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Introduction à la théorie des tests

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Plan

• I- choix entre 2 paramètres de tendance centrale

• Choix entre 2 proportions pour un caractère qualitatif

• Choix entre 2 moyennes pour les variables quantitatives

• II- Comparaison des distributions

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Choix entre deux paramètres de tendance centrale

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Choix entre deux proportions

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Choix entre deux proportions

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Choix entre deux proportions

7

Choix entre deux proportions

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Choix entre deux proportions

Cas N°1 : n et connus => et à déterminer

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Choix entre deux proportions

Cas N°1 : n et connus => et à déterminer

po = 0.10p1 = 0.15n = 900 = 0.025

= 0.1196 = 0.0054

=>

Ce qui permet de conclure :

po = 0.10p1 > 0.15n = 900 = 0.025

= 0.1196 < 0.0054

=>

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Choix entre deux proportions

Cas n°2 et connus => n et à déterminer

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Choix entre deux proportions

Cas N°2 et connus => n et à déterminer

po = 0.10p1 = 0.15 = 0.1196 = 0.025

=>n = 900 = 0.0054

po = 0.10p1 > 0.15 = 0.1196 = 0.025

=>n = 900 < 0.0054

Ce qui permet de conclure :

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Choix entre deux proportions

Cas n° 3n et connus => et à déterminer

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Choix entre deux proportions

I-2 Résolution simultanée des 2 problèmes de distribution d’échantillonnage ( et connus)

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Choix entre deux proportions

I-3 Décision finale

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Choix entre deux moyennes

Exemple : montant moyen des factures

• H0 : la population mère suit une loi inconnue de moyenne M0 = 5 000 et = 2 000

• H1 : la population mère suit une loi inconnue de moyenne M0 = 5 500 et = 2 100

Dans l’hypothèse H0

Dans l’hypothèse H1

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Choix entre deux moyennes

nt

/2000

5000

Dans l’hypothèse H0

Dans l’hypothèse H1 nt

/1002

5005

Ces 2 pbs d’échantillonnage comportent 2 paramètres communs : n et

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Choix entre deux moyennes

Cas N°1 : n et connus , et à déterminer

N =900 et = 0.01 => 67.67

50003263.2

t => = 5 155

Le risque de 2ième espèce se calcule alors facilement :

t = (5155-5500)/70=-4.93 => la table 3.b montre que < 0.001

On a donc :

M0 = 50000 = 2000M1 = 55001 = 2100n = 900

=> = 5155 et <0.001

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Choix entre deux moyennes

Cas N°2 : et connus , et n à déterminer

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Choix entre deux moyennes

Cas N°2 : et connus , et n à déterminer - schéma récapitulatif

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II- Comparaison de 2 distributions

Problématique : adéquation d’une distribution observée avec une distribution théorique

• H0 : l’échantillon est tiré d’une population caractérisée par la distribution théorique

• Démarche : accepter H0 ou rejeter H0

– On calcule un indicateur d’écart– Cette valeur calculée est comparée à une valeur critique lue dans

une table=> on accepte ou on rejette H0

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II- Test du ²

Caractère quantitatif• Cas de variables discrètes

– Adéquation d’une distribution observée avec une loi de Poisson de paramètre 1.7

xi ni

0 51 82 63 34 25 1

Total 25

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Test du ²- Caractère quantitatif• Calcul de l’indicateur ²cal

– On calcule p(X= xi) d’après la loi théorique – On calcule n x pi– On regroupe les classes si n x pi <5– On calcule ²cal

– Nb de degrés de liberté = • nb de classes ( après regroupement ) – 1 – nb de param estimés => lecture du ²théorique

xi ni pi n pi n pi groupés ni groupés (ni -npi)²/npi

0 5 0.1827 4.56711 8 0.3106 7.76402 6 0.2640 6.5994 6.5994 6 0.054453 3 0.1496 3.73974 2 0.0636 1.58945 1 0.0216 0.5404

>5 0 0.0080 0.19999Total 25 1.0000 25.0000 25.0000 0.0915

12.3311

6.0694

0.0363

0.0008

13

6

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Test du ²- Caractère quantitatif

Caractère quantitatif• Cas de variables continues

– Adéquation d’une distribution empirique avec une loi Normale

• Démarche :– on centre et réduit les variables

– On calcule les probabilités théoriques pi d’après la table de la loi normale

– On calcule ²cal

– On calcule le nb de degrés de liberté = nb de classes -1- nb de paramètres estimés

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Test du ²- Caractère quantitatif• Distribution observée des 900 chèques à une loi

normale (5232, 1972)