6 octobre 2003 1

Mesure indirecte en dynamiqueApproche probabiliste pour cerner

l’incertitude

Vers des applications en Sûreté-Supervision-Surveillance

Présentation à l’ENSAM

Hana BAILI

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Définitions

Système : réalité naturelle ou artificielle à étudier

Mesure : quantité à observer au sein d’un système (directe, indirecte)Observation : valeur effective d’une mesure directe

Modèle : description mathématique d’un système : ensemble de relations entre certaines quantités (la mesure)

Données d’un modèle : quantités qui une fois fixées déterminent les autres

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Définitions

Contexte dynamique : la mesure évolue dans le temps et le modèle comporte au moins une relation dynamique

Relation dynamique : comprend une dérivation ou une intégration par rapport au temps relation statique Incertitude : certaines données du modèle sont inconnues

Information a priori sur une donnée inconnue : ensembliste moyenne, variance… empiriques

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Ainsi dans un problème d’estimation (mesure indirecte), quand on est en présence d’incertitude, la méthode d’estimation doit faire face au fait de propager l’incertitude des données inconnues à la quantité d’intérêt (la mesure)

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Plan

Exemples de problèmes de mesure indirecte en dynamique

Modélisation Méthodes d’estimation d’une DDP à partir du

modèle sous forme d’une EDS Conclusion

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Exemple 1

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Exemple 2

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Applications traitées

Dimensionnement d’un micro-accéléromètre

Reconstruction d’un signal électrique distordu le long d’une ligne de transmission

Vers des applications en finance, en Sûreté-Supervision-Surveillance…

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ModélisationModèle sous forme canonique

statistiquement indépendants entre eux

de distribution de probabilité jointe connue et statistiquement indépendants des

Dépendance de f et g directement de

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Pourquoi la forme canonique ?

On veut exploiter la théorie des équations différentielles stochastiques (EDS)

EDS selon McShane

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Pourquoi McShane ?

Sa définition de l’intégrale stochastique pose moins de restrictions sur les processus intégrateurs qui souvent, modélisent des perturbations, pourvu des hypothèses légèrement plus restrictives sur l’intégrant, qui est connu.

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Quel est le modèle sous forme d’une EDS qui correspond au modèle sous forme

canonique ?

Dilemme brownien-lipschitzienLe processus le plus réaliste et le processus pertinent pour le calcul n’ont rien en commun

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Qualités du modèle sous forme d’une EDS

Inclusivité : l’EDS est définie (existence d’une, et une seule solution) pour une famille de processus intégrateurs qui comprend les processus lipschitziens et les mouvements browniens.

Consistance : la solution de l’EDS calculée avec les deux types de processus a la même expression, comme fonction des processus intégrateurs.

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Conditions sur les processus intégrateurs pour qu’une EDS soit définie en théorie de

McShane

Ces conditions sont vérifiées par les mouvements browniens et les processus lipschitziens sur [0,t].

Ainsi, toute EDS définie, selon la théorie de McShane, possède la qualité d’inclusivité en tant que modèle d’un système donné.

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Résultat sur la consistance

Si l’égalité suivante est vérifiée

et si les deux membres de l’égalité ne dépendent pas de t et de x, alors on doit rajouter le terme suivant

au second membre de l’EDS

pour qu’elle devienne un modèle consistant.

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Retour à la mesure

1. On raisonne sur une quantité scalaire à la fois mesure scalaire.

2. On construit un vecteur dit « mesure étendue » en remplaçant, dans x, une composante par la mesure. Cette composante est choisie de telle sorte que l’application

soit un homéomorphisme.3. La formule de composition de McShane donne l’EDS qui

détermine la mesure étendue à partir de celle de x.

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Estimation de densité Équation de Fokker-Planck

On considère l’EDS modèle où les processus intégrateurs sont des mouvements browniens

Conditions supplémentaires :1. Les incréments de deux processus intégrateurs différents

sont statistiquement indépendants2. Les conditions initiales de l’EDS sont statistiquement

indépendantes des incréments des processus intégrateurs

lien avec le modèle canonique

p( x ; t )

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Estimation de densitéÉquation de Fokker-Planck

Condition imposée à la solution de l’EDP, relativement à la variable indépendante t du type « valeur initiale » :

Objectif : résolution numérique

Premier souci : les conditions imposées à la solution de l’EDP, relativement aux variables indépendantes xi

Elles doivent être de quel type pour garantir l’existence d’une et une seule solution ?

Type : « valeurs aux limites »

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Estimation de densitéÉquation de Fokker-Planck

La solution de l’EDP est une DDP domaine relatif à xi absorbant

Deuxième souci : résolution numérique stable

La stabilité est liée aux variables qui correspondent à des conditions du type « valeur initiale »; il faut choisir des schémas numériques tels que l’équation aux différences finale qui en résulte soit implicite par rapport à ces variables

Choix : schéma de Crank-Nicholson

Application à l’exemple 2 (problème thermique)

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Estimation de densitéMéthode utilisant une technique

MCMC

On considère l’EDS modèle où les processus intégrateurs sont des mouvements browniens

On considère la discrétisation d’Euler de l’EDS sur l’intervalle

[0,t] :

Idée, cas n =1 et r =1 :

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Estimation de densitéMéthode utilisant une technique

MCMC

Ainsi on dispose d’une expression explicite de la densité

la simuler par une technique MCMC

Algorithme de Hasting-Metropolis

Choix de la densité instrumentale

Application à l’exemple 2

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Estimation de densitéMéthode utilisant une espérance

généralisée

On considère l’EDS modèle où les processus intégrateurs sont des mouvements browniens

On considère la discrétisation d’Euler de l’EDS sur l’intervalle

[0,t] écrite sous forme vectorielle :

Pour N =1, on une expression explicite de la densité

Pour N >>1

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Estimation de densitéMéthode utilisant une espérance

généralisée

Ensemble de réalisations de YN-1 à partir de l’EDS discrétisée

Moyenne empirique de p(YN-1, y) Approximation de la DDP de la mesure étendue à l’instant t

Application au problème de reconstruction d’un signal électrique distordu le long d’une ligne de transmission

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Illustration - Reconstruction d’un signal électrique distordu le long d’une ligne de

transmission

Modèle de connaissance

)(te

dzz z

Rdz Ldz

Cdz dzG

1Z

000

0

tzGuz

i

t

uC

z

uRi

t

iL

),0()( tutm ),(),( tiZtu )(),0( tetu

),()( tutO

Ete )(

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Illustration - Reconstruction d’un signal électrique distordu le long d’une ligne de

transmission

Modèle sous forme canonique

Calcul opérationnelLa dimension du modèle sous forme canonique est induite

par l’ordre de troncature d’une série de Taylor

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Illustration - Reconstruction d’un signal électrique distordu le long d’une ligne de

transmission

Modèle sous forme d’EDS

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Illustration - Reconstruction d’un signal électrique distordu le long d’une ligne de

transmission Estimation de densité

Estimation de la DDP de me à l’instant t sachant l’observation O sur l’intervalle [0, t ]

Méthode utilisant une espérance généralisée

Estimée de la DDP de la mesure

La médiane approxime avec précision le valeur, sans bruit, de la mesure

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Illustration – Problème thermique

Modèle de connaissance

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Illustration – Problème thermique

Modèle sous forme canonique

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Illustration – Problème thermique

Modèle sous forme d’EDS

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Illustration – Problème thermique

Estimation de densité

Estimation de la DDP de me à l’instant t Résolution de l’équation de Fokker-Planck

Estimée de la DDP de la mesure

Limitation : dimension du modèle

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Illustration – Problème thermique

Estimation de densité

Estimation de la DDP de me à l’instant t Méthode utilisant une technique MCMC

Estimée de la DDP de la mesure

Compromis précision-mémoire

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Ouverture

• Résolution de l’équation de Fokker-Planck par découplage espace-temps et représentation DAF

• Cas où certaines quantités sont modélisées par des processus à réalisations discontinues (EDS plus générale)

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Conclusion Approche probabiliste pour cerner

l’incertitude (modéliser et propager), traiter l’information dans la cadre d’un problème d’estimation – une mesure indirecte, le contexte étant dynamique continu

Approche fondée sur la théorie de McShane

Erreur de troncature contrôlée