8/7/2019 4m2-2011

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L-P-Bourguiba de Tunis Durée : 3 HDevoir de Synthèse

Date : 6 /12/2010 Classes : 4 Maths 4-8

EXERCICE 1 : (3points)

Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.Aucune justification n’est demandée.

1) Soit f(x)= 1-cosx 

a) f n’est pas dérivable à gauche en 0. b)g

2f ' (0)=-

2 

g

2c) f ' (0)=

2 

2) Soit f une fonction continue sur ℝ  tel que pour tout x de ℝ  , f(2x)=f(x)

a) f est strictement croissante sur ℝ b)f est strictement décroissante sur ℝ c)f est constante sur ℝ 

3) Soit f une fonction strictement monotone sur[ ]1,6

 

avec f(1)=1 et f(6)=-6

L’équation f(x)=0 admet

a)Une seule solution. b) au moins une solution. c) au plus une solution.4) L’application f du plan dans lui-même

qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’= z'=iz+2+2i  

a)  f est une symétrie axiale .b) f est une symétrie glissante. c) f est une rotation.

EXERCICE 2 : (7 points)

1) Soit la fonction ϕ définie par:2

x 1(x)

x 2x 2

+ϕ =

+ + 

a)Etudier les variations de ϕ et dresser son tableau de variation. 

b) Montrer que l'équation ϕ (x)=x admet une solution unique1

0,2

α ∈

 

c)Soit Cϕ la courbe représentative de ϕ dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O,i,j).

 

Constuire Cϕ et la droite : y x∆ = 

2) Soit f la restriction de ϕ sur R+. 

a)Montrer que f réalise une bijection de R+ sur un ensemble J que l’on déterminera

On note f -1

sa réciproque

b) Construire Cf -1

dans le même repère orthonormé

c)Expliciter f -1

(x).

3) Soit la suite (Un) définie sur N par:0

n+1 n

U 0

et pour tout n de N

U =f(U )

=

 

a) Montrer que pour tout n de N :1

Un 0,2

∈

 

c) Montrer que pour tout x de R+ :1

f '(x)2

≤  

c) Montrer que pour tout n de N : α−≤α−+ n1n U2

1U .

d) Montrer que pour tout n de N n 1n 1U ( )

2+− α ≤ et que (Un) Converge et déterminer sa limite.

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4) Pour tout x de 0,2

π

on pose 1 1g(x) f ( cos x )

2

−=  

a)Montrer que pour tout x de 0,2

π

on a :1 cosx sin x

g(x)cosx

− +=  

b) Montrer que g réalise une bijection de 0,2

π

sur R+.

c) Montrer que g-1 est dérivable sur R+ et que 12 2(g )'(x)

x 2x 2− =

+ + 

EXERCICE 3 : (4 points)

Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct ( )O,u,v

 

On considère l’équation Eθ : z2

– 2 iz –(1+θi2e ) = 0 où θ ∈[0, π]

1) Résoudre dans C l’équation Eθ.

2) Soient les points M' et M’’ d’affixes respectives z' = i + eiθ

et z'' = i -eiθ 

a. Montrer queOM'' θ π

tan ( - )OM' 2 4= et (OM’) et (OM’’) sont perpendiculaires

b. Déterminer les valeurs de θ pour que le triangle OM’M’’ soit isocèle rectangle.

3) On désigne par A(θ ) l’aire du triangle OM’M’’

a.  Montrer que A( θ )= cos θ 

b.  En déduire les valeurs θ de pour les quelles A( θ ) est maximale.

EXERCICE 4 :(6 points)

Dans le plan orienté, on considère un carré ABCD de centre O tel que : [ ]π

(AB,AD) 2π2

≡

 

On désigne par I et J les milieux respectifs des segments [ ]OB et [ ]BC  

On note E le symétrique de O par rapport à (BC)

Et par F le point d’intersection des droites (AE) et (BC) 

1) Soit l’application f= AB BES oS  

a. Caractériser f 

b. Déterminer f(A) et f(O)

c. Soit K=f(I) .Montrer que K est le milieu de [ ]BE  

d. Montrer que O, F et K sont alignés.

2) Soit l’application BCof g=S  a. Déterminer g(B) ,g(O)et g(A).

b. En déduire g

3) Soit l’application h= ACfoS  

a. Vérifier que h(A)=C et h(O)=E

b. Montrer que AB DBoth=S  

c. Déterminer h(D) et en déduire que h n’a pas de points invariants.

d. Donner la forme réduite de h.