31 Solides de l'espace - Les leçons de mathématiques à ... · PDF file31.3 Solides usuelles 11 R 31.12 Si toutes les faces du parallélépipède rectangle sont des carrés, on appelle

9Solides de l’espace31

Leç

on

n°

Niveau Tous niveauxPrérequis intégrales, géométrie dans l’espace

Références [99], [100], [101], [102], [103]

31.1 Défintions31.1.1 Définition de la vie courante

Définition 31.1 — Solide. Un solide dans l’espace est un ensemble de points situés à l’intérieur d’unepartie fermée de l’espace.

Définition 31.2 — Polyèdre. Lorsque ces solides sont déterminés par des surfaces planes polygonales,on les appelle « polyèdres ».

Ces surfaces sont alors appelées faces, dont les côtés sont des arpetes ayant pour extrémités dessommets du polyèdre.

Définition 31.3 — Volume. On appelle volume la portion de l’espace occupée par un solide.

Définition 31.4 — Patron. Un patron d’un solide est un modèle plan permettant de construire parpliage, le solide.

31.1.2 Définition selon de grands mathématiciensDéfinition 31.5 — Selon Platon. Est solide ce qui possède longueur, largueur et profondeur, et la limited’un solide est une surface.

Définition 31.6 — Selon Leibniz. Le chemin suivi par un point se déplaçant vers un autre est une ligne(...) Le déplacement de cette ligne dont les points ne se remplacent pas sans cesse donne une surface.Le déplacement d’une surface dont les points ne se remplacent pas sans cesse donne un solide.

10 Leçon n°31 • Solides de l’espace

31.2 Règles de la perspective cavalière31.2.1 Notion de perspective

Définition 31.7 La perspective est une technique de représentation des solides sur une surface plane.

R 31.8 La perspective cavalière donne une meilleure idée de la forme réelle du cube dans l’espace.

31.2.2 Règles de constructionThéorème 31.9 — Règles de construction d’un solide en perspective cavalière. — Les éléments

cachés sont tracés en pointillés, les éléments visibles sont en trait plein.— Les éléments situés dans un plan vu de face (frontal) sont représentés en vraie grandeur.— Les droites perpendiculaires au plan frontal sont représentées par des droites parallèles for-

mant un angle (de fuite) avec l’horizontale.— Les longueurs représentées dans la direction des lignes fuyantes ne sont pas les longueurs

réelles (on les réduite par un coefficient de réduction en général 0, 5 ou 0, 7.

31.2.3 Propriétés de la perspective cavalièrePropriétés 31.10 — Deux droites parallèles sont représentées par deux droites parallèles.

— Deux droites sécantes sont représentées par deux droites sécantes.— Des points alignés sont représentées par des points alignés.— Les milieux de segments sont conservés.

31.3 Solides usuelles31.3.1 Parallélépipèdes rectangles (ou pavés droits)

Définition 31.11 Un parallélépipède rectangle est un polyèdre dont toutes les faces sont rectangu-laires.

Il y a 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes.

31.3 Solides usuelles 11

R 31.12 Si toutes les faces du parallélépipède rectangle sont des carrés, on appelle ce solide, un cube.

Propriété 31.13 Si on note L, l et h les dimensions du pavé droit, alors :— le volume est : L× l × h ;— l’aire est 2× (Ll + lh+ Lh) ;— la grande diagonale mesure

√L2 + l2 + h2.

Propriété 31.14 La section d’un pavé droit avec un plan parallèle à une face est un rectangle de mêmemesure que cette face.

La section d’un pavé droit avec un plan parallèle à une arrête est un rectangle dont les mesuresdépendent du plan.

Dv

Pour la démonstration de la propriété 31.14, on aura besoin du résultat suivant :

Théorème 31.15 — « Théorème du toit ». Si deux plans distincts (non parallèles) contiennent deuxdroites parallèles, alors l’intersection de ces deux plans est une droite parallèle aux deux autres,c’est-à-dire, si (d1) ⊂ P1, (d2) ⊂ P2 et si (d3) = P1 ∩ P2 alors (d3)//(d1) et (d2)//(d3).

• Démonstration de la propriété 31.14 —

P

A B

CD

E F

GH

Soit P un plan d’intersection parallèle avec (FB). On montre que l’intersection est un rec-tangle.


Puisque P//(FB), P ∩ (BGC) est parallèle à (BF ). On montre de même que P ∩ (EAD)est parallèle à (EA).Donc les côtés opposés P ∩ (BGC) et P ∩ (EAD) sont parallèles. Ainsi, en utilisant lethéorème de Thalès dans l’espace, on montre qu’ils sont de même longueur.De plus, puisque P ∩ (BCG) est parallèle à (BF ), elle est orthogonale à (ABC), et enparticulier à la droite P ∩ (ABC).On a donc un parallélogramme avec un angle droit, c’est un rectangle. •

On donne ci-dessous le patron du parallélépipède rectangle.

31.3.2 Prismes et cylindres

Définition 31.16 Soit P1 et P2 deux plans parallèles et M un point de P1.Soit un polygone P et un cercle C inclus dans P1. On considère la droite (d) passant par M et

non parallèle à P1.On appelle prisme (resp. cylindre) le solide délimité par la surface latérale que décrit (d) quand

M décrit P (resp. C).On appelle (d) génératrice du prisme (resp. cylindre) et la distance entre P1 et P2 est appelé

hauteur.


R 31.17

1. Lorsque (d) est orthogonal à P1, on dit que le prisme (resp. cylindre) est droit (resp. de révolution).2. Les pavés sont des prismes droits.

Propriété 31.18 — Le volume du prisme et du cylindre est égal à :

V = aire de la base× hauteur.

— L’aire du prisme et du cylindre est égal à :

A = périmètre de la base× hauteur + 2× aire de la base.

Dv

• Démonstration —

hx

S(x)

r

AO

B

C

M

M ′

On coupe le cône par un plan passant par la droite (OA) et on obtient le triangle OABsuivant :


xOA = h

r

O M A

B

M ′

D’après le théorèm de Thalès :MM ′

rx

h

doncS(x) = π =

(rxh

)2.

V =∫ h

0

π

r2h2x2 dx = πr2

h2

[x3

3

]h

0= πr2h

3 .

Soit :V = aire de la base× hauteur

3 .

On peut faire de même pour démontrer le volume de la pyramide. •

Propriété 31.19 La section d’un cylindre de révolution ou d’un prisme droit avec un plan parallèle àla base est une figure identique à la base.

La section d’un prise droit (resp. d’un cylindre de révolution) avec un plan parallèle à une arête(resp. avec la hateur) est un rectangle.

Dv

• Démonstration — On peut utiliser le théorème de Thalès dans l’espace. •

On donne ci-dessous les patrons du cylindre droit et du prisme.


31.3.3 PyramideDéfinition 31.20 Une pyramide est un solide à base qui peut être quelconque (rectangulaire, carré,ou triangulaire) et les faces latérales sont des triangles.

Propriété 31.21 Si on note c le côté de la base et h la hauteur de la pyramide alors :

V = B × h3 = c2 × h

3

Propriété 31.22 La section d’une pyramide avec un plan parallèle à la base est une réduction de labase de rapport IJ

AB .

On donne ci-dessous le patron d’une pyramide :


Définition 31.23 — Tétraèdre. Un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire.

Propriété 31.24 Si on note h la hauteur du tétraèdre et B l’aire de sa base alors :

V = B × h3 .

Propriété 31.25 — Section du tétraèdre. Si P est parallèle à l’une des faces, la section est un triangledont les côtés sont parallèles à ceux de la base.

31.4 Solides de révolution31.4.1 Définition

Définition 31.26 Un solide de révolution est engendré par une surface plane fermée tournant autourd’un axe.

31.4.2 Boule et sphèreDéfinition 31.27 — Boule et sphère. Une boule est un solide de révolution (on a fait tourner un cerclesur un axe). La sphère de centreO et de rayon r est le bord de la boule de même centre et de mêmerayon. C’est l’ensemble des points qui sont à distance r du point O.

31.4 Solides de révolution 17

Propriété 31.28 En muniisant l’espace d’un repère orthonormé (O, #»ı , #» ,#»

k ), M(x, y, z) appartientà la sphère de centre A(xA, yA, zA) et de rayon R si et seulement si :

(x− xA)2 + (y − yA)2 + (z − zA)2 = R2.

Propriété 31.29 Le volume d’une sphère de rayon R est :

V = 4πR3

3 .

L’aire d’une sphère de rayon R est :A = 4πR2.

R 31.30 La formule du volume peut se démontrer de multiples façons selon le niveau : au collège en admettantle principe de Cavalieri, au lycée par une intégrale simple en supposant que le volume puisse s’obtenir enintégrant une surface le long d’un segment, et en BTS à l’aide d’intégrale triple.

Pour l’aire on peut tenter de justifier le fait qu’il suffise de dériver le volume (en supposant l’aire commela limite d’un volume lorsque la hauteur tend vers 0). Une démonstration plus rigoureuse est possible enBTS grâce aux coordonnées sphériques et à une intégrale double.

Dv

• Une démonstration proposée en TS —

0

rR

S(x)

xO P

Avec le théorème de Pythagore, on peut affirmer que le rayon du disque d’intersection est :r =√R2 − x2. D’où :

V =∫ R

−RS(x) dx =

∫ R

−Rπ(R2 − x2) dx = 2π

(πR3 − R3

3

)= 4

3πR3.

•


• Une démonstration proposée en BTS — On rappelle les coordonnées sphériques :

x = R cos θ sinϕy = R sin θ sinϕz = R cosϕ

Or : dx dy dz = R2 × |sinϕ| dR dϕ dθ (R2 est le déterminant de la matrice jacobienne). Sion note S la sphère :

∫∫∫

Sdx dy dz =

∫ 2π

0

∫ π

0

∫ R

0R2 sinϕdR dϕdθ

=∫ 2π

0

∫ π

0

R3

3 sinϕ dϕdθ

=∫ 2π

0

2R3

3 dθ = 4πR3

3

et pour l’aire, R ne varie pas :

A =∫ 2π

0

∫ π

0R2 sinϕ dϕdθ =

∫ 2π

02R2 dθ = 4πR2.

•

Propriété 31.31 L’intersection d’une sphère et d’un plan est soit :— vide ;— un point (on dit alors que le plan est tangent à la sphère) ;— un cercle.

Dv

• Démonstration — On peut toujours se ramener à un repère où l’équation du plan est z = 0.L’équation de la sphère dans ce repère est alors :

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = 42.

31.5 Solides de Platon 19

On a ainsi :

M ∈ P ∩ S ⇔z = 0(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2

⇔z = 0(x− x0)2 + (y − y0)2 = R2 − z2

0

On a alors trois cas :— |R| < |z0| : pas de solution, l’intersection est vide.— |R| > |z0| : c’est exactement l’équation d’un cercle de centre (x0, y0) et de rayon√

R2 − z20 dans le plan z = 0.

— |R| = |z0| : S = (x0, y0, 0), l’intersection est un point.•

Exercice 31.32 Déterminer l’intersection de P : x + y − 2z = 9 = 0 avec la sphère de centre(6, 5, 4) et de rayon 6.

Dv

• Démonstration — On calcule la distance de Ω, centre de la sphère au plan P :

d(Ω,P) = |6 + 5− 2× 4− 9|√12 + 12 + 22

= 6√6

=√

6 < 6.

L’intersection est un cercle, de centre M(xM , yM , zM ). Soit #»n( 1

1−2

)un vecteur normal de

P . On a :

# »ΩM// #»n ⇔ C

xM = 6 + λ

yM = 5 + λ

zM = 4− 2λet

ΩM2 = 6⇒ λ2 + λ2 + 4λ2 = 6⇒ λ2 = 1

donc λ = ±1. On a alors M(7, 6, 2) ou M(5, 4, 6). Puisque M ∈ P , on doit avoir xM +yM − 2zM = 9 donc :

M(7, 6, 2) convient.

Pour avoir le rayon du disque, on utilise Pythagore :

r′2 = 36− 6 = 30⇒ r′ =√

30.

On en conclut que :P ∩ SΩ,6 = C(7,6,2),

√30.

•

31.5 Solides de PlatonDéfinition 31.33 — Solide de Platon. Un solide de Platon est un polyèdre régulier, c’est-à-dire ins-criptible dans une sphère et toutes ses faces sont des polygones réguliers isométriques.


Propriété 31.34 Chaque solide de Platon vérifie la formule d’Euler :

F + S = A+ 2

avec F le nombre de faces, A le nombre d’arêtes et S le nombre de sommets.

Théorème 31.35 Il y a 5 solides de Platon :

1. l’icosaèdre qui est composé de 20 faces (qui sont des triangles équilatéraux), 12 sommets et30 arêtes ;

2. le dodécaèdre qui est composé de 12 faces (qui sont des pentagones réguliers), 20 sommetset 30 arêtes ;

3. l’octaèdre qui est composé de 8 faces (qui sont des triangles équilatéraux), 6 sommets et 12arêtes ;

4. le cube qui est composé de 6 faces (qui sont des carrés), 8 sommets et 12 arêtes ;

5. le tétraèdre qui est composé de 4 faces (qui sont des triangles équilatéraux), 4 sommets et 6arêtes.

Dv

• Démonstration — On montre qu’il y a cinq et seulement cinq solides de Platon. On consi-dère un polyèdre régulier et on note s le nombre de sommets, f le nombre de faces et a lenombre d’arêtes du polyèdre. On note aussi q le nombre de côtés du polygone régulier quiconstitue la face du polyèdre et p le nombre de faces qui aboutissent chacun de ses sommets.On a alors : fq = 2a et sp = 2a. Il s’agit donc de résoudre :

s− a+ f = 2fq = 2asp = 2a

d’oùs = 4q

2p+ 2q − pq , a = 2pq2p+ 2q − pq , f = 4p

2p+ 2q − pq .

On recherche alors tous les couples d’entiers (p, q) vérifiant p ≥ 3, q ≥ 3 et 2p+2q−pq > 0et on en obtient exactement 5 :

(3, 3), (4, 3), (3, 4), (5, 3), (3, 5),

31.5 Solides de Platon 21

desquels on déduit les triples (s, a, f) correspondants :

(4, 6, 4), (6, 12, 8), (8, 12, 6), (12, 30, 20), (20, 30, 12).

•


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