8/6/2019 26Critere_de_Nyquist
1/2
Asservissement Stabilit S.I.I.
STABILIT DES SYSTMES LINAIRES
Soit un systme nominal monovariable dcrit par sa fonction de
transfert en boucle ouverte G(p). Le systme
en boucle ferme est reprsent par le schma suivant :
( )G p(p)
-
+ S(p)E(p)
Critre de Nyquist :
Un systme continu en boucle ferme retour unitaire est
asymptotiquement stable la condition ncessaire et
suffisante que son lieu de transfert en boucle ouverte,parcouru
de = - = + entoure le point critique (-1,0)
dans le sens trigonomtrique un nombre de fois gal au nombre des
ples instables de la fonction de transfert en boucle
ouverte G(p).
Interprtation
N : le nombre de tours dans le sens direct du diagramme de
Nyquist autour du point critique (-1,0). P : le nombre de ples
instables de G(p) : ( partie relle positive ) Z : le nombre de zros
instables de la transmittance en boucle ferme 1+G(p)
La stabilit est assure pour : Z = P N = 0.
La dmonstration ntant ni au programme de SII, ni au programme de
Mathmatiques, nous nous contenterons
dadmettre ce thorme.
Pour les systmes qui n'ont ni ples ni zros partie relle positive
en boucle ouverte, le critre de Nyquist s'applique
d'une faon simplifie : voir le critre du revers nonc au chapitre
prcdent.
Exemples :
Remarque : voici un exemple du diagramme de Nyquist, pour
( )2
( )1
KH p
p=
+
K> 0.
La figure de droite correspond au parcours complet, quand varie
de - + alors que la figure de gauche
correspond au parcours partiel, quand varie de 0 + :
Le trac complet s'obtient du trac partiel par symtrie par
rapport l'axe rel.
Chevalier F Lyce Henri Poincar 50
8/6/2019 26Critere_de_Nyquist
2/2
Asservissement Stabilit S.I.I.
Exemple n 1
( ) 0K
G p Kp
= >
( )G j
( )G j
0+
N = P - Z = 0
P = 0 => Z = 0
0
1
Exemple n 2Soit G(p) la fonction de transfert en boucle
ouverte:
( )( )1 2
( )1 1
KG p
T p T p=
+ +
avec K> 0, T1 et T2 > 0.
Comme la fonction G(p) n'a pas de ples instables, P = 0 et que
le
nombre de tours N est nul, Z = 0, le systme en boucle ferme
est
stable pour toutes les valeurs de K, T1 et T2 positives.
Exemple n 3
Soient( )
5
3( )
4H p
p=
et( )
6 ( )H pp
=
5
4deux
fonctions de transfert en boucle ouverte.
Elles ont un ple instable en boucle ouverte, p = 4, donc : P
=1.
H5(p) entoure le point critique une fois dans le sens anti-
trigonomtrique, donc N = 0, ce qui donne :
Z = P - N = 1.
1 + H5(p) a donc une racine partie relle positive, c'est
dire que le systme en boucle ferme a un ple instable.
H6(p) entoure le point critique une fois dans le sens
trigonomtrique, donc N = 1, ce qui donne :
Z = P - N = 0.
1 + H6(p) na donc pas de racine partie relle positive,
c'est dire que le systme en boucle ferme est stable.
Chevalier F Lyce Henri Poincar 51
