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1M002 - Deuxieme partie : Calcul MatricielChapitre 6 : Determinant et inversion.
Antonin Guilloux
23 fevrier 2017
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 1 / 8
Cofacteurs
Soit A = (aij) est une matrice carree de taille n.
On note :
A− Li − Cj
la matrice de taille n − 1 construite en effacant la i-eme ligne et la j-eme
colonne de A.
On note ∆ij = (−1)i+jdet(A− Li − Cj) le cofacteur d’indice i , j de A.
Exemple
Si A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
, alors
A− L2 − C3 =
(1 2
7 8
)
∆23 = (−1)2+3
∣∣∣∣∣1 2
7 8
∣∣∣∣∣ = −(8 − 14) = 6
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 2 / 8
Cofacteurs
Soit A = (aij) est une matrice carree de taille n. On note :
A− Li − Cj
la matrice de taille n − 1 construite en effacant la i-eme ligne et la j-eme
colonne de A.
On note ∆ij = (−1)i+jdet(A− Li − Cj) le cofacteur d’indice i , j de A.
Exemple
Si A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
, alors
A− L2 − C3 =
(1 2
7 8
)
∆23 = (−1)2+3
∣∣∣∣∣1 2
7 8
∣∣∣∣∣ = −(8 − 14) = 6
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 2 / 8
Cofacteurs
Soit A = (aij) est une matrice carree de taille n. On note :
A− Li − Cj
la matrice de taille n − 1 construite en effacant la i-eme ligne et la j-eme
colonne de A.
On note ∆ij = (−1)i+jdet(A− Li − Cj) le cofacteur d’indice i , j de A.
Exemple
Si A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
, alors
A− L2 − C3 =
(1 2
7 8
)
∆23 = (−1)2+3
∣∣∣∣∣1 2
7 8
∣∣∣∣∣ = −(8 − 14) = 6
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 2 / 8
Cofacteurs
Soit A = (aij) est une matrice carree de taille n. On note :
A− Li − Cj
la matrice de taille n − 1 construite en effacant la i-eme ligne et la j-eme
colonne de A.
On note ∆ij = (−1)i+jdet(A− Li − Cj) le cofacteur d’indice i , j de A.
Exemple
Si A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
,
alors
A− L2 − C3 =
(1 2
7 8
)
∆23 = (−1)2+3
∣∣∣∣∣1 2
7 8
∣∣∣∣∣ = −(8 − 14) = 6
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 2 / 8
Cofacteurs
Soit A = (aij) est une matrice carree de taille n. On note :
A− Li − Cj
la matrice de taille n − 1 construite en effacant la i-eme ligne et la j-eme
colonne de A.
On note ∆ij = (−1)i+jdet(A− Li − Cj) le cofacteur d’indice i , j de A.
Exemple
Si A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
, alors
A− L2 − C3 =
(1 2
7 8
)
∆23 = (−1)2+3
∣∣∣∣∣1 2
7 8
∣∣∣∣∣ = −(8 − 14) = 6
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 2 / 8
Cofacteurs
Soit A = (aij) est une matrice carree de taille n. On note :
A− Li − Cj
la matrice de taille n − 1 construite en effacant la i-eme ligne et la j-eme
colonne de A.
On note ∆ij = (−1)i+jdet(A− Li − Cj) le cofacteur d’indice i , j de A.
Exemple
Si A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
, alors
A− L2 − C3 =
(1 2
7 8
)
∆23 = (−1)2+3
∣∣∣∣∣1 2
7 8
∣∣∣∣∣ = −(8 − 14) = 6
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 2 / 8
Cofacteurs
Soit A = (aij) est une matrice carree de taille n. On note :
A− Li − Cj
la matrice de taille n − 1 construite en effacant la i-eme ligne et la j-eme
colonne de A.
On note ∆ij = (−1)i+jdet(A− Li − Cj) le cofacteur d’indice i , j de A.
Exemple
Si A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
, alors
A− L2 − C3 =
(1 2
7 8
)
∆23 = (−1)2+3
∣∣∣∣∣1 2
7 8
∣∣∣∣∣ = −(8 − 14) = 6
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 2 / 8
Formule de developpement
Question de cours : developpement
Le determinant verifie :
Developpement du determinant selon la ligne i :
det(A) =n∑
j=1
aij∆ij .
Developpement du determinant selon la colonne j :
det(A) =n∑
i=1
aij∆ij .
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 3 / 8
Formule de developpement
Question de cours : developpement
Le determinant verifie :
Developpement du determinant selon la ligne i :
det(A) =n∑
j=1
aij∆ij .
Developpement du determinant selon la colonne j :
det(A) =n∑
i=1
aij∆ij .
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 3 / 8
Proprietes du determinant
Echange de deux colonnes
Soient A ∈Mn(K) et A ′ obtenue a partir de A en echangeant deux
colonnes de A. Alors on a det(A) = −det(A ′).
Determinant des matrices triangulaires
Si une matrice A =
a1
? a2...
. . .. . .
? . . . ? an
est triangulaire inferieure, alors
det(A) = a1 . . . an.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 4 / 8
Proprietes du determinant
Echange de deux colonnes
Soient A ∈Mn(K) et A ′ obtenue a partir de A en echangeant deux
colonnes de A. Alors on a det(A) = −det(A ′).
Determinant des matrices triangulaires
Si une matrice A =
a1
? a2...
. . .. . .
? . . . ? an
est triangulaire inferieure, alors
det(A) = a1 . . . an.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 4 / 8
Multiplicativite et transposee
Question de cours
Pour toutes matrices A et B dans Mn(K), on a
det(AB) = det(A)det(B)
det(tA) = det(A).
Corollaire
Le determinant d’une matrice triangulaire superieure est le produit des
coefficients diagonaux.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 5 / 8
Multiplicativite et transposee
Question de cours
Pour toutes matrices A et B dans Mn(K), on a
det(AB) = det(A)det(B)
det(tA) = det(A).
Corollaire
Le determinant d’une matrice triangulaire superieure est le produit des
coefficients diagonaux.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 5 / 8
Multiplicativite et transposee
Question de cours
Pour toutes matrices A et B dans Mn(K), on a
det(AB) = det(A)det(B)
det(tA) = det(A).
Corollaire
Le determinant d’une matrice triangulaire superieure est le produit des
coefficients diagonaux.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 5 / 8
Determinant et inversion
La matrice des cofacteurs
On definit com(A) la matrice dont le coefficient i , j est ∆ij(A).
Une formule de produit
Atcom(A) = det(A)In =t com(A)A.
Theoreme
Soit A ∈Mn(K). Alors on a :
A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0.
Dans ce cas, A−1 = 1det(A)
tcom(A).
Dans ce cas, det(A−1) = 1det(A) .
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 6 / 8
Determinant et inversion
La matrice des cofacteurs
On definit com(A) la matrice dont le coefficient i , j est ∆ij(A).
Une formule de produit
Atcom(A) = det(A)In =t com(A)A.
Theoreme
Soit A ∈Mn(K).
Alors on a :
A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0.
Dans ce cas, A−1 = 1det(A)
tcom(A).
Dans ce cas, det(A−1) = 1det(A) .
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 6 / 8
Determinant et inversion
La matrice des cofacteurs
On definit com(A) la matrice dont le coefficient i , j est ∆ij(A).
Une formule de produit
Atcom(A) = det(A)In =t com(A)A.
Theoreme
Soit A ∈Mn(K). Alors on a :
A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0.
Dans ce cas, A−1 = 1det(A)
tcom(A).
Dans ce cas, det(A−1) = 1det(A) .
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 6 / 8
Determinant et inversion
La matrice des cofacteurs
On definit com(A) la matrice dont le coefficient i , j est ∆ij(A).
Une formule de produit
Atcom(A) = det(A)In =t com(A)A.
Theoreme
Soit A ∈Mn(K). Alors on a :
A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0.
Dans ce cas, A−1 = 1det(A)
tcom(A).
Dans ce cas, det(A−1) = 1det(A) .
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 6 / 8
Determinant et inversion
La matrice des cofacteurs
On definit com(A) la matrice dont le coefficient i , j est ∆ij(A).
Une formule de produit
Atcom(A) = det(A)In =t com(A)A.
Theoreme
Soit A ∈Mn(K). Alors on a :
A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0.
Dans ce cas, A−1 = 1det(A)
tcom(A).
Dans ce cas, det(A−1) = 1det(A) .
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 6 / 8
Calcul de determinants
Determinants et operations sur les matrices
Soient A et A ′ deux matrices de Mn(K).
1 Si A ′ Li←Li+αLj←−−−−−−− A ou A ′ Ci←Ci+αCj←−−−−−−− A
, alors
det(A) = det(A ′)
2 Si A ′ Li←αLi←−−−− A ou A ′ Ci←αCi←−−−−− A (avec α 6= 0), alors
det(A ′) = αdet(A)
3 Si A ′ Li↔Lj←−−−− A ou A ′ Ci↔Cj←−−−− A, alors
det(A ′) = −det(A)
Annulation du determinant
Notamment, dans tous les cas, det(A) = 0⇔ det(A ′) = 0.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 7 / 8
Calcul de determinants
Determinants et operations sur les matrices
Soient A et A ′ deux matrices de Mn(K).
1 Si A ′ Li←Li+αLj←−−−−−−− A ou A ′ Ci←Ci+αCj←−−−−−−− A, alors
det(A) = det(A ′)
2 Si A ′ Li←αLi←−−−− A ou A ′ Ci←αCi←−−−−− A (avec α 6= 0), alors
det(A ′) = αdet(A)
3 Si A ′ Li↔Lj←−−−− A ou A ′ Ci↔Cj←−−−− A, alors
det(A ′) = −det(A)
Annulation du determinant
Notamment, dans tous les cas, det(A) = 0⇔ det(A ′) = 0.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 7 / 8
Calcul de determinants
Determinants et operations sur les matrices
Soient A et A ′ deux matrices de Mn(K).
1 Si A ′ Li←Li+αLj←−−−−−−− A ou A ′ Ci←Ci+αCj←−−−−−−− A, alors
det(A) = det(A ′)
2 Si A ′ Li←αLi←−−−− A ou A ′ Ci←αCi←−−−−− A (avec α 6= 0)
, alors
det(A ′) = αdet(A)
3 Si A ′ Li↔Lj←−−−− A ou A ′ Ci↔Cj←−−−− A, alors
det(A ′) = −det(A)
Annulation du determinant
Notamment, dans tous les cas, det(A) = 0⇔ det(A ′) = 0.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 7 / 8
Calcul de determinants
Determinants et operations sur les matrices
Soient A et A ′ deux matrices de Mn(K).
1 Si A ′ Li←Li+αLj←−−−−−−− A ou A ′ Ci←Ci+αCj←−−−−−−− A, alors
det(A) = det(A ′)
2 Si A ′ Li←αLi←−−−− A ou A ′ Ci←αCi←−−−−− A (avec α 6= 0), alors
det(A ′) = αdet(A)
3 Si A ′ Li↔Lj←−−−− A ou A ′ Ci↔Cj←−−−− A, alors
det(A ′) = −det(A)
Annulation du determinant
Notamment, dans tous les cas, det(A) = 0⇔ det(A ′) = 0.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 7 / 8
Calcul de determinants
Determinants et operations sur les matrices
Soient A et A ′ deux matrices de Mn(K).
1 Si A ′ Li←Li+αLj←−−−−−−− A ou A ′ Ci←Ci+αCj←−−−−−−− A, alors
det(A) = det(A ′)
2 Si A ′ Li←αLi←−−−− A ou A ′ Ci←αCi←−−−−− A (avec α 6= 0), alors
det(A ′) = αdet(A)
3 Si A ′ Li↔Lj←−−−− A ou A ′ Ci↔Cj←−−−− A
, alors
det(A ′) = −det(A)
Annulation du determinant
Notamment, dans tous les cas, det(A) = 0⇔ det(A ′) = 0.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 7 / 8
Calcul de determinants
Determinants et operations sur les matrices
Soient A et A ′ deux matrices de Mn(K).
1 Si A ′ Li←Li+αLj←−−−−−−− A ou A ′ Ci←Ci+αCj←−−−−−−− A, alors
det(A) = det(A ′)
2 Si A ′ Li←αLi←−−−− A ou A ′ Ci←αCi←−−−−− A (avec α 6= 0), alors
det(A ′) = αdet(A)
3 Si A ′ Li↔Lj←−−−− A ou A ′ Ci↔Cj←−−−− A, alors
det(A ′) = −det(A)
Annulation du determinant
Notamment, dans tous les cas, det(A) = 0⇔ det(A ′) = 0.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 7 / 8
Calcul de determinants
Exemples de calculs
∣∣∣∣∣∣∣1 3 2
1 4 3
1 5 4
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣1 1 2
1 1 3
1 1 4
∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2
1 3 3
1 4 4
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 2 4
8 7 n
4 2 1
∣∣∣∣∣∣∣ . On fait C2 ← C2 − C1, et C3 ← C3 − 2C1 :
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 0 0
8 −1 n − 16
4 −2 −7
∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16
−2 −7
∣∣∣∣∣= 2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16)) = 2 · (2n − 25) = 4n − 50.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 8 / 8
Calcul de determinants
Exemples de calculs
∣∣∣∣∣∣∣1 3 2
1 4 3
1 5 4
∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 2
1 1 3
1 1 4
∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2
1 3 3
1 4 4
∣∣∣∣∣∣∣ =
0.
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 2 4
8 7 n
4 2 1
∣∣∣∣∣∣∣ . On fait C2 ← C2 − C1, et C3 ← C3 − 2C1 :
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 0 0
8 −1 n − 16
4 −2 −7
∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16
−2 −7
∣∣∣∣∣= 2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16)) = 2 · (2n − 25) = 4n − 50.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 8 / 8
Calcul de determinants
Exemples de calculs
∣∣∣∣∣∣∣1 3 2
1 4 3
1 5 4
∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 2
1 1 3
1 1 4
∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2
1 3 3
1 4 4
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 2 4
8 7 n
4 2 1
∣∣∣∣∣∣∣ . On fait C2 ← C2 − C1, et C3 ← C3 − 2C1 :
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 0 0
8 −1 n − 16
4 −2 −7
∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16
−2 −7
∣∣∣∣∣= 2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16)) = 2 · (2n − 25) = 4n − 50.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 8 / 8
Calcul de determinants
Exemples de calculs
∣∣∣∣∣∣∣1 3 2
1 4 3
1 5 4
∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 2
1 1 3
1 1 4
∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2
1 3 3
1 4 4
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 2 4
8 7 n
4 2 1
∣∣∣∣∣∣∣ .
On fait C2 ← C2 − C1, et C3 ← C3 − 2C1 :
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 0 0
8 −1 n − 16
4 −2 −7
∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16
−2 −7
∣∣∣∣∣= 2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16)) = 2 · (2n − 25) = 4n − 50.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 8 / 8
Calcul de determinants
Exemples de calculs
∣∣∣∣∣∣∣1 3 2
1 4 3
1 5 4
∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 2
1 1 3
1 1 4
∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2
1 3 3
1 4 4
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 2 4
8 7 n
4 2 1
∣∣∣∣∣∣∣ . On fait C2 ← C2 − C1
, et C3 ← C3 − 2C1 :
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 0 0
8 −1 n − 16
4 −2 −7
∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16
−2 −7
∣∣∣∣∣= 2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16)) = 2 · (2n − 25) = 4n − 50.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 8 / 8
Calcul de determinants
Exemples de calculs
∣∣∣∣∣∣∣1 3 2
1 4 3
1 5 4
∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 2
1 1 3
1 1 4
∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2
1 3 3
1 4 4
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 2 4
8 7 n
4 2 1
∣∣∣∣∣∣∣ . On fait C2 ← C2 − C1, et C3 ← C3 − 2C1
:
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 0 0
8 −1 n − 16
4 −2 −7
∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16
−2 −7
∣∣∣∣∣= 2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16)) = 2 · (2n − 25) = 4n − 50.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 8 / 8
Calcul de determinants
Exemples de calculs
∣∣∣∣∣∣∣1 3 2
1 4 3
1 5 4
∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 2
1 1 3
1 1 4
∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2
1 3 3
1 4 4
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 2 4
8 7 n
4 2 1
∣∣∣∣∣∣∣ . On fait C2 ← C2 − C1, et C3 ← C3 − 2C1 :
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 0 0
8 −1 n − 16
4 −2 −7
∣∣∣∣∣∣∣ =
2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16
−2 −7
∣∣∣∣∣= 2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16)) = 2 · (2n − 25) = 4n − 50.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 8 / 8
Calcul de determinants
Exemples de calculs
∣∣∣∣∣∣∣1 3 2
1 4 3
1 5 4
∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 2
1 1 3
1 1 4
∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2
1 3 3
1 4 4
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 2 4
8 7 n
4 2 1
∣∣∣∣∣∣∣ . On fait C2 ← C2 − C1, et C3 ← C3 − 2C1 :
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 0 0
8 −1 n − 16
4 −2 −7
∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16
−2 −7
∣∣∣∣∣=
2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16)) = 2 · (2n − 25) = 4n − 50.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 8 / 8
Calcul de determinants
Exemples de calculs
∣∣∣∣∣∣∣1 3 2
1 4 3
1 5 4
∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 2
1 1 3
1 1 4
∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2
1 3 3
1 4 4
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 2 4
8 7 n
4 2 1
∣∣∣∣∣∣∣ . On fait C2 ← C2 − C1, et C3 ← C3 − 2C1 :
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 0 0
8 −1 n − 16
4 −2 −7
∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16
−2 −7
∣∣∣∣∣= 2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16))
= 2 · (2n − 25) = 4n − 50.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 8 / 8
Calcul de determinants
Exemples de calculs
∣∣∣∣∣∣∣1 3 2
1 4 3
1 5 4
∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 2
1 1 3
1 1 4
∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2
1 3 3
1 4 4
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 2 4
8 7 n
4 2 1
∣∣∣∣∣∣∣ . On fait C2 ← C2 − C1, et C3 ← C3 − 2C1 :
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 0 0
8 −1 n − 16
4 −2 −7
∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16
−2 −7
∣∣∣∣∣= 2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16)) = 2 · (2n − 25)
= 4n − 50.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 8 / 8
Calcul de determinants
Exemples de calculs
∣∣∣∣∣∣∣1 3 2
1 4 3
1 5 4
∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 2
1 1 3
1 1 4
∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2
1 3 3
1 4 4
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 2 4
8 7 n
4 2 1
∣∣∣∣∣∣∣ . On fait C2 ← C2 − C1, et C3 ← C3 − 2C1 :
D =
∣∣∣∣∣∣∣2 0 0
8 −1 n − 16
4 −2 −7
∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16
−2 −7
∣∣∣∣∣= 2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16)) = 2 · (2n − 25) = 4n − 50.
Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 8 / 8