1

La cinématique : Elle permet d'étudier les mouvements d’une particule mobile, par rapport à un repère de référence, en fonction du temps indépendamment des causes qui les produisent. Elle a pour but de préciser les trajectoires et les lois horaires.

Pour étudier le mouvement d’une particule M,on doit repérer la position de cette particule :

dans le temps et dans l’espace.

On suppose que l’espace est de dimension au plus 3 et que le temps est absolu indépendant du lieu.

En mécanique classique, et au cours de cet élément du module, on considère que tout

système physique est réduit à un point matériel (particule M) coïncidant avec son

centre de gravité et contenant sa masse m. Nous admettons que sa vitesse v est

négligeable devant la célérité de la lumière c.

2

RepèreRepère d’espace d’espace

Pour repérer la position d’une particule, il est nécessaire de définir un repère d’espace :

A un solide, lié à ce repère d’espace, on fixe une origine O et une base ( i , j , k ) :

Le trièdre (O , i , j , k ) est le repère d’espace.

Repère de tempsRepère de temps

Pour étudier le mouvement d’une particule, on a aussi besoin d’un repère de temps :

On définie un repère de temps par une origine et une unité à l’aide d’une horloge.

RéférentielRéférentiel

Le repère d’espace et le repère de temps définissent un REFERENTIEL.

Un référentiel est donc un « objet » par rapport auquel on étudie le mouvement. Tout mouvement est relatif au référentiel utilisé.

3

- La trajectoire d'une particule mobile est l'ensemble des positions occupées par ce point au cours du mouvement.

- Exemple.Considérons le mouvement d'une valve sur la jante

d'une roue de vélo lorsque celle-ci roule, sans glisser, sur une route horizontale. La situation est schématisée

ci-dessous:

La trajectoire de la valve est représentée:

en vert par rapport à l’axe de la roue (référentiel lié à l’axe de la roue)

en rouge par rapport à R (référentiel terrestre).

La trajectoire dépend donc du repère, on dit que la trajectoire est relative.

- La position d’une particule M est sa trace dans un repère au cours du temps .

POSITION ET TRAJECTOIREPOSITION ET TRAJECTOIRE

R(oxyz)

o

4

Position du point matérielPosition du point matériel La position du point matériel peut être définie au cours du temps en fonction du vecteurposition et on peut aussi repérer ce point en utilisant les différents systèmes de coordonnées.

Ce point M parcourt la trajectoire C et à chaque instant sa position est repérée par :

ses coordonnées (x, y, z) : OM =x i +y j+ z k ou

son rayon vecteur : OM = /OM/ u = r(t) u

R (OXYZ) référentiel

u vecteur unitaire

X

Y

Z

O

M

ru

y

x

z

5

La vitesse moyenne sur l'intervalle de temps [ t , t+ Δt ] est égale au déplacement par unité de temps, soit :

Soit une particule M mobile sur une trajectoire définie par rapport à un référentiel R (OXYZ). A chaque instant t, la position de M est repérée par OM :

t)t(z)tt(z

t)t(y)tt(y

t)t(x)tt(x

moyenneV

tz

tytx

RR

t

MMV moyenne

'

t

MOMO

'

O

X

YM(t)

M0(t0)

M’(t+Δt)Z

6

Rappels mathématiques: Dérivée d'une fonction On appelle "sécante" la droite qui joint les deux points ( x, f(x) )   et (x+h, f(x+h)). Sa pente est :

Lorsque h tend vers 0, la sécante tend vers la tangente à f en x. La pente de cette tangente est appelée « dérivée de f en x » 

En cinématique, la variable est généralement le temps. soit :

f (x h) f (x)

h

h 0

f (x h) f (x) dff '(x) lim f '

h dx

t 0

f (t t) f (t) dff '(t) lim f

t dt

t 0

f (t t) f (t) dff '(t) lim f

t dt

7

Pour obtenir la vitesse à l'instant t, on fait tendre Δt vers zéro dans l'expression de la vitesse moyenne sur l'intervalle [t, t+Δt]. On a la vitesse moyenne :

t

OM'OM

t

'MMVmoyenne

'MM

'MMlim

t

'MMlim)t(V 0t0t

dt

dOM

t

'MMlim)t(V

0t

Soit :

V(M) = ( )V M

( )V M

8

En chaque point de la courbe:

    le vecteur vitesse est tangent à la courbe; elle indique la direction du déplacement;    le sens du vecteur vitesse indique le sens du mouvement du mobile;    la norme du vecteur vitesse indique la longueur parcourue par unité de temps.

)M(V)M(V

On a donc :

O

X

YM(t)

M0(t0)

M’(t+Δt)Z

R(oxyz)

Trajectoire de M par rapport à R

V(M)/R

vecteur vitesse tangent à la trajectoire

est un vecteur unitaire tangent à la trajectoire

t 0

MM 'lim

MM ' """"""""""""""

On a : donc :

9

VECTEUR ACCELERATION INSTANTANNEEVECTEUR ACCELERATION INSTANTANNEE

L'accélération moyenne sur l'intervalle de temps [ t , t+Δt ] est égale à la variation de

vitesse par unité de temps, c'est-à-dire :

Pour obtenir l'accélération à l'instant t, on fait tendre Δt vers zéro dans l'expression de l'accélération moyenne sur l'intervalle [t, t+Δt] :

moyenne

V(M) V(t t) V(t)(M)

t t

""""""""""""""

t 0

V(M) V(t t) V(t) dV(M)(M) lim

t t dt

""""""""""""""""""""""""""""

10

DIFFERENTS REFERENTIELSDIFFERENTS REFERENTIELS

I- REPERE CARTESIENI- REPERE CARTESIEN - Coordonnées cartésiennes:

Dans un repère orthonormé d'axes ox, oy, oz et de base orthonormée. La position du point M au cours du temps est définie par le

vecteur position.

)k ,j ,i(

X

R (OXYZ) repère

Y

Z

O

M

y

x

z

x, y, z sont les coordonnées du point M,

Le module de OM est 2 2 2/ OM / x y z """"""""""""""

OM x(t)i y(t) j z(t)k """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

11

II- REPERE CYLINDRIQUESII- REPERE CYLINDRIQUES

En coordonnées cylindriques, la position du pointM est repérée par (t), (t), et z(t), telles que :

( t ) = rayon polaire , tel que

( t )=(0x,0m): l'angle polaire

z( t ) = /mM/ : la cote z

,0

2,0

,

| Om | :

O

m

12

- Relation entre ( , ,z) et (x, y , z) :

- Le vecteur vitesse :

- Le vecteur accélération s'écrit :

- Le vecteur position s'écrit :

Et puisque : e = cos i + sin j , donc :

OM e zk """""""""""""" OM Om mM """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

Avec vecteur unitaire tel que forme une base orthonormée directe.

OM e zk """""""""""""" On a :

Ome

/ Om /

""""""""""""""

""""""""""""""avec :

/ R

R

dOMV(M) e e z k

dt

""""""""""""""""""""""""""""

e

(e , e , k)

2

/ R

R

dV(M)(M) ( )e ( 2 )e z k

dt

""""""""""""""""""""""""""""

x = cosoùy = sinoùArctangz z

2 2x yy

x

13

REMARQUES :REMARQUES :

Et d’après la figure suivante :

e = cos i + sin j

e = - sin i + cos j

k = k

- De même pour l’accélération, on obtient :

On peut écrire :i

j

e

e

icos sin 0

sin cos 0 j

0 0 1 k

On a:

Et la vitesse de M s’écrit dans la base :

-Exprimer la vitesse et l’accélération dans( i , j , k )

R

dOMV(M) e e z k

dt

""""""""""""""

2

/ R

R

dV(M)(M) ( )e ( 2 )e z k

dt

""""""""""""""

/ RV(M) ( cos sin )i ( sin cos ) j z k

( i , j, k)

14

REPERE SPHERIQUE

En coordonnées sphériques la position du point M est repérée par :

| OM | où Le rayon vecteur r( t ) = r

l'angle ( t ) = ( k , 0M ) où

l’angle ( t ) = ( i , 0m ) où

,0

,0

2,0On a défini ces domaines de définition pour Que le point M décrit l’espace une et une seule fois.

m

Le point m est la projection orthogonale de M sur le plan horizontal (ox,oy).

15

La position de M est donnée par :

Avec :

r/ R r

RR

dedOMV(M) r e r

dt dt

""""""""""""""

r

OMe

/ OM /

rOM r(t)e

""""""""""""""

-Base du repère sphériqueBase du repère sphérique

Pour former une base du repère sphérique, on définit un vecteur unitaire equi est : perpendiculaire à er ,

dans le plan ( k , er ),

dans le sens de et un vecteur unitaire , tel que:

m

M

z

re

e

O

e

re

e

z

O mxe

Dans le plan (Om,k)

e

e

re e e

16

17

DERIVEE DU VECTEUR : eDERIVEE DU VECTEUR : err

A partir du repère sphérique, on peut définir les repères suivants:

R ( i , j , k )

R1( u , v , k )

R2( er , e , e) muni de la base sphérique

fixe

/ ( i , u ) = et u v = k

On remarque que :

Déterminer :

1R

r

dt

ed

= ?

2R

r

dt

ed

= ?

ev

= ?R

r

dt

ed

m

z

re

e

O

e

M

re

e

z

O mxe

Dans le plan (Om,k)

e

u

v =x

y

k

18

car er est « lié » à R20

dt

ed

2R

r

1R

r

dt

ed

k cos u siner

1R

r

dt

ed

= ? M

re

e

z

O m

xe

cos u - sin k

cos u - sin k

e

u

= ? Puisque, on a :

R

r

dt

ed

k cos u siner

donc :

k sin - v sin u cos

R

r

dt

ed

e sin ) e (

v sin k sin - u cos

19

RELATION ENTRERELATION ENTRE

( er , e , e) et ( i , j , k )

er

eer ٨ e

= +u v k+ ( er k )

( er u ) ( er v )

cos er= +u ksin

Et puisque, on a : u = cosi + sinj

donc : er = sincosi + sin sin j + cos k

Dans la base ( u , v , k ) , er peut s’écrire :

Soit :

e = coscosi + cos sin j - sin k

De la même façon, on obtient :

Et la relation : , nous donne :

e = - sini + cos j

Expression du rayon vecteur OM

Dans R2 : OM = /OM/ er = r er

Dans R1 :

Dans R :

r cos OM=

+u kr sin

OM = rsincosi +rsinsin j +rcos k

1R

r

d

ede

ou bien, on peut remarquer :

20

VITESSE ET ACCELERATION DE MVITESSE ET ACCELERATION DE M

R

R/ dt

OMd)M(V

On a :

R

rr

R

rR/ dt

edre

dt

dr

dt

erd)M(V

R

r

dt

ed

et on a démontré que :

e sin e

Et l’accélération de M par rapport à R :

R

R/R/ dt

)M(Vd)M(

Et puisque : OM = r er , donc :

e sin re r e r)M(V rR/

21

COORDONNÉES POLAIRES DE MCOORDONNÉES POLAIRES DE M

En coordonnées polaires, la position de M est repérée par :- le rayon vecteur OM de module (t) et - l'angle polaire (t). (t) et (t) peuvent varier en fonction du temps : x = cos   et y = sin

,

On définit les vecteurs unitaires ( e e ) dans la base ( i , j ) par :

ee

n

M

x

y

O

( j )

( i )

Soit une particule M mobile dans le plan Oxy du repère R(Oxyz) , et (e , e ) une base orthonormée.

e cos i sin j et e sin i cos j

R

desin i cos j e

d

R

decos i sin j e

d

On a : OM = r er

22

Dans la base des coordonnées polaires le vecteur position s'écrit :

VITESSE ET ACCELERATION

eOM

R

R/ dt

OMd)M(V

RR/ )e

dt

de

dt

d(

dt

d)M(

R/)M(V

edt

d

e

dt

d

e) 2 (e) ()M( 2 Remarques :

Dans le cas où dépend du temps, les accélérations radiale et orthoradiale sont

différentes de celles normale et orthonormale.

Dans le cas où est une constante (mouvement circulaire), on aura :

e = et e= - n

23

REPERE DE FRENETREPERE DE FRENET

A chaque point M d'une courbe C, il est possibled'associer le trièdre d'origine M qui est un référentiel dont les axes sont définis par les vecteurs unitaires suivants :

Le trièdre construit sur la base directe est appelé trièdre de Frenet.

est appelé

    Le plan contenant les vecteurs

b = ʌ n

est un vecteur unitaire tangent à C en Mest un vecteur unitaire normal à C en Mdirigé vers la concavité de Cest un vecteur tel que :

n

b

M

n

b

, n ,( ,

b )

et n plan osculateur

C par rapport à R

L'origine du trièdre est le point M et non pas le point O

R(oxyz)

o

24

VITESSE DANS LE REPERE DE FRENET

Par définition, on a :

t 0

MM 'V(M) lim

t

""""""""""""""""""""""""""""

Soit :

est un vecteur unitaire tangent à la trajectoire

0 0

MM ' MM 'V(M) lim lim

t tt MM '

""""""""""""""""""""""""""""

A fixe par rapport à R

OX

Y

ZR(oxyz)

M(t)

M’(t+Δt)

n

nd

C centre de courbure et /OM/ =Rc rayon de courbure

CA

0 0

MM ' AM ' AM dslim limt tt t dt

""""""""""""""

0

MM 'limt MM '

""""""""""""""

s AM arcAM s(t)

s AM ' arcAM ' s '(t t)

Et puisque :

et

Donc, on peut écrire :ds

V(M) dt

""""""""""""""""""""""""""""

25

REPERE DE FRENETREPERE DE FRENET

A chaque point M d'une courbe C, il est possibled'associer le trièdre d'origine M qui est un référentiel dont les axes sont définis par les vecteurs unitaires suivants :

Le trièdre construit sur la base directe est appelé trièdre de Frenet.

est appelé

    Le plan contenant les vecteurs

b = ʌ n

est un vecteur unitaire tangent à C en Mest un vecteur unitaire normal à C en Mdirigé vers la concavité de Cest un vecteur tel que :

n

b

M

n

b

, n ,( ,

b )

et n plan osculateur

C par rapport à R

L'origine du trièdre est le point M et non pas le point O

R(oxyz)

o

26

VITESSE DANS LE REPERE DE FRENET

Par définition, on a :

t 0

MM 'V(M) lim

t

""""""""""""""""""""""""""""

Soit :

est un vecteur unitaire tangent à la trajectoire

0 0

MM ' MM 'V(M) lim lim

t tt MM '

""""""""""""""""""""""""""""

A fixe par rapport à R

OX

Y

ZR(oxyz)

M(t)

M’(t+Δt)

n

nd

C centre de courbure et /OM/ =Rc rayon de courbure

CA

0 0

MM ' AM ' AM dslim limt tt t dt

""""""""""""""

0

MM 'limt MM '

""""""""""""""

s AM arcAM s(t)

s AM ' arcAM ' s '(t t)

Et puisque :

et

Donc, on peut écrire :ds

V(M) dt

""""""""""""""""""""""""""""

27

EXPRESSION DE L’ACCELERATION DANS LEEXPRESSION DE L’ACCELERATION DANS LEREPERE DE FRENETREPERE DE FRENET

V(M) / V(M) / """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

On a : / R

/ R

dV(M)(M)

dt

""""""""""""""""""""""""""""

Et puisque :

/ R

/ R

d/ V(M) / d(M) / V(M) /

dt dt

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

/ R / R

d ds d

dt dt ds

Donc :

On peut écrire :

Où ds = Rc d

Soit :

c/ R / R

d / V(M) / d

dt R d

"""""""""""""""""""""""""" ""

c

/ V(M) /n

R

""""""""""""""

Donc :

/ Rc

d/ V(M) / / V(M) /(M) n

dt R

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

n/ R(M) (M) (M) """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

28

Rayon de courbure

OX

Y

ZR(oxyz)

C centre de courbure et /CM/=Rc rayon de courbure

M

C

n

2 2 2n/ R/ (M) / / (M) / / (M) /

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

Et d’après le triangle (MNP), on peut écrire :

N

P

2 2

c

d/ V(M) / / V(M) /

dt R

""""""""""""""""""""""""""""

2

c 2

2

/ V /R

d / V // /

dt

""""""""""""""

""""""""""""""

Et le rayon de courbure s’écrit :

29

Exemples:

Mouvement circulaire :

rOM Re""""""""""""""

2r(M) R e R e

V(M) R e """"""""""""""

2 2 4 2 2/ / R R

d / V // V(M) / R et R

dt

""""""""""""""""""""""""""""

En reportant ces équations dans l’expression de Rc , on trouve Rc = R

Mouvement rectiligne :

OM / OM / i x(t) i V(M) xi

et (M) xi

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

""""""""""""""

Dans ce cas R tend vers l’infini

xM(t)i

O

O

M

ree

30

- HODOGRAPHE DES VITESSE

Géométriquement, l’odographe par rapport à O:A chaque point de la trajectoire de M, on représente le vecteur vitesse équivalent par translation au point O:

L'ensemble des positions de H constitue l'hodographe du mouvement par rapport à O.

O

M(t1) M(t2)M(t3)

M(t4)H(t1)

H(t2)

H(t3)

H(t4)

V(M)

RemarqueRemarque : Le vecteur accélération est tangent à l'hodographe, en effet :

t 0

V(M)(M) lim

t

""""""""""""""""""""""""""""

V(t)

V(tt

Analytiquement, L’odographe des vitesses par rapport à un point O fixe est donc l’ensemble des positions d’un point H, tel que : OH = V(M)

31

Exemple à faire

32

V- CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIELV- CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL5.1- Données du problème

Soient deux repères:

Les bases sont orthonormées directes et M une particule mobile par rapport à R et R0 :

R0 ( O0 x0 y0 ) fixe de base

R ( O x y z ) mobile de base

0 0 0( i , j , k )

( i , j , k )

La particule M mobile possède deux trajectoires :- une trajectoire par rapport à R0 appelée absolue- une trajectoire par rapport à R appelée relative.Le mouvement de R par rapport à R0 est appelé mouvement d’entraînement.

M

OO0

R0 R

y0

x0

z0z

y

x

Trajectoire de M par rapport à R

Trajectoire de M par rapport à R0

33

34

- MOUVEMENT ABSOLU DU POINT M- MOUVEMENT ABSOLU DU POINT M

Le mouvement de la particule M par rapport à R0 est appelé mouvement absolu

/ R0

0

0a

R

d MV(M) V (M)

d

O

t

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

SiSi 0 0 0 0 0 0 0O M x (t) i y (t) j z (t)k """"""""""""""

Alors :0 0 0

a 0 0 0

dx dy dzV (M) i j k

dt dt dt

""""""""""""""

En effet est liée au repère R00 0 0( i , j , k )

2 2 20 0 0

a 0 0 02 2 2

d x d y d z(M) i j k

dt dt dt """"""""""""""

et

0 0

2a 0

a 2

R R

dV (M) d O M(M)

dt dt

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

Soit :

35

MOUVEMENT RELATIF DU POINT MMOUVEMENT RELATIF DU POINT M

Le mouvement de la particule M par rapport à R est appelé mouvement relatif. La vitesse relative s’écrit :

SiSi

Alors :

et

Soit :

/ R r

R

d MV(M) V (M)

dt

O

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

OM x(t) i y(t) j z(t)k """"""""""""""

r

dx dy dzV (M) i j k

dt dt dt

""""""""""""""

2r

r 2

RR

dV (M) d OM(M)

dt dt

"""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""

2 2 2

r 2 2 2

d x d y d z(M) i j k

dt dt dt """"""""""""""

En effet est liée au repère R( i , j, k)

36

MOUVEMENT D’ENTRAINEMENT DE MOUVEMENT D’ENTRAINEMENT DE RR PAR PAR RAPPORT A RAPPORT A RR00

Le mouvement d’entraînement de R par rapport à R0 est définit par la connaissance :de la vitesse d’un point fixe de R par rapport à R0, soit : V(O)/R

du vecteur rotation de R par rapport à R0, soit : 0R / R

OO0

R0

V(O)/R0=Va(O)y0

x0

z0

z

y

x

Remarque :Remarque :R est en rotation par rapport à R0 si au moins deux vecteurs de changent de sens par rapport à R0

( i , j , k )

EXEMPLE :R0/R

dk

dt

""""""""""""""""""""""""""""

est l’angle entre l’axe Ox et l’axe O0 x0

ou O0y0

37

DETERMINATION DU VECTEUR ROTATION DE R’ PAR RAPPORT A R0 :

1.Etude de la variation des vecteurs

par rapport à R0 , revient à étudier les expressions suivantes :

0 0 0R R R

di dj dk, et

dt dt dt

.Puisque la base est orthonormée, on peut écrire les relations suivantes :

( i , j, k )

0dtkd.k

dtjd.j

dtid.i

1k.k

1j.j1i.i

000 RRR

0dtkd.i

dtid.k

0dt

jd.kdtkd.j

0dt

id.jdt

jd.i

0i.k0k.j0j.i

00

00

00

RR

RR

RR

T

i, j et k

38

0Rdt

id

est un vecteur perpendiculaire à

donc ce vecteur appartient au plan formé par

( j, k)

. On peut donc écrire :

0R

dia j b k (4)

dt

0R

d jc j d k (5)

dt

0R

dke i f j (6)

dt

De même :

On a :

0dt

id.jdt

jd.i00 RR

T0j.i

39

et en reportant les relations (4) et (5) dans cette expression, on obtient : c = - a. Et avec le même raisonnement, on trouve f = -d et b = -e. En définitive, et en posant :

k a j ei d e 0/RR'

T

0

e

R

dia j - e k = i (7)

dt

"""""""""""""""""""""""""" ""

0

e

R

d ja i + d k = j (8)

dt

"""""""""""""""""""""""""" ""

0

e

R

dke i - d j = k (9)

dt

"""""""""""""""""""""""""" ""

40

k

j

i

0de

d0a

ea0

dt

kd

dt

jd

dt

id

0

0

0

R

R

R

Donc l’application représentée par cette matrice

est une rotation, de vecteur

Où cette matrice est antisymétrique

0/RR' e

Remarque, on peut écrire ce système d’équations sous forme matricielle, soit :

41

- EXPRESSION DE 0/RR'

e

A partir des relations (7) , (8) et (9), on peut remarquer que :

0 0 0R R R

di dj dki j k est égale à

dt dt dt

2 (di ej ak)

Et puisque, on a posé k a j ei d e 0/RR'

T

,donc :

0 0 0

1

2R R R

di dj dki j k

dt dt dt

0R / R

""""""""""""""

42

-THEOREME DE DERIVATION :

Dans la base ) k ,j , i (

, un vecteur peut

V

s’écrire : x y zV V i V j V k

et sa dérivée par rapport au temps et par rapport à R0 est donnée par la relation suivante :

Où Vx, Vy et Vz sont les composantes du vecteur

V

kVjViVdt

Vdzyx

R0

000 RR

y

R

x dt

kdVz

dt

jdV

dt

idV

)k( V)j( V)i( Vdt

Vdezeyex

'R

)k VjVi V(dt

Vdzyxe

'R

Vdt

Vd

dt

Vd0

0

R/'R

'RR

Donc : V E """"""""""""""

43

DECOMPOSITION DES VITESSESDECOMPOSITION DES VITESSESLa vitesse de M par rapport à R0 est la vitesse absolue de M, On a :

0

0

0a/ R

R

dO MV(M) V (M)

dt

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

On a :

Et d’après la relation ( ), on peut écrire :

0 0O M O O OM """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""Et puisque :

Donc :

00

0a

RR

dO O dOMV (M)

dt dt

"""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""

0

a a

R

dOMV (M) V (O)

dt

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

Et on obtient :

0

0

R / R

R R

dOM dOMOM

dt dt

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

0R / Ra r aV (M) V (M) V (O) OM """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

44

Soit :

0R / RaV (O) OM """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

Puisque l’entraînement de R/R0 est caractérisé par la vitesse absolue de O et la rotation de R/R0 ,

Le terme représente la Vitesse d’entraînement de R/R0 , on pose donc :

a r e 0V (M) V (M) V (R / R ) """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

0R / Re 0 aV (R / R ) V (O) OM """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

La vitesse d’entraînement est donc équivalente à la vitesse absolue de la trace (point coïncidant)de M dans R.

0

0e 0

R

dO MV (R / R ) avec M fixe dans R

dt

""""""""""""""""""""""""""""

0

0a r e 0

R

dO MV (M) V (M) V (R / R )

dt

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

Remarque :Remarque :

On a :

SiSi M est fixe dans R alors et dans ce casOn peut écrire :

rV (M) 0""""""""""""""

45

COMPOSITION DES ACCELERATIONSCOMPOSITION DES ACCELERATIONS

0 0

2a 0

a 2

R R

dV d O M

dt dt

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

0R / Ra r aV (M) V (M) V (O) OM """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

0

aa

R

dV (O)(O)

dt

""""""""""""""""""""""""""""

0 0

0

0 0 0

R / R R / RR / R

R R R

d( OM) d dOMOM

dt dt dt

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

Et on a :

Par définition :

0

0

rrR / R r

RR

dV (M) dV (M)V (M)

dt dt

"""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

Et puisque :

0R / R rr (M) V (M) """""""""""""""""""""""""" ""

0

0

R / R

R R

dOM dOMOM

dt dt

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

0R / Rr V (M) OM """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

Et on a:

46

ra )(M) (M

r ea c ((M) MM )) (( M)

a rd

(O) OM OMdt

2 V (M)

""""""""""""""

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """ """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

D’après ces relations, l’expression de l’accélération absolue de M, s’écrit :

e a

d(O) (O) OM OM

dt

"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"

rc (M) 2 V (M) """""""""""""""""""""""""" ""

Terme qui représente l’entraînement de R/R0

Terme Complémentaire« Coriolis »

On a donc :

Où :

est l’accélération d’entraînement de M et

est l’accélération de Coriolis de M.

Remarques :

Sachant que :

Montrer que : 0

e 0 ce

R

dV (R / R ) (M)(M)

dt 2

""""""""""""""

0R / Re a0V (R / R ) V (O) OM """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

47

- EXEMPLE (Examen 2000/01)- EXEMPLE (Examen 2000/01)

1°) Déterminer , et

2°) Déterminer , , et

3°) On suppose que le contact entre la particule M et le cercle est sans frottement et le cercle exerce sur M une réaction .En appliquant le PFD, trouver l’équation différentielle du mouvement relatif ainsi que les composantes de la réaction .

)M(rV

)0

R/R(eV

)M(aV

)M(a

)M(c

)M(r

)0

R/R(e

R

R

y

x

M(m)

O

X0

Y0

CZ0

t

uv

R0 est le repère absolu

R est le repère relatif

Soient un repère orthonormé direct R0 (OX0 Y0 Z0) et un

cercle de centre O et de rayon a. Ce cercle tourne autour de l’axe vertical OZ0 et lié a un repère

orthonormé direct R(OxyZ0) de base dont l’axe

Ox est perpendiculaire au plan du cercle. On suppose que l’angle (Ox0 ,Ox) = ( constante positive). Un

point matériel M, de masse m, se déplace sur le cercle est repère par ,on pose l’angle quelconque et (voir figure).

)k,j,i(

u a OM

)t()OM,j(

)t(

vui

Plan horizontal

48

XX00

YY00

ZZ00

xx

yy

tt

M(m)M(m)

OO

uuvv

1°) R

dtOMd(M)rV

u aOM

v a )M(rV

OM

0R/R )O(aV )0R/R(eV

u a 0k 0

i cos a -

i cos a -va eVrV aV

2°) R

dtrVd(M)r

ua -va)M(r

2

i sin a 2 rV2)M(c

y

Z0 u

v

v sinu cos j

)OM( OMdtd )O(a e

j cos a 2

j cos a 2

cera

ua -va

2

i sin a 2

v(.......)u(.......)i(.......)a

CORRECTIONCORRECTION

Et puisque On a :

. On a : , donc :

, On obtient :

tt