ApplicationdunemthodedetypeMeshlessla
rsolutiondeproblmesdetransfertsradiatifsen gomtrie complexe Chengan
WANG, Hamou SADAT, Vital LE DEZ, Denis LEMONNIER Laboratoire
dEtudes Thermiques,Universit de Poitiers 40 Avenue du Recteur
Pineau 86022 Poitiers Cedex [email protected] Rsum
-On prsente une mthode de type Meshless pour la rsolution de
problmes
detransfertradiatifdfinisdansdesgomtriesdeformecomplexe.Lamthodedes
ordonnesdiscrtesdanssaformulationenvariablespairesestutilisepourladiscrtisation
angulaire,tandisquunemthodedecollocationbasesurlapproximationglissante
moindrescarrspermetladiscrtisationspatialedesquationssurdesnuagesdepoints
gnrsdansledomaine.Desexemplesbidimensionnelettridimensionnelsontprsentset
permettent de valider la mthode.NomenclatureMA
matricedapproximationdiffuseau pointM( ) M M pi, vecteur ligne des
monmes M point courant J nombre de directions discrtes ) ( W poids
associ une direction discrte ) ( I luminancedirectionnellepourune
direction de propagation,Wm-2sr-1 bIluminance de corps noir du
milieu, Wm-2sr-1 bwI luminancesurfaciquedecorpsnoir,Wm-2sr-1 n
normale extrieure la surfaceq flux parital, Wm-2 Symboles grecs
fonction de pondration vecteurdelestimedesdrives partielles
successives champ scalaire ouverture des fentres de pondration
coefficient dabsorption, m-1 coefficient de diffusion, m-1
coefficient dextinction, m-1 direction de propagation fonction de
phase de diffusion missivit dune surface Indices et exposants
bcorps noir (matire) bwcorps noir (paroi)
1.IntroductionAucoursdeladerniredcennie,denombreusesmthodesonttproposespour
rsoudredesquationsauxdrivespartiellesdfiniesdansdesgomtriescomplexessans
utilisation de maillages en lments finis. Dans le prsent article,
on dveloppe une mthode
decollocationutilisantlapproximationglissantemoindrescarrs[1].Cettemthodeat
utilise pour rsoudre des problmes de conduction [2], de convection
naturelle 2D [3] et 3D [4], tudier leffet du champ magntique sur la
convection naturelle [5] et lcoulement autour dobstacles
[6].Ilexistedenombreusessituationsd'ingnierie(fours,hauts-fourneaux,chambresde
combustion),pourlesquelleslefonctionnementesttroitementdpendantdestransferts
thermiques au sein des systmes considrs, et o le rayonnement peut
tre le mode dominant dchange de chaleur. En raison de l'absorption
du rayonnement et des possibles phnomnes de diffusion dans les
milieux semi-transparents, la luminance, quantitfondamentale partir
delaquellepeuttreobtenulechampdefluxradiatif,obitunequationintgro-diffrentielle(ETR)dontlaprincipaledifficultdersolutionestliesanature
directionnelle.Danslamthodedesordonnesdiscrtes(DOM),primitivementdveloppe
parLathrop[7],lETResttransformeenunsystmed'quationsauxdrivespartielles
rsolueslaidedemthodesnumriquesapparentesauxvolumesfinis[8-9]oulments
finis[10-11].LaformulationenvariablespairesdelETR[12-13]alavantagedenutiliser
quuneseulequationpourunedirectiondiscrtedonne,contrairementauxvariables
primitivesquincessitentdeuxquations(directions+et-).Parailleurs,lesquations
obtenuesenvariablespairesontunestructuresimilairecellequelonobtientdansdes
problmes de diffusion. Onprsenteicilapplicationdelamthode Meshless
larsolutiondeproblmesde
transfertsradiatifsdfinisdansdesgomtriesdeformecomplexebidimensionnelleet
tridimensionnelle. La mise en uvre de la mthode par minimisation
dun cart quadratique, la discrtisation spatiale des quations
laquelleelle conduit et la construction des systmes
dquationssontdaborddveloppes.Lesrsultatsobtenussurquelquesexemples,relatifsaux
flux paritaux, sont ensuite prsents et comments.2.La mthode de
lapproximation diffuse Considronsunchampscalaire) , ( y x
dfinidansundomainebidimensionneldiscrtis ennnuds. A partir dun
point de calcul( ) y x M , on cherche une estime *idu champi ,
souslaformedundveloppementdeTaylortronquunordrechoisi(icilordre2),de
sorte que ( ) ( )TM i i i iM M p y x = , ,*(1) avec( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )2 2, , , , , 1 , y y y y x x x x y y x x M M pi i i i i i
i =(2) etT TM 5 4 3 2 1 0, , , , , =(3) Lesdiffrentscoefficients i
correspondent,uneconstanteprs,auxdrives successives du champ
scalaire au pointiM . On connecte ensuite les variables gnralises
aux valeurs connues par minimisation de lerreur quadratique qui
sexprime par :( ) ( ) ( ) [ ]=)` =njTM j j j MM M p M M I12, , (4)
o( ) ( )( )2 22) ( si0 ,10 ln 3 exp , > = (((
|||
\| = X X X X XX XX X Xi iii(5) ( ) M Mj,
estunefonctiondepondrationcontinue,positive,maximaleen iM et
dcroissant rapidement quand on sen loigne : ainsi( ) M Mj, dfinira
le nombre de nuds voisins connects au nud de calcul. La
minimisation de( )MI par rapport TM , cest--dire ( )0 =iMI, conduit
au systme matriciel : [ ]T MTMMB A = (6) O [ ] ( ) ( ) ( ) M M p M
M p M M AjnjTj jM, , ,1= = (7) et( ) ( )jTjnjjTM M p M M = =, , B1M
(8) dont on dduit : ( )*225*24*223*2*1*0! 21! 21,|||
\|=|||
\| =|||
\|=|||
\|= ||
\|= =y y x xy xy x (9) 3.Formulation en variables paires Dans un
milieu semi-transparent mettant, absorbant et diffusant, lETR
scrit, aprs avoir
remplacletermeintgraldediffusionparsonapproximationdiscrte,souslaforme
classique, le long dune trajectoire caractrise par sa direction iet
son abscisse curviligne s := + + =Jjj i j j b iiW I I IdsdI1) ( ) ,
( ) (4) () ( (10) J i ... 1 = estlordredeladirectiondiscrte i , ,
et sontlescoefficients dabsorption, de diffusion et dextinction du
milieu suppos gris. bI est la luminance de corps noir du milieu,
et) , (i j est la fonction de phase de diffusion entre les
directions jet i ,) (jW tantlepoidsassociladirectiondiscrtej
pourlaquadratureangulaire choisie. Les conditions aux limites pour
une paroi rflchissant le rayonnement de faon purement diffuse,
scrivent aprs avoir transform lintgrale de rflexion en une somme
discrte : ) ( ) (1) (0 jnj j bw iW n I I Ij + = < (11) Oest
lmissivit de la surface et bwIla luminance de corps noir la paroi
de normale intrieuren . En appelant) (+Iet) (Iles intensits
relatives aux directions positive + et ngative -, il vient pour les
variables paires et impaires : ) ( ) ( ) ( + = +I I F , ) ( ) ( ) (
= +I I G(12) En injectant alors les luminances + et dans lETR (10)
il vient [12-13]: 0 ) (4212 /122= + + + =Jjj ij j ij b iiG B F A I
FdsF d (13) ) () ( =GdsdF(14) Les matrices ijAet ijB sexprimant
respectivement par) ( )] , ( ) , ( [j i j i jW + et ) ( )] , ( ) ,
( [j i j i jW .Quantauxconditionsauxlimites,ellesscriventdansle
cadre de ce formalisme: + =|||
\| 2) ( ) ) ( (21 1 1) (21Jjj j i j i bwii iW n G n sign F
IdsdFn sign F (15) Les flux paritaux sont donns simplement par: =
=21) ( ) (Jij i iW G n q(16) Pour rsoudre ces quations, on remplace
d'abord le domaine continu par un ensemble de
pointsdiscrets.Lafonctiondepondrationchoisieestalorsutilisepourslectionnerun
certain nombre de points autour de chaque point isol o
l'approximation diffuse de l'quation
estenfincrite.Celaconduitunsystmelinairedontlesinconnuessontlesvaleurs
nodales ) , ( y x Fi.4.Rsultats
Danslesdeuxcastudis,lemilieuestmettant-absorbantetsupposisotherme,confin
dansuneenceintedontlesparoissontnoiresetfroides(0K).Lecoefficientdabsorption
variede0.1,10.0m-1.Lesgomtriesconsidressontdonnessurlesfigures1et2.Les
calculs ont t effectus laide dune quadrature S6. Figure 1 :
Description du quadrilatre tudiFigure 2 : Reprsentation du pentadre
4.1.Cas dun quadrilatre irrgulier Figure 3 : MaillageFigure 4 :
Comparaison des flux paritaux adimensionns sur la paroi infrieure
pour plusieurs absorptions ( =10 m-1,5050; =0.1, 1 m-1, 2525) Le
problme dun milieu isotherme absorbant etmettant considr par Chai
[14] dans la gomtrie de la figure 1 a t trait avec deux maillages
2525 (pour =0.1 m-1 et 1 m-1) et 5050 (pour =10m-1). La figure 3
montre un exemple de nuage de points utilis tandis que
lafigure4prsentelesfluxparitauxadimensionnelssurlaparoiinfrieureainsiqueles
rsultats obtenus par Chai [14]. 4.2.Cas dun pentadre base
rectangulaire Figure 5 : Maillage utilisFigure 6 : Flux paritaux
adimensionns sur laxe A-A pour diffrentes absorptions La figure 5
montre un nuage de points utilis pour la discrtisation du pentadre.
Les Flux paritaux obtenus sur lesegment A-A de la figure 2 ont t
regroups sur la figure 6 pour 3
valeursdistinctesducoefficientdabsorption.Onconstatenouveaulabonneconcordance
des rsultats avec ceux de Chai et al.[15]. 5.Conclusion
Unemthodedetype Meshless
estutilisepourrsoudreletransfertradiatifdansdes gomtries de forme
complexe, bidimensionnelle et tridimensionnelle. Les rsultats
montrent
quelamthodepermetdobtenirdesrsultatsdassezbonneprcision.Nousenvisageons
dtendre cette approche ltude des transferts coupls.
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