08_Cours_Integration_primitives2.pdf

DERNIRE IMPRESSION LE 18 mars 2014 14:21

Intgration et primitives

Table des matires

1 Notion dintgrale 21.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Exemple de calcul dintgrale : la quadrature de la parabole . . . . 31.3 Intgrale dune fonction continue positive . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Dfinition cinmatique de lintgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Primitive 62.1 Thorme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Primitive vrifiant une condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Existence de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Primitive des fonctions lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 Rgles dintgrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.7 Exemples de calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Intgrale dune fonction continue 113.1 Calcul partir dune primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Intgrale et aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Proprits algbriques de lintgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4 Intgrales et ingalits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.5 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Calcul du volume dun solide 154.1 Prsentation dune mthode de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Calcul du volume dune sphre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Volume dun cne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

PAUL MILAN 1 TERMINALE S

1 NOTION DINTGRALE

1 Notion dintgrale

Le but de lintgration est de calculer la surface dlimite par une courbe etlaxe des abscisses.

1.1 Dfinition

Dfinition 1 : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ;b].

Soit C f sa courbe reprsentative.Le plan est muni dun repre orthogonal (O, I, J).

On appelle

Unit daire (u.a.) : laire du rectangle bti partir des points O, I et J. Domaine sous la courbe : domaine dlimit par la courbe C f , laxe des abs-cisses, et les droites dquation x = a et x = b (a 6 b).Ce domaine est lensemble des point M(x; y) du plan tels que :

a 6 x 6 b et 0 6 y 6 f (x)

Intgrale de f sur [a ;b] : la mesure delaire en u.a. du domaine situ sous lacourbe C f .

On la note : b

af (x)dx

1 u.a

ba

f (x)dx

O

C f

I

J

a b

Remarque :

b

af (x)dx se lit : somme ou intgrale de a b de f (x)dx .

La variable "x" est une variable muette, cest dire quelle nest plus prsentelorsque le calcul est effectu.

La variable x peut tre remplace par : t, u, ou toute autre lettre lexceptionde a et b.

Exemple : On donne la reprsentationsuivante dune fonction f sur [2 ;3]ainsi que les mesures : OI = 2 cm etOJ = 3 cm. Calculer :

Lunit daire. 32

f (x)dx puis laire en cm2

1

2

1 2 3123 OI

J

Lunit daire vaut : 2 3 = 6 cm2Pour calculer lintgrale, il faut calculer laire sous la courbe en unit daire soitle nombre de rectangles. Il y a 7 rectangles pleins un demi rectangle en haut


1.2 EXEMPLE DE CALCUL DINTGRALE : LA QUADRATURE DE LA PARABOLE

gauche et un triangle en haut droite de ct respectifs 2 et 1 soit 212 = 1 rec-tangle. On en dduit donc :

32

f (x)dx = 8, 5 et A = 8, 5 6 = 51 cm2

1.2 Exemple de calcul dintgrale : la quadrature de la parabole

Le problme : Calculer lintgrale de la fonction carre f sur [0; 1].

Il sagit donc de calculer laire A sous la parabole dans lintervalle [0 ;1]. Lidede Riemann est dencadrer cette aire par deux sries de rectangles. On divise

lintervalle [0 ;1] en n parties. Sur chaque petit intervalle[

in ,

i+1n

], on dtermine

la valeur minimale et maximale de la fonction carre. Comme cette fonction estcroissante sur [0 ;1], la valeur minimale est f

(in

)et la valeur maximale f

(i+1

n

).

On obtient alors ces deux sries de rectangles comme la figure ci-dessous :

1

O in

f

(i

n

)f

(i + 1

n

)

i + 1n

1n

2n

n

n= 1. . .

Suite Tn

Suite Sn

On dfinit deux suites avec f (x) = x2 :

La suite (Sn) des rectangles hachurs dont laire est Sn :

Sn =

(1n

)2 1

n+

(2n

)2 1

n+ +

(n 1

n

)2 1

n

=12 + 22 + + (n 1)2

n3

La suite (Tn) des rectangles bleus dont laire est Tn :

Tn =

(1n

)2 1

n+

(2n

)2 1

n+

(3n

)2 1

n+ +

(nn

)2 1n

=12 + 22 + + n2

n3= Sn +

1n

Laire sous la courbe A vrifie donc : Sn 6 A 6 Tn


1 NOTION DINTGRALE

Algorithme : Calculer laide dun algorithme les valeurs de Sn et Tn lorsquen = 5, 10, 20, 100, 1000

Programme classique pour dterminer lestermes dune suite dfinie par une somme.

On obtient alors les rsultats suivants 104prs :

n S T5 0, 2400 0, 440010 0, 2850 0, 385020 0, 3088 0, 3588100 0, 3284 0, 33841000 0, 3328 0, 3338

VariablesN, I, S, TAlgorithmeLire N0 SPour I variant de 1 N 1

S +I2

N3 S

FinPour

S +1N T

Afficher S et T

On constate que les deux suites semblent converger vers la mme limite :S1000 T1000 0, 333Remarque : Daprs le tableau de valeurs, on peut conjecturer que la suite (Sn)est croissante et la suite (Tn) est dcroissante. De plus leur diffrence Tn Sn = 1ntend vers 0. On dit alors que les suites sont adjacentes.

Dmonstration : Montrons que ces deux suites convergent vers la mme li-mite.On peut montrer par rcurrence que la somme des carrs est gale :

12 + 22 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

En appliquant cette formule lordre n 1, on obtient :

12 + 22 + + (n 1)2 = (n 1)n [2(n 1) + 1]6

=n(n 1)(2n 1)

6

En appliquant cette relation aux suites Sn et Tn, on obtient :

Sn =n(n 1)(2n 1)

6n3=

13 1

2n+

16n2

Tn =n(n + 1)(2n + 1)

6n3=

13+

12n

+16n2

On a :lim

n+12n

+16n2

= 0 et limn+

12n

+16n2

= 0

On en dduit par addition : limn+ Sn =

13

et limn+ Tn =

13

Comme les deux suites encadrent A , on a : A =13u.a. et donc

10

x2 dx =13

Calculette TI 82 : Pour calculer la valeur exacte de cette intgrale faire (dansle menu math)

fonctIntgr(X2, X, 0, 1) Frac on retrouve 1/3


1.3 INTGRALE DUNE FONCTION CONTINUE POSITIVE

1.3 Intgrale dune fonction continue positive

On gnralise cet encadrement une fonction f quelconque continue et posi-tive. On divise lintervalle [a; b] en n parties gales. Sur chaque petit intervalle, ondtermine la valeur minimale et maximale de la fonction f . Laire sous la courbeest alors encadre par deux suites correspondantes laire des rectangles hachu-re et laire des rectangles bleus. Ces deux suites convergent vers la mme limitequi correspond lintgrale de f sur [a; b] (thorme admis) comme le montre lafigure ci-dessous.

a b

C f

O

Suite TnSuite Sn

Les suites (Sn) et (Tn) convergent versune mme limite A

On a donc : b

af (x)dx = A

Remarque : Le symbole dx dans lintgrale estune notation diffrentielle qui symbolise unetrs petite distance et reprsente la largeur dechaque petit rectangle. f (x)dx reprsente lairedun rectangle et le symbole

devant signifie

que lon fait la somme des aires de chaque petitrectangle.

Exemple : Calculer lintgrale suivante : 11

1 x2 dx.

Le cercle de centre O et de rayon 1 apour quation : x2 + y2 = 1. On en d-duit alors que le demi-cercle de centreO et de rayon 1 pour y > 0 a pour qua-tion y =

1 x2. On en dduit que

lintgrale est laire du demi-disque de

rayon 1 soitpi

2.

1

11

C f

11

1 x2 dx

O

Conclusion : 11

1 x2 dx = pi

2

1.4 Dfinition cinmatique de lintgrale

On a donn jusquici une dfinition gomtrique de lintgrale, on peut aussidonner une dfinition cinmatique de lintgrale.Pour un mobile se dplaant sur une trajectoire la vitesse v(t) positive ou

nulle, la distance d parcourue par le mobile entre les instants t1 et t2 sexprimepar :

d = t2

t1v(t)dt


2 PRIMITIVE

2 Primitive

2.1 Thorme fondamental

Thorme 1 : Soit une fonction f continue et positive sur un intervalle [a; b].

La fonction F dfinie par : F(x) = x

af (t)dt est drivable sur [a; b] et F = f

ROC Dmonstration : Dans le cas o f est croissante sur [a; b] (On admet ce tho-rme dans le cas gnral).

On revient la dfinition de la drive, il faut montrer que si x0 [a; b] :

limh0

F(x0 + h) F(x0)h

= f (x0)

1er cas : h > 0, on a :F(x0 + h) F(x0) =

x0+ha

f (t)dt x0

af (t)dt =

x0+hx0

f (t)dt = A

(par soustraction daire).

On sait que f est croissante sur [a; b],donc si t [x0; x0 + h], on a :

f (x0) 6 f (t) 6 f (x0 + h)donc en encadrant laire Apar le rectangle minorant (hachur) etle rectangle majorant (bleu) laire ( enbleu), on a : O a bx0 x0+h

A

f (x0) h 6 A 6 f (x0 + h) hf (x0) 6

A

h6 f (x0 + h)

f (x0) 6F(x0 + h) F(x0)

h6 f (x0 + h)

2e cas : h < 0, on montre de mme que : f (x0+ h) 6 F(x0 + h) F(x0)h

6 f (x0)

Conclusion : on sait que f est continue sur [a; b], donc limh0

f (x0 + h) = f (x0)

Daprs le thorme des gendarmes, on a : limh0

F(x0 + h) F(x0)h

= f (x0)

2.2 Dfinition

Dfinition 2 : f est une fonction dfinie sur un intervalle I. On dit que f

admet une primitive sur I si, et seulement si, il existe une fonction F drivable surI telle que :

x I F(x) = f (x)


2.3 PRIMITIVE VRIFIANT UNE CONDITION INITIALE

Exemples :1) Soit la fonction f dfinie sur R par f (x) = 2x. Dterminer une primitive de f .

F drivable sur R et dfinie par F(x) = x2 est une primitive de f car :

x R F(x) = 2x

2) Montrer que la fonction F dfinie sur ]0;+[ par F(x) = x(ln x 1) est uneprimitive de la fonction f dfinie sur ]0;+[ par f (x) = ln x.

F est drivable sur ]0;+[ car somme et produit de fonctions drivables sur]0;+[. On a :

F(x) = ln x 1+ x 1x= ln x

F est donc une primitive de f sur ]0;+[.

Thorme 2 : Soit une fonction f admettant une primitive F sur I, alors toute

primitive G de f est de la forme :

x I G(x) = F(x) + k k R

Dmonstration : Soit la fonction G une fonction dfinie sur I par :

G(x) = F(x) + k

G est manifestement drivable sur I car somme de fonctions drivables sur I.On a :

G(x) = F(x) = f (x)

G est donc une primitive de f sur I.

Rciproquement si G est une primitive de f sur I, alors on a :

x I (F G)(x) = F(x) G(x) = f (x) f (x) = 0Si la drive de (F G) est nulle alors (F G) est une fonction constante.Donc :

x I G(x) = F(x) + k k R

Exemple : Si la fonction F dfinie sur R par F(x) = x2 est une primitive dela fonction f dfinie sur R par f (x) = 2x alors la fonction G dfinie sur R parG(x) = x2 + 3 est aussi une primitive de f sur R.

2.3 Primitive vrifiant une condition initiale

Thorme 3 : Soit f une fonction admettant une primitive sur un intervalle I.

Soit x0 I et y0 R. Il existe une unique primitive F de f sur I tel que :F(x0) = y0


2 PRIMITIVE

Dmonstration : Soit F et G deux primitives de f sur I. On a donc :

F(x) = G(x) + k

si on impose F(x0) = y0 alors il existe un unique k tel que k = y0 G(x0)

Exemple : Dterminer la primitive F de f (x) = 2x tel que F(2) = 3.

F est une primitive de f donc : F(x) = x2 + k

F(2) = 4+ k alors k = F(2) 4 = 3 4 = 1 donc F(x) = x2 1.


2.4 EXISTENCE DE PRIMITIVES

2.4 Existence de primitives

Thorme 4 : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives

sur I.

ROC Dmonstration : Uniquement dans le cas o la fonction f est continue sur unintervalle ferm [a; b]. f admet donc un minimum m. On considre la fonction g

telle que : g(x) = f (x)mg est continue (car somme de fonctions continues) et positive sur [a; b]. Daprsle thorme fondamental, la fonction G dfinie ci-dessous est une primitive de gsur [a; b].

G(x) = x

ag(t)dt

La fonction F dfinie sur [a; b] par : F(x) = G(x) + mx est alors une primitivede f car :

F(x) = G(x) + m = f (x)m + m = f (x)Remarque : On admet ce thorme dans le cas gnral. x

af (t)dt est la primitive de f qui sannule en a

2.5 Primitive des fonctions lmentaires

Par lecture inverse du tableau des drives, on obtient le tableau des primitivessuivantes en prenant comme constante dintgration k = 0 :

Fonction Primitive Intervalle

f (x) = a F(x) = ax R

f (x) = x F(x) =x2

2R

f (x) = xn F(x) =xn+1

n + 1R

f (x) =1x

F(x) = ln x ]0;+[

f (x) =1xn

n 6= 1 F(x) = 1(n 1)xn1 ]; 0[ ou ]0;+[

f (x) =1x

F(x) = 2

x R+

f (x) = sin x F(x) = cos x Rf (x) = cos x F(x) = sin x R

f (x) = ex F(x) = ex R


2 PRIMITIVE

Exemples : Quelques exemples dapplication du tableau :

1) Sur R, f (x) = x4 alors F(x) =x5

5

2) Sur R+, f (x) =1x3

alors F(x) = 12x2

On pourrait aussi considrer que f (x) = x3, en appliquant la formule de la

fonction puissance, on obtiendrait : F(x) =x2

2 = 12x2

2.6 Rgles dintgrations

Daprs les rgles de drivation, on dduit les rgles suivantes en prenant commeconstante dintgration k = 0 :

Primitive de la somme(u + v) =

u +

v

Primitive du produit par un scalaire(au) = a

u

Primitive de uun

uun =un+1

n + 1

Primitive deu

u

uu

= ln |u|

Primitive deu

unn 6= 1

uun

= 1(n 1)un1

Primitive deu

u

uu= 2

u

Primitive de ueu

ueu = eu

Primitive de u(ax + b)

u(ax + b) =1a

U(ax + b)

2.7 Exemples de calcul de primitives

B Bien adapter le coefficient lorsque cela est ncessaire pour obtenir une formedonne

Polynme : f (x) = x3 2x2 + 4x 1, alors F(x) = 14

x4 23

x3 + 2x2 x

Forme uun : f (x) = 2x(x2 1)3, alors F(x) = (x2 1)44

f (x) = (3x 1)4 = 13

[3(3x 1)4], alors F(x) = 1

3(3x 1)5

5=

(3x 1)515


Formeu

u: f (x) =

22x 3, alors F(x) = ln |2x 3|

f (x) =1

4x + 1=

14

[4

4x + 1

], alors F(x) =

14ln |4x + 1|

Formeu

un: f (x) =

x + 1(x2 + 2x 3)2 =

12

[2x + 2

(x2 + 2x 3)2], alors

F(x) =1

2(x2 + 2x 3)

Formeuu: f (x) =

1x + 4

alors F(x) = 2

x + 4

f (x) =3

2x + 1=

32

[2

2x + 1

], alors F(x) =

32 22x + 1 = 32x + 1

Forme ueu : f (x) = e4x+1 =14

[4e4x+1

], alors F(x) =

14

e4x+1

f (x) = xex2+3 = 12

[2xex2+3

], alors F(x) = 1

2ex2+3

Remarque : Trouver une primitive nest pas toujours chose facile. Des mani-pulations plus sophistiques (par exemple pour les fonctions rationnelles ou lesfonctions possdant des radicaux) sont parfois necessaires pour dterminer uneprimitive (cf complments sur lintgration). Parfois la primitive ne correspond aucune fonction connue, elle est alors uniquement dfinie par une intgrale (parexemple la primitive de ex2)Contrairement la drivation qui est toujours possible, la recherche de primitivesavre donc parfois impossible ! !

3 Intgrale dune fonction continue

3.1 Calcul partir dune primitive

B On tend la validit du thorme fondamental aux fonctions continues designes quelconques.

Thorme 5 : f est une fonction continue sur un intervalle I. F est une primi-

tive quelconque de f sur I, alors pour tous rels a et b de I on a :

ba

f (x)dx = [F(x)]ba = F(b) F(a)

Dmonstration : Si la fonction f est continue sur I alors f admet une primitiveG sur I qui sannule en a. On a alors pour tous rels a et b de I :

G(x) = x

af (t)dt on a alors :

ba

f (x)dx = G(b)


3 INTGRALE DUNE FONCTION CONTINUE

Soit F une primitive quelconque de f sur I, alors il existe un rel k tel que :

F(x) = G(x) + k

On obtient alors : F(a) = k et G(b) = F(b) k = F(b) F(a).Conclusion :

ba

f (x)dx = F(b) F(a).Exemples :

1) Calculer lintgrale suivante : 21

(x2 4x + 3)dx

21

(x2 4x + 3)dx =[

x3

3 2x2 + 3x

]21

=

(83 2 4+ 3 2

)(13 2 3

)

=83 8+ 6+ 1

3+ 2+ 3 = 6

2) Calculer lintgrale : 20

3x(x2 + 1)2

dx

20

3x(x2 + 1)2

dx =32

20

2x(x2 + 1)2

dx =32

[ 1

x2 + 1

]20=

32

(15+ 1

)=

65

3.2 Intgrale et aire

Proprit 1 : Relation entre aire et intgrale

Soit f une fonction continue sur un in-tervalle [a; b] telle que f 6 0. Soit Alaire dlimite par la courbe, laxe desabscisses et les droites x = a et x = b.On a alors :

A = b

af (x)dx

O

a b

C f

A

Soient deux fonctions f et g continuessur [a; b] telles que f > g. Soit D lairecomprise entre les deux courbes et lesdroites x = a et x = b. On a alors :

D = b

a( f g)(x)dx

Oa b

C f

Cg

D

Dmonstration : La premire proprit se montre facilement par symtrie aveclaxe des abscisses.La deuxime proprit est directement lie la soustraction de deux aires.

Exemple : Trouver laire comprise entre la parabole dquation y = x2 et ladroite y = x entre les abscisses x = 0 et x = 1


3.3 PROPRITS ALGBRIQUES DE LINTGRALE

1

10

On a alors comme la parabole est endessous de la droite :

A = 10(x x2)dx

=

[12

x2 13

x3]10

=12 1

3=

16

3.3 Proprits algbriques de lintgrale

Proprit 2 : Soit f une fonction continue sur un intervalle I alors :

1) a I on a : a

af (x)dx = 0

2) a, b I on a : a

bf (x)dx =

ba

f (x)dx

3) Relation de Chasles

a, b, c I on a : c

af (x)dx =

ba

f (x)dx + c

bf (x)dx

Dmonstration : Ces proprits dcoulent immdiatement du calcul partirde la primitive F de f . Par exemple pour la relation de Chasles :

ba

f (x)dx + c

bf (x)dx = F(b) F(a) + F(c) F(b) = F(c) F(a) =

ca

f (x)dx

Remarque :

Si une fonction est paire, alors daprs la relation de Chasles, on a : aa

f (x)dx = 0a

f (x)dx+ a0

f (x)dx = a0

f (x)dx+ a0

f (x)dx = 2 a0

f (x)dx

Si une fonction est impaire, alors daprs la relation de Chasles, on a : aa

f (x)dx = 0a

f (x)dx + a0

f (x)dx = a0

f (x)dx + a0

f (x)dx = 0

Thorme 6 : Linarit de lintgrale

Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I contenant a et b, alors pourtous les rels et , on a :

ba( f + g)(x)dx =

ba

f (x)dx + b

ag(x)dx

Dmonstration : idem, cela dcoule immdiatement des primitives F et G desfonction f et g.


3 INTGRALE DUNE FONCTION CONTINUE

Exemple : f et g sont deux fonctions continues sur [0, 1] telles que : 10

f (x)dx =13

et 10

g(x)dx =12

10(5 f 3g)(x)dx = 5

10

f (x)dx 3 10

g(x)dx =53 3

2=

16

3.4 Intgrales et ingalits

Thorme 7 : Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a; b].

1) Positivit

Si f > 0 sur [a; b] alors : b

af (x)dx > 0

2) Intgration dune ingalit

Si f > g sur [a; b] alors : b

af (x)dx >

ba

g(x)dx

3) Ingalit de la moyenne

Si x [a; b], m 6 f (x) 6 M alors m(b a) 6 ba f (x)dx 6 M(b a)

Dmonstration :

1) Immdiat car si la fonction est positive sur [a, b], lintgrale b

af (x)dx repr-

sente laire sous la courbe, donc la quantit est positive.

2) Si f > g alors on a : f g > 0 donc daprs le 1), on a : b

a( f g)(x)dx > 0.

Daprs la linarit de lintgrale, on a :

ba( f g)(x)dx =

ba

f (x)dx b

ag(x)dx

On en dduit donc que b

af (x)dx >

ba

g(x)dx

3) De lencadrement de la fonction f , daprs le 2), on en dduit :

m 6 f (x) 6 M ba

mdx 6 b

af (x)dx 6

ba

M dx

[mx

]ba6

ba

f (x)dx 6[

Mx]b

a

m(b a) 6 b

af (x)dx 6 M(b a)

Exemple : Encadrement de lintgrale suivante : I = 91

11+

xdx.


3.5 VALEUR MOYENNE

On encadre la fonction f sur [1; 9] :

1 6x 6 9

1 6

x 6 3

2 61+

x 6 4146

11+

x6

12

On applique ensuite lingalit de lamoyenne :

14(9 1) 6

91

11+

xdx 6

12(9 1)

2 6 90

11+

xdx 6 4

2 6 I 64

3.5 Valeur moyenne

Thorme 8 : Soit une fonction f continue sur un intervalle [a; b]. La valeur

moyenne de la fonction f sur [a; b] est le rel dfini par :

=1

b a b

af (x)dx

Remarque : Cette dfinition est la gnralisation de la moyenne dune srie statistique :

x =1N

n

i=1

xi

Cinmatique. On peut donc donner la dfinition de la vitesse moyenne V dunmobile entre les instants t1 et t2 dont la vitesse instantane est v(t) :

V =1

t2 t1 t2

t1v(t)dt

Interprtation graphique :

Soit f une fonction continue et positivesur [a; b], On a alors :

A = b

af (x)dx

= (b a)Laire A est gale laire du rectanglerouge sur la figure ci-contre

A = (b a)

O

a b

Exemple : Calculer la valeur moyenne de la fonction sinus sur [0;pi].

=1pi

pi0

sin x dx =1pi

[ cos x

]pi0=

1pi(1+ 1) =

2pi

4 Calcul du volume dun solide

4.1 Prsentation dune mthode de calcul

Unemthode pour dterminer le volume dun solide, consiste dcouper celui-ci par des plans parallles. On intgre ensuite les surfaces obtenues par ce dcou-page suivant laxe normal ces plans.


4 CALCUL DU VOLUME DUN SOLIDE

On sintressera uniquement au vo-lume de solide de rvolution.

Solide de rvolution : solide engen-dre par une surface de rvolu-tion

Surface de rvolution : surface engen-dre par une courbe (directrice)tournant autour dun axe.

Si laxe (Oz) est laxe de rvolution, levolume V du solide de rvolution estgal :

V = b

aS(z)dz =

ba

pi r2(z)dz

b dz

z

r(z)S(z)

O

a

b

4.2 Calcul du volume dune sphre

Compte tenu de la symtrie de lasphre, on calcule le volume dunedemi-sphre quon multipliera ensuitepar 2.On dcoupe ainsi la demi-sphre avecdes plan perpendiculaires laxe (Oz).Les surfaces obtenues sont alors descercles de rayon r(z). La surface de cescercles S(z) vaut :

S(z) = pi r2(z)

y

x

z

R

r(z)

R

O

MbN

Il reste donc dterminer le rayon r(z) en fonction de z laide du thorme dePythagore dans le triangle OMN rectangle en N(0, 0, z) :

r2(z) = R2 z2On obtient alors le demi volume de la sphre :

12

V = R0

S(z)dz = R0

pi(R2 z2)dz = pi[

R2z z3

3

]R0= pi

(R3 R

3

3

)=

23

piR3

On en dduit alors le volume de la sphre que tout lemonde a appris : V =43

piR3

4.3 Volume dun cne

On dcoupe le cne daxe (Oz) avec des plans perpendiculaires laxe (Oz). Lessurfaces obtenues sont alors des cercles de rayon r(z).Il reste donc dterminer le rayon r(z) en fonction de z laide du thorme deThals dans les triangles : OBB et OAA, on a avec A(0, 0, z) :

OAOB

=AABB

zh=

r(z)

R r(z) = Rz

h


4.3 VOLUME DUN CNE

On obtient ainsi le volume du cne :

V = h0

pi r2(z)dz = h0

piR2z2

h2dz

=piR2

h2

h0

z2dz =piR2

h2

[z3

3

]h0

=piR2

h2

(h3

3

)=

13

piR2h

On retrouve ainsi le volume du cneque tout le monde connat : V =

13

piR2h

h

R

y

x

z

r(z)

bBB

O

bA A


Notion d'intgraleDfinitionExemple de calcul d'intgrale : la quadrature de la paraboleIntgrale d'une fonction continue positiveDfinition cinmatique de l'intgrale

PrimitiveThorme fondamentalDfinitionPrimitive vrifiant une condition initialeExistence de primitivesPrimitive des fonctions lmentairesRgles d'intgrationsExemples de calcul de primitives

Intgrale d'une fonction continueCalcul partir d'une primitiveIntgrale et aireProprits algbriques de l'intgraleIntgrales et ingalitsValeur moyenne

Calcul du volume d'un solidePrsentation d'une mthode de calculCalcul du volume d'une sphreVolume d'un cne

Documents

08_Cours_Integration_primitives2.pdf