Calculs d’aires, de volumes

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1. Calculs d’aires et intégration

R=(O, jirr

, ) est un repère du plan.

1°) On considère le domaine hachuré de la figure suivante :

N(x)

M(x)

jr

O ir

a x b

Avec a≤ x≤ b,

le segment [M(x), N(x)] est l’ensemble des points du domaine qui ont pour abscisse x ; r(x) est

la longueur de ce segment et la distance des 2 points M(x) et N(x), la longueur de jr

étant

l’unité de longueur.

Le calcul de l’intégrale ∫b

axr )( dx donne l’aire du domaine hachuré.

2°) f et g sont 2 fonctions numériques définies et continues sur le même intervalle I ; elles ont

pour représentations graphiques Cf et Cg respectivement.

a et b sont 2 réels de l’intervalle I tels que : a< b. On considère le domaine D hachuré qui a

pour frontière les droites d’équation x=a, x=b, les courbes Cf et Cg.

f(x) M(x) Pour a≤ x≤ b, | g(x)–f(x)| est

Cf la distance des 2 points M(x)

et N(x).

D’après le paragraphe

précédent :

Cg

g(x)

N(x) L’intégrale ∫b

a|g(x)–f(x)| dx donne

jr

l’aire du domaine hachuré D.

O ir

a x b

Remarque : - L’unité des aires est celle du carré construit à partir du repère R lorsque R est

orthonormé.

- Lorsque le repère n’est pas orthonormé, l’unité des aires est celle du

parallélogramme construit à partir du point O et des vecteurs ir

et jr

.

2. Calcul de volumes

R=(O, kjirrr

,, ) est un repère de l’espace.

On considère le domaine D de l’espace limité par la surface (Σ) et les plans Pa et Pb

d’équations respectives X=a et X=b.

b

Pb (Cb)

(Σ)

x

Px (Cx)

a

Pa (Ca)

ir

jr

O

kr

Avec a≤ x ≤ b, le plan Px d’équation X=x, parallèle au plan (O, ), kjrr

, coupe le domaine D

suivant une section plane limitée par la courbe (Cx). L’aire de cette section plane vaut S(x),

l’unité des aires est celle du parallélogramme construit à partir du point O et des vecteurs jr

et

kr

.

Le volume V du domaine D est donné par l’égalité V= ∫b

axS )( dx.

L’unité des volumes est le volume du parallélépipède construit à partir du point O et des

vecteurs ir

, jr

et kr

.

ir

jr

O

kr

Complément lorsque D est un solide de révolution autour de l’axe (O, ir

) .

On se place dans le cas où R=(O, kjirrr

,, ) est un repère orthonormé de l’espace et dans le cas

où pour a≤ x ≤ b :

Cx est un cercle de rayon r(x) dont le centre est sur l’axe (O, ir

)

et le disque de frontière (Cx) est l’ensemble des points communs à Px et à D ; S(x)=π( r(x))2

est l’aire de ce disque.

Alors V=π ∫b

adxxr ))²(( .

b

Pb (Cb)

(Σ)

x

(Cx)

Px

a

(Ca)

Pa

ir

jr

O

kr

1 1,5 2 2,5 3 3,5

1

0 0,5

0,5

x

y

3. Exemple du calcul d’une aire

Soit � la fonction dé�inie par ���� = ln�1 + ����� pour 0 < �. Sur le graphique ci-dessous

figure une partie de la représentation graphique " de la fonction f dans le repère orthonormé

ℛ = (O, $%, '% ), l’unité graphique vaut 4 cm. Calculer en cm2 l’aire ( du domaine ) ombré.

On donnera une valeur exacte de (, puis une valeur arrondie à 0,01 près par excès.

) "

√3

4. Exemple du calcul d’un volume

Soit � la fonction dé�inie sur ,0 ; 3. par ���� = 2 012� 3√� .

On note " la courbe représentative de f dans le repère orthonormal ℛ = (O ; $% , '% ) d’unité graphique

4 cm.

A. Étude des variations et courbe représentative 1° Calculer f (0), f (1) et f (3). Donner les valeurs approchées arrondies à 10

–2 de f (1) et f (3).

2° a� Démontrer que, pour tout � de .0 ; 3., �7��� = 012�3 �1 − ��

√� . b� En déduire les variations de � sur .0 ; 3..

3° On admet qu’à l’origine du repère la tangente à la courbe " est l’axe des ordonnées. Construire la

courbe " sur une feuille de papier millimétré.

B. Calcul intégral

On considère le solide de révolution engendré par la rotation de la courbe " autour de l’axe des

abscisses.

On désigne par V le volume en unités de volume de ce solide.

On admet que = = > ? ,����.� @

AB� .

1° Véri�ier que = = > 4? � 013 @

AB� .

2° À l’aide d7une intégration par parties, démontrer que ∶ = = 4?�1 − 4 01@�.

3° Donner une valeur approchée arrondie à 10-2

de V.

5. Le corrigé de l’énoncé du paragraphe 3.

Pour 0<x, 0< x2 et 0< 1< 1+x2

ainsi 0< ln(1+x2) .

f est donc définie sur ]0 ; +∞[ et 0< f(x) pour 0< x.

On commence par calculer l intégrale ℐ = � ln�1 + �����

√�

� �� en faisant une intégration

par parties. On écrit ainsi pour 0 < �,

u(x) = ln (1+x2) %’��� = 2�

1 + ��

(′��� = 1�� = − +− 1

��, (��� = − 1� % ���(��� = − 2

1 + ��

u’ et v’ sont encore dérivables et continues sur ]0 ; + ∞[ et ainsi le calcul est le suivant :

ℐ = -− 1� ln�1 + ��� .

�

√�− � −

√�

�2

1 + �� �� = − 1√3 ln�1 + 3� + 1 × ln�1 + 1� + 2 � 1

1 + ��√�

� �� .

ℐ = ln 2 − 1√3 ln 4 + 2 2Arc tan �4�√� où ln 4 = ln 2� = 2 ln 2 , Arc tan √3 = 6

3 et Arc tan 1 = 64 .

Soit ℐ = +1 − 2√3 , ln 2 + 2 8 63 − 6

4 9 où 63 − 6

4 = 6 + 412 − 3

12, = 612 .

Finalement ℐ = +1 − 2√3 , ln 2 + 6

6 .

Comme le carré construit à partir du repère ℛ a pour aire 4 cm2, on en déduit que, en cm

2, l’aire de =

est donnée par > = 4ℐ ; on obtient > ≈ 6,67 à 0,01 près par excès.

6. Le corrigé de l’énoncé du paragraphe 4.

A. Étude des variations et courbe représentative

1° f(0)= 2×1×0=0 et f(3)=2×e-3/2× 3 ≈ 0,77.

2° a) Pour 0< x ≤ 3, f’(x)= 2[-2

1 e-x/2

x + e-x/2×

x2

1]=e-x/2

[ -x

x1

+ ] soit :

f’(x)= ]1

[2/

x

xxe x +×−− d’où f’(x)=

x

xe x )1(2/−

−

pour 0< x ≤ 3 .

b) Pour 0< x ≤ 3, 0< e-x/2 et 0< x alors f’(x) est du signe de 1–x ; par construction f est

aussi une fonction continue en 0, donc finalement sur [0 ; 3]. On obtient finalement le tableau

de variation suivant : x 0 1 3

f’(x) || + 0 –

f(x) f(1)

0 f(3)

On précise que f(1) = 2 e–1/2 ≈ 1,21 .

3° On trace d’abord les tangentes particulières à C : Au point d’abscisse 0, elle est verticale

(c’est l’axe des ordonnées) ; au point d’abscisse 1, elle est horizontale. On tient compte des

variations de f pour tracer ensuite C.

f(1)

C

B. Calcul intégral

1° Pour 0≤ x ≤ 3, [f(x)]2 = 2

2×[e-x/2

]2×[ x ]

2 = 4× e-x

× x d’où π[f(x)]2 = 4π x e-x

.

De cette façon, on a bien V= ∫3

0

4π x e-x dx , d’où V= 4π ∫3

0

x e-x dx .

2° On fait une intégration par parties en écrivant : u(x)=x u’(x)=1

v’(x)=e-x = - [-e-x

] v(x)=-e-x u’(x)v(x)=-e-x

u’ et v’ sont encore dérivables et continues sur � et ainsi :

∫3

0

x e-x dx = ∫−−

−−−3

0

30][ dxexe xx = -3e-3

–0 – 30][ xe− = -3e-3

–[e-3–e0

] où e0=1, finalement :

∫3

0

x e-x dx = 1– 4e-3

et d’après la question précédente : V= 4π (1– 4e-3

) .

3° On obtient V≈ 10,06 .