 0.106= 2075.17t/m².

Contraintes dues à la précontrainte :N = 2 x 188.96 = 377.92t.σsup = N / Bn = 377.92 / 0,48526 =778.8t/m².σinf = N / Bn = 377.92 / 0,48526 = 778.8t/m².

Contraintes dues au poids propre de la poutre :Moment dû au poids propre de la poutre Mg =181.08t.mσsup = MgV / In = 181.08x 0.6584/ 0.106 =1124.75t/m²σinf = MgV’ / In = 181.08x 0.8416 / 0.106 =-1437.71t/m²

Contrainte totale :σsup = (-1623.45 + 778.8+ 1124.75) 10-1 =28.01< 210 bars. Vérifiée.σinf = (2075.17 + 778.8-1437.71) 10-1 =141.62< 210 bars. Vérifiée.

Désignation étape 1 étape 2 étape 3 étape 4 étape 5

F (t) 106,29 188,96 188,96 177,15 177,15Mp (t.m) 147,02 261,37 261,37 531,45 531,45

N (t) 212,58 377,92 377,92 531,45 531,45

Mg (t.m) 181,08 181,08 279,58 279,58 279,58

v(m) 0,6584 0,6584 0,6584 0,55 0,55

v'(m) -0,8416 -0,8416 -0,8416 -1,15 -1,15

eo(m) -0,6916 -0,6916 -0,6916 -1 -1

In (m4) 0,106 0,106 0,106 0,176 0,176

Bn (m2) 0,48526 0,48526 0,48526 0,81776 0,81776

σsup(bars) 64,96 28,00 89,19 13,72 13,72σinf(bars) 16,76 141,62 63,42 229,56 229,56

σmax(bars) 130 210 210 175 210

Vérification vérifiée vérifiée vérifiée non vérifiéenon

vérifiée

NB : Puisque les trois câbles ne peuvent pas se loger à l’about alors, on positionne deux câbles à l’about de la poutre et le troisième à son extrados. On refait le calcul selon les étapes précédentes tout on adoptant la nouvelle disposition des câbles.VIII-1-10- Disposition des câbles :

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Tab 8.1.vérifications des contraintes normale

16.2m 16.2m

A2

A1

Fig 8.2.Section d’about

h

d’

B


On opte pour la théorie simplifiée qui exige deux conditions : La précontrainte P(x) est admise constante sur le tronçon considéré

P(x) = P0= constante. L’inclinaison α(x) des câbles de précontrainte par rapport à l’axe x (parallèle

à l’axe longitudinal) est faible. Le tracé d’un câble de précontraint non rectiligne peut être assimilé à une

parabole du deuxième degré dont l’équation et ses dérivées sont :

Y = A X² + B X + C.Y’ = 2 A X +B.Y’’ = 2 A. f

fA = 4 f / l² B= 4 f / l

VIII-1-10-1- Tracé des câbles 1 et 2 sortant de l’about :

Yg = 0,82m.

On fixe: B = 0.5m.

Yg = (A1 + 0.5 + A1) / 2 = 0,82m.

A1 = 0.57m.

A2 = 1.5– (0.57 + 0.57) = 0.36m.

Tracé du câble n° 1:

Y = A X² + B X + C.

1) X = 0 => Y1 = C1 = 0,82 – 0,22 = 0,60 m.2) X = 16.7 => Y1 = 0,15 = A1 (16.7)² + B1 (16.7) + 0,60.3) X = 16.7 => Y1’ = 2 A1 (16.7) + B1 = 0 => A1 = - B1 / 16.7 x 2.

En remplaçant A1 dans l’équation (2) on a :

- 16.7 B1 / 2 + B1 (16.7) = -0,45 => B1 = - 0,054. D’où : A1 = 0.0016Y1 = 1.61 10-3 X² - 0,054 X + 0,60.Tg α= 2 . 1.61 10-3 X - 0,054

Les abscisses et les angles en tous points du câble sont regroupés dans le tableau suivant :

Xi Yi α (rad) α° cos α0 0,600 0,0539 3,0909 0,99854518

0,5 0,5734 0,0523 2,9989 0,998630462 0,4984 0,0475 2,7229 0,998870945 0,3702 0,0378 2,1704 0,999282576 0,3339 0,0346 1,9862 0,99939919

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Fig 8.1.Disposition du câble


8 0,2710 0,0282 1,6176 0,999601498,35 0,2613 0,0271 1,5530 0,9996326510 0,2210 0,0217 1,2488 0,9997624612 0,1838 0,0153 0,8799 0,9998820614 0,1595 0,0089 0,5110 0,9999602216 0,1481 0,0024 0,1420 0,99999692

16,7 0,15 0 0 1


Y = A X² + B X + C.

1) X = 0 => Y2 = C2 = 0,82 + 0,38 = 1,1 m.

2) X = 16.7 => Y2 = 0,4 = A2 (16.7)² + B2 (16.7) +1.1

3) X = 16.7 => Y2’ = 2 A2 (16.7) + B2 = 0 => A2 = - B2 / 16.7 x 2.


16.7 B2 / 2 + B2 (16.7) = -0.7 => B2 = -0,084D’où : A2 = 2.51 10-3

Y2 = 2.51 10-3X² - 0.084 X + 1.1. Tg α= 2 .2.51 10-3X - 0.084


Xi Yi α (rad) α° cos α0 1,1 0,0838 4,8015 0,99649056

0,5 1,0586 0,0813 4,6587 0,996696142 0,9420 0,0738 4,2298 0,997276135 0,7427 0,0588 3,3708 0,99826996 0,6863 0,0538 3,0841 0,998551638 0,5886 0,0438 2,5102 0,99904041

8,35 0,5736 0,0420 2,4097 0,9991156810 0,5110 0,0337 1,9358 0,9994292712 0,4534 0,0237 1,3610 0,9997178514 0,4159 0,0137 0,7860 0,9999058916 0,3985 0,0036 0,2108 0,99999323

16,7 0,4 0 0 1

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Tab 8.2.les abscisses et les angles du câble n°1



Pour la mise en place du vérin, le câble à l’extrados a une inclinaison de α = 24,15° (standard), la zone de levage l0 est comprise entre : l/4<l0<l/3 sachant que l est la demi longue de la poutre donc on prendra l0=5m

Y = A X² + B X + C..1) X = 5 => Y3 = C3 = 0,82 + 0,5 = 1,32 m.2) X = 11.7 => Y3 = 0,6 = A3 (11.7)² + B3 (11.7) + 1,32.3) X = 11.7 => Y3’ = 2 A3 (11.7) + B3 = 0 => A3 = - B3 / 11.7 x 2.


-11.7 B3 / 2 + B3 (11.7) = -0.72=> B3 = -0,123. D’où : A3 = 5.26 10-3

Y3 = 5.26 10-3X² -0,123X + 1,32

Tg α= 2 . 5.26 10-3X - 0.123


Xi Yi α (rad) α° cos α0 1,32 0,1223 7,0121 0,992520261 1,2022 0,1120 6,4176 0,993733522 1,0950 0,1016 5,8217 0,99484226

3,35 0,9669 0,0875 5,0153 0,996171375 0,8365 0,0702 4,0269 0,997531096 0,7713 0,0598 3,4267 0,998212

8,35 0,6596 0,0351 2,0135 0,9993825311 0,60 0,0072 0,4171 0,9999735

11,7 0,60 0 0 1

VIII-1-11- Vérification des contraintes :VIII-1-11-1-Vérification des contraintes à la section X = 5 m pour les trois câbles :

N° du câble Yi (cm) e (cm) α ° cos α

1 37.025 -77.975 2,1704 0,999282572 74.27 -40.73 3,3708 0,99826993 132 17.00 7,0121 0,99252026

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Fig 8.2.Disposition du câble n°3



Les excentricités sont calculées a partir du CDG de la section – poutre avec hourdis

a) Ouvrage à vide : Contraintes dues au moment de la précontrainte :

M = F x (e1 cos α1 + e2 cos α2 + e3 cos α3) avec F = 177,15tM = - 180.16 t.σsup = M x V / In =-180.16 x 0,55 / 0.176 =-563t/m².σinf = M x V’ / In =180.16 x 1.15 / 0.176 =1177.18t/m².

Contraintes dues à la précontrainte :N = F x (cos α1 +cos α2 +cos α3) = 529.69t.σsup = N / Bn = 529.69/ 0, 81776 = 647.76 t/m².σinf = N / Bn = 529.29 / 0, 81776 = 647.76 t/m².

Contraintes dues au poids propre de la poutre avec hourdis :Mmin =198.97m (l’ouvrage à vide).σsup = MV / In = 198.97x 0,55 / 0.176 =621.78t/m²σinf = MV’ / In = 198.97x 1,15 / 0.176 = -1300.09t/m²

Contrainte totale :σsup = (-563+647.76+621.78) 10-1 = 70.65 < 175 bars. Vérifiée.σinf = (1177.18+647.76-1300.09) 10-1 =52.5< 175 bars. Vérifiée.

b) Ouvrages en service : Contraintes dues au moment de la précontrainte :

M = F x (e1 cos α1 + e2 cos α2 + e3 cos α3) avec F = 177,15tM = - 180.16t.σsup = M x V / In = -180.16 x 0,55 / 0.176 =-563t/m².σinf = M x V’ / In = 180.16 x 1.15 / 0.176 =1177.18t/m².

Contraintes dues à la précontrainte :N = F x (cos α1 + cos α2 + cos α3) = 529.69t.σsup = N / Bn = 529.69/ 0, 81776 = 647.76 t/m².σinf = N / Bn = 529.29 / 0, 81776 = 647.76 t/m².

Contraintes dues au poids propre de la poutre :Mmax =279.94t.m (l’ouvrage en service).σsup = MV / In = 279.94x 0,55 /0.176=874.81 t/m²σinf = MV’ / In =279.94x 1,15 /0.176=-1829.15t/m²

Contrainte totale :σsup = (-563+647.76+874.81) 10-1 =95.96 < 175 bars. Vérifiée.σinf = (1177.18+647.76-1829.15) 10-1 = -0.421< 175 bars. Vérifiée.

VIII-1-11-2- Vérification des contraintes à la section X = 0,5 L pour les trois câbles :

N° du câble Yi (cm) e (cm) α ° cos α

1 0,15 -1 0 12 0.40 -0.75 0 1

Promotion 2008 63

Tab 8.4.excentricités et les angles pour les trois câbles x=5m


3 0,6 -0.55 0 1

a) Ouvrage à vide : Contraintes dues au moment de la précontrainte :

M = F x (e1 cos α1 + e2 cos α2 + e3 cos α3) avec F = 117.15 tM = - 269.45t.σsup = M x V / In = -269.45 x 0,55 / 0.176 = -842.03 t/m².σinf = M x V’ / In = 269.45 x 1,15/ 0.176=1760.61t/m².

Contraintes dues à la précontrainte :N = F x (cos α1 + cos α2 + cos α3) =351.45t.σsup = N / Bn = 351.45/0,81776 =429.77 t/m².σinf = N / Bn = 351.45/0,81776 = 429.77 t/m².

Contraintes dues au poids propre de la poutre avec hourdis: Mmax = 396.21t.m (l’ouvrage à vide).σsup = MV / In = 366.52x 0,55 / 0.176 =1238.16 t/m²σinf = MV’ / In =366.52x 1,15 / 0.176=-2588.88t/m²

Contrainte totale :σsup = (-842.03+429.77+1238.16) 10-1 = 82.59< 175 bars. Vérifiée.σinf = (1760.61+429.77-2588.88) 10-1 = -39.85< 175 bars. Vérifiée.

b) Ouvrages en service : Contraintes dues au moment de la précontrainte :

M = F x (e1 cos α1 + e2 cos α2 + e3 cos α3) avec F = 117.15 tM = - 269.45t.σsup = M x V / In = -269.45 x 0,55 / 0.176 = -842.03 t/m².σinf = M x V’ / In = 269.45 x 1,15/ 0.176 =1760.61t/m².

Contraintes dues à la précontrainte :N = F x (cos α1 + cos α2 + cos α3) =351.45t.σsup = N / Bn = 351.45/0,81776=429.77 t/m².σinf = N / Bn = 351.45/0,81776= 429.77 t/m².

Contraintes dues au poids propre de la poutre Mmax =605.22t.m (l’ouvrage en service).σsup = MV / In = 605.22x 0,55 / 0.176 =1891.31t/m²σinf = MV’ / In = 605.22x 1,15 / 0.176=-3854.56t/m²

Contrainte totale :σsup = (-842.03+429.77+1891.31) 10-1 =123.25< 175 bars. Vérifiée.σinf = (1760.61+429.77-3854.56) 10-1 =-166.42< 175 bars. Vérifiée.

VIII-1-11-3- Conclusion :Nous remarquons bien que durant toutes les phases de réalisation de l’ouvrage, les contraintes sur la fibre supérieure et inférieure ne dépassent pas les contraintes admissibles.

Promotion 2008 64

Tab .8.5.excentricités et les angles pour les trois câbles x=0.5L


VIII-2- Caractéristiques géométriques des sections : VIII-2-1- X = 0,00L :

VIII-2-1-1- Section sans hourdis: Position du C.D.G: y =∑ yj/j= (60+110)/2=85cm. Position 2gaines.Diamètre de la gaines = 8cm (T15) Bg=2π(8)2/4 I0g=2π(8)4/64

Désignation B (cm2) y (cm) SΔ (cm3) I0 (cm4) IΔ (cm4)

Section brute 7571 620609,5 66152848,36

Gaines 100,48 85 8540,8 401,92 726369,92Section nette 7470,52 612068,7 65426478,44

V’ = S/Δ / B=81.93cm.

V = h- V‘ =68.07 cm IGN=I/Δ – B x V’2 = 15278952.8 cm4.

i = (IGN / B)1/2 =45.22 cm

ρ= IG / (V x V' x B) = 0.3667 = 36.67 %.

VIII-2-1-2- Section avec Hourdis :

Designation

B(cm2) y (cm)

SΔ(cm3) I0(cm4) IΔ (cm4)

Section brute 11071 1180609,5 155869515

Gaines 100,48 85 8540,8 401,92 726369,92Section nette 10970,52 1172068,7 155143145

V’ = S/Δ / B=106.84cm.

V = h- V‘ =63.16cm IGN=I/Δ – B x V’2 = 29921639cm4

i = (IGN / B)1/2 = 52.23ρ= IG / (V x V' x B) = 0.4042= 40.42%.

VIII-2-2- X = 0,25L :VIII-2-2-1- Section sans hourdis: y=∑ yj/j =(26.13+57.36+96.69)/3=60.06cm.

Promotion 2008 65

Tab 8.6.caractéristique géométrique de section x=0.00L sans hourdis

Tab 8.7.caractéristique géométrique de section x=0.00L avec hourdis


Position 3 gaines. Bg=3π(8)2/4, I0g=3π(8)4/64

Désignation

B (cm2) y (cm) SΔ (cm3) I0 (cm4) IΔ (cm4)

Section brute 5108 429917,2 50018474

Gaines 150,72 60,06 9052,2432 602,88 544280,6066Section nette 4957,28 420864,957 49474193,4

V’ = S/Δ / B=84.9cm.

V = h- V‘ =65.1cm

IGN=I/Δ – B x V’2 =13743447.5cm4.

i = (IGN / B)1/2 = 52.47

ρ= IG / (V x V' x B) = 0.5016 = 50.16 %.

VIII-2-2-2- Section avec hourdis :

Désignation

B (cm2) y (cm) SΔ (cm3) I0 (cm4) IΔ (cm4)

Section brute 8608 989917,2 139735141

Gaines 150,72 60,06 9052,2432 602,88 544280,607Section nette 8457,28 980864,957 139190860

V’ = S/Δ / B=115.98 cm.

V = h- V‘ =54.02 cm

IGN=I/Δ – B x V’2 =25431346cm4.

i = (IGN / B)1/2 = 54.63

ρ= IG / (V x V' x B) = 0.48 = 48 %. VIII-2-3- X = 0,50L :VIII-2-3-1- Section sans hourdis : y =∑ yj / j = (15+40+60)/3= 38.33 cm. Position 3 gaines Désignation B (cm2) y (cm) SΔ (cm3) I0 (cm4) IΔ (cm4)

Promotion 2008 66




Section brute

5108 429917,2 50018474Gaines 150,72 38,33 5777,0976 602,88 222039,031Section nette 4957,28

424140,102 49796434,97

V’ = S/Δ / B=85.56cm.

V = h- V‘ = 64.44cm

IGN=I/Δ – B x V’2 =13507416.3 cm4.

i = (IGN / B)1/2 =52.20

ρ= IG / (V x V' x B) = 0.4942 = 49.42 %. VIII-2-3-2- Section avec Hourdis :

Designation

B(cm2) y (cm) SΔ(cm3) I0 (cm4) IΔ (cm4)

Section brute

8608 989917,2 139735141Gaines 150,72 38,33 5777,0976 602,88 222039,031Section nette 8457,28 984140,102 139513102

V’ = S/Δ / B=116.37cm.

V = h- V‘ =53.63cm

IGN=I/Δ – B x V’2 = 24992624.5cm4.

i = (IGN / B)1/2 =54.36

ρ= IG / (V x V' x B) = 0.4735 = 47.35 %.

VIII-3- Calcul des pertes : De façon générale, on désigne sous le nom de perte de précontrainte toute différence entre la force exerce par le vérin lors de sa mise en tension, et la force (inférieure) qui s'exerce en un point donné d'une armature à une époque donnée. Le calcul des valeurs initiales et finales de la force précontrainte exige donc une évolution précise des pertes de précontrainte, pour cette évaluation, les pertes doivent être rangées en deux catégories :

Les pertes instantanées : Pertes dues au frottement. Pertes dues au recul à l'ancrage. Pertes dues au raccourcissement instantané du béton.

Promotion 2008 67




Les pertes différées : Pertes dues au retrait du béton. Pertes dues au fluage. Pertes dues à la relaxation des aciers.

VIII-3-1- Pertes instantanées :

VIII-3-1-1- Pertes dues au frottement du câble sur la gaine:

Δσf = σp0 (1− e ( -fα – φl) ). (B.P.E.L)

α: L’angle de relevage du câble en rad.l : Longueur en courbe des câbles.f : Coefficient de frottement du câble dans les courbes, tel que f = 0,2/rad. (ALGA).φ: Perte relative de tension par mètre, telle que φ = 0,002/m. (ALGA).σp0 : Contrainte de tension à l’encrage σp0 = 14160 kg/cm2.l : la longueur du câble calculée à l’aide du logiciel AUTOCAD.

Section N° câblel (m)

α (rad) fα+ φlΔσf

(kg/cm2)Δσf moy

(kg/ cm2)

0,25l

01 8,472 0,0539 0,027 387.18

428.6502 8,502 0,0838 0,033 470.1103 3.413 0.1223 0,030 428.73 428.73

0,5l01 16,840 0,0539 0,044 615.49

658.0502 16,992 0,0838 0,050 700.6103 11.976 0.1223 0,048 669.18 669.18

VIII-3-1-2- Pertes dues au recul à l'ancrage :

X = √ g×Ea

σ P0(f×αL+ ϕ )

Avec : g : l’intensité du recul d’ancrage = 6 mm. D’après ALGA. EA : module d’élasticité de l’acier = 2 107 t/m2. L : longueur du câble. σp0 : Contrainte de tension à l’encrage σp0 = 141600 t/m2.

N° Câble L (m) a (rad) f (a/l) +ϕ X (m)

1 33.68 0,0539 0,0023 19,192 33.984 0,0838 0,0025 18,413 23.952 0.1223 0,0030 16,80

NB : X1,2,3 > L/2, il faut tendre les câbles par une seule extrémité car on obtient des tensions plus élevées.

Promotion 2008 68

Tab 8.12.pertes dues au frottement

Tab 8.13.valeur de X


Calcul des pertes dues au recul d’ancrage :

Δσ recul=2σp0( fαL+ϕ )x

Pour le calcul des pertes aux différentes sections nous utilisons le théorème de «Thalès » appliqué au diagramme des tentions :

Δσ recul=Δσrecul(1−X i

X).

N° Câble f (a/l) +ϕ X (m) Δσrecul à 0.00L Δσrecul à 0.25L Δσrecul à 0.50L

1 0,0023 19.19 1271,15 718,04 164,942 0,0025 18.41 1325,52 724,32 123,123 0,003 16.80 0 1162,08 440,64

Valeurs moyennes des pertes par câble :

Désignation Δσrecul à 0.00L Δσrecul à 0.25L Δσrecul à 0.50L

Câble à l’about 1298.34 721.18 144.03Câble à l’extrados 0 1162,08 440,64

VIII-3-1-3- Pertes dues au raccourcissement instantané du béton :

Δσ a=Ea

2Eiσ 'bj

σ’bj : contrainte parabole du béton.Ea : module d’élasticité de l’acier = 1.9 107 t/m2.Ei : module de déformation longitudinale instantanée du béton.

a) Pertes dues à la mise en tension de la première série de câbles (deux câbles de l’about) :

NB : La section considérée est la section de la poutre seule.A 7 jours : σ7 =2165t/m². Ei = 3,06 106 t/m². Δσ = 3,10σ’bj. Ea = 1.9 107 t/m².

A 28 jours : σ28 = 3500 t/m². Ei = 3,6 106 t/m². Δσ = 2,64σ’bj. Ea = 1.9 107 t/m².

σ 'bj=PB

+Pe2

I−M P e

I .P = N AP (Δσp0 – Δσfrott). P = 2x16.68 (14160 – Δσfrott). e = V’ –y (section corriger sans hourdis)

Promotion 2008 69

Tab 8.15.pertes moyennes dues au recul

Tab 8.14.pertes dues au recul


SectionDésignation

0,00L 0.25L 0.5L

P (kg) 472377,6 457835,642 450053,088I (cm4) 15278952,76 13650386,5 13507416,3B (cm2) 7470,52 4957,28 4957,28e (cm) 3,07 -24,84 -47,23Mp (kg.cm) à 7j 0 13482855 17977140σ'bij (kg/cm2) 63,52 137,59 227,97Δσ à 7j (kg/cm2) 197,21 427,15 707,75Δσ à 28j (kg/cm2) 167,63 363,07 601,58

b) Pertes dues à la mise en tension du 3ème câble à l’extrados : La section à considérer dans ce cas est la section de la poutre + hourdis. Le raccourcissement du béton provoque simultanément des pertes dans la 1ère et la 2ème série de câbles. La contrainte σ'bij est donnée par:

σ 'bj=P1

Bp

+P2e12

I p+MP e1

I P+P2

Bt

+P2e22

I t+MD

I t .P1 = 2 x 16.68 (141600 – Δσfr - Δσrec – Δσrac).P2 = 1 x 16.68 (141600 - Δσfr). Bp : Section de la poutre seule.Bt : Section de la poutre + hourdis.Ip : Inertie de la poutre seule.It : Inertie de la poutre + l’hourdis.Md : moment de l’hourdis.Mp : moment de la poutre seule.

P1 = 2 x 16.68 x (14160 – Δσfrot - Δσrecul - Δσracr). En kg.P2 = 1 x 16.68 x (14160 - Δσfrot). En kg.

SectionDésignation

0,00L 0.25L 0.5L

Δσfrot (kg/cm2) 0 428,65 658,06Δσrecul (kg/cm2) 1298,34 721,18 144,03Δσracr (kg/cm2) 167,63 363,07 601,58P1 (kg) 423472,8408 421907,256 425551,169P2 (kg) 236188,8 229038,918 225212,359Bp (cm2) 7470,52 4957,28 4957,28Bt (cm2) 10970,52 8457,28 8457,28e1 (cm) -3,07 -24,84 -47,23e2 (cm) 0 -11,79 -25,56Ip (cm4) 15278952,76 13650386,5 13507416,3

Promotion 2008 70

Tab 8.16.pertes dues au raccourcissement a l’about


It (cm4) 29921638,97 25242453,1 24992624,5Mp (kg.cm) 0 13482855 17977140Md (kg.cm) 0 8611312,5 11481750σ'bij (kg/cm2) 78,36 99,61 93,15Δσa (kg/cm2) 217,67 276,70 258,76

Tableau récapitulatif des pertes instantanées :

Désignation

Section

frottement

recul raccourcissement

totale (kg/cm2)

Câbles de l’about

0.00L 0 1298.34 167.63 1465.970.25L 428.65 721.18 363.07 1512.90.50L 658.05 144.03 601.58 1403.66

Câble de l’extrados

0.00L 0 0 217.67 217.670.25L 428.73 1162.08 276.7 1867.510.50L 669.18 440.64 258.76 1368.58

VIII-3-2- Pertes différées :

VIII-3-2-1- Pertes dues au retrait du béton :

La perte finale due au retrait du béton est donnée par :

Δ σ = εr (1 − r(j)) EP (Article 3.3.21.BPEL91).

εr = 0,0003 étant le retrait total du béton.j : l’âge du béton au moment de sa mise en précontrainte.r (t) : fonction traduisant l’évolution du retrait en fonction du temps.r (t) = t / t + 9 r(m). Avec r (m) = Bn / P.Bn : la section nette.p : le périmètre de la section.

a) Pour les deux câbles à l’about :Bn =7470.52cm², p = 496.2 cm.A 7 jours : r (m) = Bn / p.= 7470.52 /496.2 =15.06cm r (t) = 7 / (7 + 9 (15.06)) r (t) = 0,049. Alors: Δσ = 0,0003 (1- 0,049) 1.9 107. Donc : Δσ = 5419.00 t / m².A 28 jours : r (t) = 28 / (28 + 9 (15.06)) r (t) = 0,17. Alors : Δσ = 0,0003 (1- 0,17) 1.9 107. Donc : Δσ =4731t/m²=473.10kg/ cm².

b) Pour le câble à l’extrados :Bn = 4957.28cm2. p = 517,14 cm.A 28 jours : r (m) = Bn / p.= 4957.28/ 517,14 =9.58cm

Promotion 2008 71

Tab 8.17.pertes dues au raccourcissement a l’extrados

Tab 8.18.pertes instantanées total


r (t) = 28 / (28 + 9 (9.58)). r (t) =0.245 Alors : Δσ = 0,0003 (1- 0,245) 1.9 107. Donc : Δσ = 4303.35 t / m² =430.33 kg/ cm²

VIII-3-2-2- Pertes dues au fluage :Δ σfl = (σb + σm) Ep / EIJ. (Article 3.3.22 BPEL91)σb : la contrainte finale du béton.σm : la contrainte maximale supportée par le béton dans la section considérée au niveau du centre de gravité des armatures de précontrainte.

a) Pertes de câbles à l’about :Sachant que les câbles sont tirée à 7 jours : σb + σm = σ’bj x Kfl.Kfl : coefficient de fluage.Kfl = (Ei – Ev) / Ev = 3 (Ei – Ev) / Ev = 2……. (BAEL 91).Après 7 jours on a une dissipation de 15 % du fluage du béton donc : Kfl= (100-15)*2=1,7.Δσfl = [1,7 x 1.9 106 / 21000 (350)1/2] σ’bj = 8,221 σ’bj.Désignation 0,00L 0,25L 0,50LPertes dues au fluage (t/m2)

8.221x63.52=522.22

8.221x137.59=1131.17

8.221x227.97=1874.21

b) Pertes du câble à l’extrados :Après 60 jours, on a une dissipation de 50 % du fluage donc : Kfl = (100-50)*2= 1Δσfl = 1x 1.9 106 / 21000 (350)1/2 = 4.84 σ’bj.

Désignation 0,00L 0,25L 0,50LPertes dues au fluage (t/m2)

4.84x78.36=378.91

4.84x99.61=481.66

4.84x93.15=450.43

VIII-3-2-3- Pertes dues à la relaxation des aciers :Δσ = (6/100) ρ1000 [(σpi(x) / fprg) - µ0] σpi(x) (Article 3.3.23 BPEL91).

μ0 coefficient égale à : 0,30 pour les armatures à relaxation normale. 0,43 pour les armatures à très basse relaxation. 0,35 pour les autres armatures.Δσp0= 14160 kg/cm2 et μ0 = 0,43. fprg= 17700 kg/ cm2

σi =Δσp0 - Δσi. Avec Δσi : la contrainte totale instantanée.

a) Câbles sortant à l’about :Désignation 0,00L 0,25L 0,50LΔσp0 (kg/ cm2) 14160 14160 14160Δσi (kg/ cm2) 1465,97 1512,9 1403,66σi (kg/ cm2) 12694,03 12647,1 12756,34Δσreel (kg/ cm2) 546,81 539,76 556,23

b) Câbles à l’extrados :Désignation 0,00L 0,25L 0,50L

Promotion 2008 72

Tab 8.19.pertes dues au fluage à l’about

Tab 8.20.pertes dues au fluage à l’extrados

Tab 8.21.pertes dues a la relaxation des aciers à l’about


Δσp0 (kg/ cm2) 14160 14160 14160Δσi (kg/ cm2) 217,67 1867,51 1368,58σi (kg/ cm2) 13942,33 12292,49 12791,42Δσreel (kg/ cm2) 748,08 487,69 561,57

Tableau récapitulatif des pertes différées (kg/cm2) :Δσd = Δσr + Δσfl + 5/6 Δσp. (Article 3.3.24 BPEL91).

A l’about :

Désignation 0,00L 0,25L 0,50LPertes dues au retrait 473.1 473.1 473.1Pertes dues au fluage 522.22 1131.17 1874.21Pertes dues à la relaxation 546.81 539.76 556.23Δσ totale 1451.00 2054.07 2810.84

A l’extrados:

Désignation 0,00L 0,25L 0,50L

Pertes dues au retrait 430.33 430.33 430.33Pertes dues au fluage 378.91 481.66 450.43

Pertes dues à la relaxation 748.08 487.69 561.57Δσ totale 1432.64 1318.40 1348.74

VIII-3-3- Calcul du pourcentage des pertes totales (instantanées + différées) :% pertes = Δσ totale / 3 x 14160. En (kg/cm2).

Désignation 0,00L 0,25L 0,50LPertes instantanées 3149.61 4893.31 4175.90Pertes différées 4334.64 5426.54 6430.42Pertes totales 7484.25 10319.85 10606.32% pertes 17.62 24.29 24.97

L’estimation des pertes à 25% est vérifie après le calcul, donc le nombre de câbles est bel et bien vérifie et égale à 3 câbles de 12T15 chacun.

VIII-4- Vérification des contraintes normales : VIII-4-1- Introduction :

Durant la réalisation de l’ouvrage , certaine phase provoque des contrainte beaucoup plus importante que celle subit l’ouvrage en service donc on doit vérifier les contraintes quatre phase durant lequel se fait la réalisation de l’ouvrage .Les contraintes admissibles à considérer pour les différentes phases 1,2et 3 sont :

Promotion 2008 73

Tab 8.22.pertes dues a la relaxation des aciers à l’extrados

Tab 8.23.pertes différées totales à l’about

Tab 8.24.pertes différées totales à l’extrados

Tab 8.25.pertes totales


σ '≤0 . 55σ ' 28 (En compression)

σ≤0 .55 σ j (En traction)

Phase 4 :

σ '≤0 . 42σ '28 (En compression)

σ≤σj (En traction)

VIII-4-2- Vérification des contraintes normales a la Phase I : Apres coulage de la poutre, on veut que le moule ne soit immobilisé pour longtemps donc on cherche à décoffrer le plutôt possible, on est limité par la résistance du béton qui est on fonction du temps.On propose donc de tirer les 3 câbles à 50% de leur tension finale.Les efforts sont : * poids propre de la poutre * force de précontrainte

VIII-4-2-1- Pour X=0.5L :Caractéristique géométrique de la poutre

B=4957.28cm2 , V’=85.56cm, V=64.44cm I=13507416.3cm4, i2=2724.84cm2

Les pertes instantanées totals:

Δσ i=4175 .90kg/cm2

Force de précontrainte:

N ( L2 )=16 . 68 (3×14160−4175. 9 )=638912. 39kg

P( L2 )=0,5×638912 .39=319456 .19kg

Calcul des contraintes : Mg=179.77t.m

Fibre supérieure:

σ s=NB (1−eV

i2 )+MGV

I

σ s=319456 .194957 . 28 (1−47 .23×64 .44

2753 .1 )+64 . 44×179 .77×105

13507416 .3σ s=−6 . 80+85 .76=78 .96kg /cm2<192. 5kg /cm2

Vérifiée

Fibre inférieure :

σ i=NB (1+ eV '

i2 )−MGV '

I

σ i=319456 . 194957 .28 (1+47 .22×85 .56

2753 . 1 )−85 .56×179 .77×105

13507416 .3Vérifiée

VIII-4-2-2- Pour X=0.25 L :Caractéristique géométrique de poutre.

Promotion 2008 74

σ i=159 . 03−113. 87=45 . 16kg /cm2<192.5kg /cm2


B=4957.28cm2 ,V’=84.9cm,v=65.1cm ,I=13743447.5cm4, i2=2753.10Les pertes instantanées totales:

Δσ i=4893 .31kg /cm2


N ( L2 )=16 . 68 (3×14160−4893. 31 )=626945 .99 kg

P( L2 )=0,5×626945 .99=313472 .99kg

Calcul des contraintes:Mg=134.83t.m

Fibre supérieure:

σ s=NB (1−eV

i2 )+MGV

I

σ s=313472. 994957 . 28 (1−24 . 84×65 . 1

2753 .1 )+65 . 1×134 .83×105

13743447 .5Vérifiée

Fibre inférieure :

σ i=NB (1+ eV '

i2 )−MGV '

I

σi=313472 . 994957 . 28 (1+24 .84×84 .9

2753 . 1 )−84 . 9×134 . 83×105

13743447 .5 Vérifiée

VIII-4-2-3- Pour X=0.00L :Caractéristique géométrique de la poutreB=7470.52, V’=81.93cm, V=68.07 cm I=15278952.8 cm4 i2=2044.85 cm2


N (0 . 00 L)=∑ σ icosα i

N (0 . 00 L)=1316050 . 67P(0 . 00 L)=0 . 5×1316050 . 67=658025. 33kgCalcul des contraintes :

Promotion 2008 75

σ s=26 . 08+63 .87=89 . 96kg /cm2<192 .5kg /cm2

σ i=111. 67−83 .29=28 . 38kg/cm2<192 . 5kg/cm2

σ s=σ i=658025 .337470 .52

=88 . 08kg /cm2<192. 5kg /cm2


Vérifiée

VIII-4-3- Vérification des contraintes normales a la phase II :On complète à 100% la mise en tension des (03) câbles en 28 jours qui ont effectué Vérification des contraintes :

VIII-4-3-1- Pour X =0.5L :

Pertes instantanées : Δσ i=4175 .90kg/cm2

Pertes différées : Δσ d=6430. 42 kg /cm2

N( L2 )=16 .68(3×14160−4175 .9−6430 .42)

P( L2 )=531652 . 98kg

Calcul des contraintes :Mg=179.77t.m

Fibre supérieure:

σ s=531652. 984957 . 28 (1−47 .23×64 . 44

2724 .84 )+64 . 44×179 .77×105

13507416.3σ s=−12.54+85 .76=73 .22kg /cm2<192 .5kg /cm2

Vérifiée

Fibre inférieure :

σ i=NB (1+ eV '

i2 )−MGV '

I

σ i=531652 . 984957 .28 (1+47 .23×85 .56

2724 . 84 )−85 .56×179 .77×105

13507416 .3σ i=266 . 3−113 .87=152 . 43kg/cm2<192.5kg /cm2

Vérifiée

VIII-4-3-2- Pour X=0.25L:

P( L2 )=536431 . 3kg

Calcul des contraintes :Mg=134.83t.m Fibre supérieure:

σ s=

NB (1−eV

i2 )+MGV

I

σ s=536431. 34957 . 28 (1−24 .84×65 .1

2753 .10 )+65 . 1×134 . 83×105

13743447 . 5σ s=44 . 65+63 . 87=108. 52kg /cm2<192. 5kg /cm2

Vérifiée Fibre inférieure :

Promotion 2008 76


σ i=NB (1+ eV '

i2 )−MGV '

I

σ s=536431. 34957 . 28 (1+24 .84×84 . 9

2753.10 )−84 . 9×134 . 83×105

13743447 . 5σ i=191 .10−83 . 29=107 . 81kg/cm2<192 .5kg/cm2

VérifiéeVIII-4-3-3- Pour X=0.00L:N (0 . 00 L)=1219480 . 73Calcul des contraintes :

σ s=σ i=1219480 .737470 .52

=163 .24<192 .5kg /cm2

VérifiéeVIII-4-4- Vérification des contraintes normales a la phase III :On pose les poutres sur leurs appuis définitifs et on coule l’hourdis les efforts à considérer dans cette phase :

- efforts dus à la 2ème phase.- Poids propre de l’hourdis coulé à la place.N.B : vu que l’hourdis n’est pas assez résistant dans cette phase, la section reste celle de la poutre seule.

VIII-4-4-1- Pour X=0.5L :Contraintes sous l’effet du ‘hourdis Md= 114.82 t.m.

σ s=114. 82×64 . 44×105

13507416 .3=54 . 78kg /cm2

σi=−114 . 82×85 .56×105

13507416 .3=−72. 73kg /cm2

Contraintes résultantes :

σ s=73 .22+54 .78=128 .00<192 .5 kg/cm2 Vérifiée

σ i=152 . 43−72 . 73=79 .7 kg/cm2<192 . 5kg/cm2 Vérifiée

VIII-4-4-2- Pour X = 0.25L : Contraintes sous l’effet du l’hourdis Md = 86.11t.m

σ s=65 .1×86 .11×105

13743447 .5=40 .8kg /cm2

σ i=−86 .11×84 .9×105

13743447 . 5=−53 .2kg /cm2

Contraintes résultantes :

σ s=108 .52+40.8=149. 32<192 .5kg /cm2 Vérifiée

σ i=107 . 81−53 . 2=54 . 61kg/cm2<192. 5kg /cm2 Vérifiée

VIII-4-5- Vérification des contraintes normales a la Phase IV:( ouvrage en service)Application de la surcharge la plus défavorable.

Promotion 2008 77


σ b=0 . 42σ28=147kg /cm2

VIII-4-5-1- Pour X=0.5L :force de précontrainte (on tient compte des pertes totales).

P( L2 )=16 . 68(3×14160−10606 .32)

P( L2 )=531652 .98kg

Calcul des contraintes : Mq=605.22t.m

Fibre supérieure:

σ s=NB (1−eV

i2 )+MGV

I

σ s=531652.988457 . 28 (1−53 . 63×78 .04

2955 .01 )+53 . 63×605 .22×105

24992624 . 5σ s=−26 .17+129 .87=103 .70 kg/cm2<147 kg/cm2

Vérifiée Fibre inférieure

σ i=NB (1+ eV '

i2 )−MGV '

I

σ i=531652 . 988457 .28 (1+78 . 04×116. 37

2955 . 01 )−116. 37×605 .22×105

24992624 . 5σ i=256 . 06−281. 80=−25 .74 kg/cm2≤27kg /cm2

Vérifiée

VIII-5- Vérification des contraintes tangentielles : La vérification des contraintes tangentielles s’effectue phase par phase (les phases sont les mêmes que celles considérées pour la vérification des contraintes normales).La contrainte tangente au niveau d’une section est donnée par la formule suivante :

τ= TSb0 I

( kg/cm2

T : Effort tranchant dans la section considérée.S : Moment statique par rapport à l’axe horizontal passant par le c.d.g de la section situé au dessus de l’axe neutre.b0 : Moment d’inertie de la section droite de la poutre par rapport à G.Pour la vérification, il convient de calculer la contrainte de résistance du béton.

τ 2=σ j

σ '(σ j '−σ 'b )(σ j+σ 'b )

σ j : Contrainte admissible de traction du béton. /

σ ' j : Contrainte admissible de compression du béton.

Promotion 2008 78

Fig 8.3.Section pour calcul S∆


σ b ' : Contrainte de compression au niveau du c.d.g de la section.Vred = TG + Tv.TG = effort tranchant.Tv

= % de la mise en tension x Ap x σi (sinα1 + sinα2).σi = σpo – Δσ. (σpo = 14160 kg/cm2).

Δσ pertes pour chaque étape :

A l’about :

Etape 1 : Δσi pertes instantanées à l’about. Etape 2 : Δσ = Δσi + 30% Δσd ; avec : Δσd pertes différées à l’about. Etape 3 : Δσ = Δσi + Δσd Etape 4 : Δσ = Δσi + Δσd Etape 5 : Δσ = Δσi + Δσd

A l’extrados :

Etape 1 : Δσi pertes instantanées à l’about. Etape 2 : Δσ = Δσi + 30% Δσd Etape 3 : Δσ = Δσi + Δσd Etape 4 : Δσ = Δσabout + Δσextrados ; avec :(Δσabout = Δσi + Δσd ; Δσextrados=σi

extrados). Etape 5 : Δσ = Δσabout + Δσextrados ; avec :(Δσabout = Δσi + Δσd ; Δσextrados=σi

extrados).

VIII-5-1- Pour Section X=0.00L:VIII-5-1-1- Vérification des contraintes tangentielles a la phase I : Dans cette phase. Les 2 câbles ont été tirés à 50% de leur tension final.L’effort tranchant réduit TR = TG + TV

TG = 22.36t (l’effort tranchant du au poids propre de la poutre). α1 =3.09°

α2 = 4.8°

TV = effort tranchant du a la précontrainte. Tv

= % de la mise en tension x Ap x σi (sinα1 + sinα2)

σi = σpo – Δσ . (σpo = 14160 kg/cm2). TV=-14.57tDonc TR=22.36-14.57=7.79t

a) Calcul du moment statique de la section située dessus du C.d.g : 103

SΔ=155187 .42cm3

I=15278952 .8cm4

b0=47−8=39 cm 68.07

b) Calcul de τ :

Promotion 2008 79


σ '7=216 .5kg /cm2 , σ7=142. 9kg /cm2 G

σ 'b=57 .22kg /cm2

τ 2=13 . 2142 . 9

(142 .9−57 . 22)(13 .2+57 . 22)

τ=23 .61kg

τ=7 .79×155187. 42×103

15278952 ,8×39=2.03kg /cm2

Donc : 2.03 kg/cm2 <23.61kg/cm2

VIII-5-1-2- Vérification des contraintes tangentielles a la phase II :Les 2 câbles sont tirés à 100% à 28 jours.L’effort tranchant du à la précontrainte.Tv

= Ap x σi (sinα1 + sinα2)

TV=-28.13tDonc TR =13.46-28.13=-14.67t

a) Calcul de τ :

σ '28=350kg /cm2 , σ '28=0 . 66×350=231kg /cm2

σ 14=14 .46 kg/cm2 , σ28=9. 54 kg/cm2

La contrainte σ 'b=57 .22kg /cm2

τ 2=9 .54231

(231−57 . 22)(9 .54+57 . 22)

τ=21 .88kg /cm2

τ=14 . 67×155187 . 42×103

39×15278952 . 8=3 . 82<21. 88kg /cm2

VIII-5-1-3- Vérification des contraintes tangentielles a la phase III :

Mise en place des poutres sur leurs appuis définitif et coulage de l’hourdis Td=8.22t (L’effort tranchant du au poids propre de l’hourdis).

SΔ=334856 .49cm3

I=29921639cm4

b0=47−8=39 cmTV=TV (phase2)TR=-14.67 +8.22=-6.45t

La contrainte σ 'b=32. 106 kg /cm2

τ 2=9 .54231

(231−32 .106 )(9 .54+32 .106 )

τ=18 . 49kg /cm2

Promotion 2008 80

σ 7=6+0 .06σ '7=20kg /cm2 , σ7=13 . 2kg /cm2

Fig 8.4.Section pour calcul S∆


τ=−6 .45×334856 .49×103

39×29921639=1 . 85<18 .49kg /cm2

VIII-5-1-4- Vérification des contraintes tangentielles a la phase IV : (ouvrage en service à l’infini poutre + hourdis)

SΔ=334856 .49cm3

I=29921639cm4

b0=47−8=39 cmT pout+hour+super= 44.76tL’effort tranchant du a la précontrainte.Les pertes sont (instantanées + différées).

T V=(14160−Δσ i−Δσ d )×(∑ sinα i)×16 . 68

T V=25 . 8 t

a) L’effort tranchant réduit :T r=44 .76−25 . 8=18 . 96 t

La contrainte σ 'b=32. 106kg /cm2

τ 2=9 .54231

(231−32 .106 )(9 .54+32 .106 )

τ=18 . 49kg /cm2

τ=18 .96×334856 . 49×103

39×29921639=5 . 44<18.49 kg/cm2

VIII-5-1-5- Vérification des contraintes tangentielles a la phase V : (Ouvrage en service à l’infini) (Poutre + hourdis)

SΔ=334856 .49cm3

I=29921639cm4

b0=47−8=39 cm

T pout+hour+super +D240= 83.90 t (ELS)L’effort tranchant du a la précontrainte. 63.16 83.16Les portées sont (instantanées + différées).

G

TV=25.8t

a) L’effort tranchant réduit :

Promotion 2008 81

175

T V=(14160−Δσ i−Δσ d )×(∑ sinα i)×16 . 68


Tr=83. 90−25 . 8=58 .1 t

b) Calcul de τ :

σ '28=0 . 42σ '28=147 kg/cm2 , σ28=0 .42σ28=11. 76kg/ cm2

La contrainte σ 'b au C.d.g de la section σ 'b=36 .93kg/cm2

τ 2=11.76147

(147−36 .39)(11. 76+36 . 93)

τ=20 .71 kg /cm2

τ=58 .1×334856 . 49×103

39×29921639=16 . 67<20. 7kg /cm2

VIII-6- Vérification a la rupture :VIII-6-1- Sécurité à la rupture en flexion : 1 ,35 MG + 1,5 MQ ≤ MRA.

1,35 MG + 1,5 MQ ≤ MRB.MRA, MRB sont les moments résistants à la rupture des armatures de précontrainte et du béton.

a) Calcul de MRA.MRA = 0,9 h x F.h = 170 – 15 = 155 cm.F = ω fprg => F = 3 x 16.68 x 10-4 x 177000 =885.71t.MRA = 885.71 x 0,9 x 1,55 = 1235.56 t.m.

b) Calcul de MRB. Pour l’âme :

MRB âme = 0,35 b0 x h² x fc28.L’épaisseur de l’âme b0 = 39 cm.La hauteur utile h = 155 cm.fc28 = 35 MPa.MRB âme = 0,35 x 0,39 x 1.55² x 3500 = 1147.8 t.m.

Pour l’hourdis: On ajoutera au moment de rupture de l’âme, le moment de l’hourdis de largeur totale h et d’épaisseur h0 (h0 = 11+20 = 31 cm) constituent la table de compression. Le moment de rupture de l’hourdis sera évalué en adoptant la valeur minimale des deux résultats suivants :

0.8 (b –b0) (h – h0 / 2) h0 fc28.MRB hourdis = min 0.35 (b – b0) h² fc28. 0,8 (1,75 –0,2) (1.55 – 0,31 / 2) 0,31x 3500.MRB hourdis = min 0,35 (1,75 – 0,20) 1,55² 3500.

Promotion 2008 82


1876.83 t.m.MRB hourdis = min 4561.75 t.m.Alors : MRB hourdi = 1876.83 t.mDonc : MRB = MRB hourdi + MRB âme =3024.63 t.m.

VIII-6-2- Moment de fissuration : Le moment de fissuration est le moment qui provoquerait sur la fibre inférieure une contrainte résultante égale à 2σx (2 x (-31.62) = -63.24 kg/cm²).La contrainte de compression due à la précontrainte étant de 255.95 kg/cm²).le moment de fissuration Mf engendrer la contrainte résultante de (-63.24kg/cm²). Une contrainte élémentaire de :255.95 + 63.24 = 319.19 kg/cm². v’= 115.98 , I = 25431346cm4.Mf x v’ / I = 319.19 => Mf = 319.19 x25431346/ 115.98Mf =700t/m²< 1235.56t/m2.

VIII-6-3- Sécurité :

a) Par rapport au béton :

1,35 MG + 1,5 MQ = 1,35 x 346.15+ 1,5 x 177.83= 734.05t.m.MRB = 3024.63 t.m 0.7 MRB = 2117.24t.m.Donc : 1,35 MG + 1,5 MQ < 0,7MRB. Vérifiée.

b) Par rapport aux aciers :1,35 MG + 1,5 MQ = 734.05t.m.MRA = 1235.56t.m 0,9 MRA = 1112t.m.Donc : 1,35 MG + 1,5 MQ < 0,9MRA. Vérifiée. Donc : La sécurité par rapport à la flexion est bien assurée.

VIII-6-4- Sécurité à la rupture par l’effort tranchant :τred : contrainte de cisaillement.σ : contrainte de compression.L’effort tranchant maximum due aux surcharges : 1,8 TQ = 1,8 x44.48=80.06t.L’effort tranchant réduit sera majoré par : ΔT= (1,8 TQ - TQ) =35.58t. L’effort tranchant réduit majoré : T’R = -57.77+ 35.58 =-22.19t. ζ =16.57 kg/cm².ζ red = 22.19 x 165.7 /80.06 = 45.93 t/m².L’effort de cisaillement produit par les fissurations suivant une direction perpendiculaire à la direction de la contrainte principale de compression d’après (La croix – Fuentes)Tg (2γ) = 2 x ζred / σ’b. = 2 x 45.93/ 50.91= 1.82γ = Arctg (1.8) = 61.00 => γ = 30.5°.

a) Résistance du béton :

Promotion 2008 83


σ b=2 τ red

sin 2 γ (Article 7.3.3 BPEL 91)σb = 2 x 45.93 / sin 61 =105.03t/m².σb < 2/3 x 0,85 fc28 / γb = 2/3 x 0,85 x 35 /1,5 = 1,32Mpa = 1322,2t/m².Donc : La condition σb < 2/3 x 0,85 fc28 / γb est vérifiée

b) Résistance des armatures transversales :Pour l’angle α (qui fait l’étrier à l’axe neutre), on le prend α = π/2.On choisit les armatures transversales : 2HA8 pour As = 1,01cm2.AS xf e

bn xS t xγ s≥(τ red− f tj

3 ) tg(γ ) (Article 7.3.22 BPEL91)

St = 30 cm.γs = 1,15 cm².bn = 39cm.ζ red = 45.93 t/m.ft28 = 270 t/m².γ = 30.5°AS xf e

bn xS t xγ s = 30.03 t/m2.

(τ red− f tj3 ) xtg (γ )

=25.96 t/m2. Donc : 30.03 > 25.96t/m2. Vérifie. La sécurité à la rupture par l’effort tranchant est assurée.

VIII-7- Ferraillage de la poutre :VIII-7-1- Armatures longitudinales : Les armatures transversales et longitudinales seront utilisées en quantités suffisantes pour tenir compte des sollicitations secondaires.Avec :Bt : surface du béton tendu (cm²).Nbt : Effort normal dans la partie du béton tendu = surface de la partie du diagramme des contraintes dans la zone du béton tendu.ftj : contraintes de traction du béton calculée à partir de fcj.σbt : contrainte de traction réelle dans le béton hbt : correspond au lieu ou la contrainte est nulle.ft28 = 270 t/m².fe = 400 MPa = 40000 t/m².hbt = V’- 0.15 = 106.84 – 15 = 91.84cm.Bt=51.5x91.84=4729.76σbt = 257.4 t/m².Nbt = (σbt x ht x b) / 2 = (257.4x 0.9184 x 0,515) / 2 = 60.87t.As =4729.76/1000 +60.87x104/40000 + 270/257.4=21 cm². On prendra 7 HA20 avec une section nominale de 21.99 cm².

VIII-7-2- Armatures de peau : (Article 6.1.31 BPEL 91).a) Longitudinale:

Promotion 2008 84

Q(t/ml)


Pour les armatures de peau on prend 3 cm² / ml de périmètre de section et Si A / B > 0,1 %.Apl = 3 x (1,5 + 0,47) x 2 = 11.82 cm².Apl / B = 11.82 / 5108= 0.23%.Soit 24 HA8 réparties sur le porteur.

b) Transversales:2cm2/ml de parement mesuré parallèle à l’axe du CDG et placé sur le pourtour. Le choix se portera ici sur des cadres, façonnés avec 4 cadres de HA8 /ml.

Minimum d’armatures transversales :Ecartement maximal entre les armateurs transversaux : St = min (0,8h; 3b; 1m)= min (1.2 ; 1,41 ; 1) = 1m.On prendra ici un écartement de 20 cm au droit des appuis pour attendre 1m au centre.

Contrainte

A t

br xSt≥γ S x ( τU−0 ,14 x√ f cj)

0,9 xf e .Avec br : largeur réduite au sens du BPEL 91. γs = 1,15 (BAEL 91). fc14 = 28.19 MPa en phase de construction. fc28 = 35 MPa en phase d’utilisation. br = 47 - 8 = 39cm (8cm diamètre de la gaine).

τu=V u

b0dτu = 22.36/0,39 x 1,35 = 42.47 t/m2.

At≥br xSt xγ S x (τU−0 ,14 x√ f cj)

0,9 xf e .At ¿ 0.39 x 0,2 x (1,15 x (42.47 – 7.43)/36000) = 0,87 cm2. On prend des cadres de HA8 pour As = 1,01 cm2.

c) Cadre du talon :Les cadres du talon sont en continuité avec les armatures transversales de l’âme de poutre

σ en=4200kg /cm2 Et σ 28=28kg /cm2

Soit : l’enrobage nécessaire de la section à mi travée de la poutre et on prend c=6 cm on doit avoir :

W t

t=c

σ 28

σcn×100=6×28

4200×100=4cm2 /ml

On choisit 4 cadres HA8/ml. On fixe l’espacement St = 15 cm à l’about et à 20cm en travée.

d) Armatures supérieurs de la table de compression : L’aile de la poutre est sollicitée par les efforts suivants :

Le poids propre : q1= [(11+16 )/2×28+16×23 . 5 ]×2 .5×1. 00×10−4=0,2t /ml .

Le béton frais hourdis :[ 51 ,5×20 ]×2 .5×1 .00×10−4=0 ,2575t /ml .Une surcharge de 450 kg/m provoquée par la présente des ouvriers et du matériel de travaux lors de la construction. q1=1 . 5×0 . 45×0 .515×1.00=0 , .35 t /mlq=q1+q2+q3=0 . 807 t /ml

Promotion 2008 85


L’aile de la poutre est donc supposée comme une console.

Le moment est :M=ql 2

2=0 .807×0 .5152

2=0 ,107 t .m /ml .

As = 0,45 cm2.On prend HA12 tous les 20 cm.VIII-8- Etude de la plaque d’about :ht = 150 cm.b= 47cm. a= 29cm.Épaisseur de la plaque : ht/4 = 37.5cm.

VIII-8-1- Dimensionnement :VIII-8-1-1- Justification dans la zone de régularisation :

a) Effet de surface :Au voisinage immédiat de Sa, il y lieu de disposer une section d’acier : As = 0,04max (Fjo)/σs lim .

Avec : Fjo : représente la force à l’origine ancrée au niveau j du panneau étudié. σs lim = (2/3) fe = 26666 t/m2.

Fjo = 236.2t.Donc : As = 0,04 x 236.2/26666 = 3,54 cm2.Plan vertical : Soit un cadre de HA16 pour As = 4,02 cm2 autour de chaque plaque d’ancrage.Plan horizontal : Soit un cadre de HA16 pour As = 4,02 cm2 autour de chaque plaque d’ancrage.

b) Effet d’éclatement : La résultante des contraintes d’éclatement est donnée par :

Ri=0 ,25(1−

a id i

)Fjo.

Pour chaque niveau d’ancrage j, on calcule une section d’aciers d’éclatement :

Aej=R j

K jσalignl ¿ s lim ¿¿¿.

Le coefficientK jprenant les valeurs :

K j=1 ; si j est un niveau extrême.

K j=1,5 ; si j est un niveau intermédiaire.

Ri=0 ,25(1−a id i

)Fjo= 0,25(1 - 29/60)236.2 = 30.51 cm2.

Aej=

R j

K j σalignl¿ s lim ¿¿¿ = 30.51 / (1 x 26666) = 11.44cm2.

On dispose, en définitif, une section d’aciers transversale sur une zone de longueur égale à max (dj) en aval de Sa.

Max (Aej) 11.44 cm2.Ae = sup Ae = sup

0,15 (max (Fjo)/ σalignl ¿ s lim ¿¿¿ ) 13,28 cm2.

Promotion 2008 86


Ae = 13,28 cm2.Plan vertical : Soit 4 cadres de HA16 pour As = 16,08 cm2.Plan horizontal : Soit 4 cadres de HA16 pour As = 16,08cm2 autour de chaque plaque d’ancrage.

VIII-8-1-2- Vérification des contraintes du béton :

σ tej=0,5(1−a j

d j

)F j

0

bd j .dj : la hauteur du prisme symétrique associe au niveau jaj : dimension moyenne dans le plan d’étalement des gaines d’ancrages placés à ce niveau j. Fjo : force à l’origine de l’ensemble des câbles ancré au niveau j.a = 29cm. d1 = 2 inf (c, c’) = 2 inf (60, 30) = 60cm.d2 = 2 inf (c, c’) = 2 inf (37.5, 30) = 60cm.σt ej = 0,5(1 – 0,29/0,60) (236,2/0,47 x 0,6) = 216.38 t/m2.fc14 = 0,685 fc28 log (14+1) = 2819,67 t/m2 2/3 fc14 = 1879,78 t/m2.

ft14 = 229,18 t/m2. 1,25 ft14 = 286,47 t/m2.

σ xmj=F j

0

bd j = 236.2 / 0,47 x 0,6 = 837.6 t/m2. σt e1,2 = 216.38t/m2 < 286,47 t/m2. Vérifie

σxmj = 837.6 t/m2 < 1879,78 t/m2. Vérifie.

VIII-9- Justification vis-à-vis de l’équilibre général de diffusion :VIII-9-1- Justification des contraintes tangentielles:

La contrainte conventionnelle de cisaillement de diffusion pure :τ d=2

V x

blrAvec : Vx : effort tranchant dans la position x et lr = ht/4 = 37.5cm.

τ gmax = (τd + τ). On doit vérifie que

τ gmax ne dépasse pas 1,5 ft14.Vx = 236,2 (sinα1 + sinα2)- q.X = 236,2 (sin 3.09 + sin 6.8) – 1,6 x 37.5 =19.42tτ d= 2 x 19.42/ 0,47 x 0,375 =220.42 t/m2.τgmax = τd + τr = 220.42+ 45,00=265.42t < 1,5 ft14 =343,77t.

VIII-9-2- Armatures d’équilibre général :

V xe=V x[1−( f tj3 τd )

2].

Alors la section totale :AC=

|V xe|max−N tc

σs lim

Ntc : effort normal au niveau ou |V xe| égale à

|V xe|max .Vxe = 19.42[1 – (229.18/3x265.42)2] =17.81t.Ac = [17.81– 236.2(cos3.09 + cos6.8)/26666] =17.79cm2.

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1 cadre HA16

1 cadre HA16

4 cadres HA16

dmax = 60 cm


As + Ae = 29.36 > Ac = 17.79cm2. Donc aucune armature supplémentaire n’est nécessaire.

VIII-10- Vérification de la contrainte normale dans la plaque : Section de la plaque : 29 x 29 = 841cm2

. Section de la gaine : 150.72 cm2.Section nette : 690.28cm2.σ = P/S = 236.2/690.28 = 3421.8 t/m2.

σ = 3421.8 t/m2 < σs lim = 26666 t/m2 Vérifie.

VIII-11- Ferraillage :

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Fig. 8.6.ferraillage de régularisation

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08 précontrainte