9_antennes

5/11/2018 9_antennes - slidepdf.com

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Chapitre 9 –Antennes: Transmettre les ondes(cf. Staelin)

Nous avons vu les ondes él.-m. se propagerlibrement dans l’espace ou dans des diélectriques(ch. 2 – 5). Et nous avons vu la propagation dirigée

des ondes dans des câbles ou guides (ch. 6 & 7).Les antennes font le lien entre les deux.Connectées à des câbles, elles transmettent uncourant selon le signal (ondes) reçu.

Nous allons traiter des propriétés émettrices desantennes et des réseaux d’antennes dans cechapitre. Les grandeurs caractéristiques sont la

résistance de rayonnement Rrad et le gain G (cf. ch.3.3).Radiotéléscope Goldstone-Apple



Cours électromagnétisme, 1ère année ENSPSS. Haacke

2

Les antennes – un thème très vaste

Ce dont nous n’allons pas parler:

• Les antennes font partie intégrante d’un circuit.

Elles ont une impédance qui joue unrôle essentiel dans le design.

• Des propriétés réceptrices des antennes: Selonla forme des antennes, on calcule une surface

effective de l’antenne Aeff(θ,φ), liée à son gainG(θ,φ). Voir aussi théorème de réciprocité.

• De toutes les formes d’antennes diverses etvariées.

source liaison antenne

d ’émission

Z R iX = +




3

Antennes - généralités

Un rappel des grandeurs caractéristiques

Champ du feu, hiver 2004




4

9.1 Dipôles simples

Problème pratique:

Une antenne d’une longueur de 1 m doit transmettre des signaux d’une longueur

d’onde de λ0= 2 m à un satellite géostationnaire situé à r = 36000 km de la terre.

Le satellite peut détecter des signaux à partir de E0=1µV/m. Quelle est lapuissance minimale de l’antenne Pmin nécessaire ?

Et si l’on utilisait une antenne courte (d<< λ ?)

Questions à résoudre:

• Résistance de rayonnement Rrad ?

• Courant I min à injecter dans l’antenne pour produire E 0 à la distance r ?

Ainsi, on peut calculer la puissance émise (cf. eq. (3.24))

• Comment tout cela dépend de la taille de l’antenne ?

2

min min12

rad P R I =




5

9.1 Antennes à dipôles simples

Rappels (cf. ch. 3):

Connaissant la distribution de courant j(r) , nous pouvons calculer le potentielvecteur

'0

'

( ')( ) '4 '

ik r r

V

j r A r e dv r r

µπ

− −=− ∫

(9.1)

Le potentiel nous donne accès aux champsentourant l’antenne (propagation dans levide)

( )( )( )

0

0

1( ) ( )

1( ) ( )

H r A r

E r A ri

µ

ωε

= ∇×

= ∇× ∇×

(9.2)

θ

φ

r

x

y

z




6





7


Comme dans l’exemple, nous sommes souvent intéressés par le champ lointain.L’approximation de Fraunhofer consiste à (voir fig. 9.1b)

si' ' ' r r r r u r r r− −

i

(9.3)

( )

'0

'

0 0

00

( ) ( ') '4

( )

( )

rik u rikr ff

V

ff r ff ff

ff

ff ff ff r r r

A r e j r e dv r

ik u A r A H

H

E u H i u u A ri

µ

π

µ µ

η ωωε

−=

− ×∇×= =

∇×

= =− × = × ×

∫

i

(9.4)

(9.5)

(9.6)

En champ lointain:0; ; ; 377 ff ff E r H r S r η⊥ ⊥ = Ω




8


Les deux antennes à comparer sont

La distribution de courant est approximative. Ildoit s’annuler au bout des conducteurs.

L’amplitude I(z=0) varie de manière périodique entemps.

Antenne à mi-onde:

( ') cos ' I z I kz=Potentiel vecteur

(9.7)

4

'cos0

4

0

2

( ) cos ' '

4

cos cos2

2 sin

ikr ikz ff z

ikr

z

A r u e I kz e dz

r

I u e

kr

λ

θ

λ

µ

π

πθ

µ

π θ

−

−

−

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

∫

(9.8)

( ') ( ') ( ') ( ') z r u I z x yδ δ

Fig. 9.2: Les deux antennes linéaires et la

distr. de courant. En réalité, l’antenne mi-onde est ~100 fois plus grande.




9


Le champ électrique s’obtient avec (9.6)

( )20

( ) ( )

cos cos2 sin

ff ff r r

ikr

E r i u u A r

i I u e r

π

θ

ω

θηπ θ

−

⎡ ⎤= × ×⎢ ⎥⎣ ⎦

=

(9.9)

Et la puissance totale rayonnée

Avec

Donc

2

2

0 0

sin rad r P d r d S u

π π

φ θ θ= ∫ ∫

i

1Re *

2 ff ff ff S E H = ×

( )

( )

2 2 222 0

2

00 0

22 220

0

cos cos1sin2 2 sin

cos cos36.5

4 sin

rad

I P d r d r

I d I

π π π

π π

θηφ θ θη π θ

θηθ

π θ

=

= = Ω

∫ ∫

∫

(9.10)

θ

φ

r

x

y

z




10


La résistance de rayonnementde l’antenne à mi-onde 2

2 73 rad rad

P R

I = = Ω

(9.11)

Le gain angulaire (eq. 3.25) ( )2 2

2 2

cos cos( , ) 1.64 / 4 sin

ff rS uG P r

π θθ φπ θ

= =

i

Réponse pour le pb du satellite (antenne λ /2):

Le champ (9.9) en direction du satellite est maximale pour θ= ±π /2. La valeur du champest alors

60

min

min

0

10 / 2

20.60

ff

I

E V m r

r E I A

η

π

π

η

−

= ≥

→ = =

Puissance à injecter dans l’antenne

21min2

13.1 rad rad P R I W = =

1.639998

2.556998 104

.

GG t( )

2.20.01 t

0 1 20

0.5

1

1.5

2




11


Antenne courte:

Potentiel vecteur2

'cos0

2

( ) ( ') '4

d

ikr ikz ff z

d

A r u e I z e dz r

θµ

π

−

−

= ∫

'cos1 ikz kd e csteθ→ ≈2

0

2

( ) ( ') '4

d

ikr ff z

d

A r u e I z dz r

µ

π

−

− ∫

On peut définir

Pour ramener le pb autraitement du dipôle deHertz (cf. ch. 3.3)

Pour la distribution decourant (fig. 9.2), on trouve

2eff

d d =

2

2

( ') '

d

eff

d

Id I z dz−

= ∫ 0

( )

4

eff ikr ff z

Id A r u e

r

µ

π

−

(9.12)




12


0( ) sin

4

eff ikr ff

i kId E r u e

rθ

ηθ

π

−≈

En ch. 3.3., nous avons trouvé

( )2

20 1 rad eff R kd ≈ Ω

Pour θ=π /2

0

4

eff ff

Ikd E r

η

π=

Bcp plus petit que l’émetteur mi-onde

0

2 2 ff

I

E rλ

η

π=

Il faut donc injecterfois plus de courant

2

eff eff kd d

λ α

π= =

( )2 2

2

20 21

73

eff court

eff

kd P

P kd λ

β⎛ ⎞Ω ⎜ ⎟⎜ ⎟= = ≈⎜ ⎟⎜ ⎟Ω ⎝ ⎠

Mais, la puissance est comparableLa faible impédance est uninconvénient de taille. Leslignes de transmission (BNC)

ont une impédance 50-75 Ω.




13

9.2 Réseaux d’antennes - interférences

Caractéristiques antenne radio

Nous avons vu dans le chapitre 3 que des phénomènes d’interférence entre desantennes mises sur un réseau permettent de donner des formes intéressantes au

gain angulaire G(θ,φ).

Par ailleurs, l’utilisation d’un réflecteur placé à λ /2 de l’antenne peut aussi êtreutile pour renforcer le champ émis.

http://perso.wanadoo.fr/f5zv/RADIO/RM/RM.html

"Gain 8dB, bonne directivité", 121.5 MHz

YAGI TV




14

9.2 Réseaux d’antennes

N antennes linéaires sont disposées defaçon périodique comme dans la fig. 9.3.Nous aimerions les arranger de façon à avoir – en champ lointain - une émission dirigée

vers φ=60°, avec une amplitude dominant lesautres directions de plus de 10dB.

Comment faire ? Comment G (θ,φ) dépend dela fréquence ?

Nous reprenons la forme générale eq. (3.3) etsommons sur les N antennes

1

0

0( ) sin4

n

N ikr n n

ff n

n n

n n

i kI d E t u e r

r r a

θ

ηθπ

−−

==

= −∑

(9.13)

Hypothèse: toutes les antennes ¦¦ à uz




15


Approximationschamp lointain

n n n n r r u a θ θ− i

1

0

0( ) sin4 r n

N ik u aikr n n

ff n

i kId I d

E t u e e r Id θ

η

θπ

−−

=≈ ∑

i

(9.14)

1 seul dipôle effectif Interférences

( ) ( ), , , ff E r Fφ θ θ φ= Ε

i

( ) ( ) ( )2 2

, , ,G K Fθ φ θ φ θ φ= Ε

(9.15)

Gain angulaire

facteur d’élément facteur de forme




16


Pour notre problème pratique:

Les antennes ont la même moment dipolaire Id , mais le

courant est distribué avec une différence de phase ψ .in n n

n

I d w e

Id

ψ= =(9.16)

Le facteur de forme pour un observateur dans le plan(x,y) devient

( )( )

( )( )

( )( )

1cos

0

cos2

1 cos2

2,

sin cos2

1sin cos

2

N ni ka

n

N i ka

i ka

F e

N e ka

e ka

ψ ϕ

ψ ϕ

ψ ϕ

θ π ϕ

ψ ϕ

ψ ϕ

−+

=

+

+

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦

+

= +

∑(9.17)

θ

φ

r

x

y

z




17


Le gain angulaire nous intéresse (9.15):

( )( )

( )

2

22

2

sin cos2( 2, ) sin ( 2, )

12 sin cos2

N ka

G F

ka

ψ ϕπ

θ π ϕ θ π ϕ

ψ ϕ

+⎛ ⎞⎜ ⎟= ∝ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ +

Les maxima sont mieuxdéfinis pour N grand:

Antenne plus

directionnelle

1

7.624333 106

.

Gain 3 u,( )

9

Gain 7 u,( )

49

Gain 15 u,( )

225

7.57 u

6 4 2 0 2 4 6




18


« Plus de 10dB de contraste avec le prochain maximum »

10( , ) 10 log ( , ) dBG Gθ ϕ θ ϕ=

N > 3

1

102

Gain 3 u,( )

9

Gain 7 u,( )

49

Gain 4 u,( )

16

7.57 u6 4 2 0 2 4 6

0.01

0.1

1

Pour N=4, le premier max.

est à G=0.074

( )1010log 1 0.074 11.3=




19


Puisque nous voulons un gain max. à φ=60° attention valeurs limite de G

( )1 cos 60 02

2

ka

ka

ψ

ψ

+ ° =

=−

« Fenêtre visible »

cos 1 ka u ka

ϕψ ψ

≤− ≤ ≤ +

Dans notre cas

2

3 2 2

ka

ka u ka

ψ =−− ≤ ≤

Fenêtre vis. approximatif

comprenant 1 seul max.

Pour un vecteur d’onde k et un a donnés, la différence de phase ψ permet decontrôler l’angle d’émission !




20


2

2

1sin cos2 2

( 2, )1 1

sin cos2 2

N ka

G

ka

ϕ

θ π ϕ

ϕ

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠= ∝

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 kaψ =−

Effet de ka :

ka=3

ka = 1

100

1

G 3 f ,( )

G 1 f ,( )

f

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

1

10

100

Pour f= 10 GHz

6 cm

23

fa ka

c

a

π= ≥

→ ≥

N=10




21


« Charge d’image »:Quand on place une charge +q en

face d’une surface métallique (fig.9.4), on peut remplacer la surface

métallique par une charge d’imagesans changer le champ électriquepour z>0. La charge est de signeopposé –q et se trouve à la même

distance h de l’interface.

Fig. 9.4: Image d’une charge placée au-dessus d’uneplaque conductrice.




22


« Courants d’image » (fig. 9.5)

Distributions de charge

Courants

( ) ( , , )im r x y zρ ρ=− −

Les dipôles changent desens (180°déph.), s’ils sont

dans le plan (x,y).La composante z d’un dipôle

est conservée dans l’image.

( ) ( , , )im j r j x y z=− −

Fig. 9.5: Courants et dipôles d’image équivalents

à une plaque conductrice




23


Exemple:

Un dipôle de Hertz de longueur d est situéà une distance l de deux réflecteurs

comme dans la fig. (a), et orienté selonux+uy. Il est entouré des deux miroirs.Représenter les dipôles d'image et calculerle diagramme d'émission résultant.

Image 1

Image 2

Image 3

à -

à

à -

( / 2, / 2, 0)

( / 2, / 2, 0)

( / 2, / 2, 0)

x y

x y

x y

l l u u

l l u u

l l u u

− +− −

− − −




24


Changement de système de coordonnées(x',y'), comme montré en ligne hachée

Le champ pour le dipôle I (parallèle à y') est

( )sin0( , ) cos4

ik r l ff

i kId E r u e

r

α

α

ηα α

π

− −= −

Le champ total donc , pour x>0, y>0

( ) ( )0( , ) cos sin sin sin sin cos2

ikr ff i kId E r u e kl kl r

α ηα α α α απ

− ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦




25


Le diagramme de rayonnement

est représenté ci-contre pour l=λ/2 et l=λ

Pour des grandes distances l, d'autres lobes

apparaissent.

( ) ( )

2

2

( ) ( , )

cos sin sin sin sin cos

ff G E r

kl kl

α α

α α α α

∝ ∝

⎡ ⎤+⎣ ⎦




26

9.3 Réflecteurs: Augmenter le gain

Une alternative pour augmenter le gainangulaire G(θ,φ) et d’utiliser desréflecteurs comme dans les antennesparaboliques (voir page 1).

Nous voulons discuter les propriétésd’émission d’un tel dispositif qui, à traversla géométrie d’un réflecteur ou d’uneouverture détermine/limite l’extension

angulaire du rayonnement émis.

Inversement, et par le théorème de

réciprocité , une antenne parabolique estaussi un excellent récepteur

angulairement très sélectif (parabole TV).




27

Exemple – L’antenne Wifi « faite maison »

Adapté du « miniprojet » de T. Détriche et V. Rigau (promo 2007)

But:

Optimiser le gain directionnel

Dimensions de la semi-cavité

D = 80 mm

(guide circulaire)

L0 = c/ f0f0 = 2450 MHz (norme Wifi)

2 2

0

g

c

c L

f f =

−




28

Exemple - Antenne Wifi « faite maison »

Gain directionnel, optimisation donne D

Résultat D= 100±5 mm

simulations avec SuperNECsous Matlab




29

Résultats

Portée 1.0 – 1.3 km encommunication vers antenne

standard

Intérêt pour communicationextérieur (air libre)




30

Chapitre 9 - Résumé

Les antennes font la transition entre la propagation dans les câbles et guides etla propagation libre dans l’espace. Nous avons traité quelque cas simplesseulement, ce qui nous a limité aux calculs pour le champ lointain E ff dans

l’approximation de Fraunhofer.

De la même façon, la distribution de courant sur les antennes n’est pas connueexactement, et nous nous sommes limités à des géométries simples.

Le concept général est

Approximation deJ(r)

A(r) E(r)B(r)

(9.4) (9.5)

(9.6)

0( ) sin4

ikr ff

i kId E r u e

rθ

ηθ

π

−≈

( ) sin4

ikr ff

ikId H r u e

rφ θ

π

−≈

Dipôle de Hertz




31

Chapitre 9 - Résumé

Résistance de rayonnement

Gain angulaire

2( , )

/ 4

f rS uG

P rθ ϕ

π=

i

Le gain angulaire est augmenté en utilisant les effets de l’interférence(ensemble d’antennes) ou de réflexion/diffraction (ouverture/paraboles) desondes.

2

2 rad rad

P R I

=( )

20

6 rad eff R kd

η

π=

Antenne courte d<<λ

23( , ) sin

2G θ ϕ θ=

Le théorème de réciprocité dit que les propriétés angulaires d’une antennesont les mêmes en émission qu’en réception. (sans démonstration)

Documents

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