Łukasz Starzak, Ingénierie électronique et électrique, été 2017/18 1
3. Circuits électriques en régime continu
Classification des dipôlesAssociations de dipôles passifs linéaires et les circuits diviseurs
Dipôles actifs et leurs modèles de Thévenin et de NortonPrincipe de superposition
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Régime continu
En régime continu, toutes les tensions et tous les courants sont constants dans le temps
Les grandeurs électriques correspondant au régime continu sont désignées avec les letres majuscules : U, I, P
Le régime continu peut être appliqué pour décrire seulement une partie du comportement d’un circuit
Ce sera le comportement lié aux forces constantes dans le temps même si elles ne sont pas les uniques forces à apparaître
Le théorème de superposition précise quand et comment on peut se servir des résultats d’une telle analyse partielle
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Dipôles passifs
Un dipôle passif est un dipôle qui ne peut que consommer ou accumuler l’énergie électrique
L’énergie nete délivrée à un dipôle passif n’est jamais négative Indépendant du caractère du courant et de la tension à ses bornes Énergie nete ≡ énergie délivrée au dipôle en jeu moins énergie fournie
par ce dipôle au circuit Sa caractéristique courant-tension passe par l’origine (I = 0 ⇔ U = 0)
Il ne peut pas y exister une tension sans un courant et vice versa Un dipôle passif qui ne fait que consommer de l’énergie électrique
est appelé dipôle dissipatif Toute l’énergie électrique délivrée à un dipôle dissipatif y est transformée en
autre forme d’énergie Premièrement dissipée comme chaleur (énergie thermique) par l’efet Joule
Exemple : ampoule Dipôle passif dissipatif où toute l’énergie électrique est transformée en
énergie thermique ou lumineuse
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Dipôles actifs
Un dipôle actif (générateur) est un dipôle capable de produire l’énergie électrique
L’énergie nete délivrée à un dipôle actif peut être négative L’énergie fournie au circuit est supérieure à l’énergie reçue de ce circuit
La caractéristique courant-tension ne passe pas par l’origine (I ≠ 0 pour U = 0, U ≠ 0 pour I = 0)
Il sufit que juste une de ces conditions est remplie, pourtant normalement les deux seront remplies
Une partie de l’énergie électrique mise en jeu dans un dipôle actif n’est pas transformée en autre forme d’énergie
Normalement, ce sera la plupart de cete énergie Exemple : pile
La plupart de l’énergie électrique mise en jeu est fournie au circuit Pourtant une petite partie est dissipée par l’efet Joule à cause de l’existence
d’une résistance parasite de la pile
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Linéarité des dipôles
La relation courant-tension d’un dipôle linéaire peut être exprimée par une équation linéaire (algébrique ou diférentielle) à coeficient constant
Dans le cas d’une équation algébrique, la caractéristique courant-tension est une droite dont le coeficient est la résistance du dipôle en jeu
Exemple : résistor Tout autre dipôle est un dipôle
non linéaire Exemple : ampoule Le filament étant un conducteur, sa
résistance augmente avec la température qui résulte de la puissance
dissipée, proportionnelle à I2
I
U
I
U
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Caractéristique symétrique et non symétrique
Si la caractéristique d’un dipôle est symétrique par rapport à l’origine, alors son comportement dans un circuit électrique ne dépend pas du sens de son branchement
Exemple : ampoule Si la caractéristique d’un
dipôle est non symétrique, alors son comportement dépend du sens de branchement
Exemple : diode
I
U
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Association de dipôles passifs linéaires en série
Une association quelconque de dipôles passifs linéaires se comporte comme un dipôle passif linéaire dont le coeficient de la caractéristique courant-tension est appelé résistance équivalente
Loi des mailles + loi d’Ohm
Dans une association en série, les résistances s’additionnent
R eq=∑k=1
N
Rk
U=U 1+U 2+U 3=R1 I+R 2 I+R 3 I=(R 1+R 2+R 3)I=R eq IR eq=R 1+R 2+R 3
R1
R2
R3
Req
U1
U2
U3
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Association de dipôles passifs linéaires en parallèle (en dérivation)
Loi des nœuds + loi d’Ohm :
Dans une association en parallèle, les conductances s’additionnent
La somme des inverses des résistances composantes est égale l’inverse de la résistance équivalente
Cas particulier : deux dipôles
R eq=R 1∥R 2=1
1R 1
+ 1R2
= 1R 2
R1R 2
+R 1
R1R 2
=R1R 2
R 1+R 2
R1
R2
R3
I1
I2
I3
Req
I=I 1+I 2+I 3=UR1
+ UR2
+ UR3
=
=U( 1R1
+ 1R2
+ 1R 3
)=U1R eq
1Req
=∑k=1
N 1Rk
ou
G eq=∑k=1
N
G k
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Exercices
3.1.1. Calculer la résistance équivalente de trois résistors dont les résistances sont R1 = 4,7 kΩ, R2 = 47 kΩ, R3 = 470 Ω, s’ils sont associés :a) en série ;b) en parallèle.
3.1.2. Assumant le courant mortel égal 30 mA, calculer les valeurs mortelles des tensions :a) de contact ;b) de pas.
500 Ω 500 Ω
100
Ω
500
Ω
500 Ω
V
V
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Diviseur de tension
Le même courant traverse toutes les résistances On peut calculer son intensité en se servant de la
résistance équivalente
Selon la loi d’Ohm, les tensions partielles sont
Formule générale :
R1
R2
R3
U1
U2
U3
Req=R 1+R 2+R3
I= UReq
= UR1+R 2+R3
U 1=I R 1=UR1
R1+R2+R3
U 2=I R 2=UR 2
R1+R 2+R3
U 3=I R 3=UR3
R1+R 2+R3
U n=UR n
∑k
Rk
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Diviseur de courant
La même tension doit apparaître aux bornes de chaque résistance parce que ces bornes sont connectées
En se servant de la conductance équivalente
Formule générale : Cas particulier de deux résistances :
R1
R2
R3
I1
I2
I3Geq=G1+G 2+G3=
1R 1
+ 1R 2
+ 1R3
U= IGeq
I 1=U G1=IG 1
G 1+G 2+G3
I 2=IG 2
G1+G2+G3
I 3=IG3
G1+G2+G3
In=IG n
∑k
Gk
I 1=I
1R 1
1R1
+ 1R 2
=I
1R1
R 2+R1
R1R 2
=IR 2
R 1+R 2
I 2=IR1
R1+R2
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Exercices
3.2.1. Étant donné Ui = 3,3 V et R1 = 47 kΩ, quelle doit être la résistance R2 pour que la tension Uo soit égale 1,25 V ?
3.2.2. Déterminer l’intensité du courant I2.
R1
R2
Ui
Uo
1,2 V
50 Ω
100 Ω 7,2 Ω
I2
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Caractéristiques des dipôles actifs
Les caractéristiques courant-tension des dipôles actifs ne sont jamais symétriques
Le comportement du dipôle dépend du sens de la tension à ses bornes (polarité)
Des vrais dipôles actifs ne sont pas linéaires Pourtant, on essaie toujours de les représenter comme tels (au moins dans
une partie choisie de la caractéristique), car ça simplifie les calculs Exemple : pile
Jusqu’au courant nominal (et même plus), la relation entre courant et tension est basiquement linéaire
Si on dépasse le courant nominal Irat, on risque de détruire la pile
Il y a des sources à caractéristique similaire mais qui n’ont pas cete limitation, p.ex. la cellule photoélectrique
U
IIrat
chargement alimentation
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Paramètres de la caractéristique d’un dipôle actif
Uoc – tension à vide (en circuit ouvert)
on la mesure lorsqu’on laisse les bornes de la pile à vide (ouvertes en air), c.-à-d. on n’y connecte rien
correspond à I = 0 appelé aussi force
électromotrice, notée E
Isc – courant en court-circuit on le mesure lorsqu’on court-
circuite la pile, c.-à-d. on connecte ses deux bornes ensemble
correspond à U = 0
Uoc
=EIsc
U
I
E = Uoc
Isc
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Modèle linéaire de la pile
Valable dans une plage limitée du courant : où la relation entre courant et tension est linéaire
En région linéaire, on peut exprimer la tension comme
où k est un coeficient constant Notons que [k] = 1 Ω, alors ça représente une
résistance
Le terme RI correspond à une tension UR développée aux bornes d’une résistance R parcourue par le courant de la pile I
Cete formule décrit donc un schéma électrique → À noter le sens opposé de UR par rapport à E, ce qui
reste en accord avec le sens du courant I Notons qu’à vide, on va bien mesurer U = Uoc = E, car
I = 0 donc UR = 0 (selon la loi d’Ohm)
U=U oc−k⋅I
U=E−R I=E−U R
UR
U
I
UR = R∙I
E = Uoc
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Dipôle actif linéaire
Un dipôle actif linéaire possède une caractéristique :
linéaire pour n’importe quel courant et tension
mais qui – au contraire d’un dipôle passif – ne passe pas par l’origine
L’équation de la caractéristique :
finalement :
où R est appelée résistance interne
U=−a⋅I+bU oc=−a⋅0+b ⇒ b=U oc
0=−a⋅I sc+b ⇒ a= bI sc
=U oc
I sc
=R
U=E−R I
avec E=U oc et R=U oc
I sc
U
I
E = Uoc
Isc
R∙I
sourcede tension
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Représentation alternative d’un dipôle actif linéaire
L’équation peut être réarrangée
et finalement :
Cete nouvelle forme aussi décrit un schéma électrique équivalent →
Notons que la résistance interne est restée la même
U=E−R I E=U oc R=U oc
I sc
U=U oc−U oc
I sc
I
U oc
I sc
I=U oc−U
I=I sc−I sc
U oc
U
I= J−UR
avec J=I sc et R=U oc
I sc
U
I
U/R
Uoc
J = Isc
sourcede courant
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Théorèmes de Thévenin et de Norton
Théorème de Thévenin :Tout dipôle actif linéaire peut être modélisé par une source de tension parfaite avec une résistance en série
Théorème de Norton :Tout dipôle actif linéaire peut être modélisé par une source de courant parfaite avec une résistance en parallèle
Les schémas électriques qui en résultent sont appelés modèle équivalent de Thévenin et modèle équivalent de Norton
Les deux modèles sont équivalents l’un à l’autre
U=E−R I I= J−UR
E=U+RI=U+R( J−UR )=U+RJ−U=RJ
E=R J ou J=ER
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Exercice
3.3.1. En mesurant la tension aux bornes d’un accumulateur, on a obtenu 1,25 V lors de la décharge avec un courant de 300 mA et 1,18 V avec un courant de 1,5 A.a) Déterminer les modèles équivalents de Thévenin et de Norton de cet accumulateur.b) Calculer la tension avec laquelle cet accumulateur pourra alimenter un circuit consommant un courant de 2,4 A.c) Calculer le courant et la tension aux bornes d’une charge résistive de 2,1 Ω si elle est alimentée par cet accumulateur.