4-Systèmes échantillonnés - Discrétisation

8/8/2019 4-Systèmes échantillonnés - Discrétisation

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TD Espace d'état Université de Caen, Master 1 ère année, AII & ESCI Ph. Dorléans

TD n°4 : Systèmes échantillonnés ---------------------- ----------------------------------------------------------------------------------- 1

SYSTEMES ECHANTILLONNES DISCRETISATION DES EQUATIONS D'ETAT

Un système linéaire continu d'ordre "n" peut se mettre sous la forme suivante:

x(t) A x(t) Bu(t)= +& (1)y(t) C x(t) D u(t)= + (2)

En considérant des conditions initiales non nulles, on montre que la solution générale de l'équationdifférentielle (1) est donnée par l'expression suivante :

tAt A(t )0

x(t) e x(0) e B u( ) d−τ= + τ τ∫ (3)

où x(0) correspond à l'état initial du système etAt

e correspond à la matrice de transition.

Un système linéaire d'ordre "n" échantillonné à la cadence "T" peut se mettre sous la forme suivante:

[ ]x (k 1)T F x(kT) G u(kT)+ = + (4)

y(kT) H x(kT) D u(kT)= + (5)

"T" est la période d'échantillonnage et "k" l'échantillon. Pour simplifier l'écriture des équations (4) et (5),on ne fait pas apparaître la période d'échantillonnage ce qui conduit à écrire :

x(k 1) F x(k) G u(k)+ = + (6)y(k) H x(k) D u(k)= + (7)

En considérant des conditions initiales non nulles, on montre que la solution générale de l'équation auxdifférences (6) est donnée par l 'expression suivante :

k k i-1

i=1

x (k) = F x(0) + F G u(k-i)∑ (8)

avecT

k A k A0F = e et G e B dτ= τ∫ (9)

Exercice 1

L’équation différentielle simplifiée permettant d’avoir l’évolution de la vitesse angulaire Ω(t) d’unmoteur à courant continu en fonction du temps est donnée par :

2

2d d

c(t)dtdt

θ θ= − →

dc(t) (t)

dtΩ

= −Ω avecd

(t )dtθ

Ω =

où c(t) représente le couple appliqué au moteur et (t ) θ représente la position angulaire. On choisit unvecteur d’état tel que 1x ( t) (t)=θ et 2x (t) (t)= Ω .





1) c(t) et θ(t) étant respectivement les variables d’entrée et de sortie, mettre le système sous forme d’état.De quelle représentation s’agit-il ?

2) Le système est maintenant asservi par un PC, les signaux d’entrée et de sortie sont échantillonnés à lapériode T = 0,2 s. Calculer les équations d’état du système échantillonné bloqué équivalent.

Exercice 2

On suppose les conditions initiales nulles. Soit un système du 2 ème ordre continu dont la fonction detransfert est donnée par :

a)+(pp1

=U(p)Y(p)

=G(p)

1) Mettre le système continu G(p) sous forme compagnon. En déduire la représentation d'état du systèmeéchantillonné bloqué à la cadence T.

2) En utilisant la forme générale de la solution des équations d'état, calculer la réponse impulsionnelle dusystème échantillonné bloqué. Retrouver directement le résultat par la transformée en z.

3) Refaire l'étude précédente en adoptant une représentation d'état initiale de type modal pour G(p).

Exercice 3

Un système est décrit par la représentation d’état suivante :

0 1 0x(t) x(t) u(t)

1 1 1

= + − − &

[ ]y(t) 1 0 x(t)=

1) Calculer la matrice de transition A t(t) eφ = en procédant par transformation de Laplace et noter que :

( )

-1 b t2

2

aTL e sin(a t)

p b a

− = + +

,( )

1 b t2

2

p bTL e cos(a t)

p b a

− − + = + +

2) Le système est échantillonné, à travers un bloqueur d’ordre zéro, avec une période d’échantillonnageT. On notera F, G et H les matrices d’état, d’entrée et de sortie de la représentation discrète ainsi obtenue.

a) Exprimer F et H en fonction de T.

b) Calculer explicitement ces matrices (F et H) pour2

T3

π= puis T

3

π=





Exercice 4

L'état x(k+1) d'un système est relié à l'état x(k) par :1/ 4 3/ 4

x(k 1) F x(k) avec F3/ 4 1/ 4

− + = = −

1) Quels sont les valeurs propres 1 2( , )λ λ et les vecteurs propres correspondants 1 2(w , w ) ?

2) Trouver les réponses du système lorsque le système se trouve dans les états initiaux suivants :

[ ] [ ] [ ] [ ]T T T Tx(0) 16 0 , x(0) 16 16 , x(0) 0 16 et x(0) 16 16= = = = − . Préciser les modes excités pour

chaque condition initiale.

3) Représenter dans le plan (x 1, x2) les réponses du système et représenter aussi x 1 en fonction du temps.

Eléments de réponse

Exercice 1 :

0 1 0x(t) x(t) u(t)

0 1 1

= + −

& et [ ]y(t) 1 0 x(t)=

t 0,2A t

t 0,2

1 1 e 1 1 ee F

0 e 0 e

− −

− −

− −= → =

et

T u T

u T0

1 1 e T e 1G Bdu

0 e 1 e

− −

− −

− + −= =

− ∫ et H = C

Exercice 2 :

0 1 0x(t) x(t) u(t)

0 a 1

= + −

& et [ ]y(t) 1 0 x(t)=

( ) ( )aT akTk

aT akT

1 11 1 e 1 1 e

F Fa a0 e 0 e

− −

− −

− − = → =

et

aT

aT

1 e 1T

a aG

1 ea

−

−

−+

= −

et H = C

Réponse impulsionnelle :aT a (k 1)T

2T 1 ey(k) ea a

− − −−= −

0 0 1x(t) x(t) u(t)

0 a 1

= + −

& et1 1

y(t) x(t)a a

= −

Forme diagonale : k aT akT

1 0 1 0F F

0 e 0 e− −

= → =

et aT

TG 1 e

a

−

= −

et H = C





Exercice 3 :

0 1 0x(t) x(t) u(t)

1 1 1

= + − −

& et [ ]y(t) 1 0 x(t)=

21 2A t 1 p 1 p 1 11 1 3e TL avec D p

1 p 1 1 pD 2 2

−− − + = = = + + + −

1 t / 21 2 3TL e sin t

D 23− −

=

t / 2 t / 2p 1 p 1/ 2 1/ 2 3 1 3e cos t e sin t

D D D 2 23− −+ +

= + → +

t / 2 t / 2p p 1/ 2 1/ 2 3 1 3e cos t e sin tD D D 2 23

− −+= − → −

At t / 2

3 1 3 2 3cos t sin t sin t

2 2 23 3e e

2 3 3 1 3sin t cos t sin t

2 2 23 3

−

+

= − −

/ 3 / 2 31 0 1/ 3 2 / 32T F e T F e

0 13 3 2 / 3 1/ 3−π −π

− π π= → = = → = − − −

Exercice 4 :

1 21/ 2 et 1λ = λ = − k

1 k k 1 1k

1 1 1 1 (1/ 2) 01T , T , F T T T T

1 1 1 12 0 ( 1)− − −

→ = = = Λ = − − −

k k k k

k k k k k k

(1/ 2) ( 1) (1/ 2) ( 1)1F x(k) F x(0)2 (1/ 2) ( 1) (1/ 2) ( 1)

+ − − −= → = − − + −

k

1 2k

16 16(1/ 2)x(0) 16 w x(k) 16 x(0) 16 w

16 16(1/ 2)

= = → = = = −

, un seul mode excité.

16 0x(0) ou

0 16

=

, les deux modes sont excités.

k k

k 16 ( 1) 1x(0) x(k) 8 , si k , 00 2( 1)

− = → = →∞ → − −

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