ACTUALITÉS SCIENTIFIQUES ET INDUSTRIELLES

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EXPOSÉS D'ANALYSE GÉNÉRALE Publiés sous la direction de

Maurice FRÉCHET Professeur à la Sorbonne

x v

ESPACES TOPOLOGIQUES INTERMÉDIAIRES

PROBLÈME DE LA DISTANCIATION PAR

Antoine APPERT Ancien maître de Conférences

à la Faculté des Sciences de Rennes

et KY-FAN Ancien chargé de Recherches au C.N.R.S.

Associate Professor of Mathematics, University of Notre Dame.

Préface de M. FRÉCHET

PARIS

HERMANN & Cie, ÉDITEURS 6, rue de la Sorbonne, 6

1951

Printed in France

Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays.

COPYRIGHT ig5o BY LIBRAIRIE SCIENTIFIQUE HERMANN ET CIE, PARIS.

A MONSIEUR MAURICE FRÉCHET Professeur à la Sorbonne

Hommage de respectueuse gratitude et de très grande admiration.

PRÉFACE

ANS mon ouvrage Les espaces abstraits... (1), j'avais renvoyé pour les démonstrations aux mémoires originaux. Mais ceux-ci étaient dispersés dans de nombreux pério - diques dont quelques-uns difficiles à se procurer. Cet

inconvénient s'est trouvé réparé en ce qui concerne les espaces les plus généraux par la publication dans la présente collection des deux fasci- cules de M. Antoine Apper t (2).

Il restait à procéder de même pour les espaces qui les suivent immé- diatement en généralité. Le même auteur s'en est chargé en collabora- tion avec M. Ky-Fan. Tous les deux ont d'ailleurs, comme dans les deux fascicules qui viennent d'être cités, non seulement donné les démonstrations de certaines propositions énoncées dans mon livre, mais encore énoncé et démontré d'intéressantes propositions nouvelles. Bien que d'origines très différentes, ces deux auteurs se rejoignent à un même degré très élevé de clarté, de précision et de rigueur, qualités qui aideront beaucoup à assurer le succès de leur ouvrage.

M. FRÉCHET.

(1) Paris, Gauthier-ViUars, 1928. (2) Propriétés des espaces abstraits les plus généraux, 2 vol., Paris, Her-

mann, 1934.

AVANT-PROPOS

ET ouvrage fait suite aux fascicules II et III parus (1) dans la présente Collection. Ces deux fascicules avaient eu pour objet essentiel l'étude des espaces (V) (espaces à voisinages de M. FRÉCHET (a) et surtout l'étude de la

-classe, introduite par A. APPERT (3), des espaces (V) vérifiant l'axiome ce (E = E), espaces appelés ici espaces ('VIX) ou espaces à .topologie transitive (4).

Le présent exposé répond à un double but. Tout d'abord, et ce sera l'objet des Chapitres I et II rédigés par A. APPERT, on rappel- lera et complétera les propriétés, déjà démontrées dans les deux précédents fascicules, des espaces cités à l'instant, mais en donnant à ces propriétés une forme différente et qui semble préférable. Cette forme est obtenue en prenant comme point de départ (5) la donnée de l'opération de fermeture E = E + E' au lieu de l'opération de dérivation E'. Plus exactement, le terme primitif adopté sera la «relation de contiguité » (4), un point étant dit contigu à un ensemble E s'il appartient à E.

(1) A. APPERT, Propriétés des espaces abstraits les plus généraux, 2 vol. Collection des exposés d'analyse générale, Paris, Hermann, 1934. Nous dési- gnons cet ouvrage par l'abréviation P. G.

(2) M. FRÉCHET, C. R. Acad. des Se., 165, 10 septembre 1917, p. 359-360 ; Bull. Se., Math., XLII, 1918, p. 138-156 ; et Les espaces abstraits..., Paris, Gauthier-Villars, 1928, p. 172. Nous désignerons ce dernier ouvrage par l'abréviation E. A.

(3) C. R. Acad. des Sc., 194, 27juin 1932, p. 2277, et 196, 22 mai 1933, p. 1570. On notera que l'axiome E = E avait été envisagé antérieurement, dans des espaces moins généraux, par C. KURATOWSKI, Fund. Math., III, 1922, p. 182-199. Les espaces envisagés par C. KURATOWSKI dans ce Mémoire sont topologiquement identiques à ceux que nous appellerons les espaces ('POED), voir chapitre I, § VIII, en note). D'autre part, des espaces topolo- giquement identiques aux espaces ("v IX) bien que définis différemment, avaient été introduits dès avant 1928 par W. SIERPINSKI (voyez chapitre I ' § VII).

APPERT, Bull. Acad. roy. de Belgique (Classe des Sc.), XXIII, 1937, p. 135-142. (5) A. APPERT, Mathematica, XI, 1935, p. 229-246, et aussi C. KURA-

TOWSKI. Topologie, I, Warszawa, Lwow, 1933, p. 15.

En second lieu, et ce sera l'objet des Chapitres III et IV rédigée par K. FAN, on donnera un exposé d'ensemble des propriétés des espaces dont la généralité est intermédiaire entre les espaces (Va) et les espaces distanciés, et on traitera en détail le problème connu sous le nom de problème de la distanciation ou de la métrisation (URYSOHN et ALEXANDROFF) d'un espace topologique. Les notions dues à K. FAN (1) d'espaces quasi réguliers, quasi normaux et quasi distanciés y joueront un rôle important.

Enfin ce fascicule sera terminé par diverses Notes sur des sujets liés aux matières abordées dans le corps de l'ouvrage.

Comme les deux fascicules qui l'ont précédé, le présent ouvrage a pour objet à la fois l'exposé de résultats acquis (2) et l'obtention de résultats nouveaux. -

Notons enfin que, comme dans les deux fascicules précédents, on admettra l'axiome de Zermelo avec ses conséquences connues. (existence d'un bon ordre pour tout ensemble, etc.).

A. APPERT.

(1) K. FAN, C. R. Acad. des Se., 211, 1940, p. 348. (2) Nous n'avons pu tenir compte que de travaux antérieurs à 1948.

CHAPITRE I

LES ESPACES (V) ET (Vα). par A. APPERT

§ I. Notations. — Soient E, F, G,... des ensembles dont les élé- ments sont des objets de nature quelconque.

Pour exprimer qu'un objet p est élément d'un ensemble E, nous écrirons (1) avec G. PEANO :

p € E. Nous aurons à considérer des ensembles dont les éléments sont

eux-mêmes des ensembles ; dans ce cas, au lieu de dire « ensemble d'ensembles », nous dirons souvent « famille d'ensembles ».

Pour exprimer que deux ensembles E et F ont les mêmes élé- ments, autrement dit qu'ils sont identiques, nous écrirons :

E = F. Pour exprimer que E et F ne sont pas identiques, nous écrirons

E ^ F. Nous désignerons par (a) l'ensemble formé d'un seul élé- ment qui est l'objet a.

Nous désignerons l' ensemble vide par 0. La relation E ^ 0 si- gnifie donc que l'ensemble E contient au moins un élément.

Pour exprimer que tout élément de l'ensemble E est élément de l'ensemble F, nous écrirons (1) :

E C F ou F DE, Nous dirons alors que E est un sous-ensemble de F, ou est inclus

dans F, ou est une partie de F ; nous dirons alors aussi que F con- tient E. La relation E C F est appelée inclusion.

Il sera commode pour la généralité de certains énoncés, de con- sidérer l'ensemble vide comme un sous-ensemble de tout ensemble.

(1) Les négations des symboles e et C seront notées respectivement Et et Ç .

§ II. Opérations sur les ensembles. — Considérons des ensembles E, F, G,... (pouvant être en infinité même non dénombrable).

L'ensemble de tous les éléments qui appartiennent à l'un au moins des ensembles E, F, G,... est appelé somme ou réunion {}) de ces ensembles et sera désigné par

E + F + G +... L'ensemble de tous les éléments qui appartiennent à la fois à tous

les ensembles E, F, G,... est appelé produit ou intersection (1) de ces ensembles et sera désigné par

EFG... ou encore par

E. F. G... Nous désignerons aussi ce produit par la locution « ensemble

commun ou partie commune aux ensembles E, F, G,... ». L'ensemble de tous les éléments qui appartiennent à un en-

semble E sans appartenir à un ensemble F est appelé différence de ces deux ensembles et sera désigné par

E — F.

Deux ensembles E et F sont disjoints s'ils n'ont aucun élément commun, c'est-à-dire si EF = 0.

Si E C P, on pose par définition P — E — complémentaire de E par rapport à P.

§ III. La notion d'ensemble topologique. —Pour qu'un ensemble E d'objets de nature quelconque puisse être considéré comme répondant au concept intuitif de spatialité, il est nécessaire de s'être donné non seulement les éléments ou points de l'ensemble E, mais aussi d'avoir précisé certaines relations de proximité ou de situation de ces points les uns par rapport aux autres. C'est seule- ment quand ces relations auront été fixées que l'on pourra dire qu'une topologie est introduite dans l'ensemble E, ou encore que E est un ensemble topologique.

(1) Si Ei (i parcourant un ensemble quelconque non vide d'indices) sont des ensembles, leurs réunion et intersection seront notées respectivement S Ei et n Ei; notons que nous n'attribuons aucun sens à la réunion ou à i l'intersection d'une famille vide d'ensembles.

Pour donner une forme précise à cette idée, nous dirons qu'une topologie est introduite dans l'ensemble E, ou que E est un ensemble topologique, si l'on a défini une relation, appelée contiguïté, qui a lieu ou non pour chaque point a et pour chaque sous-ensemble e de E. Quand cette relation a lieu, on dira que le point a est contigu à l'ensemble e. Les seules conditions auxquelles cette relation de contiguité est ici supposée satisfaire, sont les deux suivantes :

I. Tout point d'un ensemble est contigu à cet ensemble. II. Un point n'est jamais contigu à l'ensemble vide.

Au point de vue intuitif, un point contigu à un ensemble est un point qui touche cet ensemble, ou, si l'on préfère, qui en est infiniment voisin. Cette manière de voir rend les conditions 1 et II très naturelles et justifie l'emploi actuel du terme « contigu ».

Quand on se borne à considérer les points et les sous-ensembles (nécessairement topologiques) d'un certain ensemble topologique P donné une fois pour toutes, P portera le nom d'espace topologique.

Toutes les fois que nous parlerons du complémentaire d'un en- semble E inclus dans un espace topologique P, il s'agira, sauf mention expresse du contraire, du complémentaire par rapport à l'espace entier P. Ce complémentaire sera désigné par C(E).

Nous admettrons, dans un espace topologique quelconque, les définitions suivantes :

dl, La fermeture E d'un ensemble E est l'ensemble des points de l'espace considéré qui sont contigus à E.

d2. Un point a est point d'accumulation d'un ensemble E s'il est contigu à l'ensemble E — (a).

d3. Le dérivé E' d'un ensemble E est l'ensemble des points de l'espace considéré qui sont points d'accumulation de E.

Alors les conditions I et II peuvent évidemment s'exprimer res- pectivement en langage symbolique sous les formes suivantes :

I. II.

On voit donc que l'on peut définir un espace topologique au sens du présent ouvrage, comme étant un système (P, E) constitué par un ensemble P d'éléments appelés points et par une opération E (voir § VI) satisfaisant aux axiomes I et II ci-dessus.

On démontre facilement (1) que nos définitions entraînent la proposition suivante :

I. Dans tout espace topologique, on a l'identité E = E + E'.

§ IV. Les espaces (V). — Nous appellerons topologie non-décrois- sante toute topologie satisfaisant, en plus des axiomes 1 et II, à l'axiome suivant appelé axiome de non-décroissance :

III. Tout point contigu à un sous-ensemble d'un ensemble E, est contigu à E. (Autrement dit

Tout sous-ensemble d'un ensemble (ou d'un espace) à topologie non-décroissante est évidemment aussi à topologie non-décrois- sante.

Les espaces topologiques satisfaisant à l'axiome de non-décrois- sance III, seront également appelés (2) espaces {V). On construit facilement des exemples tout à fait simples d'espaces topologiques qui ne sont pas (V).

§ V. Les espaces {Va). — Nous appellerons topologie transitive toute topologie satisfaisant à l'axiome suivant appelé axiome de transitivité (3) :

T. Si un point a est contigu à un ensemble de points contigus à un ensemble E, alors a est contigu à E.

Tout sous-ensemble d'un ensemble (ou d'un espace) à topologie transitive est évidemment aussi à topologie transitive.

On vérifie sans peine que l axiome de transitivité T équivaut,

(1) Voir A. APPERT, Mathematica, XI, 1935, p. 232. Il résulte également du Mémoire ci-dessus que, moyennant l'admission des définitions dl, d2, da, il y a identité entre les espaces topologiques envisagés dans le présent ouvrage, et les espaces topologiques considérés par nous dans P. G. et rement par M. FRÉCHET (E. A., p. 168). Ces espaces sont d ailleurs beaucoup plus généraux que les espaces respectivement appelés « topologiques » par HAUSDORFF, par ALEXANDROFF et HOPF, etc. (voir §§ VII et VIII).

(2) Il résulte aussi de notre Mémoire cité à l'instant qu il y a identité entre les espaces (V) au sens du présent ouvrage, les espaces (V) considérés par nous dans P. G., et les espaces (ev) définis antérieurement par M. FRÉCHET (loc. cit.) à l'aide de « voisinages ». Cette notion de « voisinages » sera introduite au § VI.(3) L'axiome de transivité T a été introduit A. APPERT, Bull. Acad. roy. de Belgique, Classe des Sciences, XXIII, 1937, 2, p. 135 m-

quand l'axiome 1 est réalisé, à l'ensemble des deux axiomes III et a.

Comme les axiomes 1 et II sont vérifiés par toute topologie, on voit que l'on peut définir un espace à topologie transitive comme étant un espace topologique vérifiant III et oc ; ou encore comme étant un espace (V) vérifiant a. D'où le nom d'espaces (Va) donné aux espaces à topologie transitive.

Comme exemples d'espaces ('"'¡))'qui ne sont pas CVa)? nous cite- rons l'espace des fonctions de Baire (1), et, sauf cas exceptionnel, les espaces de Linfield (2).

§ VI. Intérieur, voisinages, base. — Conformément à une nota- tion déjà employée, nous appellerons système (P, E) le système cons- titué par un ensemble quelconque P d'éléments appelés points et par une opération E dont on suppose seulement qu'elle fait corres- pondre à chaque ensemble E C P un ensemble bien déterminé E C P et nommé fermeture de E. Les points de E seront encore appelés les points contigus à E, même si les axiomes 1 et II n'étaient pas remplis. Nous admettrons dans (3) un système (P, E) quel- conque les définitions suivantes :

d4. L'intérieur J(E) d'un ensemble E est l'ensemble C[C(E)] (le complémentaire C étant pris par rapport à l'espace entier P).

d5. Un point est intérieur à un ensemble E s'il appartient à l'in- térieur de E.

d6. Un ensemble E est ouvert si J(E) = E. d7. Un ensemble E est fermé (4) si E = E. ds. Une famille jVaj d'ensembles Va associée à un point a de P

constitue une famille de voisinages de a si et seulement si les deux conditions suivantes sont remplies :

vx. La famille ) Va 1 est non vide, et chaque Va est tel que a € Va C P.

(*) Voir E. A., p. 183. (2) A. APPERT, C. R., 204, p. 323, 1er février 1937. Voir aussi les travaux

de J. L. DESTOUCHES sur l' « espace physique » (par ex. : Le rôle des espaces abstraits en physique nouvelle, Paris, Hermann, 1935, p. 24).

(3) Dire que l'on se place dans un système (P, E), c'est dire que l'on se borne à envisager les points et les sous-ensembles de P. L'ensemble P est alors appelé l'espace.

(4) Alors, dans un système (P, E) quelconque, l'axiome IX peut s'exprimer sous la forme suivante : <x. Toute fermeture est fermée.

V2. Pour que le point a soit contigu à un ensemble E, il faut et il suffit que chaque voisiuagev a de a contienne au moins un point de E.

Alors on dira aussi que la relation de contiguité est définie au point a par l'intermédiaire de la famille ¡Va 1 de voisinages Va de a.

d9. Une famille 03 d'ensembles constitue une base d'un système (P, E), et les ensembles de 03 seront appelés ensembles de base, si et seulement si les deux conditions suivantes sont remplies :

b1. La somme de tous les ensembles de base est identique à P. 62. Pour qu'un point a soit contigu à un ensemble E, il faut et il

suffit que chaque ensemble de base contenant a contienne au moins un point de E.

Alors on dira aussi que le système (P, E) envisagé est défini par l'intermédiaire de la base 63.

Ces définitions étant admises, on a les résultats suivants. Pour la démonstration d'une grande partie d'entre eux, le lecteur est prié de se reporter à nos travaux antérieurs déjà cités.

Tout d'abord la relation de définition J.

eonçue comme ayant lieu quel que soit l'ensemble E C P, équivaut dans un système (P, E) quelconque à la relation suivante :

J ' .

Il revient donc au même, pour définir le système (P,-È) le plus général, de se donner l'opération de fermeture E, ou de se donner l'opération d'intérieur J(E) dont on doit seulement supposer qu'elle fait correspondre à chaque ensemble E C P un ensemble bien dé- terminé .1(E) C P.

Les axiomes I, II, III et IX, pris chacun individuellement, équi- valent respectivement, dans un système (P, E) quelconque, aux quatre conditions suivantes :

r II' n r

autrement dit tout point intérieur à un sous-ensemble d'un en- semble E, est intérieur à E.

a' autrement dit tout intérieur est ouvert.

On peut donc définir un espace (V) comme étant un système (P, E) vérifiant l', II' et III'; et on peut définir un espace comme étant un système (P, E) vérifiant l', II', III' et a'.

On a les propriétés suivantes concernant la notion de voisinages : On démontre sans peine que la définition d8 des familles de voi-

sinages admise plus haut reste équivalente à elle-même dans un système (P, E) quelconque, si on y remplace la condition V2 par la condition suivante :

v,'. Pour que le point a soit intérieur à un ensemble E, il faut et il suffit qu'il existe au moins un voisinage Va de a entièrement inclus dans E.

On déduit de là successivement les propositions suivantes : 2. Dans un système (P, E) quelconque, tout voisinage d'un point a

est tel que a lui soit intérieur. 3. Dans tout espace (Z?) et pour chaque point a de cet espace, la

famille de tous les ensembles auxquels a est intérieur constitue (1) une famille de voisinages de a.

4. Il y a identité entre la classe des espaces (V) et la classe des sys- tèmes (P, E) où la relation de contiguïté peut être définie en chaque point par l'intermédiaire d'une famille de voisinages de ce point.

Autrement dit les espaces ("v) peuvent être définis comme étant les espaces à « voisinages » t o u t à fa i t a rb i t ra i res (2).

5. Dans un espace (V), étant donné une /a//nMe{Va \ de voisinages Va d'un point a, la condition nécessaire et suffisante pour qu'une famille j Wa 1 d'ensembles Wa constitue :aussi une famille de voisinages de a (autrement dit pour que 1 Va} et 1 Wa 1 soient deux familles de voisinages équivalentes) est que (3) chaque Va contienne au moins- un Wa et que chaque Wa contienne au moins un Va.

6. Dans un espace (V), la condition nécessaire et suffisante pour qu'une famille } Va li d'ensembles Va constitue une famille de voisinages d'un point a est qu'elle vérifie la condition v'2 (car v'2 entraîne alors

Il sera commode de supposer dans la suite que dans tout es-

(1) M. FRÉCHET, Bull. Se. math., XLII, 1918, p. 141. (2) Notons que, dans tout espace (V), les familles de voisinages au sens dU'

présent ouvrage sont les mêmes que celles que nous avions définies (confor- mément aux conceptions Fréchétiennes) dans P. G., p. 5-6, bien que les. formes de définition diffèrent.

(3) M. FRÉCHET, Ibid.

pace ('V) et pour chaque point a de cet espace, une famille bien déterminée de voisinages de a a été choisie. Alors les diverses notions introduites dans les espaces (V) pourront se définir à partir de ces familles de voisinages prises comme terme primitif. Par exemple la relation de contiguïté sera définie en chaque point a par la condi- tion et la notion d'intérieur sera définie en chaque point a par la condition v[.

On détermine complètement l'espace (V) le plus général, et on obtient dans cet espace les familles de voisinages les plus générales en se donnant un ensemble quelconque P qui est l'ensemble des points de l'espace, en associant à chaque point a de P une famille quelconque j Va ] d'ensembles Va vérifiant la seule condition et en considérant chaque ¡Va j comme la famille des voisinages de a.

Il sera commode d'adopter, dans tout système (P, E),la défini- tion suivante :

d10. Les entourages d'un point a sont les ensembles auxquels a est intérieur.

La famille des entourages d'un point a d'un espace (V) est la famille des ensembles dont chacun contient au moins un voisinage de a ; elle constitue elle-même une famille de voisinages de a, la plus riche possible (1), parmi celles équivalentes à la famille de voisinages de a donnée.

Etudions maintenant la notion de base. Il est clair que :

7. Tout système (P, E) défini par l'intermédiaire d'une base est un espace (*V) ; pour chaque point a de cet espace la famille de tous les ensembles de base contenant a constitue une famille de voisinages de a.

De plus tout système (P,E) défini par l'intermédiaire d'une base vérifie par le fait même l'axiome de transitivité T ; un tel système est donc un espace Cva)- Réciproquement nous avons établi (2) que :

8. Dans tout espace (Va) la famille de tous les ensembles ouverts constitue une base de cet espace.

Par conséquent : 9. Il y a identité entre un espace (VOL) et un système (P, E) susceptible

d'être défini par l'intermédiaire d'une base.

M. FRÉCHET, E. A., p. 179. (1) A. APPERT, Mathematica, XI, 1935, p. 25.

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