1

INTRODUCTION AUX ORBITESAUTOUR DES TROUS NOIRS

Potentiel effectif relativiste

Orbites des particules

Géodésiques parcourues par la lumière

Espace temps au voisinage d’un trou noir

Lentilles gravitationnelles

Trous noirs et limite de luminosité d’Eddington

Philippe Magne

2006

2

Potentiel effectif ( données )

3

Potentiel effectif

4

Choix des unités de calculs

5

Potentiel effectif et composante radiale Vr de la vitesse, exprimés dans les unités proposées

6

Application numérique Ueff en fonction de r

7

Potentiels effectifs Newtoniens dans le système Solaire

8

Préliminaire pour passer d’un Potentiel effectif Newtonien à un Potentiel effectif Relativiste

9

Potentiel effectif Relativiste

10

Potentiels effectifs relativistes dans l’intervalle 0 < r/rs=1/u < 15

11

Commentaires sur la figure précédente

12

Calcul des trajectoires des particules autours des trous noirsElles sont dans un plan, le référentiel est en coordonnées polaires r,

Composantes de la vitesse:

Rappel

2

1

2

u

2 2 2 2 2 2 2 2u 3 2 0 s s 0 s

2 2 2

du

m c r E r m c ru u u

J J c J

12 2 2 2 2

3 20r2 2 2 2 2 2 2 40 s 0 s 0

m cV J J Eu u u 1

c E m c r m c r m c

1

2

0 s

20

Ju 1 u

V m crEc

m c

srur

13

Applications numériques

2oE 1.1 m c 0 sJ 2.4 m cr sr 1

14

Trajectoire 2

0E 1.1 m c 20J 2.4 m c

15

Trajectoire instable 20E m c 0 sJ 2 m cr sr 1

16

Trajectoire stable 20E 0.9428090416 m c 0 sJ 3 m cr

sr 1

rv0

c

1

21 13 1

V 3 30.5

c 0.942809

17

Trajectoire Orbite quasi képlérienne

20E 0.9744063635 m c 0 sJ 2.2 m cr sr 1

18

Equation approchée s

r 1 7.686424831

r u 1 0.4074374876 cos(0.8687676414 )

0 4

19

0 64

20

Trajectoire radiale en chute libreEcoulement du temps

21

Temps propre t de l’observateur lointain et Temps propre de la particule en chute libre rs=3 km

22

Expérience de pensée proposée par J.P. LuminetLe salut de l’astronaute

23

L’effet de marée assassin ! mortel3

2GMa r

r a 15g

24

Rayons lumineux

Rappel de l’équation concernant les particules massiques:

Equation pour les photons, on fait : m0= 0

On écrite la constante sans dimension :

L : est homogène à l’inverse d’une longueur

: est un paramètre d’impact

On adopte le changement de variable :

2 2 2 2 2 2

2 3 0 s s2 2 2

m c r E rduu u 1 u 0

d J J c

2 2 22 3 s

2 2

E rduu u 0

d J c

2 2s

2 2 2 2s

E r 1

J c L r

sLr

sLr u

25

Calcul des géodésiques parcourues par les photons autour des trous noirs

Elles sont dans un plan, le référentiel est en coordonnées polaires

Composantes de la vitesse

Rappel :

32

s

d

1Lr

13 2

2r

s

V1

c Lr

1

2

s

V1

c Lr

2s

s

rLr u L

r

26

Applications numériques

Lrs= 3

27

Géodésique Lrs= 3

28

29

Géodésique Lrs= 2.678

30

Géodésique Lrs=2.612

31

Géodésique 3 3

2

32

Géodésique 2.2

33

Conclusion

Aucun rayon lumineux ne peut s’enrouler autour d’un trou noir

si le paramètre d’impact est supérieur à

Si le rayon lumineux est capturé et ne pourra jamais ressortir du trou noir

Cela permet de définir une aire de capture

3 3

2

3 3

2

2 24 27 sr

34

Déflexion de la lumière par des masses stellaires non effondrées

Angle de déflexion prévu par Einstein R: rayon de l’étoile

Pour le Soleil on trouve 1.74’’ seconde d’arc

La validité de cette formule a été confirmée en 1919 1922 1936 1952 1973

Croquis d’après J.P.Luminet : a) positions apparentes pendant une éclipse du Soleil

b) positions en l’absence du Soleil

2

4GM

Rc

35

Lentilles gravitationnelles

36

Images observées

37

L’espace temps courbé par la présence de matière, qu’en est-il plusparticulièrement pour le temps ? Retard d’écho radar Shapiro

Expérience réalisée en 1970 lors de la conjoncture supérieure de Mars,

et de la présence de la sonde Mariner 6 équipée d’un répondeur radar

Nota: durée d’un aller retour Terre Mars Terre ¾ d’heure, mais le retard

d’écho Shapiro est beaucoup plus court

38

Formule donnant le retard d’écho Shapiro

s nepT 250 s 1 0.16 l700000km

39

Visualisation de la courbure de l’espace, artifice du plongement

« On visualise parfaitement la forme d’un cercle de dimension 1 en le plongeant dans le plan de

dimension 2, ou, la surface d’une sphère de dimension 2 dans l’espace euclidien de dimension 3,

ce n’est qu’un espace fictif ne servant qu’à encadrer l’espace temps sectionné » ( J.P. Luminet )

Paraboloïde de L. Flamm ( 1916 )

40

Géodésiques de l’espace temps ( d’après J. P. Luminet )

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Commentaire de J. P. Luminet« Le résultat illustre parfaitement le principe d’équivalence en rendant l’illusion newtonienne d’un univers

plat dans lequel les particules sont déviées de la ligne droite par les forces de gravitation au lieu d’épouser

librement les contours de la géométrie courbe  » 

42

Les Trous Noirs existent –ils vraiment ?

La découverte et la localisation des sources X et en est peut être la preuve

• L’énormité de leur luminosité

• La faiblesse, voire l’absence d’une contrepartie dans le visible

Les étoiles ne peuvent être les sources de ces rayonnements.

Eddington a montré que la luminosité d’une étoile ne pouvait être

supérieure à:

watts

31Max

ML 1.3 10

M

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Le disque d’accrétion d’un trou noir, possible source de gammas

La matière capturée par un trou noir orbite à une vitesse qui rend

vraisemblable l’émission de photons d’une très grande énergie par

suite de chocs d’une extrême violence.

On peut considérer ce disque comme une sorte d’accélérateur de

particules naturel.