T. G. C. Mécanique Contrainte normale due à la flexion simple page 1/4

LA CONTRAINTE NORMALE DUE A DE LA

FLEXION SIMPLE :

N(x) = 0 , Mf(x) ≠ 0 et V(x) ≠ 0 ● Introduction expérimentale : considérons une

poutre reposant sur deux appuis soumise à une charge concentrée verticale.

Après déformation, cette poutre accuse une flèche et on constate que les fibres situées en partie supérieure sont sollicitées en compression tandis que les fibres situées en partie inférieure sont sollicitées en traction. Entre ces deux régions, il existe une fibre ni tendue ni comprimée ; c’est le fibre neutre.

● La figure ci - dessous représente un élément de cette poutre fléchie. Il est soumis à

un moment fléchissant Mf(x) et à un effort tranchant V(x) à l’abscisse x. Remarque importante : bien que V(x) n’intervienne pas dans le dimensionnement à la contrainte normale, lorsque : - V(x) ≠ 0 on a de la flexion simple ; - V(x) = 0 on a de la flexion pure.

P

zone tendue

zone comprimée Fibre neutre

P

x

Mf(x) G

z

y

x

V(x)

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● Expression générale de la contrainte normale : (flexion simple ou flexion pure)

avec :

■ I : le moment quadratique calculé par rapport à l’axe qui passe par le centre de gravité de la section, perpendiculairement au chargement.

■ Mf(x) : la valeur maxi du moment fléchissant dans la section étudiée. ■ y : variable représentant la cote algébrique entre la fibre neutre et les fibres

extrêmes (supérieure et inférieure) de la section. En flexion simple, lorsque la section est symétrique, la fibre neutre passe par le centre de gravité. Ainsi, y variera toujours de la valeur de – h/2 à la valeur de + h/2. ● Expression de la contrainte normale max

pour une section rectangulaire :

■ I Gx =

■ │y │ = ● Expression de la contrainte normale max

pour un profilé métallique quelconque :

■ │y │ = v

■ I / v (module d’inertie) est toujours donné dans le tableau de caractéristiques de calcul des profilés métalliques (dans ces tableaux, le module d’inertie est aussi noté Wel).

Mf(x) I

σ = – × y

6 × Mfmax

b × h2

σmax = b × h3

12

y

h

b

G

+ h/2

- h/2

0

z

y

x

Fibre neutre G

y

h

2

Mfmax

I / v

σmax =

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● Diagramme de la contrainte normale :

● Expression de la déformation :

Cas où Mf max > 0

ε = σ = Mf(x) × y

E E × I

z

y

x

σ

G

y

Dans l’espace

σ

y

G

Dans le plan

Cas où Mf max < 0

z

y

x

σ

G

y

Dans l’espace

σ

y

G

Dans le plan

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Comme nous l’avons déjà vu, pour les profilés métalliques, les valeurs du moment quadratique et du module d’inertie sont lues dans le tableaux de caractéristiques de calcul. Vous devez faire attention à l’axe de la flexion considérée pour

faire le bon choix du moment quadratique ou du module d’inertie suivant cet axe. Cet axe est perpendiculaire au chargement et passe par G. Effectivement une confusion peut se produire étant donné que l’appellation des axes change suivant que vous considérez celle du cours ou celle des tableaux de caractéristiques de calcul des profilés métalliques (ancienne et nouvelle norme). Exemples :

(1) Calculez la contrainte normale de flexion maximale d’un IPE 140 posé droit soumis à Mfmax = 2500 daN.m ; σe = 235 MPa.

(2) Calculez la contrainte normale de flexion maximale d’un HEA 180 posé à plat soumis à Mfmax = 30000 N.m ; fe = 355 MPa.

! �

z

Appellation des axes du cours

x

y

y

Appellation des axes OTUA

nouvelle norme

x

z

x

Appellation des axes OTUA

ancienne norme

z

y