17 - Mécanique Du Solide

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Physique

MECANIQUE DU SOLIDE COURS

CH.17 : MECANIQUE DU SOLIDE

Plan (Cliquer sur le titre pour accder au paragraphe)

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I. CINEMATIQUE DU SOLIDE..........................................................................................................1 I.1. DISTRIBUTION DES VITESSES DANS UN SOLIDE........................................................ 1 I.2. MOMENT CINETIQUE DUN SOLIDE AYANT UN POINT DE VITESSE NULLE ....... 2 I.3. MOMENT DINERTIE PAR RAPPORT A UN AXE ........................................................... 2 I.3.1. Dfinition ............................................................................................................................. 2 I.3.2. Thorme de Huygens ......................................................................................................... 2 I.3.3. Trois moments dinertie classiques ................................................................................ 3 I.4. ENERGIE CINETIQUE DUN SOLIDE AVEC UN POINT DE VITESSE NULLE........... 3 I.5. MOMENT CINETIQUE SCALAIRE..................................................................................... 3

II. LOIS GENERALES DE LA DYNAMIQUE DU SOLIDE .........................................................................4 II.1. THEOREME DE LA RESULTANTE CINETIQUE.............................................................. 4 II.2. THEOREMES DU MOMENT CINETIQUE.......................................................................... 4 II.2.1. Thorme du moment cintique vectoriel............................................................................ 4 II.2.2. Thorme du moment cintique scalaire ............................................................................. 4 II.3. LOIS DE CONSERVATION POUR UN SOLIDE ISOLE .................................................... 4 II.4. THEOREME DE LENERGIE CINETIQUE ......................................................................... 5

III. ACTIONS DE CONTACT ENTRE DEUX SOLIDES..........................................................................5 III.1. GENERALITES .................................................................................................................. 5 III.2. FROTTEMENT DE GLISSEMENT................................................................................... 6 III.3. PUISSANCE DES ACTIONS DE CONTACT................................................................... 7 III.3.1. Cas gnral........................................................................................................................... 7 III.3.2. Cas dune liaison glissire ................................................................................................... 7 III.3.3. Cas dune liaison pivot......................................................................................................... 7

IV. CONSEILS POUR LA RESOLUTION DUN PROBLEME ...................................................................8

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I. CINEMATIQUE DU SOLIDE I.1. DISTRIBUTION DES VITESSES DANS UN SOLIDE

Soient (R) un rfrentiel quelconque, 1 2 et M M deux points dun solide (S) ; on montre que :

2 1/ / 2 1 /M S R M S R S Rv v M M = +

!!!!!!!"" " "

o : / ( )S R t

" est le vecteur vitesse instantane de rotation de (S) par rapport (R).

Exemples : translation : / 0S R =""

2 1/ /M R M R

v v=" "

rotation autour dun axe FIXE passant par 1M : 1 / 0M Rv =""

2 2/ / 1M R S R

v M M= !!!!!!!"" "


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I.2. MOMENT CINETIQUE DUN SOLIDE AYANT UN POINT DE VITESSE NULLE Soit O le point fixe ; M est un point quelconque du solide et /S R

" le vecteur rotation

instantane ;en gnralisant la dfinition du chapitre 14 une distribution continue de masse, on peut crire :

( )/ / /o R M R S RM S M SOM v dm OM OM dm = = !!!!" !!!!" !!!!"" " "

Cette relation dfinit une application LINEAIRE de lespace vectoriel des rotations dans lespace vectoriel des moments cintiques. Cette application est susceptible dune reprsentation matricielle :

( ) [ ]( )/ /o R o o RJ = o : [ ]oJ est la matrice dinertie , symtrique, du solide (S) en O. Rq1 : cette relation montre, quen gnral, le moment cintique nest pas colinaire au vecteur rotation instantane. Rq2 : la notion de matrice dinertie (sa diagonalisation, lexistence daxes principaux dinertie) nest pas au programme : elle permet cependant de justifier les relations obtenues dans les paragraphes suivants.

I.3. MOMENT DINERTIE PAR RAPPORT A UN AXE I.3.1. Dfinition

O

x

y

z

a

(S)

( )

( ')

u"

Mr

HG

On note J le moment d'inertie du solide (S)par rapport un axe ( ) passant par O.u" est un vecteur unitaire de cet axe; on pose:

2 2

M S M SJ HM dm r dm

= = ( 2 est en .J kg m )

Rq : un moment dinertie prend en compte la masse dun solide (par lintermdiaire de dm), mais galement la manire dont cette masse se rpartit (par lintermdiaire de 2r ).

I.3.2. Thorme de Huygens

Si lon note GJ le moment dinertie de (S) par rapport un axe ( ), passant par le centre dinertie G du solide, alors on peut en dduire le moment dinertie de (S) par rapport un axe ( ' ), parallle ( ) et distant de ce dernier de a, en crivant :

2' GJ J ma = + (o m est la masse totale du solide)

Rq : le thorme de Huygens nest pas explicitement au programme (mais pas interdit) ; dans la plupart des cas, nous verrons que lon peut sen dispenser et on lui prfrera les 2 thormes de Knig.


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I.3.3. Trois moments dinertie classiques

Remarque prliminaire : les calculs de moment dinertie ne sont pas au programme et doivent tre fournis par lnonc ; dans le cas contraire, on se contentera de noter J le moment dinertie du systme par rapport laxe considr. Les moments dinertie suivants sont donns titre indicatif ; on notera M la masse des solides :

G R

( )

sphre pleine homogne

( )R

cylindre plein homogne barre "mince" homogne

( )

L/2L/2

225

J MR = 21

2J MR =

2

12MLJ =

I.4. ENERGIE CINETIQUE DUN SOLIDE AVEC UN POINT DE VITESSE NULLE

2 /1 1 1( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2C S RM S M S M S

E v M dm v M v M dm v M OM dm

= = = !!!!"" " " " /

1 ( )2C S R M S

E OM v M dm

= !!!!"" " ( /S R" peut dpendre du temps, lintgration se faisant selon les variables despace) ; on reconnat lexpression du moment cintique, do :

/ / / /1 1 [( ) ]2 2C S R o R S R o S R

E J = = " " " "

En notant u" un vecteur unitaire de laxe instantan de rotation ( ) , on a : / /S R S Ru =" "

; le

calcul montre que lon a alors :

2/

12C S R

E J =

I.5. MOMENT CINETIQUE SCALAIRE On sintresse la projection du moment cintique vectoriel /o R

" sur laxe instantan de

rotation ; avec les mmes notations que prcdemment, on a :

/ /R o Ru = " "

= moment cintique scalaire du solide (S) par rapport laxe ( ) (dans le rfrentiel (R))

On montre que : / /( ) ( )R S Rt J t =


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II. LOIS GENERALES DE LA DYNAMIQUE DU SOLIDE II.1. THEOREME DE LA RESULTANTE CINETIQUE

Pour un solide (S) de centre dinertie G, dans un rfrentiel (R), la quantit de mouvement (ou

rsultante cintique) scrit : ( )M S

p v M dm

= " " ; on en dduit :

Thorme de la rsultante cintique : ext

Gdp F madt

= =

" " " (pour m = cste)

Rq : si (R) est non galilen, il faut prendre en compte les forces dinertie dans les forces extrieures appliques au solide.

II.2. THEOREMES DU MOMENT CINETIQUE II.2.1. Thorme du moment cintique vectoriel

Le moment cintique du mme solide, calcul en un point A FIXE dans le rfrentiel (R),

sexprime ainsi : / ( )A R M S AM v M dm = !!!!"" " ; il vient alors :

Thorme du moment cintique vectoriel : /extA RA

d Mdt

=

" " (= moment en A des forces ext.)

Rq1 : si on applique le TMC en G, dans le rfrentiel barycentrique, les forces dinertie ninterviennent pas, mme si (R*) nest pas galilen (cf. chapitre 14). Rq2 : on rappelle (chapitre 14) la possibilit dutiliser le premier thorme de Knig pour calculer le moment cintique en un point A quelconque partir du moment cintique barycentrique, soit :

*/ ( )A R AG mv G = +

!!!"" " "

II.2.2. Thorme du moment cintique scalaire

Pour un solide en rotation autour dun axe FIXE ( ) , on peut projeter le TMC vectoriel sur cet axe pour obtenir :

Thorme du moment cintique scalaire : / /extR S Rd dJ M

dt dt

= =

Rq : en pratique, cest ce dernier TMC que nous appliquerons, car la dtermination du moment vectoriel des forces de liaison est en gnral incomplte.

II.3. LOIS DE CONSERVATION POUR UN SOLIDE ISOLE

Pour un systme isol, on a : 0ext extAF M= ="" "

; on obtient les deux relations :

P cste=!!!!""

et : /A R cste =!!!!""

Rq : ces relations sont appeles intgrales premires du mouvement , o ninterviennent que des drives premires du vecteur position : elles sont en principe plus simples que les thormes fondamentaux pour dterminer le mouvement dun solide.


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II.4. THEOREME DE LENERGIE CINETIQUE Dans le chapitre 14, nous avions remarqu que les forces intrieures un solide ne travaillent pas ; on crit donc :

Thorme de lnergie cintique : (2) (1) (1 2)extC C CE E E W = = Dans le cas o toutes les forces sont conservatives, le TEC se ramne la conservation de lnergie mcanique de la forme :

0mca C PE E E = + = (avec : (1 2)extPE W = )

Rq1 : le TEC et la conservation de lnergie mcanique constituent galement des intgrales premires du mouvement. Rq2 : si le rfrentiel dtude est non galilen, il suffit de prendre en compte le travail de la force dinertie dentranement (la force de Coriolis, constamment perpendiculaire au dplacement, ne travaille pas). Rq3 : il sera souvent utile dappliquer le deuxime thorme de Knig, que nous rappelons ici :

* 212C C G

E E mv= +

III. ACTIONS DE CONTACT ENTRE DEUX SOLIDES III.1. GENERALITES

Considrons deux solides ( 1S ) et ( 2S ) en contact ponctuel au point I ( linstant t): nous distinguerons ce point purement gomtrique, des points 1 2 et I I respectivement gravs sur les solides 1 2( ) et ( )S S ; on se place dans un rfrentiel (R) quelconque. Nous supposerons quil existe un plan (P) tangent en I aux 2 solides ; nous raisonnerons sur les figures suivantes :

(P)I

1( )S

2( )S

gv"

n"

I

2 1/S S"

2 /1T"

2 /1N"

Rq :

2 /1 est N

"(P) ;

2 /1 et T gv

" " appartiennent (P), mais ne sont pas forcment colinaires.

On appelle vitesse de glissement du solide 2( )S par rapport au solide 1( )S la grandeur :

2 2 1 1 2 2 1/ / /g I S R I S R I S Sv v v v = =" " " "

(cette vitesse ne dpend pas de (R))

On note

2 1/S S"

le vecteur rotation instantane de 2( )S par rapport 1( )S ; on peut crire :


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2 1 2 2 1 2 1 2 1/ / / /M S S I S S S S g S Sv v MI v MI = + = +

!!!" !!!"" " " " " ; par ailleurs :

2 1 2 /1 2 /1/S S N T = +" " "

2 1 2 /1 2 /1/M S S g N Tv v MI MI = + +

!!!" !!!"" " " "

Do : 2 /1

2 /1

2 1

2 1

2 1

traduit le GLISSEMENT de ( ) sur ( )

traduit le PIVOTEMENT de ( ) sur ( )

traduit le ROULEMENT de ( ) sur ( )

g

N

T

v S S

MI S S

MI S S

"!!!" "!!!" "

Rq : nous rencontrerons souvent le cas particulier du roulement sans glissement (RSG),

qui correspond : 2 /1 2 1 2 /1/

0; 0; g N S S Tv = = =" "" " " "

III.2. FROTTEMENT DE GLISSEMENT Les actions de contact au point I exerces par le solide 1( )S sur le solide 2( )S se caractrisent par leur rsultante R

" et leur moment rsultant en I, not IM

" ; ce dernier se dcompose en un

moment de frottement de roulement (soit TIM"

appartenant au plan (P)), et en un moment

de frottement de pivotement (soit NIM"

perpendiculaire au plan (P)).

En pratique, les frottements de roulement et de pivotement sont trs souvent ngligeables (quelle belle invention que la roue !) ; dans les exercices et les problmes, nous

crirons donc : 0IM =""

On dcompose son tour la rsultante R"

en :

R N T= +" " "

avec : N"

= raction normale (au plan (P)) ; T"

= raction tangentielle

Les composantes et N T" "

satisfont aux lois phnomnologiques de Coulomb :

Glissement de (S2) sur (S1) :

0 ; et sont COLINEAIRES , mais de sens CONTRAIRE; g gv T v T f N = " " " "" "

Pas de glissement de (S2) sur (S1) : 0 ; gv T f N= " " ""

Rq1 : f est appel coefficient de frottement de glissement ; on distingue parfois un coefficient statique

Sf (pour 0gv =

""), dun coefficient cintique Cf (pour 0gv

"") : C Sf f

(comme on peut le constater lorsquon essaie de mettre en mouvement un lourd objet).

Rq2 : on dit parfois que pour 0gv =""

, la force T"

(qui, effectivement, tend sopposer au

glissement) est de sens contraire la vitesse gv"

qui apparatrait en cas de glissement ;

cette notion est souvent dlicate manipuler, surtout lorsque les conditions initiales du mouvement sont quelconques : on retiendra quil est prfrable de travailler avec une grandeur T algbrique, et que le signe de T se dcouvrira une fois les calculs mens (souvent, ce signe est directement li celui de lacclration du solide, qui peut varier au cours des diffrentes phases du mouvement et dpend des conditions initiales).


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III.3. PUISSANCE DES ACTIONS DE CONTACT III.3.1. Cas gnral

On considre le mouvement de 2 solides 1 2( ) et ( )S S en contact ponctuel, dans un rfrentiel (R) ; avec les mmes notations que prcdemment, la puissance des actions de contact exerces par le solide 1( )S sur le solide 2( )S , calcule dans (R), est donne par :

2 2 21/ 2 / 1/ 2 / 1 2( )I S R S R IP v R M S S= +

" "" "

Pour le solide 1( )S : 1 1 12/1 / 2 /1 / 2 1( )I S R S R IP v R M S S= + " "" "

Le principe de lgalit de laction et de la raction permet dcrire :

2/1 1/ 2 2 1 1 2 et ( ) ( )I IR R M S S M S S= = " " " "

Par ailleurs, on pose: 2 2 1 1 2 1 2 1/ / / / /

et g I S R I S R S S S R S Rv v v = = " " " " " "

; on peut alors exprimer la

puissance TOTALE des actions de contact entre les 2 solides :

2 11/ 2 2 /1 1/ 2 / 1 2( )g S S IP P P v R M S S= + = +

" "" "

Rq1 : cette puissance est indpendante du rfrentiel (R), elle ne dpend que du mouvement relatif des 2 solides.

Rq2 : dans le cas dun roulement sans glissement ( 0gv =""

) o lon peut ngliger IM"

(ce que

lon fera toujours, sauf spcification contraire de lnonc), on a donc : 0P =

III.3.2. Cas dune liaison glissire

Dans ce type de liaison, les points de contact entre les solides seront tels que seuls des mouvements de translation seront autoriss ; les frottements de roulement et de pivotement

seront nuls ( 0IM =""

en chaque point de contact), et lon aura :

2 /1 2 /1 2 /11/ 2 1/ 2 1/ 20g g gP v R v T v T= = =

" " "" " "

Liaison glissire parfaite : 1/ 2 0 0T P= =""

III.3.3. Cas dune liaison pivot

Dans ce type de liaison, seules les rotations autour dun axe ( ) seront autorises ; en notant u"

un vecteur unitaire de laxe de rotation et en prenant un point O de cet axe, il vient :

2 1 2 1/ /S S O S S OP M u M = =

" "" "

2 1/S SP M =

Rq : 1( )S reprsente ici le solide autour duquel 2( )S tourne et sur lequel ce dernier est articul ; M est la projection sur laxe de rotation du moment vectoriel des actions de contact au niveau de larticulation. Liaison pivot parfaite : en labsence de frottement au niveau des surfaces de contact, les forces de contact sont normales ces surfaces et passent par laxe de rotation ; on a alors :

0M = 0P =

Rq : ce dernier point est important, car dans ce type de liaison, nous ne sommes renseigns que sur une composante du moment des forces de liaison on devra appliquer le TMC scalaire.


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IV. CONSEILS POUR LA RESOLUTION DUN PROBLEME 1) Avant toute analyse physico-mathmatique , essayer de sentir , de prvoir intuitivement les diffrentes phases du mouvement (glissement ou non glissement, oscillations, translation ou rotation pure) ; mais rester prudent quant ces conclusions intuitives, notamment en cas de fortes modlisations (liaisons parfaites par exemple). Dfinir clairement le systme et le rfrentiel dtude, et trouver le nombre de degrs de libert du systme (nombre de paramtres indpendants permettant de caractriser la position du systme tout instant) : on peut trouver un premier nombre priori , puis un second qui prend en compte des relations supplmentaires attendues (cas de la RSG par exemple). On connat alors le nombre dquations scalaires indpendantes ncessaires la dtermination des paramtres : dans le cas des systmes un degr de libert, on donnera la prfrence aux intgrales premires du mouvement (ces dernires conduiront, en gnral, plus rapidement la position du systme, puisquelles ne comportent que des drives premires du vecteur-position). Faire un bilan complet des forces appliques au systme, sans oublier les forces de liaison ; les classer en forces intrieures et extrieures (si des forces intrieures sont inconnues, les thormes nergtiques seront inexploitables pour un systme qui nest pas un solide) ; remarquer si elles drivent dun potentiel ou non. Choisir le ou les thormes appliquer en fonction des lments ci-dessus (dans le cas du TMC, il faut avoir conscience du fait que, le moment vectoriel des forces de liaison tant en gnral inconnu, on appliquera le TMC scalaire, qui ne fournira quune relation entre les paramtres du systme). Choisir la ou les bases de projection, ne pas confondre avec la notion de rfrentiel : si le rfrentiel dtude est galilen, on ne prendra pas en compte les forces dinertie, mme si la base de projection est mobile (base de Frnet, base cylindrique). Le meilleur choix nest pas toujours vident et demande de la pratique 2) On peut tre amen appliquer les thormes plusieurs systmes (certains pouvant tre des sous-systmes du systme principal). Dans le cas du TMC, on choisira un point dapplication (TMC vectoriel) ou un axe (TMC scalaire) par lesquels passent les forces encombrantes ; on pensera en premier lieu lappliquer dans le rfrentiel barycentrique (mme sil est non galilen, on ne tiendra pas compte des forces dinertie).

La relation de RSG ( 0gv =""

), combine avec la distribution des vitesses dans un solide (avec

le centre dinertie G, elle scrit : 2 12 2 2 /

( / ) ( / ) S Sv G S R v I S R GI = + !!"" " "

), fournit une relation

supplmentaire entre ( )v G" et 2 1/S S

"

; en effet : 2 2 1 10 ( / ) ( / )gv v I S R v I S R= = "" " "

(cette

relation sera simple si 1( )S est fixe dans (R)). Par ailleurs, toujours en cas de RSG, il ny a quune ingalit entre et T N

" ".

En revanche, en cas de glissement, gv"

nest pas donne, mais on sait que : T f N= " "

.

On peut remarquer une affinit entre le TEC et le TRC (exprim en coordonnes

cylindriques) : pour une rotation autour dun axe fixe, 21 ( ')2C

E J = on peut obtenir ' et

" par drivation, puis les reporter dans 2" ( ') et " 2 ' 'ra r r a r r = = + . Enfin, cest la mise en quation qui est essentielle : leur rsolution analytique nest pas toujours possible, on peut se contenter dune analyse graphique ou dune rsolution numrique.

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