8/7/2019 4m1-2011

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L-P-Bourguiba de Tunis Durée : 2 HDevoir de Mathématiques n°1

Prof : Ben Jedidia Chokri Date : 2/11/2010 Classe : 4ème

Math

EXERCICE I : ( 8 points)

1°) Résoudre dans ℂ l’équation 2z 4z 2z 8− = −  

2°) Le plan P est muni d’un repère orthonormé( )o,u,v

.

On considère les points A , B et C d’affixes respectivesA

z =2 , Bz =1+i 3 et C Bz = z  

a. Montrer que les points B et C appartiennent au cercle ζ de centre O

et passant par A.

b. Soit M un point du cercle ζ d’affixei

2eθ

 où  ] ]un réel de l 'intervalle ,θ −π π  

Construire sur la figure F1 donné le point M’image de M par la rotation

de centre O et d’angle 3

π 

c. Justifier que le point M’ a pour affixe iθ

Bz'=z .e  

3°) Soient I et J les milieux respectifs des segments [ ] [ ]BM et CM'  

a. Montrer que les points I et J ont pour affixes respectives

iθBI

zz = +e

2

iθ

B CJ

z e zz =

2

+

 

J B

I

z 2 zb.Montrer que et en déduire que le triangle AIJ est équilatéral

z 2 2

−=

− 

24°)a.Montrer que AI =4-3cosθ+ 3sinθ 

b. Déterminer la position du point M pour laquelle la longueur du coté AI

du triangle AIJ est minimale 

EXERCICE II :

PARTIE A(5 points)

Soit f la fonction définie par :2

1f(x) 2

(x+1)= − .

1°) a) Calculer Limf(x)1+

−;.  )x(f Lim∞+  

b) Déduire les asymptotes à la courbe représentative de f.

2°) Dresser le tableau de variation de f 

3°)Soit la fonction g définie sur [ [+∞,1 par : g(x)=f(x)-x

a)Dresser le tableau de variation de g

b) En déduire que l’équation g(x)=0 admet exactement une solution α  

de l’intervalle [ [+∞,1 .

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c) Donner le signe de g(x) sur [ [+∞,1  

4°)On donne la représentation graphique Cf de la fonction f 

dans le plan rapporté à un même repère orthonormé.  j,i,o

(Voir fig P3)

Utiliser Cf pour donner un encadrement de α  

5°) a) Linéariser3

sin θ et en déduire que :3

sin3θ 3sinθ 4sin θ= − .

b) Prouver que : α =7

2sin18

π 

PARTIE B(5points).

Soit la suite (Un) définie sur N par :

0

n 1 2

n

U 1et pour tout n de N

1U 2

(U 1)+

= = −

+

 

1°) Construire les termes U0,U1,U2 sur (O,i) et donner une conjecture.

2°) Montrer que pour tout n de N α≤≤ nU1  

3°) Montrer que (Un) est croissante.

4°) En déduire que (Un) est convergente et que α=∞+

nUlim  

5°)Calculer U5 et donner une valeur approchée de7

sin18

π 

6°) Soit la suite Sn définie sur N* par :n

n k 1

1S U

n= ∑  

a) Montrer que pour tout n de N : n+1 n

30 α-U (α U )

8≤ ≤ −  

b) En déduire que ( nS )est convergente et déterminer sa limite. 

EXERCICE III : ( 2 points) Répondre par vrai ou faux

Soit la suite (n

U ) définie sur ℕ par :k+1k=n

n 2k=1

(-1)u =

k ∑  

a 2n(U ) est une suite croissante 

b2n+1

(U ) est une suite croissante 

c2n(U ) et

2n+1(U ) sont deux suites adjacentes

d nU est une suite divergente

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