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LA PROPORTIONNALITÉAU COLLÈGE

Académie de Besançon

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Dans trois cadres

• le cadre des grandeurs (cycle 3, 6e, 5e )

• le cadre numérique (5e, 4e, 3e )

• le cadre graphique (4e, 3e )

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Selon quatre contextes

• décision sociale (caractère arbitraire du choix du modèle proportionnel)

• expérimentation (vérification ou conjecture du modèle proportionnel)

• preuve formelle (démonstration de la proportionnalité)

• introduction d’une nouvelle notion (agrandissement-réduction, probabilités)

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Quatre problématiques possibles

• reconnaître une situation de proportionnalité, ou non proportionnalité, à partir d’une série de données

• rechercher une (des) donnée(s) manquante(s) dans une situation de proportionnalité

• comparer des proportions (exemple : mélanges, solutés)

• changer de cadre (grandeurs - numérique - graphique)

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Procédures de résolution

• propriété d’additivité

• propriété d’homogénéité cas de la "règle de trois" (socle), avec passage à l’unité

• combinaison linéaire (les deux propriétés précédentes)

• coefficient de proportionnalité

• égalité de rapports et produit en croix

• représentation graphique

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Trois objectifs

• augmenter la capacité à mobiliser une procédure et accroître son efficacité (selon les données numériques )

• augmenter la variété des procédures utilisables et inciter les élèves à choisir la (les) procédures la (les) plus appropriée(s)

• renforcer la compréhension des liens entre ces procédures (pour aboutir à la fonction linéaire)

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Au cycle 3

• sur des grandeurs, nombres naturels et décimaux simples

• additivité, homogénéité, passage par l’unité• coefficient de proportionnalité "simple"

• échelles, vitesses moyennes, pourcentages, dans des problèmes, sans technique spécifique

• mesure : conversion d’unités

• géométrie : agrandissement, réduction de figures

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En sixième • additivité, homogénéité, passage par l’unité• coefficient de proportionnalité, relais avec la fraction

comme quotient• tableaux, schémas fléchés, possibles mais non systématisés

• échelles, vitesses moyennes, sans technique spécifique• pourcentages avec technique, mais sans occulter les

procédures de proportionnalité

• liens avec diagrammes en bâtons, circulaires, semi-circulaires, graphiques cartésiens

• liens avec changement d’unités, longueur du cercle

• liens avec activités mentales

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En cinquième

• procédures de 6e, mais dans le cadre numérique non nécessairement contextualisé

• mises en forme par tableaux, schémas fléchés, exigibles

• proportion, échelle, vitesse moyenne, explicitées

• lien avec cadre graphique (non justifié)• fréquence, histogramme• relation entre aire (volume) et l’une des dimensions

d’une figure (d’un solide)

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En quatrième

• procédures antérieures (cadre numérique)• caractérisation graphique (non justifiée)• égalité de quotients et produit en croix (sans

systématiser son usage)

• non additivité des pourcentages

• changement d’unités (vitesse, débit, change)

• relation d = vt• théorème de Thalès ; cosinus ; agrandissement,

réduction d’une figure

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En troisième• procédures antérieures toujours disponibles• modélisation par une fonction linéaire• synthèse des propriétés antérieures au moyen de la

fonction linéaire• langage et notation fonctionnels• caractérisation graphique (justifiable par Thalès) ;

interprétation graphique du coefficient de proportionnalité

• théorème de Thalès ; sinus, tangente ; agrandissement/ réduction de figures, solides (longueurs, aires, volumes)

• changement d’unités (grandeurs produits/quotients)

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Un point fort

La progressivité des apprentissages

Exemple : la vitesse

Aux procédures expertes

Des procédures personnelles

Cycle 3 6e 5e 4e 3e

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• D’autres documents à votre disposition sur le site Eduscol :– liaison école-collège– du numérique au littéral– organisation et gestion de données– les nombres au collège

• Ces éléments s’appuient sur le document d’accompagnement "Proportionnalité" 

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D’autres références :

• brochure APMEP n° 159, intitulée : réflexions sur les programmes de mathématiques du collège et de l’école élémentaire (octobre 2003)

• bulletin vert n° 407 : groupe de Réflexion et de Proposition sur les Programmes de mathématiques au collège (décembre1996)

• revue Repères n° 59 (avril 2005)

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Influence du support ?

Théo réalise un triangle A’B’C’ en doublant les longueurs des côtés du triangle ABC ci-dessous :

A’B’ B’C’ A’C’

Indique dans le tableau ci-dessous les mesures des côtés et des angles du triangle A’B’C’.

A' B' C'

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Influence du support ?

A’B’ B’C’ A’C’ A' B' C'

On donne dans le premier tableau les mesures des côtés et des angles d’un triangle ABC.

Paul dessine le triangle A’B’C’ en doublant les longueurs des côtés du triangle ABC.

Indique dans le tableau ci-dessous les mesures des côtés et des angles du triangle A’B’C’.

AB BC AC Â Ĉ

3,5 cm 4 cm 6 cm 40° 106° 34°

B̂

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Situations identiques ?• Situation 1

En terrain plat, en 1 heure, Théo parcourt 30 km avec son scooter.

Combien mettrait-il de temps, en minutes, pour parcourir :

4 km ? 7 km ?

11 km ? 17,6 km ?

• Situation 2En terrain plat, en 1 heure, Théo parcourt 28 km avec son scooter.

Combien mettrait-il de temps, en minutes, pour parcourir :

4 km ? 7 km ?

11 km ? 17,6 km ?

La proportionnalité est implicite ; elle est considérée comme "naturelle".

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Situations identiques ?

• Situation 3

Nombre de personnes 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Prix à payer 60 € 80 € 120 €

Nombre de personnes 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Prix à payer 54 € 72 € 108 €

• Situation 4

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Analyse de deux techniques opératoires :

• Énoncé :

Si 3 roses coûtent 7,50 euros, quel sera le prix de 7 roses ?

Source : académie de Nancy

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La "règle de trois"

• Énoncé :Si 3 roses coûtent 7,50 euros, quel sera le prix de 7 roses ?

7,50 : 3 = 2,50 donc une rose coûte 2,50 euros

7 × 2,50 = 17,50 donc 7 roses coûtent 17,50 euros

• Cette méthode qui nécessite "le passage par l’unité" développe l’explication,la séquentialité (suite d’actions ordonnée),la temporalité (succession de 2 étapes).

• Elle a du sens pour les élèves mais demande une grande mobilité mentale.

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Le "produit en croix"

(7,50 × 7) : 3 = 17,50 donc 7 roses coûtent 17,50 euros

• Énoncé :Si 3 roses coûtent 7,50 euros, quel sera le prix de 7 roses ?

Nombre de roses 3 7

Prix (en euros) 7,50 ?

• Méthode développant application, globalité et spatialité, mais pouvant être réalisée uniquement comme "recette".

• Cependant certains élèves sont capables d’expliquer qu’ils calculent dans un premier temps le prix de 21 roses (7,50 × 7) pour en déduire le prix de 7 roses en divisant par 3.

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Justification des techniques de résolution d'un problème de proportionnalité

et considérations sur les grandeurs La résolution de problèmes dans des situations de proportionnalité peut convoquer l'emploi de quotients comme opérateurs de deux manières qui sont sensiblement différentes du point de vue conceptuel : – le quotient utilisé comme opérateur scalaire : Mesure de la grandeur 1

(unité : …) a b

Mesure correspondante de la grandeur 2

(unité : …)

a'

?

b

a

b

a

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– le quotient utilisé comme coefficient de proportionnalité : Mesure de la grandeur 1

(unité : u) a b

Mesure correspondante de la grandeur 2

(unité : v)

a'

?

Si l'on reste dans l'univers des grandeurs, au lieu de tout aplatir sur le domaine numérique des

mesures, on s'aperçoit que le quotient a '

a n'est en général pas un scalaire. C'est la mesure avec

l'unité v

u d'une troisième grandeur : la grandeur - quotient de la grandeur 2 par la grandeur 1.

Cette grandeur - quotient, en général, a une dimension et n'est pas un “nombre pur”. Dans une situation de proportionnalité, cette grandeur - quotient est une grandeur constante.

a'

a

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Ce qui précède montre que, dans les problèmes mettant en jeu la proportionnalité, l'emploi du coefficient de proportionnalité est conceptuellement plus difficile que l'emploi des techniques scalaires. Les élèves l'ont cependant utilisé à l'école primaire, et son emploi en classe de 6e est donc légitime.

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Ce qui précède montre que, dans les problèmes mettant en jeu la proportionnalité, l'emploi du coefficient de proportionnalité est conceptuellement plus difficile que l'emploi des techniques scalaires. Les élèves l'ont cependant utilisé à l'école primaire, et son emploi en classe de 6e est donc légitime. Il convient cependant d'éviter le cas de grandeurs proportionnelles dont les dimensions sont telles que la grandeur - quotient soit d'un type inconnu (vitesse, masse volumique, …). C'est la raison pour laquelle le programme insiste sur le cas où les deux grandeurs proportionnelles sont de même espèce : deux prix dans le cas d'une hausse de prix de 5% ; et plus généralement toutes les situations évoquant une hausse ou baisse d'une grandeur en terme de pourcentage (deux populations dans le cas d'une baisse de population entre deux recensements …) ; échelles, … Il importe que le coefficient en question soit un “scalaire”. On ne s'interdira pas cependant d'exploiter les situations familières déjà travaillées à l'école : proportionnalité entre quantité de denrées et leur prix, même si le coefficient de proportionnalité est une grandeur - quotient : l'unité avec laquelle ce coefficient est mesuré (€/kg, €/L, …) est celui dont la loi oblige l'affichage, même si sa dénomination usuelle en masque l'aspect “quotient” : prix au litre, au kilogramme, … au lieu de prix par litre, par kilogramme.