Algèbre linéaire - Résumé

Résumé d’algèbre linéaire et géométrie - MP

Essaidi Ali

14 avril 2014

K = R ou C

1 Arithmétique dans un anneau commutatif intègre :Proposition 1.1 – Soient A un anneau commutatif et I ⊂ A. I est un idéal de A ssi I 6= ∅,∀x, y ∈ I, x − y ∈ I et

∀a ∈ A,∀i ∈ I, ai ∈ I .– L’image réciproque d’un idéal par un morphisme d’anneaux commutatifs est un idéal.– La somme et l’intersection de deux idéaux d’un anneau commutatif sont des idéaux.

Proposition 1.2 K[X] est un anneau principal. Si I est un idéal non nul de K[X] alors il existe un unique polynôme unitaireP ∈ K[X] telque I = PK[X].

Proposition 1.3 Soient A une K-algèbre et a ∈ A. a admet un polynôme annulateur non nul ssi K[a] est de dimension finie.Dans ce cas, πa existe et dimK[a] = deg πa.En particulier, si A est de dimension finie alors tout élément de A admet un polynôme annulateur non nul.

2 Dualité en dimension finie :Proposition 2.1 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗. Si f ∈ E∗ alors ∃a1, . . . , an ∈ K tels que ∀x =x1e1 + · · ·+ xnen ∈ E, f(x) = a1x1 + · · ·+ anxn.

Proposition 2.2 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗. ∀x ∈ E \ 0,∃ϕ ∈ E∗, ϕ(x) = 1.

Proposition 2.3 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ et B = (e1, . . . , en) est une base de E.– ∀i ∈ 1, . . . , n, on définit e∗i par ∀x = x1e1 + · · ·+ xnen ∈ E, e∗i (x) = xi. Alors (e∗1, . . . , e

∗n) est une base de E∗, on

l’appelle la base duale de (e1, . . . , en).– Soit B une base de E∗, alors il existe une et une seule base C de E telle que la base B soit la base duale de C. C s’appelle

la base antéduale ou préduale de B.

Proposition 2.4 Soient E,F deux K-espaces vectoriels et u ∈ L(E,F ). Si H est un supplémentaire de keru dans E alors Het Imu sont isomorphes.

Proposition 2.5 Soient E un K-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E. Si G et H sont deux supplémentaires deF alors la projection sur G parallèlement à F définit un isomorphisme de H vers G. En particulier :

– Tous les supplémentaires de F sont isomorphes.– Si F admet un supplémentaire de dimension finie alors cette dimension ne dépend pas du supplementaire choisi. On

l’appelle la codimension de F et on la note codimF .– Si F admet un supplémentaire de dimension infinie alors tous les supplémenaires de F sont de dimension infinie. Dans

ce cas, on dit que F est de codimension infinie.

Proposition 2.6 Soit E un K-espace vectoriel et H ⊂ E.– H est un hyperplan de E si et seulement si H 6= E et ∃x ∈ E,E = H ⊕Kx. Dans ce cas, ∀x ∈ E \H,E = H ⊕Kx.– H est un hyperplan de E si et seulement si ∃ϕ ∈ E∗ \ 0, H = kerϕ.

Proposition 2.7 Soient E un K-espace vectoriel et ϕ,ψ ∈ E∗ \ 0. kerϕ = kerψ ⇐⇒ (ϕ,ψ) lié.

Proposition 2.8 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗.– Si F est un sous-espace vectoriel de E de dimension 0 ≤ p < n alors il existe n − p formes linéaires ϕ1, . . . , ϕn−p

linéairement indépendantes telles que F =

n−p⋂i=1

kerϕi.

1

CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali

– Si p ∈ N∗ et ϕ1, . . . , ϕp ∈ E∗ alors codim

p⋂i=1

kerϕi = rg(ϕ1, . . . , ϕp).

– Si p ∈ N∗ et ϕ1, . . . , ϕp, ϕ ∈ E∗ alors ϕ ∈ Vectϕ1, . . . , ϕp ⇐⇒p⋂i=1

kerϕi ⊂ kerϕ.

3 Réduction des endomorphismes :Proposition 3.1 Soient E un K-espace vectoriel et u ∈ L(E). Si (Ei)i∈I est une famille de sous-espaces vectoriels de Estables par u alors

∑i∈I

Ei et⋂i∈I

Ei sont u-stables.

Proposition 3.2 Soient E un K-espace vectoriel et u, v ∈ L(E) tels que uv = vu. Alors ∀P ∈ K[X], ImP (v) et kerP (v) sontu-stables. En particulier, si E est de dimension finie, ∀λ ∈ K, Eλ(v) est u-stable.

Théorème 3.1 (Théorème de décomposition des noyaux) Soient E un K-espace vectoriel, u ∈ L(E). Si P,Q ∈ K[X] tels queP ∧Q = 1 alors kerPQ(u) = kerP (u)⊕ kerQ(u).

Proposition 3.3 – Dans un K-espace vectoriel de dimension finie, tout endomorphisme de E admet un polynôme minimal.– Toute matrice deMn(K) avec n ∈ N∗ admet un polynôme minimal.

Proposition 3.4 Soient E un K-espace vectoriel et u ∈ L(E). On suppose que u admet un polynôme annulateur non nul.– Si K = C alors E admet une droite vectorielle u-stable.– Si K = R alors E admet une droite vectorielle ou un plan vectoriel u-stable.

Proposition 3.5 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E), P ∈ K[X] et λ ∈ K une valeur propre de u.Alors :

– P (λ) est une valeur propre de P (u).– Si P est annulateur de u alors λ est une raçine de P .

Proposition 3.6 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E) et (λi)i∈I une famille de valeurs propres de udeux à deux distincts.

– Si (xi)i∈I est une famille de vecteurs propres de u telles que ∀i ∈ I, xi est associé à λi alors la famille (xi)i∈I est libre.– La somme

∑i∈I

Eλi(u) est directe.

Corollaire 3.7 Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ alors tout endomorphisme de E admet au plus nvaleurs propres.

Propriété 3.1 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ E .– λ ∈ Sp(u)⇔ λ ∈ Z(χu) où Z(χu) désigne l’ensemble des raçines de χu.– degχu = dimE et χu = (−1)n(Xn − tr(u)Xn−1 + · · ·+ (−1)n detu).– Si K = C ou χu scindé alors :

1. Sp(u) 6= φ donc u admet au moins une valeur propre.

2. tru =∑

λ∈Sp(u)

λ et detu =∏

λ∈Sp(u)

λ où les valeurs propres sont comptées avec leurs ordres de multiplicités comme

raçines de χu.

Proposition 3.8 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). Si λ ∈ Sp(u) alors (X − λ)dimEλ(u)|χu. Enparticulier, dimEλ(u) ≤ m(λ).

Théorème 3.2 (Théorème de Cayley-Hamilton) Soit E est un K-espace vectoriel de dimension finie. Si u ∈ L(E) alorsχu(u) = 0. Autrement dit, χu est annulateur de u.

Corollaire 3.9 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). Alors :– πu|χu. En particulier, deg πu ≤ dimE.– Sp(u) = Z(χu) = Z(πu).– χu est scindé ⇐⇒ πu est scindé.

Théorème 3.3 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). Les assertions suivantes sont équivalentes :– u est diagonalisable.

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– E admet une base formée de vecteurs propre de u.– E =

⊕λ∈Sp(u)

Eλ(u).

– dimE =∑

λ∈Sp(u)

dimEλ(u).

– u admet un polynôme annulateur scindé à raçines simples.– χu scindé et ∀λ ∈ Sp(u),dimEλ(u) = m(λ).

Corollaire 3.10 Si u admet n valeurs propres deux à deux distinctes alors u est diagonalisable.

Théorème 3.4 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). Les assertions suivantes sont équivalentes :– u est nilpotent.– u est trigonalisable et Sp(u) = 0.– χu = (−1)nXn.

Théorème 3.5 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). u est trigonalisable ssi u admet un polynômeannulateur scindé. En particulier, si K = C alors tout endomorphisme de E est trigonalisable.

Théorème 3.6 Soient E un K-espace vectoriel, u ∈ L(E), F un sous-espace vectoriel u-stable et v = uF . Alors :– πv|πu et χv|χu.– Sp(v) ⊂ Sp(v) et ∀λ ∈ K, Eλ(v) = Eλ(u) ∩ F .– Si u est diagonalisable (resp. trigonalisable) alors v est diagonalisable (resp. trigonalisable).

4 Espaces préhilbertiens :Définition 4.1 Soit E un K-espace vectoriel.

– Une application f : E → K est dite forme semi-linéaire sur E si :

1. ∀x, y ∈ E, f(x+ y) = f(x) + f(y).

2. ∀x ∈ E,∀λ ∈ K, f(λx) = λf(x).

– Une application ϕ : E × E → K est dite forme sesquilinéaire sur E si :.

1. ∀x ∈ E, y 7→ ϕ(x, y) est une forme linéaire sur E.

2. ∀y ∈ E, x 7→ ϕ(x, y) est une forme semi-linéaire sur E.

Définition 4.2 Soient E un K-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur E tout application ϕ de E × E vers K telleque :

– ϕ est une forme sesquilinéaire sur E.– ∀x, y ∈ E,ϕ(y, x) = ϕ(x, y). On dit que ϕ est hermitienne.– ∀x ∈ E,ϕ(x, y) ≥ 0. On dit que ϕ est positive.– ∀x ∈ E,ϕ(x, x) = 0⇒ x = 0. On dit que ϕ est définie.

Dans ce cas, l’espace E muni du produit scalaire ϕ est dit espace préhilbertien.

Propriétés 4.1 (Règles de calcul dans un espace préhilbertien) Soit E un espace préhilbertien. Alors :– ∀x, y ∈ E,∀α, β ∈ K, ‖αx+ βy‖2 = |α|2‖x‖2 + 2<e(αβ < x, y >) + |β|2‖y‖2.– Identité du parallèlogramme : ∀x, y ∈ E, ‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2).– (Formules de polarisation) :

1. Si K = R alors ∀x, y ∈ E,< x, y >= 12 (‖x+ y‖2 − ‖x‖2 − ‖y‖2) = 1

4 (‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2).

2. Si K = C alors ∀x, y ∈ E,< x, y >=1

4(‖x+ y‖2− i‖x+ iy‖2−‖x− y‖2 + i‖x− iy‖2) =

1

4

3∑k=0

1

ik‖x+ iky‖2.

Proposition 4.1 Soit E un espace préhilbertien.– (Inégalité de Cauchy-Schwarz) : ∀x, y ∈ E, | < x, y > | ≤ ‖x‖‖y‖ avec égalité si et seulement si (x, y) lié.– (Inégalité de Minkowsky) : ∀x, y ∈ E, ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ avec égalité si et seulement si (x, y) est positivement lié.– L’application x 7→ ‖x‖ est une norme sur E appelée la norme euclidienne associée au produit scalaire sur E.– L’application (x, y) 7→ ‖x − y‖ est une distance sur E appelée la distance euclidienne associée au produit scalaire surE.

Proposition 4.2 Soit E un espace préhilbertien.– Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls de E est libre.



– (Théorème de Pythagore) Si (x1, . . . , xn) une famille orthogonale de vecteurs de E alors

∥∥∥∥∥n∑k=1

xk

∥∥∥∥∥2

=

n∑k=1

‖xk‖2.

Propriétés 4.2 Soient E un espace préhilbertien et A,B ⊂ E. Alors :– A ⊥ A⊥.– A ⊥ B ⇐⇒ A ⊂ B⊥ ⇐⇒ B ⊂ A⊥.– A ⊂ A⊥⊥.– A⊥ est un sous-espace vectoriel de E.– A ∩A⊥ = φ ou A ∩A⊥ = 0.– A ⊂ B ⇒ B⊥ ⊂ A⊥.– A⊥ = (Vect(A))⊥.– A ⊥ B ⇐⇒ A ⊥ Vect(B) ⇐⇒ Vect(A) ⊥ B ⇐⇒ Vect(A) ⊥ Vect(B).

Proposition 4.3 Soient E un espace préhilbertien et F,G deux sous-espaces vectoriels de E. Alors :– F ∩ F⊥ = 0. En particulier, la somme F + F⊥ est directe.– Si F ⊥ G alors la somme F +G est directe. Généralement, si (Fi)i∈I une famille orthogonale de sous-espaces vectoriels

de E. Alors la somme∑i∈I

Fi est directe.

– F⊥ +G⊥ ⊂ (F ∩G)⊥.– (F +G)⊥ = F⊥ ∩G⊥.

Proposition 4.4 (Orthonormalisation de Gram-Schmidt) Soient E un espace préhilbertien et (e1, . . . , en) une famille libre deE.Il existe une et une seule famille orthonormée (ε1, . . . , εn) de E telle que :

∀k ∈ 1, . . . , n,

Vectε1, . . . , εk = Vecte1, . . . , ek< εk, ek >> 0

La famille orthonormée (ε1, . . . , εn) est donnée par :– ε1 = e1

‖e1‖ .

– ∀k ∈ 2, . . . , n, εk =

ek −k−1∑i=1

< εi, ek > εi∥∥∥∥∥ek −k−1∑i=1

< εi, ek > εi

∥∥∥∥∥.

Corollaire 4.5 Soit E un espace préhilbertien de dimension finie non nulle. Alors :– E admet une base orthonormale.– Toute famille orthonormale de E se complète en une base orthonormale de E.

Proposition 4.6 Soient E un espace préhilbertien de dimension finie et F,G deux sous espaces vectoriels de E. Alors :– F ⊕ F⊥ = E. En particulier, dimF + dimF⊥ = dimE.– F⊥⊥ = F .– (F ∩G)⊥ = F⊥ +G⊥.

Définition 4.3 Soit E un espace prhilbertien.– Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.

1. Si F ⊥ G alors on dit que F et G sont en somme directe orthogonale et on note F⊥⊕ G.

2. Si F⊥⊕ G = E alors on dit que F et G sont supplémentaires orthogonaux.

– Si (Fi)i∈I une famille orthogonale de sous-espaces vectoriels de E alors on dit que les Fi pour i ∈ I sont en somme

directe orthogonale et on note⊥⊕i∈I

Fi.

Proposition 4.7 Soit E un espace prhilbertien.– Si E est de dimension finie alors tout sous-espace vectoriel de E admet un supplémentaire orthogonal.– Soit F un sous-espace vectoriel de E. Si F admet un supplémentaire orthogonal G alors G = F⊥. Autrement dit, le

supplémentaire orthogonal de F , lorsqu’il existe, est unique c’est F⊥.

Définition 4.4 Soit E un espace prhilbertien.



– Soit F un sous-espace vectoriel de E tel que F⊥⊕ F⊥ = E. On appelle projection (resp. symétrie) orthogonale sur (resp.

par rapport à) F la projection sur (resp. symétrie par rapport à) F parallèlement à F⊥. On la note pF

(resp. sF

).

– Soit u ∈ L(E). On dit que u est un projecteur orthogonal (resp. symétrie orthogonale) si u u = u et Imu⊥⊕ keru = E

(resp. u u = idE et ker(u+ idE)⊥⊕ ker(u− idE) = E).

– Soit (F1, . . . , Fn) une famille orthogonale de sous-espaces vectoriels de E tels que F1

⊥⊕ · · ·

⊥⊕ Fn = E. On appelle

projecteurs orthogonaux associés (resp. symétries orthogonales associées) à la somme directe orthogonale F1

⊥⊕ · · ·

⊥⊕

Fn = E les applications p1, . . . , pn (resp. s1, . . . , sn) sur E définies par :∀x = x1 + · · ·+ xn ∈ E, avec (x1, · · · , xn) ∈ F1× · · · ×Fn, ∀i ∈ 1, . . . , n, pi(x) = xi (resp. si(x) = x− 2pi(x) =x− 2xi = x1 + · · ·+ xi−1 − xi + xi+1 + · · ·+ xn).

Proposition 4.8 Soient E un espace préhilbertien, F un sous espace vectoriel de E de dimension finie n ∈ N∗ et (e1, . . . , en)une BON de F . Alors :

– F⊥⊕ F⊥ = E. Autrement dit, tout sous-espace vectoriel de E de dimension finie admet un supplémentaire orthogonal.

– F⊥ est de codimension finie et on a codimF⊥ = dimF .– F⊥⊥ = F .

Proposition 4.9 Soient E un espace préhilbertien, F un sous espace vectoriel de E de dimension finie n ∈ N∗ et (e1, . . . , en)

une BON de F alors ∀x ∈ E, pF

(x) =

n∑k=1

< ek, x > ek.

Proposition 4.10 Soient E un espace préhilbertien, F un sous espace vectoriel de E de dimension finie n ∈ N∗, (e1, . . . , en)une BON de F et x ∈ E. Alors :

– d(x, F ) = ‖x− pF (x)‖, pF (x) est le seul élément de F qui vérifie cette égalité.– ‖x‖2 = ‖pF (x)‖2 + d2(x, F ).

– L’inégalité de Bessel :n∑k=1

| < ek, x > |2 ≤ ‖x‖2 avec égalité ssi x ∈ F .

Définition 4.5 On appelle espace de Hilbert tout espace préhilbertien complet pour la norme euclidienne associée.

Définition 4.6 Soit H un espace de Hilbert. Une famille (ei)i∈I d’éléments de H est dite base hilbertienne (ou famille ortho-normale totale ou famille orthonormale complète) de H si elle vérifie les deux conditions suivantes :

– La famille (ei)i∈I est orthonormale : ∀i, j ∈ I,< ei, ej >= δij .– La famille (ei)i∈I est totale (ou complète) : ei/i ∈ I⊥ = 0.

Proposition 4.11 Soient H un espace de Hilbert, (en)n∈N une famille orthonormale de H et (cn) une famille d’élémens de Kcarrée sommable (i.e

∑|cn|2 converge). Alors la série

∑cnen est convergente.

Définition 4.7 Soient H un espace de Hilbert, (en)n∈N une base hilbertienne de H et x ∈ H.– On appelle coefficient de Fourier d’ordre n ∈ N de x le nombre < en, x >.–∑n≥0

< en, x > en s’appelle la série de Fourier de x.

– ∀n ∈ N,Sn(x) =

n∑k=0

< ek, x > ek s’appelle la somme partielle d’ordre n de la série de Fourier de x.

Proposition 4.12 Soient H un espace de Hilbert et (en)n∈N une base hilbertienne de H. Alors :– ∀x, y ∈ H, x = y ⇐⇒ x et y ont les mêmes coefficients de Fourier (i.e ∀n ∈ N, < en, x >=< en, y >).

– ∀x ∈ H, la série∑

< en, x > en converge et on a x =

+∞∑n=0

< en, x > en.

– ∀x ∈ H,+∞∑n=0

| < en, x > |2 = ‖x‖2 (Formule de Parseval).

– ∀x, y ∈ H, la série∑< en, x > < en, y > est absolument convergente et on a < x, y >=

+∞∑n=0

< en, x > < en, y >.

Proposition 4.13 Soit E un espace euclidien. Pour tout a ∈ E, on posefa : E → R

x 7→ < a, x >.

L’applicationϕ : E → E∗

a 7→ faest un isomorphisme d’espaces vectoriels. On l’appelle l’isomorphisme canonique de E sur



E∗.En particulier, ∀f ∈ E∗,∃!a ∈ E,∀x ∈ E, f(x) =< a, x >.

Proposition et définition 4.1 Soit E un espace euclidien et u ∈ L(E). ∃!v ∈ L(E) tel que ∀x, y ∈ E,< u(x), y >=<x, v(y) >.L’endomorphisme v s’appelle l’adjoint de u et on le note u∗.

Propriété 4.1 Soient E un espace euclidien et u, v ∈ L(E). Alors :– ∀α, β ∈ R, (αu+ βv)∗ = αu∗ + βv∗.– (u v)∗ = v∗ u∗.– (u∗)∗ = u.– Si u est inversible alors u∗ est inversible et on a (u∗)−1 = (u−1)∗.– L’application f 7→ f∗ est un automorphisme sur L(E).– ∀P ∈ R[X], P (u∗) = (P (u))∗. En particulier, ∀P ∈ R[X], P (u) = 0 ⇐⇒ P (u∗) = 0.

Proposition 4.14 Soient E un espace euclidien non nul et u ∈ L(E).– Si B est une base orthonormale de E alors mat(u∗,B) = tmat(u,B).– keru∗ = (Imu)⊥ et Imu∗ = (keru)⊥.– Soit F un sous-espace vectoriel de E. F est u-stable ssi F⊥ est u∗-stable.

Proposition 4.15 (Caractérisation des automorphismes orthogonaux) Soient E un espace euclidien non nul et u ∈ L(E). Lesassertions suivantes sont équivalentes :

– ∀x ∈ E, ‖u(x)‖ = ‖x‖.– ∀x, y ∈ E, < u(x), u(y) >=< x, y >.– u u∗ = u∗ u = idE . Autrment dit, u inversible et u−1 = u∗.– L’application u transforme toute base orthnormale de E par u est une base orthonormale de E.– L’application u transforme au moins une base orthnormale de E par u est une base orthonormale de E.

Dans ce cas, on dit que u est orthogonal.

Proposition 4.16 SoientE un espace euclidien non nul, B une base orthonormale deE et u ∈ L(E). On poseM = mat(u,B).Les assertion suivantes sont équivalentes :

– u est orthogonal.– ∀X ∈Mn1(R), ‖MX‖ = ‖X‖ (Mn1(R) est muni du produit scalaire usuel < X,Y >=tXY ).– M tM = tMM = In. Autrement dit, M est inversible d’inverse M−1 = tM .– Les colonnes de la matrice M forment une BON deMn1(R).

Proposition et définition 4.2 SoientE un espace euclidien non nul. AlorsO(E) et SO(E) sont des sous-groupes de (GL(E), ).– O(E) s’appelle le groupe orthogonale de E.– SO(E) s’appelle le groupe spécial orthogonal de E. Les éléments de SO(E) s’appellent rotations.

Proposition 4.17 Soit n ∈ N∗ et E un espace euclidien de dimension n.– O(n) est un sous-groupe de GLn(R) isomorphe à O(E). On l’appelle le groupe orthogonal d’ordre n.– SO(n) est un sous-groupe de GLn(R) isomorphe à SO(E). On l’appelle le groupe spécial orthogonal d’ordre n.

Proposition 4.18 Une symétrie orthogonale est un automorphisme orthogonale.

Définition 4.8 On appelle réflexion toute symétrie par rapport à un hyperplan.

Définition 4.9 Soient E un espace euclidien et u ∈ L(E).– u est dit symétrique ou autoadjoint si u∗ = u.– u est dit antisymétrique si u∗ = −u.

Proposition 4.19 (Caractérisation des endomorphismes autoadjoints) Soient E un espace euclidien non nul et u ∈ L(E). Lesassertions suivantes sont équivalentes :

– u symétrique.– ∀B une base orthnormale de E, mat(u,B) est symétrique.– ∃B une base orthnormale de E, mat(u,B) est symétrique.

Proposition 4.20 Soient E un espace euclidien de dimension n ∈ N∗. L’ensemble des endomorphismes autoadjoints de E estun sous-espace vectoriel de L(E) isomorphe à S(n). On le note S(E) et on a dimS(E) = n(n+1)

2 .

Proposition 4.21 (Caractérisation des projecteurs et symétries orthogonaux) Soit E un espace euclidien.– p est un projecteur orthogonal si et seulement si p2 = p et p∗ = p.



– s est un symétrie orthogonals si et seulement si s2 = idE et s∗ = s.

Proposition 4.22 Soient E un espace euclidien non nul et u ∈ S(E). Alors :– Toutes les valeurs propres de u sont réelles.– ∀λ, µ ∈ Sp(u) avec λ 6= µ, Eλ(u) et Eµ(u) sont orthogonaux. En particulier, les espaces propres de u sont en somme

est directe orthogonale.– Soit F un sous-espace vectoriel de E. F est u-stable ssi F⊥ est u-stable.– (Théorème spectral) u est diagonalisable dans une base orthonormale de E.

Corollaire 4.23 Soient n ∈ N∗ et A ∈ S(n). Il existe P ∈ On(R) tel que P−1AP = tPAP soit diagonal.

Définition 4.10 Soient E un espace euclidien, n ∈ N∗, u ∈ S(E) et M ∈ S(n). On dit que :– L’endomorphisme u est positif si ∀x ∈ E,< u(x), x >≥ 0.– La matrice M est positive si ∀X ∈ Rn, tXMX ≥ 0.– L’ensomorphisme u est défini positif si ∀x ∈ E \ 0, < u(x), x >> 0.– La matrice M est définie positive si ∀X ∈ Rn, tXMX > 0.

Proposition 4.24 Soient E un espace euclidien de dimension n ∈ N∗, B une BON de E, u ∈ L(E) et M = mat(u,B). Alors :– u ∈ S+(E) ⇐⇒ M ∈ S+(n).– u ∈ S++(E) ⇐⇒ M ∈ S++(n).

Proposition 4.25 Soient E un espace euclidien et u ∈ L(E). Alors :– u u∗ et u∗ u sont symétriques positifs.– Si u est inversible alors. u u∗ et u∗ u sont symétriques positifs définis.

Proposition 4.26 (caractérisation) Soient E un espace euclidien non nul et u ∈ S(E).– u ∈ S+(E) ⇐⇒ ∀λ ∈ Spu, λ ≥ 0.– u ∈ S++(E) ⇐⇒ ∀λ ∈ Spu, λ > 0.

Définition 4.11 Soient E un espace euclidien non nul et x1, . . . , xp ∈ E. On appelle :– Matrice de Gram des vecteurs x1, . . . , xp la matrice G(x1, . . . , xp) = (< xi, xj >)1≤i,j≤p.– Déterminant de Gram des vecteurs x1, . . . , xp le déterminant Γ(x1, . . . , xp) = det G(x1, . . . , xp)1≤i,j≤p.

Propriétés 4.3 Soient E un espace euclidien non nul et x1, . . . , xp ∈ E. Alors :– G(x1, . . . , xp) est symétrique positive.– Soit B une BON de E. Γ(x1, . . . , xp) = det2

B(x1, . . . , xp). En particulier, Γ(x1, . . . , xp) ≥ 0.

– ∀k ∈ 1, . . . , p,∀α1, . . . , αk−1, αk+1, . . . , αp ∈ R,Γ(x1, . . . , xk−1, xk +

p∑i=1i 6=k

αixi, xk+1, . . . , xp) = Γ(x1, . . . , xp).

Autrement dit, le déterminant de Gram reste inchangé si on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autresvecteurs.

– ∀σ ∈ Sp,Γ(xσ(1), . . . , . . . , xσ(p)) = Γ(x1, . . . , xp).– rgG(x1, . . . , xp) = rg(x1, . . . , xp).– (x1, . . . , xp) libre ⇐⇒ G(x1, . . . , xp) ∈ S++(p) ⇐⇒ G(x1, . . . , xp) est inversible.

Corollaire 4.27 Soit E un espace euclidien de dimension n ∈ N∗ et A ∈Mn(R).A est symétrique définie positive si et seulement si A est la matrice de Gram d’une base de E.

Proposition 4.28 (Décomposition polaire d’un endomorphisme inversible)Soient E un espace euclidien et u ∈ GL(E). Alors ∃!o ∈ O(E),∃!s ∈ S++(E), u = os.

Proposition 4.29 Soient n ∈ N∗ et A ∈Mn(R).– Décomposition polaire d’une matrice inversible : Si A ∈ GLn(R) alors ∃!O ∈ O(n),∃!S ∈ S++(n), A = OS.– Factorisation QR d’une matrice inversible : Si A ∈ GLn(R) alors A se décompose de façon unique sous la formeA = QR où Q est orthogonal et R triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs.

– Factorisation de Cholesky d’une matrice symétrique définie positive : Si A ∈ S++(n) alors A se décompose de façonunique sous la forme A = tTT où T triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs.

Proposition 4.30 Soient E est un plan euclidien, B une base orthonormée de E, u ∈ O(E) et A = mat(u,B).

∃θ ∈ R,∃ε = ±1 tels que A =

(cos θ −ε sin θsin θ ε cos θ

).



Proposition 4.31 L’applicationR : (R,+) → (SO(2),×)

θ 7→ R(θ)est un morphisme de groupes surjectif.

On l’appelle le morphisme canonique de R vers SO(2).

Propriété 4.2 – ∀θ ∈ R,detR(θ) = 1.– ∀θ, θ′ ∈ R, R(θ)R(θ′) = R(θ + θ′). En particulier, SO(2) est abélien.– ∀θ ∈ R, tR(θ) = R(−θ) = (R(θ))−1.

Proposition et définition 4.3 Soient E un plan euclidien orienté et u ∈ SO(E).Si R(θ) est la matrice de u dans une base orthonormée directe de E alors R(θ) ne dépend pas du choix de la base orthonorméedirecte de E.u s’appelle la rotation vectorielle d’angle θ et on la note rθ. En particulier, les angles d’une rotation sont congrus modulo 2π.

Proposition 4.32 Soient E un plan euclidien et u ∈ O−(E). Il existe une base orthonormée B = (e1, e2) de E telle que

mat(u,B) =

(1 00 −1

).

u est la symétrie orthogonale par rapport à la droite D = Re1 et on la note sD.

Proposition 4.33 Soit E un espace euclidien, B une BON de E, u ∈ O−(E) et θ ∈ R tel que mat(u,B) = S(θ).u est la symétrie orthogonale par rapport à la droite vectorielle Re où e = (cos θ2 , sin

θ2 ).

Propriété 4.3 – ∀θ ∈ R,detS(θ) = −1.– ∀θ ∈ R, tS(θ) = S(θ) = (S(θ))−1.– ∀θ ∈ R, S(θ)2 = I2.– ∀θ, θ′ ∈ R, S(θ′)S(θ) = R(θ′ − θ). En particulier, O−(2) n’est ni abélien ni stable.

Proposition 4.34 Soit E un plan euclidien et f ∈ Aff(E).– Si f fixe 3 points non alignés alors f est l’identité sur E.– Si ~f = IdE alors f est une translation.

Proposition et définition 4.4 Soient E un plan euclidien orienté et f un déplacement sur E avec ~f 6= IdE .f possède un unique point fixe Ω ∈ E. On dit que f est la rotation de centre Ω et d’angle θ l’angle de la rotation vectorielleassociée ~f . f se note r(Ω, θ).

Corollaire 4.35 Tout déplacement d’un plan euclidien orienté est soit une translation, soit une rotation affine.

Corollaire 4.36 Soit E un plan euclidien orienté :– ∀a, b ∈ E, ta tb = ta+b = tb ta.– Soient une translation t et une rotation affine r 6= IdE dans E. Alors r t et t r sont des rotation d’angle celui de r.– Soient deux rotations affines r = r(Ω, θ) et r′ = r(Ω′, θ′) dans E. Alors :

1. Si θ′ + θ ≡ 0[2π] alors r′ r = tu avec u =−−→ΩΩ′′ où Ω′′ = r′(Ω).

2. Si θ′ + θ 6≡ 0[2π] alors r′ r est une rotation d’angle θ′ + θ.

Proposition 4.37 Soient E un plan euclidien et f un antidéplacement.Si f admet au moins un point fixe A alors f est la symétrie orthogonale par rapport à une droite D = A+ E1(~f).f se note sD et on dit aussi que f est la symétrie axiale d’axe D.

Proposition 4.38 Soit E un plan euclidien.– Soient D et ∆ deux droites affines parallèles de E alors s∆ sD est la translation tu de vecteur u normal à D et tel que

∆ = t 12u

(D) = D + 12u.

– Réciproquement, soit tu une translation sur E. Si D est une droite affine D de E telle que u soit normal à D alors latranslation tu se décompose sous la forme tu = s∆ sD (resp. tu = sD s∆) où ∆ = t 1

2u(D) = D + 1

2u (resp.∆ = t− 1

2u(D) = D − 1

2u).

Proposition 4.39 Soit E un plan euclidien orienté.– Soient deux droites affinesD et ∆ deE non parallèles. On poseD∩∆ = Ω et (D,∆) ≡ θ

2 [π] alors s∆sD = r(Ω, θ).– Réciproquement, Soit r = r(Ω, θ) une rotation affine sur E. Si D est une droite affine de E qui passe par Ω alos r se

décompose sous la forme r = s∆ sD (resp. r = sD s∆) avec ∆ la droite affine de E qui passe par Ω et telle que(D,∆) ≡ θ

2 [π] (resp. (∆, D) ≡ θ2 [π]).

Corollaire 4.40 Tout déplacement d’un plan euclidien orienté est la composée de deux symétries axiales.



Proposition et définition 4.5 Soient E un espace euclidien et f un antidéplacement de E sans points fixes.f se décompose de façon unique sous la forme f = sD tu = tu sD.f s’appelle la symétrie glissée d’axe D et de vecteur u et on a, en plus, u est un vecteur directeur non nul de D.

Corollaire 4.41 Les antidéplacements d’un plan euclidiens sont exactement les symétries axiales et les symétries glissées.

Proposition 4.42 Les symétries axiales engendrent le groupe des isométries du plan euclidien orienté.

Proposition 4.43 Soit E un plan euclidien orienté.– Soient une translation tu et une symétrie axiale sD telles que u ne soit pas normal à D. Alors tu sD et sD tu sont des

symétries glissées.– Soient une rotation affine r(Ω, θ) 6= idE et sD une symétrie axiale telles que Ω /∈ D. Alos r(Ω, θ) sD et sD r(Ω, θ)

sont des symétries glissées.

Proposition et définition 4.6 Soient E un espace euclidien orienté de dimension 3 et f ∈ SO(E) tel que f 6= idE .

Il existe θ ∈ R et une base orthonormée directe (e1, e2, e3) dans laquelle la matrice de f est :

1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

.

f s’appelle la rotation d’axe Re1 orienté par e1 et d’angle θ. On la note re1,θ.

Proposition 4.44 Soit E un espace euclidien orienté de dimension 3.– Soit e ∈ E. L’application ϕe : x ∈ E 7→ e ∧ x est antisymétrique.

– Soit A(E) l’espace des endomorphismes antisymétriques sur E. L’applicationE → A(E)x 7→ ϕx

est un isomorphisme

d’espaces vectoriels.

Proposition 4.45 Soient E un espace euclidien orienté de dimension 3, e ∈ E unitaire et θ ∈ R. Alors :– (Formule de Rodriguès) : ∀x ∈ E, re,θ(x) =< e, x > e+ cos(θ)(x− < e, x > e) + sin(θ)(e ∧ x).– re,θ = IdE + sin θϕe + (1− cos θ)ϕ2

e.– Si r = re,θ alors alors r − r∗ = 2 sin θϕe.– re,θ = exp(θϕe).

Proposition 4.46 Soient E un espace euclidien de dimension 3 et f ∈ A(E).– Si f fixe 4 points affinement libres alors f est l’identité.– Si ~f = idE alors f est une translation de vecteur

−−−−→Af(A) où A est un point quelconque de E.

Proposition et définition 4.7 SoientE un espace euclidien orienté de dimension 3 et f un déplacement surE tel que ~f 6= IdE .On suppose que f admet au moins un point fixe A ∈ E. Alors :

– ∃e ∈ E,∃θ ∈ R avec θ 6≡ 0[2π] tels que ~f = re,θ.– L’ensemble des points fixes de f est la droite D = A+ Re.

On dit que f est la rotation affine d’axe D orienté par e et d’angle θ. On la note rD,e,θ.

Proposition et définition 4.8 Soient E un espace euclidien orienté de dimension 3 et f un déplacement de E sans points fixeset tel que ~f 6= idE .f se décompose de façon unique sous la forme f = tx r = r tx avec r une rotation affine et x ∈ E \ 0.Soit e ∈ E unitaire et θ ∈ R tels que r = rD,e,θ, f s’appelle le vissage de vecteur x, d’axe D orienté par e et d’angle θ. On lenote VD,e,θ,x.On a, en particulier, (x, e) lié.

Proposition 4.47 Soient E un espace euclidien orienté de dimension 3 et f = VD,e,θ,x un vissage.

– ∀M ∈ D,−−−−−→Mf(M) = x.

– ∀M ∈ E,M ∈ D ⇐⇒ (−−−−−→Mf(M), e) est lié.

Proposition 4.48 Tout déplacement de E est soit une translation, soit une rotation affine, soit un vissage.

5 Formes quadratiques :Proposition 5.1 Soient E,F deux R-espaces vectoriels. L’ensemble des formes bilinéaires sur E × F noté L(E,F ;R) est unsous-espace vectoriel du R-espace vectoriel F(E × F,R) des applications de E × F vers R.

Proposition 5.2 Soient E,F deux R-espaces vectoriels.



– Soit ϕ ∈ L(E,F ;R) :

– ∀y ∈ F , on poseϕy : E → R

x 7→ ϕ(x, y). Alors ∀y ∈ F,ϕy ∈ E∗.

– On poseϕ : F → E∗

y 7→ ϕy. Alors ϕ ∈ L(F,E∗).

– L’applicationL(E,F ;R) → L(F,E∗)

ϕ 7→ ϕest un isomorphisme d’espaces vectoriels. On l’appelle l’isomorphisme

canonique de L(E,F ;R) vers L(F,E∗) et on dit que L(E,F ;R) et L(F,E∗) sont canoniquement isomorphes.

Définition 5.1 Soient E,F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles respectives m et n. Soient BE =(e1, . . . , em) une base de E, BF = (ε1, . . . , εn) une base de F et ϕ ∈ L(E,F ;R).On appelle matrice de ϕ dans les bases BE et BF la matrice (ϕ(ei, εj))1≤i≤m;1≤j≤n et on la note mat(ϕ,BE ,BF ).Si E = F et BE = BF alors mat(ϕ,BE ,BF ) se note tout simplement mat(ϕ,BE).

Caractérisation 5.1 Soient E,F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles respectives m et n.Si BE est une base de E, BF une base F , ϕ ∈ L(E,F ;R) et A ∈Mmn(R) alors :A = mat(ϕ,BE ,BF ) ⇐⇒ ∀x ∈ E,∀y ∈ F,ϕ(x, y) = tXAY avec X = [x]BE et Y = [y]BF .

Proposition 5.3 (Formule de changement de bases) Soient E,F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles,BE ,B′E deux bases de E, BF ,B′F deux bases de F et ϕ ∈ L(E,F ;R).On pose P la matrice de passage de BE vers B′E et Q la matrice de passage de BF vers B′F . Si M = mat(ϕ,BE ,BF ) etN = mat(ϕ,B′E ,B′F ) alors N = tPMQ.

Proposition 5.4 Soit E un R-espace vectoriel. L’ensemble des formes bilinéaires symétriques sur E noté BS(E) est un sous-espace vectoriel de L(E,E;R).

Définition 5.2 Soit E un R-espace vectoriel. On appelle forme quadratique sur E toute application q : E → R telle que∃ϕ ∈ BS(E),∀x ∈ E, q(x) = ϕ(x, x). Dans ce cas, q s’appelle la forme quadratique associé à la forme bilinéaire symétriqueϕ.L’ensemble des formes quadratiques sur E est noté Q(E).

Proposition 5.5 (Règles de calcul) Soit E un R-espace vectoriel, ϕ ∈ BS(E) et q sa forme quadratique associée.– ∀x ∈ E,∀λ ∈ R, q(λx) = λ2q(x). En particulier, q(0) = 0 et ∀x ∈ E, q(−x) = q(x).– ∀x, y ∈ E, q(x+ y) = q(x) + 2ϕ(x, y) + q(y).– ∀x, y ∈ E,ϕ(x+ y, x− y) = q(x)− q(y).– Identité du parallèlogramme : ∀x, y ∈ E, q(x+ y) + q(x− y) = 2(q(x) + q(y)).– Formule de polarisation ∀x, y ∈ E,ϕ(x, y) = 1

4 (q(x+ y)− q(x− y)) = 12 (q(x+ y)− q(x)− q(y)).

Définition 5.3 SoientE un R-espace vectoriel de dimension finie non nulle, B une base surE et q ∈ Q(E). On appelle matricede q dans la base B la matrice de sa forme polaire dans la base B. On la note mat(q,B).

Caractérisation 5.2 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1, B une base de E, q ∈ Q(E) et A ∈Mn(R).

A = mat(q,B) ⇐⇒ A est symétrique et ∀x ∈ E, q(x) = tXAX avec X = [x]B

Proposition 5.6 (Formule de changement de bases) Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie ≥ 1, B, B′ deux basesde E et q ∈ Q(E). Si P la matrice de passage de B à B′, A = mat(q,B) et A′ = mat(q,B′) alors A′ = tPAP .

Définition 5.4 Deux matrices A,B ∈ S(n) sont dites congruentes si ∃P ∈ GLn(R) tel que B = tPAP .

Corollaire et définition 5.7 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie≥ 1, q ∈ Q(E) (resp. ϕ ∈ BS(E)), B une basede E.Si M = mat(q,B) (resp. M = mat(ϕ,B)) alors rgM est indépendant du choix de la base B. On l’appelle rang de q (resp. ϕ).On le note rg q (resp. rgϕ).

Définition 5.5 Soient E un R-espace vectoriel et ϕ ∈ BS(E) de forme quadratique associée q.

On appelle noyau de q ou ϕ le noyau de l’application linéaireϕ : E → E∗

x 7→ ϕxoù ∀x ∈ E, ϕx : E → R

y 7→ ϕ(x, y).

On le note ker q ou kerϕ.Si ker q = 0 alors on dit que q ou ϕ est non dégénérée, sinon, on dit que q ou ϕ est dégénérée.

Proposition 5.8 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗, q ∈ Q(E) et B une base de E. Alors :

q non dégénéré ⇐⇒ mat(q,B) ∈ GLn(R) ⇐⇒ rg q = n



Définition 5.6 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie et q ∈ Q(E) de forme polaire ϕ. On dit que q ou ϕ est :– positive si ∀x ∈ E, q(x) ≥ 0.– négative si ∀x ∈ E, q(x) ≤ 0.– définie si ∀x ∈ E, q(x) = 0⇒ x = 0.

Proposition 5.9 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie non nulle et q une forme quadratique positive sur E deforme polaire ϕ.

– (Inégalité de Cauchy-Schwarz) : ∀x, y ∈ E, |ϕ(x, y)| ≤√q(x)q(y).

– ker q = x ∈ E, q(x) = 0. Autrement dit, pour tout x ∈ E on a q(x) = 0 ⇐⇒ ∀y ∈ E,ϕ(x, y) = 0.– q est non dégénéré ⇐⇒ q est définie ⇐⇒ ϕ est un produit scalaire ⇐⇒ √

q est une norme euclidienne.

Définition 5.7 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie non nulle et q ∈ Q(E) de forme polaire ϕ.– Soient x, y ∈ E. On dit que x et y sont ϕ-orthogonaux ou q-orthogonaux si ϕ(x, y) = 0.– Soient A,B ⊂ E. On dit que A et B sont ϕ-orthogonaux ou q-orthogonaux si ∀a ∈ A,∀b ∈ B,ϕ(a, b) = 0.– Une famille (x1, . . . , xp) de vecteurs de E est dite ϕ-orthogonale ou q-orthogonale si ∀i, j ∈ 1, . . . , p avec i 6= j on aϕ(xi, xj) = 0.

– Une famille de vecteurs deE est dite base ϕ-orthogonale ou q-orthogonale si elle est à la fois base deE et q-orthogonale.

Proposition 5.10 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie non nulle et q ∈ Q(E).– Alors E admet une base q-orthogonale.– Si E est euclidien alors E admet une BON qui est q-orthogonale.

Proposition 5.11 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie non nulle et q ∈ Q(E). On pose rgq = r.– Il existe r formes linéaires linéairement indépendantes l1, . . . , lr et des réels non nuls α1, . . . , αr tels que ∀x ∈ E, q(x) =α1l

21(x) + · · ·+ αrl

2r(x).

– Si l1, . . . , lp sont des formes linéaires linéairement indépendantes et α1, . . . , αp des réels non nuls tels que ∀x ∈E, q(x) = α1l

21(x) + · · ·+ αpl

2p(x) alors p = rgq.

Théorème 5.1 (Loi d’inertie de Sylvester) Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie non nulle et q ∈ Q(E).Il existe un couple (s, t) ∈ N2 et une base q-orthogonale B = (e1, . . . , en) telle que ∀x = x1e1 + · · · + xnen, q(x) =x2

1 + · · ·+ x2s − x2

s+1 − · · · − x2s+t.

Le couple (s, t) ne dépend pas du choix de la base B. On l’appelle la signature de q.

Corollaire 5.12 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie non nulle et q ∈ Q(E) de signature (s, r − s).Il existe r formes linéaires linéairement indépendantes l1, . . . , lr telles que ∀x ∈ E, q(x) = l21(x) + · · · + l2s(x) − l2s+1(x) −· · · − l2r(x).

Corollaire 5.13 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie non nulle et q ∈ Q(E) de signature (s, t).Soient l1, . . . , lr des formes linéaires linéairement indépedantes et α1, . . . , αr ∈ R non nuls tels que ∀x ∈ E, q(x) = α1l

21(x)+

· · ·+ αrl2r(x). Alors s = cardαi/αi > 0 et t = cardαi/αi < 0.

Classification des coniques de R2 :

Nom : Ellipse Hyperbole ParaboleEquation réduite : x2

a2 + y2

b2 = 1 x2

a2 −y2

b2 = 1 x2 = py

Proposition 5.14 Soit a, b, c ∈ R et C = (x, y) ∈ R2/ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey = f. On pose ∆ = b2 − 4ac.– Si ∆ > 0 alors C est une hyperbole ou réunion de deux droites non parallèles. On dit que C est de type hyperbole.– Si ∆ < 0 alors C est une ellipse ou un point ou l’ensemble vide. On dit que C est de type ellipse.– Si ∆ = 0 alors C est une parabole ou deux droites parallèles ou une droite ou l’ensemble vide. On dit que C est de type

parabole.

Classification des quadriques de R3 :

Nom : Ellipsoïde cône Hyperboloïde à une nappeEquation réduite : x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 = 1 x2

a2 + y2

b2 −z2

c2 = 0 x2

a2 + y2

b2 −z2

c2 = 1Nom : Hyperboloïde à deux nappes Paraboloïde elliptique Cylindre elliptiqueEquation réduite : x2

a2 −y2

b2 −z2

c2 = 1 x2

a2 + y2

b2 = z x2

a2 + y2

b2 = 1Nom : Paraboloïde hyperbolique cylindre hyperbolique cylindre paraboliqueEquation réduite : x2

a2 −y2

b2 = z x2

a2 −y2

b2 = 1 x2

a2 = y


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Algèbre linéaire - Résumé