Amerinsa - Portail documentaire SCD Doc'INSA | INSA de Lyon

MATEMATICAS

AMERINSA

Cours Auteur de la Ressource Pédagogique ATHANAZE Guy

1 PC

Année scolaire 2014 – 2015 Versión en español

Guy Athanaze [email protected]

Matemáticas Primer año AMERINSA

Versión en español

2014-2015

© [ATHANAZE Guy], [2014], INSA de Lyon, tous droits réservés.

mailto:[email protected]

Guy Athanaze [email protected]


mailto:[email protected]

i

PREFACIO

Este fascículo:

No es un curso exhaustivo que cubra el programa de primer año del programa

AMERINSA. No se han incluido todas las demostraciones de las propiedades y teoremas.

Este fascículo no remplaza los cursos ni justifica faltar a las clases ni a las cesiones de

Ejercicios Dirigidos (ED).

Este fascículo:

Está destinado a ayudarles en la comprensión del curso de Matemáticas. Sigue de

cerca el plan de los capítulos con todas las definiciones y la mayoría de los teoremas. Se

detallan algunas de las demostraciones que no se hicieron durante las clases. Encontrarán

también ejemplos y ejercicios corregidos

Al final de cada capítulo, ejercicios de nivel 1 son propuestos (a veces con sus

correcciones). Se trata de aplicaciones directas del curso. Estos ejercicios deber ser resueltos

por los estudiandes luego de la presentación del curso correspondiente y antes de los TD. No

serán presentados por los profesores. Estos ejercicios han sido elaborados con la participación

de M.C. Douineau, A. Aymes, H. Ricard, J.B. Dill, A. Lachal, S. Balac.

Agradezco a C. Jaloux por su cooperación y participación en la parte de « ejercicios

corregidos ».

El último capítulo « A propósito de la redacción » contiene un cierto número de

ejercicios y problemas de evaluación del INSA. Los enunciados se presentan de manera

similar a la presentación de los alumnos. La resolución de los ejercicios es una copia fiel a la

original. Atención porque no se trata de las respuestas sino simplemente de un ejemplo de

redacción. Agradezco a los estudiantes que acepataron la publicación de sus ejercicios.

Post Scriptum.: Si detectan errores de mecanografiado o si tienen observaciones,

transmítanlos al autor... Gracias por adelantado.


ii

Índice


iii

PREFACIO i

ÍNDICE ii

Cap. 0 : EL BINOMIO DE NEWTON

1

Cap. I : TEORÍA DE CONJUNTOS 9

Cap. II : LA LÓGICA MATEMÁTICA 19

Cap. III : LA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA 39

Cap. IV : FUNCIÓN, APLICACIÓN, BIYECCIÓN 49

Cap. V : COMPLEMENTOS EN TRIGONOMETRÍA 63

Cap. VI: ÚTILES PARA EL ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN DE LA VARIABLE REAL

71

Cap. VII: LÍMITES - CONTINUIDAD

87

Cap. VIII: DERIVADAS 121

Cap. IX: EQUACIONES DIFERENCIALES

157

Cap. X: COMPARACIÓN DE FUNCIONES 167

Cap. XI: DESARROLLOS LÍMITES 177

Cap. XII: LAS FRACCIONES RACIONALES 197

Cap. XIII: INTEGRAL DE RIEMANN 207

Cap. XIV: CÁLCULO PRÁCTICO DE PRIMITIVAS Y DE INTEGRALES 223

Cap. XV: ESPACIO VECTORIAL 243

Cap. XVI: APLICACIONES LINEALES 267

Cap. XVII: MATRICES 287

Cap. XVIII: MATRICES Y APLICACIONES LINEALES 297

Cap. XIX: DETERMINANTES 313

Cap. XX: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 327


iv

Cap. XXI: REDUCCIÓN DE MATRICES CUADRÁTICAS 337

Cap. XXII: SUCESIONES DE REALES 355

Cap. XXIII: A PROPOSITO DE LA REDACCION 375


El binomio de Newton

1

Capítulo 0

EL BINOMIO DE NEWTON

1- Símbolos S y P Definición: Sea f una función de en ó . Sean n y m enteros naturales con n m , entonces decimos :

m

i n

f(i) f(n) f(n 1) f(n 2) ... f(m)

m

i n

f(i) f(n) f(n 1) f(n 2) ... f(m)

Ejemplos :

1-3

i 1i 1 2 3 6

2- 3

i 1i² 1² 2² 3² 14

3- 4

2

i 2

i 4 9 16 576

4- Sean a1, …, an reales,

n

kk 1 k

maa

i n

e e

5- Sean a1, …, an reales estrictamente positivos, n n

k kk 1k 1

ln a ln a

.

6- Sean z y n. La suma de los (n+1) primeros términos de la sucesión geométrica, de razón z y de primer término 1, se escribe :

n2 n 1 n k

k 01 z z z z z

Además, si z es diferente de 1, tenemos n 1n

k

k 0

1 zz1 z

.

7- Sea n. La suma de los n primeros enteros naturales se escribe : n

i 1

n(n 1)1 2 3 n i2



2

Nota : m m

i n k n

f (i) f (k)

y m m

i n k nf (i) f (k)

. El índice de la suma o del producto es

un índice « mudo ». 2- Factoriales Definición: Sea n un entero natural no nulo. El número factorial n, se escribe n !, es definido por :

n !=n(n-1)(n-2)…3.2.1=n

i 1

i

Convención: 0 !=1. Nota: Sea n un entero natural no nulo. (n+1) !=(n+1)(n !) 3- Coeficiente binomial Problema: Uno desea contar el número de partes de p elementos en un conjunto de n elementos. Esta parte es tambien llamada combinación de p elementos entre n. Veremos que el número de estas combinaciones es (es decir : coeficiente binomial) :

n

i n p 1p

j 1

i

j

=

nn(n 1)(n 2)...(n p 1) n! = = si 0 p npp! p!(n-p)!

(Si p > n, este número es nulo) El coeficiente binomial se escribe también p

nC . Los valores más, a saber sin dudas, son :

n0

=nn

=1

n1

=n

n 1

=n

n2

=n

n 2

= n(n 1)

2

Mostremos que np

= n!p!(n p)!

.

En efecto, cada combinación de p elementos puede ser definida a partir de p! listas ordenadas diferentemente, obtenidas al ordenar los p elementos según todas las permutaciones posibles de estos p elementos. Entonces, hay p! veces menos de combinaciones que de estas listas. Ahora bien, el número de listas ordenadas de p elementos distintos entre n es n(n-1)(n-2)…(n-p+1), porque hay n opciones posibles



3

para el primer elemento de la lista, n-1 para el segundo, n-2 para el tercer, etc…, n-p+1 para el p-ésimo. Este método de razonamiento es conocido como el principio de pastores. Para sus ovejas, el pastor cuenta en efecto el número de patas y divide el resultado por 4. En el caso precedente, una oveja que forma una combinación posee p ! patas constituidas de cada una de las listas que da esta combinación.

[1,2,3] [1,3,2] [2,1,3] [2,3,1] [3,1,2] [3,2,1]

Como hay un total de n(n-1)(n-2)…(n-p+1) listas y que cada oveja posee p !

patas, entonces existe n(n 1)(n 2)...(n p 1)p!

ovejas.

Ejemplo : Consideremos 5 bolas de colores diferentes de las cuales tomamos 3 en un orden arbitrario. Entonces tendríamos 10 opciones posibles. Demostramos que :

nn p

=

np

y para n1 y p1 np

=n 1p 1

+n 1

p

La segunda fórmula se demuestra por el cálculo, o también considerando que entre los n objetos, existe uno que posee una marca particular. Elegir p objetos entre n, es entonces o elegir un objeto marcado y p-1 objetos entre n-1 restantes o elegir p objetos entre los n-1 objetos no marcados. Esta fórmula se visualiza en el triangulo de Pascal de la manera siguiente : 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165

220 330 462 462 330 165 55 11 1

(1,2,3)



4

Blaise Pascal escribe en 1654 su « Tratado del triángulo aritmético » en el cual expone innombrables aplicaciones del « triangulo », ya conocido de Tartaglia (1556), Stiefel (1543), y de los chinos (1303).

4- Binomio de Newton Fórmula del binomio de Newton Sean a y b dos números complejos y n un entero natural no nulo.

(a+b)n=n

k n k kn

k 0C a b

=n

n k k

k 0

na b

k

Prueba : Esta fórmula se muestra por recurrencia sobre n. De hecho, ella es verdad por n = 0 ó n = 1. Por lo tanto, hay fundamentos para esta fórmula. Si es verdad para el rango n, entonces obtenemos:

n

0p

1ppnn

0p

p1pnn

0p

ppn1n bap

nba

p

nba

p

n)ba()ba(

1n)ba( 1n1n

0p

1ppnn

1p

p1pn1n bn

nba

p

nba

p

na

0

n

: extraemos el grado

n+1.

1n

n

1p

p1pnn

1p

p1pn1n bba1p

nba

p

na

1nn

1p

p1pn1n bba1p

n

p

na

1nn

1p

p1pn1n b1n

1nba

p

1na

0

1n

1n

0p

pp1n bap

1n

Así, obtenemos la herencia. Aplicaciones :

1- Cálculo de (a+b)n Ejemplo de utilización : expresión de cos (n) y de sen(n) en función de las potencias de cos( y de sen(. Por ejemplo, cos(5= 16cos5( - 20cos3( + 5cos(.



5

2- Linearizar Recordemos la fórmula de Euler

Para todo real , cos = 2ee ii

y sen = i2ee ii

.

Aplicación de la linearización : Sea un real. Linealisemos 5sen . Utilizando el triángulo de Pascal para calcular los coeficientes binomiales,

desarrollamos 5i ie e

2i

, y luego reagrupamos en términos de dos en dos :

5i i5

5i i5

5i 3i i i 3i 5i5

5i 5i 3i 3i i i5

5i 5i 3i 3i i i

4

4

e esen2i

1 e e2 i1 e 5e 10e 10e 5e e

2 i1 e e 5 e e 10 e e

2 ie e e e e e1 5 10

2 2i 2i 2i

1 sen 5 52

sen 3 10sen



6

EJERCICIOS DE NIVEL 1

Ejercicio 1. Escribir sin el signo las sumas siguientes donde n:

a- 5

n

n 0( 1)

b-n

p 1p

c- n

p 1n

d- n

p 1

pn

e- 2n

2p

p 1z

donde z

Ejercicio 2. Escribir con el signo :

a- 3 3 31 2 3 150

b- 1 1 1 113 5 7 29

c- 2 3i i i i7 7 7e e e e

Ejercicio 4. Dar el valor de n ! para n {0,1, 2,..., 7} .

Ejercicio 4. Calcular 50!46!

.

Ejercicio 5. Calcular 52

,502

, 5049

..



7

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Para cada uno de los siguientes casos dar una relación ente A y B :

a- A=n

k

k 1

kA 2 cos5

y

nq

q 0

qB 2 cos5

, donde n*

b- n

j 1A (n j)(n j)

y n

k 0B k(2n k)

, donde n

c- 2N 2N

n n

n 1 n 0A n z n ( z)

y N

2p

p 0

B p x

, donde N et z

Ejercicio 2. Las desigualdad siguientes, donde n*, son verdaderas ?

n n n n

p 1 k 1 k 1 k 1

p n k n n k k n

Ejercicio 3. Escribe sin el signo las sumas siguientes donde n* :

a- n n

k 1 j 1jk

b- 2ikn

n

k 1e

(i verifica i²=-1).

Ejercicio 4.

1- Verifica que para todo entero natural k no nulo : 2 1 1k(k 2) k k 2

.

2- Deduce una expresión simplificada (sin símbolo ) de n

k 1

2k(k 2)

.

Ejercicio 5. Muestra que para n 9n 10, n! 10 362880

Ejercicio 6. Mostrar que (2n)!n!

es un entero para toda n y explicarlo para

n {0,1,2,3,4} .

Ejercicio 7. Simplificar (2n 3)!(2n 1)!

, (n 1)! n!

(n 2)! (n 1)!

, (n 1)! n!n! (n 1)!

.

Ejercicio 8. Mostrar que, para toda n*, n2 4 6 8 ... (2n) 2 n!



8

Ejercicio 9. Mostrar que, para tosa n*, n

nk 0

(2n 1)!(2k 1)2 n!

.

Ejercicio 10. Mostrar que, para tosa n*, n n

k 1k 1 k 1

1 1 2k! 2

.

Ejercicio 11. Desarrollar 6 5(a b) , (2x 1) . Ejercicio 12. Utilizando , ie cos isin

y la fórmula del binomio de Newton

a- Linearizar cos6x. Deducir una primitiva de la función : 6x cos x . b- Escribir cos(5x) bajo la forma P(cos(x)) donde P es una función

polinómica a determinar. Ejercicio 13. Sea n un entero natural no nulo. Considerar la función f definida por nf (x) (1 x) :

1- Mostrar que n

n

p 0

n2

p

.

2- Calcular n

p

p 0

n( 1)

p

.

3- Calcularn

k 0

nk

k

.

4- Calcular n

k 0

n1kk 1

.


Teoría de conjuntos

9

Capítulo 1

TEORÍA DE CONJUNTOS Presentación histórica:

Peano Giuseppe (1858-1932) es un matemático italiano, así como lingüista (intentó ratificar una lengua internacional cercana al latín), procesó el cálculo infinitesimal (cálculo diferencial y cálculo integral) en la academia militar de Turín pero sus trabajos están dedi-cados esencialmente a la lógica matemática, la teoría de los conjuntos la axiomatización del conjunto de los números enteros naturales.

A él debemos la creación de un sistema de anotaciones suscep-tibles de enunciar y de demonstrar las proposiciones matemáticas utili-zando un mínimo de signos compatibles con el razonamiento deductivo

basado sobre nociones de principios aceptados (axiomas). Fue el primero en usar anotaciones sobre los conjuntos para los números enteros naturales (naturale), para los números ra-cionales –las fracciones- o cociente (quoziente). También le debemos (1888) la noción de es-pacio vectorial (real) abstracto generalizando los trabajos de Grassmann sobre el cálculo vectorial (llamado en la época cálculo geométrico).

A él debemos:

los símbolos de los conjuntos , , , (pero el signo es más seguramente fruto del trabajo de Schröder).

Siguiendo los trabajos de Dedekind, una construcción del conjunto de los números enteros naturales y la noción moderna de la serie numérica en tanto que aplicación de en y la noción rigurosa de razonamiento « por recurrencia ».

Conjunto 1. Definiciones: Un conjunto es una colección de objetos llamados elementos del conjunto. Decimos que estos elementos pertenecen al conjunto. La notación « xE »significa « x pertenece al conjunto E ». La notación « xE » significa « x no pertenece al conjunto E ». Un conjunto puede ser definido en dos maneras: en extensión o en comprensión. 2. representación de un conjunto con un diagrama de Venn



10

3. El conjunto vacío es un conjunto que no contiene ningún elemento. Se representa con la letra griega : . 4. Un conjunto unitario es un conjunto que posee un único elemento. Subconjunto – inclusión Sean A y B dos conjuntos. Se dice que A está incluido en B si todo elemento de A es elemento de B. Entonces escribimos: AB. Se dice también que A es un subconjunto de B, o una parte de B. Atención: No confundir entre “pertenece” e “incluido”. Sea A un conjunto. El conjunto de sus sub-conjuntos (de sus partes) es el conjunto de partes de A notado P(A). Observación: Si el cardinal (número de elementos) de A es finito e igual al entero n, entonces el cardinal (el número de elementos) de P(A) es 2n. Igualdad de dos conjuntos

1- 1 Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

2- Teorema: Sean A y B dos conjuntos A=B equivale a AB y BA. Complemento

1- Se llama complemento de A en E al conjunto formado por los elementos de E que no pertenecen a A. Se escribe EA o para que no haya ambigüedad se pone Ac o A .

2- Propiedad: A =A

=E y E = si E es el referencial.

1

2

3 4

5

A B



11

Unión de dos conjuntos

1- Sean A y B dos conjuntos. La reunión de A y B, escrito como A B (y se lee A unión B) es el conjunto formado por elementos pertenecientes a A o (inclusivo) a B.

2- Propiedad:

ABBA Conmutatividad

BAA AA AAA

Si AB, BBA C)BA()CB(A Asociatividad

Observación: 1- La unión corresponde a un «o inclusivo», veremos en un ejercicio la diferencia simétrica que corresponde a «o exclusivo». 2- Para escribir AB, podemos escribir B A. Intersección

1- Sean A y B dos conjuntos. La intersección de A y B, escrita como A B (y se lee A intersección B) es el conjunto formado por elementos pertenecientes a A y a B. 2- Propiedad:

ABBA Conmutatividad

ABA A AAA

Si AB, ABA C)BA()CB(A Asociatividad

3- Dos conjuntos A y B tales que BA se les llama disjuntos. Relaciones entre reunión y intersección

1- Distributiva de la intersección en la unión : )CA()BA()CB(A . 2- Distributiva de la unión en la intersección : )CA()BA()CB(A . 3- Leyes de De Morgan: A B A B y A B A B .

Demostración de las leyes de De Morgan:

1- Sea x tal que x ∈ A B lo que significa que x pertenece a A o B . Si x∈A , xA x A B x ∈A B

Si x∈B , xB x A B x ∈A B Esto es pues verdadero para todo x de A B , se deduce que:



12

A B A B

Sea x tal que x ∈A B , lo que significa que x no es un elemento común a A y B. Si x ∈ A, x B x ∈B x∈A B

Si x ∈ B, x A x ∈A x∈A B Si xA y xB x ∈ A y x ∈B x∈A B Esto es pues verdadero para todo x de A B , se deduce que:

A B A B

De ahí:

A B= A B 2- Sobre un diagrama de Venn, la demostración es análoga a la anterior.

La parte sombrada representa A B , donde se comprueba que: A B A B

Observación : La intersección es prioritaria sobre la reunión, es decir A B C A B C

et non A B C . Ilustraciones Lenguaje probabilista Lenguaje de los conjuntos Diagrama de Venn A y B dos eventos de A y B dos partes de E A y B AB

A y B son incompatibles AB=

A

B

E



13

A o B AB

A evento contrario a A EA =AC

A\B diferencia de dos eventos

A/B={x/xA y xB}

Producto cartesiano Sean A y B dos conjuntos. Llamamos producto cartesiano de A y B el conjunto de pares de elementos de A y de B, tomados en este orden. Se escribe AB y se lee «A cruz B». Se generaliza esta definición para n conjuntos. Observaciones: - AA se escribe A²

- No confundir "pareja" con "par". Propiedad: Si A y B son dos elementos finitos, el número de elementos de AB es el producto de los números de elementos de A y de B.



14


Ejercicio 1. Sean A, B y C tres partes de un conjunto E. 1. Si A B A C , podemos decir que B = C ? 2. Si A B A B , podemos decir que A = B ?

Ejercicio 2. Sean A, B y C tres sub-conjuntos del conjunto E. Dar una escritura más simple de los siguientes conjuntos:

1- (A (A B)) B. 2- (A B) (A B ). 3- A B (C A ).

4- ((A B) (B C)) (A C).



15

ELEMENTOS DE CORRECCION DE LOS EJERCICIOS DE NIVEL 1

Ejercicio 1. 1- no, 2- sí. Ejercicio 2. 1- A B ; 2- A ; 3- A B ; 4- A C .



16

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Sea un conjunto E de 32 personas de lengua francesa de los que 18 conocen el alemán y 24 el inglés. Todas las personas hablan por lo menos una de las dos lenguas, alemán o inglés. 1. ¿Cuántas personas de E conocen a la vez el alemán y e l inglés? 2. Se desea tomar en E para servir de intérprete: - sea una persona que habla a la vez el alemán y el inglés, - o un par de personas que conocen una el inglés solamente, otro el alemán solamente. ¿De

cuántas maneras se puede hacer esta elección? Ejercicio 2. Sean A y B dos partes de un conjunto de E. Si AB, qué podemos decir de B con relación a A ? Ejercicio 3. Sean A, B, C, tres partes de un conjunto E no vacío: Poner de manifiesto que si A B=A C y A B=A C entonces B=C. Ejercicio 4. Sean a y b dos reales. Establecemos A={a, b}. Las relaciones siguientes estan o no verificadas por esta relación? (i) a ∈ A. (ii){a}∈A. (iii) Ø∈A. (iv) {a}∈P(A). (v) Ø∈ P(A). Ejercicio 5. Sean a, b, c tres números reales. Encontrar x para que se compruebe la relación x∈{a, b, c}. Misma pregunta con {x} ∈ {a, {b}}, y luego con {x}∈{a, b, c}. Ejercicio 6. Sean A y B dos sub-conjuntos de E. Llamamos la diferencia A\B el conjunto A B . Realizar un diagrama de Venn representando A\B y caracterizar este conjunto con una frase francés. Esta operación es conmutativa? Demostrar que: (i) (A\B)\C = A\(B C).

(ii) (A\B) (C\D) = (A C)\(B D). Ejercicio 10. Sean A y B dos sub-conjuntos de E. Llamamos diferencia simétrica el conjunto (A\B) (B\A). Realizar un a diagrama de Venn representando AB y caracterizar este conjunto con una frase en francés. Esta operación tiene alguna relación con el operador lógico “o exclusivo”? Ella es conmutativa? Demostrar que A B = (A B) \ (A B).



17

Simplificar (AB) (AB ). Demostrar que la operación es conmutativa. ¿Qué valen AØ, AA, AB cuando A B? Ejercicio 7. Encontrar el conjunto de los subconjuntos de A=P (P (Ø)). Ejercicio 8. Sean A, B y C tres conjuntos. Simplificar las expresiones siguientes:

1- A A B B 2- A B A B

3- A C B C A 4- A C A B C B

Ejercicio 9. Sea A={1, 2, 3} y B={3,}. Describir los conjuntos A\B, B\A, AB, P A B y P(A) P(B). Hacer lo mismo para A=[-2, 5[ y B={1} 4, + salvo para el conjunto de las partes. Ejercicio 10. En el plano orthonormal, definimos los conjuntos C1 et C2 como sigue :

C1= M(x, y) / x² y² 1 y C2= M(x, y) / 0,2 ,x=cos et y=sin Demostrar por inclusión doble que C1=C2.



18


Lógica matemática

19

Capítulo 2

LÓGICA MATEMÁTICA Presentación histórica :

Georg Ferdinand Cantor (1845-1918), de origen danès,

nació en San-Petersburgo. Se interesó al análisis y a la teoria de los números, el núcleo de su búsqueda siendo las dificultades encontra-das en los conceptos de límite y de continuidad de funciones y de curvas, indisociables del de los números reales y del de un lenguaje matemático preciso.

Las consecuencias de sus trabajos iban a revolucionar los fundamentos de las matemáticas, considerados hasta entonces como incontestables, hasta 1963 con los trabajos de Gödel y de Cohen, y el « descubrimiento » de proposiciones indecidibles (de las que no se pueden probar, en el seno de la teoria misma y de los axiomas que la definen, si son verdaderas o falsas).

Gödel Kurt (1906-1978), americano, es un filósofo y ló-gico de origen austriaco. Formuló teoremas fundamentales relati-vos a la teoría de los conjuntos y sobre las relaciones indecidibles y las teorías contradictorias, llamadas también no consistentes : de las cuales el sistema de axiomas lleva a una contradicción, es decir a la existencia de un teorema que sería, en la teoría misma, a la vez verdadero y falso.

Le debemos el teorema de la incompletud : toda teoría formal T (fundada sobre un axiomatismo) consistente y susceptible de formalizar, en sus principios, la aritmética (teoría de los nú-meros) es incompleta :existe al menos una proposición aritmética indemostrable dentro de T (no podremos probar ni si es verdadera

ni si es falsa). Este resultado arruina las esperanzas de Hilbert en cuanto al formalismo, que supuestamente hacía frente a las contradicciones encontradas desde la creación de la teoría de los conjuntos de Cantor, y muestra los límites del razonamiento lógico y de la imposibilidad de construir la aritmética sobre el único soporte lógico como lo querían los partidarios de la lógica que fueron Frege y Russell.

La lógica usual se dice "insuficiente" para los matemáticos en general ; nos establecemos entonces en un nivel superior : hablamos de meta lógica y de metamatemática. En fin, había que redefinir el concepto de demonstración. En 1940, Ackermann demostró gracias a esto la con-sistencia de la aritmética, sin por en cambio despertar un gran entusiasmo.


Lógica matemática

20

1. Declaración (Propuesta ó aserción) Consideramos una afirmación que es verdadera (V) o falsa (F) pero nunca las dos a la vez. Es lo que se llama el principio del tercer excluido (en lógica matemática binaria). 2. Los tres principales operadores

1- La negación La negación de P se escribe P (se lee «no P»).

P P

2- La conjunción

Sean P y Q dos propuestas. La conjunción de P y Q se escribe PQ (se lee «P y Q»).

P Q PQ

3- La disyunción

Sean P y Q dos propuestas. La disyunción de P y Q se escribe PQ (se lee «P o Q»).

P Q PQ

Observación : Existen relaciones entre la teoría de conjuntos y la lógica matemática. En teoría de conjuntos, existe tres operaciones principales : la unión, la intersección y el com-plementario. En lógica matemática, existe tres conectadores : o, y, no. Sea E un conjunto y A,B dos partes de E. Consideremos P la propiedad « xA » y Q la pro-piedad « xB ».Entonces ,

- PQ es la propiedad « xA B » - PQ es la propiedad « xA B » - P es la propiedad « xA » lo que quiere decir « xAc ».

Usualmente, decimos que corresponde a , corresponde a , corresponde al com-plementario.


Lógica matemática

21

4- Leyes de De Morgan

)QP( y )Q()P( tienen las mismas tablas de verdad. )QP( y )Q()P( tienen las mismas tablas de verdad.

3. Otros operadores 1- La equivalencia Sean P y Q dos propuestas. La equivalencia de P y Q se escribe PQ (se lee «P equivalente a Q»).

P Q PQ

2- La implicación Sean P y Q dos propuestas. La implicación de P a Q se escribe PQ (se lee «P implica a Q»).

P Q PQ

Propiedad: 1- Las propuestas PQ y P Q tienen las mismas tablas de verdad.

2- Las propuestas PQ y (P Q) (Q P) tienen las mismas tablas de verdad. Observación : 1- La negación de una implicación (PQ) no es una implicación sino una conjunción P Q . 2- La recíproca de la implicación PQ es la implicación QP. 3- A qué propiedad de la teoría de conjuntos corresponde la implicación ? Observaciones en cuanto la definición de implicación: 1- Para los estudiantes que encuentren « extraño» la definición que hemos escogido de implicación, o sea la equivalencia entre P Q y P Q , estudiar la equivalencia entre (PQ) y P Q es más fácil de interpretar… 2- Lewis Caroll y las paradojas de la implicación

Si la definición de operadores lógicos tales como la conjunción, la disjunción o la equivalencia no causan ningún problema al "hombre honesto", no ocurre lo mismo con la im-plicación. El autor de Alicia en el país de las maravillas, que se pasionaba por la lógica, se sumergió en este problema en un tratado de lógica que el redactó (Symbolic Logic, 1896). Al


Lógica matemática

22

mismo modo, en sus Principios de Matemáticas (1980, ed. Blanchard), Louis Couturat nota lo que el llama "las paradojas de la implicación material".

Todas las proposiciones verdaderas son equivalentes. Todas las proposiciones falsas son equivalentes. Cada proposición falsa implica todas las proposiciones (verdaderas o falsas) ; cada proposición verdadera está implicada por todas las proposiciones (falsas o verdaderas). Estas paradojas inevitables (porque son consecuencias necesarias al cálculo, y esto en cualquier sistema de Lógica) se explican por el hecho que la implicación acá considerada es la implica-ción material, y no la implicación formal [...en la cual todo el mundo piensa cuando hablamos de implicación (en la vida corriente)]. La implicación material (P Q) no significa nada más que esto: "O P es falso, o Q es verdadero". Poco importa que las proposiciones P y Q tengan entre ellas una relación lógica o empírica alguna: la implicación es verificada de que P es falso (cualquiera que sea Q) o de que Q es verdadero (cualquiera que sea P. He ahí el por qué lle-gamos a este resultado paradójico, que lo falso implica lo verdadero.

Estas verdades paradójicas sirven entre otras para resolver correctamente algunos pa-ralogismos o algunas paradojas en donde el buen sentido vulgar se pondría en un aprieto. Tal es por ejemplo el problema de Lewis Caroll : [Supongamos que] "Q implica R; pero [también que] P implica que Q implique no-R; Qué hay que deducir? [...] Lewis Caroll [adoptando el punto de vista del sentido común] razona por lo tanto: si Q implica R, es imposible que Q implique no-R; entonces P implica lo imposible, y por consiguiente es falso.

1 – Utilizando el método de las tablas de verdad, demuestre que la conclusión, y en-tonces el razonamiento, de Lewis Caroll son erróneos.

2 – Cuál es el "eslabón" de la demonstración de Caroll que causa problemas?. Por qué? 3 – Finalmente, qué conclusión podemos dar de las dos hipótesis iniciales?

4. Los cuantificadores

1- El cuantificador universal:

x A se lee « sea cualquier elemento x de A » o « para todo x que pertenece a A ». Observación: La notación es una A invertida. A es la inicial del alemán Alle.

2- El cuantificador existencial :

x A se lee « existe un elemento x de A ». Observación : La notación es una E volteada.. E es la inicial del alemán Existieren. Observación: Decimos que un elemento teniendo una propiedad P en un conjunto E es único si dos de E teniendo la propiedad P son forzosamente iguales, dicho de otro modo:

21 2 1 2 1 2(x ,x ) E (P(x ) P(x )) x x

El hecho que sea único no implica la existencia : cuando hay unicidad, ya sea existe un único elemento teniendo la propiedad P, ya sea no lo hay. El hecho que haya conjuntamente existencia y unicidad del elemento x teniendo la propiedad P se simboliza por: ! xE, P(x).

3- Orden de los cuantificadores: a- Se pueden permutar dos cuantificadores de la misma naturaleza


Lógica matemática

23

b- No se pueden permutar dos cuantificadores de diferente naturaleza

4- Negación de fórmula con cuantificadores La negación de ( x A, P(x)) es ( x A,P(x)). La negación de ( x A, P(x)) es ( x A,P(x)). Ejemplo: Traducir en lenguaje matemático, con cuantificadores, el hecho que una función f de es creciente. Luego, negar esta proposición. Respuesta: El hecho que f sea creciente se traduce de la siguiente manera:

x, y ², x y f (x) f (y) La negación de esta propiedad se escribe:

x, y ², x y f (x) f (y) Recordamos que hemos visto que: (P Q) P Q. 5. Tautología y contradicción Una tautología es una proposición que, sea lo que sean los valores de verdad de estos « átomos » es verdadera. Una contradicción es una proposición que, sea lo que sean los valores de verdad de estos « átomos » es falsa. Una proposición es satisfactoria si existen valores de verdad de esos « átomos » que la vuelven verdadera. Ejemplos : P Q P Q es una tautología. P P es una contradicción P Q P es una proposición satisfactoria.


Lógica matemática

24

De nuevo al tema de la implicación…

La implicación lógica « P Q » es verdadera si y solamente si P es falso o Q es ver-dadero. Esta noción es la más difícil a dominar, contrariamente a aquello que podemos pensar al primer contacto. Tomemos un ejemplo para demostrar este hecho. Consideremos un circuito eléctrico en serie constituido de un generador de corriente, un interruptor y una lámpara. interruptor

generador

lámpara

El interruptor puede estar abierto o cerrado ; la lámpara puede estar prendida o apagada. Sea P la proposición : la lámpara esta prendida. Sea Q la proposición : el interruptor está cerrado. Cuál es la relación de implicación lógica entre P y Q ? Tenemos P Q ? Q P ?

Tenemos la equivalencia P Q ? Precisamos que no buscamos una relación causal, tal como la concibe un físico. Buscamos una relación lógica que permita hacer una deducción. Hay tres situaciones posibles:

Una sola situación es imposible :

interruptor abierto interruptor cerrado lámpara apagada lámpara prendida

situaciones las más comunes

interruptor cerrado lámpara apagada

situación inhabitual


Lógica matemática

25

interruptor abierto lámpara prendida

La sola implicación lógica es la siguiente: P Q : si la lámpara está prendida, entonces el interruptor está cerrado.

La implicación Q P (si el interruptor está cerrado, entonces la lámpara está prendida) corresponde a una explicación causal del alumbramiento de la lámpara, pero sólo es posible en un mundo ideal y perfecto donde las lámparas no se averían jamás, y no constituye en nada una consecuencia lógica.

Reflexionaremos al hecho que todas las frases que siguen tienen la misma significación : P Q Lámpara prendida interruptor cerrado no Q no P (contrapuesto) Interruptor abierto lámpara apagada si P entonces Q Si la lámpara esta prendida, entonces dedu-

cimos que el interruptor está cerrado. P es suficiente para Q basta P para tener Q

Basta con que la lámpara este prendida para concluir que el interruptor está cerrado.

P solamente si Q La lámpara esta prendida solamente si el in-terruptor está cerrado.

Q es necesario para P Hay que tener Q para tener P

El interruptor tiene que está cerrado para que la lámpara este prendida.

no P o Q La lámpara esta prendida o el interruptor esta cerrado.

Resulta de esto que la implicación es verificada en los tres casos siguientes (corres-

pondiendo a nuestros tres dibujos): P es verdadero y Q es verdadero P es falso y Q es verdadero P es falso y Q es falso

Asi, si P es falso, Q es cualquiera y no hay nada a demostrar. La sola cosa a demostrar es que si P es verdadero entonces Q es verdadero. La implicación es falsa solo en el caso siguiente:

P es verdadero y Q es falso No puede haber implicación ya que la hipótesis esta verificada, pero no la conclusión. La recíproca de la implicación P Q es Q P. Ella puede ser verdadera o falsa, indepen-dientemente del valor de verdad de P Q. En nuestro ejemplo, la recíproca es falsa. Todas las frases que siguen son equivalentes a Q P. Ellas son entonces falsas, el contra-ejemplo está ilustrado en el tercer dibujo :


Lógica matemática

26

Q P Interruptor cerrado lámpara prendida no P no Q (contrapuesto) Lámpara apagada interruptor abierto si Q entonces P Si el interruptor esta cerrado, entonces la

lámpara esta prendida. Q es suficiente para P basta con Q para tener P

Basta con que el interruptor esté cerrado para concluir que la lámpara esta prendida.

Q solamente si P El interruptor esta cerrado solamente si la lámpara esta prendida.

P es necesario para Q Hay que tener P para tener Q

La lámpara tiene que estar prendida para concluir que el interruptor esta cerrado.

no Q o P El interruptor esta abierto, o la lámpara esta prendida.

En fin, decir que P Q y Q P, es decir que P Q.


Lógica matemática

27

Teoremas fundamentales de lógica matemática

Teoremas fundamentales de cálculo de propuestas

(1) AA Principio del tercer excluido (2) )AA( Ley de no contradicción (3) A)A( Ley de la doble negación (4) BA)BA( Leyes de De Morgan (5) BA)BA( Leyes de De Morgan (6) A ABB Regla de contraposición (7) (A BA)B Regla del modus ponens (8) AB)BA( Regla del modus tollens (9) )CA()CB()BA( Regla del modus barbara (10) )CA()BA()CB(A Regla distributiva (11) )CA()BA()CB(A Regla distributiva

Teoremas fundamentales del cálculo de predicados

(1) A(x)x )x(A x Reglas de negación (2) A(x)x )x(A x Reglas de negación (3) A(x)x )x(A x Reglas de negación (4) A(x)x )x(A x Reglas de negación (5) y)A(x,x y y)A(x,y x Reglas de intercambio (6) y)A(x,x y y)A(x,y x Reglas de intercambio (7) y)A(x,x y y)A(x,y x Reglas de intercambio (8) A(x) A(x) x (9) A(x) x A(x)


Lógica matemática

28


Ejercicio 1. Traducir en lenguaje matemático, con los cuantificadores, las siguientes frases, y escribir sus negaciones:

1. todo nombre real inferior a 1 verifica la desigualdad 2x x ; 2. el producto de 2 enteros impares es un entero par ; 3. todo número complejo igual a su conjugada es un número real.

Ejercicio 2. Traducir en lenguaje natural las siguientes aserciones , estudiar su lógica y escribir sus negaciones :

1. x , y , x y ; 2. x , (x 1) (x 4) ; 3. x , 2(x 3) (x 9) ; 4. x , 2(x 9) (x 3) ;

Ejercicio 3. Sean P, Q y R tres aserciones.

1. Mostrar que P (P Q) y P tienen la misma tabla de verdad. 2. Dar la tabla de verdad de P (Q R) y de (P Q) R .


Lógica matemática

29


Ejercicio 1. 1- x , 2(x 1) (x x) Negación : x , 2(x x) (x 1) 2- (p,q) ², k , (2p 1)(2q 1) 2k Negación : (p,q) ², k , (2p 1)(2q 1) 2k 3- z , (z z) (z) Negación : z , (z) (z z) . Ejercicio 2. 1- « Para todo real x, existe un real y que es inferior o igual a x. » Esta aserción es verdadera, para todo real x basta con tomar el real x-1, que

verifica la aserción. La negación es : x , y , x y . 2- « Todo real x es sea igual a -1, sea diferente de 4. »

Esta aserción es evidentemente falsa, el real 4 es un contra-ejemplo para esta aserción.

La negación es: x , (x 1) (x 4) . 3- « Todo real x verifica, si x es igual a 3, entonces x² es igual 9. » Esta aserción es verdadera. Su negación es: x , 2(x 9) (x 3) . 4- « Todo real x del cual su cuadrado es 9 es igual a 3. » Esta aserción es falsa, -3 es un contra-ejemplo. La negación es: x , 2(x 3) (x 9) .

Ejercicio 3. 1- 2-

P Q PQ P (PQ) V V V V V F V V F V V F F F F F

P Q R QR P (Q R) PQ (PQ)R V V V V V V V V V F F F V F V F V F F F F V F F F F F F F V V V F F F F V F F F F F F F V F F F F F F F F F F F


Lógica matemática

30

EJERCICIOS

Ejercicio 1. ¿Los enunciados o las fórmulas siguientes son verdaderas o falsas? (i) La función t e-t es decreciente en . (ii) La función t sen t es creciente. (iii) Cualquier función limitada en admite un límite en ± . (iv) Toda sucesión o secuencia geométrica converge. (v) Una sucesión geométrica converge si su razón r confirma que |r| 1. (vi) Todo real es límite de una sucesión de reales. Ejercicio 2. Se consideran las fórmulas matemáticas siguientes: (i) P1(x) : «todo número real superior a x es positivo». (ii) P2(x) : «x real y ln x 0 ». (iii) P3(x, y) : «la función t cos t es creciente en el intervalo [x, y]» (iv) P4(x, y): «x e y son reales y confirma que x² y x ." ¿Por qué constantes se pueden sustituir a las variables "x" e "y" para obtener enunciados ver-daderos? Ejercicio 3. Con ayuda de las tablas de verdad, poner de manifiesto que: (i) pp es una contradicción. (ii) pqpqp . (iii) p)qp(p . Ejercicio 4. Elaborar las tablas de verdad de )qp( y qp . ¿Qué confirma usted? Ejercicio 5. Escribir la negación de las frases siguientes:

1- Adrian va a la playa o al terreno de tenis. 2- Paul tiene un pantalón rojo y un sombrero azul. 3- Si nieve, entonces voy a esquiar. 4- John es feliz si y solamente si hace ejercicios de lógica.

Ejercicio 6. Sean f y g dos aplicación de en .Traducir en términos de cuantificadores las expresiones siguientes : 1) f esta mayorado. 2) f jamás se anula. 3) f no es una función nula.

4) f es par. 5) f es inferior a g. 6) f no es inferior a g.

Ejercicio 7. Dar las interpretaciones de las propiedades P, Q y R (por ejemplo P = Verdad; Q = Falso; R = Falso) que hacen falsas las fórmulas siguientes :

1- R P Q (R P)

2- Q (R P) R P


Lógica matemática

31

Ejercicio 8. Precisar, utilizando el método de las tablas de verdad, si las fórmulas siguientes son tautologías, contradicciones, o de proposiciones simplemente satisfactorias. Buscaremos a limitar al máximo los cálculos. 1- (P Q) ( P Q) 2- P (P Q) 3- P (P Q) 4- (P Q) (Q P) 5- (P Q) (Q R) (P R) Ejercicio 9. Precisar, utilizando el método de tablas de verdad, cuáles son las expresiones, entre las siguientes fórmulas, que son de tautologías. Buscaremos a limitar al máximo los cálculos. 1- (P Q) P 2- P Q R P Q 3- P (Q R) Q P R Ejercicio 10. El conector NAND (y negado) está definido por : pNANDq )qp( . Dar su tabla de verdad. ¿Corresponde éste a un conjunto? Qué se puede decir de pNANDp? ¿Es posible definir los 3 operadores principales solamente en función de NAND? El operador NOR (no-o) se define por )qp( . Dar su tabla de verdad. ¿Corresponde éste a un conjunto? ¿Es que se puede definir los 3 operadores principales solamente en función de NOR? Observación : El conector NAND es también notado . Este operador tiene gran importancia en informática y en electrónica, ya que le permite de representar los conjuntos de funciones lógicas necesarias para poner en marcha los circuitos de las computadoras. Ejercicio 11. Traducir en lenguaje matemático, utilizando los cuantificadores existenciales y universales, las siguientes frases: (i) Todo número real positivo inferior a 1 confirma que x2 x. (ii) Para todo x real, existe "n", un entero natural estrictamente superior a x. (iii) Entre dos números reales distintos, se puede encontrar un número racional. Ejercicio 12. Decir que una sucesión (un)n de reales está limitada significa intuitivamente que se puede encontrar un número M tal que todos los elementos de la sucesión le siguen siendo inferiores en valor absoluto. Matemáticamente, eso se escribe : M > 0, n ∈ N, |un| M. Negar la propuesta anterior. Ejercicio 13. Sea x f(x) una función de la variable real x. Intuitivamente, esta función ad-mite un límite real en un punto xo de Df si cuando x se aproxima lo más cerca posible de x0

(pero sin alcanzarlo), f(x) se aproxima a y se puede hacer f(x) tan cercano como se quiera a

con la única condición de hacer x cercano de x0. Si además = f(xo), se dice que f es continuo en x0. Matemáticamente, la continuidad en x0 se traduce por:

0, 0 , x Df, | x-xo|< |f(x)-f(xo)| < Negar esta propuesta lo que significará que f es discontinuo en x0.


Lógica matemática

32

Ejercicio 14. Decir que una sucesión (un)n admite un límite real significa matemáticamente:

00, N , n , n>N0 |un-l| < Negar esta propuesta. Ejercicio 15. Sea x f(x) una función de la variable real x. Se dice que f es una función cre-ciente en Df si para todo x y x’ pertenecientes a Df, si x > x’ entonces f(x) f(x’). Escribir matemáticamente que f es una función creciente. Negar esta propuesta. Ejercicio 16. Una aplicación f de E en F se dice sobreyectiva si todo elemento de F es la imagen por f de al menos de un elemento de E. Escribir matemáticamente que la aplicación f es una sobreyección. Negar esta propuesta. Ejercicio 17. Traducir al español: (i) x ∈ , y ∈ tal que x y. (ii) x ∈ , y ∈ , z ∈ tal que xy=z. (iii) n ∈ tal que x ∈ |x| n. (iv) x ∈ +, y ∈+ tal que z ∈ , xy> z. Ejercicio 18. Sea f una función de en . Escribir las negaciones de las proposiciones si-guientes:

1- Para todo x>2, f(x)<1. 2- Existe x real positivo tal que f(x)<0. 3- Si x es elemento de [3, 4], entonces f(x)<4x².

Ejercicio 19. Decir si las afirmaciones siguientes son verdaderas y escribir sus negaciones. a- x , y , x+y>0 b- x , y , x+y>0 c- x , y , x+y>0 d- x , y , x+y>0


Lógica matemática

33

Los dos anexos que siguen a continuación están destinados a los es-tudiantes que se interesen a los fundamentos de las matemáticas.

Anexo 1 : Conjuntos denominados y no denominados

1- Podríamos pensar que sólo hay dos tipos de conjuntos, los conjuntos finitos y los conjuntos infinitos, estos últimos tienen todas las mismas naturalezas. Esta visión fue puesta en en error por Georg Cantor (1845 -1918). Sus trabajos fueron la base de la Teoría de conjuntos en el siglo XX. El define varios tipos de infinitos.

Un conjunto infinito esta en bijección con una de sus partes estrictas. Por ejemplo, esta en bijección con *, mediante la bijección siguiente: *, n n+l.

Ya sean varios conjuntos infinitos, por ejemplo , , ,y . Están ellos en bijección los unos con los otros ? Demostraremos que , y están efectivamente en bijección, pero no es el caso de . Los primeros son dichos denominados.

Galileo se da cuenta que los términos "tanto de elementos", "menos de elementos" o "más de elementos" no pueden aplicarse sin paradoja a los conjuntos infinitos. El término bi-jección no existía aún, pero Galileo puso en evidencia una bijección entre y una parte estricta de : 1 2 3 4 .. . n ... 1 4 9 16 ... n2 ...

2- Dos conjuntos en bijección son llamados equipotentes. Si ellos son finitos, esto sig-nifica que ellos tienen el mismo número de elementos. Sea E un conjunto cualquiera, y P(E) el conjunto de sus partes. Entonces E y P(E) no son equipotentnes. Esto es evidente si E es finito, con n elementos, ya que entonces P(E) posee 2n elementos, y para todo n, 2n> n. Pero esta propiedad queda verdadera si E es finito. Queda por demostrar que no puede existir bijección f entre E y P(E). Razonemos por lo absurdo y supongamos la existencia de tal bijección f : f : EP(E), x f(x)

Para todo elemento x de E, f asocia f(x), elemento de P(E), dicho de otro modo, f(x) es una parte de E. Consideremos ahora la parte A de E definida de la manera siguiente : A = {xE / xf(x)}

Por definición de A, tenemos la equivalencia: x A x f(x). Ya que f es una bi-jección de E sobre P(E), y siendo A una parte de E es un elemento de P(E), A posee un ante-cedente único por f, a. Tenemos entonces f(a) = A. Nos planteamos entonces la pregunta si-guiente : Tenemos af(a) ? Como af(a) aA porque f(a) = A af(a) por definición de la pertenencia hacia A

Asi, la proposición af(a) es equivalente a su negación. La contradicción puede ser eliminada rechazando la hipótesis de la existencia de f.

Esta demostración asegura la existencia de conjuntos no denominados, lo que quiere decir que no están en bijección con , por ejemplo P(). Recalcamos incluso una jerarquía infinita de espacios , P(), P(P()), …


Lógica matemática

34

3- es el conjunto infinito más pequeño. Si E es un conjunto cualquiera, entonces ya sea

E es finito, o sino él es denominado (en bijección con ), o sino existe una injeccion de en E pero no una bijección (ejemplos: E = P() o E = ). Un conjunto denominado, siendo una bijección con , puede escribirse bajo la forma {xn/n} ; la bijección es la aplicación f : E, n xn. Un conjunto denominado se reconoce a aquello que podemos enumerar sus elementos.

Toda parte de un conjunto denominado es finita o denominada, toda imagen de un conjunto denominado es finita o denominada.

La reunión de dos conjuntos denominados es denominada. Asi es denominada. He aquí un bijección entre y :

f : , n n2

si n es par y - n 12 si n es impar.

El producto de dos conjuntos denominados es denominado. Asi 2 es denominado.

Basta con enumerar sus elementos en el orden siguiente : 1 (0,0) 2 3 (1,0) (0,1) 4 5 6 (2,0) (1,1) (0,2) 7 8 9 10 (3,0) (2,1) (1,2) (0,3) 11 12 13 14 15 (4,0) (3,1) (2,2) (1,3) (0,4) … n(n 1)

2 +1 ... ... n(n 1)

2

(n-1,0) (n-2,1) (n-3,2) ... (0,n-1)

En particular es denominado. En efecto + puede injectarse en 2 mediante una

aplicación de tipo pq

(p,q).

4- no es denominado. Si lo fuera, sería lo mismo de [0,1[. Consideremos entonces una enumeración n n *

x

de [0,1 [, obtenida mediante la bijección f : * [0,1 [, n xn, y con-sideremos el desarrollo decimal de xn. x1 = 0,a11a12a13...a1p...


Lógica matemática

35

x2 = 0,a21a22a23...a2p... ... xn = 0,an1an2an3...anp... … anp es la psima cifra de la descomposición decimal de xn. Es un elemento de {0,1,...,9}. Consi-deremos ahora el elemento y de ]0,1[ definido de la siguiente manera : y = 0,b1b2b3...bp... en donde bp= 0 si app 0 y bp=1 si app=0.

Obtenemos el desarrollo decimal de un real distinto de todos los xn. En efecto, la nsima cifra xn e y son diferentes ( n, bn ann). De otra parte, es evidente que y pertenezca a [0,1[. Esto es contradictorio con el hecho de que f sea bijectiva, ya que entonces, todo elemento de [0,1[ sería de la forma de uno de xn. Esta demostración es conocida con el nombre de díagonalización

de Canton.

Podemos demostrar que es equipotente a P(), y que los tres conjuntos siguientes son equipotentes : P(), P(P()) y C0() conjunto de funciones continuas sobre . 5- Señalemos igualmente una pregunta sorprendente. Podemos encontrar un conjunto E com-prendido entre y , pero que no sea equipotente ni a , ni a ? Tendriíamos solamente injecciones de en E y de E en . Recordemos que ,no responde a la pregunta ya que es una bijección con . Hemos demostrado que era imposible responder a esta pregunta. Esto no significa que no hemos aún encontrado si esta propiedad es verdadera o falsa, sino que no po-demos ni demostrar que ella es verdadera, ni demostrar que ella es falsa.. Se dice que es inde-cidida. Ella no proviene de axiomas de la Teoría de conjuntos, tampoco su negación. Esto sig-nifica igualmente que podemos tomar como axioma la no existencia de un tal conjunto E sin aportar contradicción al edificio de las Matemáticas, o al contrario, de tomar como axioma la no-existencia de E. En este último caso, adoptamos aquello que llamamos la hipótesis de lo continuo. Una u otra opción conduce entonces a dos Teorías matemáticas diferentes.

Estas consideraciones no tienen ninguna importancia para lo que nos concierne, ya que

nunca utilizaremos esta propiedad, ni su negación. 6- Demos una consecuencia curiosa de lo que precede en informáticas. Podemos mostrar que el conjunto de todos los algoritmos posibles es denominado, mientras que el conjunto de funciones de en es equipotente a . Existe entonces funciones de en que no son calculables por ninguna computadora. Ningún algoritmo permite calcularlos. Tales funciones han sido explícitamente definidas.


Lógica matemática

36

Anexo II : Axiomas

Qué es un axioma ? D'Alembert escribe, en su Enciclopedía (1788) :

Axioma : En Matemáticas, llamamos axiomas a las proposiciones evidentes por ellas mismas, y que no tienen necesidad de demostración. Tales son las proposiciones siguientes : el todo es más grande que la parte ; si a dos magnitudes iguales agregamos magnitudes iguales, las adiciones serán iguales ; si dos figuras aplicadas la una sobre la otra se cubren perfectamente, esas dos figuras son iguales en todo.

Teorema: Es una proposición que enuncia y que demuestra una verdad. Nuestra concepción moderna de axiomas no corresponde a nociones evidentes por ellas

mismas o a principios muy claros. Actualmente, apoyamos una Teoría matemática sobre no-ciones primitivas (no definidas) y los axiomas sólo sirven para describir las reglas de utilización de esas nociones primitivas. He aquí ejemplos modernos de axiomas y de nociones de primi-tivas :

i) La noción de conjunto y de pertenencia es una noción primitiva. No buscaremos a definir ni la una ni la otra.

ii) Frege, en 1893, propuso como axioma lo siguiente : siendo un predicado cual-quiera, existe un conjunto A tal que, para todo x, x pertenece a A si y solamente si (x) es verdadero. Russel, en 1902, propone tomar como predicado: (x) xx. De acuerdo a Frege, existe entonces un conjunto A tal que :

x, x A x x Esta equivalencia es verdadera en particular mientras x = A, lo que dona:

A A A A Que es contradictorio. Este ejemplo prueba que no podemos tomar lo que sea como

axioma, particularmente aquello que concierne la construcción de conjuntos. He aquí algunos axiomas actualmente en vigor.

- La reunión de una familia de conjuntos (teniendo como índice un conjunto) es un conjunto.

- La familia constituida de partes de un conjunto es un conjunto. - Existe un conjunto infinito. - El 5to postulado de Euclide : para un punto dado, pasa por allí una paralela a una

recta dada y una sola. - La existencia del límite superior en

Un axioma criticado, el axioma de la opción Consideremos la siguiente proposición : Sea f una aplicación injectiva de E en F. Entonces existe una aplicación surjectiva g de F en E al que g f = Id. Demostración: Sea a un elemento cualquiera de E. Tomamos : i) si y pertenece a f(E), g(y) = x en donde x es el único elemento tal que y=f (x). ii) si y no pertenece a f(E), tomamos g(y) = a. Entonces g surjectiva y g f = Id.


Lógica matemática

37

Consideremos ahora la siguiente proposición : Sea f una aplicación surjectiva de E en F. Entonces, existe una aplicación injectiva g de F en E tal que f g = Id. Demostración Para todo y de F, f-1({ y}) no vacío. Sea g(y) un elemento de esta parte. Entonces g es injectiva y f g=Id.

Hay una diferencia fundamental entre estas dos demostraciones. La primera sólo llama a la opción arbitraria de un único elemento a, mientras que el segundo llama a la opción simul-tánea y arbitraria de un número cualquiera y eventualmente infinito de elementos g(y). La posibilidad de tal opción a sido vivamente contestada al comienzo de este siglo y necesita un axioma : el axioma de la opción . Este último esta igualmente ligado a la cuestión de dar un conjunto de un « buen orden » ; un conjunto es dicho ordenado si toda parte no vacía admite al elemento más pequeño. Un ejemplo típico de conjunto bien ordenado es . Por el contrario, no está bien ordenado con el orden usual. Cantor pensaba que todo conjunto podía proveerse de un buen orden, y la necesidad de una demostración se impuso. Nos preguntamos, en efecto, cómo dotar por ejemplo de un buen orden. Al principio del siglo, un matemático piensa haber demostrado la imposibilidad de dotar de un buen orden.. Pero Zermelo prueba lo contrario utilizando por primera vez aquello que se convertiría en el axioma de la opción :

Sea i i I

A

una familia de conjuntos no vacíos, con índice un conjunto I cualquiera y sea A la reunión des Ai. Existe entonces una aplicación f de I en A tal que :

ii I, f(i) A

La función f permite de elegir un elemento con notación f(i) en cada Ai. Otras formu-laciones equivalentes son posibles. Por ejemplo, el producto i

i I

A

no esta vacío.

Mostramos que este axioma permite dotar de un buen orden, sin que podemos ex-

plicarlo, y esto choca a un gran número de matemáticos que la rechazan.. Sin embargo, otros teoremas, en que los enunciados parecen ser verdaderos a la comunidad matemática, necesitan el axioma de la opción. E aquí algunos :

- Sea E y F dos conjuntos. Entonces ya sea existe una injección de E en F o sino existe una injección de F en E (Teorema de Cantor, equivalente al axioma de la opción)

- Sea E un espacio vectorial. Existe entonces una base en E. - Todo conjunto inductivo admite un elemento máximo. (Un conjunto es inductivo si

toda parte totalmente ordenada es mayorada). (Teorema de Zorn, equivalente al axioma de la opción).

Sin embargo, algunos resultados son probados por medio de la axioma de la opción y fuertemente contrarios a la intuición :

- Lebesgue desarrollo una Teoría de la integración muy poderosa. Todas las funciones usuales son comparadas al sentido de Lebesgue. Los solos ejemplos no comparados que han sido descubiertos necesitan el axioma de la opción.


Lógica matemática

38

- La esfera unidad puede ser descompuesta en cuatro partes isométricas A,B,C,D siendo D igualmente isométrica a A B. (D es entonces al mismo tiempo el cuarto y el tercio dde la esfera). (Teorema de Hausdorf, extremadamente chocante).

- En el mismo orden de idea, dos conjuntos limitados cualquiera de 3 de interior no vacío pueden ser separados en dos familias finitas respectivas (Ai) y (Bi) de manera que Ai sea isométrico a Bi. (Teorema de Banach-Tarski).

- Existen funciones de sobre tal que f(x+y) = f(x)+f(y), siendo f diferente de las funciones linearias x ax. Sin embargo ninguna de esas funciones no puede ser explícita Entonces, a favor o en contra del axioma de la opción ?


La demostración en matemáticas

39

Capítulo 3

LA DEMOSTRACIÓN EN MATEMÁTICAS Un poco de vocabulario Recordemos que llamamos conjetura, toda aserción (proposición) que consideramos como verdadera pero que no sabemos demostrar en el estado actual del conocimiento. Del latín cum = con, conjunto y jacere = tirar : emitir, avanzar ideas formando una totalidad. No lo tenemos que confundir con conjetura proveniente de jungere = unir : conjunción de diversos acontecimientos que llevan a una situación presente. Pero nos podemos perder en conjeturas relativas a la conjetura… Si un conjetura es demostrada, se convierte en un teorema, del griego theôrein = exa-

minar y theôrêma = objeto de contemplación, objeto de estudio y, por extensión : proposición de la que podemos aportar su demostración. Por proposición, entendemos a menudo un teorema de menor importancia. Enfin, un lemma (del griego lêmma = argumento, y tambien lo que

cogemos ) es un resultado (teorema) preliminar que facilita la demostración de un teorema difícil de establecer. 1. La teoría matemática Enfoque hipotético-deductivo. 2. Los principales métodos de demostración

a) Razonamiento directo (o por hipótesis auxiliar o por deducción) : Utiliza la regla de Modus-Ponens, o silogismo :

Si H es verdadero y (HC) es verdadero, entonces C es verdadero. Se trata del método mas utilizado. Ha sido popularizado por:

Todo hombre es mortal, como Sócrates es un hombre, entonces Sócrates es mortal. Observación : Un sofisme es un razonamiento falso teniendo una apariencia de verdad. Ejemplo clásico: Todos los gatos son mortales, como Sócrates es un mortal, entonces Sócrates es un gato. b) Razonamiente por contrapuesto Utiliza la regla del modus-tollens : ABBA Ejemplos: Demostrar que siendo n un entero dado, si n² es impar, entonces n es impar. Demostrar que siendo n un entero dado, si n² es par, entonces n es par.



40

c) Razonamiento por lo absurdo Para demostrar que una proposición es verdadera, se supone su contrario verdadero y se demuestra que esto viene a contradecir una proposición verdadera. Ejemplo: demostrar que:

- La suma de un racional y de un irracional es un irracional. - 2 es un irracional.

d) Razonamiento por recurrencia Para probar que P(n) es verdadero para todo entero n superior a n0, basta con establecer : 1- P(n0) verdadero (decimos que la propiedad esta fundada) 2- Sea i un entero natural superior a n0. P(i) verdadero implica P(i+1) verdadero (de-cimos que la propiedad es hereditaria) La recurrencia así presentada es la recurrencia simple. Veremos en la continuación del curso la recurrencia fuerte donde razonaremos sobre varios rangos. En este caso, modificaremos la fundación y la herencia. Por ejemplo, para una recurrencia doble, el razonamiento es el siguiente : Mostramos las propiedades : 1- P(n0) y P(n0+1) verdaderas 2- Sea i un entero natural superior a n0. P(i) y P(i+1) verdaderas implica P(i+2) verda-dero Deducimos que P(n) es verdadero para todo entero superior a n0. Ver en los ejercicios un ejemplo de la recurrencia fuerte. Ejemplo: Demostrar por recurrencia que para todo entero natural n 4, tenemos:

1 3 + 2 3 + … + n 3 = (1 + 2 + … + n) 2 Respuesta: Sea n 4 . Anotemos P n la propiedad 1 3 + 2 3 + … + n 3 = (1 + 2 + … + n) 2. Inicialización : Para n=4, tenemos a 1 3 + 2 3 + … + n 3 =1 8 27 64 100 Por otro lado, (1 + 2 + … + n) 2 = 1 2 3 4 ² 10² 100

Por lo cual P 4 verdad. La propiedad es válida. Herencia: Es un número natural n0 4. Supongamos que P (n0) verdad y demostrar que P (n0 +1) es verdadera entonces. Tenemos:

3 2 33 3 3

0 0 0 01 2 ... n n 1 1 2 ... n n 1

Como sabemos que 0n0 0

0k 1

n n 1k 1 2 ... n

2

Tenemos entonces:



41

2 23 3 30 0 0 03 3 3

0 0 0 0

2 20 0 00 0 0

222 0 0 0

0

20 0

n n 1 n ² n 11 2 ... n n 1 n 1 n 1

2 4

n ² n ² 4n 4n 1 n 1 n 14 4

n 2 n 1 n 2n 1

4 2

1 2 ... n n 1

Por lo cual 0P n 1 verdad. La propiedad es hereditaria. Concluimos por recurrencia que para todo entero natural n 4, tenemos:

1 3 + 2 3 + … + n 3 = (1 + 2 + … + n ) 2. e) Razonamiento del contra-ejemplo Para mostrar que la propiedad x P(x) es falsa, basta con dar un ejemplo en donde P(x) es falsa. f) Razonamiento del análisis de síntesis Ejemplo : Mostrar que toda función definida sobre es la suma de una función par y de una función impar. Análisis : Suponemos el problema resuelto. Entonces existe una función p par y una función i impar tales que: x , f(x) = p(x) + i(x), entonces x , f(−x) = p(−x) + i(−x) = p(x) − i(x).

Entonces obtenemos necesariamente : p(x) = f(x) + f(-x)2

et i(x) = f(x) - f(-x)2

.

Síntesis: Verificamos que los resultados obtenidos son convenientes. Si proponemos :

x , p(x) = f(x) + f(-x)2

y i(x) = f(x) - f(-x)2

entonces i y p poseen la propiedades adecuadas. 3. Condición necesaria, suficiente, necesaria y suficiente

a) Condición necesaria (CN), suficiente (CS) Sean P y Q dos propuestas tales que la implicación P Q sea verdadera. P es una condición suficiente de Q. Q es una condición necesaria de P. b) Condición necesaria y suficiente (CNS) Sean P y Q dos propuestas. Decir que P es una condición necesaria y suficiente de Q significa que tenemos que P Q y Q P; entonces tenemos que PQ.


http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis

http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADntesis

http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADntesis


42

Observación: Las nociones definidas en este párrafo son con frecuencia una fuente de confu-sión. Esta confusión es debida, entre otras, a un mal empleo de la expresión « hay que» en lenguaje natural. De hecho, muy frecuente, utilizamos la expresión « hay que» en lugar de la expresión « basta con». Por ejemplo : para cenar esta noche, hay que hacer las compras alimentarias. Siendo la buena expresión: para cenar esta noche, basta con hacer las compras alimentarias. Podemos muy bien cenar sin tener que hacer las compras, por ejemplo, yendo a un restaurante… El contexto en la vida corriente permite quitar este error. En matemáticas, no será tal el caso. Hay que, en un razonamiento, de una redacción, se refiere a la expresión utilizada (« Hay que» o « Basta con») sino existirá una confusión entre hipótesis y conclusión… Espero que con esta advertencia basta…



43


Ejercicio 1. Mostrar encontrando un contra-ejemplo que las aserciones siguientes son falsas:

1. Si un entero n es divisible por 2, es divisible por 4. 2. Todos los polinomios de grado 2 tienen dos raíces reales.



44


Ejercicio 1. 1- 6 es un contra-ejemplo. 2- X²+1 es un contra-ejemplo.



45

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Mostrar, utilizando un raciocinio por lo absurdo, la propiedad: No existen reales a, b, c tales que : x , ex=ax²+bx+c Ejercicio 2. Sean ‘x’ y ‘y’ dos reales positivos. Mostrar que: sí x y, entonces x y y x . Ejercicio 3. Mostrar el teorema: si x es un número real y >0, |x| < entonces x=0. Ejercicio 4. Poner de manifiesto que la aplicación f de hacia definida por: x 3x - 1 es inyectiva. Ejercicio 5. Poner de manifiesto que 3 es un número irracional. Ejercicio 6. Poner de manifiesto que para toda n 1, 2n n. Ejercicio 7. Consideramos un número real x tal que x 1 .

Demostrar por recurrencia que : n , n1 x 1 nx (inigualada de Bernoulli)

Ejercicio 8. Poner de manifiesto que para toda n 2:

1+3+5+….+(2n-1)=n² 2+4+6+...+2n=n2+n

Ejercicio 9. Sean n, m dos enteros naturales, m 0. Se llama división euclidiana de n por m a toda pareja (q, r) de enteros naturales tales que n = mq + r, con r∈{0,1,...,m-1}. (i) Sea P(n) la propiedad que para todo m 1 existen (q, r) enteros naturales tales que n=mq + r, con r∈{0,1,... , m-1}. Poner de manifiesto que P(n) para todo n ∈ I. (ii) Poner de manifiesto que la pareja (p, q) es única. Ejercicio 10. Criticar el razonamiento siguiente : Demostremos que n puntos distintos dados del plano están siempre alineados sobre la misma recta. Esto es verdadero para n = 1, y lo mismo para n = 2. Supongamos que n puntos distintos dados del plan son siempre alineados sobre la misma recta (hipótesis de recurrencia) y consideremos n + 1 puntos del plan A1, A2,…, An, An+1. De acuerdo a la hipótesis de recurrencia, los n puntos A1, A2,…, An están alineados sobre una recta D y los n puntos A2,…, An, An+1 están alineados sobre una recta D’ ; pero como los puntos A2 y A3 son comunes a D y D’, D = D’ y los n + 1 puntos A1, A2,…, An, An+1 están alineados sobre D = D’, lo que termina la recurrencia. Ejercicio 11. Sea (Pn)n la familia de polinomios definida por :



46

P0=1, P1=X, n *, Pn+1=XPn-nPn-1 Demostrar que: para toda n 1, Pn’= nPn-1. Ejercicio 12. La condición de continuidad de una función f en x0 es una condición necesaria, una condición suficiente o las dos, para que f se pueda derivar en x0 ?

Ejercicio 13. Sea (un) una sucesión o secuencia real. Para todo n 0, tenemos Sn=n

ii 0

u

.

Poner de manifiesto que una condición necesaria para que la sucesión (Sn) admita un límite que es lim un=0. ¿Es una condición suficiente?



47

Algunos ejercicios corregidos Ejercicio 14. Poner de manifiesto que si una función "f" admite un límite cuando x tiende hacia x0, este límite es único. Corrección : Comencemos por dar la definición de un límite:

f 00 x D x x f x Razonamos por el absurdo. Para ello, suponemos que existe diferente de tal que f tiende también hacia en 0x . Por definición, tenemos entonces:

f 00 x D x x f x Sea entonces cualquiera. Escojamos et como precedentemente, y anotemos min .

Tenemos, de acuerdo con la desigualdad triangular: f x f x

Pero escogiendo x tal que 0x x , obtenemos:

2

Venenos de demostrar que : 0 Pero , de acuerdo a un ejercicio del capítulo anterior, hemos visto que aquello implica que

0 sea Esto contradice nuestra hipótesis, de donde entonces tenemos el resultado. Ejercicio 15 Sean (un) y (vn) dos sucesiones reales. ¿La convergencia de cada una de estas sucesiones es una condición necesaria (suficiente o las dos) para que la sucesión (wn) definida por wn=un+vn sea también convergente? Corrección : 1- Es una CS : (un)n y (vn)n convergen (wn)n converge En efecto, supongamos que (un)n y (vn)n convergen hacia respectivamente u vl et l entonces:

u v0, N , N u n u v n vn N u l et n N v l

Sea entonces 0 y anotemos u vN max N , N .

Entonces n u v n n u v n u n v n u n vw l l u v l l u l v l u l v l

Entonces, (wn)n converge hacia u vl l . 2- Por el contrario, no es una CN : n n n n n n(w ) converge (u ) et (v ) convergent .

Consideremos por ejemplo n nu v sin(n) . Resulta que (un)n y (vn)n no convergen. Por el contrario, (wn)n (que es la sucesión nula) converge evidentemente hacia 0. En particular, no es una CNS.



48


Funciones, aplicaciones, biyecciones

49

Capítulo 4

FUNCIONES - APLICACIONES - BIYECCIONES 0. Presentación

El concepto de relación es la base de toda la matemática donde el objetivo es el de es-

tudiar - por observación & deducción (razonamiento), cálculo & comparación - de configura-

ciones abstractas o concretas de sus objetos (números, formas, sombras, estructuras) buscando

a establecer vínculos lógicos, numéricos o conceptuales entre estos objetos.

Consideremos dos conjuntos no vacíos E y F. Si a algunos elementos de E podemos

asociar por una regla precisa denominada R (no ambigua) un elemento y de F, definimos en-

tonces una relación de E hacia F llamada binaria porque hace intervenir dos elementos. Escri-

bimos : R : E F et x R y

Cuando E = F, Hablamos de relación binaria en E.

Si x R y, Decimos que y es una imagen de x por la relación R y que x es un anteceden-

te de y por esta misma relación

El conjunto de las parejas (x,y) tal que x R y sea una aserción verdadera se denomina

gráfico de la relación R. Es una parte del producto cartesiano E x F. Podemos repre-

sentar estas parejas en un referencial (O,Ox,Oy) : Hablamos entonces de representa-

ción gráfica de la relación R.

Cuando esto se puede realizar, la relación R', de F hacia E, definida por xR'y es solo y

solamente si yRx, es dicha recíproca de R. La notamos a menudo R-1 por analogía con

la noción elementaria de potencia.

El conjunto D de elementos de E que tienen al menos una imagen por R se denomina

conjunto de definición de R.

Cuando cada elemento de E tiene como mucho una

imagen (ninguna o una sola), decimos que R es una

función.

Cuando una relación R es una función, notamos

y=R(x), más que xRy, la única imagen de x por R si esta

imagen existe. Esta notación funcional se debe a Leibniz (Alemán,

1646-1716).


../../../../Webs/IREM_UNIV-MRS/chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Leibniz.html


50

1. Funciones, aplicaciones

a) Función Sean A y B dos conjuntos. Llamamos función de A hacia B todo modo de correspon-dencia para el que a todo elemento de A asocia como máximo un elemento de B. Noción de imagen y antecedente. El conjunto de elementos de A que tienen una imagen por la aplicación de la función f constituye el conjunto de definición de f (a veces escrito como Df). Sea D un parte de A. El conjunto de las imágenes de los elementos de D por aplicación de la función f se escribe f(D).

f(D)={yB / xD, y=f(x)} f(D) es la imagen (directa) de D por f. Sea E una parte de B. El conjunto de los antecedentes de los elementos de E por la función f es notado f -1(E).

f -1(E)={xA / yE, y=f(x)} f -1(E) es la imagen recíproca de E por f. Precaución: Para toda función f de A hacia B, podemos definir f -1(E) para E subconjunto de B, sin importar que f sea biyectiva o no. No hemos utilizado f -1, en la definición de f -1(E)… Noción de restricción y de prolongación.

b) Aplicación Sean A y B dos conjuntos. Llamamos aplicación de A hacia B a una función de A hacia B que a todo elemento de A asocia un (único) elemento de B. Una aplicación de A hacia B es pues una función de A hacia B cuyo dominio de defi-nición es A. 2. Composición de funciones

1- Sean A, B, C tres conjuntos. Sea f una función de A hacia B y g una función de B hacia C. Se define la función h=g f de A hacia C por:

h(x)=(g f)(x)=g[f(x)]

2- La composición es asociativa y no conmutativa.

3- Conjunto de definición de una función compuesta. 3. Inyección, Suprayección, Biyección Sea f una aplicación de A hacia B.

1- Inyección f es inyectiva de A hacia B cuando todo elemento de B admite como mucho un antecedente



51

en A por f. Matemáticamente, ésta se traduce por :

21 2 1 2 1 2x ,x A , f(x ) f (x ) x x

Caso particular : Una aplicación de valores reales estrictamente monótona es injectiva.

2- Suryección f es suryectiva de A hacia B cuando todo elemento de B admite al menos un antecedente en A por f. Matemáticamente, ésta se traduce mediante una de las propiedades equivalentes :

1- y B, x A, y=f(x) 2- f(A)=B

3- Biyección f es biyectiva de A hacia B cuando es a la vez inyectiva y suryectiva. Esto significa que todo elemento de B admite un único antecedente en A por f. Matemáticamente, se traduce por :

y B, !x A, y=f(x)

4- Biyección recíproca Sea f una bijección de A hacia B. Existe entonces una bijección recíproca de B hacia A nota-da f -1. Observación : la notación f -1 ha sido escogida por analogía con el inverso de los reales.

Atención a no confundir bijección recíproca f -1 (mientras ella existe) y función inversa 1f

(mientras ella existe). De las notaciones anteriores, tenemos :

-1Af f Id et -1

Bf f Id lo que quiere decir:

-1x A, f (f (x)) x et -1x B, f (f (x)) x Atención: en las fórmulas precedentes, x representa una vez un elemento de B, una vez un elemento de A… Ejemplos :

1- Con la función ln bijección de *+ en 2- Con la función f : + definida por f(x)=x².

Observación general sobre las definiciones de este capítulo : Desde el momento en que empleamos las nociones de funciones, aplicaciones, inyecciones, …., es indispensable precisar los conjuntos de partida y de llegada. Ejemplo: Sea f definida por f(x)=x². Tomar como conjunto de partida y de llegada , +, -

…



52

Ejemplos de representaciones gráficas, con funciones de en , de nociones de inyec-ción, suryección y de bijección: 1- Con la función x x²

a- de [-3,3] en [0,9], f es una suryección no inyectiva. b- de [-3,3] en , f no es ni suryección ni inyección. c- de [0,3] en , f es una inyección no suryectiva. d- de [0,3] en [0,9], f es una biyección.

2- Con la función definida por : x² 6x 1 si x<25x²+5 si x 2

a- de [-1,3] en [-4,50], f es una inyección no suryectiva. b- de [-1,3] en [-4,17[ [25,50], f es una biyección



53

Ejemplos de representaciones gráficas, con funciones diagramas de Venn, nociones de inyección, suryección y biyección: 1- f : AB, con A={a,b,c} y B={1,2,3,4}

f es inyectiva no suryectiva de A hacia B 2- f : AB, con A={a,b,c,d} y B={1,2,3}

f es suryectiva no inyectiva de A hacia B.

a

b

c

d

1 2

3

a

b

c

1 2

3

4



54

3- f : AB, con A={a,b,c,d} y B={1,2,3,4}

f es biyectiva de A hacia B. Propiedad: 1- Sea f una biyección de A en B. Entonces f-1 es una biyección de B en A.

1- Sean f una biyección de A en B y g una biyección de B en C. Entonces g f es una función biyectiva de A en C y (g f)-1=f -1 g-1.

Caso particular de funciones reales:

a- Representación gráfica de una función biyectiva y de su recíproca Sea f una función de en tal que f sea biyectiva de Df sobre su imagen. Estando el plano transportado a un plano ortonormal, las curbas representativas de f y de f-1 son simétri-cas con respecto a la recta de la ecuación y=x (primera bisectriz). Prueba : Sea R = O, i, j un espacio ortonormal y f una biyección de I hacia J. Llamamos

Cf el gráfico de f en este espacio y 1fC el gráfico de f -1 en este mismo espacio.

Sea M de coordenadas (x,y). Su simétrica con respecto a la primera bisectriz es el punto N de coordenadas (y,x). Tenemos los siguientes equivalentes :

MCf xI, yJ, y=f(x) yJ, xI, x=f -1(y)N 1fC

Solo queda demostrar que la primera bisectriz (D) es la mediatriz de [M, N] (si M no es un punto de D, entonces, el resultado ya está estabecido). Esto se hace en 2 puntos:

a- Mostramos que el medio de I de [M, N] pertenece a D:

Las coordenadas de I son Ix yx

2

e Iy xy

2

. Tenemos: : xI=yI. Así, I pertenece a D.

b- Mostramos que la recta (MN) es perpendicular a D.

a

b

c

d

1 2

3

4



55

El vector u de coordenadas (1,1) es un vector director de D. Como M no es un punto de D, obtenemos M independiente de N. Así, el vector MN de coor-denadas (y-x,x-y) es un vector director de la recta (MN). Calculemos el producto escalar : u . MN .

u . MN =1.(y-x) + 1.(x-y)=0 Entonces, los vectores u y MN son ortogonales: las rectas D y (MN) son perpendiculares. Así demostramos que la primera bisectriz es la mediatriz de [M,N]. Deducimos que los gráficos Cf y 1f

C son simétricos con respecto a la primera bisectriz. Ejemplo:

b- Teorema : Sea f una función de en estrictamente monótona sobre su conjunto de definición Df. Entonces, f es una inyección sobre Df.

y=x

y=f(x) y=f -1(x)



56


Ejercicio 1. 1- Decir si las siguientes funciones de en son aplicaciones, de lo contrario, definir la aplicación naturalmente inducida, precisar entonces si ésta es inyectiva, suryectiva o biyectiva

ln x 1 si x 11x , x cos(x), x tan ²(x) 1, xx 1 si x 1

2- Dar para cada uno de los casos que preceden, un conjunto I tal que f restringida a I sea inyectiva.

3- Dar para cada uno de los casos que preceden, un conjunto J tal que f sea suryectiva de su dominio de definición hacia J. Ejercicio 2. Sean E, F y G tres conjuntos. Consideremos dos aplicaciones f : E F y g :F G . Demostrar que si f y g son inyectivas (respectivamente suryectivas, respectiva-mente biyectivas) entonces g f es inyectiva (respectivamente suryectivas, respectivamente biyectivas). Ejercicio 3. Consideramos aplicaciones definidas de hacia . Demostrar las siguientes proposiciones o dar un contra-ejemplo.

1. La suma de dos aplicaciones inyectivas es inyectiva. 2. El producto de dos aplicaciones inyectivas es inyectivo. 3. La suma de dos aplicaciones suryectivas es suryectiva. 4. El producto de dos aplicaciones suryectivas es suryectivo. 5. Si f es biyectiva y n es un entero, entonces nf es biyectiva.

Ejercicio 4. Determinar los conjuntos más grandes A y B de tales que la función f definida

por x

x

e 2f (x)e 1

constituya una biyección de A hacia B y determinar su biyección recíproca.



57


Ejercicio 1. 1- a- f no es una aplicación, debemos restringirla a *, en ese caso, es inyectiva pero no suryectiva. b- f es una aplicación, no es ni inyectiva ni suryectiva.

c- f no es una aplicación, fk Z

D k ; k2 2

, no es ni inyectiva ni suryec-

tiva. d- f es una aplicación, no es inyectiva ni suryectiva. 2 y 3- Cuidado, hay varias respuestas posibles. a- J=* b- I 0; , J 1;1

c- k Z

I k ; k2

, J 1;

d- I 1;e 1 e 1; Ejercicio 3. Todas estas afirmaciones son falsas (encontrar contra-ejemplos). Sin embargo, la afirmación 5 es falsa enunciada tal cual, pero es verdadera si n es impar (ver ejercicio 2). Ejercicio 4. Estudiamos f (derivada, tabla de variaciones) y obtenemos: A=* y

B ; 2 1; . Para 1 2 yy B, f (y) lny 1

.



58

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Trazar el gráfico de una función:

a- ni ni inyectiva ni suryectiva b- inyectiva y no suryectiva c- suryectiva y no biyectiva d- inyectiva y suryectiva

Ejercicio 2. Para cada una de las siguientes aplicaciones, indicar si son inyectivas, sobreyecti-vas ó biyectivas:

1f n n 1

, 2fn n 1

, 3 4 2f

x x 3x 5

4

[ 1,1]f

x cos(x)

, 5

[0, ] [ 1,1]f

x cos(x)

, 6fz | z |

Ejercicio 3. Sean f una función de I en J y g una función de J en K (I, J y K son de partes de ).

1- Mostrar que si f y g son crecientes, entonces g f es creciente. 2- Mostrar que si f y g son decrecientes, entonces g f es creciente. 3- Mostrar que si f es decreciente y g creciente, entoces g f es decreciente. 4- Mostrar que si f es creciente y g decreciente, entonces g f es decreciente.

Ejercicio 4. Sea una aplicación f : E F y sean A y B dos subconjuntos de E. Mostrar que f A B f A f B y que tenemos la igualdad si f es inyectiva. Ejercicio 5. Sean E y F dos conjuntos y "f" una aplicación de E en F. Sean A y B dos subcon-juntos de E. (i) Poner de manifiesto que f(A B)=f(A) f(B). (ii) ¿Tendríamos f(A B)=f(A) f(B)? (iii) ¿Tendríamos f(A\B) = f(A)\f(B)? (iv) Se supone además que f es suprayectiva de E en F. ¿Se obtendría f (A) =f( A )? Ejercicio 6. Sean E y F dos conjuntos y f una aplicación de E en F. sean G y H dos subcon-juntos de F. Dado f -1(G) = {x ∈ E/f(x) ∈ G}. Mostrar que: (i) f -1(G H) = f -1(G) f –1(H) (ii) f -1(G H)=f -1(G) f -1(H) (iii) f -1(G\H)= f -1(G)\f -1(H) (iv) f -1( G )= 1f (G) (v) ¿Se tendría f -1(f(A))=A, para todo A subconjunto de E? (vi) ¿Se tendría f(f -1(G))=G?



59

Ejercicio 7. 1- Sea f definida sobre por f(x)=sin(x). Dar f(A) para A= ,02

, para

A= 2,2 3

, para A= k ,k3

.

Dar f-1(B) para B= 2, , para B= 1 3,2 2

, para B=*.

Ejercicio 8. Mostrar que la aplicación f definida en \{2} con valores en \{1} por:

f: 2x2xx

es una biyección. Determinar la aplicación recíproca f –1. Ejercicio 9. Sean P y D dos partes de definidas por :

P={z / Im(z)>0} y D={z / |z|<1}

Demostremos que la aplicación f definida por : z izz i

es una biyección de P sobre D. De-

terminar la aplicación recíproca f –1.

Ejercicio 10. Sea f : [-1,1] definida por f (x) = 2xx² 1

.

1- Estudiar las variaciones de f. ¿f es inyectiva? sobreyectiva ? 2- Mostrar que la restricción de f a [-1,1] es una biyeccion. Determinar f -1.

Ejercicio 11. Sean E, F, G tres conjuntos, f : EF, g : FG dos aplicaciones. (i) Demostrar que si g f es inyectiva de E en G, entonces f es inyectiva de E en F y que si encima f es suryectiva de E en F, entonces g es inyectiva de F en G. (ii) Demostrar que si g f es suryectiva de E en G, entonces g es suryectiva de F en G y que si encima g es inyectiva de F en G, entonces f es suryectiva de E en F. (iii) Suponemos E=G y g f=IE. Que podemos decir sobre f y sobre g? (iv) Suponemos E=G, g f=IE y f g=IF. Que podemos decir de f y g?



60

Elementos de soluciones de algunos ejercicios. Ejercicio 3. a- Sean f y g dos aplicaciones inyectivas. Sean x e y tales que g f x g f y , ie : g f x g f y .

g inyectiva implica que : f x f y . f inyectiva implica que : x y . Deducimos que g f es inyectiva. La recíproca es falsa. En efecto, anotemos f : + definida por f(x)= x y g : + definida por g(x)=x². Es fácil verificar que : g f : ++ y es definida por: g f(x)=x. Esta aplicación es biyectiva. Además, es claro que g no es inyectiva. b- Sea f y g dos aplicaciones suryectivas. Sea z C . Como g es suryectiva, y B, g y z .

Come f est suryectiva, x A, f x y .

Entonces x A, g f x z y así g f es suryectiva. La recíproca es falsa. Retomamos el ejemplo anterior. Es claro que f no es suryectiva. Ejercicio 4. (iii) Sea "y" elemento de f(A)\f(B). Entonces existe "a" como elemento de A tal que y=f(a) y no existe ninguna "b" de B tal que y=f(b). Entonces, "a" no es elemento de B. De ahí que "y" es elemento de f(A\B). Se obtiene pues la inclusión : f(A)\f(B) f(A\B). La inclusión recíproca es falsa. Basta con considerar f:x x², A=[-1,2] y B=[-1,0]. (iv) Sea "y" un elemento de f (A) . Entonces "y" no es un elemento de f(A). Entonces para todo "a" de A, y f(a). Entonces, "y" es un elemento de f( A ) (con f suprayectiva de E en F). Se obtiene entonces la inclusión : f (A) f( A ). La inclusión recíproca es falsa. Basta con considerar: f:x x², A=[-1,2]. Ejercicio 5. Sea y f A B .

Por definición , x A B, y f x .

Particularmente, como A B A , x A, y f x y entonces y f A .

Del mismo modo, vemos claramente que y f B .

Deducimos entonces que y f A f B y así que f A B f A f B .

La inclusión: f A B f A f B es falsa en el caso general ( Buscar un ejemplo).



61

Ahora supongamos que f es inyectiva. Por definición, esto significa que f x f y x y . De acuerdo con lo precedido, para demostrar la igualdad, basta con demostrar la inclusión f A B f A f B .

Sea entonces y f A f B .

Esto significa que y f A et y f B .

Entonces a A, y f a et b B, y f b .

PEro en ese caso, tenemos f a f b y por inyectividad de f, esto implica a=b.

Así a A B y como y f a , deducimos que y f A B . Ejercicio 7. (vi) Demostremos que f(f -1(G))G. Sea y f(f -1(G)). Existe xf -1(G) tal que y=f(x) ; como xf -1(G), tenemos entonces f(x)G. De lo cual: yG. Hemos demostrado así que : f(f -1(G))G. La inclusión recíproca es falsa. Para demostrarlo, basta con proponer un ejemplo contrario. Tomemos la aplicación E : con E(x)=Parte entera de x y G =[0,2]. Obtenemos : f-1(G)=[0,3[ y f(f -1(G))={0,1,2} G.



62


Complementos de trigonometría

63

Capítulo 5

COMPLEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA En este capítulo, a y b designan dos reales. 1- Formula de adición

cos(a+b) = cos(a).cos(b) – sen(a).sen(b) cos(a-b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b) sen(a+b) = sen(a).cos(b) + cos(a).sen(b) sen(a-b) = sen(a).cos(b) – cos(a).sen(b) cos(2a) = cos²(a) – sen²(a)= 2cos²(a) – 1 = 1 – 2sen²(a) sen(2a) = 2sen(a).cos(a)

tan(a+b) = tan(a) + tan(b)1 - tan(a).tan(b)

cuando los dos miembros existen.

tan(a-b) = tan(a) - tan(b)1 + tan(a).tan(b)


tan(2a) = 2 tan(a)1 - tan²(a)


2- Transformación de producto en suma

cosa.cosb = 1 cos a b cos a b2

sena.senb = - 1 cos a b cos a b2

sena.cosb = 1 sen a b sen a b2

cosa.senb = 1 sen a b sen a b2

3- Transformación de suma en producto Sean "p" y "q" dos reales.

cosp + cosq = 2 p q p qcos .cos2 2



64

cosp – cosq = -2 p q p qsen .sen2 2

senp + senq = 2 p q p qsen .cos2 2

senp – senq = 2 p q p qcos .sen2 2

Ver la ficha de ejercicio. 4- Resolución de la ecuación acos x + bsen x = c con a, b, c tres reales, "a" y "b" que no son simultáneamente nulos. Llevamo la ecuación a una ecuación de tipo: cos(x-φ)=cos(θ) dividiendo la ecuación inicial

por a² b² . Ver la ficha de ejercicio.

5- Expresión de cos , sen , tan en función de t=tan

θ2

Sea un real, tal que tan2

existe.

cos = 1 t²1 t²

sen = 2t1 t²

tan = 2t1 t²




65

EJERCICIOS Conversión de sumas en productos

El objetivo de esta ficha es transformar en productos sumas como cos p + cos q, sen p + sen q, ..., y aplicar los resultados obtenidos a la resolución de ecuaciones trigonométricas. Las fórmulas 1. Con los números complejos "p" y "q" son dos reales cualquiera, cos p + cos q es la parte real de eip+eiq y sen p + sen q es la parte imaginaria de eip+eiq. a) Mostrar que:

cosp+cosq=2cos 2qp cos 2

qp y senp+senq=2sen 2qp cos 2

qp

Indicación: Poner como factor de 2qpie en eip+eiq.

b) Deducir las fórmulas:

cosp - cosq= -2sen 2qp sen 2

qp y senp - senq=2sen 2qp cos 2

qp

2. Utilizando las fórmulas ya establecidas a) A partir de las fórmulas que dan cos (a + b) y cos (a - b), comprobar que:

cos (a + b) + cos (a - b) = 2 cos a cos b. Luego poner a +b=p y a-b=q, luego encontrar la fórmula que da cosp + cosq. b) Encontrar así mismo la fórmula que da sen p + sen q. Aplicaciones a la resolución de ecuaciones Resolver cada una de las siguientes ecuaciones: a) cos 3x - cos 5x = sen 6x + sen 2x b) senx + sen 2x + sen 3x = 0 c) cos 5x + 2 cos 3x + 3 cos x = 0 Indicación: b) Transformar sen x + sen 3x en un producto. Respuestas sin simplificar:

a) cos 3x - cos 5x = sen 6x + sen 2x x = k4 "o" x =

6 + 2k

3 "o" x = -

2 + 2k

con k.

b) senx + sen 2x + sen 3x = 0 x = k2 "o" u x = 2

3 + 2k "o" x = - 2

3 + 2k

con k.

c) cos 5x + 2 cos 3x + 3 cos x = 0 x = 4 + k

2 "o" x =

2 + k "o" x =

3

+

2k "o" x = 23

+ 2k con k.



66

Transformación de a cos + b sen

Numerosos problemas, en particular en Física, conducen a una ecuación acos+bsen = c, en donde la incógnita es el número . En general, para resolver tal ecuación, se le escribe con la forma r cos (-) = c, siendo " r" y "" conocidos, se sabe entonces encontrar -, así como . Vamos a ver cómo se puede operar para obtener la expresión r cos (-) = c

Transformación de a cos + b sen (a, b, reales)

1. Utilizando los números complejos El método que sigue se apoya en la observación siguiente: a cos + b sen es la parte real del complejo ei (a - ib). a- Se supone que ambos "a" y "b" no son nulos. Se plantea r=|a+ ib| y = arg(a + ib). Mostrar entonces que para todo real :

a cos + b sen= r cos (-) b- Aplicación: Utilizando la pregunta a, transformar cada una de las expresiones:

cos + 3 sen ; cos3+sen3

2. Como un escalar El método que sigue se apoya sobre la observación siguiente: a cos + b sen es de la forma xx’+yy’, y puede pues expresarse como un producto escalar. En una referencia orto-normal directa O,OI,OJ , consideremos los puntos M (cos; sen) y N (a; b).

a- Comprobar que a cos + b sen = OM.ON .

b- Plantear r=ON y = OI,ON .

Deducir entonces de a que a cos + b sen= r cos (-).



67

3. Planteando tan= ba

, a 0

a- Comprobar entonces que siempre existe un número real tal que tan= ab .

b- Escribiendo a cos + b sen=a bcos sena

, comprobar que:

a cos + b sen= cos

a cos(-)

Resolución de ecuaciones a cos x + b sen x = c

1. Mostrar que la ecuación a cos x + b sen x = c no tiene solución cuando c2 > a2 + b2. 2. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones:

a) cosx+ 3 senx= 1 b) 2cosx-3senx= -6 c) cos 3x + sen3x=1 d) 3 cos2 x + 2senxcosx - 3 sen2 x= 2 .

Respuestas sin simplificar:

a) cosx+ 3 senx= 1 cos x3

= 12

x = 23 + 2k o bien x = 2k con k.

b) 2cosx-3senx= -6 No hay solución

c) cos 3x + sen3x=1 x = 6 + 2k

3 o x = 2k

3 con k.

d) 3 cos2 x + 2senxcosx - 3 sen2 x= 2 x = 524 + k o bien x = -

24 + k

con k.



68

Algunos ejercicios corregidos : Ejercicio 1. Resolver en las siguientes ecuaciones: a- sen 3x cos 2x

b- 24cos x 4cos x 3 0 Corrección : a- sen 3x cos 2x

sen 3x sen 2x2

3x 2x 2 ou 3x 2x 22 2

5x 2 ou 3x 2x 22 2

2x ou x 210 5 2

2x10 5

b- 4cos ² x 4cos x 3 0 .

Anotameos evidentemente X cos x , y obtenemos 4X² 4X 3 0 .

Las soluciones de esta ecuación son 1 3X o X2 2

.

Este nos lleva a resolver: 1 3cos x o cos x2 2

.

Es claro que la segunda ecuación no tiene solución.

Por otro lado, 1cos x cos x cos x 2 o x 22 3 3 3

.

Entonces las soluciones de la ecuación inicial son: x 2 o x 23 3

.

Ejercicio 2.

1- Demostrar que: 2 4cos x cos x cos x 03 3

.

2- Simplificar: sen x cos x6 3

.

Corrección : 1-*



69

2 4 2 2cos x cos x cos x cos x cos x cos sen x sen3 3 3 3

4 4cos x cos sen x sen3 3

1 3 1 3cos x cos x sen x cos x sen x2 2 2 2

0

2-

sen x cos x sen cos x sen x cos cos cos x sen sin x6 3 6 6 3 3

1 3 1 3cos x sen x cos x sen x cos x2 2 2 2

Ejercicio 3. Sea x un real diferente de un múltiplo de . Consideramos la expresión F(x) de-finida por :

sen 7xF x 2cos 2x 2cos 4x 2cos 6x

sen x

Mostrarque : F x 1 .

Recordamos que 2sen a cos b =sen a+b +sen a-b . Corrección :

sen 7x -2sen x cos 2x -2sen x cos 4x -2sen x cos 6xF x =

sen x

sen 7x -sen 3x -sen -x -sen 5x -sen -3x -sen 7x -sen -5x=

sen x

sen 7x -sen 3x +sen x -sen 5x +sen 3x -sen 7x +sen 5x se n x= 1

sen x se n x



70


Útiles para el estudio de una función de la variable real

71

Capítulo 6

ÚTILES PARA EL ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN DE LA VARIABLE REAL

0- Presentación histórica

Viète François, francés, 1540-1603, es considerado, en Fran-cia, como creador en el origen del cálculo algébrico "moderno". Escri-bió todavía en Latín, a la manera de Bombelli, pero utilizando los sím-bolos operativos actuales + y – para la suma y la diferencia, heredados del alemán Widmann.

En una ecuación, las consonantes (respectivamente las vocales) son los parámetros conocidos (respectivamente los desconocidos). Uti-lizó el término actual de "coeficiente" en una ecuación.

Viète resolvió completamente la ecuación de segundo grado “ax2 + bx = c”. Afirmó poder asimilar los problemas de su época a la resolución de ecuaciones y emitió, a justo título, la conjetura desde la cual la trisección del ángulo está ligada a la ecuación de tercer grado

que resolvió en la forma x3+ ax = b cuando a y b son números positivos. Las raíces negativas de una ecuación son consideradas como falsas pero las raíces

imaginarias ya han sido "inventadas" gracias al genio de Bombelli y Viète será también uno de los primeros en presentir, seguido por Girard y Descartes, el teorema fundamental de l’algebra que d'Alembert y después Gauss demostraron.

Observó igualmente, con Harriot, las relaciones, dichas alguna que otra vez de Viète, existentes entre las soluciones y los coeficientes de una ecuación algébrica :

Estas relaciones serán estudiadas por Girard y Descartes, y por Lagrange y Cauchy, quienes percibieron sus funciones en la resolución general de ecuaciones algébricas. Pero será Galois quién mostrará en el siglo 19, por el medio de la teoría (naciente) de grupos termina-dos, que las ecuaciones de grado superior a 5 no son generalmente solucionables por radicales (es decir que las soluciones no se pueden expresar por el medio de combinaciones de raices cuadradas, cúbicas,..., n-simas de coeficientes).

Evariste Galois asiste a la escuela solamente a par-tir de sus doce años. Entra al Colegio Real Luis El Grande del cual termina expulsado porque él se niega a cantar en la capilla. Luego de sus estudios secundarios brillantes pero perturbadores y dos fracasos al ingreso de la Escuela Politécnica, él entra a la Escuela Normal Superior. A pesar de su inteligencia, sus profesores no lo toman en serio. Con un carácter tempestuoso, sus ideas republicanas lo

conducen en prisión de la cual queda libre luego de enfermarse algunos meses más tarde. Eva-


../../../Webs/IREM_UNIV-MRS/chronomath.irem.univ-mrs.fr/Anx3/Equ3Viete.html

../../../Webs/IREM_UNIV-MRS/chronomath.irem.univ-mrs.fr/Anx3/Equ3Viete.html

../../../Webs/IREM_UNIV-MRS/chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Alembert.html#ThFond


72

riste Galois tiene entonces veinte años. Él se enamora de una « infame coqueta », según sus palabras, por quien tuvo que aceptar una provocación en duelo donde encontrará la muerte. La noche anterior a su muerte, el redacta apresuradamente todos sus descubrimientos. Sólo en 1870 los matemáticos comprenderán la importancia de sus descubrimientos. 1- Definiciones

En este capítulo consideramos las funciones definidas en una parte de , con valores en (función de una variable real con valores reales) o a veces a valores en (fun-ción de una variable real con valores complejos).

Si f y g son dos funciones y un escalar. f + g es la función: x f(x) + g(x). f es la función: x f(x). Estas dos operaciones confieren al conjunto de funciones definidas sobre el mismo

conjunto una estructura de espacio vectorial (ver el capítulo de Espacios Vectoriales). La función f g es la función: x f(x)g(x). La función f o g es la función x f(g(x)). La función |f| es la función: x |f(x)|.

Una función f con valores reales es agrandada si : M, x Df, f(x)M. Una función f con valores reales es disminuida si: m, x Df, f(x)m. Una función f con valores reales es limitada si ella está agrandada y disminuida. Se

puede escribir también M, x Df, |f(x)|M

Esta última definición se aplica a las funciones con valores complejos reemplazando el valor absoluto por el módulo.

Una función f con valores reales admite un máximo si: x0Df, x Df, |f(x)| f(x0). Notamos f(x0) =

fx DMax

f(x), o mejor aún, f(x0) = x

Max f.

Una función f con valores reales admite un mínimo si: x0Df, x Df, |f(x)| f(x0).

Notamos f(x0) = fx D

Min

f(x), o mejor aún, f(x0) = x

Min f.

Una función f con valores reales admite un extremo si ella admite un máximo y un

mínimo.

El máximo y el mínimo o el extremo son llamados locales reemplazando anteriormen-te x Df por 0 0 f0, x x ,x D .

Dicho de otro modo, la propiedad no está verificada que sobre un intervalo alrededor de x0 y no sobre el conjunto de definición de f. Una función con valores reales puede ser limitada sin admitir un máximo o un mínimo, pero solamente un límite superior o inferior (pensar en x e-x en [0,+ [ que admite 1 como má-ximo y 0 como límite inferior pero no como mínimo). Estas limitaciones son notadas respec-tivamente

fx DSup

f(x) o simplemente x

Sup f, y fx D

Inf

f(x) o simplemente Inf f. Para mayor informa-

ción leer capítulo “Límites-Continuidad”.

Una función f es par si : 1- Df es simétrico con relación a 0 2- x Df, f(-x) = f(x).



73

El conjunto de funciones pares es estable para las dos operaciones de adición de fun-ciones y de multiplicación de escalares; se trata de un sub-espacio vectorial del espacio de funciones (ver el capítulo de Espacios Vectoriales).

Una función es impar si :

1- Df es simétrico con relación a 0 2- x Df, f(-x) = - f(x).

Se trata igualmente un sub-espacio vectorial del espacio de funciones. (ver el capítulo de Espacios Vectoriales).

Una función es periódica de periodo T si : x Df, f(x + T) = f(x).

Una función es lipschitziana de analogía k o k-lipschitziana si : (x, y) Df

2, |f(x) -f(y)| k |x –y| (Lipschitz, matemático alemán, 1832-1903)

Decimos que la propiedad P es verdadera « alrededor » de mientras que: - Para : existe un > 0 tal que P es verdadero en ]-,[ ],+[ - Para = + : existe un tal que P es verdadero en ];+ [ - Para = - : existe un tal que P es verdadero en ]- ,[.

Con respecto a la composición de funciones: Sea f una función definida de I en J y g una función de J en K. Conociendo las variaciones de f y g respectivamente sobre I e J, podemos deducir las varia-ciones de la función compuesta g f de I en K. (ver ejercicio). A saber hacer:

1- Sean f y g dos funciones reales cuyos gráficos conocemos y

es un real. Trazar el gráfico de funciones x f (x) g(x) , x f (x) , x f (x ) , x f ( x) , x f (x) . 2-Proposición: Para todo real x e y,

|xy|=|x|.|y| ||x|-|y|| |x+y| |x|+|y| 00, x , 0 0x x

00, x , x , 0 0 0x x x x x Estas dos últimas propiedades son igualmente verdaderas si uno reemplaza por todos lados el signo por el signo ≤. 2- Algunas nuevas funciones 1- La función de parte entera Sea x un real. Entonces existe un único entero p, llamado parte entera de x, tal que:

p x<p+1.

Poseemos p=E(x). Remarcamos que esta definición utilizada en Matemáticas no corresponde siempre a la idea principal de “parte entera”. En las calculadoras, ustedes encontraran “dos funciones partes



74

enteras”: una corresponde a la que estamos definiendo y a otra es la que dá como parte entera de x<0, el valor –E(-x). 2- La función tangencial

Definición : Para todo real x \ k / k2

, tan(x) = sin(x)

cos(x).

Representación gráfica de la función tan

3- Las funciones logarítmicas y exponenciales de base a

Definición: La función definida en *+ por xx

1

dtt es la función logaritmo nepe-

riano (logaritmo de base e). Se escribe ln.

x ln(x) es la primitiva de x 1x

definida en ]0, + [ y que se anula en x = 1.

Su derivada x 1x

siendo estrictamente positiva, ln es entonces estrictamente creciente. La

derivada de x ln(ax) valiendo: aax

= 1x

, ln(ax) es igual a ln(x) + Cte. El valor de Cte es ob-

tenido tomando x=1, de lo que resulta la célebre relación: ln(ax) = ln(x) + ln(a)

Esta relación, transformando el producto en adición, ha permitido, desde el siglo XVII hasta la introducción de las calculadoras a bajo precio en 1980, acelerar notablemente las po-sibilidades de cálculo de los matemáticos. De esta manera, Laplace se maravilla « los loga-

ritmos, admirables instrumentos, que, reduciendo a unas cuantas horas el trabajo de varios

meses, duplica, si podemos decirlo, la vida de los astrónomos, y les ahorra los errores y los

desagrados inseparables de los largos cálculos».



75

Propiedad: ln es una biyección de *+en . Su biyección reciproca es la función ex-ponencial, que se escribe exp, biyección de en *+.

Definición: Se define el logaritmo de base a (donde a es real estrictamente positivo

distinto de 1) como logax= ln xln a

.

Se trata de una biyección de *+en . Su biyección recíproca es la función exponen-

cial de base a, que se escribe expa, biyección de en *+. Como la restricción de expa hasta coincida con la función definida sobre por: n an, se escribe expa(x)=ax.

Funciones logarítmicas de base a

Funciones exponenciales de base a

y=ln(x)

y=exp(x)

y=x

e

e

a<1

a>1

a>1

a<1



76

4- Potencias Definición: a *+, b , ab=eb.ln a Observación: No confundir la función potencia: x xa con la función exponencial (de base a): x ax.

Función potencia x xa

Crecimiento comparado: x

ax

eLimx

y a

x

xLimln x

.

5- Las funciones hiperbólicas: ch, sh y th

Definición: Para todo real x, sh x =x xe e

2

.

Representación gráfica de la función seno hiperbólico

Propiedad: sh es estrictamente creciente, impar, continua sobre y derivable sobre . Para todo x real, sh’(x) = ch(x).

<0

>1

=1

0<<1

=0



77

Definición: Para todo real x, ch x =x xe e

2

.

Representación gráfica de la función coseno hiperbólico

Dicho esto, abramos nuestro “Petit Larousse”: « La catenaria y la curva según la cual

se tiende un hilo homogéneo, pesado, flexible e inextensible, suspendido por sus extremidades a dos puntos fijos. ».

Galileo fue sin duda el primero en interesarse a la cadena, que asimiló a un arco de parábola. Jean Bernoulli, Huygens y Leibniz encontraron (independientemente) en respuesta al desafío lanzado por Jakob Bernoulli, su verdadera naturaleza en 1691: engendrada por un coseno hiperbólico.

Consideremos un cable homogéneo, flexible, atado en A y B. En su posición de equi-librio, el cable pende en un plano vertical. Establezcamos en este plano un referencial de ejes normalizados (O, i, j ), donde O designa el punto más bajo del cable y notemos g el campo de gravitación terrestre (pesantez). Sea M(x,y) un punto del cable.

x e y están entonces ligados por la relación : y=k

x x- k ke +e x = k.ch

2 k

donde ch desig-

na el Coseno Hiperbólico. La cadena es de una importancia capital porque permite calcular las flechas (es decir la

distancia del arco a la cuerda) que dar a los cables suspendidos a fin de que las tensiones en los puntos de enganche no sean excesivas. En efecto, desde que buscamos a tender por mucho un cable entre dos pilones, las tensiones se vuelven considerables.



78

En el caso de las líneas ferroviarias eléctricas, mitigamos a la flecha redhibitoria por

un cable portador principal de la catenaria (cable que conduce la corriente que alimenta la locomotora, del latín catena=cadena) : el cable superior sufre una flecha aceptada, lo que dis-minuye las tensiones entre los dos pilones.

La catenaria queda de este modo bien lineal, gracias a los enganches auxiliares múlti-ples a un cable auxiliar. De hecho, el antiguo nombre de la cadena fue la catenaria, nombre que no se ha modificado en inglés (catenary).

Notemos en fin que la cadena es la ruedecilla del foco de una parábola: lugar de su fo-co cuando gira sin deslizar, sobre una recta. Propiedad: ch es par, continua sobre y derivable sobre . Para toda x real, ch’(x)= sh(x). Propiedad fundamental: Para todo real x, ch2x – sh2x=1.

Definición: Para todo real x, th x = sh(x)ch(x)

.

3- Las funciones polinómicas 1-Definición

Nos situamos sobre un cuerpo conmutativo (para nosotros o ). Un polinomio (formal) es definido por el dato de sus coeficientes a0, ...,an elementos de . X siendo una le-

tra muda, notamos P = a0 + a1X + ... + anXn o kk

k 0a X

, siendo entendido que la suma com-

porta solo un número finito de ak no nulos. aiXi es un monomio de grado i.

Distinguimos a veces el polinomio P(X) (que, por construcción, es nulo si y solamente

si todos sus coeficientes son nulos (*)) de la función polinomial asociada: P :

xn

kk

k 0a x

=P(x)



79

Este es nulo si y solamente si: x , P(x) = 0. Por otro lado, podemos emplear X en otras funciones que solo en valores en . X pue-

de también ser remplazado por ejemplo por una matriz, o por un endomorfismo de un espacio vectorial en (ver los capítulos de álgebra lineal correspondientes).

Tenemos, evidentemente, la implicación: P(X) = 0 x , P(x) = 0

Pero la recíproca está lejos de ser una evidencia. Demostraremos que, mientras es igual a o a , existe una equivalencia ; aquello que permite de confundir polinomio y fun-ción polinomial. La frase P = 0 guardará, mientras tanto de preferencia, el sentido (*). Propiedad : 1- Sea P un polinomio con coeficientes en o en Entonces, si la función po-linomial asociada a P es idénticamente nula, P tiene todos sus coeficientes nulos. 2- Sean P y Q dos polinomios en o en . Entonces, si las funciones polinomia-les asociadas son iguales (que toman los mismos valores), los dos polinomios son iguales (que tienen los coeficientes iguales). Idea de la prueba (recurrencia finita):

1- contiendo , supondremos que la variable x sólo toma valores en . Sea P = k

kk 0

a X

tal que x , P(x) = 0

Entonces, x = 0, obtenemos a0 = 0. Entonces x , a1x+...+anxn=0

x *, a1+...+anxn-1=0. Ya no podemos tomar x = 0, mientras tanto, podemos tomar el límite mientras x tiende

a 0, lo que da a1= 0. etc... 2- Se demuestra aplicando 1- a P-Q.

Notación: [X] es el conjunto de los polinomios con coeficientes en K. [X], [X], … Cuidado: No confundir [X] y (X). Este último conjunto es el conjunto de las fracciones racionales con coeficientes en K que se estudiará en el capítulo siguiente. Observación: El polinomio nulo es el polinomio donde todos sus coeficientes son nulos. Se escribe 0[X] o si no hay ambigüedad 0. 2- Grado y valoración

Sea P un elemento de [X] donde P no es nulo y donde P=n

kk

k 0a X

.

El grado de P es el del entero mayor p tal que ap 0. Se escribe deg(P). La valoración de P es el del entero menor p tal que ap 0. Se escribe val(P). El polinomio nulo 0[X] no tiene ni grado, ni valoración. A veces las convenciones siguientes son utilizadas : deg(0[X])=- y val(0[X])=+ . Teorema: Dos polinomios son iguales si, y solamente si poseen el mismo grado y los mismos coeficientes.



80

3- Adición de polinomios

Definición: Sean P y Q dos polinomios donde P=1n

kk

k 0a X

y Q=2n

kk

k 0b X

. Entonces,

P+Q=3n

kk k

k 0(a b )X

donde n3 = Max(n1,n2).

Propiedad: Sean P y Q dos polinomios que no son nulos de forma que la suma P+Q no sea nula tampoco. Entonces deg(P+Q)Max(deg(P),deg(Q)) y val(P+Q)Min(val(P),val(Q)). Propiedad: ([X],+) es un grupo conmutativo. 4- Multiplicación de polinomios

Definición: Sean P y Q dos polinomios, P=1n

kk

k 0a X

y Q=2n

kk

k 0b X

. Entonces,

P.Q=1 2n n

kk

k 0c X

con ck= i ji j k

a b

=k

i k ii 0

a b

Propiedad: Sean P y Q dos polinomios que no son nulos. Entonces deg(P.Q)=deg(P)+deg(Q) y val(P.Q)=val(P)+val(Q). Propiedad: ([X],+,.) es un anillo conmutativo. Propiedad: Sean P y Q dos polinomios. P.Q=0 P=0Q=0 (Integridad). 5- División euclidiana Teorema y definición: Sean A y B dos polinomios donde B no es nulo. Existe un par único (Q,R) de polinomios tales que A=BQ+R con R=0 donde deg(R)<deg(B). A es el dividendo, B el divisor, Q el cociente y R el resto. Demostración: Para simplificar, tomaremos para esta demostración que el grado del polino-mio nulo es - . Demostremos primero la unicidad: Sea A = BQ + R = BQ' + R' con (deg R < deg B o R=0) y (deg R' < deg B o R’=0).

De B(Q - Q') = R' – R, deducimos deg B + deg(Q - Q') = deg(R' - R). Como deg(R' - R) sup(deg R, deg R') < deg B. De degB + deg(Q - Q') < degB, deducimos deg(Q - Q') = - , Entonces que Q - Q' = 0 y luego que R'-R=O. Demostremos ahora la existencia: Sea B un polinomio de grado p y de coeficiente dominante bp.

- Si A = 0 o A 0 con deg A < p, tenemos A = 0.B + A entonces (Q, R) = (0, A) es solución del problema.

- Supongamos la existencia del cociente y del resto de la división por B de todo poli-nomio de grado inferior o igual a n y sea A de grado n + 1, de coeficiente dominante an+l.

Sea Al = A - n 1

p

ab Xn+l-p B. Tenemos degAl n ; existe entonces (Q1, Rl) tal que :



81

A1 = BQl + Rl , deg Rl < deg B de lo cual A = n 1 pn 11

p

aQ Xb

B + Rl.

R = Rl y Q = Q1 + n 1

p

ab Xn+1-p da una solución.

La existencia es entonces establecida por recurrencia para n = degA. Práctica de la división euclidiana: Ejemplo: A=X5+X4-X3+X-1, B=X3+X2+2.

A BQ1 A1=A-BQ1 BQ2 A2=A1-BQ2

X5 + X4 - X3 + X - 1 X5+X4 + 2X2

X3 + X2 + 2 2

1

XQ

-2

1 Q

-X3 - 2X2 + X - 1 -X3 - X2 - 2 - X2 + X + 1

A=B(Q1+Q2) + A2 y deg(A2)<deg(B). El cociente es X2-1, y el resto es –X2+X+1. Observación : En algunos países de América Latina, el algoritmo de la división euclidiana es el mismo que el utilizado anteriormente pero sólo la presentación del mismo varía.. Tienen ustedes aquí a continuación un ejemplo de una tal presentación.

22X X 1

3X8-3X7+6X6-5X5+8X4-4X3+6X2-5X+112

6X10-3X9+6X8-X7+5X6+5X5

-6X10-3X9+3X8

-6X9+9X8-X7

+6X9+3X8-3X7

12X8-4X7+5X6

-12X8-6X7+6X6

-10X7+11X6+5X5

+10X7+5X6-5X5

16X6

-16X6 -8X5+8X4

-8X5+8X4 +8X5+4X4-4X3

12X4 -4X3

-12X4 -6X3+6X2

-10X3+6X2

+10X3+5X2-5X

+11X2-5X

2 11 1111X X2 2

- 212

X+ 112



82

El resultado de esta división es: 6X10-3X9+6X8-X7+5X6+5X5=

(2X2+X+1) 8 7 6 5 4 3 2 113X -3X +6X -5X +8X -4X +6X -5X+ 2

+ 21 11- X2 2

.

6- División según las potencias crecientes Teorema y definición: Sean A y B dos polinomios con val(B)=0 (es decir el término

constante de B que no es nulo). Sea n un entero natural. Existe un par único (Qn, Rn) de polinomios de manera que:

A=BQn+Xn+1Rn con Q=0 donde deg(Q) n (1) Este teorema define la división según las potencias crecientes de A entre B de or-den n. Demostración:

1- Demostremos la unicidad. Si BQn + Xn+1Rn= 0, la condición B(0) 0 muestra que Xn+1 debe dividir Qn ; como

deg (Qn) n, esto implica Qn = 0, de lo cual Rn =0. 2- Demostremos la existencia. Tomemos

A = p

kk

k 0a X

y B = q

kk

k 0b X

Por hipótesis, b0 0. Razonemos por recurrencia en n. Para n = 0, basta con tomar:

Q0= 0

0

ab

, R0= 0A BQX

Supongamos determinados Qn y Rn verificando (1). Ya que B(0) 0, existe entonces una

constante ln+1= nR (0)B(0)

y un polinomio S tales que:

Rn=n+1B+XS La relación (1) implica entonces:

A=BQn+n+1Xn+1B+Xn+2RnS. Basta entonces con tomar Qn+1 = Qn + ln+1 Xn+1 y Rn+1 = RnS para obtener (1) al orden n + 1. La disposición práctica de un cálculo de división sigue paso a paso el siguiente razonamiento constructivo. Por ejemplo, he aquí la división de A = 1 + 2 X + X3 por B= 1 +X+2X2 al orden 3:

1 + 2X + X3

X – 2X2 + X3

- 3X2 – X3

2X3 + 6X4

4X4 – 4X5

1 + X + 2X2

1 + X - 3X2 + 2X3

El cociente al orden 3 es 1 + X - 3X2 + 2X3, el resto es 4(1 - X) X4.

Podemos entonces escribir: A=B(1 + X - 3X2 + 2X3) + 4(1 - X) X4



83

7- Raíces de un polinomio Definición: Sea "P" un elemento de [X] y "a" un elemento de . Decir que "a" es una raíz de P significa P(a)=0. Teorema. Sea "P" un elemento de [X] y "a" un elemento de . Se tiene que "a" es una raíz de P si y solamente si P es divisible entre (X-a). Definición: Sea "P" un elemento de [X] y "a" es una raíz de P. El orden de multi-plicidad de a es del mayor entero p tal que (X-a)p divide P. Teorema. Sea P un elemento de [X] de grado n. P admite como máximo n raíces, cada raíz se cuenta con su orden de multiplicidad.



84


Ejercicio 1. Sea f y g las funciones definidas por: 2f : x 2x 3x 1 y 1g : xx 1

.

Dar el dominio de definición y los sentidos de variación de f g y de g f.



85

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Para cada una de las siguientes funciones, precisar el conjunto de definición y estudiar la igualdad.

f1(x) = cos(x3) , f2(x) = tan 1x

, f3(x) = 4 2x 4x 3 , f4(x) = 1 x²sh(x)

f5(x) = sin(x) ch(tan x) , f6(x) = x

x

1 e1 e

, f7(x) = ecos(x) , f8(x) = esin(x)

Ejercicio 2. Para cada una de las siguientes funciones, determinar las variaciones sin utilizar las derivadas, luego trazar sin cálculos la curva representativa.

f1(x) = (x − 2)3 , f2(x) = x , f3(x) = 1x 1

f4(x) = cos(2x) en [0; 2], f5(x) = 2 ex−3, f6(x) = 1 + sh(−x). Ejercicio 3. Sea f : la aplicación definida para toda x ∈ por:

f(x) = 2 |x − 2| − 4 |x + 1| + 3 |x| Dar la escritura de f(x) sin valor absoluto. Trazar la gráfica de f y luego resolver la ecuación f(x)=0.

Ejercicio 1. Sea f una función definida sobre I= 1; por : x 1f : xx 1

.

Demostrar que f es biyectiva de I en I, y determinar su biyección recíproca.

Ejercicio 2. Se f: [-1,1] definida por 2

2xf x1 x

.

1- ¿f es una función inyectiva, sobreyectiva? 2- Mostrar que la restricción de f en [-1,1] es una biyección. Determinar la expresión

de la función recíproca. Ejercicio 3. Sean A, B y C tres conjuntos, f una aplicación de A hacia B y g una aplicación de B hacia C. Mostrar que: a- Si f y g son inyectivas, entonces g f es inyectiva. La recíproca es verdad? b- Si f y g son suryectivas, entonces g f es suryectiva. La recíproca es verdad? c- Si f y g son biyectivas, entonces g f es biyectiva. La recíproca es verdad? Ejercicio 4.

1. Efectuar la división euclidiana de 4 3 2A X 2X 4X 2 por 2B X 1 i X 1 i .

2. Efectuar una división siguiendo las potencias crecientes al orden 3 de 4C X 5X 3 por 2D 2X X 1

3. Determinar a y b tal que 2E X aX 1 dividida 4F X X b .



86

Ejercicio 5. Sean los polinomios A=X X X X X5 4 3 2 5 2 y B=X3-2X+1. Efectuar la división euclidiana de A por B y determinar y para que B divida A. Ejercicio 6. Sean S y T ds polinomios de coeficientes reales definidos por:

S 7 6 5 4 3 2S X X X X 5X 2X T = X X X4 22

Determinar dos polinomios A y B de �[X] que verifiquen: S=AT+X5B. Deducir α y β para que T divida S. Ejercicio 7.

1. Sea P[X]. Sean a y b dos números complejos distintos. Probar la equivalencia si-guiente: P es divisible por X a X b P a P b 0

2. Mostrar que el polinomio 3n 2 3k 1 3pX X X es divisible por 2X X 1 Ejercicio 8. Polinomio de interpolación de Lagrange (Francés, 1736-1813) : Sea un cuerpo conmutativo ( = ou ).

sean 1 2 n, ,..., los elementos de dos a dos distintos; sean 1 2 n, ,..., los elementos de .

Uno busca un polinomio L de grado n-1 tal que i iL para 1 i n . Uno considera el polinomio L define por:

n

1 2 k 1 k 1 nk

k 1 k 1 k 2 k k 1 k k 1 k n

X X X X XL X ... ...

Verificar que este polinomio corresponde al problema propuesto. L es llamado el polinomio de interpolación de Lagrange. Sea C el gráfico de x sen(x) para x elemento de [-]. Determinar una función polinomial

P tal que el gráfico de P pase por los puntos de C de abscisa -, -2 , 0,

2 , , P siendo de

grado mayor a 4. Ejercicio 9. Sea n un entero natural no nulo. Consideramos Pn=(1+X)n-(1-X)n.

1- Mostrar que Pn es divisible por X, y determinar, según la parte de n, el grado de Pn. 2- Determinar las raíces de Pn en (ustedes donaran el resultado final bajo la forma

algebraica) y contar cuantas son de distintas de cero. 3- Factorizar Pn en [X] y luego en [X].


Límite-Continuidad

87

I. Newton

Capítulo 7

LIMITES - CONTINUIDAD

0 – PRESENTACION HISTORICA

La noción de límite hizo su aparición en una obra del matemático inglés B. Robins ti-tulada A Discourse Concerning the Nature and Certainty of Sir Isaac Newton’s Method of

Fluxions and Prime and Ultimate Ratios (1735). Robins intenta precisar y aclarar la expresión un poco oscura de Newton « prime-ras y últimas razones », hablando de límites hacia los cuales tien-de, sin jamás alcanzarlos, relaciones de cantidades J. Jurin, se-guidor de Newton ortodoxo y altivo, para quien las primeras y las últimas razones efectivamente se alcanzaban (en el instante de nacimiento o de desvanecimiento).

C. Maclaurin, en su obra Treatise of Fluxions (1742) recu-pera la interpretación de las « primeras y últimas razones » de Newton en términos de límites; sin embargo funda el Cálculo infinitesimal sobre la noción de fluxión (velocidad instantánea) y no sobre la del límite. Por el contrario, d’Alembert, en su artículo « Diferencial » de La Enciclopedia vol. IV, 1754, presenta la no-

ción de límite como la “verdadera metafísica del cálculo diferencial”: define la relación dife-rencial dy/dx como el límite de la relación de los crecimientos terminados en y y en x cuando estos crecimientos tienden hacia 0, e insiste en el hecho que no debemos separar las “dife-renciales” dy y dx. Igual que sus predecesores Robins y Maclaurin, el lenguaje de D’Alembert es integralmente geométrico, y la noción de límite no está claramente definida : decimos simplemente que la relación considerada puede volverse tan cercana como quera-mos de su límite, o que una “medida es el límite de otra medida cuando la segunda puede acercarse de la primera lo más cerca que una cantidad establecida, tan pequeña como lo po-damos suponer, sin que la medida que se acerca no pueda jamás sobrepasar la medida hacia la cual se acerca, de manera que la diferencia de una cantidad con su límite sea absolutamen-te insignificante” (observamos que, para d’Alembert, el límite se acerca de un solo lado). Sin embargo, d’Alembert toma cuidado en establecer la unicidad del límite.

La puesta en macha de la noción de límite en el siglo XVIII se encontró con numero-sos obstáculos: el lenguaje geométrico no otorgaba un dominio numérico homogéneo donde desarrollar la teoría y la noción general de función no estaba todavía asimilada. Era por lo tanto muy difícil de de concebir claramente cómo una medida o una relación variable tendían hacia sus límites. El concepto de límite se esclareció progresivamente en el siglo XIX: a par-tir de 1800, C. F. Gauss tenía una concepción extremadamente clara de la noción de una se-


Límite-Continuidad

88

rie de números reales (an)n, puesto que la definió (en una obre inédita Nociones fundamenta-

les sobre la teoría de las series) como el valor común a lim sup an y lim inf an cuando estos dos límites extremos, definidos de manera precisa, coincidan. A. L. Cauchy impuso la no-ción de límite en la base del cálculo infinitesimal ; la definición que daba era todavía un poco confusa : « cuando los valores sucesivamente atribuidos a una misma variable se acercan in-definidamente de un valor fijo, de manera para acabar por diferir de eso tan poco como que-rremos, esta última se denomina límite de los demás » (resumen de las « lecciones » imparti-das en la escuela real politécnica sobre el cálculo infinitesimal, 1823) ; pero introduce una notación lim para el límite y demuestra con ejemplos numéricos cómo se comportan los lími-tes.

La definición más precisa de límite que todavía damos en las clases remonta a Weiers-trass (1815-1897), promotor del “estilo de los épsilon”. Para que la teoría sea totalmente cla-ra, solo faltaba una teoría satisfactoria de los números reales, que permita establecer la exis-tencia de un límite superior para una parte no vacía aumentada y demostrar el criterio de Cauchy, admitido hasta entonces como una evidencia ; diversas teorías sobre los números reales han sido elaboradas hacia 1860-1870 (Dedekind, Weierstrass, Cantor).

Cauchy (1789-1857) publica en 1821 su Curso de análisis que tie-ne una gran audiencia y constituye la primera exposición rigurosa sobre las funciones numéricas. Renovando el análisis funcional, él formaliza, en particular, las nociones:

De límite : si los valores sucesivamente atribuidos a una varia-ble se acercan indefinidamente de un valor fijo, de manera para acabar por diferir de eso tan poco como querremos, entonces este último es llamado límite de todos los demás.

De función: mientras que las variables están ligadas entre ellas, y que el valor de una de ellas esta dado, de manera que poda-mos deducir los valores de todas las demás, concebimos de or-

dinario estas diversas cantidades expresadas por medio de una entre ellas, que toma el nombre de variable independiente; y las demás cantidades expresadas por medio de la variable independiente, son lo que llamamos las funciones de esta variable.

De continuidad sobre un intervalo: (h designado para una cantidad infinitamente pe-queña) : mientras que la función f(x) admita un valor único y finito para todos los va-lores de x comprendidos entre dos límites dados, si la diferencia f(x + h) - f(x) está siempre entre los límites una cantidad infinitamente pequeña, decimos que fx) es una función continua de la variable x entre los límites en el que ella trata.

Intuitivamente y gráficamente, describimos la curva representante de f sin levantar el lápiz: no hay “huecos”. En el esquema de la izquierda tenemos un arco de curva “continuo” y a la derecha, hay discontinuidad en el punto x = 2.


Límite-Continuidad

89

de derivabilidad (de una función continua) : si, mientras h se vuelve infinitamente pe-queño comparado a las diferencias

y f (x h) f (x)x h

Admite un límite finito, lo anotamos f'(x), es una función de x llamada la función derivada.

Estas definiciones permiten a Cauchy de ser el primero en establecer rigurosamente la fórmula de Taylor precisando las condiciones de convergencia hacia la función desarrollada. De todos modos, el conjunto de números reales no está aún construido. Un número real, en esta época, es un número no imaginario; entero, fraccionario o irracional. Los números y e son irracionales a partir de Euler y Lambert pero no son aún trascendentes. Habrá que espe-rar Lindemann y Liouville. La confusión de los números reales conduce a Cauchy a conclu-siones que pueden parecer como poco rigurosas, incluso falsas, como, por ejemplo, su resul-tado sobre la suma de una serie de funciones.

Cauchy utiliza implícitamente que salvo en algunos puntos singulares, toda función continua admite una derivada. Riemann, luego Bolzano y Weierstrass darán un ejemplo de función continúa en todo punto de un intervalo y no siendo derivada en ningún punto.

Cauchy anuncia, ilustrándolo pero sin demostrar, el teorema de los valores intermedia-rios:

Si una función f es continua entre los límites a y b y que se designa a k una cantidad intermediaria entre f(a) y f(b), podremos satisfacer siempre la ecuación f(x) = k por al menos un valor de x comprendido entre a y b.

En este capítulo, consideramos una función f de en donde el conjunto de definición Df es un intervalo o una reunión de intervalos; x0 es un real tal que x0Df , o x0 es une borde de Df. 1- Límite superior y límite inferior Definición: Sea A una parte no vacía de . M es un mayorando de A significa que a A, a M . Si existe un Máximo de A, se dice que A está mayorada. M es un minorando de A significa que a A, m a . Si existe un mínimo de A, se dice que A está minorada A está limitada si A está mayorada y minorada. Definición: Sea A una parte no vacía de . A admite un elemento mayor de M0, significa que

- M0 es elemento de A - M0 es un mayorando de A.

M0 (si existe) es el máximo de A y se lo tiene en cuenta MaxA. Definición: Sea A una parte no vacía de . A admite un elemento menor de m0 significa que


Límite-Continuidad

90

- m0 es elemento de A - m0 es un minorando de A.

m0 (si existe) es el mínimo de A y se lo tiene en cuenta MinA. Definición: Sea A una parte no vacía de . Siendo "S" el límite superior de A significa que "S" es el menor de los mayorandos de A. Se escribe Sup A. Siendo "I" el límite inferior de A significa que "I" es el mayor de los minorandos de A. Se escribe Inf A. Ejemplo : Sea A = ]0,1[. Todos los reales negativos o nulos minoran A. El más grande de esos minorandos es 0. Anotamos Inf A = 0. Todos los reales superiores o iguales a 1 mayoran a A. El más pequeño de esos mayorandos es 1. Anotamos Sup A = 1. Notaremos que no se trata ni de un mínimo ni de un máximo, ya que ni Inf A ni Sup A pertenecen a A. Podemos escribir igualmente :

S=SupAa A,a S

0, a A,a S

La primera línea significa que S mayora a A, y la segunda significa que todo número inferior a S (o sea de la forma S - con > 0) no mayora a A. Entonces S es el más pequeño de los mayorados de A. Este último es llamado el contorno superior. Igualmente :

I=InfAa A,a I

0, a A,a I

Teorema: Toda parte mayorada no vacía admite un límite superior. Toda parte minorada no vacía admite un límite inferior.

2- Límites Definición: el real x0 está adherido Df (o x0 pertenece a la adherencia de Df) significa :

0 0 f0, x ,x D Ejemplo: La adherencia de ]-1,10] es [-1,10]. La pregunta sobre el límite de f en un real x0 no cabe lugar sólo si x0 es un punto adherido a Df. Las definiciones “en español” de los límites son las siguientes: Sea x0 y dos reales.

0x x

Lim

f(x)= significa que f(x) se puede aproximar al tanto como se quiera con la sola

condición de tomar x suficientemente próximo de x0.

0xxLim

f(x)= + significa que f(x) puede ser lo grande como se quiera con la sola condi-

ción de tomar x suficientemente próximo de x0.


Límite-Continuidad

91

xLim f(x)= significa que f(x) se puede aproximar al tanto como se quiera con la sola

condición de tomar x suficientemente grande .

xLim f(x)= + significa que f(x) puede ser lo grande como se quiera con la sola condi-

ción de tomar x suficientemente grande. Definiciones análogas con -… Estas definiciones transformadas al lenguaje matemático:

0x xLim

f(x)= f 00, >0, x D , x-x f (x)

0xxLim

f(x)= + f 0A 0, >0, x D , x-x f (x) A

xLim f(x)= f0, B>0, x D , x>B f (x)

xLim f(x)= + fA 0, B>0, x D , x>A f (x) B

Ejemplos: Demostrar con ayuda de la definición « con los » :

x 1Lim(2x 4) 6

y

x 2Lim(x² 1) 5

.

Observación La expresión

0x xLim

f(x) = (x0 finito o infinito, real ) se traduce también por:

0x xLim

(f(x)- )=0 o f(x) = +(x) con ax

Lim

(x) = 0

Ejemplos: Sea f la función definida por:

f (x) 1 pour x - , 1f (x) x pour x 1,+

. Entonces,

x 1Limf (x) 1

.

Sea g la función definida por:

g(x) 1 pour x - , 1g(1) 2g(x) x pour x 1,+

. Entonces, x 1

Limg(x)

no existe, sin

embargox 1x 1

Limg(x) 1

.

Teorema: El límite, si existe, es único. Demonstración: Por lo absurdo en el caso donde x0, y ' sean finitos:

Sea f una función que admite y ' como límite en x0, y ’.

Tomemos = 1 '2

. Existe 1 y 2 reales estrictamente positivos tales que :

0 1 0 1x x , x , f(x)-

0 2 0 2x x , x , f(x)- '


Límite-Continuidad

92

Para 0 1 0 1 0 2 0 2x x ,x x ,x , tenemos:

| - ’| | -f(x)|+|f(x)- ’|<2Obtenemos una contradicción. 3- Operaciones con los límites Suma Las funciones f y g teniendo un límite (finito o infinito), la función f+g admite un límite en cada uno de los casos descritos en la tabla siguiente : Lim f Lim g

+ -

’ + ’ + -

+ + + FI - - FI - Producto Para las funciones f y g que tienen un límite (finito o infinito), la función fg admite un límite en cada uno de los casos descritos en la tabla siguiente ( significa + o - según el signo del límite finito.) Lim f Lim g

+ -

’ . ’

+ + - - - + Observación: Si f y g tienen un límite uno de los cuales es nulo y el otro infinito entonces se tiene FI Cociente

Para las funciones f y g que tienen un límite (finito o infinito), la función gf admite un límite

en el cuadro siguiente Lim f Lim g

+ -

’

'

+ 0 FI FI - 0 FI FI


Límite-Continuidad

93

Observaciones : 1- Si ’= 0, se puede concluir que cuando g conserva un signo constante en la proximidad del « punto » cuyo límite se busca, se tiene que:

si g(x)> 0, entonces )x(g

1 tiende hacia + ; si g(x)<0, entonces )x(g

1

tiende hacia - 2- Regla de comparación entre potencia, logaritmo y exponencial :

para todo >0, x

Limx

ln x =0 y x

Limx

e x

=+

Formas indeterminadas Las situaciones señaladas FI en los cuadros se llaman (de manera significativa) : formas inde-

terminadas. Generalmente se dice que son 4 : 0 , , 0 , + -0

.

Atención, las « formas » 1 , 0 y 00 son también formas indeterminadas. 4- Enunciados usuales acerca de los límites x0 designa un número real o + o - a- Comparación Hipótesis 1 Desigualdades en la proximi-dad de x0

Hipótesis 2 Comportamiento cuando x tiende hacia x0

Conclusión

u(x) f(x) u tiende hacia + f tiende hacia + f(x) u(x) u tiende hacia - f tiende hacia - |f(x)- |u(x) u tiende hacia 0 f tiende hacia u(x) f(x) v(x) u y v tienden hacia el mismo

límite f tiende hacia (Teorema de gendarmes)

f(x) g(x) f y g admiten límites en x0 0x x

Lim

f(x) 0x x

Lim

g(x)

Observemos que en la conclusión del último resultado solamente se obtiene una desigualdad amplia entre los límites, incluso si f(x)<g(x). b- Límite de una función compuesta Teorema : Sean x0, , ’ reales o + o - y las aplicaciones f y g :

gfE F

Donde E en un intervalo que contiene x0, x0 eventualmente excluido F es un intervalo que contiene , eventualmente excluido.

Si 0x

Lim f= y si Lim g= ’, entonces 0x

Lim g f= ’.


Límite-Continuidad

94

c- Límite a la derecha, límite a la izquierda Definiciones : Sea una función f cuyo conjunto de definición es Df y un real x0. 1.Si la restricción de f a Df ]x0, + [ admite un límite (finito o no), este límite es llamado límite de f a la derecha en x0. Se escribe

0x

Lim f o también 0xx

Lim f(x).

2. Si la restricción de f a Df ]- , x0[ admite un límite (finito o no), este límite es llamado límite de f a la izquierda en x0. Se escribe

0xLim

f o también

0x xLim

f(x).

Queda claro que si f admite l como límite en x0, f admite l como límite a la izquierda y a la derecha en x0. Teorema del limite monótono : Sea f una función creciente en el intervalo ]a; b[.

- Si f esta mayorada, entonces f admite un límite a la izquierda finita en b. - Si f no está mayorada, entonces

x bLimf (x)

5- Ramas infinitas

Dedignamos por f una función de variable real y por fC la curva representan-

do f en un plano compuesto de coordenadas O,i, j .

Las ramas infinitas de fC corresponden a los casos siguientes:

1- 0x x

Lim

f(x)= con 0x real : fC admite una asíntota vertical de ecuación x = x0.

2- xLim

f(x)=L con L real : fC admite una asíntota horizontal de ecuación y = L.

3- xLim

f(x)= : un estudio mayor estudio y necesario.

Hay dos métodos posibles:

a- Buscamos xLim

f (x)x

para comparar f(x) con x a las cercanías de . Podemos

hacer la clasificación siguiente:

si xLim

f (x)x

= , decimos que fC admite una rama parabólica vertical.

Ejemplos : f (x) = x2, xe)x(f .

si xLim

f (x)x

= 0, decimos que fC admite una rama parabólica horizontal.

Ejemplos : x)x(f , )xln()x(f .

si xLim

f (x)x

=a (con a *)


Límite-Continuidad

95

– si xLim

(f(x) – ax)=b, fC admite una asíntota de ecuación y=ax + b

– si xLim

(f(x) – ax)= , fC admite una rama parabólica de dirección y=ax

Ejemplo : f(x) = 2x + ln x 6- Continuidad Sea una función f definida en x0 y que admite un límite real en x0 :

0hLim

f(x0+h)=

esto significa que, cualquiera que sea el real estrictamente positivo, podemos encontrar un intervalo que contenga 0 en el cual:

|f(x0+h)- | en particular para h = 0 :

|f(x0)- |

Suponiendo |f(x0)- | 0 . Si tomamos = 0f (x )2

, |f(x0)- | 0f (x )2

, que es sólo posible

si f(x0) = . Teorema: Si una función f está definida en x0 y admite un límite real en x0, este límite es ne-cesariamente f(x0). Definición : Si el límite de f mientras que x tiende hacia un valor x0 real es igual a f(x0), de-cimos que f es continua en x0. Observación 1 : Mientras que f está definida en x0, es equivalente de decir que el límite de f existe en x0 y que f es continua en x0. Observación 2 : La noción de continuidad aunque intuitiva es una noción esencial en mate-mática que debe ser manipulado con atención. Por ejemplo, la función f define sobre como:

f(x)= 1q

si x= pq

no nulo irreducible, q>0

f(x)=1 si x=0 f(x)=0 si x es irracional es discontinua sobre , continua sobre c… Ejemplo : Tomando el ejemplo del parágrafo 2 :

Sea f una función definida por :

f (x) 1 pour x - , 1f (x) x pour x 1,+

.

Sea g una función definida por :

g(x) 1 pour x - , 1g(1) 2g(x) x pour x 1,+

.

La función g no es continua en 1 porque ella no posee limite en este real.


Límite-Continuidad

96

En un principio f no posee problema de continuidad en 1 porque f no es definida en este real. Pero,

x 1Limf (x) 1

. Entonces podemos prolongar la función f por continuidad en 1 poniendo :

x 1

f (x) 1 pour x - , 1f (1) Limf (x) 1

f (x) x pour x 1,+

. Entonces ahora la “nueva” función f está definida y

continua en 1. Teorema: existe una equivalencia entre :

1- f tiende hacia mientras que x tiende hacia x0

2- Para toda sucesión (an)n tendiendo hacia x0, (f(an))n tiende hacia . En el caso de las funciones continuas, esta equivalencia se expresa de la siguiente manera : Teorema :existe una equivalencia entre :

1- f es continua en x0 2- Para toda sucesión (an)n tendiendo hacia x0, (f(an))n tiende hacia f(x0).

Definiciones : Una función f continua a la derecha en x0 es una función definida en x0 tal que su límite a la derecha en x0 es igual a f(x0). Una función f continua a la izquierda en x0 es una función definida en x0 y tal que su límite a la izquierda en x0 es igual a f(x0). Propiedades inmediatas : Sean f y g dos funciones de en y x0 un elemento de Df Dg tal que f y g sean continuas en x0. Entonces, f+g, fg, kf (donde k es una constante real) son continuas en x0.

Si además g(x0) no es nula, fg

es continua en x0.

Sea f una función continua en x0 y g una función continua en f(x0). Tenemos :

0xLim f=f(x0) y

0xfLim g=g(f(x0))

De acuerdo al teorema sobre la composición de funciones que tengan límites, deduci-mos:

0xLim g f=g(f(x0))

entonces g f es continua en x0. De donde : Propiedad : Si f es una función continua en x0 y si g es una función continua en f(x0), enton-ces la función g f es continua en x0. Teorema : Sea f una función de en y x0 un elemento de Df tal que f sea continua en x0. Entonces, f está limitada en la proximidad de x0. Teorema : Sea f una función de en y x0 un elemento de Df tal que f sea continua en x0 y f(x0)>0. Entonces, f es estrictamente positiva en la proximidad de x0.


Límite-Continuidad

97

7- Continuidad en un conjunto, en un intervalo Definición : f es continua sobre un conjunto D mientras f es continua en todo punto de D. Teorema : La imagen de un intervalo I para una función continua es un intervalo. Demostración : La propiedad a demostrar es equivalente a las siguientes:

i) y f (I), z f (I), [y,z] f(I) Esto proviene de la caracterización de intervalos como partes convexas de , visto en

el capítulo sobre las Reales. ii) a I, b I, [f(a),f(b)] f(I) Esto proviene de i) posando y = f(a) y z = f(b). iii) a I, b I, f(a) z f(b) c [a,b], z = f(c) Solo hemos traducido ii la frase: [f(a), f(b)] f(I) iv) a I, b I, f(a) 0 f(b) c [a,b], f(c) = 0 Conlleva inmediatamente de iii con z = 0. Inversamente, iii se deduce razonando sobre

g = f - z. v) a I, b I, f(a)<0<f(b) c ]a,b[, f(c)=0

Este último enunciado es conocido bajo el nombre de teorema de los valor intermediarios. Es entonces este último que hay que demostrar. Teorema de valores intermediarios : Sea f una función continua sobre un intervalo que contiene a y b tal que f(a)f(b)<0. Existe entonces c elemento de ]a,b[ u ]a,b[ tal que f(c)=0.

Este teorema no tuvo una demostración hasta muy tarde. Necesita en efecto una con-cepción clara de la continuidad, que apareció en el siglo XIX. En 1817, Bolzano (1781-1848) rechaza las justificaciones usuales basadas en consideraciones ligadas a la geometría, al mo-vimiento, al espacio, en un dominio que él considera puramente analítico. Observemos que la definición de Cauchy a cerca de la continuidad fue publicada en 1821. Demostración : Asumir f(a)<0. Sea A = {x [a, b] / f(x) 0}. A contiene a, entonces no está vacío, y está agrandada en b. Admite entonces un límite superior c, c b. Mostremos que c acuerda:

- Si f(c) < 0, entonces f es estrictamente negativa en una proximidad ]c-, c+[ de c,

entonces c+2 pertenece a A, lo que contradice el hecho de que c sea el límite superior de A.

- Si f(c) > 0, entonces f es estrictamente positiva en una proximidad ]c-, c+[ de c. No obstante, c siendo el límite superior de A, Existe un elemento x0 de A en ]c-, c+[, tal que f(x0) 0, lo que es contradictorio con f(x0)>0. Tenemos así f(c) = 0. Teorema : La imagen por una función continua de un intervalo cerrado limitado es un inter-

valo cerrado limitado.


Límite-Continuidad

98

Consecuencia : Sea f una función continua en el intervalo cerrado limitado [a, b]. Entonces f alcanza sus límites:

M , m / f([a,b])=[m, M] et 0 1x [a, b], x [a, b] / m=f(x0), M=f(x1) Definición: sean a y b dos reales distintos tales que a<b. Sea I=[a, b]. I es un intervalo cerrado y limitado de . Sea f una función definida sobre I. Decimos que la función f es continua por pedazos sobre I si f es continua sobre I salvo en un número finidos de puntos de I, puntos en el cuales f admite un límite a la derecha y un límite a la izquierda finidas. Esto significa que existe un número finido de valores de I, x1=a<x2<…<xn-1<xn=b tales que : - i 1, 2, ..., n-1 , f es continua sobre ]xi, xi+1[ - f admite límites finidos a la derecha en xi y a la izquierda en xi+1 Observaciones: 1- La secuencia de valores x1, x2,…, xn-1, xn es llamada ‘’subdivisión de I’’ 2- Toda función continua sobre I es continua por pedazos sobre I 8- Continuidad y Biyección Teorema : Sea f una función de en , continua y estrictamente monótona sobre un interva-

lo I. Entonces: a- f es una biyección de I sobre f(I)

b- f -1 es continua, estrictamente monótona “de mismo sentido de variación que f” 9- Algunas nuevas función 1- Función arcoseno

Definición: La función seno es una biyección de ,2 2

en [-1,1]. Su biyección recíproca

es la función arco seno de [-1,1] en ,2 2

.

Observación : Por qué arc y no ángulo ? Simplemente porque en el círculo trigonométrico (centrado en el origen y de radio 1), arcsen(x) representa la medida del arco AM definido por el ángulo AOM que mide x.


Límite-Continuidad

99

He aquí una tabla de valores : x

-1 - 3

2 - 2

2 - 1

2

0

12

22

32

1

sen

arcsen(x) -

2 -

3 -

4 -

6

0

6

4

3

2

Propiedades: 1- x , , y [-1,1]2 2

, y=sen x x= arcsen y

2- x ,2 2

, arcsen (sen x)=x

3- x [-1,1] , sen (arcsen x)=x 4- x [-1,1] , cos (arcsen x)= 1 x²

Ejercicio: Determinar arcsen 3πsen4

, arcsen(sen x) por x elemento de ,2

.

Propiedad: arcseno es estrictamente creciente, impar, continua sobre [-1,1].

Representación gráfica de la función arco seno

2- Función arcocoseno Definición: La función coseno es una biyección de [0,] en [-1,1]. Su biyección recíproca es la función arcocoseno de [-1,1] en [0,]. He aquí una tabla de valores :

x

-1 - 3

2 - 2

2 - 1

2

0

12

22

32

1

cos

arccos(x)

56 3

4 2

3

2

3

4

6

0

sen

arco seno


Límite-Continuidad

100

Propiedades: 1- x 0, , y [-1,1] , y=cos x x= arccos y

2- x 0, , arccos (cos x)=x 3- x [-1,1] , cos (arccos x)=x 4- x [-1,1] , aen (arccos x)= 1 x² Propiedad : arccos es estrictamente decreciente, continua sobre [-1,1].

Representación gráfica de la función arco coseno

3- Función arcotangente

Definición: La función tangente es una biyección de ,2 2

en . Su biyección recíproca

es la función arcotangente de en ,2 2

.

He aquí una tabla de valores :

x

-

- 3

-1 - 13

0

13

1

3

+

tan

arctan(x) -

2 -

3 -

4 -

6

0

6

4

3

2

Propiedades: 1- y , x ,2 2

, y=tan x x= arctan y

2- x ,2 2

, arctan (tan x)=x

3- x , tan (arctan x)=x Propiedad : arctan es estrictamente creciente, impar, continua sur .

coseno

arcco coseno


Límite-Continuidad

101

Representación gráfica de la función arco tangente

arctan

tan


Límite-Continuidad

102


Ejercicio 1. Para cada uno de los conjuntos siguientes, decir si es sobreestimado, infravalora-do, limitado en . Dar, si existen, el elemento máximo, el límite superior, el elemento míni-mo, el límite inferior.

2

1E ;x ]0,1[1 x

; 2

1F ;x [0,1[1 x

; 2nG sin ;n7

Ejercico 2. Sean A y B dos conjuntos no vacíos limitados. Mostrar que:

1- sup(A B) max(sup(A),sup(B)) ; 2- inf(A B) min(inf(A),inf(B)) .

Ejercicio 3. Sean f una aplicación de ]a,b[ en y xo un real de ]a,b[. Demostrar que una condición necesaria y suficiente para que f admita 0 como límite en xo es que |f| admita0 co-mo límite en xo. Ejercicio 4. 1- Utilizando la definición bajo la forma de una aserción cuantificada, demostrar que la función identidad es continua en . 2- Deducir que para todo entero n la función nx x es continua en . 3- Concluir que las funciones polinomiales son funciones continuas en . Ejercicio 5. Estudiar el límite eventual de las siguientes funciones:

a- 2x 1 xx

x en x0=1 b-

21 cos(x)xsen(2x)

en x0=0

c- 2x 10x 25x

x 5

en x0=5 d- 2

sen(x)xx x

en x0=0

e- 2x x 1 x en f- 2 1x x senx

en

g- x x 1 x 2 en h- x sen(x)ln(| x |) en x0=0

Ejercicio 6. Estudiar la función : 2

x 1x lnx 3x 2

.

Ejercicio 7. Estudiar la función : 1 sen(x)x2sen(x) 1

.

Ejercicio 8. Estudiar la continuidad en de la función f definida por : 2f (x) x si x 0 y f (x) x ln(x) si x>0. Ejercicio 9. Aplicación del teorema de los valores intermediarios


Límite-Continuidad

103

Sea P un polinomio de coeficiente reales de grado impar. 1- Demostrar que podemos encontrar dos reales a y b tales que: P(a) P(b) 0. 2- Deducir que P tiene al menos una raíz real.

Ejercicio 10. Sea f una aplicación real y k un real positivo. Decimos que f es lipschitziana en relación a k en si :

k + 1 2(x , x ) ² 1 2 1 2| f (x ) f (x ) | k | x x |

Decimo que f es lipschitziana si existe un real positivo k tal que f es lipschitziana en relación a k.

1- Demostrar que la aplicación 1x1 | x |

es lipschitziana en relación a 1 en

2- Demostrar que toda aplicación lipschitziana en es continua en .

Ejercicio 11. Sean f y g las funciones definidas por : 2f : x 2x 3x 1 y 1g : xx 1

.

Dar el dominio de definición y el sentido de la variación de f g y de g f.


Límite-Continuidad

104

EJERCICIOS Ejercicio 1. Para cada uno de los conjuntos siguientes, decir si es sobreestimado, infravalo-rado, limitado en . Dar, si existen, el elemento máximo, el límite sup, el elemento mínimo, el límite inf (no pedimos justificación).

E1={x/-2<x2} ; E2={x/-2<x 2} ; E3=1 / x ]0,1[

1 x²

E4=1 / x [0,1[

1 x²

; E5={x/x² 17} ; E6={x/x² 17}

Ejercicio 2. Sea E la parte de definida por: E = n 1( 1) / n *n

.

1- Justificar la existencia del contorno superior y del contorno inferior de E. Después, calcularlos justificando detalladamente las respuestas.

2- Este conjunto admite el elemento más pequeño? el elemento más grande?

Ejercicio 3. Sea A= 21 1 / (n,m) *n m

. Después de haber demostrado la existencia de

Sup(A) y de Inf(A), determinar sus contornos. Ejercicio 4. a- Sean E y F dos partes limitadas de que no están vacías. Se supone que EF. Mostrar que Sup(E)Sup(F) y que Inf(E)Inf(F). Ustedes establecerán de antemano que estos bornes existen. b- Sean A y B dos partes limitadas de que no están vacías Calcular en función de Inf(A), Inf(B), Sup(A), Sup(B) : Sup(A+B), Min(AB), Max(AB). Ustedes establecerán de antemano que estos bornes existen. c- Se supone que A B . Comparar los números siguientes:

Inf(AB), Sup(AB), Min(SupA,SupB), Max(InfA,InfB) ¿Pueden las desigualdades ser estrictas? Ejercicio 5. Para todo entero "n" natural, se define el conjunto de reales

nnE k ; k entero natural no nulok

a- Mostrar que E n admite un límite inferior y que:

Inf(E n) = Inf knkk n1

b- Mostrar que para todo entero n estrictamente positivo, Inf(E n) 4n .¿En qué caso se obtiene la igualdad? Ejercicio 6. Sea A una parte de no vacía tal que A y A c son partes abiertas de (A abier-ta a A a a A, ,] ; [0 ). a- Demostrar que A no está agrandada.


Límite-Continuidad

105

b- Suponemos que A c no está vacío y sea además x0 elemento de A c . Sea B = 0t A / x t . Demostrar que B admite un límite inferior m tal que m > x0. c- Demostrar que mA c y mA. Concluir. Ejercicio 7. Estudiar el límite eventual de cada uno de las funciones siguientes en el punto x0 indicado:

1-

02 2

1 1f x x 2x 3x 2x x 2

2- 02

3 xg x x 9x 81

3-

02

1 cos xh x x 0sen x

4-

3

02

sen xt x x 0

sen x

5- 0cos xs x x

2x2

Ejercicio 8.

1- Mostrar que por todo real x, x 1 E(x) x . 2- Determinar los límites siguientes:

a. x

E(x)Limx

y x

E(x)Limx

b. x

E(x)Lim expx²

, x 0

E(x)Limexpx²

, x 0

E(x)Limexpx²

c. x 0

1Lim xEx

, x

1Lim xEx

Ejercicio 9. Demostrar los siguientes resultados con ayuda de la definición: a-

x 1Lim(2x 1) 3

b- x 2

1 1Limx 2

c- 2

x 2Lim(2x 1) 9

d- x 4Lim 2x 1 3

Ejercicio 10. a- Estudiar y representar gráficamente la función:

)E(xx x: f b- Para cuáles valores del real ‘a’ la función:

g(x) = [x - E(x)][x - E(x) - a] ¿es continua sobre ? ¿Cuál es entonces su gráfico?

Ejercicio 11. Consideramos las dos funciones f y g definidas en + por 3 2x x 1f (x)

x 1

y

2g(x) x 2x 2 . 1- Determinar las características de la curva representativa de g.


Límite-Continuidad

106

2- Calcular xLim f (x) g(x)

. ¿Qué podemos deducir sobre el comportamiento asin-

tótico de la curva representativa de f a las cercanías de + ? 3- Estudiar la posición relativa de estas dos curvas a las cercanías de + y luego trá-

zalas.

Ejercicio 12. Sea la función definida en por 2x 1f (x) 3e 7x ln 1 3x

, de la curva

representativa Cf. 1- Estudiar el límite de f en + . 2- Determinar una ecuación de la asíntota D de Cf en el entorno de + luego estudiar

la posición relativa de Cf con respecto a D. 3- Estudiar el límite de f en -y luego justificar que la recta asintótica de Cf en -no

existe. Ejercicio 13. Sea f: una aplicación. Admitimos que para todo real x, h(x)=f(x)-x.

1- Suponemos en esta pregunta que la aplicación h es limitada a las cercanías de + .

Mostrar que la función f (x)xx

admite un límite finito en + que determina-

remos.

2- Dar un ejemplo de f de manera que x

f (x)Limx

pero que h no sea limitada a las

cercanías de + . Ejercicio 14. Estudiar la continuidad de las funciones siguientes a los puntos indicados:

1-

sen(x)

1

e 1 si x 0f (x) x1 si x=0

en 0

2- 2

sen(x) si x<0f (x) 0 si x=0

1exp - si x>0x

Ejercicio 15. Para cada una de las funciones siguientes, mostrar que es continua sobre su dominio de definición, y estudiar si es prolongable por continuidad sobre .

1- 1

x 31f (x) e

2- 3 2

2x 2x x 2f (x)

x 1

3- 3sen(2x)f (x)

3x

4- 41f (x) x.senx

Ejercicio 16. Sea f una función de en .


Límite-Continuidad

107

1- Mostrar que si f es creciente y mayorada, entonces f admite un límite finito en + . (Podemos considerar en conjunto f()).

2- ¿Qué pasa si f es una función creciente pero no mayorada? Ejercicio 17. Sea f una función definida sobre . Sea g una función tal que

xLimg x 0

.

Suponemos que existe un real x0 y un real M tales que para todo real x : 0x x f x M .

Mostrar que xLimf x g x 0

.

Ejercicio 18. Sean f, g y h las funciones definidas por:

2x x

f xx 1

2

xg xx x

3 2x 2x x 2h x

1 x

1- Mostrar que f es continua en 0. ¿Podemos prolongar la función f por continui-dad en 1? 2- ¿Podemos prolongar g por continuidad en 0? 3- a ¿h es continua en 0? b. Calcular :

x 1Limh x

y x 1

Limh x

.

c. Definir la función k que prolonga h por continuidad sobre . Ejercicio 19. Mostrar con ayuda de la definición que si una función f definida sobre E es continua en x0, entonces |f| también lo es. Estudiar la recíproca. Ejercicio 20. Mostrar que la ecuación "x²cos(x) + x sen(x) + 1 = 0" admite al menos una so-lución real. Ejercicio 21. Sea f una función continúa de en tal que

xLimf (x)

y xLimf(x)

.

1- Mostrar que existe un real a < 0 tal que f (a) < 0 y un real b > 0 tal que f (b) > 0. 2- Mostrar que la ecuación f (x) = 0 posee por lo menos una solución. 3- Deducir que todo polinomio a coeficientes reales de grado impar posee por lo me-

nos una raíz efectiva.

Ejercicio 22. Sea f : ++ una aplicación continua tal que Limf(x)xx

= < 1. Mostar que:

∃x0∈+/ f(x0)=x0 Ejercicio 23. Sean a, b dos reales tales que ab y f, g dos funciones definidas y continuas sobre [a,b]. Suponemos que para todo real x de [a,b], f(x) > g(x). Demostrar que :

λ 0 x [a;b], f(x) g(x)+λ

Ejercicio 24. Sea la función definida sobre I= 1; por: x 1f : xx 1

.

Demostrar que f es una biyeccion de I en I, y determinar su biyeccion recíproca. Ejercicio 25. Para cada una de las siguientes aplicaciones f, mostrar que es una biyección entre las partes I e J de que precisaremos, determinar su recíproca y dar el perfil del gráfico de f y de f -1.


Límite-Continuidad

108

1- f (x) 5 x 1

2- 2

x si x<1f (x) x si 1 x 4

8 x si x>4

Ejercicio 26. Determinar una función f biyectiva continua cuya aplicación recíproca no es continua. Podremos conformarnos con una representación gráfica para definir la función.

Ejercicio 27. Sea f la aplicación definida sobre I= ,2

por f(x)= 1

sin(x).

1- Estudiar las variaciones de f y luego mostrar que f es una biyección de I en un in-térvalo J a determinar. No buscaremos explicar f -1. ¿Cuál es el sentido de la varia-ción de f -1?

2- Determinar 1f 2 y 1f 2 .

3- Trazar los gráficos de f y de f -1.

Ejercicio 28. Sea la función f definida en [0,1] ]e,3] por xe si 0 x 1

f (x)x si e<x 3

.

1- Estudiar la continuidad y la monotonía de f en su conjunto de definición. 2- Mostrar que f es biyectiva y determinar su biyección recíproca f -1. 3- Estudiar la continuidad de f -1. ¿Este resultado es compatible con el teorema visto

en el curso? Ejercicio 29.

1- Calcular sin (arcsin(-0,2)), 11arcsen sen4

, 7arccos cos3

, 19arctan tan6

.

2- Dar una expresión simplificada por las expresiones siguientes: sen(2arcsen(x)) ; cos(2arccos(x)) ; cos(arctan(x)). 3- Estudiar la función f : x arccos(cos(x)). Ejercicio 30. Se recuerdan las definiciones siguientes :

x = arcsen(t) t s en x x2 2

x = arccos(t) (t = cos(x) ( )0 x )

x = arctan(t) t tan x x2 2

)

Demostrar las relaciones siguientes precisando su dominio de validez:

sen(arcsen(t))=t ; cos(arcsen(t))= 1 t² ; tan(arcsen(t))= t1 t²

sen(arccos(t))= 1 t² ; cos(arccos(t))=t ; tan(arccos(t))= 1 t²t

sen(arctan(t))=t

t1 ² ; cos(arctan(t))=

11 t²

; tan(arctan(t)) = t


Límite-Continuidad

109

t = sen(x) k , ( x = arcsen t + 2k) ( x = - arcsen t + 2k ) t = cos(x) k , ( x = arccos t + 2k) ( x = - arccos t + 2k) t = tan(x) k , ( x = arctan t + k) Ejercicio 31. Construir el gráfico de la función definida por: f(x)=arccos(cos 2x). Ejercicio 32.

1. Calcular 2arccos cos3

, 5arcsen sen4

, 2arcsen2

y 1sen arcsen3

.

2. Dar una expresión más simple de las funciones siguientes : a- cos arctan x b- sen arctan x c- tan arccos x

3. Simplificar arcsen sen 2x para x ;2 2

.

Ejercicio 33. a- Determinar el conjunto de definición y construir el gráfico de la función:

1 x² 2x 2xf : x 2arccos arcsen arctan1 x² 1 x² 1 x²

Indicación: podrán poner t = arctan(x).

b- Resolver la ecuación: f(x) = 23 .

Ejercicio 34. Resolver la ecuación: arctan(2x) + arctan(x) = 4 .


Límite-Continuidad

110

Algunos ejercicios corregidos Ejercicio 35. Sean A y B dos partes no vacías de tales que : (a ; b)AB : a b.

a- Justificar la existencia de Sup (A) y de Inf (B). b- Demostrar que tenemos Sup (A) Inf (B) (Podemos razonar por lo absurdo)

Corrección : a- A es una parte no vacía. Además, el conjunto de los mayorados de A contienen B y entonces es una parte no vacía, lo que significa que A está mayorada. Siendo A una parte no vacía y mayorada, ella admite un límite superior. Hacemos el mismo razonamiento para demostrar que B admite un límite inferior.

b- Razonamos por lo absurdo. Supongamos que sup(A)>inf(B). Entre dos reales, siempre podemos encontrar otro real entonces : 0 , inf(B)<inf(B)+<sup(A) Caracterizando el límite inferior, sabemos que : 0, b B , inf(B)<b<inf(B)+. Entonces, podemos deducir que : b B , b<sup(A). Entre dos reales, siempre podemos encontrar otro real entonces:

0 b sup A sup A Caracterizando el límite superior, sabemos que :

0 a A, sup A a sup A Entonces, deducimos que : a A, b a . Como esto es absurdo por hipótesis, tenemos: a,b A B, a b .

Concluimos que : sup A inf B . Ejercicio 36. Sea A una parte no vacía limitada de . Demostrar que

2x,y Asup x y supA inf A

.

Corrección : Siendo A limitada, ella admite un límite superior y un límite inferior.

Por definición, tenemos por un lado: 0 x A, sup A x sup A2

.

Y por otro lado, 0 y A, inf A y inf A2

.

La segunda desigualdad se escribe también: inf A y inf A2

.

En particular, obtenemos combinando esos dos resultados que : 20 x, y A ,sup A inf A x y sup A inf A

Ahora, solo queda reemplazar x-y por x y . Hay que distinguir dos casos: Caso 1- sup A inf A 0 Todos los términos de la desigualdad son positivos, podemos reemplazarlos por sus valores absolutos. Esto nos da entonces: sup A inf A x y sup A inf A .

Caso 2- sup A inf A 0


Límite-Continuidad

111

Este caso no es importante. En efecto, tomemos como en el anterior caso, entonces: 2x, y A ,0 sup A inf A x y x y sup A inf A

En particular, 2x, y A ,sup A inf A x y sup A inf A . Entonces tenemos el resultado buscado. De hecho, mientras queremos demostrar desigualdades de ese tipo, el problema se plantea únicamente para próximo de 0. Hemos entonces demostrado que :

20 x, y A ,sup A inf A x y sup A inf A Esto significa caracterizando el límite superior que :

2x,y Asup x y supA inf A

Ejercicio 37. Sean X e Y dos conjuntos no vacíos, y f una aplicación de XY en mayora-da. Demostrar que :

Sup f x y Sup Sup f x yx y X Y x X y Y( , )

( ; ) ( ; )

Corrección: a- Esos límites superiores existen. b- Anotemos F la función de X en definida por : ).y;x(fSup)x(Fx

Yy

Entonces Sup Sup f x y Sup F xx X y Y x X

( ; ) ( ).

Sea (x y0 0; ) un elemento de XY.

Tenemos : f(x y0 0; )

F x Sup F xx X

( ) ( )0 Sup Sup f x yx X y Y

( ; )

Entonces, Sup f x y Sup Sup f x yx y X Y x X y Y( , )

( ; ) ( ; )

Mostremos la desigualdad inversa. Tenemos:

( ; ) , ( ; ) ( ; )x y X Y f x y f x y Sup(x,y) X Y

F(x)

Sup F xx X

( )

Sup Sup f x yx X y Y

( ; )

Deducimos la igualdad:

Sup f x y Sup Sup f x yx y X Y x X y Y( , )

( ; ) ( ; )

Ejercicio 38. 1- Determinar E (n) para todo n . Determinar E (x) para x [ n ; n +1 [ con n . Probar que para todo real x y todo entero relativo n, tenemos: E (x + n) = E (x) + n. Hacer la representación gráfica de esta función en [ - 3 ; 3 ]. Probar que para todo x tenemos: x – 1 < E(x) x.


Límite-Continuidad

112

Deducir el límite de E (x) x cuando x tiende hacia + o hacia – .

Calcular el límite de x E

1x

cuando x tiende hacia el 0.

1- Estudiar cuando x tiende hacia el 0 de las siguientes funciones:

f (x) x

aE

b

x

y g(x)

a

xE

x

b

donde a y b don dos reales estrictamente positivos.

Corrección: 1- ∀n∈ℤ, n≤n<n+1 entonces E(n)=n. Sea x∈[n, n+1] con n ∈, entonces n≤x<n+1, entonces E(x)=n. Sea x∈ y n∈. Tenemos: E(x)≤x<E(x)+1 entonces E(x)+n≤x+n<E(x)+n+1. Deducimos qu e: E(x+n)=E(x)+n. Probamos que para toda x, tenemos:x-1<E(x)≤x. Por definición, tenemos E(x)≤x<E(x)+1 entonces E(x)≤x y x-1<E(x), y así también tenemos: x-1<E(x)≤x.

Luego de lo que precede, tenemos para x>0, 1- 1 E(x) 1x x y para x<0, 1- 1 E(x) 1

x x .

Deducimos, por el teorema de gendarmes, que x

E(x)Lim 1x

.

Propongamos

u 1x

entonces x 0 u

1 E(u)lim xE lim 1x u

.

Propongamos u=10n entonces n

nn 0 u

E(10 x) E(u)lim lim 110 x u

2- Propongamos u=

b

x entonces

x 0 u u

b E(u) b E(u) blimf (x) lim lima u a u a

.

Propongamos u=

x

b entonces

x u u

a E(u) a E(u) alim g(x) lim limb u b u b

.

Ejercicio 39. Sea f una función definida en . Suponemos que existe un real x0 y un real M tales que :

x , x > x0 | f (x) | < M Sea g una función tal que :

xLimg(x) 0

.

Demostrar que xLimf (x)g(x) 0

.

Corrección : εx +

lim g x =0 ε>0 A

, x A g(x) .

Sea entonces e>0. Tomemos 0M

max A , x

.

Entonces tenemos : x f x g x f x g x MM

.

Hemos entonces demostrado que 0, , x f x g(x) , lo que significa jus-

tamente que xlim f x g x 0

.


Límite-Continuidad

113

Ejercicio 40. Estudiar el límite eventual de la función f :x 3 xx² 81

en el punto x0=9.

Corrección : Se trata de un forma indeterminada de tipo 00

.

Observamos que 2x 81 x 9 x 9 x 3 x 3 x 9 para x 0.

Tenemos entonces

x 9 x 9 x 9

3 x 1 1limg x lim lim108x 3 x 3 x 9 x 3 x 9

.

Ejercicio 41. 1- Sea f una función de en . Demostrar que si f es creciente y mayorada, entonces f admite un límite finito en + . (Podemos considerar el conjunto f()). 2- Que pasa si f es creciente pero no mayorada? Corrección : 1- f() es un conjunto no vacío y mayorado entonces f() admite un límite sup que anotaremos . Caracterizando el límite superior, tenemos: 0, y , f() y y . Esto puede escribirse: 0, x , f x f x .

Además, como f es creciente, tenemos x x f x f x , y como f x f(), f x .

Deducimos que x x f x f x , sea x x f x .

Hemos entonces demostrado que 0, x , x x f x , lo que significa

exactamente que xlim f x

.

2- f no mayorada significa que : M , 0x , 0f x A .

Como f es creciente, 0 0x x f x f x .

Deducimos entonces que M , 0x , 0x x f x A .

Eso significa exactamente que xlim f x

.

Ejercicio 42. Sea la función definida por : (x) = 4

4

ln x

x 1.

1- Determinar el dominio de definición de esta función. 2- Estudiar el límite eventual de en los puntos (-1), 0 y 1. 3- Podemos prolongar por continuidad en * ? en ?

Corrección : 1- Tenemos D = {-1, 0, 1}.

2- Antes que nada, observemos que x 1 x 1lim x lim x

porque la función es

par.

4

4x 1 x 1 X 1 u 0

ln x ln X ln 1 ulim x lim lim lim

x 1 X 1 u

.


Límite-Continuidad

114

Recordamos que u 0

ln 1 ulim 1

u

Deducimos que x 1lim x 1 .

Por otro lado, tenemos:

4

4x 0 x 0 X 0

ln xlim x lim lim ln X

x 1

.

3- Podemos prolongar por continuidad en * tomando 1 1 1 Por el contrario, no podemos prolongar en todo entero. Ejercicio 43. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados:

1- f(x) = sen x si x<0

0 si x=0-1exp si x>0x

en el punto x0 = 0

2- g(x)= 1xE si x 0x

1 si x=0

en los puntos x0=0 y x0=13

3- h(x)=0 si x racional x si x irracional

en los puntos x0=0 y x0=1.

Corrección : 1- Tenemos

x 0 x 0lim f x lim sen x 0

.

Además , Xx 0 x 0

1lim f x lim exp lim exp X 0x

.

Deducimos que f es continua en 0.

2- Tenemos

x 0 x 0 X

E X1limg x lim xE lim 1 g 0x X

entonces g es continua en

0.

Tenemos

X 31 1x x3 3

E X1 2 1lim g x lim xE lim 1 gx X 3 3

entonces g no es continua

en 13.

3- Sea y, tenemos 0 si y racional

h 0 h yy sino

.

En particular, 0, y h 0 h y . Entonces h es continua en 0. Por el contrario, h no es continua en 1. Para probar esto, vamos a escribir la definición de esta propiedad y la vamos a negar: h continua en 1 h0, 0, y D , 1 y h 1 h y

Entonces h no es continua en 1 h0, 0, y D , 1 y h 1 h y


Límite-Continuidad

115

Sea y, tenemos 0 si y racional

h 1 h yy sinon

.

Sea entonces 1 et 02

.

Podemos encontrar un elemento y irracional tal que 1 y 1 . Tenemos entonces por un lado 1 y y por otro lado, h 1 h y y 1 . Deducimos entonces que h no es continua en 1. Ejercicio 44. Sea f una función continua de [0, 1] en [0, 1]. Demostrar que la ecuación f(x) = x posee al menos una solución. Podremos considerar la función g definida por g(x) = x – f(x). Corrección : Anotemos g(x)=f(x)-x. g es continua en [0, 1] porque compuesta por funciones continuas en [0, 1]. Supongamos que x 0,1 g x 0 pues x 0,1 g x 0 . Como g es una función continua, esto implica que tiene un signo constante. Podemos entonces suponer que x 0,1 g x 0 por ejemplo. Observemos que si g(x)>0 entonces nos interesamos a la función (-g). Así, x 0,1 , x f x . Como para x=1, esto nos da 1<f(1) lo que es absurdo por hipótesis, porque f tiene valores en [0, 1]. Concluimos que x 0,1 , f x x . Ejercicio 45. Sea f una función definida en y periódica.

1- Suponemos que xlim f x l

. Demostrar que f es constante.

2- Suponemos que f es continua en . Demostrar que f está limitada. Corrección : 1- Anotemos T el periodo de f y tomemos un real. Tenemos n , f a nT f a .

Hacemos tender n hacia , obtenemos : n X

f a lim f a nT lim f X l

.

Finalmente, a , f(a)=l entonces f es una función constante. 2- Anotemos T el periodo de f (T>0). f es continua en [0, T] entonces en particular, f está limitada y alcanza sus límites en este in-tervalo. Sea entonces m su mínimo en [0, T] y M su máximo. Sea a un real. Existe un entero n tal que a nT 0,T .

De hecho, a , a a aE E 1T T T

.

Anotemos entonces an ET

(enteros), tenemos entonces :

an n 1 nT a nT T 0 a nT TT


Límite-Continuidad

116

Ahora, como a nT 0,T , tenemos m f a nT M .

Como f a nT f a entonces m f a M . Deducimos que f es limitada en . Ejercicio 46. Consideramos una aplicación f continua de + en el mismo y que admite 0 co-mo límite en . Demostrar que para todo a 0 , existe b a en el cual f alcanza su máximo en a, . Corrección: Sea a 0 . f teniendo valores en +, tenemos x +, f x 0 .

Por hipótesis, tenemos xlim f x 0

y esto se escribe:

0, A 0, x +, x A f x f es continua en [0, a] que es un intervalo cerrado limitada, entonces f está limitada y alcanza sus límites. Entonces existe a 0,a tal que x 0,a f x f a .

Anotemos f a , con lo que precede, A 0, x +, x A f x f a . Si A a , entonces basta con tomar b=a. Sino, tenemos A>a, pero f es continua en [a, A] que es un intervalo cerrado limitado entonces f está limitada y alcanza sus bornes. En particular, existe b a,A en el cual f alcanza su máximo en [a, A]. Además, ya que x A, f x f a , tenemos también x A f x f a f b .

Deducimos que f(b) es el máximo de f en a, . Ejercicio 47. 1- La función parte entera E posee la propiedad del valor intermediario? 2- Buscar una función discontinua en [0 ; 1] que posada la propiedad del valor intermediario. Corrección : 1- No, de hecho podemos tomar como ejemplo y 1,5 . Tenemos E 1 y E 2 y por lo tanto no existe c tal que y E c ya que y no es un entero..

2-

1x si 0 x2f x

12 2x si x 12

.

Ejercicio 48. 1- Calcular arcsen 3sen2

, arccos cos2

y arctan 3tan4

.

2- Simplificar la expresión (x) = arctan (tan x ) con x 5 5,2 2

.

3- Simplificar f(x) = arcsen(sen(3x)) y g(x) = arccos(cos(3x)) para x

- 2 ; 2 .

Trazar las curvas representativas de estas dos funciones.


Límite-Continuidad

117

4- Expresar en función de x luego de haber dado el dominio de definición de la función considerada:

a- tan (arcsenx) b- cos (arctan x). 5- Estudiar completamente siguiente la función: g (x) = arcsen (cos x)

Corrección : 1- 3arcsen sen arcsen sen2 2 2

,

arccos cos arccos cos2 2 2

3arctan tan arctan tan4 4 4

2- Tenemos x con , et x2 2

.

Deducimos que :

5 3x 2 si x ,2 2

3x si x ,2 2

x x si x ,2 2

3x si x ,2 23 5x 2 si x ,2 2

.

3- Tenemos 3 3x , 3x ,2 2 2 2

, de donde :

33x si 3x , 3x si x ,2 2 2 6

f x 3x si 3x , 3x si x ,2 2 6 6

33x si 3x , 3x si x ,2 6 2

3x 2 si x ,3 2 33x 2 si 3x ,2

3x si x ,03x si 3x ,0 3g x

3x si 3x 0, 3x si x 0,333x 2 si 3x ,

2 3x 2 si x ,3 2

.


Límite-Continuidad

118

4- a- El dominio de definición es 1,1 .

Tenemos

sin arcsen x xtan arcsen xcos arcsen x cos arcsen x

.

Para determinar cos arcsen x en función de x, utilizamos la relación 2 2cos sen 1 .

2 2 2 2cos arcsen x =1-sen arcsen x =1-x cos arcsen x 1 x

De donde: 2

xtan arcsen x1 x

.

4-b- El dominio de definición es , .

Recordamos que

22

1cos1 tan

, de donde:

222

1 1cos arctan x1 x1 tan arctan x

Como cos x 0 para x ,2 2

, deducimos que 2

1cos arctan x1 x

.

5- Sea g x arcsen cos x . Claramente tenemos gD . g es 2periódica y es también par. Podemos entonces restringir el intervalo de estudio en 0, .

g se puede derivar en 0, y tenemos

2

sen x sen xx ]0, [, g x

sen x1 cos x

.

La función siendo positiva en 0, , deducimos que la función g es decreciente en 0, . Por paridad, obtenemos la siguiente tabla de variación :


Límite-Continuidad

119

x

2

0 2

g’(x) + -

g(x)

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Ejercicio 49. 1- Linearizar f(x) = (ch x ) 5 y g(x) = (sh x ) 5. Deducir una primitiva de cada una de estas funciones.

2- Resolver en el siguiente sistema: chx + chy = 5shx + shy = 3

.

3- calcular las siguientes sumas: S n = n

k 1ch kx

y Tn = n

k 1sh kx

.

Corrección :

5x x5x 3x x x 3x 5x 5x 5x 3x 3x x x

5 5

5

e e 1 11 f x e 5e 10e 10e 5e e e e 5 e e 10 e e2 2 2

1 1 5 5 2ch 5x 10ch 3x 20ch x ch 5x ch 3x + ch x2 16 16 8

Una primitiva de f es entonces : 1 5 5F x sh 5x sh 3x + sh x

80 48 8 .

5x x5x 3x x x 3x 5x 5x 5x 3x 3x x x

5 5

5

e e 1 1g x e 5e 10e 10e 5e e e e 5 e e 10 e e2 2 2

1 1 5 52sh 5x 10sh 3x 20sh x sh 5x sh 3x + sh x2 16 16 8

Una primitiva de g es entonces : 1 5 5G x ch 5x ch 3x + ch x

80 48 8 .


Límite-Continuidad

120

2- Sumando y restando estas dos ecuaciones, verificamos que el sistema es equivalente al si-

guiente: x y

x y

e e 8e e 2

.

Tenemos : x y x y x y x y 8e e 2 e e 2e e e e 42

.

Debemos entonces resolver el siguiente sistema : x y

x y

e e 8e e 4

.

Efectuamos el cambio de variable siguiente: x yu e y v e .

El sistema se escribe : u v 8uv 4

.

Las soluciones de este sistema son las raíces del polinomio: 2X 8X 4 . Tenemos 2 28 4 48 , y las raíces son entonces :

1 18 4 3 8 4 3x 4 2 3 y x 4 2 3

2 2

Concluimos que las soluciones del sistema

ch x ch y 5

sh x sh y 3

son ln 4 2 3 y

ln 4 2 3 .

3- Observamos que nxn n n kkx x x

n n xk 1 k 1 k 1

1 eS T ch kx sh kx e e e1 e

Por otro lado, nxn n n kkx x x

n n xk 1 k 1 k 1

1 eS T ch kx sh kx e e e1 e

.

Para concluir, basta de ver que :

n n n n n n n n n n1 1S S T S T et T S T S T2 2

Obtenemos entonces : n 1 x n 1 xnx nx x nx x nx

x xn x x x x x

1 1 e 1 e 1 e e 1 e 1 e e 1 eS e e2 1 e 1 e 2 1 e e 1 2 1 e

Y del mismo modo : n 1 x n 1 xnx nx x nx x nx

x xn x x x x x

1 1 e 1 e 1 e e 1 e 1 e e 1 eT e e2 1 e 1 e 2 1 e e 1 2 1 e


Derivadas

121

Capítulo 8

DERIVADAS


Procedente de su Auvernia natal, Michel Rolle (francés, 1652-1719) comienza su ca-rrera en Paris como simple copista. Se opuso al cálculo diferencial del cual Varignon era, en Paris, el ardúo defensor. En su "Tratado de álgebra" (1690) sobre la resolución de las ecua-ciones, Rolle aborda un tema fundamental: el problema de la separación de las raíces. Consis-te en aislar las soluciones de una ecuación, es decir de determinar las cercanías disconjuntas que contengan una y solo una solución de la ecuación. Aplicamos entonces diversos algorit-mos que reposan sobre la continuidad, la monotonía, la convexidad, etc. Formulación de Rolle (1691) : sea f(x) = 0 Una ecuación algébrica entera (polinomio). No puede existir más de una raíz (real) entre dos raíces consecutivas de su derivada (i.e. la derivada de f).

La noción de función derivada existe claramente desde Leibniz. No es por entonces que está todavía definida en tanto que límite de la tasa de crecimiento, que será el hecho de d'Alembert. Decir que f se anula, es decir que la tangente al gráfico en un punto situado entre a y b es paralelo al eje de las abscisas. 1- Derivada de un punto

1- Definición Teorema Sea f una función definida en el intervalo I y x0 un elemento de I. Los enunciados siguientes son equivalentes:

(1) La tasa de crecimiento de f en x0 admite un límite finito cuando h tiende hacia 0: 0 0

h 0

f (x h) f (x )Limh

=0

0

x x0

f (x) f (x )Limx x

=a

(2) Existe una función ℇ tal que para toda h tal que x0+h pertenece a I:

f(x0+h)=f(x0)+ah+h(h) con 0h

Lim

(h)=0

Definición Mientras las condiciones (1) y (2) del teorema son realizadas, decimos que f es derivable en x0. En el caso:

El real a es escrito f ’(x0); es el número derivado de f en x0.


Derivadas

122

La escritura f(x0 + h) = f(x0) + ah + h(h) es llamado desarrollo limitado del orden 1 de en x0.

2- Interpretaciones

Dos puntos de vista: a- Gráfico: noción de tangente

Sea

la representación gráfica de una función f en un plano transportado a las coordenadas

(

O , i

, j

), M0(x0,f(x0)) y M(x0+h,f(x0+h)) dos puntos distintos (h 0) de .

El coeficiente director de la recta (M0M) es h)x(f)hx(f 00 .

Si f es derivada en x0, la recta D0 pasa por M0 y de coeficiente director

h)x(f)hx(fLim 00

0h

= f ’(x0) es llamado tangente en M0 de .

Una ecuación cartesiana de la tangente D0 es: y = f(x0) + (x – x0) f ’(x0)

La función: x f(x0) + (x - x0)f ’(x0) definida en , de representación gráfica la tan-gente D0, es llamada función afín tangente a f en x0.

b- Numérico: aproximación afín La función 0h f (x h) admite una aproximación afín h f(x0) +f ’(x0)h, para h cercana de 0.

3- Número derivado a la derecha, a la izquierda Definición: Sea f una función definida sobre un intervalo I conteniendo x0.

Si h)x(f)hx(fLim 00

0h

= (∈), decimos que f es derivable hacia la derecha en x0, el

número es el número derivado hacia la derecha en x0. La representación gráfica de f admite una media tangente hacia la derecha en M0 (x0, f(x0)) de coeficiente director (las consideraciones precedentes son todavía válido si rem-plazamos la recta (M0M) por la media recta [M0M) obtenida para h>0).

x0 x0+h

f(x0+h)

f(x0)


Derivadas

123

Si h)x(f)hx(fLim 00

0h

= (∈), decimos que f es derivable hacia la izquierda en x0,

el número es el número derivado hacia la izquierda en x0.

La representación gráfica de f admite una media tangente hacia la izquierda en M0 (x0, f)x0)) de coeficiente director (considerar, también, la media recta [M0M) obtenida para h<0).

Interpretación geométrica

4- Reglas de caculo E es el conjunto de derivabilidad de la función f, k es un real, n es un entero.

f(x) f’(x) E k 0 x 1 xn (n 2) nxn-1 xn (n -1) nxn-1 *

x x2

1 *+

sin x cos x cos x -sin x ln x

x1 *+

ex ex xk (k) kxk-1 *+

Observación: En este cuadro, el conjunto de definición y el conjunto de derivabilidad no son diferentes que bajo el caso de la función raíz cuadrada. u y v son dos funciones derivables en el intervalo I (menos para la última línea del cuadro), k es un real, n es un entero.

f f’ Condiciones ku ku’ u+v u’+v’ uv u’v+uv’

u1 u '

u²

u no se anula en I

vu ²v

'uvv'u v no se anula en I

Cf


Derivadas

124

un nu’un-1 n 2 un nu’un-1 n -1 y u no se anula en I

u u2'u u positivo y no se anula en I

eu u’eu ln|u|

u'u u no se anula en I

uk ku’uk-1 k no es entero, u positivo y no se anula en I v u (v’ u)u’ u derivable en I, v derivable en J conteniendo

u(I) Atención: “Si una función u se anula en los reales a, entonces u no es derivable” es una aserción falsa. Es suficiente de considerar la función u: 4)ax(x . 2- Derivadas en un intervalo Definición: Si f es derivable en todo punto del intervalo I, podemos definir en I la función f’: x f '(x) llamada función derivada de f. Derivada de una función compuesta Sea f una función derivable en x0 y g una función derivable en f(x0). Estudiemos si g

o f Es derivable en x0. Porque f es derivable en x0, existe un intervalo I conteniendo 0 tal que:

0 0 0h I, f (x h) f (x ) hf '(x ) h (h) (1) estando

una función tal que h 0Lim (h) 0

.

Porque g es derivable en 0f (x ) , existe un intervalo J conteniendo 0 tal que:

0 0 0k J, g[f (x ) k] g[f (x )] kg '[f (x )] k (k) (2) estando β una función tal que

h 0Lim (k) 0

.

Según (1), podemos afirmar 0 0f (x h) f (x ) k con 0k hf '(x ) h (h) . La igualdad (2) puede entonces escribirse en las cercanías de h=0:

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

g[f (x h)] g[f (x )] [hf '(x ) h (h)]g '[f (x )] h (h)g[f (x )] hf '(x ) g '[f (x )] h (h)g f (x ) h[g ' f (x ) f '(x )] h (h) (3)

donde y son dos funciones de h de límite 0 cuando h tiende a 0. El desarrollo limitado (3) nos muestra que 0 0g ' f (x ) f '(x ) . Donde: Teorema: Sea f una función definida en el intervalo I conteniendo el real x0, y g una función defini-da en el intervalo J conteniendo y0=f(x0). Si f es derivable en x0 y si g es derivable en y0, entonces la función g

o f es derivable en x0 y (g

o f)’(x0)= 0 0 0 0f '(x ) g '(y ) f '(x ) g '(f (x )) . Notamos entonces (g f ) ' (g ' f ) f ' . Si x0 describe un intervalo, podemos concluir:


Derivadas

125

Teorema: Si f es derivable en un intervalo y si g es derivable en la imagen por f de este intervalo, entonces g

o f es derivable en el mismo intervalo que f y tenemos: (g f ) ' (g ' f ) f '

Aplicaciones:

1- Sea f : x ax b definida en y g una función derivable en un intervalo J imagen por f de un intervalo I.

x∈I, [g(ax+b)]’=ag’(ax+b) 2- Sea f una función derivable y que no se anula en un intervalo I.

(ln|f|)’= f

' f

Teorema : Sea f una función de en , continua y estrictamente monótona sobre un interva-

lo I. Entonces: a- f es una biyección de I sobre f(I)

b- f -1 es continua, estrictamente monótona “de mismo sentido de variación que f” c- si f se puede derivar en x0 elemento de I y f ’(x0) no nulo, entonces f -1 se puede derivar en f(x0) y :

1f ' (f(x0)) = 0

1f '(x )

Teorema : Sea f une función de en , que se puede derivar sobre un intervalo I, de deri-vada estrictamente positiva (o estrictamente negativa) salvo eventualmente en un número fini-to de puntos. Entonces, f es una biyección de I sobre f(I). Teorema : Sea f una función de en , biyectiva de I sobre f(I), que se puede derivar sobre I tal que f’ no se anula sobre I. Entonces f -1 se puede derivar sobre f(I) y :

1f ' = 1

1f ' f

3- Teorema de Rolle Teorema: Sea f una función definida y continua en [a,b], derivable en ]a,b[ tal que f(a)=f(b). Entonces, existe un elemento c de ]a,b[ tal que f ’(c)=0.

Ejemplo : con f : x arctan((x-1)²+5) - 32

, a=-2 y b=4


Derivadas

126

Observaciones acerca de la demostración del Teorema de Rolle: Es falso creer que, si c es un máximo, entonces f es creciente a la izquierda de c, entonces decreciente después. f(c) es ciertas veces el valor máximo, pero f puede no ser monótona, ni a

la izquierda ni a la derecha. Tomar por ejemplo la función f definida por: f(x)= x² 1- - x²sen²2 x

.

4- Teorema de los aumentos finitos Teorema: Sea f una función definida y continua en [a,b], derivable en ]a,b[. Entonces existe un elemento c de ]a,b[ tal que f(b) – f(a)=f ’(c)(b-a). Aplicaciones:

1- Sean “a”, “b” dos reales tales que “a” sea estrictamente inferior a "b", "f" una fun-ción real definida y continua en [a,b] tal que f sea derivable en todo punto de ]a,b[ excepto quizá en x0 elemento de [a,b].

Si existe 0x x

Lim

f ’(x) en ∪{+∞,-∞} y vale , entonces 0

0

xx xx)x(f)x(f

Lim0

existe y vale .

2- Estudiando la función g definida por 1f(x) x².sen si x 0x

f(0)=0

, demostramos

que la recíproca de la propiedad en 1- es falsa. Particularmente, si

0x xLim

f ’(x) no existe, no podemos concluir sobre la existencia de f ’(x0).


Derivadas

127

Gráfico de la función f

Teorema: desigualdad de los crecimientos finitos

Sea una función f derivable sobre [a, b]. 1- Si m f ’M sobre [a, b], entonces m(b-a) f(b)-f(a)M(b-a). 2- Si |f ’|M sobre [a, b], entonces |f(b)-f(a)|M(b-a). Prueba : Método 1 : Suponemos que existen dos reales m et M tales que m f ’M sobre [a,b]. Considerando las funciones definidas sobre [a, b] :

g : x f(x)-mx y h : x f(x)-Mx. Para todo x de [a, b], tenemos :

g’(x)=f ’(x)-m 0 y h’(x)=f ’(x)-M 0 entonces g es creciente y h decreciente sobre [a, b] donde :

g(a) g(b) et h(a) h(b) es decir :

f(a)-ma f(b)-mb et f(a)-Ma f(b)-Mb lo que podemos escribir :

m(b - a) f(b) - f(a) M(b - a) En particular si |f ’|M sur [a, b], tenemos : - M(b-a) f(b)-f(a) M(b-a) Es decir : |f(b)-f(a)l M(b - a). Método 2 : caso particular del teorema de los crecimientos finitos. Sentido de variación de una función de valores reale

Teorema: Sea f una función continua sobre [a, b] y derivable sobre ]a, b[. tenemos las siguientes equivalencias : 2- Sentido de variación de una función con valores reales

f creciente entre [a, b] t ]a,b[, f '(t) 0 f decreciente entre [a, b] t ]a,b[, f '(t) 0 f constante entre [a, b] t ]a,b[, f '(t) = 0.

Demonstración : El sentido proviene de un pasaje al límite entre las tasas de crecimiento de signo constante. Puede ser demostrado desde el curso de Primero.


Derivadas

128

Guillaume de l’Hospital

La recíproca es admitida en el liceo. Ella utiliza en efecto el teorema de las tasas de crecimiento finito. Si f ’ es de signo constante (o nulo), es el mismo para todas las tasas de

crecimiento f (y) f (x)y x

ya que este último es igual a f '(c) con c entre x e y.

Observación : Es falso creer que f '(x0) > 0 f es estrictamente creciente entre un intervalo conteniendo x0. Basta con la estricta positividad entre todo un intervalo, pero la positividad en un punto único no basta.

Considerar por ejemplo f(x) = x + 2x2 sen 1x

en 0. Tenemos f '(0) = 1, pero f ' no es de signo

constante en ninguna proximidad de 0.

Si f se puede derivar y si f ' > 0, f es estrictamente creciente. La recíproca es falsa. Puede ser que f sea estrictamente creciente y que se puede derivar y que f se anule. Basta con tomar f(x) = x3. El equivalente es el siguiente : Notemos Z el conjunto de las x donde f ’ se anula. f estrictamente creciente f ' 0 y Z no contiene ningún intervalo ]a, b[ con a < b En efecto, decir que f es creciente sin serlo estrictamente, quiere decir que existe x < y tal que f(x)=f(y), o también que f es constante sobre un intervalo o también que f se anula sobre un intervalo o finalmente que Z contiene un intervalo abierto.

Corolario : Sea f una función continua sobre el intervalo I, derivable salvo en un nu-mero finito de puntos de I. Si f ’ es de signo constante y solo se anula en un numero finito de puntos del intervalo I, entonces f es estrictamente monótona.

Teorema de los crecimientos finitos generalizados Sean f y g dos funciones definidas y continuas sobre [a,b], derivables sobre ]a,b[, g’ no se anula sobre ]a,b[. entonces, existe c elemento de ]a,b[ tal que :

f (b) f (a) f '(c)g(b) g(a) g '(c)

Regla de Hospital (Francés 1661-1704) Sea I intervalo, x0 un elemento de I y un elemento de . Sean f y g dos funciones continuas sobre I y derivables sobre I\{x0} con g’(x) 0 para todo x elemento de I\{x0}. Entonce :


Derivadas

129

0 0

0

x x x x0

f (x) f (x )f '(x)Lim Limg '(x) g(x) g(x )

Variante : Sea I intervalo, x0 un elemento de I y un elemento de .

Entonces el cálculo del límite de un cociente 0x x

f (x)Limg(x)

con una forma indeterminada 00

, con

f y g dos funciones continuas sobre I y derivables sobre I\{x0} con g’(x) 0 para todo x ele-

mento de I\{x0}. Si 0x x

f '(x)Limg '(x)

, entonces 0x x

f (x)Limg(x)

.

Esta regla aparece por la primera vez en 1696 en el tratado Análisis de los infinitamente pe-queños de Guillaume de L’Hospital, que es el primer libro sobre el cálculo diferencial. El li-bro está realizado gracias a Jean Bernoulli, quien había hecho el descubrimiento dos años an-tes. 5- Extremo de una función Definición: Sea f una función definida en un intervalo I y x0 un real de I. Decimos que f(x0) es un mínimo local (respectivamente máximo local) de la función f en I mientras f(x0) es el más pequeño valor (respectivamente el más grande valor de f) en un in-tervalo abierto contenido en I y conteniendo x0. Ejemplo: En I=[-0,8 ; 1], la función f representada aquí abajo admite dos mínimos locales: f(b) y f)d), y dos máximos locales: f(a) y f(c).

Observación: Notamos que la definición anterior excluye los límites a y b de I, que no pue-den pertenecer a ningún intervalo abierto contenido en I. Teorema: Sea f una función derivable en un intervalo abierto I. Si f admite un extremo local en un punto x0 de I, entonces f’(x0)=0. Teorema: Sea f una función derivable en un intervalo abierto I y x0 un punto de I. Si la derivada f’ se anula en x0 cambiando de signo, entonces f(x0) es un extremo local


Derivadas

130

Del mismo modo:

Los extremos locales de una función derivable en un intervalo abierto deben buscarse entre los ceros de la derivada, pero la recíproca es falsa;

En todo punto de la curva Cf correspondiente a un extremo local en un intervalo abier-to (con f derivable en este intervalo), la tangente es horizontal.

6- Funciones de clase Cn Definición: Sea f una función derivable en un intervalo I.

f’ es la función derivada primera de f; podemos escribirla también f(1). Si f’ es derivable en I, su derivada f’’ es llamada función derivada segunda de f; se es-

cribe f(2). Por iteración, para n entero natural no nulo, la función derivada n-sima de f, se escribe

f(n), es la derivada de la función derivada (n-1)-sima de f. Escribimos también f ’ bajo la forma dx

df donde: f ’’= dxdf

dxd la cual escribimos como: ²dx

f²d .

De manera más general, la derivada n-sima de f se escribe igualmente: n

n

dxfd

.

Definición: Sea I un intervalo. Una función de clase C0 en I es una función continua en I. El conjunto de las funciones de clase C0 en I se escribe C0(I). Una función de clase C1 en I es una función derivable con derivada conti-nua en I. El conjunto de las funciones de clase C1 en I se escribe C1(I). Sea “n” un elemento de . Una función de clase Cn en I es una función derivable n veces y de derivada enésima continua en I. El conjunto de las funciones de clase Cn en I se escribe Cn(I). Una función de clase C en I es una función indefinidamente derivable en I. El conjunto de las funciones de clase C en I se escribe C (I).

Ejemplo : La función f definida por 1f(x) x².sen si x 0x

f(0)=0

(véase párrafo 2) es un

ejemplo de función de clase C0, que se puede derivar y de derivada no continua.

Demostración : Tenemos 2 1x senf x - f 0 1x= =xsen

x x x

.

Ya que 1-1 sin 1x

, tenemos

1-x xsen x ya que x 0x

y entonces por el teorema

de gendarmes x 0

1lim xsen =0x

.Deducimos que f se puede derivar en 0 y tenemos f ' 0 =0


Derivadas

131

Por otro lado, sabemos que f se puede derivar sobre * con derivada 1 1x 2xsen -cosx x

.

Tenemos que x 0

1lim xsen =0x

y sabemos que 1x cosx

no tiene límite en 0.

Deducimos entonces que 1 1x 2xsen -cosx x

no tiene límite en 0 y así que f 'no es con-

tinua en 0. Propiedad: Sea “n” un elemento de . Sean “f” y “g” dos funciones de clase Cn (resp. C ) y sean y dos reales. Entonces f+g es una función de clase Cn (resp. C ). Formula de Leibniz: Sea “n” un elemento de . Sean “f” y “g” dos funciones de clase Cn (resp. C ). Entonces fg es una función de clase Cn (resp. C ).

Además, (fg)(n)= n n

k (k) (n k) (k) (n k)n

k 0 k 0

nC f g f g

k

.

Demostración : Se efectúa por recurrencia en n.

- Fundación Está evidentemente verificada para n = 0 y para n = 1, para el cual reco-nocemos que : (fg)' = f ' g + fg '.

- Herencia : Si la fórmula es verdadera al rango n y que las funciones se pueden deri-var n+l veces, vemos que (fg)(n) se puede derivar y con derivada:

(fg)(n+l)= n

p (p 1) (n p) (p) (n p 1)n

p 0C f g f g

=n

p (p 1) (n p)n

p 0C f g

+n

p (p) (n p 1)n

p 0C f g

= n 1

p 1 p (p) (n p 1)n n

p 0C C f g

cambiando de índice p+ l p en la primera suma

=n 1

p (p) (n p 1)n 1

p 0C f g

(Utilizamos el hecho que pnC = 0 si p < 0 o p > n).

La demostración, así que la naturaleza de la fórmula, es entonces comparable a aquella del desarrollo del binomio de Newton. No es una casualidad : la fórmula de Leibniz permite de deducir la fórmula del binomio de Newton. Basta con tomar f(x) = eax y g(x) = ebx y de apli-car la fórmula de Leibniz en x = 0. 7- Formula de Taylor-Lagrange

TAYLOR Brook, inglés, 1685-1731


Derivadas

132

Ecléctico, se dedicó a la música, a la pintura y a la filosofía. Fue alumno, en Cambridge, de John Machin. Fuera de algunos trabajos geométricos dirigidos sobre la perspectiva, le debemos principalmente la publicación (1715-1717) de su tratado sobre el desarrollo en serie de funciones: Methodus incrementorum directa

et inversa. Fue miembro de la Royal Society de Londres (el equiva-lente a la academia de las ciencias francesa) desde 1712. La fórmula de Taylor, dicha también de Taylor-Lagrange, es en realidad el término de trabajos ya empezados por Gregory, Newton, Leibniz et Jacques Bernoulli.

Teorema: Sea “n” un elemento de . Sea “f” una función de clase Cn en [a,b] tal que f(n+1) existe en ]a,b[. Entonces, existe c elemento de ]a,b[ tal que:

f(b)=k n+1n

(k) (n 1)

k 0

(b a) (b-a)f (a) + f (c)k! (n 1)!

Fórmula de Taylor-Lagrange al orden n

Observación: Para n=0, se encuentra de nuevo la fórmula de los aumentos finitos.

Otra formulación con las mismas hipótesis:

- con a=x, b=x+h, h>0: f(x+h)= k n+1n

(k) (n 1)

k 0

h hf (x) + f (c)k! (n 1)!

- con b=a+x, x>0: Existe elemento de ]0,1[ tal que:

f(a+x)= k n+1n

(k) (n 1)

k 0

x xf (a) + f (a x)k! (n 1)!

- con a=0, b=x, x>0: Existe elemento de ]0,1[ tal que:

f(x)= k n+1n

(k) (n 1)

k 0

x xf (0) + f ( x)k! (n 1)!

Formula de Mac-Laurin 8- Caso particular de las funciones polinómicas Teorema: Sea P un elemento de 𝕂[X] tal que deg(P)=n, sea a un elemento de 𝕂.

Entonces, P(X+a)= kn

(k)

k 0

X P (a)k!

.

Variante: P(X)= (k)n

k

k 0

P (a)(X a)k!

.

Aplicación: Sea P un elemento de 𝕂[X], P no nulo, sea a un elemento de 𝕂. Tenemos una equivalencia entre i- y ii-

i- a es una raíz de P de multiplicidad k ii- P(a)=P’(a)=…=P(k-1)(a)=0 et P(k)(a) 0.


Derivadas

133

Ejemplo: Raíces de P=X X X X X5 4 3 23 4 4 3 1 9- Factorización en productos de factores irreductibles en [X] Teorema de d’Alembert: Sea P un elemento de [X] que no es nulo, tal que deg(P)=n. Entonces P admite exactamente n raíces, cada raíz se cuenta considerando su orden de multiplicidad. Se dice que es algebraicamente cerrado.

Conjeturado por Albert De Girard en 1629, este resultado no será demostrado más que por Gauss en 1799, tras un intento casi conseguido por d’Alembert, pero también por Euler y Lagrange. A este teorema, capital para el Algebra, la Aritmética y el Análisis, se le llama teorema fundamental del Algebra, menos en Francia, donde se le relaciona con el nom-bre de d'Alembert.

Jean le Rond d'Alembert (francés, 1717-1783) : Hijo natural de un comisario en artillería, abandonado sobre las escaleras de una capilla parisina, el futuro matemático es acogido por un vidriero quien recibirá una pensión por la educación del niño que estudiará brillante-mente el derecho, la medicina y las matemáticas. Co fundador, , en 1751, junto con Diderot, de la Enciclopedia, llamada también “Diccionario razonado de las Ciencias, las Artes y los Oficios”, síntesis de los conocimientos filosóficos, literarios y científi-cos de ese siglo fértil, llamado “siglo de las luces”.

Consecuencia: Sea P un elemento de [X] que no es nulo tal que deg(P)=n., P=n

kk

k 0a X

.

Sean (xk)k=1 a n las n raíces de P (distintas o no). P puede escribirse: P=n

n kk 1

a (X x )

.

Consecuencia: La factorización de P en productos de factores irreductibles en [X]. Todo polinomio P de [X] se descompone de la forma:

P = a ip

ii 1

X

Donde los 1,…, p son las diferentes raíces de P de multiplicidades 1,…, p y a es el coefi-ciente del término de mayor grado de P.

Tenemos : p

ii 1 = deg(P).

10- Factorización en productos de factores irreductibles en [X] Teorema: Sea P un elemento de [X]. Si z0 es una raíz compleja de P de multiplici-dad , entonces 0z es también una raíz de P con la misma multiplicidad .


Derivadas

134

Consecuencia: Factorización de P en productos de factores irreductibles en [X]. Todo polinomio P de [X] se descompone en la forma :

P = a jip q

2i j j

i 1 j 1

X X b X c

donde i, 1 i p, son las diferente raíces reales de P de multiplicidades i, los bj y cj , 1 jq, son reales tales que bj

2−4cj < 0 y a es el coeficiente del término de mayor grado de P.

Tenemos : p

ii 1 +2

q

jj 1 =deg(P).

11- Relaciones entre coeficientes y raíces

Sea P un elemento de [X] que no es nulo tal que deg(P)=n, P=n

kk

k 0a X

. Sea (xj)j=1 a n

las n raíces de P (distintas o no). Entonces, para k entero incluido entre "1" y "n":

1 k

1 k

k n ki i

i ... i n

ax ...x ( 1)a

En particular , n

ii 1

x

= n 1

n

aa y

n

ii 1

x

= n 0

n

a( 1)a


Derivadas

135


Ejercicio 1. Sea I un intervalo abierto de y a I . Sea f una aplicación de I en que se puede derivar. Recordamos que si f se puede derivar en a entonces f es continua en a. Demostrar que la implicación recíproca es falsa dando contra- ejemplos de funciones conti-nuas en un punto pero que no se pueden derivar en ese punto. Ejercicio 2. Calcular las derivadas de las siguientes funciones (indicaremos el dominio de la derivabilidad de la función):

2

23 3

2

x 1 2 x

x 1f (x) ln( x 1), f (x) ln( 6x -1(4x 5) ), f (x) ln ,x 1

f (x) e , f (x) x(x 1 x ), f (x) x2

Ejercicio 3. Mostrar que si la función f se puede derivar en un punto x0 entonces:

0 0f (x h) f (x h)(h)2h

admite un límite cuando h tiende hacia 0. La recíproca es verdadera ? Ejercicio 4. Consideremos la función polinomial P definida por: 3 2P(x) x 8x 5x 3 . Escribir P(x) con ayuda de las potencias (x 2) . Ejercicio 5. 1- Utilizando el teorema de los crecimientos finitos, mostrar que para todos los

reales distintos x e y del intervalo 2 1; , sen(x) sen(y) x y3 3 2

.

2- Utilizando el teorema de los crecimientos finitos, mostrar que para todo x 0 ,

tenemos : 2

x arctan(x) xx 1

.

Ejercicio 6. Para x real, anotamos g(x)=x4-24x2+x+1. Con ayuda de la fórmula de Taylor aplicada a la función polinomio g en 2, estudiar la forma local de la curva que representa g en la proximidad del punto de abscisas 2. Ejercicio 7. Consideramos el polinomio 3P 2X 6X 4 . Calcular P’ y verificar que una de las raíces de P’ es también una raíz de P. Deducir la factorización de P en [X].


Derivadas

136


Ejercicio 1. x x es un contra-ejemplo. Ejercicio 2.

1. f se puede derivar sobre 1; , si x 1; , 1f '(x)2(x 1)

.

2. f se puede derivar sobre 1 ;6

, si 1x ;6

, 84x 3f '(x)(6x 1)(4x 5)

.

3. f se puede derivar sobre ; 1 1; , si x ; 1 1; , 4

4xf '(x)3(x 1)

.

4. f se puede derivar sobre , si x, 2x 1

2

xf '(x) ex 1

.

5. f se puede derivar sobre , si x,

22

2

x 1 xf '(x)

1 x

.

6. f se puede derivar sobre , si x, xf '(x) (1 x ln(2))2 . Ejercicio 3. 0h 0

lim (h) f '(x ) , la recíproca es falsa, x x con 0x 0 es un contra-

ejemplo. Ejercicio 4. Aplicamos la fórmula de Taylor-Lagrange al orden 3 para P entre x y 2. Obte-nemos, para todo x, 2 3P(x) 11 15(x 2) 2(x 2) (x 2) . Ejercicio 5. Aplicación directa de la desigualdad de los crecimientos finitos. Ejercicio 7. P’ 6X² 6 , 1 y -1 son raíces de P’, verificamos que 1 es una raíz de P, es en-tonces una raíz doble, entonces P se factoriza por (X 1)² , tenemos P 2(X 1)²(X 2) .


Derivadas

137

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Consideramos las aplicaciones siguientes definidas en . Estudiar cuantas veces estas funciones son derivables en R y determinar para cada una la n más grande de manera de que ella sea de clase Cn.

1- f(x)=|x-2|3

2- g(x)=x

1 x

3- h(x)= x² ln x si x 0

0 si x=0

4- i(x)= 3 1x sin si x 0

x0 si x=0

Ejercicio 2. Sea (a; b; c) 3 y sea f definida en por : f(x) =cos(x) si x<0

ax² bx c si x 0

.

¿Por cual(es) valor(es) de a, b y c la aplicación f es: continua en ? Derivable en ? Deriva-ble 2 veces en ? Derivable 3 veces en ? Derivable 4 veces en ?

Ejercicio 3. (Examen 01/2010) Sea f la aplicación definida en * por : f(x) = 2 1x arctanx

.

1- ¿Cuál es la igualdad de f? 2- Mostrar que f es prolongable por continuidad en 0. Notamos todavía que f es la

función prolongada. 3- a- Mostrar que f es derivable en 0 y dar la valor de f(0).

b- Mostrar que f es derivable en *y calcular f’(x) para x 0. c- Mostrar que f es de clase C1 en . d- ¿Es la función f 2 veces derivable en 0?

Ejericicio 4. Calcular la derivada de las funciones siguientes, luego de haber determinado su dominio de derivabilidad.

1- f(x) = (ch x)x 2- g(x) = ln(|x|)

Ejercicio 5. IE 01/2011. Sea f la función definida por f(t) = 1 t²arccos1 t²

.

1- Dar el conjunto de definición D de f. 2- Mostrar que f es derivable en el conjunto D0 =D{0}. Calcular f’(t) para toda t D0. 3- Deducir una expresión simplificada de f(t).


Derivadas

138

Ejercicio 1. Sea f una función de [0;1] en , que se puede derivar y tal que f(0) y f(1) sean iguales.

Consideramos la función g siguiente: g(x) =

1f(2x) si x 0,2

1f(2x-1) si x ,12

.

1- Mostrar que g es continua sobre [0,1]. 2- Bajo qué condición g se puede derivar sobre [0,1]?

Ejercicio 2. Tomamos a =

23 y sea f la función real definida sobre]-a,a[ por f(x)=tan 3x .

a- Mostrar que f admite una función recíproca g de la cual determinarán el con-junto de definición. b- Estudiar la derivabilidad de g. Expresar g'(u) en función de u y de g(u).

c- Determinar los gráficos de f y de g en una referencia ortonormalizada.

Ejercicio 3. Sea f la función definida sobre I = , 2

por f (x) = 1sin(x)

.

1- Estudiar las variaciones de f, y mostrar que f es una biyeccion de I sobre un interva-lo J a determinar. (No procuraremos calcular explícitamente f -1). ¿Cual es el sentido de varia-ción de f -1 ?

2- ¿En cuales puntos de J la función f -1 es derivable? 3- Determinar f -1 2 , f -1(2), y 1f ' 2 , 1f ' (2).

4- Trazar los grafos de f y f -1 en el plano ortonormal.

Ejercicio 4. Sea f la función definida sobre *+ por : x 1f xln x

.

1- Determinar el conjunto de definición de f. 2- Mostrar que f es prolongable por continuidad en 0 y en 1 por una función g continua sobre ;0 . 3- ¿g es derivable en 0? ¿ La curva de g admite una asíntota en ?

Ejercicio 5. Consideramos la función f definida sobre -1; por :

x ln 1 x

si x 0f x x0 sinon

Notamos fC la representación gráfica de f en una referencia ortonormal. 1- Mostrar que f es de clase derivable con derivada continua sobre -1; y ex-plicitar su derivada. 2- Determinar la ecuación de la tangente de la curva en el punto de abscisa 0. ¿La curva admite tangentes horizontales? 3- Estudiar las variaciones de la función sobre ;1 . Deducir el signo de la función f. 4- Estudiar la existencia de asíntotas de la curva y trazar la curva fC .


Derivadas

139

Ejercicio 6. Estudiar la derivabilidad de las funciones siguientes. ¿Son ellas de clase C1?

f xx1 x

3gx x 1

1h x x sen si x 0 1,2,3x

0 0

Ejercicio 7. Calcular la derivada enésima de la función x (x - 1)3ex. Ejercicio 8. 1. Función argsh: a- Mostrar que la función sh es una biyección de en . Notamos argsh su recíproca (llamada función argumento seno hiperbólico). Traza el perfil de la curva de argsh. b- Justificar que argsh es derivable en . c- Mostrar que para toda x, ch(argsh(x)) = 1 x² . d- Para todo real y, resolver la equación sh(x)=y en (podremos aplicar X= ex), y deducir la expresión de argsh(y) en función de y. 2. Función argch: a- Mostrar que la restricción de la función ch a + es una biyección de + en un inter-valo J que determinaremos. Notamos argch su recíproca (llamada función argumento coseno hiperbólico). Trazar el perfil de la curva de argch. b- ¿Sobre cuál intérvalo K la función argch es derivable? c- Por toda x J, escribir sh(argch(x)) en función de x.

Deducir que para toda x K, argch’(x)= 1x² 1

.

d-Para todo real y, resolver la ecuación ch(x)=y en y deducir la expresión de argch(y) en función de y.

3. Función argth: a- Mostrar que la función th es una biyección de hacia un intervalo L que determina-remos. Consideramos argth su recíproca (llamada función argumento tangente hiperbólica). Trazar el perfil de la curva de argth.

b-Justificar que argth es derivable en L.

c- Mostar que para toda x L, argth’(x) = 11 x²

.

d- Para todo real y, resolver la ecuación th(x)=y en los y deducir la expresión de arth(x) en función de x.

e-

Ejercicio 9. Sean a, x0 > 0 y f : *+ tal como : f(x)= 0

0

a x si 0<x<xx² 12 si x x

.

Dar una condición necesaria y suficiente para a y x0 para que f sea de clase C1 en *+. Ejercicio 10. Sea f una función no constante, n veces derivable sobre a;b . Mostrar que si f

posee n+1 ceros diferentes en a;b , entonces existe c a;b tal que nf c 0 .


Derivadas

140

Ejercicio 11. Sea f un función definida y continua entre el segmento [0,1] y tal que f(0)=f(1)=0. Suponemos, entre otros, que la función f se puede derivar entre [0, 1[ y que f’(0)=0.

Consideramos la función g de [0, 1] de definida por: g(x) = f (x) para x 0, 1

x0 para x=0

.

Mostrar que la función g verifica las hipótesis del Teorema de Rolle y deducir que existe a

]0, 1[ tal que f ’(a) = f (a)a

. Interpretar este resultado gráficamente.

Ejercicio 12. Evaluar un mayorando del error cometido tomando 100 como valor aproxima-do de la raíz cuadrada de 10 001.

Ejercicio 13. Mostrar que por todo entero k 1 tenemos : 1 1ln(k 1) ln(k)k 1 k

.

Deducir que la suma S n = 1 + 12 + 13 + …. + 1n tiende hacia + cuando n tiende hacia + .

Ejercicio 14.

1- Mostrar que si x 0; 1 , entonces tenemos : 2

xx arcsin x1 x

.

2- Mostrar que si x 0 , entonces tenemos : 2

x arctan x x1 x

.

3- Mostrar que si x es un real tal que x 0 , entonces tenemos :

2 3 23

23x 3x x 3x 3x1 1 x 12 8 16 2 8

Para cuales valores de x, 23x 3x1

2 8 es un valor cercano de

321 x con una precisión de

10–3 ? Ejercicio 15. a- Sea I un intervalo abierto, y f una aplicación de I en , que se puede derivar sur I. Suponemos que f admite k ceros distintos en I (k 2). Demostrar que f admite al menos k – 1 ceros distintos. Puede darse que f ' admite estrictamente más de k – 1 ceros? Si f se puede derivar dos veces en I, que podemos decir del nombre de ceros de f " ? b- Aplicación : Sean n entero 2, y a y b dos números reales. Demostrar que la función f definida sobre por f(x) = x n – ax + b admite: - por lo mucho dos raíces reales si n es par, - por lo mucho tres raíces reales si n es impar c- Sea P un polinomio con coeficientes reales de grado n con raíces reales. Mostrar que es lo mismo para P ’. (Distinguir el caso en el cual todas las raíces de P son simples del caso donde ellas no lo son). Ejercicio 16. Calcular los límites de las funciones en los puntos indicados:


Derivadas

141

1- 1 0

sen x3f (x) en x

1 2cos(x) 3

2- f (x)x 1

x 1 en x 12 m 0

(siendo m un real no nulo)

3- 3 0sen²(x) sen²(a)f (x) en x = a

x² a²

0

4- x x

4 0a bf (x) en x 0 (a b; a>0; b>0)

x

Ejercicio 17. Calcular la derivada nesima de las siguientes funciones: 1- f(x) = cos(x) 2- g(x) = x.cos(x) 3- h(x) = xn-1ln(x)

Ejercicio 18. Derivando n veces la igualdad: e3x=exe2x, mostrar que : 2 30

knk n

k

n

C

.

Ejercicio 19. Se dice que f es de clase nC si f tiene derivadas continuas del orden n. 1- a- Mostrar que si f es de clase 2C y si f "(x0) no es nulo, el gráfico de f se sitúa en la vecindad de x0 de un solo lado con relación a su tangente en x0. b- Mostrar que si además f '(x0) es nulo, entonces f presenta un extreman local en x0. c- Mostrar que si f y f ' son continuas en [a ; b], si f " existe y es positiva en ]a ; b[,entonces el gráfico () de f en [a;b] se sitúa por encima de cada una de sus tangentes. 2- ¿Qué se puede concluir en el caso en que f es de clase nC (n>2) y donde f "(x0) es nulo ? Ejercicio 20. Sea f una función derivable dos veces sobre un intervalo I y a, b, c elementos de I tales que a b c . Mostrar que existe al menos un punto d de I tal que :

f dc af c f a f b f a c a c b

b a 2

Método : Podemos utilizar la función definido por :

2

x ax f x f a f b f a x a x b

b a

para un real conveniente.

Ejercicio 21. Sea f una función de clase C² sobre a;b y tal que:

f a f b f a f b 0

Mostrar que existe un real c a;b tal que f c f c .

Podemos introducir la función definido por : xx f x f x e .

Ejercicio 22. Mostrar que la aplicación f de en definida por:


Derivadas

142

f(x) exp1x²

si x 0

0 si x = 0

es de clase C y que para todo entero n, f (n) (0) = 0. Ejercicio 23. Sea f : una función derivable dos veces. Suponemos que f y f están borneados y proponemos:

0x

M sup f x

y 2x

M sup f x

Con la ayuda de la formula de Taylor aplicado a un intervalo de conveniente, mostrar que :

x , h *+, 0 22M hMf xh 2

Deducir que : 0 2xsup f x 2 M M

.

Ejercicio 24. Para todo real x >0, se plantea :

3

xxA θ ]0;1[/sh(x) x .ch(θx)6

Mostrar que A x es un conjunto con un sólo elemento. Se plantea A x = {(x)}. Calcular

x 0Limθ(x)

Ejercicio 25. a- Demostrar, utilizando una función auxiliar, que si f es derivable en [a;a+2h] y admite una derivada segunda en ]a;a+2h[, tenemos: f(a + 2h) - 2f(a + h) + f(a) = h² f "(a + h) donde es elemento de ]0;1[ b- Supongamos f de clase C3 y f a) 0(3) ( . Determinar

h 0Lim

(h).

Elementos de solución: a- Sea A = f(a + 2h) - 2f(a + h) + f(a) = [f(a + 2h) - f(a + h)] - [f(a + h) - f(a)] Tomemos (x) = f(x + h) - f(x). Obtenemos entonces: A = (a + h) - (a). Como verifica las hipótesis del teorema de los crecimientos finitos, existe 1 elemento de ]0;1[ tal que A = h. '(a + 1h). Como '(x) = f '(x + h) – f '(x), tenemos: A = h[f '(a + 1h + h) – f '(a + 1h)]. Comof ' verifica las hipótesis del teorema de los crecimientos finitos, existe 2 elemento de ]0;1[ tal que A = h².f"(a + 1h + 2h).

Tomemos = 1 2

2 .

Entonces es elemento de]0;1[ y f(a + 2h) - 2f(a + h) + f(a) = h².f"(a + h). b- f siendo una función de clase C3, podemos aplicar la Fórmula de Taylor a la igual-dad anterior al orden 2 para el miembro de la izquierda y al orden 0 para el miembro de la derecha. Tenemos así la existencia de 3, 4, 5 elementos de ]0;1[ tales que:


Derivadas

143

2 3(3)

3

2 3(3)

4

2 (2) 2 (3)5

(2h) (2h)f(a) 2hf '(a) f"(a) f (a 2 h)2! 3!

h h2 f(a) hf '(a) f"(a) f (a h) f(a)2! 3!

h f (a) h 2 hf (a 2 h)

De donde : = (3) (3)

3 4

(3)5

4 1f (a 2 h) f (a h)3 3

2f (a 2 h)

.

Como f (3) es continua y f (3) (a) no nulo, por el pasaje al límite en 0 : h 0Lim (h)

= 12

.

Ejercicio 26. ¿Existen polinomios P de [X] de grado 5 tales que

3

3

[P + 2] sea divisible entre (X - 1)[P - 2] sea divisible entre (X + 1)

Determinarlos, en caso afirmativo. Ejercicio 27. Sea n*. Tenemos

n n nP X X 2 2X 3 X 1 .

1. Encontrar el conjunto de valores de por los cuales P admite al 1 como raíz d' orden al menos 2. 2. Por los valores de encontrados , cuál es el orden de multiplicidad de esta raíz ? Ejercicio 28. Sea 5 3 2A X aX 5X b , donde a y b son reales. Encontrar a y b para que A admita una raíz de orden por lo menos 3 y factorizar A en este caso. Ejercicio 29. Factorizar cada uno del polinomios siguientes en producto de polinomios irre-ductibles en [X], y en [X] : 4 5 4 2

1 2 3P X 1, P X 1, P X X 1 . Ejercicio 30. Sea P el polinomio 4 3 2P X X X 2X 2X 4 . Verificar que

P 1 i 0 y deducir una factorización de P en productos de factores irreductibles en [X]. Ejercicio 31. Descomponer en productos de factores irreductibles los polinomios siguientes: a- X X8 4 1 en [X]. b- 2 6 9 1 33 2X i X iX i (5 ) en [X] sabiendo que admite una raíz real c- X X X X X6 5 4 23 4 12 4 sobre [X] sabiendo que admite dos raíces reales con una inversa de la otra d- X X X X X5 4 3 23 4 4 3 1 en [X] Ejercicio 32. Sea P = ( ) ( )X Xn n 2 1 22 donde n es un entero superior o igual a 3. De-terminar el resto de la división de P entre (X - 1).(X - 2), luego entre (X - 1)². Ejercicio 33. Sea el polinomio P=(X²-1)n-X2n.

1. Calcular la suma y el producto de las raíces de P en . 2. Determinar todas las raíces de P en .


Derivadas

144

DOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA 1- FÓRMULA DE LOS TRAPECIOS

Sea “f” de clase C² en [a,b] y “g” la ecuación de la recta tal que g(a)=f(a) y g(b)=f(b).

Nos aproximamos entonces a la integral I =b

af (t)dt mediante el número J =

b

ag(t)dt .

1) Calcular J. 2) Se desea aumentar el error de método |I-J|. Para eso, se considera la función

(x)=x

af (t)dt

x a 2

(f(x) + f(a)) - K (x-a)3, donde K es la constante determinada por la

condición (b) = 0. a) Calcular ' et ". b) Mediante la utilización repetida del teorema de Rolle, probar la existencia

de c elemento de ]a,b[ tal que K= - f "(c)12

c) Deducir I = J - 3(b a) f "(c)

12 .

3) Se discretiza el intervalo [a,b] en los n+1 puntos xi = a+i nab , i=0,…,n. Probar

que se puede escribir:

I=b

af (t)dt = n2

)ab( ( f(a) + 2f(xl) + … + 2f(xn-l) + f(b)) + n

con |n| ²n12)ab( 3

M2 y M2= [a,b]Sup f "

Formula de los trapecios Indicar previamente por qué M2 existe. 4- Aplicación numérica: ¿A partir de qué valor de n se puede afirmar que la utilización

de la fórmula para acercar ln2 =1

0

dt1 t garantiza un error de método inferior a 10-6?


Derivadas

145

2- FORMULA DE SIMPSON SIMPSON Thomas, inglés, 1710 - 1761. Discípulo de Newton, enseñó matemáticas

en la academia de Woolwich. Se inició al cálculo infinitesimal estudiando los escritos de L'Hospital y publicó un importante tratado : nuevo tratado de las fluxiones (1737), dicho de otra manera sobre las derivadas según Newton (por oposición a las de Leibniz).

Método de integración aproximado de Simpson : en el cálculo de una cuadratura (area por debajo de una curva), consiste en reemplazar tres puntos consecutivos de un arco de curva por un arco de parábola. Este método muy eficaz es generalmente utilizado en las calcu-ladoras "de bolsillo" actuales.

Se desea ardientemente mejorar el método anterior acercando el gráfico de f por una parábola, en vez de por una recta. Para ello: Sea “f” de clase C4 en [a,b] y “g” el polinomio de Lagrange de grado inferior a 2 tal que g(a)=f(a), g(b)=f(b) y g(c)=f(c) donde c= 2

ba .

1) Expresar g(x). Dar g(x) en función de u, con x = c + u 2ab .

Respuesta: g(x)= 2 f (a) f (b) f (b) f (a)u f (c) u f (c)2 2

2) Calcular J =b

ag(x)dx . b ase dará x = c + u

2

Respuesta: J=(f(a)+f(b)+4f(c)) 6ab

3) Para aumentar el error de método |I-J|, se considera la función:

(t) =c t

c tf (x)dx

- 3t (f(c+t) + f(c-t) + 4f(c)) – Kt5,

donde K es la constante determinada por la condición b a2

= 0.

a) Calcular (i), i=1,2,3; probar la existencia de elemento de b a0,2

tal

que (3)() = 0, y luego deducir la existencia de elemento de ]a,b[ tal que K = - 90)(f )4(

.

Respuesta parcial: ’(t)= 23

[f(c+t)+f(c-t)]- 43

f(c)- t3

[f ’(c+t)-f ’(c-t)]-5Kt4.

’’(t)= 13

[f’(c+t)-f’(c-t)]- t3

[f ’’(c+t)+f ’’(c-t)]-20Kt3.

(3)(t)=- t3

[f(3)(c+t)-f(3)(c-t)]-60Kt2.

b) Deducir I = J 5

(4)(b a) f ( )2880

.

4) Mostrar que, n siendo un entero par:

I =b

af (t)dt = n3

)ab( ( f(a) + 4f(xl) + 2f(x2) + 4f(x3) +…+2f(xn-2) + 4f(xn-1) + f(b)) + n

con |n| 4

5

n180)ab(

M4 y M4 = )4(

]b,a[fSup

Formula de Simpson


Derivadas

146

Usted indicará antes por qué M4 existe. 5) Aplicación numérica : Reanudar la aplicación numérica que ilustra el método de los

trapecios.

Ejemplo : Un valor aproximado de 1

0exp(x²)dx es 1,4626517 (los 7 decimales son exactos).

Comparemos este valor a aquello obtenidos por la suma de Riemann (véase capítulo de Inte-gral de Riemann), el método de Trapecios y el método de Simpson. N 2 4 8 16 32 64 Riemann 1,14201271 1,27589363 1,36231966 1,41072400 1,43624595 1,44933827 Trapecios 1,57158317 1,49067886 1,46971228 1,46442031 1,46309410 1,46276235 Simpson 1,46371076 1,46272341 1,46265632 1,46265203 1,46265176 1,46265175

Constatamos entonces, que para n=64, el método de Riemann 1en n

da sólo dos decimales

exactos, el método de Trapecios da cuatro, y el método de Simpson da siete ( y más).


Derivadas

147

Algunos ejercicios corregidos Ejercicio 34. Estudiar el límite eventual de cada una de las siguientes funciones en el punto x0 :

1- u(x) = 1 cos xsen²( x)

en x0 = 0

2- v(x) = 3

2

sen xsen (x)

en x0 = 0

Corrección : 1- Se trata de una forma indeterminada de tipo 00

.

Tomemos 2f x 1 cos x y g x sen x

Tenemos f 0 g 0 0 , y además f x sen x y g x 2 cos x sen x . No podemos aplicar la regla de Hospital directamente ya que

x 0 x 0

f x sen xlim lim

g x 2 cos x sen x

es una forma indeterminada de tipo 0

0.

Por el contrario, tenemos f 0 g 0 0 , podemos entonces aplicar la regla de Hospital a las funciones f y g .

2 2 2f x cos x y g x 2 cos x sen x .

Así

22 2 2x 0 x 0

f x cos x 1lim limg x 22 cos x sen x

.

Finalmente, de acuerdo con la regla de Hospital aplicada a las funciones f y g , tenemos:

2x 0

f x 1limg x 2

, y de acuerdo con la regla de Hospital aplicada a las funciones f y g , obte-

nemos:

2x 0 x 0

f x 1lim u(x) limg x 2

2- Se trata de una forma indeterminada de tipo 00

.

Igual que antes, vamos a utilizar la regla de Hospital. Tomemos 3 2f x sin x y g x sin x .

Tenemos f 0 g 0 0 , y además 2 3f x 3x cos x y g x 2cos x sin x .

No podemos aplicar la regla de Hospital directamente ya que

2 3

x 0 x 0

3x cos xf xlim lim

g x 2cos x sen x

es una forma indeterminada de tipo 00

.

Por el contrario, tenemos f 0 g 0 0 , podemos entonces aplicar la regla de Hospital a las funciones f y g .

3 4 3 2 2f x 6x cos x 9x sen x y g x 2 cos x sen x .


Derivadas

148

Así

3 4 3

2 2x 0 x 0

6x cos x 9x sen xf xlim lim 0

g x 2 cos x sen x

.

Finalmente, de acuerdo con la regla de Hospital aplicada a las funciones f y g , tenemos:

x 0

f xlim 0

g x

, y de acuerdo con la regla de Hospital aplicada a las funciones f y g , obtene-

mos:

x 0

f xlim 0

g x lo que quiere decir

x 0lim v(x) 0

.

Ejercicio 35. Sean x e y dos reales que verifican 0 x y . Demostrar que :

y xx yln y ln x

Podremos aplicar el teorema de los crecimientos finitos a la función g definida por :

g t ln t . Corrección : Anotemos g t ln t , esta función es continua en el intervalo x, y y se puede

derivar en x, y .

De acuerdo con el teorema de los crecimientos finitos, existe c elemento de x, y tal que :

g y g x g c y x

Sabiendo que t *+, 1g tt

, la relación que precede nos da y xcln y ln x

y siendo

dado que c x, y , esto nos conduce a la desigualdad buscada. Ejercicio 36. Demostrar que para todo real estrictamente positivo x:

x–x 2

2 < ln (1 + x) < x–x 2

2 +x 3

3

Para qué valores de x, x – x 2

2 es un valor aproximado de ln (1 + x) a 10 –3 cerca?

Corrección : Anotemos f x ln 1 x . De acuerdo con la fórmula de Taylor Lagrange al orden 2, luego 3 para la función f en el in-tervalo 0,x , obtenemos :

2 3

31 1

x xf x f 0 xf 0 f 0 f c ,c 0, x2 6

por otro lado tenemos :

2 3 4

3 42 2

x x xf x f 0 xf 0 f 0 f 0 f c ,c 0, x2 6 24

Un cálculo simple nos da 3f 0 =0, f 0 =1, f 0 =-1, f 0 =2 así que

31 3

1

2f cc 1

,

42 4

2

6f cc 1

.


Derivadas

149

Deducimos entonces que :

2 3

31

x xf x x2 3 c 1

y

2 3 4

42

x x xf x x2 3 4 c 1

.

Particularmente, esto implica por un lado que:

2 3

31

x xf x x 02 3 c 1

, y por otro

lado:

2 3 4

42

x x xf x x 02 3 4 c 1

, que es el resultado que buscamos.

Podíamos también demostrar cada una de las desigualdades estudiando el signo de las funcio-nes obtenidas por la diferencia de los dos términos.

Ya que 2 2 3x x xx ln 1 x x

2 2 3 , deducimos que :

2 3x x0 ln 1 x x2 3

.

Así 2xx

2 es un valor aproximado de ln 1 x a 310 cerca si :

133 3 3 13x 10 x 3 10 x 3 10

3

Ejercicio 37. Estudiar completamente la función f definida en * por f(x) = |x ln|x| |. Corrección : De un comienzo debemos observar que

x 0limf x 0

, podemos entonces pro-

longar f por continuidad en anotando f(0)=0. La función f es par, podemos entonces restringir el estudio a *+. f se puede derivar en *+\{1}. Derivabilidad de f en 0 :

x ln xf x f 0x x

entonces x 0 x 0

f x f 0lim lim ln x

x

y

x 0 x 0

f x f 0lim lim ln x

x

.

Deducimos que f no se puede derivar en 0. Sin embargo, el gráfico de f, Cf, admite semi-tangentes verticales a la derecha y a la izquierda en el punto de abscisas 0. Derivabilidad de f en 1 :

x ln xf x f 1x 1 x 1

Recordamos que x 1

x 1lim 1ln x

, entonces tenemos

x 1 x 1

f x f 1 x ln xlim lim 1x 1 x 1

y

x 1 x 1

f x f 1 x ln xlim lim 1x 1 x 1

.

Deducimos que f no se puede derivar en 1. Sin embargo, Cf admite semi-tangentes de pen-diente -1 y 1 a la derecha y a la izquiera respectivamente en el punto de abscisas 1.

En *+\{1}, f se puede derivar y tenemos

x ln x si x 0,1f x

x ln x si x 1,

.

Deducimos que

ln x 1 si x 0,1f x

ln x 1 si x 1,

.


Derivadas

150

Para x 1, , tenemos : ln x 1 0 entonces f x 0 .

Para x 0,1 , 1ln x 1 0 ln x 1 x e . Podemos entonces trazar la tabla de variaciones de f en *+ : x 0 1e 1 + f + - + f

Con ayuda de la paridad deducimos la tabla de variaciones de f en . Con ayuda de lo que sabemos acerca de las semi-tangentes, obtenemos el aspecto de la curva :

Ejercicio 38. Demostrar que : x , 2arctan (th x) = arctan (sh (2x)). Corrección : Anotemos f x =2arctan th x y g x =arctan sh 2x . f y g son dos funciones continuas y se pueden derivar en . Por un lado, tenemos:

2 2 2 2 2

th x 1 1 1 2f x 2 2 21 th x ch x 1 th x ch x sh x ch 2x

.

Por otra parte,

2 2 2

sh 2x ch 2x ch 2x 2g x 2 2 21 sh 2x 1 sh 2x ch 2x ch 2x

.

Tenemos entonces : x , f x g x entonces f y g son dos primitivas de la misma fun-ción. Deducimos que f x g x c con c .

Como, f 0 0 g 0 entonces c 0 y así x , f x g x . Ejercicio 39. Resolver las siguientes ecuaciones:

a- arcsen (2x) – arcsen 3x = arcsen (x)

b- arctan (x +1) + arctan (x – 1) = 4


Derivadas

151

Corrección : a- arcsen 2x -arcsen 3x =arcsen x sen arcsen 2x -arcsen 3x x .

2 2

Como, sen arcsen 2x -arcsen 3x

sen arcsen 2x cos arcsen 3x -cos arcsen 2x sen arcsen 3x

2x 1 3x x 3 1 4x .

Debemos entonces resolver :

2 2

2 2

x 2x 1 3x x 3 1 4x

x 0 o 1 2 1 3x 3 1 4x

Para resolver : 2 21 2 1 3x 3 1 4x , introducimos la función :

2 2f x 2 1 3x 3 1 4x 1

y la estudiamos para determinar las soluciones de f x 0 .

Tenemos f1 1 1 1 1 1D , , ,

2 2 2 23 3

.

f se puede derivar en 1 1,2 2

y tenemos : 2 2

1 1 6x 4 3xx , , f x2 2 1 3x 1 4x

.

Entonces, 2 2

2 22 2

6x 4 3x 36x 48xf x 01 3x 1 4x1 3x 1 4x

.

Y 2 2

2 2 2 2 2 22 2

3x 4x 3x 1 4x 4x 1 3x 3x 4x x 01 3x 1 4x

.

Recíprocamente , tenemos f 0 0 . Deducimos la tabla de variaciones de la función f : x

212

012

f ’(x) - +

f(x) 0 -1

0

Con la tabla de variaciones concluimos que : 1 1f x 0 x o x2 2

.

Podemos también determinar las raíces de la ecuación: 2 21 2 1 3x 3 1 4x sin pasar

por un estudio de funciones :

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

22 2 2 4 2 4 2

2

1 2 1 3x 3 1 4x 1 4 1 3x 3 1 4x 4 3 1 4x 1 3x

24x 6 4 3 1 4x 1 3x 12x 3 2 3 1 4x 1 3x

12x 3 12 1 4x 1 3x 144x 72x 9 144x 84x 12

12x 3


Derivadas

152

Como, 2 2 1 1 112x 3 x x o4 2 4

.

Por el contrario, en este caso, debemos verificar que los valores encontrados son soluciones

de la ecuación: 2 21 2 1 3x 3 1 4x .

Recíprocamente, verificamos que los valores encontrados por uno de los dos métodos son soluciones.

Finalmente, las soluciones de arcsen 2x -arcsen 3x =arcsen x son 1 10, ,2 2

.

b- arctan está definida en entonces buscamos las soluciones en . Calculamos tan arctan x+1 +arctan x-1 utilizando la relación:

tan(a) tan(b)tan a b

1 tan(a) tan(b)

2

2xtan arctan x+1 +arctan x-12 x

.

Así, 2

2xarctan x+1 +arctan x-1 14 2 x

Cuidado, esto no es una equivalencia ! (porque tan u tan v u v , y

u v u v )

2 22

2x 1 2x 2 x x 2x 2 02 x

Encontramos las raíces del polinomio 2x 2x 2 0 : 1 2x 1 3 y x 1 3 . Hay que verificar que las raíces convienen ya que no hemos razonado por equivalencia.

Tenemos 1 1arctan x +1 +arctan x -14

y 2 23arctan x +1 +arctan x -14

.

Deducimos que la solución de la ecuación del principio es únicamente 1x 1 3 .

Ejercicio 40. Consideramos la función f definida por f(x) = 2x 3x 21

3

.

1- Cuál es el conjunto de definición de f ? 2- En qué conjunto f se puede derivar? 3- Estudiar las variaciones de f. 4- Demostrar que la restricción de f en el intervalo [2 ;+[ realiza una biyección de

[2 ;+[ en un intervalo J que precisaremos. 5- Sin calcular f -1, estudiar el sentido de la variación y la derivabilidad de f –1. 6- Trazar el aspecto de la representación gráfica de la restricción de f y de f –1 en la

misma referencia. 7- Determinar f –1(x) para x J.

Corrección : 1- Tenemos 2 21f x exp x 3x 2 ln exp x 3x 2 ln 33

.

La función f está definida si y solamente si 2P(x) x 3x 2 0 . Podemos verificar que : 2x 3x 2 x 1 x 2 .


Derivadas

153

Concluimos que fD ;1 2; .

2- Hemos visto que f se escribe de ésta forma: f x exp P ln 3 .

Entonces f se puede derivar si y solamente si P se puede derivar, lo que quiere decir, si y solamente si P no se anula. Deducimos entonces que f se puede derivar en fD ;1 2; .

3- f se puede derivar en fD y tenemos:

2f 2

2x 3 ln 3x D , f x exp x 3x 2 ln 3

2 x 3x 2

Vemos entonces claramente que el signo de f es el signo de 2x 3 . Tenemos entonces la siguiente tabla de variaciones: x

1 32

2

2x 3 - - + + f x + -

f 1 0

4 f es estrictamente decreciente en 2; y continua, entonces f realiza una biyección

de 2; en J f 2; . Queda determinar J : Primero, tenemos f 2 1 .

Por otro lado, 2

x x Xlim f x lim exp x 3x 2 ln 3 lim exp Xln 3 0

.

Deducimos entonces que J 0 ;1

5- Si 1f f x no se anula, tenemos:

11

1f xf f x

.

Con lo que precede, si x J , entonces 1f x 2; , y entonces 1f f x no se anula.

Deducimos entonces que en J, el signo de 1f es el mismo que aquel de f . (cf. resultado de curso). Tenemos entonces la siguiente tabla de variaciones: x 0

1

1f (x) -

1f

+ 2


Derivadas

154

6- El aspecto de la representación gráfica de la restricción f y de f –1 en la misma refe-rencia es:

7- Anotamos y f x con x J y entonces y 0,1 y queremos expresar x en fun-ción de y.

2 2y f x y exp x 3x 2 ln 3 ln y x 3x 2 ln 3

No sabemos resolver esta ecuación directamente, debemos elevar al cuadrado:

2 22 2ln y x 3x 2 ln 3 ln y x 3x 2 ln 3

2 22 22 2 2ln y ln y

ln y x 3x 2 ln 3 x 3x 2 x 3x 2 0ln 3 ln 3

Para simplificar los cálculos, tomamos:

2ln yln 3

, debemos entonces resolver:

2x 3x 2 0 Se trata de una ecuación de segundo grado, el discriminante de este polinomio es:

9 4 2 1 4

Tenemos entonces dos soluciones: 1 23 1 4 3 1 4x et x

2 2

.

Reemplazando por

2ln yln 3

, obtenemos:

2

2 2 2 2

1 2

ln y3 1 4

ln 3 3ln 3 ln 3 4 ln y 3ln 3 ln 3 4 ln yx o x

2 2ln 3 2ln 3

Sabemos que tenemos una única solución y para determinarla vamos verificarla tomando va-lores particulares para x e y : Tomemos y 1 , entonces vamos a tener 1x f y 2 .

Tenemos

2 2

1 2

3ln 3 ln 3 3ln 3 ln 3x 1y x 2

2ln 3 2ln 3

.


Derivadas

155

Concluimos que

2 2

13ln 3 ln 3 4 ln y

f y2ln 3

.

Ejercicio 41. Sea P = (X + 1)7 – X7 –1.

1- Determinar el grado y la valuación de P. 2- Mostrar que P admite dos raíces evidentes, las cuales precisaremos el orden de mul-

tiplicidad. 3- Probar que j es una raíz doble de P. 4- Deducir la factorización de P en [X] luego en [X].

Corrección : 1- Tenemos 7 6

7 k 7 k

k 0 k 1

7 7X 1 X X X 1

k k

.

Entonces 6

7 7 k

k 1

7P X 1 X 1 X

k

.

Es claro que deg P 6 et val P 1 .

2- Es fácil verificar que 0 y -1 son dos raíces de P. Para determinar el orden de multiplicidad de esas dos raíces, calculamos la derivada de P :

6 6P 7 X 1 7X

0 y -1 no son raíces de Pentonces el orden de multiplicidad de esas raíces es 1.

3- 77 7 2 2 2P j j 1 j 1 j j 1 j j 1 j j 1 0 .

Por otro lado, 66 6 2P j 7 j 1 7j 7 j 7 7 7 0 .

Deducimos que j es una raíz doble de P. 4- P es un polinomio de [X], entonces necesariamente para toda raíz con orden de multiplicidad k, la conjugada es también una raíz de P de orden de multiplicidad k. Así j es una raíz doble de P.

Con todo lo anterior, podemos poner 22X X 1 X j X j en factor en P.

Como P tiene grado 6, su factorización en [X] es: 22X X 1 X j X j avec

Con la ayuda de la siguiente escritura 6

k

k 1

7P X

k

, es fácil darse cuenta por identificación

que 7 .

Concluimos que 22P 7X X 1 X j X j en [X],

Para obtener la factorización de P en [X]., hay que reagrupar las raíces complejas ( no reales) conjugadas :

222

22

P 7X X 1 X j X j 7X X 1 X j X j

27X X 1 X 2cos X 1 .3


Derivadas

156

Ejercicio 42. Sea n un entero superior (o igual) a 2 y P = kn

k 0

Xk!

.

Mostrar razonando por el absurdo que P no tiene raíz múltiple. Corrección : Supongamos que P tiene una raíz múltiple (al menos doble). La anotamos . Como es al menos una raíz doble, es también una raíz de la derivada.

Es fácil ver que :

2 n 1X XP 1 X ...2! n 1 !

, lo que quiere decir que nXP P

n! .

Reemplacemos X por en la igualdad anterior, obtenemos n

P Pn!

.

Como por hipótesis P 0 et P 0 , entonces esto implica que n

0 0n!

.

Pero P 0 1 entonces 0 no es una raíz de P, lo que contradice nuestra hipótesis. Concluimos que P no tiene una raíz múltiple.


Ecuaciones diferenciales

157

Capítulo 9

ECUACIONES DIFERENCIALES

1-Ecuación diferencial lineal de primer orden

a- Ecuación diferencial homogénea de primer orden Definición: Llamamos ecuación diferencial homogénea de primer orden toda ecuación de la forma:

ay’+by=0 donde “a” y “b” son dos funciones de la variable x, definidas en un intervalo I.

“y” es una función desconocida de derivada “ y’ ”. ay’+by=0

ab

y'y

ln|y|=F + C donde F es una primitiva de ab

en I y C una constante

y=eF * Donde: Teorema: El conjunto de soluciones de la ecuación diferencial « ay’ + by = 0 » es el conjunto de funciones definidas en I por y=eF , .

b- Ecuación diferencial lineal de primer orden Método: Sea (E): ay’+by=c una ecuación diferencial de primer orden donde a y b son de fun-ciones de la variable x, definidas en un intervalo I, a no se elimina en I, c es una función fija e y la función desconocida.

1- Resolver la ecuación homogénea asociada: ay’+by=0 (EHA). 2- Buscar una solución particular de E, llamada y0. 3- La solución general de (E) es la solución general de (EHA) + una solución parti-

cular de (E). Podremos buscar una solución particular y0 (punto 2) con el método llamado “la variación de la constante”. Principio de superposición: Si el segundo miembro de (E) es una suma de d1+d2, entonces podemos buscar una solución particular de (E) como suma de las raíces particulares de (E1) y (E2) con:

(E1) : ay’ + by = d1 (E2) : ay’ + by = d2



158

Solución con condición inicial: Sean a, b y c tres funciones continuas en un intervalo I, don-de a no se anula en I. Cualquier real t0 de I e y0 de , existe una única función y de clase C1 en I, de tal manera que:

0 0

ay '(t) by(t) c(t)y t y

Nota: si consideramos las trayectorias de la ecuación ay’ + by = c (a, b y c tres funciones con-tinuas en un intervalo I, donde a no se anula en I), es decir, las representaciones gráficas de las soluciones, entonces hay una única trayectoria pasando por un punto (t0, y0) dado. Dos trayectorias no pueden ser secantes. 2-Ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea de coeficientes constantes Definición: Llamamos ecuación diferencial homogénea de segundo orden de coeficientes constantes toda ecuación de la forma:

ay’’ + by + cy =0 (E) donde “a”, “b” y “c” son reales dados, “a” no nula. “y” es una función desconocida de primera derivada “ y’ ” y segunda “

y' ' ”. Esta función “ y ”, cuando esta existe, es una solución de la ecuación diferencial (E).

Búsqueda de las soluciones particulares si Δ=b2 – 4ac≥0 Buscamos las soluciones bajo la forma: rxx y e . Volvemos a la ecuación:

ar2+br+c=0 (Ec) llamada ecuación característica asociada a (E). Como la discriminación de (Ec) es positiva (o nula), (Ec) admite dos soluciones r1 y r2 (even-tualmente confundidas). De donde: (E) admite como solución particular: xr1ex y xr2ex , r1 y r2 son soluciones de la ecua-

ción característica (Ec): ar²+br+c=0, con r1 r2 si >0 y r1=r2=a2

b si =0.

Búsqueda de todas las soluciones si Δ=b2-4ac≥0

Afirmamos para todo real x, y=z xr1e donde gg : x z=g(x) es una función desconocida deri-vable dos veces en . (E) az’’+(2ar1 + b)z’=0

z’=Ax

abr2 1

e

, A constante real arbitraria -Si Δ=b2-4ac>0, (E) 1 2r x r x

1 2y e e Entonces, el conjunto de soluciones es el conjunto de funciones definidas en por:

1 2r x r x1 2y e e

donde 1 2 y son constantes reales arbitrarias.



159

- Si =b²-4ac=0, tenemos r1=a2

b ; (E) z’=A, A constante real arbitraria

z=Ax+B, B constante real arbitraria

y=(Ax+B)x

a2b

e

.

Entonces, el conjunto de soluciones es el conjunto de funciones definidas en por:

y=(Ax+B)x

a2b

e

donde A y B son constantes reales arbitrarias. Resta el caso donde Δ=b2-4ac <0. Mostramos que el conjunto de soluciones es el conjunto de funciones definidas en de valo-res complejos por:

y= xr2

xr1

21 ee donde r1 y r2 son las raíces complejas de la ecuación característica 1 2 y son constantes complejas arbitrarias. Utilizando el hecho que r1 y r2 son conjugadas (raíces de un polinomio de segundo grado de coeficientes reales con un discriminante estrictamente negativo, ri= i), mostramos que:

xy e (Acos x Bsen x) con A=1+2 et B=i(1-2). Teorema: Ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes, sin segundo miembro:

ay’’+by+cy=0 donde a, b y c son constantes reales, “a” no nula, Resolvemos buscando las soluciones rxy e ; r es entonces dado por la ecuación característica (Ec) ar2+br+c=0. -Si Δ=b2-4ac>0, r1 y r2 son raíces reales de (Ec) dando y=1

xr1e +2xr2e

- Si Δ<0, r1 y r2 son raíces complejas no reales de (Ec), r1=+i, r2=-i, dan-do: xy e (Acos x Bsin x)

-Si Δ=0, r=a2

b es una raíz doble, da y=(Ax+B)

xa2

b

e

3- Caso particular con segundo miembro Método: Sea (E): ay’’+by’+cy=d una ecuación diferencial de segundo orden de coeficientes reales, “a” no nula, d una función fija e “y” la función desconocida.

1- Resolución de la Ecuación Homogénea Asociada: ay’’+by’+cy=0 (EHA) con el método visto en el párrafo 2.

2- Búsqueda de una solución particular de E, escrita y0. 3- La solución general de (E) es la solución general de (EHA) + una solución parti-

cular de (E). Nos limitaremos a los casos siguientes:



160

a- “d” es de la forma P(x)emx donde O es un polinomio. Es suficiente de determinar una solución particular de:

b- ay’’+by’+cy=P(x) mxe Buscamos la solución de la forma Q(x)emx donde Q es un polinomio:

- de grado igual al grado de P si “m” no es una raíz de (Ec) - de grado igual al grado de P+1 si “m” es una raíz simple de (Ec) - de grado igual al grado de P+2 si “m” es raíz doble de (Ec).

b-d es de la forma k sin(px+q). Es suficiente si determinamos una solución particular de:

ay’’+by’+cy=ksen(px+q) - Si ip no es una solución de la ecuación característica, la buscamos de la

forma αsen(px)+βcos(px) - Si ip es una solución de la ecuación característica, la buscamos de la forma

αxsen(px)+βxcos(px) c-d es de la forma A cos(

x)+Bsen(

x) donde

es un parámetro real. - Si i

no es una raíz de la ecuación característica, la buscamos de la forma αsen(px)+βcos(px)

- Si i

es una raíz de la ecuación característica (la otra raíz es -i

), la bus-camos de la forma αxsen(

x)+βxcos(

x) Ejemplo: Integrara la ecuación diferencial: y’’+4y=sen(2x)

Solución: y=1cos(2x)+2sen(2x)-1

4xcos(2x).

Principio de la superposición: Si el segundo miembro de (E) es una suma d1+d2, podemos buscar una solución particular de (E) como suma de raíces particulares de (E1) y (E2) con:

(E1) : ay’’+by’+cy=d1 (E2) : ay’’+by’+cy=d2

Podemos aplicar este razonamiento al caso donde el segundo miembro es de la forma P(x)cos(mx) o P(x)sen(mx) ver Fórmula de Euler.



161

Anexo 1 Ejemplo de la ecuación diferencial

Descarga de un condensador en una resistencia R y una inductancia L

El uso de la ecuación del circuito a

amortiguador debil

amortiguador crítico

amortiguador fuerte

régimen pseudo-periódico

régimen crítico

régimen no periódico

con con



162

Anexo 2 Resolución de una ecuación particular

Regresemos a la ecuación diferencial:

ay"+by'+cy=dcost donde a>0, b 0, c> 0, d 0, e « y » una función de t. Este tipo de ecuación interviene en un gran número de fenómenos físicos, donde t representa el tiempo. Esta situación se encuentra en física en dos dominios, el mecánico y el electrodinámico. En Mecánica Un objeto es sometido a una fuerza de roce opuesto a su velocidad y proporcional a esta, a una fuerza de repulsión proporcional a su desplazamiento y en fin, a un régimen forzado de pulsación . Por ejemplo, es el caso de:

- el péndulo elástico (masa-resorte) masa m coeficiente de roce f resistencia de un resorte k fuerza impuesta de módulo F

La ecuación de movimiento es dada por: mx"+fx'+kx=Fcost

- el péndulo de torsión

momento de inercia J coeficiente de roce f pareja de repulsión C pareja de fuerza de módulo G

La ecuación de movimiento es dada por J" +f' + C = G cost - el péndulo simple (masa en la punta de un hilo de longitud, dentro de un campo de

gravedad g), para las pequeñas oscilaciones La ecuación de movimiento es dada por :

"+g=0 En electrodinámica Un circuito eléctrico contiene en serie, una resistencia R, una inductancia L, y una capacidad C. Este está sometido a una tensión periódica U de pulsación La cantidad de electricidad Q que atraviesa un punto del circuito, verifica :

LQ" + RQ' + QC

= U cost

El caso estudiado se aplica en estas dos situaciones, esto significa igualmente que todo fenó-meno mecánico tiene un equivalente eléctrico, e inversamente.



163

EXERCICES

Ejercicio 1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

1- 2(t t)y '(t) y(t) 0 con la condición inicial y(2) = . 2- 2(t t)y '(t) y(t) t 3- y'(x) x y(x) x 4- xxy'(x) y(x) xe 5- x ln(x) y'(x) + y(x) = 2x2ln(x) + x2 6- 3 tty '(t) 2y(t) t e con la condición inicial y(1)=0 7- 3 4ty '(t) y(t) 3t y(t) t 0

8- 23 xcos x y'(x) sin x y(x) x xe

9- 2x y'(x) (x 1)y(x) x

10- 2 2(1 t )y '(t) y(t) 1 t t 11- (t 1)y ''(t) ty '(t) 0

Ejercicio 2. Consideramos el siguiente sistema constituido de una masa m atada a un resorte de constante elástica k>0, y capaz de circular horizontalmente a lo largo del eje orientado por el vector unitario u . La posición de la masa a lo largo del eje es ubicada por su abscisa x(t) y la posición x=0 corresponde a la posición de equilibrio del sistema. La masa obedece a la fuerza restauradora del resorte rF kx(t)u y el movimiento es amortizado por los roces, lo

que es modelizado por una otra fuerza: F cx '(t)u donde c>0 es el coeficiente de amorta-jamiento.

El balance de fuerzas ejercidas sobre la masa conduce a la ecuación diferencial siguiente:

mx"(t) cx '(t) kx(t) . 1. Dar la forma general de soluciones de esta ecuación y luego indicar para cuales valores de

c (en función de k y m) el sistema presenta oscilaciones. 2. Suponemos además que la masa está ubicada en la posición inicial x0 y luego es soltada

sin velocidad inicial. Determinar la posición de la masa en función del tiempo. Ejercicio 3. Resolver en los las siguientes ecuaciones diferenciales, efectuando el cambio de la función desconocida propuesta:

1- x x x x1 e y" 2e y ' 2e 1 y xe considerando xz(x) 1 e y(x)



164

2- 2y" 4xy ' 3 4x y 0 considerando 2xz(x) e y(x)

Ejercicio 4. Consideramos la ecuación diferencial siguiente: (E): 2

2y ''(x) y(x) 0x

y

deseamos resolverla en el intervalo 0, . Buscamos entonces todas las funciones y de la

clase C2 en 0, verificando la ecuación en este intervalo.

1- Verificar que para todo real la función definida 2y(x) x es solución de nuestro problema.

2- Explicar por qué todas las soluciones de (E) en 0, pueden ser escritas

de la forma 2y(x) u(x)x donde u es una función de clase C2 en 0, .

3- Determinar la ecuación diferencial (E`) verificada por la función u en 0, .

4- Resolver (E’) y deducir las soluciones de (E) en 0, . 5- ¿Podemos resolver (E) en ,0 ?

Ejercicio 5. Una ecuación de Bernoulli es una ecuación diferencial de la forma (E): y'(x) a(x)y(x) b(x) donde a y b son dos funciones reales continuas en el intervalo I y donde \{0, 1} es un real dado. (Si , consideramos que y es positiva en I y si es negativa consideramos que y se anula en I).

1- Encontrar la ecuación diferencial verificando la función 2- Resolver 2 2x y'(x) y(x) y(x) 0 .

Ejercicio 1. Carga y descarga en un circuito RC 1-1- La descarga de un circuito de capacidad C en una resistencia R es descrita por la ecua-ción diferencial :

R dqdt

+ q = 0 con q(0) = Q

Determinar la función q(t) describiendo la evolución de a carga del condensador, luego la

función i(t) = - dqdt

describiendo la evolución de la corriente que atraviesa la resistencia.

Mientras la resistencia aumenta, la descarga es más o menos rápida? 1-2- La carga de un condensador de capacidad C a través de una resistencia R por una pila de f.e.m. E es descrita por la ecuación diferencial:

R dqdt

+ qC

= E con q(0) = 0

Determinar la función q(t) describiendo la evolución de la carga del condensador, luego la

función i(t) = dqdt

describiendo la evolución de la corriente que atraviesa la resistencia..

Escribir la función q(t) e i(t) si la condición inicia es q(0)=Q. La valor de la carga al final de un tiempo largo es diferente de la obtenida en el primer caso? Ejercicio 2. Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales :



165

a - y"-3y' +2y= 2x - 7x + 2x -1b - y"-4y' +4y= 2(x - 2)ec - y"-2y' +2y = 2x - 4x + 4

3 2

x

2

Ejercicio 3. Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales : x"(t) + 3x'(t) + 2x(t) = (t² + 1)e-t

Ejercicio 4. Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales : a- y" - 3y' + 2y = cos(x) b- y" - 2y' + y = cos(x) c- y" - 2y' + 2y = 2exsen(x) Ejercicio 5. Determinar la solución de cada una de las siguientes ecuaciones:

con y 1. con y 2. 3. con 4. 5. 6.



166


Comparación de funciones

167

Capítulo10

COMPARACIÓN DE FUNCIONES

En este capítulo, excepto mención contraria, x0 designa tanto a un real como + , o bien . 1- Funciones Despreciables Definiciones: 1- Sean "f" y "g" dos funciones definidas en la proximidad del real x0, excepto quizá en x0. El que f sea despreciable con respecto a “g” en la proximidad del real x0 significa que

f g 00, >0, x D D , x-x f (x) g(x) 2- Sean "f" y "g" dos funciones definidas en la proximidad de + . El que f sea despreciable con respecto a “g” en la vecindad de + significa que

f g0, A>0, x D D , x>A f (x) g(x) 3- Sean "f" y "g" dos funciones definidas en la vecindad de - . El que f sea despreciable con respecto a ”g” en la vecindad de - significa

f g0, A>0, x D D , x<-A f (x) g(x) Sea x0 un real, o bien + , o también - .Si “g” no se anula en la vecindad de x0 excepto

quizá en x0, las definiciones anteriores pasan a ser: 0x x

f (x)Limg(x)

=0.

Notación de Landau: f

0x o(g).

Landau Edmund (1877-1938) es un matemático alemán que

enseña en Göttingen y fue en esta célebre universidad uno de los primeros universitarios que tuvo que abandonar sus investigaciones por ser víctima de los nazis (nacional-socialismo de Hitler, 1933).

Sus trabajos sostienen en teoría números (de los cuales la famosa función de Riemann) y sobre las funciones de variables complejas.

Observación: Los físicos utilizan la notación f0xg.

Propiedad: Sean f1, f2, g tres funciones definidas en la proximidad de x0, 1 y 2 que son dos reales.

Si f10x o(g) , f2

0x o(g), entonces 1f1 + 2f2

0x o(g)

Propiedad: Sean f, g dos funciones definidas en la proximidad de x0.

f-g0x o(f) si y solamente si f-g

0x o(g)



168

Propiedad: Sean f, g, h tres funciones definidas en la proximidad de x0.

Si f0x o(g) como también g

0x o(h), entonces f

0x o(h)

Observación: f

0x o(1)

0xLimf 0 .

Propiedad: Sean f y h dos funciones definidos próximos de x0, tales que f

0x o(h).

Si g es una función borneada próximo de x0, entonces fg0x o(h).

En particular, para todo k, tenemos k f0x o(h).

Propiedad: Si <, entonces x

o(x) y x

0 o(x).

2- Funciones equivalentes Definición: Sean f, g dos funciones definidas en la proximidad de x0. El que "f" y "g" sean equivalentes significa que f-g

0x o(f).

Si g no se anula en la proximidad de x0 excepto quizás en x0, la definición anterior pasa a ser:

f y g son equivalentes significa 0x x

f (x)Limg(x)

=1.

Notación: f

0xg

Propiedad: Sea f una función definida y derivable en x0 real tal que f ’(x0) no sea nula. Entonces, f(x)-f(x0)

0xf ’(x0)(x-x0).

Algunas equivalencias clásicas: Cerca de 0 : sin x

0x

cos x0

1

tan x 0

x

1-cos x0

x²2

ex0

1

ex-10

x

ln(1+x) 0

x

(1+x)-10x



169

n

kk

k pa x

0apxp con ap 0

Cerca de + : n

kk

k pa x

anxn con an 0

Observación: Cuidado con las funciones equivalentes a 0. Propiedad: Sean f, g dos funciones definidas en la proximidad de x0. Si f

0xg , y si

0xLim g = elemento de , , entonces

0xLim f = .

Propiedad: Sea f una función definida en la proximidad de x0 excepto eventualmente

en x0, y un real no nulo.

f0x 0x

Limf

Propiedad: Sean f1, f2, g1, g2 cuatro funciones definidas en la proximidad de x0. Si f1

0xg1 y f2

0xg2, entonces f1f2

0xg1g2.

Propiedad: Sean f, g dos funciones definidas en la proximidad de x0, g no se anula en la proximidad de x0 Salvo tal vez en x0.

Si f0xg, entonces

0x

1 1f g

.

Propiedad: Sean f1, f2, g1, g2 cuatro funciones definidas en la proximidad de x0, g2 no se anula en la proximidad de x0 salvo tal vez en x0.

Si f10xg1 y f2

0xg2, entonces 1

2

ff 0x

1

2

gg

.

Propiedad: Sean f, g dos funciones definidas en la proximidad de x0, g estrictamente positiva en la proximidad de x0. Si f

0xg, entonces f estrictamente positiva en la vecindad de x0.

Propiedad: Sean f, g, h tres funciones definidas en la proximidad de x0.

Si f0xg y h

0x o(g), entonces f+h

0xg.

Utilizamos a veces este teorema de la forma siguiente : f+o(f) 0xf.

Propiedad: Sean f1, f2, g tres funciones definidas en la proximidad de x0, c1 y c2 dos reales tales que f1

0xc1g y f2

0xc2g.

Si c1+c2 0, entonces f1+f20x(c1+c2)g.



170

Si c1+c2=0, entonces f1+f20x o(g).

3- Complementos

1- Cambio de variable: (Compatibilidad con la composición a la derecha) Sean f, g dos funciones definidas en la proximidad de x0, una función definida en la

proximidad de t0 tales que f(x)0x xg(x) y

0t tLim

(t)=x0. Entonces f (t)0t tg (t).

2- Compatibilidad con los logaritmos: Sean f, g dos funciones definidas en la proximidad de x0 tales que f(x)

0x xg(x) y

0xLim g= real positivo distinto a 1 o igual a + , entonces lnf

0xlng.

3- Compatibilidad con las exponenciales: a- Sean f, g dos funciones definidas en la proximidad de x0 tales que f(x)

0x xg(x) y

0xLim (f-g)=0, entonces ef

0xeg.

b- Sean f, g dos funciones definidas en las proximidades de x0 de manera que f(x)

0x xg(x) y g borneado en las proximidades de x0, entonces ef

0xeg.

4- Compatibilidad con las potencias: Sean f, g dos funciones definidas y estrictamente positivas en la proximidad de x0.

- Para todo de *, f0xg f

0xg

- Para todo de *+, f0x o(g) f

0x o(g

- Para todo de *-, f0x o(g) g

0x o(f

5- Crecimiento comparado

0, , ln(x) o x

0, , 0

1ln(x) ox

m 0, 0, , mxx o e



171


Ejercicio 1. Demostrar las siguientes reglas (que hay que conocerlas): a- Si en la proximidad de a (real o infinito) tenemos

af (x) g(x) y si

x alim f (x)

con

+, 1 , entonces en la proximidad de a, tenemos: a

ln(f (x)) ln(g(x)) .

b- Si en la proximidad de a (real o infinito) tenemos a

f (x) g(x) y si x alim f (x)

,

entonces en la proximidad de a, tenemos : a

ln(f (x)) ln(g(x)) .

c- Si x alim f (x) 1

, entonces en la proximidad de a tenemos a

ln(f (x)) f (x) 1 .

Ejercicio 2. Demostrar las siguientes equivalencias:

a- En la proximidad de 0, tenemos : 2

0

xcos(x) 12

(con ayuda de 0

sen(x) x ).

b- En la proximidad de , tenemos: xech(x)2

y xesh(x)2

. Adaptar para .

Ejercicio 3. Calcular los siguientes límites:

a- x

xlim 1

x

( y son reales no nulos).

b- ln sen(x)

x 0lim (cos(x))

.

c- 2 3 xx

lim x (ln(x)) e

.



172

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Para cada uno de los pares de funciones, determinar si una de las dos es despreciable delante de la otra a la vecindad de a, o si las funciones son equivalentes (o si no es ninguno de estos casos).

1. f(x)= x , g(x)=ln(x) y a=+ 2. f(x)=sen(x), g(x)=ln(x) y x=+ 3. f(x)=x4+5x+1, g(x)=ex(ln(x))² y a=+ 4. f(x)=2+sen(x), g(x)=2+cos(x) y a=+ 5. f(x)=2sen(x), g(x)=x(1+ex) y a=0

6. f(x)= 3

sh(x)x

, g(x)= 1x

y a=0

7. f(x)= x²e , g(x)=e-2x y a=+ 8. f(x)=ex-1, g(x)=x(ln(x))3 y a=0

Ejercicio 2. Sean “a” y “b” dos funciones definidas y estrictamente positivas en una proximidad del real u. Se supone que “a” y “b” son equivalentes en la proximidad de u. a- ¿Qué pueden decir con respecto a la equivalencia de ln(a) y ln(b) en la proximidad de u ? b- ¿Qué pueden decir con respecto a la equivalencia de exp(a) y exp(b) en la proximidad de u? Ejercicio 3.

1. Sea f (x) = x2 y g(x) = x2 + 3x para x. f

g ? ef

eg ?

2. La misma cuestión para f (x) = 12x 5x²

y g(x) = 1x²

.

3. Que se puede deducir de eso? Ejercicio 4.

1- Determinar un equivalente en la proximidad de 0 de cada una de las siguientes

funciones :

1f x ln cos x ; 2f x tan 2 tan x ; 23f x 1 sen x 1 ;

2

4 2

3x 3xf x2x x

2- Deducir el limite eventual cuando x tiende hacia 0 de la siguiente función :

2

22

ln cos x tan 2 tan x 3x 3xF xtan x 2x x1 sen x 1

Ejercicio 5. Para cada expresión, dar un equivalente simple.

1. x5-2x2+x en + y en 0



173

2. 3

3 2

x 2x x4x x 7

en + y en 0+

3. 3 x 1 4cos(x) en + y en 0 4. 5e2x+ln(x)-x en + y en 0+ 5. sen(x)+2x+ 1 x -1 en + y en 0 6. x 2 x en + y en 0+

7. ln x 1x

en +

8. arccos(x)-2 en 0

9. cos(x)- 32

en 6

10. ln(2x3-3x2+1) en 0 y en + Ejercicio 6. Determinar los límites de les funciones siguientes en los puntos indicados.

x

0 02 3

1 cos(x) (1-e )sen(x)x en x 0 ; x en x 0x(2 x)tan(x) x x

2πen x 2x)tan(x)tan( x; 2

1en x πx1)tan3x(2x²x 00

xa b

x en x 0

x x

0

y con a>0 , b>0

Ejercicio 7. Determinar para “a” real que no es nulo, que πxtan2a

x a

xLim 2 a

.

Ejercicio 8. Determinar tan(3x)

6πx 2

3xtanLim

.

Ejercicio 9. Determinar los límites de las funciones siguientes en los puntos indicados:

sen(x).ln(1 x²) ln[cos(ax)]x en 0 ; x en 0x.tan(x) ln[cos(bx)]

con b que no es nulo

1 1

sen²x tan(2x)x cos(x) en 0 ; x cos(x) en 0

1

tan(x)2x-x sen(x) en ; x |sen(x)| en 02

sen(x)x-sen(x)

cos(x) xx tan(x)| en ; x 2 sen(x)

1 xx sen(x) cos(x) en 0

Ejercicio 10. Determinar Limln(x 1)

ln(x)x

x.ln(x)



174

Ejercicio 11. Determinar

Limxe x x x

x x x x ch xx

x

9

3 3 2 3

2 ln( )

( ).

Ejercicio 12.

1- xxf x

sh x

. Determinar x 0Limf x

. Notamos este limite.

2-Prolongamos f por continuidad, poniendo f(0)= . Mostrar de dos maneras diferentes que f es derivable en 0.

3- Mostrar que x

x1sh x e2

. Deducir que xxln x

sh x

después determinar

xLim f x

.

Ejercicio 13. Sea un real fijo. Consideramos la función 1f x x 1 1x

definido

sobre *+. 1- Determinar los equivalentes simples f x en la proximidad de 0 y de . 2- Para que valores de la función f es prolongable por continuidad (a la derecha) en 0 ? 3- Para que valores de la función f es derivable a la derecha en 0 ?

Ejercicio 14. Sea f definida por f (x) = ln(ch x).

1- Precisar el dominio de definición de f y dar su cuadro de variaciones. 2- Dar un equivalente simple de f en 0. 3- Mostrar que en + , tenemos f (x) xk donde k es un real que hay que determinar. 4- Mostrar que k

xLim f (x) x ln(2)

. Que podemos deducir de eso para la curva

de f ? 5- Trazar la curva representativa de f.

Ejercicio 15. Sea un real. Definimos la función f por f(x) = x(x² 1)arctan(x)

.

1- Dar equivalentes simples de f a la vecindad de 0+ y de + . 2- Para cuales valores de la función f es prolongable por continuidad a la derecha en

0 ? 3- Mostrar que para 2, este prolongamiento es derivable a la derecha en 0.



175

Algunos ejercicios corregidos Ejercicio 16. 1- Comprobar que : x + x² - 1 2x en la proximidad de +. 2- Deducir un equivalente de argch x y argsh x en la proximidad de (+ ). Corrección: 1- Anotemos 2f x x x 1 y g x 2x .

Basta con demostrar que :

x

f xlim 1

g x .

Tenemos

2 2

2 2

f x x x 1 1 x 1 1 1 1g x 2x 2 4x 2 4 4x

, entonces

x

f x 1 1lim 1g x 2 4

.

2- Tenemos 2argch x ln x x 1 ,entonces de acuerdo con lo que precede :

argch x ln 2x ln x

.

Del mismo modo que en la pregunta anterior, verificamos que 2x x 1 2x

, y

deducimos que : 2ln x x 1 ln 2x

, entonces argsh x ln 2x ln x

.

Ejercicio 17. Sea un real fijo. Definimos la función f por : f (x) =

xx² 1 arctan(x)

para

todo x de *+. 1- Dar equivalentes simples de f (x) en la proximidad de 0 y de + 2- Para qué valores de f se puede prolongar por continuidad a la derecha en 0 ? 3- Demostrar que para 2, esta prolongación se puede derivar a la derecha en 0 .

Corrección : 1- Tenemos 0

arctan x x y arctan x2

, y por otro lado,

2 2 2

0x 1 1 y x 1 x

.

Deducimos entonces que : 1 2

0

2f x x y f x x

.

2- f se puede prolongar por continuidad a la derecha en 0 si y solamente si 1 0 1 .

En este caso, anotamos 0 si 1

f 01 si 1

.

3- Sea 2 , tenemos entonces f 0 0 .

Así 12

0

f x f 0 f x x xx 0 x x

, y ya que 2 , 2x x tiene un límite a la

derecha finito en 0. Entonces la prolongación se puede derivar a la derecha en 0.



176

Ejercicio 18. Consideramos las siguientes funciones de en :

g1 (x) = argth (x 3) x g2

(x) = x ( )ln |x| 3 g3 (x) = 5

1 1expx x²

g4 (x) = x² argsh (x) g5 (x) = x 3 ln |x| g6 (x) = 1 1expx x

Clasificar todas estas funciones en la proximidad de 0, adoptando la siguiente notación: gi gj si y solamente si gi = o (gj) en la proximidad de 0 Corrección : Primero intentaremos encontrar equivalentes.

Sabemos que 0

argth x x . Deducimos que 3

21 0

xg x xx .

Del mismo modo, tenemos 0

argsh x x , entonces 2 34 0

g x x x x .

Tenemos :

130

2

g xg ln x

, entonces 1 2g g .

De plus, 5

01

g x ln xg

, entonces 5 1g g .

Por otro lado,

4

05

g 1g ln x

, entonces 4 5g g .

Ahora, 1x6

404

g 1 eg x

, entonces 6 4g g .

Por último, 2

1 1xx3

406

g 1 eg x

, y tenemos 2 20

1 1 1x x x

, entonces 3 6g g .

La relación siendo evidentemente transitiva, concluimos que 3 6 4 5 1 2g g g g g g .


Desarrollos limitados

177

Capítulo 11

DESARROLLOS LIMITADOS


Brillante alumno de Simson y de Newton, Maclaurin Colin (o Mac-Laurin) (escocés, 1698-1746) obtuvo a los 19 años una cátedra de enseñanza de las matemáticas en la universidad de Aberdeen y enseñaría ulteriormente en Edimburgo. Está al origen de los desarollos en serie entera de las funciones numéricas por el método de los coeficientes indeterminados ("Tratado de las fluxiones ", 1742), prolongamiento de los trabajos de Newton y de Taylor.

Las fórmulas de Taylor y de Maclaurin son las herramientas

privilegiadas para obtener un desarollo limitado de una función sobre

un intervalo. Un ejemplo de desarollo de Taylor convergente, pero no hacia la

función inicial, fue dado por Cauchy por el medio de la función: 1x²x e

(Ver Ejercicios del capítulo “Cálculo Diferencial”). Los desarollos limitados se utilizan en la aproximación polinomial de las funciones, el

estudio de límites en un punto y el comportamiento local. 1- Formula de Taylor-Young Teorema de Taylor-Young: Sea f una función definida en la vecindad del real “x0” tal que f(n)( x0) existe para un entero natural n. Entonces,

f(x)= kn

(k) n00 0

k 0

(x x ) f (x ) + o (x-x )k!

Fórmula de Taylor-Young al orden n Aplicación: Posición de una curva con respecto a su tangente en las cercanías de un punto. 2- Definición Definición: Sea f una función definida en la vecindad de un real x0 excepto quizá en x0. El hecho que f admita un desarrollo limitado de orden n en la vecindad de x0 significa que existe (n+1) reales a0, …, an tales que:


../../../Webs/IREM_UNIV-MRS/chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Maclaurin.html


178

f(x)= n

i ni 0 0

i 0a (x x ) o (x-x )

Observación: Nosotros podemos extender la definición precedente a una función definida a la derecha de x0 o a la izquierda de x0.

Definición: El polinomio que aparece en las escrituras de desarrollos limitados se llama la parte regular o polinomial de estos desarrollos. Observación a propósito de las equivalencias: El primer término no nulo del desarrollo limitado de una función es un equivalente de esta función. Observación con respecto a la fórmula de Taylor-Young Toda función f de clase Cn−1 sobre [0, x] (resp. [x, 0]) y tal que f(n)(0) existe, admite un dl de orden n en 0 que es :

f(x) = (k)n

k n

k 0

f (0) x + o xk!

Algunos desarrollos limitados clásicos en la vecindad de 0:

2 nx nx x xe 1 ... o(x )

1! 2! n!

3 5 2n 1n 2n 1x x xsen x x ... ( 1) o(x )

3! 5! (2n 1)!

2 4 2nn 2nx x xcos x 1 ... ( 1) o(x )

2! 4! (2n)!

3 5 2n 12n 1x x xsenh x x ... o(x )

3! 5! (2n 1)!

2 4 2n2nx x xcosh x 1 ... o(x )

2! 4! (2n)!

2 3 nn 1 nx x xln(1 x) x ... ( 1) o(x )

2 3 n

2 n n( 1) ( 1)...( n 1)(1 x) 1 x x ... x o(x )1! 2! n!

3- Desarrollo limitado, continuidad y derivabilidad

1- Desarrollo limitado de orden 0 Propiedad: Si f está definida en la proximidad de 0 (salvo quizás en 0), las dos propiedades siguientes:

1- f admite un dl de orden 0 en 0 de la forme f(x) = a0 + o(1) 2- 0x 0

Limf (x) a

f es eventualmente prolongable por continuidad con f(0) = a0. Desde ahora en adelante, las funciones no definidas en 0, que admiten un dl en 0, serán prolongados por continuidad.



179

2- Desarrollo limitado de orden 1

Propiedad: Las dos propiedades siguientes son equivalentes: 1- f admite un dl de orden 1 en 0 de la forme f(x) = a0 + a1x + o(x) 2- f es derivable en 0, f ’(0) = a1 y la ecuación de la tangente en el punto (0, a0) es y = a0 + a1x

3- Observaciones:

a- Un desarrollo de Taylor-Young al orden n es un desarrollo limitado al orden n. b- Un desarrollo limitado al orden n no es necesariamente un desarrollo de Taylor-Young al orden n.

Ejemplo: La función f(t) =3 1cos(t) t sen si t 0

t1 si t=0

admite un desarrollo limitado al orden

2 en 0 pero, como la función no se puede derivar 2 veces en 0, elle no admite un desarrollo de Taylor-Young al orden 2 en 0. Ver ejecicio.

4-Aplicación: Posición de una curva con respecto a su tangente. Sea f una función que admite un desarrollo limitado en x0 a un orden n>1 de la forma:

f(x)=a0 + a1(x-x0) + an(x-x0)n + n0o (x-x ) con an 0

podemos deducir que la ecuación de la tangente al gráfico de f en x0 es y= a0 + a1(x-x0). Siguiendo la paridad de n el signo de an, podemos precisar la posición del gráfico de f con respecto a su tangente en las cercanías de x0. 4- Propiedades En este párrafo, f es una función que admite un desarollo limitado de orden n en 0.

1- Unicidad Propriedad: El desarollo limitado es único. Consecuencia: Si f es de clase Cn-1 sobre [0, x] (resp. [x, 0]), si f(n)(0) existe y si f admite en 0

un dl de orden n de la forme f(x) = n

k nk

k 0a x + o x

entonces para todos enteros k de [0, n],

ak=(k)f (0)k!

.

2- Paridad

Propriedad : Si f es una función par (respectivamente impar), la patre polinomial (regular) de su desarollo limitado en 0 es un polinomio par (respectivamente impar).

3- Desarollo limitado por restricción Propriedad : Sea p un entero natural inferior a n. f admite un desarollo limitado de orden p. Su parte polinomial (regular) se obtiene « por restricción » a los términos de grado inferior a p de la parte polinomial (regular) del desarollo limitado de orden n.

4- Desarollo limitado por división de una potencia de la variable



180

Propriedad : Si el desarollo limitado de f en 0 es de la forma : f(x)=apxp+…+anxn+o(xn) (p n)

Entonces la función g definida por g(x)= p

f (x)x

admite un desarollo limitado de orden (n-p) :

g(x)=ap+ap+1x1+…+anxn-p+o(xn-p)

5- Integración de un desarrollo limitado Propriedad : Sea f tal que admita un desarollo limitado en 0 de orden n : f(x)=Pn(x) + o(xn).

Si f es integrable sobre [0,x] o [x,0], entonces la función xx

0f (t)dt admite en 0 un

desarollo limitado de orden (n+1) determindo por : x x n+1

n0 0f (t)dt = P (t)dt + o(x )

Aplicación : Desarrollo limitado de arctan en 0. Observación : Hay que resaltar que el desarrollo limitado de arctan permitió al final del siglo XVII un avance espectacular en el cálculo de decimales de , basado hasta entonces en el método de Arquímedes (s. III a.C) que aproxima un círculo por un polígono en el cual se calcula la longitud del perímetro o del aire. Arquímedes utiliza un polígono de 96 lados, Al-Kashi (s. XV) un polígono de 3228 lados, Ludolph van Ceulen (1600) un polígono de 262 lados, obteniendo para este último unos treinta decimales. Este método fue abandonado para el provecho de otros métodos que daban expresiones de bajo la forma de arctan.. Citemos particularmente , la fórmula de Machin (1706) que el lector se encangará de comprobar:

4π = 4 arctan 5

1 - arctan 2391

Machin obtiene así una centena de decimales. Conocemos actualmente (2003) más de 1000 mil millones de decimales de .

6- Observación sobre la derivación de un desarrollo limitado Propiedad : Sea f tal que admite un desarollo limitado en 0 de orden n : f(x)=Pn(x) + (xn) Si f es derivable al entorno de 0 y f ’ admite un desarollo limitado de orden (n-1) en 0 :

f ’(x)=Qn-1(x) + o(xn-1), entonces Qn-1= nP '

4- Cálculo práctico En este párrafo, f y g son dos funciones que admiten desarollos limitados de orden n en 0.

1- Combinación lineal Propriedad : (f+g) admite un desarollo limitado de orden n en 0 del cual obtenemos la parte polinomial (regular) sumando las dos partes polinomiales (regulares) de f y g.

2- Producto Propriedad : (fg) admite un desarollo limitado de orden n en 0 del cual obtenemos la parte polinomial (regular) efectuando el producto de las dos partes polinomiales (regulares) de f y de g y guardando únicamente los monomios de grado inferior (o igual) a n.

3- Quociente



181

Propriedad : Suponemos de más que la valuación de la parte polinomial (regular) de g es nula.

Entonces fg

admite un desarollo limitado de orden n en 0 del cual la parte polinomial

(regular) es el quociente de la división según las potencias crecientes al orden n de la parte polinomial (regular) de f por la parte polinomial (regular) de g.

4- Composición Propriedad : Suponemos además que la valución de la parte polinomial (regular) de f no es

nula 0Limf 0 .

Entonces g f admite un desarollo limitado de orden n en 0. Su parte polinomial (regular) se obtiene componiendo las partes polinomiales (regulares) de f y de g y guardando únicamente lo monomios de grado inferior (o igual) a n. 5- Desarrollo generalizado (asintótico)

1- Desarrollo generalizado Sea f una función definida en la proximidad de x0 tal que la función: x (x-x0)f(x) admite un desarrollo limitado de orden n en x0.

(x-x0)f(x)= n

k nk 0 0

k 0a x x o (x x )

Tenemos entonces el desarrollo generalizado de f en x0 :

f(x)= n

k nk 0 0

k 00

1 a x x o (x x )(x x )

Aplicación: Estudio de los brazos infinitos.



182


Ejercicio 1 : Simplificar al máximo las siguientes escrituras : 1. 2 3 2 4 4(1 3x x o(x )) ( 2 5x x o(x )) 2. 2 3 5 2 3 4 5 5(2x 5x 4x o(x )).( 1 7x x 3x 2x x o(x ))

3. 2 4

2 2

2x 4x o(x )x x o(x )

Ejercicio 2 : Determinar un desarrollo limitado al orden n de f en a en los siguientes casos:

1. 3 4f (x) 2x 3x x , a 0, n 2 luego n 5. Misma pregunta para a=3.

2. 23

2f (x) ln(1 x) x , a 0, n 61 x

.

3. f (x) cos(3x), a 0, n 5 . 4. f (x) sen(x) 1 x, a 0, n 4 .

5. xef (x) , a 0, n 3

1 x

.

6. f (x) tan(x), a , n 44

.

Ejercicio 3. Para x un real conveniente, anotamos 3 2

23x x x 1f (x)

x 2x 1

.

Mostrar que en la proximidad de y de tenemos: 1 1f (x) 3x 7 12 ox x

.

Interpretar geométricamente este resultado.



183


Ejercicio 1 : 1. 2 31 3x 4x o(x ) 2. 2 3 4 5 52x 19x 41x 39x 15x o(x ) 3. 2 6x o(x)

Ejercicio 2 :

1. 2cuando a 0, n 2, f (x) 2x o(x ) , 3 4 5cuando a 0, n 5, f (x) 2x 3x x o(x )

2 2cuando a 3, n 2, f (x) 6 25(x 3) 26(x 3) o((x 3) ) , 2 3 4 5cuando a 3, n 5, f (x) 6 25(x 3) 26(x 3) 9(x 3) (x 3) o((x 3) )

2. 2 3 4 5 6

6x 7x x x 11xf (x) 2 x o(x )2 3 4 5 6

3. 2 4 59 81f (x) 1 x x o(x )2 24

4. 2 3 4 41 7 1f (x) x x x x o(x )2 24 48

5. 2 3 31 1f (x) 1 x x o(x )2 3

6. 2 3 4 48 10f (x) 1 2 x 2 x x x o x

4 4 3 4 3 4 4



184

EJERCICIOS APLICACIONES DEL CURSO

Ejercicio 1. a- Sea f una función que admite un desarrollo limitado de orden 1 en la vecindad de t 0. Mostrar que f es derivable en t 0. b- Mostrar que la existencia de un desarrollo de orden n estrictamente superior a 1 en la vecindad de t 0 no implica la existencia de f (t )(n)

0 ni tampoco la existencia de otra derivada diferente a f '( t 0).

Indicación : Usted podrá utilizar la función f(t) = 3 1cos(t) t sen si t 0

t1 si t=0

.

Ejercicio 2. Descubrir el error en el cálculo siguiente del desarrollo limitado de orden 2 en 0

de la función f : sen(x)xx x²

y corregirla.

1- sen(x) = x + o(x²) 2- La división según las potencias crecientes de x por (x + x²) da :

x = (x + x2 )(1 - x) + x3 3- De ahí : f(x) = 1 - x + o(x²). Ejercicio 3. a- Sea f la función definida por :

2 3 11 x x x sen si x 0f(x) x

1 si x=0

1- Mostrar que en la proximidad 0 tenemos : 2 2f x 1 x x o x . Deducir que f es derivable en 0. Determinar f ’(0).

2- Mostrar que f ' no admite desarrollo limitado de orden 1 en 0

b- Sea g la función definida por g(x) = 1(1 x)²

. Mostrar que g admite en 0 un

desarrollo limitado de cualquier orden. Determinarlo. Ejercicio 4. Sea f la función definida por f(t) = (ln|t|).t². a- Mostrar que podemos prolongar f en 0 por continuidad. Llamamos también f la prolongación por continuidad. b- Mostrar que f se puede derivar en 0. Determinar f '(0). c- Mostrar que f no tiene un desarrollo limitado de orden estrictamente superior a 1. Ejercicio 5. Determinar el desarrollo limitado en la proximidad de 0 de orden 3 de las funciones siguientes:

1 2 3 4 5x

x 1 ln(1 x) xf (x) ; f (x) ; f (x) ; f (x) ; f (x) 1 sen(x)sen(x) cos(x) 1 x e 1

;

6 f (x) 1 cos(x)



185

Ejercicio 6. Determinar el desarrollo limitado en la vecindad de 0 de orden 3 de las funciones siguientes:

x 1cos(x) cos(x) x

1 2 3f (x) e ; f (x) e ; f (x) (1 x)

Ejercicio 7. Calcular el desarrollo limitado al orden 3 en la proximidad de 1 de 2

ln xx

.

Método : suponemos x = 1 + u con u en la proximidad de 0. Ejercicio 8. Determinar el desarrollo limitado en la proximidad de 1 al orden 3 de la función f(x) = x . Ejercicio 9. Calcular el desarrollo limitado al orden 3 de :

a- f x arctan x en la proximidad de 2 . b- sen xg x

5 4cos x

en la proximidad de .

Ejercicio 10. Sea f la función definida por:

f(0) = 0 ; x *, x²e 1f(x)x

Mostrar que f admite una función recíproca f -1 , definida sobre , y dar el desarrollo limitado de f -1 al orden 5 en la proximidad de 0.

Ejercicio 11. Sea f la función definido por x x

3

x e 1 2 e 1f x

x

. Determinar el límite

de f en 0, la ecuación de la tangente en 0 también la posición de la tangente con respecto a la curva representativa de f. Ejercicio 12. Estudiar, según los valores del parámetro “a”, la forma y la posición respecto a su tangente, de la función mencionada abajo en la vecindad de 0:

f(x) ln1 ax x²1 ax x²

3 x1 x

Cada caso deberá estar ilustrado por un dibujo. Ejercicio 13. consideramos la función g definido por : g x 1 2x cos x senx .

1- Calcular el desarrollo limitado al orden 4 en la proximidad de 0 de g(x). Deducir un equivalente de g en la proximidad de 0.

2- calcular el limite eventual de 3

g xx

en 0.

Ejercicio 14. consideramos la función f definido por : 32 3 2f x x x 1 x x 1 .

1- Calcular un desarrollo asintótico de f(x) en la proximidad de . 2- Calcular para que

xLimf x 0

.



186

EJERCICIOS

ESTUDIOS DE LAS FUNCIONES Ejercicio 15. Se considera a la familia de funciones f definidas por:

f:x arctan(x)x ax1 bx

3

2

donde “a” y “b” son dos reales. 1- Escribir el desarrollo limitado de orden 7 de f en la vecindad de 0.

2- Se propone estudiar la función f obtenida por a = 415

y b = 35

.

a- Deducir de la pregunta 1-, el aspecto de la curva representativa (C) de f en la vecindad de 0.

b- Se recuerda que para x > 0, arctan(x) = 2 - arctan 1

x

.

Deducir el desarrollo generalizado de f en la vecindad de (+), con la forma:

f(x) = + x + x + o 1

x

luego el aspecto de (C) en la vecindad de (+). 3- Acabar el estudio de f. 4- Dibujar (C). Ejercicio 16. Se considera la función real f definida para toda x que no es nula por

1 xf(x) e x² x 1

arctan(x) 1- Mostrar que para todo real x estrictamente positivo,

arctan(x) + arctan 1x

= 2

¿Cuál es el valor de arctan(x) + arctan 1x

para x estrictamente negativa?

2- Determinar los números reales a, b, c tales que:

f(x) = ax + b + cx

+ o 1x

en la vecindad de (+).

Determinar de la misma manera los reales tales que:

f(x) = x + + x + o 1

x

en la vecindad de (-).

3- Sea () la curva de ecuación "y = f(x)". Determinar las asíntotas de () y la posición relativa de () respecto a sus asíntotas.



187

Ejercicio 17. Suponemos 21 x x 1f x ln

x x 1

.

1. Propiedades generales de la función f : a- Donar el dominio de definición fD de f. b- Mostrar que f es par.

c- Expresar 1fx

en función de f(x).

2. Estudio de f en la proximidad de 0 y de : a- Determinar el desarrollo limitado al orden 2 en la proximidad de 0 de f.

Dar la forma de la curva fC representando f en una referencia ortonormal en la proximidad del punto de abscisa 0.

b- Encontrar un desarrollo asintótico de f en la proximidad de + y - de precisión

2

1ox

. Interpretar geométricamente.

3. Estudio de f en la proximidad de 1 : a- Dar un equivalente (la más simple posible) de f x en la proximidad de 1. b- Cual es la forma de fC en la proximidad del punto de abscisa 1.

4. Estudio de las variaciones de f : a- Aplicando el teorema de los crecimientos finitos a definido por :

1 xx ln1 x

, mostrar que : x 0;1 2

2xx 01 x

b- Mostrar que f (prolongado por continuidad) es decreciente sobre ;0 . 5. Grafico Representar fC .

Ejercicio 18. Estudiar las variaciones y dibujar la curva representativa de la función definida por :

f(x)ln|x 2|

ln|x|

Observación: El gráfico dado por una calculadora o por un programa informático de cálculo no da a primera vista una buena idea de la curva como podrán darse cuenta estudiando f …



188

Ejercicio 19. Estudiar la función f definida por : t² 1f(t)t 1

1te (Ejercicio con calculadora).

Elementos de solución:

- f es definida, continua y derivable en \{0,1}. - Estudiar en 0:

fLim0

, 0fLim0

, se da f(0)=0, t 0

f (t) f (0)Lim 0t 0

f es derivable a la derecha en 0 y f’d(0)=0. - Estudiar en 1:

f(t)1t

e2~1

de ahí los límites en 1.

- Estudiar en + y - : Un desarrollo generalizado de f da:

f(t)=t+2+ 7 1o2t t

pues la recta con ecuación y=t+2 es asíntota al gráfico Cf de f

en + y - . Se deduce también la posición relativa de y Cf.

- Para todo t elemento de \{0,1}, f’(t)= 1t (t)e

t²(t 1)²

con (t)=t4-3t3-t+1.

Para estudiar el signo de , se estudian sus variaciones usando el signo de ’ Para estudiar el signo de ’, se estudian sus variaciones usando el signo de ’’. Se encuentra que se anula 2 veces: una vez en comprendida entre 0 y 1 y una vez en comprendida entre 1 y + . Un valor próximo a es 3,07 y de f() es 6,97. Un valor próximo a es 0,56 y de f() es –17,80.

Gráfico de la función f(x)= x1

e1x1²x

(cuidado con la escala)



189

Ejercicio 20. Sean f y g definidas por: f(x) = x3 – 2x2 – 1 y g(x) = 1x1x

x 2

1- Mostrar que la ecuación f(x) = 0 admite una solución única real. Deducir de eso el signo de f. 2- Estudiar las variaciones de g y dar su cuadro de variación. 3- Calcular el desarrollo limitado, a la orden 2, a la vecindad de 0, de g. Deducir de eso la forma de la curva que representa g a la vecindad del punto de abscisa 0

y hacer un dibujo.

4- Calcular los reales a, b y c tales que : g(x) c 1ax b ox x

Interpretar geométricamente el resultado obtenido. Hacer un trabajo análogo a la vecindad de - . 5- Deducir la curva representativa de g. Admitiremos que 2,2 y g( ) 4



190

Algunos ejercicios corregidos

Ejercicio 21. Calcular el desarrollo limitado al orden 4 en la proximidad de 1 de ln (x) x2 .

Método : anotaremos x = 1 + u con u en la proximidad de 0.

Corrección : Anotemos x=1+u entonces

2

ln 1 uf x

1 u

.

Como sabemos que

2 3 4 5 5

0

1 1 u u u u u o u1 u

.

Entonces, derivando, obtenemos:

2 3 4 42 0

1 1 2u 3u 4u 5u o u1 u

.

Por lo cual:

2 3 4 42 0

1 1 2u 3u 4u 5u o u1 u

.

Por otro lado, tenemos: 2 3 4 4

0

1 1 1ln 1 u u u u u o u2 3 4

.


2 3 4 4 2 3 4 42

2 3 4 2 3 2 2 4 4

2 3 4 2 3 4 3 4 4 4

2 3 4 4

ln 1 u 1 1 1f x 1 2u 3u 4u 5u o u u u u u o u2 3 41 u

1 1 1 1 1 1u u u u 2u u u u 3u u u 4u o u2 3 4 2 3 21 1 1 2 3u u u u 2u u u 3u u 4u o u2 3 4 3 25 13 77u u u u o u2 3 12

Finalmente, esto nos da:

2 3 4 4

42 3 4

5 13 77f x x 1 x 1 x 1 x 1 o x 12 3 12

43 50 64 77x 28x x x o x 112 3 3 12

De hecho, tenemos una segunda solución que es un poco más rápida: Queremos calcular el desarrollo limitado del cociente de :

2 3 4 4

0

1 1 1ln 1 u u u u u o u2 3 4

por 2 21 u 1 2u u .

Podemos entonces para ello, efectuar la división según las potencias crecientes de la parte polinomial del numerados por la parte polinomial del denominador porque la valuación de

21 u es 0.



191

2 3 4 2

2 3 2 3 4

2 3 4

2 3 4

3 4

3 4 5

4 5

1 1 1u u u u 1 2u u2 3 4

5 13 77u 2u u u u u u2 3 12

5 2 1u u u2 3 45 5u 5u u2 2

13 9u u3 4

13 26 13u u u3 3 3

77 13u u12 3

Encontramos el mismo resultado que con el método anterior. Ejercicio 22. 1- Calcular el desarrollo limitado al orden 5 en la proximidad de 0 de sh(ln(1+x)). 2- Calcular el desarrollo limitado al orden 3 en la proximidad de 0 de x – ln (1 + x) e x – cos x .

Corrección : 1- Primero calculamos el desarrollo limitado de ln (1 + x) al orden 5 :

2 3 4 5 5

0

1 1 1 1ln 1 x x x x x x o x2 3 4 5

Recordamos que : 3 5

5

0

u ush u u o u6 120

.


32 3 4 5 2 3 4 5

0

52 3 4 5 5

1 1 1 1 1 1 1 1 1sh ln 1 x x x x x x x x x x x2 3 4 5 6 2 3 4 5

1 1 1 1 1x x x x x o x120 2 3 4 5

Evidentemente, no vamos a desarrollar completamente cada una de esas expresiones. De hecho, ya que estamos en el orden 5, podemos directamente reemplazar

52 3 4 51 1 1 1x x x x x

2 3 4 5

por 5x , los otros términos tiene potencias estrictamente

superiores a 5.

Del mismo modo, 3

2 3 4 51 1 1 1x x x x x2 3 4 5

se vuelve:

3 4 5 5 3 4 51 1 1 3 7x 3 x 3 x 3 x x x x2 3 4 2 4

.

Finalmente deducimos que :



192

2 3 4 5 3 4 5 5 5

0

2 3 4 5 5

0

1 1 1 1 1 3 7 1sh ln 1 x x x x x x x x x x o x2 3 4 5 6 2 4 1201 1 1 1x x x x x o x2 2 2 2

2- Tenemos 2 3 4 4

0

1 1 1ln 1 x x x x x o x2 3 4

entonces :

2 3 4 4

0

1 1 1x ln 1 x x x x o x2 3 4

,

lo que quiere decir 2 2 2

0

1 1 1x ln 1 x x x x o x2 3 4

por otro lado, x 2 3 4 4

0

1 1 1e 1 x x x x o x2 6 24

y 2 4 4

0

1 1cos x 1 x x o x2 24

.

Por lo cual: x

x 2 3 4 2 3

0

1 1e cos x x x x o x x 1 x x o x6 6

.

Así:

x 0 02 3 2 3

1 1 1 11 1e cos x xx 1 x x o x 1 x x o x6 6

Como, 2 2

0

1 1 u u o u1 u

, entonces anotando 21u x x6

, se obtiene :

22 2 2 2 2 2

x 0 0

2 2

0

1 1 1 1 1 11 x x x x o x 1 x x x o xe cos x x 6 6 x 6

1 51 x x o xx 6

Finalmente concluimos que :

2 2 2 2 2x 0

2 3 3 2 2

0

x ln 1 x 1 1 1 1 5x x x o x 1 x x o xe cos x 2 3 4 x 6

1 1 1 5x x x o x 1 x x o x2 3 4 6

Lo que nos da:

2 3 2 3 3 3 2 3 3

x 0 0

x ln 1 x 1 1 1 1 1 5 1 5x x x x x x o x x x x o xe cos x 2 3 4 2 3 12 2 6

Ejercicio 23. Definimos la función f en * por f(x) = xe x – 1.

1- Calcular el desarrollo limitado de f(x) al orden 2 en la proximidad de 0. Qué podemos deducir de f y de su representación gráfica Cf ?

2- Demostrar que Cf admite dos asíntotas.

Corrección : 1- Tenemos x 2 3 3

0

1 1e 1 x x x o x2 6

, entonces:

x 2 2

0

1 1e 1 x 1 x x o x2 6



193

Por lo cual :

x 0 2 2

x 11 1e 1 1 x x o x2 6

.

Como, 2 2

0

1 1 u u o u1 u

entonces,

2

2 2 2 2 2 2 2 2x 0 0 0

x 1 1 1 1 1 1 1 1 11 x x x x o x 1 x x x o x 1 x x o xe 1 2 6 2 6 2 6 4 2 12

Gráficamente, esto significa que Cf tiene el aspecto de la recta de ecuación 1y 1 x2

en la

proximidad de zéro. 2- Estudio en la proximidad de :

Tenemos xx x

xlim f x lim 0e 1

.

Deducimos que la recta de ecuación y 0 es una asíntota de la curva Cf en . Estudio en la proximidad de :

Tenemos xx x

xlim f x lime 1

.

Entonces, primero hay que estudiar xx x

f x 1lim lim 1x e 1

.

Luego hay que estudiar :

x x

x x xx x x x

x x e 1x xelim f x x lim x lim lim 0e 1 e 1 e 1

Concluimos que la recta de ecuación y x es una asíntota de la curva C f en .

Ejercicio 24. Sea f la función definida en * por : f(x) = 1x 2x

arctan x.

1- Demostrar que f admite en 0 un límite finito que determinaremos. 2- Demostrar que la prolongación de f en 0 se puede derivar. Estudiar la posición de la

curva en relación a la tangente en el punto de abscisas 0. 3- Estudiar en la proximidad de + la existencia de una asíntota así que la posición de

la curva en relación a ésta. Igualmente en la proximidad de – .

Corrección : 1- Sabemos que 0

arctan x x ,

entonces : 2

0 x 0

1f x x 2 x x 2x 1 1x

.

Podemos entonces prolongar f por continuidad en 0 anotando f 0 1

2- Tenemos:

1x 2 arctan x 1f x f 0 xx x

.

Sabemos que 3 31arctan x x x o x3

entonces :



194

3 3 2 3 2 3

0 0

1 1 2 1x 2 x x o x 1 x 2x 1 x x o x 1f x f 0 x 3 3 3x x x

2 3 3

2 2

0 0

4 22x x x o x 4 23 3 2 x x o xx 3 3

.

Así, x 0 0

f x f 0lim 2

x

.

Concluimos que la prolongación de f en 0 se puede derivar en 0, y obtenemos f 0 2 .

Además,

0

f x f 0 42 x o xx 3

, entonces 2 2

0

4f x f 0 2x x o x3

.

Como la ecuación de la tangente no puede ser otra que « y=f(0)+2x » entonces deducimos que la curva está siempre por encima de su tangente.

3- Para el estudio de las asíntotas, recordamos lo siguiente:

x *, 1arctan x arctan sgn(x)x 2

Estudio en la proximidad de :

Tenemos: x x

1lim f x lim x 2 arctan xx

.

Entonces tenemos primero que estudiar :

x x

1x 2 arctan xf x xlim limx x 2

porque

1x 2 arctan x xx 2

.

Luego estudiamos:

x x x

x

1 1 1lim f x x lim x 2 arctan x x lim x 2 arctan x2 x 2 x 2 x 2

1 1 1lim 2 arctan x 22 x x x

Tenemos x

1lim 22 x

y podemos hacer un desarrollo asintótico de 1arctan

x

:

1 1 1arctan ox x x

, lo que nos da :

x x

1 1 1 1lim arctan x 2 lim x 2 1x x x x

.

Deducimos entonces que xlim f x x 1

2

.

Concluimos que la recta de ecuación « y x 12

» es una asíntota a la curva C f en .

Estudio en la proximidad de :

Tenemos: x x

1lim f x lim x 2 arctan xx

.



195

Tenemos entonces que estudiar antes

x x

1x 2 arctan xf x xlim limx x 2

porque

1x 2 arctan x xx 2

.

Luego hay que estudiar:

x x x

x

1 1 1lim f x x lim x 2 arctan x x lim x 2 arctan x2 x 2 x 2 x 2

1 1 1lim 2 arctan x 2 .2 x x x

Tenemos x

1lim 22 x

y podemos hacer un desarrollo asintótico de 1arctan

x

:

1 1 1arctan ox x x

, lo que nos da :

x x

1 1 1 1lim arctan x 2 lim x 2 1x x x x

.

Deducimos entonces que : xlim f x x 1

2

.

Concluimos que la recta de ecuación « y x 12

» es una asíntota a la curva Cf en .



196


Las fracciones racionales

197

Capítulo 12

LAS FRACCIONES RACIONALES

0- Preliminar

Consideramos la fracción F = 8 7 6 5 4 3 2

5 4 3 2

X 3X 2X X 6X 6X 6X 6X 3X 3X 2X 2X 3X 1

.

a- Efectuando la división (euclidiana) entre el numerador y el denominador,

demostrar que: F = 3

34

X 3XX 3(X 1)(X 1)

.

b- Sea F1(x) = 3

4

x 3x(x 1)(x 1)

, h=x+1.

Demostrar que F1 (h-1) = 3 2

4

h 3h 6h 4h (h 2)

.

c- Con la ayuda de una división de potencias crecientes, demostrar que:

34 3 2

1 1 12 2 2 4 4F X 3

(X 1) (X 1) (X 1) (X 1) (X 1)

En este capítulo, designará tanto al cuerpo conmutativo, como al cuerpo conmutativo. 1- Definiciones

Sean P y Q dos elementos de [X]. Entonces, F= PQ

es una fracción racional.

Notación: (X) designa el conjunto de las fracciones racionales con coeficientes en. La fracción racional F es irreductible porque P y Q no poseen ningún factor común de grado superior o igual a 1.

Para lo siguiente, suponemos que la fracción F= PQ

es irreductible.

Sí "a" es un elemento de , tal que Q(a)=0. Decimos que "a" es un polo de F. Sí "a" es una raíz de orden de Q, decimos que "a" es un polo de orden de F.

Efectuemos la división (euclidiana) entre P y Q: !(E,R) [X]² / P QE + R con R=0 donde deg(R) <deg(Q).



198

De ahí: F = PQ

= E + RQ

.

El cociente E de la división de P dividido Q es la parte entera de F

y RQ

es la parte polar de F.

En este párrafo, consideramos una fracción F = PQ

con deg(P)<deg(Q).

Sea "a" un polo de orden de F.

Existe un elemento Q1 de [X] tal que: F = 1

P(X a) Q

y Q1(a) 0.

Podemos escribir: F(x)=1

P(x)(x a) Q (x)

.

Efectuamos el cambio de variables: h = x-a. Luego efectuamos la división de P(a+h) dividido Q1(a+h) con las potencias crecientes (de h) al orden -1. Volviendo a la variable x, obtenemos una fórmula de tipo:

F(x) = 1

ii

i 0

a(x a)

+

1

R(x a)Q (x)

con Q1(a) 0

El término 1

ii

i 0

a(x a)

es la parte polar relativa al polo "a".

El término 1

R(x a)Q (x)

tiene como polos eventuales los polos de F excepto "a".

2- Descomposición en elementos simples en (X) Sea F un elemento de (X). Sean x1, …, xr los polos de F, de respectivos ordenes 1, …, r.

Tenemos entonces la descomposición irreductible de Q : Q=k jr

jj 1

X x

Podemos obtener la expresión:

F(x)=E(x) + jr

j,ii

j 1 i 1 j(x x )

Esta expresión (única) es la descomposición en elementos simples (de primera especie) de F en (X). 3- Descomposición en elementos simples dentro de (X) Sea F un elemento de (X).

Tenemos la descomposición irreductible de Q : Q=k jj

pr2

j j jj 1 j 1

X x X p X q

con

cualquier j de 1 a p, tenemos pj²-4qj<0.



199

Podemos obtener una expresión de la forma :

F(x)=E(x) + jr

j,ii

j 1 i 1 j(x x )

+

jpi, j i,j

ij 1 i 1 j j

c x + d(x² p x + q )

Con cualquier j de 1 a p, pj²-4qj<0. Esta expresión (única) es la descomposición en elementos simples de F dentro de (X). E(x) es la parte entera de F.

jrj,i

ij 1 i 1 j(x x )

está constituido de los elementos simples de primera especie (si existen).

jpi, j i,j

ij 1 i 1 j j

c x + d(x² p x + q )

está constituido de los elementos simples de segunda especie (si

existen).



200


Ejercicio 1. Las siguientes fracciones racionales son irreductibles ? En el caso de que no sean irreductibles, encontrar la expresión irreductible de la fracción racional, indicar sus ceros y sus polos.

2 2 8 7 6 2

2 2 3 2 3 2

X-1 X -1 X -4X 2X -8X +6X -2X +8X-6(a) ; (b) ; (c) ; (d) X (X+1) X -2X-3 2X -4X X -2X -5X+6

Ejercicio 2. Calcular las partes enteras de las siguientes fracciones racionales:

5 2 3

2 2 2 2 2

X X -1 2X+1 X -2X+5(a) ; (b) ; (c) ; (d) (X +1)(X-1) X -2X-3 X(X +1) X+3

Ejercicio 3. Indicar, sin efectuar cálculos, la forma de la descomposición en elementos simples en (X) y en (X) de las siguientes fracciones racionales, dar las relaciones entre los diferentes coeficientes.

2 2

2 3 2 2

X -1 X(a) ; (b) (X 2)X (X 1)

Ejercicio 4. Descomponer en elementos simples las siguientes fracciones racionales en (X) y en (X) :

2 3 3

X-3 1 X(a) ; (b) ; (c) (X +4) (X+1) (X+1)



201


Ejercicio 1. (a) La fracción es irreductible, cero: 1 ; polos : 0 (doble) y -1

(b) Forma irreductible: X 1X 3

; cero: 1 ; polo: 3

(c) Forma irreductible : 2

X 42X 4X

; cero : 4 ; polos : 0 y 2

(d) Forma irreductible : 62(X 1)

X 2

; ceros : las raíces sextas de 1 ; polo : -2

Ejercicio 2. (a) X 2 (b) 1 (c) no hay parte entera (d) 2X 3X 7 Ejercicio 3. (a) Forma de la descomposición en (X) :

2 3

a b c d eFX X X X i 2 X i 2

Además la fracción es real, entonces d e y la fracción es impar, escribiendo: F( X) F(X) , obtenemos b 0,d e . Forma de la descomposición en (X) :

2 3 2

a b c XFX X X X 2

a, b y c son los mismos que los anteriores, el hecho de que la fracción es impar nos da esta vez b=0, β=0 . (b) Forma de la descomposición en (X) :

1 2 1 22 2

a a b bFX i (X i) X i (X i)

Además la fracción es real entonces 1 1 2 2a b y a b , por otro lado, la fracción es par entonces obtenemos demás: 1 1 2 2a b y a b . Deducimos además que 1a es un imaginario puro y que 2a es real. Forma de la descomposición en (X) :

1 1 2 22 2 2

X XFX 1 (X 1)

Como la fracción es par, obtenemos 1 2 0 .

Ejercicio 4. (a) Al principio en (X) : F es un elemento simple !

En (X) :

1 3 1 3i i2 4 2 4FX 2i X 2i

.

(b) En (X) como en (X), F es un elemento simple.



202

(c) Tenemos un polo múltiple, que es una raíz real entonces obtenemos la misma

descomposición en (X) y en (X) : 2 3

1 1F(X 1) (X 1)

.



203

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Descomponer dentro de (X) la fracción F(X) = X + X + 2

X + 5X + 8X + 4

4 2

3 2 .

Ejercicio 2. Descomponer dentro de (X) la fracción F(X) = 1)²1)(X(X²

2

.

Ejercicio 3. Descomponer dentro de (X) la fracción F(X) = X² - 4

(X -1)² (X+1)².

Ejercicio 4. Descomponer dentro de (X) la fracción F(X) = 2X +1

(X -1) (X +1)

4

3 2 .

Ejercicio 5. Descomponer dentro de (X) la fracción racional F definida por :

F(X) = 2X -1

X(X +1)² (X²+ X +1)²

Ejercicio 6. Descomponer dentro de (X) la fracción racional F definida por :

X + 3(X +1) (X + 2X + 2)7 2

Ejercicio 7.

1- Descomponer en elementos simples dentro de (X) la fracción racional siguiente :

F = 5 4 3 2

4 3 2

2X 5X 4X 2X 3X 2X 2X X

2- Determinar 2n

4 3 2n k 1

k 3k 2Limk 2k k

.



204

Algunos ejercicios corregidos Ejercicio 8. Sea P el polinomio con coeficientes reales definido por :

6 5 4 3 2P X =X +2X +3X +αX +3X +2X+1 1- Determinar para que -1 sea raíz de P.

Nos quedamos con este valor de para la continuación. 2- Mostrar que -1 es raíz doble de P. 3- Mostrar que i es raíz múltiple de P. 4- Deducir una factorización de P en [X], luego en [X]. 5- Con ayuda de lo precedido, determinar la descomposición en elementos simples en

(X) de :

4XR X =

P X

Corrección: 1-

6 5 4 3 2-1 racine de P P -1 =0 -1 +2 -1 +3 -1 +α -1 +3 -1 +2 -1 1 α=4

Nos quedamos con este valor de para la continuación. Tenemos entonces 6 5 4 3 2P X =X +2X +3X +4X +3X +2X+1 2- De lo precedido, -1 es raíz de P entonces para verificar si -1 es raíz doble de P, basta con verificar que -1 sea raíz de la derivada de P y que no sea raíz de la derivada segunda de P. P es derivable , entonces tenemos : Así,

5 4 3 2P -1 =6 -1 +10 -1 +12 -1 +12 -1 +6 -1 +2=0 . Mostramos también que P" (-1) 0 . Deducimos que -1 es raíz doble de P. 3- Tenemos por un lado que: P i =0 , y por el otro que, P i =0 Deducimos entonces que i es raíz al menos doble de P. 4- Con todo lo que precede, i es una raíz al menos doble de P. P siendo un polinomio de coeficientes reales, deducimos que i=-i es también una raíz al menos doble de P. P siendo de grado 6, P tiene exactamente 6 raíces en (contadas con sus orden de multiplicidad). Hemos encontrado todas las raíces de P. Entonces P puede tener la siguiente forma :

2 2 2P X =A X+1 X-i X+i con A el coeficiente dominante. Por identificación, tenemos claramente A=1. Concluimos que

2 2 2P X = X+1 X-i X+i en [X]. Para obtener la factorización en [X], basta con agrupar los términos con las raíces conjugadas de dos a dos.

22 2P X = X+1 X +1 .

5- Gracias a la pregunta anterior, tenemos 22 2P X = X+1 X +1

Entonces

22 2

4X 4XR X = =P X X+1 X +1

.

Para determinar la descomposición en elementos simples de R, tenemos dos posibilidades. El primer método consiste en determinar la descomposición en [X], y luego volver a la



205

descomposición en [X]. El segundo método consiste en determinar directamente la descomposición de R en [X]. Aquí, vamos a optar por el segundo método que en este caso nos da la solución con menos cálculos. La descomposición de R en [X] es del tipo:

3 4 5 61 22 22 2

a X+a a X+aa aR X = + + +X+1 X +1X+1 X +1

Para determinar la parte polar asociada al polo -1 de orden 2, vamos a utilizar el método de división con las potencias crecientes. Comencemos haciendo el cambio de variable X+1=h X=h-1 , obtenemos:

2 22 2 2 2

4 h-1 4 h-1R X = =

h h -2h+2h h-1 +1

Debemos dividir 4 h-1 por 22 2 3 4h -2h+2 =4-8h+8h -4h +h con las potencias crecientes al

orden 1=2-1 :

2 3 4

2 3 4

2 3 4

2 3 4 5

3 4 5

-4+4h 4-8h+8h -4h +h

- -4+8h-8h +4h -h -1-h

-4h+8h -4h +h

- -4h+8h -8h +4h -h

4h -3h +h

Deducimos que tenemos:

22 2 2 3-4+4h= h -2h+2 -1-h +h 4h-3h +h

Lo que nos da:

22 2 2 3 2 3

2 222 2 2

2 3

22 2

h -2h+2 -1-h +h 4h-3h +h 4h-3h +h-1-hR X = = +

hh h -2h+2 h -2h+2

4h-3h +h1 1 =- - +h h h -2h+2

Luego, reemplazando h por X+1 :

2 3

2 22

4 X+1 -3 X+1 + X+11 1R X =- - +X+1X+1 X +1

Además tenemos:

2 3 34 X+1 -3 X+1 + X+1 =X +X+2 Entonces:

3

2 22

1 1 X +X+2R X =- - +X+1X+1 X +1



206

Para determinar la parte polar de segunda especia, efectuaremos la división euclidiana de

3X +X+2 por 2X +1 :

3 2

3

X +X+2 X +1

- X +X X

2

Tenemos entonces 3 2X +X+2= X +1 X+2 Lo que nos da:

2

2 2 2 222 2

X +1 X+21 1 1 1 X 2R X =- - + =- - + +X+1 X+1 X +1X+1 X+1X +1 X +1

Finalmente, hemos obtenido la descomposición de R en elementos simples en [X] :

2 22 2

1 1 X 2R X =- - + +X+1 X +1X+1 X +1


Integral de Riemann

207

Capítulo 13

INTEGRAL DE RIEMANN

Bernhard Riemann (1826-1866), matemático alemán, alumno de Gauss, ha destacado brillantemente en distintos cam-pos; es imposible avanzar seriamente en Matemáticas sin encon-trar su nombre: integral de Riemann, superficie de Riemann, y conjeturada de Riemann (« problema monumental y capital » - todavía sin resolver).

1- Integral de una función escalera Definición: Sea I=[a,b]. El que una función f definida en I sea en escalera significa que existe una subdivisión a=c0<c1<c2<…<cn-1<cn=b de I tal que la restricción de “f” a cada intervalo ]ci,ci+1[, para i = 0 hasta n-1, sea constante.

i 1,-n à 0i , 1ii c,cx , f(x)=i Notación: C es el conjunto de las funciones en escalera.

Definición: Sea f un elemento de C. Se plantea

1n

0ii1ii

b

a)cc(dx)x(f .

2- Función integrable en un intervalo cerrado [a,b] Sea f una función con bornes en [a,b]. Se plantea: C-(f)={g C/ x[a,b], g(x) f(x)} C+(f)={h C/ x[a,b], h(x) f(x)}.

Bernhard Riemann


Integral de Riemann

208

Se dice que f es integrable según el concepto de Riemann cuando

-

b

ag (f )Sup g(x)dx

C

=

b

a)f(hdx)x(hInf

C.

Se plantea entonces que b

adx)x(f =

-

b

ag (f )Sup g(x)dx

C

=+

b

ah (f )Inf h(x)dx C

.

Notacion: Llamaremos I(D) el conjunto de funciones integrables en un conjunto D. Teorema. Las funciones continuas, continuas por partes o monótonas en [a,b] son integrables en [a,b]. Observación: 1- Sea “f” la función indicadora de . Mostrar que si "u" y "v" son dos funciones en escalera tales que u f v ,entonces u 0 y v 1 . Deducir que “f” no es integrable en [a,b]. 2- Existen funciones discontinuas que admiten primitivas. Por ejemplo, estu-

diar la función F definida sobre por: 1x²sin por x 0

F(x) x0 por x = 0

. F se puede derivar en 0

de función derivada f sobre , pero f no es continua en 0.

El problema precedente nos muestra que, de entre las funciones no continuas, algunas tienen primitivas y otras no. La pregunta: « ¿Cuales son las funciones que admiten primitiva? », pregunta estrechamente atada a la teoria de la integración, susci-ta a finales del siglo XIX numerosos trabajos. Hay que abonar en cuenta del matemático francés Henri Lebesgue (1875-1941) el haber determinado las « felices elegidas de la consulta com-prometida ».

Henri Lebesgue

a c1 b x

y

O

y=f(x)

y=g(x)

y=h(x)


Integral de Riemann

209

3- Propiedades

1- Linearidad

(f ,g) I²([a,b]), ( , ) ², b b b

a a a( f g)(t)dt f (t)dt + g(t)dt

2- Integral y valor absoluto

f I([a,b]), (a b) , b b

a af (t)dt f (t) dt

3- Positividad

f I([a,b]), (a b) , b

ax [a,b], f(x) 0 f(t)dt 0

4- Integral y desigualdad

(f ,g) I²([a,b]), (a b) , b b

a ax [a,b], f(x) g(x) f(t)dt g(t)dt

5- Relación de Chasles

f I([a,b]), b c b

a a cc [a,b], f(t)dt f(t)dt + f(t)dt

6- Teorema : Sea f una función continua, positiva sobre [a,b] (a b) . Si existe x0

elemento de [a,b] tal que f(x0)>0, entonces b

af(t)dt >0.

Corolario : Sea f una función continua, positiva sobre [a,b].

b

af(t)dt =0 x [a,b], f(x)=0

4- Fórmula de la mediana Teorema: Fórmula de la mediana Sean "f" y "g" dos funciones integrables en [a,b] tales que:

1- f continua en [a,b] 2- g positiva en [a,b]

Entonces existe c elemento de [a,b] tal que b

a

b

adt)t(g)c(fdt)t(g)t(f .

Observación : Con g(x)=1 para todo x de [a,b], la propiedad se convierte : Sea f una función continua sobre [a,b]. Existe c elemento de [a,b] tal que :

b

a

1f (c) f (t)dtb a

Este valor es llamado valor medio de f entre [a,b]. En un anexo, usted puede ver ejemplo de aplicaciones de esta noción.


Integral de Riemann

210

El área sombreada es: (b-a) El área sombreada es

b

af (t)dt

5- Sumatoria de Riemann Definición: Sea f una función definida en [a,b] . Sea una subdivisión a = x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b. El paso de la subdivisión es:

h= i i 11 i nSup(x x )

Sea, para i=1 hasta n, i un elemento de [xi-1,xi].

Se llama suma de Riemann al real n

i i 1 ii 1

(x x )f ( )

.

Teorema: Sea f una función integrable en [a,b].

n b

i i 1 i ah 0 i 1Lim (x x )f ( ) f (t)dt

donde h designa el paso de la subdivisión. Caso particular: Sea f una función integrable en [a,b].

b

a

n

1jndt)t(fn

abjafnabLim

a b


Integral de Riemann

211

6- Primitiva de una función continua Teorema: Sea I un intervalo de . Sea “f” una función de I en continua. Sea “a” un elemento fijo de I. Sea F la función de I en definida por :

F(x)= x

adt)t(f

Entonces, F es de clase C1 en I y F ’=f.

Observación: si f no es continua, nada permite de decir que F definida por F(x)= x

adt)t(f se

puede derivar. Ejemplo: Entre [0,2], sea f(x)=1 entre [0,1] y f(x)=0 entre ]1,2]. Tenemos entonces F(x)=x entre [0,1] y F(x)=1 entre [1,2]. F es continua pero no se puede derivar en x=1. Teorema : Sea I un intervalo de . Sea f una función de I en continua. Sea a un elemento fijado de I. Sea u una función derivable de un intervalo J en I. Sea T la función de J en definida por :

T(x)=u(x)

af (t)dt

Entonces, T es derivable sobre J y x J, T ’(x)=u’(x)f(u(x)).

Teorema : Sea f una función continua sobre [a,b]. Entonces b b

aaf (t)dt G(t) donde G es

una primitiva cualquiera de f sobre [a,b].


Integral de Riemann

212

Tabla de primitivas

f f (t)dt tiene una constante (aditiva) cercana entre los intervalos donde la función

se puede derivar xr para r -1 r 1x

r 1

1x

ln|x|

lnx xln|x| - x 1

1 x²

arctan x

1a² x²

1 xarctana a

11 x²

arcsin x

a>0, 1a² x²

xarcsena

1x² h

ln x x² h

1x² 1

1 x 1ln2 x 1

1x² a²

1 x aln2a x a

1cos ²x

tan x

1sen²x

1 tan x

tan x - ln|cos x| 1

sen x ln xtan

2

1cos x

xln tan2 4


Integral de Riemann

213


Ejercicio 1. Sean a y b dos reales tales que a b . Calcular b

ax dx con la ayuda de la defini-

ción de la integral.


Integral de Riemann

214

EJERCICIOS Ejercicio 1. Se considera la secuencia (gn n) de la función en escalera en [0;1] definida por :

n

10 si x>ng (x)=1n si xn

Sea f una función continua en [0;1]. Demostrar que la secuencia un n definida por :

u = f(x).g (x)dxn 0

1

n converja hacia f(0). Ejercicio 2. Utilizando una fórmula de la mediana, encontrar un equivalente cuando x

de xe

tdt

t

x

x

11

² .

Ejercicio 3. Determinar el límite a la derecha en 0 de la función I definida para x estricta-mente positiva por:

1- tx²

x

eI(x) = dtt

Ejercicio 4. Para n>0, se toma:

n

1kn kn

1n+n

1...2+n

11+n

1u

Estudiar el límite de esta secuencia. Ejercicio 5. Para n>0, se plantea:

2 2 2 2n

n 3 3 3 3 3 3 3 3k 1

2 4 (2n) 4ku ...n 2 n 4 n (2n) n 8k

Estudiar el límite de esta secuencia. Ejercicio 6. Para n >0, se plantea:

n n

n npp=1 k=1n

1 p 1 ku y vn² n+k 2n+ke

Poner de manifiesto que estas dos secuencias convergen y determinar sus límites.


Integral de Riemann

215

Ejercicio 7. Calcular la derivada de las siguientes funciones : (con F continua sobre )

2x t

1 aF x e dt

2b t2 x 3

F x e dt

2b t

3 aF x e dt

22x t4 x

F x e dt

2x

5 xF x f t dt

2x 1

6 2x 1F x f t dt

x 227 0

F x x f t dt

Ejercicio 8. Sea 0<a<b y f continua en 1 1b a

;

y sea F: x f t dt

b

x ( )1

1

.

1- Mostrar que F es de clase C1 en [a; b]. 2- Calcular F’.

3- Calcular F para f: t 3

1 1se nt t

y b=.

Ejercicio 9. Sea g una función continua sobre . Tomamos G(x)= 1x

ln xg(t)dt .

1- Determinar los conjuntos de definición, de continuidad y de derivación de G. 2- Calcular la derivada de G sobre su conjunto de derivación.


Integral de Riemann

216

Algunos ejercicios corregidos Ejercicio 10. Sea f una función continua en 0;1 . Llamamos

1 nn 0

I x f x dx con nN*.

Calcula nnlim I

.

Corrección: Sabemos que una función continua en un intervalo cerrado es limitado. Llamemos

x 0,1M sup f x

.

Tenemos para todo n : 1n 11 1 1n n n

n 0 0 00

x MI x f x dx x f x dx M x dx Mn 1 n 1

.

Deducimos que : n nn nlim I 0 donc lim I 0

.

Ejercicio 11. Sea f una función continua en a,b .

Suponemos que b b b2 3 4

a a af x dx f x dx f x dx . Mostrar que f es constrante en

a,b .

Podremos utilizar la función g definida por: 22

g x f x f x .

Corrección: Llamemos 22

g x f x f x .

Tenemos entonces: 4 3 2g x f x 2f x f x .

Utilizando la linearidad de la integral y la hipótesis, obtenemos b

ag x dx 0 .

Como g es una función positiva, esto implica que g es nula en a,b , entonces f vale sea 1 sea 0. Como f es continua sobre ese intervalo, ella es necesariamente constante.

Ejercicio 12. Sea f una función continua en a,b . Suponemos que b b

a af f . Mostrar que

f es de signo constante. Corrección : Tenemos dos posibilidades:

b b b

a a af 0 ie: f f

:

En este caso, llamamos: g x f x f x .

g es una función positiva y continua , y

b b b b b

a a a a ag x dx f x dx f x dx f x dx f x dx 0

Entonces g es nula en a,b , esto implica que f es positiva en a,b .

b b b

a a af 0 ie: f f

:


Integral de Riemann

217

Este aves, llamamos: g x f x f x .

g es una función positiva y continua , y

b b b b b

a a a a ag x dx f x dx f x dx f x dx f x dx 0 .

Entonces g es nula en a,b , lo que implica que f es negativa en a,b .

Finalmente, hemos demostrado que f es de signo constante en a,b .


Integral de Riemann

218

Anexo 1 Histórico

El cálculo del aire tiene su origen en la antigüedad. Arquímedes sabe comparar el aire

delimitado por una parábola con el de un triángulo. Sabe igualmente que : 1- El perímetro de un círculo es proporcional a su diámetro. 2- El aire de un disco es proporcional al cuadrado de su radio. Como el coeficiente de proporcionalidad es el mismo ?. Cómo demostrarlo ? Ar-

químedes compara un círculo con un triángulo rectángulo en el cual uno de sus lados es el radio del círculo y el otro tiene una longitud igual al perímetro del círculo. El utiliza para esto un método dicho exhaustivo

Llamemos C al aire del círculo y T aquel del triángulo. Para mostrar la igualdad (en ai-

re) de esas dos figuras, efectúa un doble razonamiento por el absurdo, suponiendo primero que el triángulo es más pequeño (T < C). Construye entonces un polígono de aire P tal que T < P < C inscribiendo en el círculo una sucesión de polígonos de 3 x 2n lados de manera que el aire de uno de los dos sea superior al aire del triángulo. Es posible ya que T < C. Basta con elegir un polígono donde el aire sea suficientemente cercano de C. Demuestra luego que ese polígono tiene un aire inferior a T llegando así a una contradicción. Basta con observar que ese polígono está constituido de triángulos donde la suma de longitudes de las bases es infe-rior al perímetro del círculo y donde la altura es inferior al radio. El aire P del polígono es entonces inferior a T. Primera contradicción.

Supone luego que el triángulo tiene un aire superior al del círculo (T > C). El circuns-cribe entonces al círculo una sucesión de polígonos regulares de manera a que el aire de uno de los dos sea inferior al aire del triángulo (T > P > C). El muestra enseguida que ese polígono tiene un aire superior a T. De hecho, la suma de las longitudes de las bases de los triángulos constiyentes del polígono es superior al perímetro del círculo, y la altura es igual al radio. El aire P del polígono es entonces superior al aire T del triángulo. Segunda contradicción.

De donde la única conclusión posible es que: C = T.

En 1635, Cavalieri (1598-1647), con el fin de acelerar las demostraciones del método exhaustivo desarrolla la teoría de los indivisibles. Para probar la igualdad de dos aires, el veri-fica la igualdad de las líneas que constituyen las dos superficies. Demos un ejemplo muy sim-ple que permite de entender el funcionamiento y el interés de este método. Consideremos un rectángulo y un paralelogramo de misma base y misma altura.

A cada segmento [AB] del rectángulo correspondiendo al segmento [CD] del paralelo-gramo de misma longitud. El método de los indivisibles concluye que los segmentos corres-pondientes siendo iguales, es lo mismo para los aires de las dos figuras. La demostración del

A B D C


Integral de Riemann

219

resultado de Arquímedes, por el método de los indivisibles, consiste por ejemplo a trazar un círculo de radio R, así que para todos los círculos de mismo centro de radio r, inferior a R, los segmentos paralelos entre ellos, tangentes a cada círculo y de longitud la circunferencia de cada círculo. Al igual que los círculos van a llenar el disco de radio R, lo mismo harán los segmentos que van a llenar el triángulo anunciado..

El aire del triángulo será igual al aire del disco.

Este método , bien artesanal, comparado con los métodos modernos, es, sin embargo, extremamente eficaz. Podemos hacernos una idea leyendo « El tratado de la Ruleta » de Pas-cal (1623-1662), en el cual, Pascal calcula los centros de gravedad de curvas, de superficies, de volúmenes, cosas que no podríamos hacer actualmente sin cálculo integral. Pascal hace un paso más que Cavalieri diciendo que una superficie es la suma de sus líneas. El dice « Yo no tendré ninguna dificultad en usar esta expresión, la suma de las ordenadas, que parece no ser geométrica para aquellos que no entienden la doctrina de los indivisibles, y que se imaginan que es pecar contra la geometría en lugar de desarrollar un plano por un número definido de líneas ; lo que viene de su falta de inteligencia, ya que por ello entendemos otra cosa que no es la suma de un número indefinido de rectángulos hechos de cada ordenada con cada una de las pequeñas porciones iguales de diámetro, donde la sume es ciertamente un plano, que no difiere del espacio del semi-círculo sino de una cantidad menor que alguna dada »

Los métodos precedentes presentan el grave error de no poder dar un valor a un aire,

sino solamente de comparar dos aires entre ellos. Es así que es prioritario conocer el valor de un aire antes de probar que este aire pose de efectivamente un valor deseado.

Los trabajos de Pascal han influenciado bastante a Leibniz (1646-1716), inventor con Newton (16421727) del cálculo diferencial e integral. Para Leibniz y Newton, la integración es la operación opuesta a la derivación. Para calcular la integral de una función f buscamos una primitiva de f.

Este aspecto presenta dos dificultades: En el transcurso del siglo XVIII, los trabajos de Fourier (1768-1830) necesitan un

cálculo integral cada vez más profundo, donde la búsqueda de primitiva y la limitación de las funciones continuas son insuficientes.

Para el profesor de ahora, esta presentación se basa en el hecho que toda función con-tinua admite una primitiva, que resta a demostrar.

Contrariamente, Cauchy (1789-1857) resuelve este último punto definiendo la integral de una función f continua independientemente de la existencia de una primitiva, luego demos-trando que la integral así obtenida es efectivamente una primitiva de f. Para definir su integral,


Integral de Riemann

220

Cauchy divide [a, b] en n intervalos y él considera la suma

n

1kkk )t(fl donde lk es la longitud de

un pequeño intervalo y tk un extremo del intervalo. Luego, él tiende n hacia + . Este paso a sido criticado luego ya que las demostraciones utilizadas por Cauchy presentan algunos defec-tos. Por otro lado, la integral de Cauchy solo se aplica a las funciones continuas.

Fue Riemann (1826-1866) quien introdujo la primera noción de integral, reconocida aún válida en nuestros días, mejorando el desarrollo de Cauchy. La integral de Riemann es suficientemente poderosa para definir una integral para todas las funciones siguientes:

Las funciones continuas Las funciones monótonas La función sen x

1

La función x 0 si x

q1 si x = q

p irreducible, q > 0

Sin embargo, ella no es muy completa tampoco ya que no permite de atribuir un valor a la integral de la función de Dirichlet :

x 0 si x x 1 si x

Es aún más asombroso que este función parece apenas diferente de la última función integral en el sentido de Riemann dada anteriormente en ejemplo.

La integral de Riemann pone igualmente problemas delicados mientra se trata de saber si, siendo dada una sucesión de funciones (fn) convergiendo hacia f (en un sentido preciso), la integral de fn converge hacia la integral de f.

Estos defectos condujeron a Lebesgue (1875-1941) a introducir una nueva noción de integral, tal que:

- La función de Dirichlet es Lebesgue-integrable - Un ejemplo de función positiva no Lebesgue-integrable existe bajo condición de uti-

lizar un axioma (llamado axioma de la opción), y no puede ser definido explícitamente. - La integral de Lebesgue está particularmente adaptada al problema de convergencia

de sucesiones de funciones.


Integral de Riemann

221

Anexo 2 Ejemplos de aplicación de la noción de valor medio

Ejemplo 1 : Consideremos las temperaturas tomados en el transcurso de una jornada. Divi-

dimos la jornada en n intervalos iguales. La temperatura media es

n

1kk)h(Tn

1 , donde hk es el

kesimo instante de medida, por ejemplo, hk = nk , si la unidad es la jornada. Mientras más gran-

de es n, T es más precisa. Plus n esta grande et plus la función T esta precise. Limitadamente,

podemos modelo Y por una función continua. Su valor media es 1

0dt)t(T que no es otro que

el límite de la sume de Riemann

n

1k nkTn

1 mientras n tiende hacia + .

Ejemplo 2 : El mareógrafo de Marsella está encargado de medir la altura del mar. Un pozo comunica con el mar para amortizar las olas. En esos pozos se encuentra un flotador. Medi-mos la altura a la que sitúa el flotador en relación a una referencia fija. Un hilo ligado al flota-dor pose un cursor que permite de determinar esta altura. Pero un mecanismo astucioso, en funcionamiento desde hace más de un siglo, permite entre otros, de calcular altura media del mar. He aquí la descripción simplificada.

Una pequeña rueda, conectada por un hilo tirante al flotador, Una pequeña rueda co-nectada por un flotador alambre tenso, da vueltas por frotamiento contra un cilindro girando a una velocidad constante. Sea x la distancia de la rueda al eje del cilindro. X corresponde a la altura del flotador. Mientras el flotador esté más alto, más la rueda está lejos del eje del tam-

flotador

mar

hilo

Eje del tambor

rueda Tambor cilíndrico dando vueltas a una velocidad constante


Integral de Riemann

222

bor y más x es grande. Mientras el flotador este abajo, más la rueda está cercana al eje del tambor y más x es pequeño. La altura del flotador así que x depende de t. La altura media so-

bre un intervalo de tiempo [a,b] es calculada por

b

adt)t(xab

1 . Como la velocidad de rotación

de la rueda es proporcional a x, es decir aves que x aumenta, la rueda gira más rápido. Si el tambor gira a una velocidad constante y si el radio de la rueda es R, su velocidad de rota-ción es = R

x . El número de vueltas de la pequeña rueda es una primitiva de y es en-

tonces proporcional a una primitiva de x. Ese número de vueltas indica entonces, con una constante multiplicativa cercana, el valor medio de x y por consecuencia la altura media del mar.

Desde hace poco, ese sistema viene acompañado con un sistema electrónico, calculan-do, con un intervalo regular, la altura del mar. Ese sistema suma igualmente los datos recogi-dos y procede entonces a una suma de Riemann. Permite entonces igualmente de calcular un valor medio de la altura del agua. Ejemplo 3 : La potencia disipada por efecto Joule en corriente alternativa es RI², con I=I0sen(x). La potencia media puede ser medida entre un periodo y vale:

2200

RI sen²( t)dt2

El cálculo conduce a 21 R 2

0I .

En un dipolo sumiso a una tensión U = U0sen(t+), la potencia media vale: 2

0 00I U sen( t)sen( t )dt

2

lo que da 21 I0U0cos.


Cálculo práctico de integrales y de primitivas

223

Capítulo 14

CÁLCULO PRÁCTICO DE INTEGRALES Y DE PRIMITIVAS

A- CÁLCULO DE INTEGRALES 1- Integración por partes Teorema: Sean "u" y "v" dos funciones de clase C1 en [a,b].

b bbaa a

u(x)v '(x)dx = [u(x)v(x)] - u'(x)v(x)dx b bb

aa auv ' = [uv] - u'v

2- Cambio de variable Teorema: Sean I y J dos intervalos. Sea una función de J en I de clase C1 sobre [,]. Sea f una función de I en continua sobre I.

Entonces, , J² , ( )

( )f (x)dx = (f )(t) '(t)dt

Otra versión : Sea f una función continua sobre [a,b] y sea una función de [,]sobre [a,b]

de clase C1 con ()=a et ()=b. entonces, b β

a αf (x)dx = (f )(t) '(t)dt

Ejemplo1 : Calculo de 1

01 x²dx utilizando el cambio de variable x=sen(t).

x sin(t)dx cos(t)dtx 0 si t=0

x=1 si t=2

y sen es una función de clase C1 de 0,2

en 0,1

1

01 x²dx = 2

0cos ²(t) dt

Entonces solamente es necesario de linealizar cos2(t) para encontrar 4 .

Ejemplo 2 : Calculo de 1

01 x²dx utilizando el cambio de variable x=sh(t).



224

x s h(t)dx c h(t)dtx 0 si t=0

x=1 si t=argsh(1)

y sh es una función de clase C1 de [0, argsh(1)] en [0,1].

1

01 x²dx =

argsh(1)

0ch²(t) dt

linealizamos ch2(t) en 1 ch(2t)2

. Recordamos que argsh(t) = ln t t² 1 y que

ch(argsh(t))= 1 t² para concluir que el integral es :

argsh(1)

0

1 1 1 1 1t sh(2t) argsh(1) ch(argsh(1)) ln 1 2 22 2 2 2 2

.

En cambio de variable x = tan es igualmente posible, pero el integral será mas difícil a inte-grar. B- CÁLCULO DE PRIMITIVAS Notación : Sea f una función continua sobre un intervalo I. t f (t)dt designa una primitiva de f sobre I. f (t)dt está definida a una constante de dife-rencia .

Ejemplo : x²x.dx cste2

.

1- Integración por partes Teorema: Sean "u" y "v" dos funciones de clase C1 en un intervalo I.

u(x)v '(x)dx = u(x)v(x) - u'(x)v(x)dx

uv ' = uv - u'v

2- Cambio de variable Teorema: Sean I y J dos intervalos de . Sea f una función continua sobre I y una función de clase C1de J en I. 1- Si F es una primitiva de f sobre I.

x (t)dx '(t )dt

(f )(t) '(t)dt f (x)dx = F(x)+cste=F( (t))+cste

F es una primitiva de la función f . ' sobre J.

2- Si G es una primitiva de f . ' sobre J donde es una biyeccion de clase C1de J en I.



225

-1

1

x= (t)

t= (x)dx '(t )dt

f (x)dx = (f )(t) '(t)dt G(t) cste G( (x)) cste

G -1 es una primitiva de f sobre I. 3- Primitivas de una fracción racional

Sea F una fracción racional definida en un intervalo I. Nos proponemos determinar las primitivas de F en I.

1- Se divide F en elementos simples de 1a y 2a especie (y su parte entera). 2- Primitivas de los elementos simples de 1a especie de la forma na)(x

b

con “a” y “b”

reales y “n” entero natural. i- Para n=1, dxax

b

=b.ln|x-a| + cte

ii- Para n 2, dxa)(xb

n = - 1na)(x

b 1n1

+ cte

3- Primitivas de los elementos simples de 2a especie de la forma nc)bx(ax²pmx

con m, p,

a, b, c reales y =b²-4ac<0.

Se busca G(x)=

dxc)bx(ax²pmx

n

i- Se escribe ax²+bx+c bajo la forma canónica:

ax²+bx+c=a2bx

2a 4a²

.

ii- Se plantea = - 2ab y = 2a

Δ

iii- El cambio de variable se efectúa con u= βαx . Se obtiene:

G(x)= 2n 1 n n

1 mβu mα p duβ a (u² 1)

4- Queda por determinar las primitivas siguientes: n

u du(u² 1) y n

1 du(u² 1) .

i- Para n

u du(u² 1) , se plantea t=u²+1. Se obtiene: n

u du(u² 1) = n

1 dt2 t

Para n=1, 1 dt2 t

= 12

ln t + cte

Para n 2, n

1 dt2 t

=- n 1

1 12(n 1) t

+ cte.

ii- Para n

1 du(u² 1) = In(u)

Para n=1, I1(u) = 1 duu² 1 = arctan u + cte



226

Para n 2, In(u)= n

u² 1 u² du(u² 1)

=In-1(u) - n

u² du(u² 1) .

n

u² du(u² 1) = n

uu du(u² 1) y se integra por partes con f(u)=u, f ’(u)=1, g’(u)= n

2u2(u² 1)

y

g(u)=- n 1

1 12(n 1) (u² 1)

.

Se obtiene: In(u)= n 1 n 1

2n 3 1 uI (u) + 2n 2 2(n-1) (u² 1)

.

Ejemplo: Calculo de I=1

0

2x dxx² x 1 .

La fracción racional 2xx² x 1

es un elemento simple de segunda especie.

I=1

0

2x dxx² x 1 =

1

0

2x 1 1 dxx² x 1

=1

0

2x 1 dxx² x 1

-1

0

1 dxx² x 1

Tenemos: 1

0

2x 1 dxx² x 1

= 1

0ln(x² x 1) =ln(3).

Para el cálculo de J=1

0

1 dxx² x 1 .

J=1

0

1 dxx² x 1 =

1

20

1 dx1 3x2 4

=1

20

1 dx3 4 1x 14 3 2

=1

20

4 1 dx3 2x 1 1

3

=

31 23

4 1 3 dx3 2u 1 =

3

1 23

2 1 dxu 13

= 313

2 arctan(u)3

.

Conclusión: I=1

0

2x dxx² x 1 =ln(3)- 2 2arctan 3

23

= ln(3)- 2 23 23

.

I = ln(3)-3 3 .

4- Primitivas de una fracción en seno y coseno 5- Integral abeliana

ABEL Niels Henrick, noruego, 1802-1829. Los trabajos de este gran matemático, víctima de la tuberculosis apenas de 27 años, no fue-ron reconocidos hasta después de su muerte. Su memoria fundamental sobre las funciones elípticas, presentada por Hachette (1826) a la Aca-demia de Ciencias de París, fue desestimada por Gauss y Legendre y perdida, y felizmente encontrada por Cauchy pero luego de la muerte de Abel.

Sería Jacobi quien comprenderá todo el genio del joven matemáti-co. Es con éste último que Abel recibirá, a título póstumo, el gran pre-mio de matemáticos del Instituto de Francia (1830).



227

COMPLEMENTOS

DEMOSTRACIÓN DE LAS NORMAS DE BIOCHE Declaración:

1- Sea “a” un número real. Demostrar que toda función G, definida en el intervalo [-a,a] por

G(x) = P(sen x,cos x)Q(sen x,cos x)

donde P(u, v) y Q(u, v) son polinomios con dos indeterminadas "u" y "v" puede escribirse:

G(x) = 1 1

2 2

L (cos x) + sen x. M (cos x)L (cos x) + sen x. M (cos x)

donde L1(v), M1(v), L2(v) , M2(v) son polinomios en v.

2- Demostrar que en el supuesto de que todo elemento x de [- a, a], G(x) = - G(- x), la función G es de la forma G(x) = S(cos x) sen x donde S es una función racional.

3- Deducir una observación útil para reconocer que la integral:

b

aG(x)dx

puede ser calculada con ayuda del cambio de variable s = cos x. ¿Cuáles son las observaciones similares para reconocer que esta integral puede calcu-

larse con ayuda del cambio de variable s = sen x o s = tan x ?

Solución:

1- El polinomio P(u, v) puede escribirse en la forma:

P(u, v) = p qpq

0 p m0 q n

a u v

donde apq es el coeficiente del monomio upvq de este polinomio. Separemos los monomios que contienen “u” elevados a una potencia impar de los monomios que contienen “u” elevados a una potencia par. Tenemos:

P(u, v) = 2r q2r,q

0 2r m0 q n

a u v

+ 2r 1 q2r 1,q

0 2r 1 m0 q n

a u v

Si u = sen x y v = cos x tenemos u2 + v2 = 1. Sea L1(v) el polinomio: 2r q

2r,q0 2r m0 q n

a (1 v²) v

y M1(v) el polinomio: 2r 1 q

2r 1,q0 2r 1 m

0 q n

a (1 v²) v



228

entonces para u = senx y v= cosx obtenemos P(u, v) = L1(v) + uM1(v). Demostraríamos de manera similar que existen dos polinomios L2(v) y M2(v) tales que para u = senx y v= cosx tengamos:

Q(u, v) = L2(v) + uM2(v) y por lo tanto:

G(x) = 1 1

2 2


2- Supongamos que para todo el elemento x de [- a, a] tengamos G(x) = - G(-x).

La función coseno es una función par y la función seno una función impar. Tenemos pues: 1 1

2 2


=- 1 1

2 2

L (cos x) - sen x. M (cos x)L (cos x) - sen x. M (cos x)

para todo elemento x de [- a, a]. Por lo tanto: L1(cosx)L2(cosx)+senx[M1(cosx)L2(cosx)-L1(cosx)M2(cosx)]-sen²xM1(cosx)M2(cosx) = - L1(cosx)L2(cosx)+senx[M1(cosx)L2(cosx)-L1(cosx)M2(cosx)]+sen²xMl(cosx)M2(cosx) para todo elemento x de [- a, a]. Tenemos entonces la relación:

L1(cos x) L2(cos x) - sen²xM1(cos x) M2(cos x) = 0 Para todo elemento x de [- a, a]. Supongamos que el polinomio L2 no sea idénticamente nulo, entonces tendremos:

L1(cos x) = 1 2

2

sen ²xM (cos x)M (cos x)L (cos x)

Y por consecuencia:

G(x) = 1

2

sen xM (cos x)L (cos x)

Si el polinomio L2 es idénticamente nulo entonces necesariamente el polinomio M1 es idénti-camente nulo, porque M2 no puede ser idénticamente nulo en mismo tiempo que L2. Tenemos entonces:

G(x) = 1

2

L (cos x)sen xM (cos x)

= sen x 1

2

L (cos x)(1 cos ²x)M (cos x)

Así, si G(x) = - G(- x) para todo elemento x de [- a, a], existe una función racional S tal que G(x) = sen x. S(cos x).

3- Deducimos del 2- que la integral b

aG(x)dx puede calcularse en “a” haciendo el

cambio de variable cos x = s, si G(x) = - G(- x), o bien si el elemento diferencial G(x)dx es invariante por la transformación x - x. Dado que las notaciones y las hipótesis son los de la pregunta anterior, tenemos entonces:

b

aG(x)dx =

b

asen x S(cos x)dx

Así que si S es una primitiva de la función racional S, tenemos: b

aG(x)dx =S (cos b) - S (cos a)

Demostraríamos así mismo que la integral propuesta puede calcularse haciendo el cambio de variable sen x = s (resp. tan x = t) si el elemento diferencial G(x) dx no varia con la transfor-mación x - x (resp. x + x).



229


Ejercicio 1. Sea a un real estrictamente positivo y sea f una función continua en a , a .

Mostrar que si f es par entonces a a

a 0f (t) dt 2 f (t) dt

. Mostrar que si f es impar entonces

a

af (t) dt 0

.

Ejercicio 2. Calcular 22 23

1 dxx x 1 de dos maneras : poniendo 1x

t , luego poniendo

1xu

.

Ejercicio 3. Calcular las derivadas de las funciones de variable x definidas por:

x 5

0f (x) (sin t) dt ,

522

xg(x) (ch t) dt ,

x²

xh(x) arctan(u)du ,

sin x t 2

cos x 0k(x) ln(1 u )du dt

Ejercicio 4. Calcular las siguientes primitivas en el intervalo conveniente (que hay que preci-

sar): 2

1 dx(x 1)(x 1) ;

3

5

cos (x) dxsin (x) (en 0 , , de cuatro maneras distintas) ;

2

1 dxx x 1 (dos cálculos diferentes según el intervalo).



230

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Sea f la función definida por4x

x

cos(t)f(x)= dtt .

1. Mostrar que f es definida en * y de clase C1 en *. 2. Mostrar que f es par. 3. Con la ayuda de la fórmula de la media, mostrar que

x 0Limf(x)=ln(4)

.

4. Prolongamos f apoyándose en f(0)=ln(4) . Mostrar que f prolongada es de clase C1 en .

5. Con la ayuda de una integración por partes, mostrar quex +Lim f(x)=0

.

Ejercicio 2. Calcular :

1 15

0I (2x 3) dx ;

1 2 10

0J (2x 3) x dx ;

1

40

xK dx(2x 3)

Ejercicio 3. Calcular las integrales siguientes:

x

1ln(t)dt para x estrictamente positiva,

x

0arctan(t)dt ; x2

0e cos(x)dx

Ejercicio 4. Calcular cosh(x).sen(2x)dx .


2

ln(x 4x 5) dx(x 1)

en un intervalo que no contiene (-1).


0

arctan(x) dxx² 1 .

Ejercicio 7. Sea f una función continúa en un intervalo a, b .

1. Mostrar con la ayuda de un cambio de variable que b b

a af(x)dx= f(a+b-t)dt . Deducir

de eso el valor de 3π8

π8

I= ln(tan(x))dx .

2. Mostrar que si f(a+b-x)=f(x) para todo x a, b , entonces b b

a ax f(x) dx = f(x) dx .

Deducir de eso el valor de π

20

xsin(x)K= dx1+cos (x) .



231

Ejercicio 8. Calcular las siguientes integrales con la ayuda de los cambios de variable indica-dos:

1

0I 1 t² dt con t=cos(x) 2

1

xJ dx con u=x²+1 (x² 1)²

3

0

arctan(x)K dx con u=arctan(x) 1+x²

e²

e

1L dx con u=ln(x)x.ln(x)

71 2 3 34

0M x . x 1 dx con u=x 1

Ejercicio 9. Calcular 2x

x x dx2

10

1.

Ejercicio 10.Determinar una primitiva de las siguientes funciones precisando cada vez el

intervalo utilizado:

1)

4

2 2

xF xx 1 x 1

2) 4

1G xx 1

3)

6

22 2

xH xx 1 x 1

Ejercicio 11. Determinar una primitiva en ,2 2

de : xx

1

cos( ) utilizando el cambio de

variable u=sen(x).

Ejercicio 12. Determinar una primitiva en ]0,[ de : 1xsen(x)

utilizando el cambio de

variable u=cos(x).


de : x 2

11+sen (x)

utilizando el cam-

bio de variable u=tan(x).


de : 1xa+sen(x)

donde "a" es un real

estrictamente superior a 1 utilizando el cambio de variable t=tan x2

.

Ejercicio 15. Determinar 3 3

220

cos (x).sen (x) dx1 sen (x)

utilizando el cambio de variable u=cos(x).

Ejercicio 16. Determinar 6 3cos (x).sen (x) dx en [0,] ; 2 4cos (x).sen (x) dx .

Ejercicio 17. Determinar dx

(1+ x² ) 1- x² .



232

Ejercicio 18. Calcula x

2a

t 1I dtt 3t 2

.

Ejercicio 19. Calcular la integral b

3a

1 dxx 3x 2

don de [a ;b] ]-2 ;1[.

Ejercicio 20. Se considera la función F : 2x

4 2x

dtx F(x) = t + t +1

a- Mostrar que para todo real t estrictamente positivo, 1 1 1

t + 1 t + t +1 t2 4 2 2

Deducir que para todo real x estrictamente positivo,

arctan(2x) - arctan(x) F(x) 1

2x

b- Se plantea H(X) = X

0arctan(2x) arctan(x) dx . Calcular H(X) y determinar:

ln(X)H(X) Lim

+X

Podrán utilizar la fórmula para X > 0, arctan(X) + arctan 1X

= 2π .

c- Se plantea G(X) = X

1F(x)dx . Dar un equivalente de G(X) cuando X tiende hacia más

infinito.



233

Algunos ejercicios corregidos Ejercicio 21. Sean a y b dos reales tales que a < b. Sea f una función continua en [a ; b] tal que x [a ; b] f (a + b – x) = f(x).

Mostrar con ayuda de un cambio de variable que tenemos: b b

a a

a bxf (x)dx f (x)dx2

.

Corrección : Llamemos b

aI xf x dx .

Con ayuda del cambio de variable : u a b x . Este cambio de variable es de clase C1. Te-nemos:

a b

b aI a b u f a b u du a b u f u du

Esto se escribe aún: b b b

a a aI a b f u du uf u du a b f u du I .

Esto implica entonces que :

b b

a a

a b2I a b f u du I f u du

2

.

Ejercicio 22. Calcular las integrales con ayuda de cambios de variables :

I = 1

01 t²dt J = 4

0tan(x)dx

K= 3

0

arctan(x)dx

1 x² L = 2e

e

1 dxx.ln(x)

Corrección : Observación: Hay esencialmente dos maneras de definir un cambio de variable para la integral

b

af x dx .

La primera solución consiste en reemplazar la variable de la integral por una función dependiendo de otra variable : x u t . En este caso, basta con que la solución sea de clase

1C en un intervalo , en a,b ,y que ella verifique: u a y u b .

Obtenemos entonces: b

af x dx f u t u t dt

.

El segundo método consiste en definir una nueva variable como función de la variable de la integral, quiere decir llamar: t g x . Esta vez, la función g tiene que ser biyectiva en

el intervalo a,b en , (lo que significa también que el cambio de variable es biyectivo!).

Y volvemos al primer método, llamando: 1t g x (ie : 1u g ).

Obtenemos entonces: b 1 1

af x dx f g t g t dt

.

Este método es interesante si por un lado, la función g aparece en la integral y si además, podemos fácilmente demostrar que se trata de una biyección en el intervalo considerado.

- 1 2

0I 1 t dt

Llamemos t cos u . La aplicación u cosu es de clase 1C de 0;2

en 0;1 verificando

cos 0 1, cos 02

, obtenemos entonces:



234

1 0 02 2 2 220 0

2 2

I 1 t dt 1 cos u sin u du 1 cos u sin u du sin u du

.

Observemos que podemos reemplazar 21 cos u por sin u porque estamos en el interva-

lo 0,2

.

Para terminar el cálculo integral, basta con darse cuenta que: 2 1 cos 2u

sin u2

.

De donde:

22 2 2

0 0 00

1 cos 2u sin 2u1 1 1I du du cos 2u du2 2 2 4 2 2 4

-

4 4

0 0

sin xJ tan x dx dx

cos x

Llamemos x arccos u . Este cambio de variable es de clase C1.

Tenemos u cos x , du sin x dx y para x 0, u 1 y 2x , u4 2

.

De donde:

2 1 14 2220 1 22

sin x 1 1 2 1J dx du du ln u ln ln 2cos x u u 2 2

.

- 3

20

arc tan xK dx

1 x

Llamemos u arctan x . Este cambio de variable es de clase C1.

Tenemos x tan u , 2

dxdu1 x

y para x 0, u 0 y x 3, u3

.

De donde:

3233 31

3 3 2 220 0 0

0

arc tan x 2 2K dx udu u du u1 x 3 3 3

.

- 2e

e

1L dxx ln x

Llamemos u ln x . Este cambio de variable es de clase C1.

Tenemos ux e , dxdux

y para 2x e, u 1 y x e , u 2 .

De donde: 2e 2 2

1e 1

1 1L dx du ln u ln 2x ln x u

.

Ejercicio 23. Calcular las siguientes integrales :

1- 1

1 21

x cos xI dxx 1

2-

1

2 0I xf x dx ( f es de clase C 2 en [0 ; 1])

3- 3I sin px sin qx dx

(n, p y q elementos de )



235

Corrección : 1- 1

1 21

x cos xI dx

x 1

.

La función 2

x cos xx

x 1es impar. Como la integral de una función impar en un intervalo

simétrico en relación a 0 es nulo. Para verificarlo, basta con cortar la integral en dos de la si-

guiente manera:

1 0 1

2 2 21 1 0

x cos x x cos x x cos xdx dx dx

x 1 x 1 x 1

y de aplicar el cambio de variable: u=-x en

el primer término. Finalmente, 1I 0

2- 1

2 0I xf x dx

Con ayuda de una integración por partes (verificamos simplemente las hipótesis) tenemos:

11 1

2 0 00I xf x f x dx f 1 f x f 1 f 1 f 0

3- 3I sin px sin qx dx

Para calcular esta integral, hay que descomponer el producto de seno en suma de senos y de cosenos.

Observemos que la función por integrar es par, tenemos 4 0I 2 sin px sin qx dx

.

Tenemos: 1 p q p qsin px sin qx cos x cos x

2 2 2

.

De donde

3 00

p q p q 2 p q 2 p qI cos x cos x dx sin x sin x2 2 p q 2 p q 2

.

Como, nsin n 1

2

si n es un entero.

De donde, p q p q p q p q

32 2I 1 1 0 porque 1 1

p q p q

.

Ejercicio 24. Siendo dado 0; , calcular 20

dt1 cos cos t

(Podremos llamar

t=2arctan(u) ). Corrección : Utilizamos la indicación t=2arctan(u) .

Podemos observar que este cambio de variable es biyectivo de 0;2

en [0 ;1] por-

que t 0;2

entonces t 0;2 4

, y así tu tan2

.



236

Además, la aplicación tt tan2

es de clase 1C en 0;2

.

Recordamos que 2

22 2

2

t 2 2 1 ucos t 2cos 1 1 1t2 1 u 1 u1 tan2

, y por otro lado,

2

2dudt1 u

.

Deducimos que :

2tan 1 12 4

2 22 20 tan 0 0 0

2

dudt du du1 u

1 u1 cos cos t 1 cos u 1 cos1 u cos 1 u1 cos1 u

.

Para simplificar las notaciones, llamamos: 1 cos , y 1 cos1 cos

.

Observemos que está bien definida porque 0; .

Obtenemos : 1

220 0

dt 1 du1 cos cos t 1 u

.

Efectuemos ahora el cambio de variable: v u ( >0), tenemos 1du dv

entonces:

1

22 2 2 00 0 0 0

1 dvArc tandt 1 du 1 1 dv 1 Arc tan v

1 cos cos t 1 u 1 v 1 v

Ejercicio 25. Determinar una primitiva de las siguientes funciones precisando cada vez los intervalos utilizados:

1-

1f xcos x

2-

5sin xg x

cos x 3-

1 cos xh xsin x 1

4-

1j xcos x cos 3x

5- 3sin xk x

1 cos x

6- 3

1l xsin x cos x

Corrección : 1-

1f xcos x

.

Utilizamos un intervalo en el cual la función f está definida, o sea un intervalo de tipo

k

k 1kI ,2 2

con k elemento de .

De acuerdo con las reglas de Bioche, podemos utilizar el cambio de variable: t sin x que es un cambio de variable biyectivo de clase C1 de Ik en un intervalo.

Tenemos; 2 2

dx cos xdx cos xdxcos x cos x 1 sin x

, y dt cos xdx entonces 2

dtf x1 t

.

Para calcular 2

dt1 t

, hacemos una descomposición en elementos simples :



237

2

2 1 11 t 1 t 1 t

por isso:

2

dt 1 dt 1 dt 1 1 1 1 tln 1 t ln 1 t C ln C1 t 2 1 t 2 1 t 2 2 2 1 t

Finalmente, deducimos que :

1 1 t 1 1 sin xf x ln C ln C2 1 t 2 1 sin x

2-

5sin xg x

cos x

Del mismo modo que precede, utilizamos un intervalo de tipo kI k , k 12 2

con

k elemento de . Sabemos que la derivada de x cos x es x sin x , reconocemos entonces una función de

la forma 5

u con u cos xu

, entonces una primitiva de g es 4

1G x Cstecos x

.

3- 1 cos xh xsin x 1

Utilizamos un intervalo en el cual el denominador no se anula, un intervalo de tipo

kI 2k , 2 k 12 2

con k elemento de .

Para determinar una primitiva de h, efectuamos el cambio de variable : xt tan2

que es un

cambio de variable biyectivo de clase C1 de Ik en un intervalo.

Sabemos que : 2

2

1 tcos x1 t

, 2

2tsin x1 t

y 2

2dx dt1 t

.

Obtenemos entonces:

2

2 2

2 22 2 2

2 2

1 t 211 cos x 2 2 41 t 1 th x dx dt dt dt2t 1 t 2tsin x 1 1 t 1 t 1 t 1 t11 t 1 t

.

Una descomposición en elementos simple nos da :

2 222

4 2t 2 2t 11 t1 t 1 t t 1

Deducimos que :

222

2

2t 2 2 2h x dt ln 1 t 2ln t 1 Ct 1 t 11 t t 1

2ln 1 t 2ln t 1 Ct 1

4-

1j xcos x cos 3x



238

Podemos verificar fácilmente con ayuda de las fórmulas de trigonometría usales que : 2cos 3x cos x 4sin x cos x de donde 2cos x cos 3x 4sin x cos x , y así

2

1j x4sin x cos x

.

Debemos utilizar un intervalo I en el cual ni el seno ni el coseno se anulan. De acuerdo con las reglas de Bioche, llamamos: t sin x que es un cambio de variable biyec-tivo de clase C1 de I en un intervalo, lo que nos da dt cos xdx .

tenemos: 2 2 2

dx cos xdxsin x cos x sin x cos x

entonces:

2 2 2 2 2

1 cos xdx dtj x dx dx4sin x cos x 4sin x cos x 4t 1 t

Efectuamos la descomposición en elementos simples de 2 2

1t 1 t

y obtenemos:

22 2

1 1 2 2t t 1 t 1t 1 t

Finalemente, deducimos que :

2

1 1 2 2 1 1j x dx dt 2ln t 1 2ln t 1 C4 t t 1 t 1 4 t

, sea:

1 1j x dx 2ln sin x 1 2ln sin x 1 C4 sin x

5- 3sin xk x

1 cos x

Utilizamos un intervalo I en el cual el coseno no vale -1. Observamos que :

21 cos x sin x

k x1 cos x

.

Llamamos u cos x que es un cambio de variable biyectivo de clase C1 de I en un intervalo (Reglas de Bioche) entonces du sin xdx , obtenemos entonces:

2 2 2 21 cos x sin xdx 1 u u cos xk x dx du 1 u du u C cos x C

1 cos x 1 u 2 2

6- 3

1l xsin x cos x

Utilizamos un intervalo I en el cual ni el seno ni el coseno se anulan. Tenemos:

3 2

cos xl xsin x cos x

.

Llamamos u sin x que es un cambio de variable biyectivo de clase C1 de I en un intervalo (Reglas de Bioche) entonces du cos xdx , obtenemos entonces:

3 2 3 2

cos xdx dul x dxsin x cos x u 1 u

Haciendo una descomposición en elementos simples, obtenemos :



239

33 2

1 1 1 1 1u u 2 u 1 2 u 1u 1 u

Deducimos que :

3 2

1 1 1 1 1 1 1l x dx du ln u ln 1 u ln u 1 Cu u 2 u 1 2 u 1 2u 2 2

De donde: 2

1 1 1l x dx ln sin x ln 1 sin x ln sin x 1 C2sin x 2 2

Ejercicio 26. Integrales de Wallis

Llamamos: n2n 0

I sin x dx

para n.

1- Calcular 0I y 1I . 2- Demostrar que la sucesión n n

I es estrictamente decreciente y minorada. 3- Con ayuda de una integración por partes, demostrar que para todo entero natural n, tenemos:

n 2 nn 2 I n 1 I 1 4- Deducir la expresión de I n en función de n, distinguiendo el caso n par del caso n impar. 5- A partir de la relación (1), demostrar que la sucesión (Un)n definida por:

n n n 1U nI I es constante para n > 0. Deducir el lite de la sucesión n n

I .

6- Mostrar que la relación n 1

n

II tiene como límite 1. Deducir que : nI

2n

.

7- Deducir finalmente que : p

1 3 5 ... (2p 1) 1Lim p2 4 6 ... (2p)

.

Corrección : 1- Tenemos 20 0

I dx2

y 2 21 00

I sin xdx cosx 1

.

2- x 0, 0 sin x 12

entonces n 1 nsin x sin x .

Deducimos entonces que : n 1 nI I lo que quiere decir que la sucesión es estrictamente decre-ciente.

Por otro lado, como nx 0, , 0 sin x2

, tenemos nI 0 .

La sucesión, siendo decreciente y minorada, podemos deducir que ella converge. Llamamos I su límite. 3-

n 2 2 n n n2 2 2 2n 2 0 0 0 0

vu

I sin x dx 1 cos x sin x dx sin x dx cos x cos x sin x dx



240

n 1 n 12

n2 2n 2 n n0 0

v 0u

n 22n n n 20

sin x sin xI I cos x cos x sin x dx I cos x sin x dxn 1 n 1

1 1I sin xdx I In 1 n 1

De donde : n 2 nn 2 I n 1 I . 4- Supongamos primero que n es par: n=2p.

De acuerdo con la relación (1), tenemos:

2p 2p2 p 1 2 p 1

2p 12 p 1 I 2p 1 I I I

2 p 1

.

Aplicamos de nuevo la relación a (n-2) con el objetivo de obtener una expresión de 2pI , esto nos da:

2 p 1 2 p 1

2p 1 2p 1I I

2 p 1 2p

Continuamos :

0 02 p 1

02 22 2

02 22 p 1 2 p 1

2p 1 2p 1 2p 3 2p 1 2p 1 2p 3 ....1I ... I I

2 p 1 2p 2 p 1 2 p 1 2p 2 p 1 ... 2

2p 2 2p 1 2p 2p 1 2p 2 2p 3 ....1I

2 p 1 2p 2 p 1 ... 2

2p 2 ! 2p 2 ! I

22 p 1 ! 2 p 1 !

De donde :

2p 22p

2p !I

22 p!

.

Tratamos de igual manera el caso n impar. Obtenemos:

2p 3 1 1

2 2 2 22 p 2

1

2 p 2 2 p 1 2 p 2 p 2 2 p 1 2 p ....2I ... I I

2p 3 2p 1 2p 1 2p 3 2p 1 2p 1 ... 1

2 p 2 2 p 1 2 p ....2 2 p 2 !I

2p 4 2p 3 2p 2 2p 1 2p 2p 1 ... 1 2p 4 !

De donde :

22 p 1

2p 1

2 p 1 !I

2p 2 !

.

5- De acuerdo con la relación (1), tenemos n 1 n 1n 1 I nI . Observemos que de acuerdo con la pregunta anterior, , nI jamás es nulo, entonces nU tampo-co.

Tenemos entonces:

n 1 n n 1n 1

n n n 1 n 1

n 1 I I n 1 I n 1 nU 1U nI I nI n n 1

.

Concluimos que la sucesión n n(U ) es constante y para todo entero natural n,

n 1 1 0U U I I2

.



241

Tenemos entonces: n n 1I I2n

.

Hemos visto en la pregunta 2, que la sucesión n n(I ) converge hacia I, podemos entonces pasar al límite en la relación precedente, lo que nos da: 2I 0 de donde I 0 .

6- De acuerdo con la relación 1, tenemos : 2n 1

n 1 n 12

n n 2n 2

n II Inn 1n 1I n 1 II

n

.

Llamamos n 1n

n

IVI entonces , con lo que venimos de ver, tenemos

2

n n 22

nV Vn 1

.

Tenemos entonces según n sea par o impar :

2

2p 2 p 12

4pV V4p 1

y

2

2p 1 2 p 1 12

2p 1V V

2p 1 1

.

Consideremos entonces las sucesiones (ap)p y (bp)p definidas por: p 2p p 2p 1a V y b V .

Tenemos:

22

p pp 1 p 122

2p 14pa a A y b b B4p 1 2p 1 1

entonces está claro que las dos

sucesiones son crecientes. Por otro lado, ya que la sucesión n n(I ) es decreciente, ellas están mayoradas por 1

n 1n

n

IV 1I

.

Como sabemos que una sucesión creciente y mayorada es convergente, entonces estas dos sucesiones son convergentes. Pasando al límite en las relaciones (A) y (B), vemos que estas dos sucesiones tienen mismo límite 1. Hemos demostrado que 2p 2p 1p p

lim V lim V 1

, podemos concluir entonces que

n 1nn n

n

Ilim V 1 limI

.

n 1

nn

I1 limI

implica que n n 1I I

entonces 2

n 1 n nI I I

.

Como hemos visto en la pregunta 5 que : n 1 nI I

2 n 1

entonces

2nI

2 n 1 2n

y así

nI2n

.

7- Esta relación proviene inmediatamente de la expresión de 2pI y de la equivalencia precedente:

Tenemos 2p

p

Ilim 1

4p

y reemplazando 2pI por su expresión encontramos el resultado.



242


Espacio vectorial

243

Capítulo 15

ESPACIO VECTORIAL


Grassmann Hermann Günther (alemán, 1809-1877) fue

profesor de matemáticas en Stettin (entonces ciudad prusiana, en Pomerania, sobre el estuario de l'Oder, hoy polonesa: Szczecin), físi-co y lingüista (estudió el sanscrito). Estudiando el fenómeno de las mareas, fue llevado a desarrollar el cálculo vectorial. Sus trabajos portan esencialmente sobre el nuevo concepto de espacios vectoriales abstractos de dimensión superior a 3.Publicósus resultados en 1844 en un tratado titulado « La ciencia de los grandores extensivos o de la teoría del espacio » (completada en 1863). En la misma época, el irlandés Hamilton introdujo el concepto moderno de vector.

Le debemos las primeras nociones :

de independencia lineal; de suma de sub-espacios; de producto lineal, correspondiendo al producto escalar actual : de producto exterior, que se convertirá, en dimensión 3 , con Gibbs y Clifford, en nuestro producto vectorial usual; El importate teorema de las dimensiones, que lleva su nombre:

Dim(F+G)=Dim(F) + Dim(G) – Dim(F G)

Pero es sobre Peano que recaerá el mérito de definir de manera axiomática y más clara el concepto de espacio vectorial sobre un cuerpo de escalares. 1- Espacio vectorial Definición : Sea un cuerpo conmutativo igual a o a . Un espacio vectorial en (o -espacio vectorial) es un conjunto E provisto de una ley in-terna + (es decir una aplicación de EE en E) y de una ley externa (es decir una aplicación de E en E)que comprueba que

- (E,+) es un grupo conmutativo


Espacio vectorial

244

- 1 2(k ,k ) ², 1 2 1 2u E, (k k ) u k u + k u - k , 1 2 1 2 1 2(u ,u ) E², k (u u ) k u + k u - 1 2(k ,k ) ², 1 2 1 2u E, k (k u) (k k ) u - u E , 1u=u

Los elementos de son llamados escalares, y los elementos de E son llamados vecto-

res.

Es fácil verificar que n, el conjunto de sucesiones o el conjunto de funciones consti-tuyen un espacio vectorial. De hecho, la definición serviría sólo para esos conjuntos de base. Otros criterios son enseguida utilizados para mostrar que un conjunto es un espacio vectorial.

En lo que concierne la regla « 1u=u », hay que tomar consciencia que la regla no viene de ella misma. 1 es el neutro del producto de , no hay ninguna razón para que adopte una actitud comparable en lo que implica el producto externo. Es el único resultado de un producto por un escalar que es dado por los axiomas.

Resultan axiomas que : a- u E, 0u=0E

donde 0 es el neutro de (,+) y 0E el neutro de (E,+). b- k , k0E = 0E c- (-1) u = -u où -1 es el simétrico de 1 en (,+) y -u el simétrico de u en (E,+). d- ku = 0E k= 0 o u = 0E

Demostración :

a- lu = u =(1+0)u = 1u+0u = u+0u u = u+0u 0u = 0E b- k0E = k (0u) = (k.0)u = 0u = 0E c- 0E = 0u = [1 + (-1)] u = u + (-1) u (-1)u = -u

d- Si ku = 0E y si k 0, entonces 1k (ku) = 1

k0E 1u = 0E u = 0E.

2- Sub-espacio vectorial Definición: Sea E un -espacio vectorial y F una parte de E. F es un sub-espacio vectorial de E si y solamente si F es un -espacio vectorial (provisto de las leyes inducidas por las leyes de E). Teorema: Sea E un -espacio vectorial y F una parte de E. F es un sub-espacio vectorial si y solamente si:

1- F no está vacío 2- F es estable para la ley interna de E 3- F es estable para la ley externa de E

Ejemplo: Sea E=3 considerado como un -espacio vectorial. Entonces P definido por su ecuación cartesiana: 3x+2y+z=0 es decir P={(x,y,z)3/3x+2y+z=0}es un sub-espacio vectorial de E.


Espacio vectorial

245

Así mismo, D definido por x y 2z 0x y z 0

, es decir D={(x,y,z)3/x+y+2z=0 x-y-

z=0}es un sub-espacio vectorial de E. Teorema: La intersección de 2 sub-espacios vectoriales de E es un sub-espacio vectorial de E. Observación: La reunión de 2 sub-espacios vectoriales de E no es en general, un sub-espacio vectorial de E. (ver ejercicio). 3- Sub-espacio vectorial engendrado Definición: Sea E un -espacio vectorial y A una parte no vacía de E. El sub-espacio vecto-rial engendrado por A es el más pequeño sub-espacio vectorial de E que contiene A. Se escribe Vect(A) (o A ). Observación: Vect(A)=

F sevA F

F

.

Teorema: Sea E un -espacio vectorial y x1,…,xn unos elementos de E. Vect({x1,…,xn}) es el conjunto de las combinaciones lineales de x1,…,xn.

Vect({x1,…,xn})=n

i i ii 1

x / i=1 à n,

4- Suma de dos sub-espacios vectoriales Definición: Sean F y G dos sub-espacios vectoriales de un espacio vectorial E. Se da F+G={v1+v2/v1F, v2G}. Teorema: Con las notaciones anteriores, F+G es un sub-espacio vectorial de E. Teorema: F+G es el más pequeño sub-espacio vectorial de E que contiene F y G:

F+G=Vect(F G) Definición: Sean F y G dos sub-espacios vectoriales de un espacio vectorial E. Se dice que la suma F+G es directa si por definición F G={0E}. Se escribe entonces FG. Teorema: La suma F+G es directa si y solamente si todo vector de F+G se descompone de manera única como la suma de un elemento de F y de un elemento de G. Ejemplo 1 : E=3. Tenemos i=(1,0,0), j=(0,1,0) et k=(0,0,1).Tenemos E=Vect({i,j,k}). Sean F=Vect({i, j – i}) y G=Vect({k, j + k}) La suma no es directa puesto que :


Espacio vectorial

246

-i+j+k= GFkji

= GF

kji

Ejemplo 2 : E=3. Tenemos i=(1,0,0), j=(0,1,0) et k=(0,0,1).Tenemos E=Vect({i,j,k}). Sean F=Vect({i, j + k}) et G=Vect({j - k – i}). La suma F+G es directa y F+G=3 puesto que :

xi +yj+zk= 21 (y+2x z)i+ 2

1 (y+z)(j+k)+ 21 (y-z)(j-k-i)

y no hay otra posibilidad. Remarca : En los 2 ejemplos precedentes es más fácil de demostrar que la suma es directa si se determina que F G. Definición: Sean F y G dos sub-espacios vectoriales de un espacio vectorial E. F y G son su-plementarios si por definición FG=E. 5- Familias libres, familias vinculadas Definición: Sea E un -espacio vectorial. Sea {v1, v2,…,vp} una familia de p vectores de E. La familia {v1, v2,…,vp} es libre si por definición toda combinación lineal nula de sus vecto-res, tiene todos sus coeficientes nulos.

i i 1 à p p,

p

i i E ii 1

v 0 i 1 à p, 0

Se dice entonces que los vectores de esta familia son linealmente independientes. Una familia que no es libre se llama vinculada. Se dice mientras que los vectores de esta familia son linealmente dependientes.

i i 1 à p p, i i 1 à p

(0,0,...,0)

p

i i Ei 1

v 0

Observación : No confundir no todos nulos y todos no nulos. Propiedades: 1- Toda familia extraída de una familia libre es una familia libre. 2- Toda familia que contiene una familia vinculada está vinculada.

3- Toda familia que contiene 0E está vinculada. 4- En una familia vinculada, existe (al menos) un vector que puede expresar-

se como combinación lineal de los demás. 6- Familias generatrices Definición: Sea E un -espacio vectorial. Sea {v1, v2,…,vp} una familia de p vectores de E. La familia {v1, v2,…,vp} es generatriz si por definición todo elemento de E puede escribirse como una combinación lineal de los elementos de esta familia.

1 pv E, ,..., p/v=p

i ii 1

v


Espacio vectorial

247

Observación : 1- La familia {v1, v2,…,vp} es generadora de E si y solamente si E=Vect({v1,v2,…,vp}). 2- Sean F y G dos sub-espacios vectoriales de un espacio vectorial E con F=Vect({u1,u2,…,up}) y G=Vect({v1,v2,…,vq}). Entonces, F+G=Vect({u1,u2,…,up,v1,v2,…,vq}). Dicho de otra manera, la reunión de una familia generadora de F y de una familia generadora de G es una familia generadora de F+G Teorema: Sea E un -espacio vectorial no reducido a {0E}. Si E posee una familia generatriz finita, entonces se puede extraer de esta familia a una fami-lia generatriz y libre. 7- Bases Definición: Sea E un -espacio vectorial. Una base de E es una familia libre y generatriz. Aplicaciones: 1- Reanudar el ejemplo del apartado 2 y determinar una base de P y una base de D. 2- Sea E = 3 considerado como un -espacio vectorial.

Sea F, definido por x y 2z 0

2x y z 08x y z 0

. Mostrar que F es un sub-espacio vectorial de

E. Determinar una base de F. 8- Dimensión Definición: Un espacio vectorial E esta dicho de dimensión finito si él posee una familia ge-neratriz finita. En el caso contrario, E esta dicho de dimensión infinita. Teorema: Sea E un -espacio vectorial de dimensión finita. Todas las bases de E tienen el mismo número de elementos. Este número es la dimensión de E, escrita Dim(E). Convención: Dim({0E})=0. Teorema: Sea E un -espacio vectorial de dimensión finita y F un sub-espacio vectorial de E.

- F es de dimensión finita y Dim(F)Dim(E). - Dim(F)=Dim(E) si y solamente si E=F.

9- Caracterización de una base de dimensión finita Teorema. Sea E un -espacio vectorial de dimensión finita n.

1- Toda familia libre de E posee un máximo de n elementos 2- Toda familia generatriz de E posee al menos n elementos 3- Toda familia libre de E que tiene n elementos es una base de E 4- Toda familia generatriz de E con n elementos es una base de E.


Espacio vectorial

248

En la práctica, los puntos3 y 4 se utilizan así: Sea E un -espacio vectorial de dimensión n y sea F una familia de vectores de E. Les siguientes propiedades son equivalentes :

1- F es una base de E 2- F es una familia libre de n vectores 3- F es una familia generadora de n vectores

Definición: Sea E un -espacio vectorial de dimensión finita "n" y sea B=(e1,…,en) una base de E.

1 nu E, !(x ,..., x ) n /u=n

i ii 1

x e

(x1,…,xn) son los componentes de u en la base B. Teorema de la base incompleta: Sea E un -espacio vectorial de dimensión finita n que no es nulo de base B=(e1,…,en). Sea S={u1,…,up} una familia libre de p vectores. (p n). S puede completarse por (n-p) vectores de la base B para formar una base de E. Ejemplo : Sea E=4 abastecido de la base canónica (e1, e2, e3, e4). Consideramos los vectores w1(1, 2, 0, 0) y w2=(-1, 1, 0, 0). {w1,w2} es un sistema libre. Suplemento en la base de 4. {w1,w2,e1} está ligado. {w1,w2,e2} está ligado. {w1,w2,e3} está libre. {w1,w2,e3,e4} está libre, entonces es una base de 4. Teorema. Formula de Grassmann: Sea E un -espacio vectorial. Sean F y G dos sub-espacios vectoriales de E de dimensión finita. Entonces Dim(F+G)=Dim(F) + Dim(G) – Dim(F G). Prueba:

1- Si F G={0E} : Sea (f)i=1àn una base de F y (gj)j=1àm una base de G. Entonces, F+G=Vect{f1,…,fn,g1,…,gm}. Mostremos que {f1,…,fn,g1,…,gm}es una familia libre.

m

1iii

n

1iii gf =0E

n m

i i i ii 1 i 1

f g F G

. Por lo que

m

1iii

n

1iii gf 0E.

Se deduce que para i=1 hasta n, i=0 y para i=1 hasta m, i=0. De lo cual se deduce el resul-tado.

2- Si F G {0E} : Sea (ei)i=1àn una base de F G, completar (refiéranse al teorema de la base incompleta) en una base (e1,…,en,1,…,q) de F y (e1,…,en,1,…,p) de G. Sea H el sub-espacio vectorial de E con base (1,…,p). Mostremos que F H={0E} (para utilizar el punto 1-). Sea "u" elemento de F H.


Espacio vectorial

249

i i 1àn( ) n i i 1àq( ) q/ u=

q

1iii

n

1iii e (1) et u/)( àp1ii

p

1iii (2).

Entonces u es elemento de G (por ejemplo como combinación lineal de elementos de G) y de F.

Entonces, i i 1àn( ) n : u=

n

1iiie (3).

Realizando la igualdad entre (1) y (3), se deduce que

q

1iii

n

1iiii e)( =0E.

Como (e1,…,en,1,…,q) es una base de F (por lo tanto libre), se tiene que para toda i=1 hasta q, i=0.

(1) Se transforma en u=

n

1iii e (4).

Realizando la igualdad entre (4) y (2), se deduce que

p

1iii -

n

1iii e =0E.

Como (e1,…,en,1,…,p) es una base de G (por lo tanto libre), se tiene que para toda i=1 hasta n, i=0 y que para toda i=1 hasta p, i=0. Entonces u=0E. Se obtiene así que Dim(F+H)=DimF + Dim H. Lo que da F+H=F+G (familia generatriz de igualdad). Así Dim(F+G)=n+q+p=(n+q)+(p+n)-n=DimF + DimG – Dim(F G). De donde se deduce el resultado. Teorema. Sea E un -espacio vectorial de dimensión finita. Sean F y G dos sub-espacios vectoriales de E. Las propiedades siguientes son equivalentes:

1- E=FG 2- E=F+G y Dim(E)=Dim(F) + Dim(G) 3- F G={0E} y Dim(E) = Dim(F) + Dim(G)

10- Rango de una familia de vectores Definición: Sea E un -espacio vectorial. Sea F={v1,…,vp} una familia de p vectores de E. El rango de F es la dimensión de Vect({v1,…,vp}). Notación: rg(F). Observación: rg(F)p. Propiedad: rg(F)=p si y solamente si F es libre. Consecuencia : Sea E un -espacio vectorial de dimensión finita n y sea F={v1,…,vn} una familia de n vectores de E.

rg(F)=n si y solamente si F es una base de E


Espacio vectorial

250

Método de los ceros escalonados Propiedades:

1- rg({v1,…,vp})=rg({1v1,…,vp}) con 1 elemento de *

2- rg({v1,…,vp})= rgp

1 i i 2 pi 2

v v , v , ..., v

con 2,…,p elementos de

3- rg({v1,…,vp})=rg({v1,…,vp,0E}) 4- El rango de una familia de vectores no depende del orden de los vectores.

Aplicaciones:

Sea E = 3 provisto de su base canónica (i,j,k).

1- Sean u=(0,1,1), v=(1,1,1), w=(-1,1,2) y n=(1,2,0).

Mostrar que rg({u,v,w,n}) es 3. Determinar una base de E formada con ayuda de los vectores

u, v, w, n.

2- Sean a=(1,1,0), b=(1,2,1), c=(5,8,3) y d=(-1,-4,-3).

Sea F = Vect({a, b, c, d}).

Determinar una base de F formada con ayuda de los vectores a, b, c, d.


Espacio vectorial

251


Ejercicio 1. En 2, definimos las dos siguientes leyes de composición: ((x,y) ,(x’,y’)) 22, (x,y) + (x’,y’) = (x+x’ ,y+y’) , (x,y) =(2x,2y)

(2, +, ) es un espacio vectorial real ? Ejercicio 2. En 2, definimos las dos siguientes leyes de composición:

((x,y), (x’,y’)) 22, (x,y) + (x’,y’) = (x+x’,y+y’) , (x,y) =(x,0)

(2, + , ) es un espacio vectorial real? Ejercicio 3. EnE =+*, definimos las dos siguientes leyes de composición:

((x,y), (x’,y’)) E2, (x,y) (x’,y’) = (xx’,y+y’) , (x,y) =(x,y)

(E, , ) es un espacio vectorial real? Ejercicio 4. Los siguientes sub-conjuntos son de sub-espacios vectoriales de (3, + , . ) ?

1- F1 = { (x,y,z) 3/z = 0} 2- F2 = { (x,y,z) 3/x<0} 3- F3 = { (x,y,z) 3/x =1} 4- F4 = { (x,y,z) 3/x = y e y = 2z}.

Ejercicio 5. Los siguientes sub-conjuntos de [X] son de sub-espacios vectoriales ?

1- F1 = { P [X] / P(0) = 0} 2- F2 = { P [X] / P= 0 donde deg (P) 2} 3- F3 = { P [X] / P(0) = P(1)} 4- F4 = { P [X] / P+P’ = 1}.

Ejercicio 6. En 3, el vector V=(1,2,3) pertenece al sub-espacio vectorial F1 engendrado por: V1=(0,1,0) y V2 = (1,1,1) ? Misma pregunta con F2 engendrado por V3=(-1,-1,0) y V4 = (0,1,3) ? Ejercicio 7. En 2, mostrar que F1={(x,x) / x } y F2={(x,-x) / x }son suplementarios. Ejercicio 8. En 3, los siguientes sistemas son libres? Generadores de 3 ? bases de 3 ?

S1 = {(1,0,0) (0,1,0)}, S2 = {(0,0,0) ; (1,0,0) ; (0,1,0) ; (0,0,1)}, S3 = {(1,2,3)}, S4 = {(1,1,0) ; (0,1,1) ; (1,0,1)}.

Ejercicio 9. En conjunto de funciones de en , los siguientes sistemas son libres o liga-dos ?

F1 ={cos, sin}, F2 = 1exp, exp

, F3 = 1exp, , chexp


Espacio vectorial

252

Ejercicio 10. 1- Determinar dim(4[X]). 2- Determinar dim(E) con E ={acos+bsin / (a,b)2} Ejercicio 11. En 3, determinar una base de F = {(x,y,z) 3 / x = y = 2z}.


Espacio vectorial

253

EJERCICIOS Ejercicio 1. el conjunto 2 proveniente de las operaciones y definidas debajo, es un -espacio vectorial ?

1. (x ; y) (x’ ; y’) = (y + y’ ; x + x’) et (x ; y) = ( y ; x). 2. (x ; y) (x’ ; y’) = (x + x’ ; y + y’) et (x ; y) = ( x ; y). 3. (x ; y) (x’ ; y’) = (x + x’ ; y + y’) et (x ; y) = ( x ; 0).

Ejercicio 2. los siguientes subconjuntos 2 son sub-espacios vectoriales ?

2A x, y / 3x 2y 0 2B x, y / 3x 2y 1 2C x, y / xy 0

2D x, y / x 0 2E x, y / x y 2F x, y / x 0 Ejercicio 3. Dentro de los siguientes subconjuntos [X], precisar aquellas que son un sub-espacios vectoriales :

1G P X / deg P 3 2 [X]G P X / deg P 3 0

3G P X / P 0 P 1 0 4G P X / P 2 2P 1

Ejercicio 4. Sea F(,) el conjunto das aplicaciones de en . Admitimos que F(,) es un -espacio vectorial. Indicar los subconjuntos de F(,) de los sub-espacios vectoriales siguientes.

1F f : / x ,f x f x 2F f : / x ,f x f x

3F f : / x ,f x 0 4F f : / x ,f x 0 Ejercicio 5. Los sub-conjuntos siguientes del conjunto das aplicaciones de en son sub-espacios vectoriales de ? F1 = { f / f (1) + f (-1) = 0 } F2 = { f / f (1) + f (-1) = 1 } F3 = { f / x, f (2x) = f (x) } F4 = { f / x, f (x -1) = f (x)- f (1) } Ejercicio 6. Los siguientes conjuntos son -espacios vectoriales?

E = { f : / f(1) = 1} F = { f : / f(1) = 0}

G = {f : *+ / ( , ) ², x *+, f(x) = ex+ln(x)} Ejercicio 7. Sean 1 2F y F dos sub-espacios vectoriales de un espacio vectorial E dado.

a - Determinar una condición necesaria y suficiente para que F = F F1 2 sea un sub-espacio vectorial de E.


Espacio vectorial

254

b - en el caso general, poner de manifiesto que F F1 2 es el más pequeño sub-espacio vectorial de E que contiene F.

Ejercicio 8. E ,E ,E1 2 3son tres sub-espacios vectoriales de un espacio vectorial E. Demostrar que (E E ) [E (E E ) (E E ) E ]1 3 1 2 3 1 2 3 . Ejercicio 9. E ,E ,E1 2 3 son tres sub-espacios vectoriales de un espacio vectorial E que prue-ban que E E E E ;E E E E ;E E1 3 2 3 1 3 2 3 1 2 . Mostrar queE E1 2 . Elementos de respuesta. Basta con poner de manifiesto que E2 se incluye en E1. Sea x un elemento de E2. Por ello, x es elemento de E2+ E3. Entonces, x es elemento de E1+ E3. Existe entonces x1 elemento de E1 y x3 elemento de E3 tales que x=x1+x3. Como x1 es elemento de E1, es también elemento de E2. Entonces x3=x- x1 es elemento de E2. Además x3 es elemento de E E2 3 , por lo tanto también de E E1 3 . Por ello, x3 es elemento de E1. Como x=x1+x3, x es elemento de E1. De donde se llega al resultado. Ejercicio 10. Sea considerado como -espacio vectorial. a- {3 , 5} ¿es una familia libre o generatriz? b- 1, 2 ¿es una familia libre o generatriz?

c- 1, 2, 3 ¿es una familia libre?

Ejercicio 11. Dentro de las siguientes familias de elementos de E, precisar aquellas que son libres, generatrices, bases :

1- E = 2 A = 1,2 , 2,3 , 3,4

2- E = 3[X] B = 2 31, X - 2 , X -3 , X - 4

3- E = C () C = 1 2 3f : x cos x ,f : x cos 2x ,f : x cos 3x Ejercicio 12. Sea un -espacio vectorial E. 1- Demostrar que si los vectores v1 y v2 de E son de manera lineal independientes, ocu-rre lo mismo para los vectores v1 + v2 et v1 - v2. 2- Demostrar que si los vectores v1, v2 y v3 son lineal independientes, ocurre lo mismo con v1 + v2 + v3, v1- v2 + v3 y v1 + v2 - v3. 3- Sea E=3[X]. Mostrar que {1, X - 1, X3 +X2 - 1, (X2 - 1)(X - 1)} es una base de E. Ejercicio 13. Considerando como -espacio vectorial y siendo z un elemento de , ¿cuál es la condición para que (z,z ) sea una base de ? Escribir u = x + iy (con "x" e "y" reales) en dicha base (con z = + i). Ejercicio 14. Consideramos los tres vectores de 3 :

v1 = (1,1,1) ; v2 = (-1,2,3) ; v3 = (7,-8,-13)


Espacio vectorial

255

1- Determinar el rango de la familia {v1,v2,v3}. Dar una combinación lineal nula, con coeficientes no todos nulos, de esos vectores. 2- Sea F el sub-espacio vectorial engendrado por {v1,v2,v3}. Determinar una base de F. 3- Sea G = {(x,y,z)3/x – 4y + 3z = 0}. Mostrar que G es un sub-espaio vectorial de 3. Dar na base de G.

4- Mostrar que F y G son iguales. Ejercicio 15. En el -espacio vectorial de las aplicaciones de en , mostrar que si

1 2 3λ , λ , λ , son tres reales distintos 2 à 2, la familia de las aplicaciones 1λ xx e , 2λ xx e , 3λ xx e es libre.

Ejercicio 16. En 4, damos los vectores : a=(1,2,0,1), b=(2,1,3,1), c=(2,4,0,2), t=(1,2,1,0), u=(-1,1,1,1), v=(2,-1,0,1), w=(2,2,2,2) F es el sub-espacio engendrado por a, b y c. G es el sub-espacio engendrado por t, u, v y w. Encontrar una base de F, una base de G, una base de F+G y una base de F G . Ejercicio 17. En el espacio vectorial 4, se considera que V1 = (1,2,0,1) ; V2 = (1,0,2,1) ; V3 = (2,0,4,2) ; W1 = (1,2,1,0) ; W2 = (-1,1,1,1) W3= (2,-1,0,1) ; W4 = (2,2,2,2). 1- Demostrar que las siguientes familias son libres

{ 1 2V ,V } ; { 1 2 3W ,W ,W } ; { 1 2 1 2V ,V ,W ,W }. 2- Sea E el sub-espacio vectorial de 4 engendrado por { 1 2 3V ,V ,V }. a- Determinar una base de E. b- Determinar un espacio suplementario a E. 3- Sea F el sub-espacio vectorial de 4 engendrado por { 1 2 3 4W ,W ,W ,W }. Determinar una base de F. 4- Determinar E + F. 5- a- Mostrar que V V E F1 2 . b- Determinar una base de E F. Ejercicio 18. Sean F={(x,y,z)3/x+y+z=0} y G={(x,y,z)3/x-y=0 x+z=0}.

1- F y G son sub-espacios vectoriales de 3 ? 2- Son sub-espacios vectoriales suplementarios?

Ejercicio 19.

1- Determinar una base del sub-espacio vectorial de 4 definido por : E1= {(a,b,c,d) 4, a = 2b-c et d = a+b+c}.

2- Anotamos E2 = Vect{(3,1,0,3),(-1,1,1,0)}. Mostrar que E1 y E2 son suplementarios en 4. Ejercicio 20. Sea E el sub-conjunto de 4 determinado por :

3 2 4 00

2 2 2 0

x y z tx y z tx y z t

Demostrar que E es un sub-espacio vectorial. Cuál es la dimensión de E? Determinar una base de E.


Espacio vectorial

256

Ejercicio 21. Sea (P )n n una secuencia de polinomios de [X] tales que para todo entero n, el grado de Pn es n. Mostrar que para todo entero n, n à 0=ii}{P es una parte generatriz de n [X]. Deducir que es une base de n [X]. Ejercicio 22. 1. Demonstrar que la familia = ((0,1,2),(-1,0,1),(3,2,0)} es una base de 3. 2. Cuáles son las coordenadas del vector u = (0,2,1) en la base canónica de3 ?

Cuáles son las coordenadas del vector u = (0,2,1) en la base ? Ejercicio 23. Sean 0 1, ,..., n (n+1) reales distintas de dos en dos (n*). Se considera k como un entero comprendido entre 0 y n : Pk= i

i 0 à ni k

(X )

.

a- Mostrar que (P ,P ,...,P0 1 n) es una base del espacio vectorial n[X]. b- Sea P un elemento de n[X]. Determinar las componentes de P en la base (P ,P ,...,P0 1 n). Ejercicio 24. E es el conjunto de aplicaciones de en provisto de su estructura de espacio vectorial en . a- Sea G = { f:/ (a,b,c) 3, x∈, f(x) = a.cos(x) + b.sen(x) + c.sen(x).cos(x)}. Mostrar que G es un sub-espacio vectorial de E cuya dimensión debe precisarse. b- Sea H={f:/ (a,b,c) 3, x∈, f(x) = a.cos(2x) + b.sen(2x) + c.sen(2x).cos(2x)}. Mostrar que H es un sub-espacio vectorial de E cuya dimensión debe precisarse. ¿Cuál es la dimensión de (GH)? c- Determinar la dimensión, enseguida una base de (G + H). Ejercicio 25. E es el -espacio vectorial formado por secuencias de números complejos. Sean “p” y “q” dos números complejos que no son simultáneamente nulos. Se llama S al con-junto de secuencias (u )n n tales que :

n , n 2 n 1 nu p.u q.u 0 a- Mostrar que S es un sub-espacio vectorial de E cuya la dimensión se va a determi-nar. b- Si p²- 4q 0, encontrar dos secuencias de S linealmente independientes cuyo tér-mino general tiene la forma sn . Para (u )n n elemento de S, expresar u n en función de u ,u0 1,p, q, n. c- Si p²-4q = 0, existe una secuencia única de S que no es nula, con término general de la forma sn . Determinar s. Mostrar que las sucesiones v y w con término general sn y nsn son elementos de S. Determinar una base de S y escriban la forma general de un elemento de S. Ejercicio 26. Determinar el rango de la familia { 1 2 3 4a ,a ,a ,a } de vectores de 5 referenciada con respecto a su base canónica ( 1 2 3 4 5e ,e ,e ,e ,e ) con

1 1 2 3 4 5

2 1 2 3 4 5

3 1 2 3 4 5

4 1 2 3 4 5

a 2e + 3e -3e +4e +2ea 3e +6e -2e +5e +9ea 7e +18e -2e +7e +7ea 2e + 4e -2e +3e + e


Espacio vectorial

257

Ejercicio 27. En el espacio vectorial 4 dado con respecto a su base canónica, comprobar que los vectores

a = (1,2,-1,-2) ; b = (2,3,0,-1) ; c = (1,3,-1,0) ; d = (1,2,1,4) forman una familia libre. Deducir que esta familia forma una base de 4. Calcular las coorde-nadas del vector u, con coordenadas (7,14,-1,2) en la base canónica, en la base (a, b, c, d). Ejercicio 28. En el espacio vectorial 4 referenciado con respecto a su base canónica, se consideran los siguientes vectores V1 = (0,1,0,1) ; V2 = (1,0,1,0) ; V3 = (2,0,-1,1) ; V4 = (-3,3,3,1) ; V5 = (7,-4,-2,-1) . a- Determinar el rango de la familia { 1 2 3 4 5V ,V ,V ,V ,V }. b- Sea el sistema de ecuaciones

x 2x 3x 7x ax 3x 4x 3

x x 3x 2x 2x x x x 1

2 3 4 5

1 4 5

2 3 4 5

1 3 4 5

¿Para qué valores del parámetro real "a", existen soluciones para este sistema?


Espacio vectorial

258

Algunos ejercicios corregidos Ejercicio 29. En 2, definimos una ley de adición y una ley de multiplicación para un real de la siguiente manera :

(a ; b) + ( c ; d ) = (a + c ; b + d) y . (a ; b) = (² a ; ² b) Tenemos una estructura de –espacio vectorial ? Corrección: Recordemos antes que nada la definición de un espacio vectorial: (E ;+ ;.) es un K-espacio vectorial si y solamente si, tenemos:

2 2

E, grupo commutativo 1

: K E E 2

.x .x .x 3

. x y .x .y 4, , x, y K E

. .x . .x 5

1.x x 6

Para demostrar que un conjunto es un K-espacio vectorial, evidentemente tenemos que verifi-car todas las propiedades. Sin embargo, para demostrar que no es un K-espacio vectorial, bas-ta con demostrar que una de las propiedades no es verificada. Particularmente, incluso basta con dar un contra ejemplo. Por otro lado, para mostrar que tenemos un sub K-espacio vectorial, basta con verificar que el espacio es estable mediante la combinación lineal, lo que quiere decir : 2F, ,. sub Kev de E, ,. , x, y K F .x y F En lo que sigue, si no está precisado, y serán elementos de K. En el ejercicio: Tomemos 2 y 1 . Entonces tenemos a,b 3 a,b 9a,9b y

a,b a,b 2 a,b 1 a,b 4a,4b a,b 5a,5b .

Está claro entonces que 3 no está verificada, y así, que no tenemos una estructura de -espacio vectorial. Ejercicio 30. Sea E = *+ . Definimos una adición en E y una ley de multiplicación por un real de la siguiente manera : (a ; b) + (c ; d) = (ac ; b + d) y (a ; b) = (a ; b) Tenemos una estructura de –espacio vectorial? Corrección: Verifiquemos primero que E, es un grupo conmutativo. Es claro que ( , ) E², E . Buscando el elemento neutro llamado e : Por definición del elemento neutro, tenemos: a,b E, e .

Esto nos da 1 2 1 2e ,e a,b a,b e a,e b a,b e 1,0 .


Espacio vectorial

259

Sea entonces a,b E , es claro que 1 , b Ea

es el inverso de a,b E por

la ley +.

De hecho, tenemos 1 aa,b , b ,b b ea a

.

La conmutatividad proviene de la conmutatividad del producto y de la adición en . La asociatividad se comprueba fácilmente. (1) está entonces verificada. (2) está también claramente verificada. Las propiedades que quedan no son inmediatas pero unos cálculos rápidos nos demuestran que ellas son también verdaderas y que así obtenemos una estructura de -espacio vectorial :

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2

.1 2 1 2 1 2

11 2

.x . x , x x , x x x , x x x , x x , x x x

. x y . x y , x y x y , x y x y , x y x , x y , y x y

. .x x , . x x , x . x , x . x

1.x x ,1x x

Ejercicio 31. Entre los siguientes sub-conjuntos de [X], precisar aquellos que son sub-espacios vectoria-les:

A = {P [X], P (0) = 1} B = {P [X], deg (P) 8 } C = {P [X], P + P’ + P’’ = 0} D = {P [X], P (1) = P (2)}

Corrección : Antes de nada, observemos que ,P,Q ([X])², P Q [X]. - Sea ,P,Q A². Entonces P Q 0 P 0 Q 0 1

Como para 2 , P Q 0 3 1 entonces A no es un sub-espacio vectorial [X]. - Sea 8 81,P X ,Q X B². Entonces P+Q es el polinomio nulo, entonces

P Q B , entonces B no es un sub-espacio vectorial de [X]. - Sea ,P,Q C². Entonces

P Q P Q P Q P P P Q Q Q P P P 0 . Entonces C es un sub-espacio vectorial de [X]. - Sea ,P,Q D². Entonces P Q 1 P 1 Q 1 P 2 Q 2 P Q 2 . Entonces D es un sub-espacio vectorial de [X]. Ejercicio 32. 1- Entre los siguientes sub-conjuntos de 3, determinar aquellos que son sub-espacio vecto-riales: P 1 = {(x ; y ; z) 3, z = 0)} P 2 = {(x ; y ; z) 3, z = 1)} P 3 = {(x ; y ; z) 3, x – y 0)} P 4 = {(x ; y ; z) 3, x = 0)}


Espacio vectorial

260

2- Determinar P 1 P 4 , P 1 P 4 , P 1 + P 4 , un suplementario de P 1 en 3, un suplementario de P 1 P 4 en P 1 , y luego en 3. Corrección: 1- - Sean 1 2 3 1 1 2 3 1, , P , , , P et entonces tenemos:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1, ,0 , ,0 , ,0 , ,0 , ,0 P . Entonces 1P es un sub-espacio vectorial. - Sean 1 2 3 2 1 2 3 2, , P , , , P et , entonces tenemos:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2, ,1 , ,1 , , , ,1 , , 1 .

Como para 1 1 2 2 21, , , 1 P y 2P no es un sub-espacio vectorial. - Sean 1 2 3 3 1 2 3 3, , P , , , P et , tenemos entonces:

1 1 2 2 3 3, , .

Como, 1 1 2 2 1 2 1 2 .

Tomemos entonces: 3 32,1,0 P , 1,1,0 P y 1 .

Obtenemos 1 1 2 2 1 0 y así 3P . Entonces 3P no es un sub-espacio vectorial. - Sean 1 2 3 4 1 2 3 4, , P , , , P y , tenemos entonces:

2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 40, , 0, , 0, , 0, , 0, , P . Entonces 4P es un sub-espacio vectorial. 2- Tenemos

4 1P P {(x,y,z)3/x=0 z=0}

4 1P P {(x,y,z)3/x=0 y=0}={(0,y,0)/y}. Además, P4+P1={X=(x,y,z)3/ 1A P , 4B P , X=A+B} ={ 1 2 2 3a ,a b ,b 3/ 1 2 1 2 3 4a ,a ,0 P , 0,b ,b P }

= { 1 2 2 3a ,a b ,b 3/ 1 2 2 3a ,a ,b ,b 4}=3. Sea K={ x, y,z 3/x=0 y=0} 0,0,z .

Entonces 1K P 0,0,0 y

K+P1={ X x, y,z 3/ 1A P , B X ,

X=A+B}={ 1 2 3a ,a ,b 3/ 1 2 1 3a ,a ,0 P , 0,0,b X }=3. Deducimos que K es un suplementario de 1P en 3. Hemos visto que 4 1P P { 0, y,0 3}.


Espacio vectorial

261

Sea E={ x, y,z 3/ y 0 z 0 }= x,0,0 .

Entonces 4 1E P P 0,0,0 y

4 1E P P ={ X x, y,z 3/ 4 1A P P , B E , X=A+B}

={ 1 2b ,a ,0 3/ 2 4 10,a ,0 P P, b ,0,0 E }={ x, y,0 3}=P1. Deducimos entonces que E es un suplementario de 4 1P P en 1P . Finalmente, sea F={ x, y,z 3/y=0}. Verificamos fácilmente que F es un suplementario de 4 1P P en 3. Ejercicio 33. Sea E = 3. Consideramos: E1 = {(a ; b ; c)3 / a = b = c} y E2 = {( a ; b ; c)3 / a = 0}. Mostrar que : E = E1 E2. Corrección: Empezamos verificando que 1 2E y E son sub-espacios vectoriales de E. Sean 1 1A a,a,a E , B b,b,b E y , entonces tenemos :

1A B a,a,a b,b,b a b, a b, a b E , entonces 1E es un sub-espacio vectorial. Del mismo modo, sean 1 2 2 1 2 2A 0,a ,a E , B 0,b ,b E y , tenemos entonces:

1 2 1 2 1 1 2 2 2A B 0,a ,a 0,b ,b 0, a b , a b E , entonces 2E es un sub-espacio vectorial. Ahora, demostramos que esos dos sub-espacios vectoriales son suplementarios. Primero, tenemos:

1 2E E a,b,c / a b c y a 0 a,b,c / a b c 0 0,0,0 . Por otro lado,

1 2 1 2E E X x, y,z / X A B con A E , B E

={ 2 3a,a b ,a b 3/ 1 2 3 2a,a,a E , 0,b ,b E }

={ 2 3a,a b ,a b 3/ 2 3a,b ,b 3}. Esencialmente hay dos métodos para mostrar que 1 2E E 3. La primera solución consiste a verificar que el siguiente cambio de variable es biyectivo, lo que quiere decir, verificar que podemos expresar las antiguas coordenadas en función de las nuevas de manera única y recíprocamente:

2 2

3 3

x a a xy a b b y xz a b b z x

Esto equivale a mostrar directamente que 31 2E E .

La segunda solución consiste a escribir esta suma bajo la forma de un espacio vectorial en-gendrado por tres vectores libres: 1 2E E Vect 1,1,1 , 0,1,0 , 0,0,1 . Finalmente, concluimos que 1 2E E E .


Espacio vectorial

262

Ejercicio 34. Entre las siguientes familias de elementos de E, precisar aquellas que son libres, generadoras, bases : 1- E =3 A = {(1 ; 0 ; 1) ; ( -1 ; 1 ; 2 ) ; (-2 ; 1 ; 2 )} B = {(1 ; 0 ; 1) ; ( 2 ; 0 ; 3 ) ; ( -1 ; 1 ; 1 ) ; ( 0 ; 0 ; 1 )} 2- E = 2[X] C = {1 ; X – ; (X – )²} con D = {X² + 3X – 1 ; X² – X + 5 ; -7X² + 9X – 17} 3- E = C0(,) F = {f1 : x x² ; f2 : x ex ; f3 : x sin x} Corrección: 1- Sean , , tales que :

1,0,1 1,1,2 2,1,2 0

2 0 0 00 0

2 2 0 0 0

Entonces la familia es libre. 3 siendo un espacio vectorial de dimensión 3, deducimos que esta familia es una base de 3 y entonces ella es generadora. 3 siendo un espacio vectorial de dimensión 3, no pueden existir cuatro vectores de 3 libres. Entonces la familia es ligada. Es fácil verificar que la familia B 1,0,1 , 2,0,3 , 0,0,1 es libre entonces es una familia

generadora de 3. Pero tenemos Vect B Vect B 3 entonces B es una familia genera-dora. 2- Sean a,b,c tales que:

2 2 2a b X c X 0 a b c b 2c X cX 0 .

Por identificación, esto implica que a b c 0 entonces la familia es libre. Como 2[X] es de dimensión 3, deducimos que C es una base de E y entonces esta familia es generadora. Sean a, b, c tales que 2 2 2a X 3X 1 b X X 5 c 7X 9X 17 0 . Esto es equivalente a: 2a b 7c X 3a b 9c X a 5b 17c 0

a b 7c 0 a b 7c a b 7c a b 7c a 03a b 9c 0 3b 21c b 9c 0 4b 30c 0 4b 30c 0 b 0

b 7c 5b 17c 0 6b 24c 0 b 4c c 0a 5b 17c 0

Deducimos que la familia D es libre. Como 2[X] es de dimensión 3, deducimos que D es una base de E y entonces que esta fami-lia es generadora. 3- Sean a, b, c tales 1 2 3af bf cf 0 . Esto significa que para todo real x, tenemos 2 xax be csin x 0 .


Espacio vectorial

263

Para determinar los valores de a, b y c, debemos obtener al menos tres ecuaciones no ligadas (si esto es posible !) gracias a la relación 2 xax be csin x 0 . Para esto, el método más simple consiste en escoger valores particulares para x pero podemos también para algunos casos « derivar » la relación con el fin de obtener ecuaciones más simples. Por ejemplo aquí, derivemos una vez la relación, obtenemos: x2ax be ccos x 0 1 .

Si la derivamos nuevamente, tenemos : x2a be csin x 0 2 .

Si la derivamos una vez más, tenemos : xbe ccos x 0 3 . Tomemos entonces x=0 en las tres anteriores ecuaciones, obtenemos el sistema :

b c 0 1 a 02a b 0 2 b 0

c 0b c 0 3

Deducimos entonces que esta familia es libre. Aquí, no es el método más simple pero hay que acordarse de este método porque nos puede ser muy útil en algunos casos. Volvemos a la relación principal : 2 xax be csin x 0 .

Tomando x 0 , obtenemos b 0 , luego x , nos da c 0 , y finalmente x2

, nos da

a 0 . Sin embargo, hay que estudiar el carácter generador de esta familia. Aquí vemos fácilmente que esta última no es generadora. De hecho, si hubiera sido el caso, nuestro espacio sería de dimensión 3 pero sabemos que E = C0(,) es un espacio vectorial de E de dimensión infinita y entonces la familia no puede ser generadora. Ejercicio 35. Calcular el rango de las siguientes familias de 4 : 1- u1 = (1 ; 2 ; -4 ; 3) ; u2 = (2 ; 5 ; -3 ; 4) ; u 3 = (6 ; 17 ; -7 ; 10 ) ; u 4 = (1 ; 3 ; -3 ; 2) 2- u1 = (1 ; 2 ; 6 ; -1) ; u 2 = (3 ; 6 ; 5 ; -6) ; u3 = (2 ; 4 ; -1 ; -2 ) 3- u1 = (a ; 1 ; 1 ; 0 ) ; u2 = (1 ; a ; 1 ; 0) ; u3 = (1 ; 1 ; a ; 0) con a . Corrección : 1-

1 2 6 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 02 5 17 3 2 1 5 1 2 1 0 0 2 1 0 0

rg rg rg rg4 3 7 3 4 5 17 1 4 5 8 4 4 5 8 0

3 4 10 2 3 2 8 1 3 2 2 1 3 2 2 0

Entonces la familia es de rango 3.

2-

1 3 2 1 0 0 1 0 02 6 4 2 0 0 2 0 0

rg rg rg6 5 1 6 13 13 6 13 01 6 2 1 3 0 1 3 3

Entonces la familia es de rango 3.


Espacio vectorial

264

i i 1

3 i 2

2C aC C

2

2C a 1 C C

2

a 1 1 0 0 0 0 0 01 a 1 a 1 1 a 0 0

3 rg rg rg1 1 a 1 a 1 1 a 1 a 10 0 0 1 1 a 1 a 1 a 1

0 0 0a 0 0

rg 1 a 1 0

1 a 1 a 1 a 1 a 1

2

0 0 0a 0 0

rg1 a 1 01 a 1 a a 1 a 2

Observemos que el cálculo anterior sólo es válido si por un lado tenemos i i 1a 0 C aC C , y por otro lado si 3 3 2a 1 C a 1 C C .

Debemos entonces distinguir diferentes casos según el valor de a : - a=0 :

2 2 1 3 3 2C C C C C C

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0a 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0

rg rg rg rg rg1 a 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 01 1 a 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 2

Entonces la familia es de rango 3. - a=-1 :

2

2

a 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 01 a 1 a 0 0 1 0 0 1 0 0

rg rg rg rg1 1 a 1 a 1 a 1 1 0 2 1 2 00 0 0 1 a 1 a 1 1 2 0 1 0 2

Entonces la familia es de rango 3 también. - a {0, 1} : En este caso tenemos :

2

0 0 0a 1 1a 0 01 a 1

rg rg1 a 1 01 1 a1 a 1 a a 1 a 20 0 0

Debemos resolver: a a 1 a 2 0 , y 2a 1 0.

a a 1 a 2 0 a 0,1, 2 , y 2a 1 0 a 1,1 . Nos queda entonces por estudiar el caso a 1 y a 2 . - Si a 1 , tenemos:


Espacio vectorial

265

a 1 1 0 0 01 a 1 1 0 0

rg rg1 1 a 1 0 00 0 0 1 0 0

Entonces la familia es de rango 1. - Si a 2 , tenemos :

a 1 1 0 0 01 a 1 2 0 0

rg rg1 1 a 1 3 00 0 0 1 3 0

Entonces la familia es de rango 2. En todos los otros casos, la familia es de rango 3.


Espacio vectorial

266


Aplicaciones lineales

267

Capítulo 16

APLICACIONES LINEALES


Cayley Arthur (inglés, 1821-1895) fue abogado de origen. Será profesor de matemáticas en la universidad de Cambridge y miembro de la Royal Society of London (La academia de las cien-cias inglesa) cerca de la cual publicará gran número de sus trabajos, fundamentalmente sobre las geometrías no euclidianas. Pero la obra maestra de Cayley será el desarrollo (desde 1843) de una nueva rama de las matemáticas: el álgebra lineal y sus transfor-maciones, nacidas del estudio de los sistemas de ecuaciones linea-les.

1- Aplicaciones lineales Definición: Sean E y F dos -espacios vectoriales. Se dice que una aplicación f de E en F es lineal si por definición comprueban las dos condi-ciones siguientes 1- (u,v) E², f(u+v)=f(u)+f(v) (o + es la ley interna) 2- k , u E, f(k.u)=k.f(u) (donde designa la ley externa). Notación: El conjunto de aplicaciones lineales de E en F se escribe L(E,F). Observación : Una aplicación lineal es también llamada morfismo de los espacios vectoria-les. Casos particulares:

- Cuando f es biyectiva, f es un isomorfismo de E en F. - Cuando E = F, f es un endomorfismo.

El conjunto de los endomorfismos de E se escribe End(E) u L(E). - Cuando E = F y f son biyectivas, f es un automorfismo de E. - Cuando F = , f es una forma lineal.

Propiedades: Sea f una aplicación lineal de E en F.

1- f(0E)=0F



268

2- 1 n(k ,...,k ) n, n n

n1 n i i i i

i 1 i 1(u ,..., u ) E , f k u k f (u )

2- Imagen e imagen recíproca de un sub-espacio vectorial por aplicación lineal Teorema: Sea f un elemento de L(E, F) y o de G un sub-espacio vectorial de E. Entonces, f(G)={f(u)/u G } es un sub-espacio vectorial de F. Definición: Sean E y F dos conjuntos, f una aplicación de E en F y H una parte de F. La imagen recíproca de H por aplicación de f es f –1(H)={x E/f (x) H }. Teorema: Sean f un elemento de L (E, F) y H un sub-espacio vectorial de F. Entonces f –1(H) es un sub-espacio vectorial de E. 3- Imagen y núcleo de una aplicación lineal Definición: Sea f un elemento de L(E, F). La imagen de f es por definición f (E). Se le es-cribe como Im (f). Im(f)={f(u)/u E } Teorema: De acuerdo con la notación anterior, Im (f) es un sub-espacio vectorial de F. Definición: Sea f un elemento de L(E, F). El núcleo de f es por definición f -1({0F}). Y se escribe como Ker (f).

uKer(f) f(u)=0F Teorema: De acuerdo con las notaciones anteriores, Ker (f) es un sub-espacio vectorial de E. Ejemplo : Sea f la aplicación lineal de 4 en 3 definida por : f((a,b,c,d))=(x,y,z) con

x a b cy b dz a c d

Determinar Im(f) y Ker(f). Teorema: Sea f un elemento de L(E, F).

1- f es inyectiva si y sólo si Ker(f)={0E } 2- f es sobreyectiva si y sólo si Im(f)=F.

4- Caso en que E es de dimensión finita Teorema: Sean E y F dos -espacios vectoriales, E de dimensión finita "n" elemento de *. Sea B=(e1,…,en) una base de E. Sea f un elemento de L(E, F). f está totalmente determinado por los n vectores f(e1), …, f(en).



269

Teorema: Sean E y F dos -espacios vectoriales, E de dimensión finita n elemento de *. Sea B= (e1...,en) una base de E. Sea f un elemento de L(E, F). Entonces Im(f)=Vect({f(e1), …, f(en)}). Definición: Sea f un elemento de L(E, F). El rango de f, que se escribe rg (f), es la dimen-sión de Im (f). Teorema del rango: Sean E y F dos -espacios vectoriales, E de dimensión finita n elemento de *. Sea f un elemento de L(E, F).

Dim(Ker(f)) + rg(f) = Dim(E) Dim(Ker(f)) + Dim(Im(f)) = Dim(E)

Teorema : Sean E y F dos espacios vectoriales tales que E tenga una dimensión finita. Sea f de E en F una aplicación lineal. 1-f inyectiva f transforma cualquier base de E en une familia libre de F. existe una base B de E que tiene como imagen para f una familia libre de F. 2-f sobreyectiva f transforma cualquier base de E en una familia generatriz de F existe una base B de E que tiene como imagen para f una familia generatriz de F. 3-f biyectiva f transforma cualquier base de E en una base de F existe una base B de E que tiene como imagen para f una base de F. Teorema: Caracterización analítica de una aplicación lineal Suponemos que E y F los dos son de dimensión finita p y n respectivamente. Sean B1 = (e1,…,ep) una base de E, y B2 = (f1,…, fn) una base de F.

Notamos 1j nja ,...,a las coordenadas de f(ej) en la base B2 : f(ej) = n

i,j ii 1

a f

.

Sea u un vector de E de coordenadas (x1,…,xp) en la base B1: u = p

k kk 1

x e

y (y1,…,yn) las

coordenadas de f(u) en la base B2 : f(u) = n

i ii 1

y f

.

Entonces obtenemos: 1 11 1 1p p

n n1 1 np p

y a x a x

y a x a x

.

5- Caso de un endomorfismo con E de dimensión finita Teorema: Sea E un -espacio vectorial de dimensión finita n elemento de . Sea f un elemento de End (E). Las propiedades siguientes son equivalentes.

1- f es inyectiva 2- f es suprayectiva 3- f es biyectiva.



270

6- Estudio de L(E, F) Teorema: Sean E y F dos -espacios vectoriales. Anotemos como + la ley de composición interna de L(E, F) y la ley externa. (L(E,F),+) es un grupo conmutativo. (L(E,F),+,.) es un -espacio vectorial. 7- Composición de aplicaciones lineales Teorema: Sean E, F y G tres -espacios vectoriales. Sean f un elemento de L(E, F) y g un elemento de L(F, G). Entonces g f es un elemento de L(E,G). Prueba: Sean f un elemento de L(E,F) y g un elemento de L(F,G). Sean x e y dos vectores de E y un escalar.

por linearidad de g

par linearidad de f

f g x y f g x y f g x g y

f g x f g y f g x f g y

8- Proyectores e involuciones Definición : proyección y simetría paralelamente a un sub-espacio vectorial. Sean E un -espacio vectorial, F y G dos sub-espacios suplementares de E (E = F G). Entonces tenemos: F G F Gx E, !(x ,x ) F G / x x x Llamamos proyección sobre F paralelamente a G la aplicación p de E en E definido por : p(x)=xF. Llamamos simetría en comparación a F paralelamente a G la aplicación s de E en E definido por: s(x) = xF-xG. Proposición :

1- las proyecciones y las simetrías son endomorfismos de E. 2- una proyección p verifica p p = p y una simetría s verifica s s = IdE. 3- F = Im p = {xE/p(x) = x}=Ker(IdE-p) et G = Ker p = Im(IdE - p). 4- F = Ker(s - IdE) = Im(s + IdE) et G = Im(s - IdE) = Ker(s + IdE)

Proposición :

1- sea p un endomorfismo de E verificando p p = p. p es un proyector. Notamos F = Im p y G = Ker p. Entonces tenemos E = F G y p es la proyección sobre F paralelamente a G.

2- Sea s un endomorfismo de E verificando s s=IdE. s es una involución. Notamos F=Ker(s-IdE) y G=Ker(s + IdE).

Entonces tenemos E = F G y s es la simetría en comparación a F paralelamente a G.



271

ANEXO PROYECCIONES Y SIMETRÍA VECTORIALES

1. . Proyecciones y simetrías vectoriales en el plano P Definición : Sean D1 y D2 dos rectas que no son paralelas y que tienen vectores característi-cos respectivos i y j . Todo vector u del plano se divide de manera única en la suma de un vector 1u colineal a i y de un vector 2u colineal a j : u = 1u + 2u . La proyección p sobre D1 así como sobre D2 se define por p u = 1u .

La simetría "s" con relación a D1 , así como sobre D2 se define entonces por: s u = 1u - 2u .

Ilustración : p proyección sobre (’) como sobre (D). Propiedades : 1- Para todo vector u y v y para todo real k,

p u v = p u + p v , p ku =k p u

2- Para todo vector u y v y para todo real k, s u v = s u + s v , s ku =k s u

u

1u p u

2u 2u

s u 2u 2u

1D

2D

(D)

()

(’)

A

B

C

A’ B’ C’



272

Ilustración: Con p proyección ortogonal sobre la recta (OC) con u = OA , v = AB , p u = 1OA y p v = 1 1A B

Propiedad : p p=p y s s=id, donde id designa la aplicación de identidad del plano. Observación: Los elementos característicos de p y de s, D1 y D2, están definidos por:

- D1= u P / p u u y D2= u P / p u 0

- D1= u P / s u u y D2= u P / s u u

2. Proyecciones y simetrías vectoriales en el espacio E Definición : Sea P un plano de base i, j y D una recta que no está incluida en P con vector

característico k , es decir que i, j, k no son coplanarios. Todo vector u del espacio se divide de manera única en la suma de un vector 1u coplanario a

i, j y de un vector 2u colineal a k : u = 1u + 2u .

La proyección p1 sobre D como en P se define entonces por: p1 u = 2u .

La simetría s1 con relación a D como en P se define entonces por: s1 u = 2u - 1u .

Ilustración : p proyección sobre D y sobre P. Propiedades: 1- Para todo vector u , v y para todo real k,

p1 u v = p1 u + p1 v y p1 ku =k p1 u

2- Para todo vector u , v y para todo real k,

O C A1 B1

B

A

P

D

u

v

v ' u '



273

s1 u v = s1 u + s1 v y s1 ku =k s1 u

Ilustración: p proyección sobre la recta (xx’) y sobre el plano P. Propiedad : p1 p1=p1 y s1 s1=id donde id designa la aplicación de identidad del espacio. Observación : Los elementos característicos de p1 y de s1, P y D, están definidos por:

- D= 1u E / p u u y P= 1u E / p u 0

- D= 1u E / s u u y P= 1u E / s u u

La proyección p2 sobre P como en D se define entonces por p2 u = 1u .

La simetría s2 con relación a P como en D se define entonces por s2 u = 1u - 2u .

Propiedades : 1- Para todo vector u , v y para todo real k,

p2 u v = p2 u + p2 v y p2 ku =k p2 u

2- Para todo vector u , v y para todo real k, s2 u v = s2 u + s2 v y s2 ku =k s2 u

Propiedad : p2 p2=p2 y s2 s2=id donde id designa la aplicación de identidad del espacio. Observación : Los elementos característicos de p2 y de s2, P y D, están definidos por:

- P= 2u E / p u u y D= 2u E / p u 0

- P= 2u E / s u u y D= 2u E / s u u

P

x x’

A1

A2 A3

A4

A5

A’1 A’2 A’3 A’4 A’5



274


Ejercicio 1. Las siguientes aplicaciones son lineales ? Entre aquellas que lo son, precisar eventualmente si se trata de formas lineales o de endomorfismos. f1 : 3 f2 : 3 f3 : 32 f4 : 33 (x,y,z)x+2y (x,y,z)xy (x,y,z)(x+2y,x-y) (x,y,z)(x+y,y+z,z+x) Ejercicio 2. Las siguientes aplicaciones son lineales? f1 : [X][X] f2 : [X][X] f3 : [X][X] P 2P+P’ P XP+P’’ P P2 Ejercicio 3. En E espacio vectorial de una base = (e1,e2,e3 ) sea f endomorfismo de E defi-nido por : f(e1) = 2e1-e2+e3 ; f(e2) = e1+e2-2e3 ; f(e3) = e1+e2+e3. Determinar las coordenadas de f(V) para V = x e1+ye2+ze3. Ejercicio 4. Sea f : 32, (x,y,z) (3x+2y,y-z). Determinar la imagen de la base canónica = (e1,e2,e3 ) de 3 en función de la base canónica ’ = (1,2) de 2. Ejercicio 5. Determinar la imagen y el núcleo de f1 y f3 del ejercicio 1. Ejercicio 6. Determinar la imagen y el núcleo para f y g : f : 4[X]4[X] g : 2[X]2[X] P P’ P XP’+P Ejercicio 7. Sea f : 33 ; (x,y,z) (x-y+2z , x+y+z , 0 ). Demostrar que : 3 = Imf Kerf. Tenemos f f = f ? Ejercicio 8. En 3, sean E1 ={(x,y,z)3 / x+y+z =0 }y E2 ={ (x,y,z) 3 / x=y=z }.

1- Demostrar que ( V1= (-1,1,0) , V2= (-1,0,1) ) es una base de E1. 2- Demostrar que ( V3 = (1,1,1) ) es una base de E2. 3- Demostrar que todo vector de 3 se descompone de una manera única bajo la forma

de la suma de un vector de E1 y de un vector de E2 y deducir que 3 =E1E2. 4- Sea p la proyección en E1 paralelamente a E2. Calcular p(x,y,z). 5- Sea s la simetría en relación con E1 paralelamente a E2. Calcular s(x,y,z).



275


Ejercicio 1. f1 forma lineal, f2 no lineal, f3 lineal, f4 endomorfismo. Ejercicio 2. f1 lineal, f2 lineal, f3 no lineal. Ejercicio 3. f(V) = (2x+y+z)e1+(-x+y+z)e2 +(x-2y+z)e3. Ejercicio 4. f(e1) = 31 ; f(e2) = + 2 ; f(e3) = -2. Ejercicio 5. Im(f1) = y Ker(f1) = { (-2y, y, z) / (y,z) 2 } Im(f3) = 2 y Ker(f3) = { (0,0,z ) / z }. Ejercicio 6. Im(f) = 3[X] y Ker(f) = { funciones constantes } Im(g) = 2[X] y Ker(g) = { función nula }. Ejercicio 7. f ff.

Ejercicio 8. p(x,y,z) = 2 1 1 1 2 1 1 1 2x y z, - x y z, - x y z3 3 3 3 3 3 3 3 3

s(x,y,z) = 1 2 2 2 1 2 2 2 1x y z, - x y z, - x y z3 3 3 3 3 3 3 3 3

.



276

EJERCICIOS Ejercicio 1. 1- Las aplicaciones siguientes de 3 en él mismo son lineales? Para las que son, de-terminar su núcleo y su imagen y precisar si son inyectivas, sobreyectivas, biyectivas. a- f((x,y,z))=(x,0,z) b- g((x,y,z))=(y+z,x+z,x+y) c- h((x,y,z))=(x,xy,x+z)

2 - Mismas cuestiones con las aplicaciones siguientes de 2 en 3. a- f((x,y))=(x+1,y+1,x+2) b- g((x,y))=(x,x-y,x+y) c- h((x,y))=(2x-y,6x-3y,4x-2y)

3 - Mismas cuestiones con las aplicaciones siguientes de [X] en él mismo. a- f(P)=PP’ b- g(P)=X²P Ejercicio 2. Dentro de las siguientes aplicaciones, indicar aquellas que son lineales Para aquellas que los son, precisar su núcleo, su imagen.

1. f1 : 33 definido por xx, y,z e ,2y, x z . 2. f2 : 32 definido por (x, y,z) (x y z,2x y 3z) . 3. f3 : 22 definido por (x, y) 4x 6y, 6x 9y .

4. f4 : 32 definido por 2x, y,z x y z ,2x z 5. f5 : 4[X]2[X] definido por P 2P 6. f6 : [X][X] definido por P P 1 P

7. f7 : C () C () definido por 2 ff f e Ejercicio 3. En E espacio vectorial proveído de una base = (e1,e2,e3 ) sea f el endomorfismo de E definido por: f(e1) = 2e1-e2+e3 ; f(e2) = e1+e2-2e3 ; f(e3) = e1+e2+e3. Determinar las coordenadas de f(V) para V = xe1+ye2+ze3. Ejercicio 4. Sea f : 32 definido por (x,y,z) (3x+2y,y-z). Determinar la imagen de la base canónica = (e1,e2,e3) de 3 en función de la base canónica ’ = (1,2) de 2. Ejercicio 5. Sea f la aplicación de 3 en 3 definida por:

x' = x - y(x,y,z) f (x,y,z) (x',y',z') con y' = y - z

z' = - x + z



277

a- ¿Es f lineal? b- Determinar una base de Ker(f) e de Im(f). Ejercicio 6. Sea f la aplicación lineal de 4 en 3 definida por :

1 1 2

2 1 2 3

3 1 2 3

4 1 2 3

f (e )f (e ) 2f (e ) 5 2f (e ) 3 2

donde (e ,e ,e ,e1 2 3 4) es la base canónica de 4 (1, 2, 3) es la base canónica de 3. Determinar Ker(f) e Im(f). (Ustedes darán una base y una ecuación de estos espacios). Ejercicio 7. Sea u : 33 definido por (x, y,z) (5x 2y z, 8x 3y 2z,3x y 5z) .

1. Mostrar que la aplicación u es lineal. 2. Mostrar que V={(x,y,z)3/x-5y=0} es un sub-espacio vectorial de 3. 3. Determinar u(V), imagen de V para u y dar una base de este espacio .

Ejercicio 8. Sea T : 2 una aplicación lineal que verifica T(1,1)=3 et T(0,1)=-2.

1. La familia B={(1,1), (0,1)} forma una base de 2 ? 2. Sea t de coordenadas (x, y) en la base B. Exprimir T(t). 3. Dar el núcleo y la imagen de T.

Ejercicio 9. Sea E, F, G tres -espacios vectoriales, fL(E,F) et gL(F,G). Mostrar que :

1. Ker f Ker g f . 2. Im g f Im g Ejercicio 10. Sea E = 3[X] proveído de su base canónica B=(1,X,X2,X3). Tomamos E0 = {P E/ P(0) = 0} y E = {P E/ P(1) = 0}. 1- Sea un real. Mostrar que la aplicación : P P() es una aplicación lineal no nula de E en . Deducir que E0, E1 y E0 E1 son sub-espaciones vectoriales de E. Cuál es la dimensión de E0 ? 2- Sea u : E1[X] definida por u(P) =P(0)X + P(1). 2-1- Mostrar que u es lineal. Determinar el rango de u. u es sobreyectiva ? 2-2- Mostrar que Ker u = E0 E. Aplicar el teorema del rango a u para determinar dim Ker u. Mostrar que Ker u es el conjunto de múltiplos de un polinomio que habrá de determi-nar , luego dar una base de Ker u. 3- Con la ayuda de las dimensiones, mostrar que E = E0 + E1. La suma es directa ? Ejercicio 11. Sean E y F dos espacios vectoriales tales que E tenga una dimensión finita. Sea f de E en F una aplicación lineal. Mostrar las siguientes propiedades: 1-f inyectiva f transforma cualquier base de E en une familia libre de F existe una base B de E que tiene como imagen para f una familia libre de F. 2-f sobreyectiva f transforma cualquier base de E en una familia generatriz de F existe una base B de E que tiene como imagen para f una familia generatriz de F. 3-f biyectiva f transforma cualquier base de E en una base de E' existe una base B de E que tiene como imagen para f una base de F. Ejercicio 12. Sean u, v dos endomorfismos del espacio vectorial E.



278

1- a- Mostar que Ker(u) Ker(v u). b- Mostar que Ker(v u) = Ker(u) [Im(u) Ker(v) = {0E }]. 2- a- Mostar que Im(v u) Im(v). b- Mostar que Im(v u) = Im(v) E = Im(u) + Ker(v). Indicación: para , mostrarán que para todo vector x de E, existe un elemento "y" de E tal que x = u(y) + [x - u(y)] con (x - u(y)) elemento de Ker(v). 3- a- Mostrar que (u u = u) E = Im(u) Ker(u). b- Mostrar que esto es falso cuando se considera la aplicación de 2 en 2 definida en la base canónica (e ,e1 2) de 2 por :

u(e1) = (0,0) ; u(e2 ) = a.e2 donde "a" es un real fijo distinto de 0 y de 1 Ejercicio 13. E es un espacio vectorial de dimensión finita. Sea "u" un proyector de E (es decir un endomorfismo de E tal que u u = u). a- Mostrar que (Id - u) es un proyector. b- Mostrar que Im(Id - u) = Ker(u) y que Ker (Id - u) = Im(u). c- Mostrar que Ker(u) Im(u) = E. d- Sean F y G sub-espacios vectoriales de E tales que F G = E. Definir el único pro-yector "u" tal que F = Ker(u) y que G = Im(u). Ejercicio 14. Se dice que un endomorfismo v es involutivo si v v = Id. Sea "u" un proyector de E. Se considera v = 2u - Id. Mostrar que v es involutivo. Estudiar el recíproco. Dar una interpretación geométrica de este resultado en 3. Ejercicio 15. 1- Sea "p" el endomorfismo del -espacio vectorial 3 definido por :

y z y zp (x,y,z) x,x ,x2 2 2 2

Mostrar que p es una proyección vectorial. Determinar los elementos característicos de p. 2- Sea s el endomorfismo del -espacio vectorial 3 definido por :

1 1s (x,y,z) (5x 2y 4z),y, (4x 4y 5z)3 3

Mostrar que s es una simetría vectorial. Determinar los elementos característicos de s. Ejercicio 16 a- Construir un endomorfismo f de 3 tal que 3 no sea la suma directa de Im(f) y de Ker(f). b- Construir un endomorfismo g de 3 tal que 3 = Ker(g) Im(g) y tal que g no sea un proyector.



279

Algunos ejercicios corregidos Ejercicio 17.

1- Las siguientes aplicaciones de 3 en él mismo son lineales ? Para aquellas que lo son, determinar su núcleo y su imagen. F (x ; y ; z) = (x ; 0 ; z) G (x ; y ; z) = (y + z ; x + z ; x + y) H (x ; y ; z) = (x ; xy ; x + z)

2- Mismas preguntas con las siguientes aplicaciones de 2 en 3 : F (x ; y) = (x + 1 ; y + 1 ; x + y + 2) G (x ; y) = (x ; x – y ; x + y) H (x ; y) = (2x – y ; 6x – 3y ; 4x – 2y)

3- Mismas preguntas con las siguientes aplicaciones de [X] en él mismo: F (P) = P P’ G (P) = X 2 P H (P) = 3 P’’ + 2 P’ + P Corrección: Recordamos que una aplicación lineal f es una aplicación que verifica :

X,Y, E E , f X Y f X f Y Omitiremos algunas veces a continuación los cuantificadores (para no hacer la lectura pesada) 1- F (x ; y ; z) = (x ; 0 ; z)

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

F x , y ,z x , y ,z F x x , y y ,z z x x ,0,z z

x ,0,z x ,0,z F x , y ,z F x , y ,z

Entonces F es una aplicación lineal. Tenemos :

3Ker F x, y,z / F x, y,z 0 x, y,z / x,0,z 0,0,0 0, y,0 Vect 0,1,0

Y ImF={ F x, y,z / x, y,z 3} x,0,z Vect 1,0,0 , 0,0,1 . G (x ; y ; z) = (y + z ; x + z ; x + y)

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2

G x , y ,z x , y , z G x x , y y ,z z

y y z z , x x z z , x x y y

y z , x z , x y y z , x z , x y G x , y ,z G x , y , z

Entonces G es una aplicación lineal.

3Ker G x, y,z / G x, y,z 0 x, y,z / y z, x z, x y 0,0,0

x, y,z / y z, x z, 2x 0 0,0,0

De acuerdo con el teorema del núcleo, tenemos rangG dimImG dimE dimKer G 3 0 3 . Siendo ImG un sub espacio vectorial de 3, deducimos que ImG 3. Podemos así ver que: ImG Vect 0,1,1 , 1,0,1 , 1,1,0 H (x ; y ; z) = (x ; xy ; x + z)



280

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

21 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2

H x , y ,z x , y , z H x x , y y ,z z

x x , x x y y , x x z z

x x , x y x y x y x y , x x z z

1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

Et, H x , y ,z H x , y ,z x , y x ,z x x , y x ,z x

x x , x y x y , x z x z

Entonces H no es una aplicación lineal a priori. Para demostrarlo, basta con dar un contra ejemplo: H 1,1,0 H 1,2,0 1,1,1 1,2,1 2,3,2 2,6,2 H 2,3,0 .

2- F (x ; y) = (x + 1 ; y + 1 ; x + y + 2)

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

F x , y ,z x , y ,z F x x , y y ,z z

x x 1, y y 1, x x y y 2

1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

Or, F x , y ,z F x , y ,z x 1, y 1, x y 2 x 1, y 1, x y 2

x x 1 , y y 1 , x x y y 2 2

Y en particular tenemos: F 0,0,0 1 1,1,1 F 1,1,1 2,2,4 F 0,0,0 F 1,1,1 1,1,2 2,2,4 .

Entonces F no es una aplicación lineal. G (x ; y) = (x ; x – y ; x + y)

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

G x , y ,z x , y , z G x x , y y ,z z

x x , x x y y , x x y y

x , x y , x y x , x y , x y

1 1 1 2 2 2 G x , y , z G x , y , z

Entonces G es una aplicación lineal.

3Tenemos :Ker G x, y / G x, y 0 x, y / x, x y, x y 0,0,0

x, y / x 0, x y, x y

0,0,0

Por otro lado, tenemos ImG={ x, x y, x y /(x,y)2}= Vect 1,1,1 , 0, 1,1 . H (x ; y) = (2x – y ; 6x – 3y ; 4x – 2y)

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

H x , y ,z x , y , z H x x , y y ,z z

2x 2 x y y ,6x 6 x 3y 3 y ,4x 4 x 2y 2 y

2x y ,6x 3y ,4x 2y 2x y ,6x 3y ,4x 2y

H x , y , z H x , y , z

Entonces H es una aplicación lineal.

3Tenemos :Ker H x, y / H x, y 0 x, y / 2x y,6x 3y,4x 2y 0,0,0

x, y / 2x y,6x 3y,4 x 2y x, y / 2x y



281

Ker H es entonces la recta de ecuación 2x y . Por otro lado, tenemos: ImH={ 2x y,6x 3y,4x 2y /(x,y)2}= Vect 2,6,4 , 1, 3, 2 .

Es fácil ver que la familia 2,6,4 , 1, 3, 2 es ligada y así ImH Vect 2,6,4 .

3- 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1F P P P P P P P P P P P P P P P P P P

Particularmente, F X 1 X 1 X , et F X F 1 X 0 X . Entonces F no es una aplicación lineal. G (P) = X²P. 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2G P P X P P X P X P G P G P Entonces G es una aplicación lineal. Tenemos : 2

X X XKer G P / G P 0 P / X P 0 0 .

Por otro lado, tenemos: ImG={X²P/P[X]}=X²[X]. H (P) = 3 P’’ + 2 P’ + P Podemos directamente decir que H es lineal porque sabemos que la derivación es lineal, que la multiplicación por un escalar de una aplicación lineal es lineal y que la suma de aplicacio-nes lineales es lineal. Tenemos: XKer H P / H P 0 P / 3P 2P P 0 .

Para determinar el núcleo de esta aplicación, debemos encontrar las aplicaciones polinomiales soluciones de la ecuación diferencial: 3y 2y y 0 E . Observemos que el polinomio nulo es solución de esta ecuación.

Sea P un polinomio de grado n 0 , tenemos n

kk

k 0P a X

con na 0 .

Así, P verifica (E) si y solamente si :

n n nk 2 k 1 k

k k kk 2 k 1 k 0

n 2 n 1 nk k k

k 2 k 1 kk 0 k 0 k 0n 2

k n 1 nk 2 k 1 k n n 1 n

k 0

3 k k 1 a X 2 ka X a X 0

3 k 2 k 1 a X 2 k 1 a X a X 0

3 k 2 k 1 a 2 k 1 a a X 2na a X a X 0

Por identificación, obtenemos en particular na 0 , lo que contradice nuestra hipótesis. Deducimos que el polinomio nulo es la única solución. Podíamos encontrar este resultado más rápidamente razonando sobre el grado del polinomio 3P 2P P . De hecho, deg 3P 2P P deg P entonces P verifica (E) si y solamente si P=0.

Tenemos entonces Ker H 0 . Por otro lado, tenemos: ImH={ 3P 2P P/ P [X]}. Aquí, podemos intuir que ImH [X]. Vamos a demostrar este resultado.



282

Sabemos que [X] está engendrada por la familia {Xn/n}. Sabiendo además que ImH[X], nos basta con demostrar que todo elemento de la familia {Xn/n} pertenece también a Im H. Sea entonces n. Para mostrar que Xn ImH , hay que mostrar que: P [X], nX 3P 2P P . Supongamos que existe un tal elemento P. Ya que deg 3P 2P P deg P , debemos nece-

sariamente tener ndeg P deg X n , sea n

kk

k 0P a X

con na 0 .

De acuerdo con lo que precede, hemos visto que si P es de esta forma entonces :

n 2

k n 1 nk 2 k 1 k n n 1 n

k 03P 2P P 3 k 2 k 1 a 2 k 1 a a X 2na a X a X

.

Entonces por identificación obtenemos :

n

n n 1

k 2 k 1 k

n

n 1

k k 2 k 1

a 1 2na a 0

3 k 2 k 1 a 2 k 1 a a 0 para k 0,n 2

a 1a 2na 3 k 2 k 1 a 2 k 1 a 0 para k 0,n 2

Los coeficientes del polinomio P están entonces bien definidos de manera única. Recíprocamente, tomando un polinomio P cuyos coeficientes verifican el sistema anterior, obtenemos un polinomio que satisface a n3P 2P P X . Finalmente, concluimos que ImH [X]. Ejercicio 18. Consideramos E el espacio vectorial de funciones de de en de clase C

.

Tomamos: D(f) = f ". Mostar que D es una aplicación lineal de E en E. Precisar Ker (D) y Im (D). Corrección : Antes de nada, observemos que D está definido de E en E ya qua la derivada de una función de clase C

sigue siendo C

.

La linealidad proviene de la linealidad de la derivación y del hecho que la composición de dos funciones lineales sigue siendo lineal. Podemos también verificar la linealidad de D demostrando que : D f g D f D g . Por definición tenemos EKer D f E / D f 0 f / f 0 ={ f / x , f "(x) =0}. Es fácil ver que: KerD=’ f / f a, a }={ f / f x ax b, a,b ²}={ x ax b / a,b ²} Es un espacio vectorial de dimensión 2. Por otro lado, ImD f / f E Sabemos que Im D es un sub espacio vectorial de E. Incluso tenemos ImD E .

De hecho, sea g E . Llamemos x t

0 0f x g u du dt .

Siendo g de clase C, es claro que f está bien definida y pertenece a E.



283

Además, t x

0 0t xf x g u du g u du

y

x

0f x g u du g x , sea f g .

Hemos demostrado ImD E por lo cual ImD E . Ejercicio 19. Sea f la aplicación lineal de 4 en 3 definida por:

1 1

2 1

3 2

4 2

f e

f e

f e

f e

donde 1 2 3 4e ,e ,e ,e designa la base canónica de 4 y 1 2 3, , la base canónica de 3. Determinar una base de Ker f y de Imf Corrección: Sea u x, y,z, t 4 entonces:

1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 2

1 2

f u f xe ye ze te xf e yf e zf e tf e x y z t

x y z t x y,z t,0

Por definición tenemos: Kerf={ x, y,z, t 4/ x, y,zf , t 0 }={ x, y,z, t 4/ x y,z t }. Es un espacio de dimensión 2 e incluso tenemos: Kerf={ x, x,z,z 4}= Vect 1,1,0,0 , 0,0,1,1 .

Por otro lado, Imf={ x y,z t,0 3/ x, y,z, t 4}

Vect 1,0,0 , 1,0,0 , 0,1,0 , 0, 1,0 Vect 1,0,0 , 0,1,0 . Ejercicio 20. Sea E un -espacio vectorial y u y v dos elementos de L(E).

1- Mostrar la equivalencia de las siguientes propiedades: i- u v = u y v u = v ii- u y v son dos proyectores y Ker (u) = Ker (v)

2- Deducir la equivalencia de las siguientes propiedades: i- u v = v y v u = u ii- u y v son dos proyectores e Im (u) = Im (v). Corrección : Mostremos primero: i ii .

u u u v u u v u u v u entonces u es un proyector.

Del mismo modo, v v v u u v u u v u v entonces v es un proyector.

Sea x Ker u entonces v x v u x v u x v 0 0 entonces x Ker v .

Por otro lado, si x Ker v entonces u x u v x u v x u 0 0 entonces x Ker u . Deducimos entonces que Ker u Ker v . Mostremos ahora: ii i . Tenemos: v v x x 0 entonces v x x Ker v Ker u .

Así, u v x x 0 y esto significa que u v v .

Del mismo modo, tenemos u u x x 0 entonces u x x Ker u Ker v .



284

Así, v u x x 0 y esto significa que v u u . Finalmente concluimos que : i ii .

2- Aquí tenemos dos posibilidades : ya sea demostramos el resultado directamente, o sino utilizamos el siguiente resultado visto en un ejercicio en TD : para un proyector u, tene-mos Im (u) = Ker (Id – u). Llamemos u Id u y v Id v .

Tenemos entonces u v Id u Id v Id u v u v u v u v ,

Y del mismo modo, v u Id v u v u v u v u . Deducimos que : u v v v u u u v u v u v .

Reconocemos entonces las hipótesis de la primera pregunta, lo que nos permite deducir que: u v v v u u u v u v u v u,v son dos proyectores Ker u Ker v

Según el ejercicio viste en TD, tenemos Ker u Imu y Ker v Imv , entonces :

u v v v u u u,v son dos proyectores Imu Imv

También hemos visto que si u es proyector entonces Id u lo es también, es fácil verificar que se trata de una equivalencia: u u u Id u Id u Id u . Finalmente concluimos que :

u v v v u u Id u, Id v son dos proyectores Im u Im v

u, v son dos proyectores Im u Im v

Observación: En este ejercicio, la demostración directa es más rápida que la solución propuesta. Sin embar-go, es interesante ver las relaciones que podemos encontrar entre propiedades diferentes, so-bretodo en el caso donde las demostraciones directas son complicadas. Ejercicio 21. Sea E un espacio vectorial y f L(E) tal que : x E x,f x está ligada.

Mostrar que si f no es nula, *, x E, f x x (Decimos que f es una homotecia). Corrección: Supongamos que f no es nula, entonces esto significa que: 0x E / 0f x 0 .

En particular, 0x es no nulo también porque f es una aplicación lineal E Ef 0 0 .

Esto significa entonces que existe 0 * tal que 0 0 0f x x . Consideremos entonces y E , tenemos dos posibilidades:

- La familia 0x , y está ligada: En ese caso, / 0y x Entonces por linealidad, tenemos: 0 0 0 0f y f x x y .

- La familia 0 ,x y es libre:

Por hipótesis, 0f x y y 0x y están ligados, lo que quiere decir que existe 1 tal que :



285

0 1 0 1 0 1f x y x y x y

Como, por linealidad, tenemos: 0 0 0 0f x y f x f y x f y .

Utilizando una vez más la hipótesis hecha para f, sabemos que f y e y están ligados, lo que

quiere decir que existe 2 tal que : 2f y y .

Tenemos entonces: 0 0 0 2f x y x y . Combinando estas dos relaciones, obtenemos :

1 0 1 0 0 2 0 1 0 2 1x y x y x y 0

La familia 0 ,x y siendo libre, implica que : 0 1 0 1

2 1 2 1

00

.

Deducimos entonces que : 0f y y . Finalmente, en cualquier caso, vemos que : 0f y y , lo que significa que f es una homote-cia de razón 0 . Concluimos que f es sea nula, sea una homotecia.



286


Matrices

287

Sylvester

Capítulo 17

MATRICES


Paralelamente a los trabajos de Grassmann, Cayley despejó la noción de espacio vectorial de dimensión n, introdujo, junto a Sylvester James Joseph (inglés, 1814-1897), la noción de matriz (el término será introducido por este último en 1850) y expuso la utilidad haciendo uso de los determinante (de los cuales el iniciador fue Cauchy) en una teoría más ancha dicha de los

invariantes (1858) : entendemos por aquí las propiedades

matriciales invariantes por transformación lineal como, por ejemplo, el determínate, el trazado (suma de los elementos

diagonales).

1- Matrices Definición : Sea igual a o . Una matriz M de tipo (n,p) con coeficientes en es un arreglo de np elementos de de tipo:

M=

11 12 1p

21 22 2p

n1 n2 np

a a aa a a

a a a

=(ai,j)i,j

Notación: Mn,p() designa al conjunto de las matrices de tipo (n, p) con coeficientes en . Observación: El coeficiente ai,j se escribe también i

ja . Casos particulares:

- Matrices cuadradas Mn() - Matrices diagonales: D=(ai,j)i=1 a n y j=1 a n es diagonal si y sólo si para toda "i" y "j"

de 1 hasta n, i distinto de j, aij=0. - Matriz identidad o unidad.

Suponemos: i,j=1 para i=j, 0 si i j.


Matrices

288

In es la matriz de Mn() de termino general i,j es decir que todos los coeficientes son nulos salivo aquellos de la diagonal que vale 1. 2- Estudio de Mn,p()

1- Igualdad de dos matrices

2- Adición de dos matrices

(Mn,p(),+) es un grupo conmutativo.

3- Multiplicación de una matriz por un escalar

(Mn,p(),+,.) es un -espacio vectorial.

4- Base y dimensión de Mn,p()

Dim(Mn,p())=np.

3- Matrices simétricas et antisimétricas Definición: Sea A=(ai,j)i,j un elemento de Mn,p(). La transpuesta de A, que se escribe tA es la matriz B=(bj,i)j,i definida por bi,j=aj,i. Observación: De acuerdo con la notación anterior, B es elemento de Mp,n().

Ejemplo : A=1 2 34 5 6

, tA=1 42 53 6

.

Propiedades: Sean A y B dos elementos de Mn,p() y sea k un elemento de .

t(A+B)=tA + tB et t(kA)=ktA En el resto de este párrafo trabajamos en Mn(). Definición: Una matriz A de Mn() se dice que es simétrica si por definición tA=A. Se dice que es antisimétrica si por definición tA=-A. Notaciones: El conjunto de las matrices simétricas de Mn() se escribe Sn(). El conjunto de las matrices antisimétricas de Mn()se escribe An(). Propiedad: Sn()An()=Mn().


Matrices

289

4- Producto matricial Definición: Sean A un elemento de Mm,n() y B un elemento de Mn,p(). El producto A.B es la matriz C elemento de Mn,p() definida por:

i 1 à m, j 1 à p , ci,j=n

i,k k, jk 1

a b

Observación: En resume, decimos que el producto entre dos matrices se realizan “línea por columna”

ème

1, j

qj

nème

i,1 i,n i,k k, jk 1

j columna de B

b

b

i línea de A a a a b

Propiedades: - Distributividad: 1A Mn,p(), 2A Mn,p(), B Mp,q(), (A1+A2).B=A1.B+A2.B. A Mn,p(), 1B Mp,q(), 2B Mp,q(), A.(B1+B2)=A.B1+A.B2. - Asociatividad: A Mm,n(), B Mn,p(), C Mp,q(), (A.B).C=A.(B.C). - Transposición: A Mn,p(), B Mp,q(), t(A.B)=tB.tA

- No integridad : 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0

.

- No conmutatividad - Producto y potencia : Si AMn(), definimos A0 = In y para n, An+1 = A(An) = (An)A. La asociatividad de la multiplicación en Mn() hace que:

Para todos naturales p y q; Ap+q = ApAq y (Ap)q = Apq Si AMn() y BMn(), verificando AB = BA, entonces (AB)p = ApBp y

(A + B)p = p

k k p kp

k 0C A B

= p

k k p kp

k 0C B A

= p

k p k

k 0

pA B

k

= p

k p k

k 0

pB A

k

Formula del binomio de Newton

5- Estudio de Mn() Teorema: (Mn(),+,.) es un anillo unitario. Definición: A elemento de Mn() es inversible si por definición existe B elemento de


Matrices

290

Mn() tal que A.B=B.A=In donde In designa la matriz unitaria de Mn(). En este caso se escribe B=A-1.

Observación : Si A.B=In, entonces B.A=In. Y entonces B=A-1. Al mismo tiempo, si B.A=In, entonces A.B=In. Y entonces B=A-1.


Matrices

291


Ejercicio 1. Determinar las matrices A y B de 2() que verifican:

2A –B =

1231 y A+B =

5262

Ejercicio 2. Verificar la asociatividad del producto matricial calculando A(BC) y (AB)C para :

A =

130121 , B =

211203101

, C =

211010320211

Ejercicio 3. Sea la matriz A =

6521 . Demostrar que A2-5A +4I = 0.

Deducir que A 1 5A I4 4

= I, y luego la matriz A-1.

Ejercicio 4. Sea a un real y n es un número natural. Calcular A2, A3 y luego por recurrencia

An para A =

)a(ch)a(sh)a(sh)a(ch .

Ejercicio 5. Para la matriz A =

011101110

, probar que A2= A +2I y luego por recurrencia

que : n , An= anA+bnI

Dar las relaciones que unen an+1 y bn+1 a an y bn. Ejercicio 6. Verificar la fórmula de la transportación de un producto de 2 matrices A y B en

las matrices : A =

132201 , B =

321210101

.

Ejercicio 7. Calcular A tA para la matriz A =

23030121 .

Demostrar que para una matriz A cualquiera, el producto A tA es una matriz simétrica.


Matrices

292


Ejercicio 1. A =

23/431 y B =

33/231 .

Ejercicio 3. An=

)na(ch)na(sh)na(sh)na(ch .


Matrices

293

EJERCICIOS Ejercicio 1. Sea E el conjunto de matrices cuadradas de orden tres con coeficientes reales de la forma :

M(a;b;c) =a b c3c a - 3c b3b -3b + 3c a - 3c

Siendo a, b y c reales. a- Encontrar tres matrices I, J, K de E, independientes de a, b, c tales que toda matriz de E se escriba bajo la forma M(a;b;c) = aI + bJ + cK. b- Mostrar que E proviene de la adición de matrices y de la multiplicación por un escalar es un sub-espacio vectorial de M3(). Cuál es su dimensión? c- Calcular J², J.K, K.J, K². Ejercicio 2. Calcular los productos A.B y B.A cuando se tienen los casos siguientes: a- A = (1 2 –1 3) y B = t(-1 0 2 1)

b- A =

1 2 1 0 0 01 1 0 0 0 00 0 0 1 -1 50 0 0 2 -2 -10 0 0 1 -3 4

; B =

-1 1 0 02 1 0 03 5 0 00 0 2 -40 0 5 -20 0 1 1

Ejercicio 3.Sea. 1 0 2

A 0 1 11 2 0

.

Calcular A3-A. Deducir que A es invertible y determinar su inversa.

Ejercicio 4. Sea

1 1 1 11 1 1 1

B1 1 1 11 1 1 1

. Calcular B2. Deducir que B es invertible y

determinar su inversa.


Matrices

294

Ejercicio 5. Sea A la matriz de M3() definida por :

A =1 1 10 1 10 0 1

Se plantea B = A - I 3. a- Calcular Bn para cualquier entero natural n. b- Deducir A n para cualquier entero natural n. Ejercicio 6. Sea M la matriz de M4() definida por :

M =

1 a b c0 1 d e0 0 1 f0 0 0 1

Se plantea N = M – I4. a- Calcular Nn para cualquier entero natural n. b- Deducir Mn para cualquier entero natural n. Ejercicio 7. Sea A la matriz de M2() definida por :

A =5 -44 -3

Calcular A100 . Ejercicio 8. Consideramos las matrices M(a,b) y A siguientes :

M(a,b)=a b bb a bb b a

y A=0 1 11 0 11 1 0

donde a y b son dos reales

1. Mostrar que A es invertible y calcular su inversa. (podríamos calcular A²-A) 2. Sea E el conjunto de matrices de la forma M(a,b).

Mostrar que E es un sub-espacio vectorial de M3() donde daríamos una base. 3. Mostrar que el producto de dos elementos de E están todavía en E. 4. Determinar todas las matrices M de E tales que:

a) M 2 = M b) M 2 = I c) M 2 = 0


Matrices

295


Ejercicio 9. Sea la matriz 1 2 6

A 3 2 92 0 3

.

1- Calcular A² y A3. 2- Deducir las potencias sucesivas de A. 3- A es invertible?

Corrección: 1- Tenemos 2

5 6 6A 9 10 9

4 4 3

y 3

1 2 6A 3 2 9

2 0 3

.

Observamos que : 3A A . 2- Sea n un entero natural. De acuerdo con lo anterior, para n 3 , tenemos:

n n 3 3 n 2A A A A Mediante una recurrencia inmediata, vemos que: n n 2pA A para n 2p 1 . Distinguimos dos casos:

- n par : En este caso, existe p tal que n 2p 2 y así tenemos: n n 2p 2A A A .

- n impar : En este caso, existe p tal que n 2p 1 y así tenemos: n n 2pA A A .

3- De acuerdo con la pregunta 1, tenemos: 3A A lo que quiere decir: 2A A I 0 . Supongamos entonces que A es invertible, esto significa que existe una matriz B tal que: AB BA I . Multiplicando en la izquierda la relación anterior por B, obtenemos:

2 2 2BA A I 0 A I 0 A I Como esto es absurdo, Concluimos que A no es invertible.

Ejercicio 10. 1- Sea3 2

A1 1

. Mostrar que: A2 – 4A + I2 = 0.

Deducir que A es invertible y calcular su inverso.

2- Más generalmente, sea a b

Ac d

M2(). Mostrar que :

A2 – (a + d)A + (ad – bc)I2 = 0 Deducir una condición necesaria y suficiente para que A sea invertible y una expresión de A-1 en ese caso. Corrección : 1-

22

11 8 3 2 1 0 11 12 1 8 8 0 0 0A 4A I 4

4 3 1 1 0 1 4 4 0 3 4 1 0 0

.

Con lo que precede tenemos: 2 2

2 2 2 2 2A 4A I 0 A 4A I A A 4I A 4I A I .


Matrices

296

Esto permite de concluir que A es invertible y que su inverso es 2A 4I .

2- Tenemos: 2

22

a bc ab cdA

ac bd d bc

entonces:

22

2 2

2

2

a b 1 0a bc ab cdA a d A ad bc I a d ad bc

c d 0 1ac bd d bc

0 0a bc a a d ad bc ab bd b a d0 0ac cd c a d d bc d a d ad bc

Obtenemos el resultado. Con lo que precede tenemos:

2 22 2 2 2A a d A ad bc I 0 A a d A ad bc I A A a d I ad bc I

Supongamos que ad bc 0 entonces, con la relación anterior, deducimos que A es

invertible y su inverso es 21 A a d I

ad bc

.

Recíprocamente, supongamos que A es invertible. Esto significa que existe B tal que AB I BA .

Así tenemos: 2 2BA A a d I ad bc B A a d I ad bc B .

Supongamos ahora que ad bc 0 , esto implica que : 2

a d 0A a d I

0 a d

.

Por identificación obtenemos:

a d a a 0b 0 b 0c 0 c 0a d d d 0

sea 0 0

A0 0

.

Como A siendo invertible, esto es absurdo (la matriz nula no es invertible). Entonces ad bc 0 . Finalmente, concluimos que A es invertible si y solamente si ad bc 0 .


Matrices y aplicaciones lineales

297

Capítulo 18

MATRICES Y APLICACIONES LINEALES

1- Matrices y vectores Definición: un - espacio vectorial de dimensión “n” elemento de *.

Sea B= (e1,…,en) una base de E. Sea “u” un vector de E

Existe un n-uplet único (x1...,xn) de n tal que u =n

i ii 1

x e

.

Se plantea X=1

n

x

x

Mn,1(). X=mat(u,B).

Observación: no confundir matriz y componente de un vector. Propiedad: Existe un isomorfismo entre E y Mn,1(). 2- Matrices y aplicaciones lineales Definición: Sea E un - espacio vectorial de dimensión “n” elemento de * y sea B1 = (f1,…,fp) una base de E. Sea F un - espacio vectorial de dimensión p elemento de * y sea B2 = (f1...,fp) una base de F. Sea una aplicación lineal de E en F.

Demos (ej)=p

ij ii 1

a f

para j=1 à n.

Pongamos M=(ai,j)i=1 a p y j=1 a n=11 1j 1n

p1 pj pn

a a a

a a a

Mp,n().

M=mat(,B1,B2).



298

Observe que M =

1 j n

11 1j 1n 1

p1 pj pn p

(e ) (e ) (e )

a a a f

a a a f

Teorema: Sea E un - espacio vectorial de dimensión “n” elemento de * y sea B1=(e1,…,en) una base fija de E. Sea F un - espacio vectorial de dimensión “p” elemento de * y sea B2=(f1,…,fp) una base fija de F. La aplicación T de L(E,F) en Mp,n() que a un elemento de L(E,F) asocia el elemento

M=mat(,B1,B2) de Mp,n() es un isomorfismo. Consecuencia: Dim L(E,F)=Dim Mp,n()=pn=DimE.DimF Ejemplo: Sea la aplicación lineal de 3 en 2 definida por

(x,y,z) (x,y,z)=(a,b) con a x yb x y z

.

Sean B1 la base canónica de 3 y B2 la base canónica de 2. Determinar M1=mat(,B1,B2). Sean u= (1,1,0), v= (1, -1, 0) y w= (0,1,1). B1’=(u, v, w) es una base de 3. Sean e1=(1,1) y e2=(1,-1). B2’=(e1,e2) es una base de 2. Determinar M2=mat(,B1’,B2’). 3 - Imagen de un vector dada por una aplicación lineal Sea E un - espacio vectorial de dimensión “n” elemento de * y sea B1=(e1,…,en) una base de E. Sea F un - espacio vectorial de dimensión “p” elemento de * y sea B2=(f1,…,fp) una base de F. Sea una aplicación lineal de E en F de matriz M=mat(,B1,B2).

Sea «u» un vector de E; u=n

j jj 1

x e

y sea X= mat(u,B1) =1

n

x

x

Mn,1().

Pongamos v=(u). v es un elemento de F. v=p

i ii 1

y f

y sea Y=1

p

y

y

Mp,1(). Y=mat(v,B2).

Entonces Y=MX

Ejemplo: Con los datos del ejemplo del apartado anterior, calcular en la base B2’ las coordenadas de la imagen dada por del vector “x” con coordenadas (1,2,3) en B1’.



299

4- Composición de aplicaciones lineales Sea E un -espacio vectorial de dimensión «n» elemento de * y sea B1=(e1,…,en) una base de E. Sea F un -espacio vectorial de dimensión «p» elemento de * y sea B2=(f1,…,fp) una base de F. Sea G un -espacio vectorial de dimensión «q» elemento de * y sea B3=(g1,…,gq) una base de G. Sean 1L(E,F), 2L(F,G), 3=2 1L(E,G).

1 2

E F G

Sean M1=mat(1,B1,B2), M2=mat(2,B2,B3), M3=mat(3,B1,B3). Entonces,

M3=M2.M1 5- Formulas de cambio de bases Notación: M(f,B1,B2) o

1 2,MB B es la matriz de la aplicación lineal f de E cuya base es B1

en F cuya base es B2. 1- Para las coordenadas de un vector. Sea E un espacio vectorial de dimensión finita cuyas bases son B y B ’. Sea P la matriz en cuya iésima columna está formada con las coordenadas de a’i en la base B. P se conoce como la matriz de paso de B (Antigua base) hacia B ’ (nueva base). Se tiene entonces que P=M(idE,B ’,B) y P-1=M(idE,B,B ’) donde las columnas de P-1 están hechas con las coordenadas de las ai en B ’. Sea «u» un elemento de E, X la matriz columna con coordenadas de “u” en B (X=mat(u,B)) y X' la matriz columna con las coordenadas de “u” en B ’ (X’=mat(u,B ’)). Se tiene entonces que

X’=P-1X et X=PX’ 2- Para la matriz de una aplicación lineal: Sea E un espacio vectorial provisto con dos bases B1 y B1 ’. Sea F un espacio vectorial provisto con dos bases B2 y B2 ’. Sea f una aplicación lineal de E hacia F. Se plantea A=M(f,B1,B2) y A'=M(f,B1 ’,B2 ’). Sea P la matriz de paso de B1 hacia B1 ’. Sea Q la matriz de paso de B2 hacia B2 ’. Se tiene entonces

A’=Q-1AP y A=QA’P-1



300

Y se dice que A y A’ son equivalentes. Caso particular E=F, B1=B2, B1 ’=B2 ’ y «f» endomorfismo de E. A=M(f,B1,B1), A’=M(f,B1 ’,B1 ’) y P matriz de paso de B1hacia B1 ’. Se tiene entonces que

A’=P-1AP y A=PA’P-1 Y se dice que A y A’ son similares Ejemplos:

1- Sea f la aplicación lineal de 3 en 2 definida por f(x, y, z)=(a, b) y a x y zb x y z

Sean B1=(i,j,k) la base canónica de 3 y B2=(e1,e2) la base canónica de 2.

Sean i’, j’ y k’ definidas por i ' 2i jj' i jk ' i k

y e1’, e2’ definidas por 1 1 2

2 1 2

e ' e ee ' e e

.

Pongamos B1’=(i’,j’,k’) y B2’=(e1’,e2’). B1’ es una base de 3 y B2’ es una base de 2. a- Determinar M=mat(f,B1,B2). b- Determinar M’=mat(f,B1’,B2’).

2- Sea E=3 proveído de su base canónica B=(i, j, k).

Se considera P definido por x+y+z=0 y D definida por x y 0

2x y z 0

.

Sea p la proyección en P en paralelo a D. Determinar M=mat(p,B).



301


Ejercicio 1. Sea E espacio vectorial de dimensión 3 munida de una base = (e1, e2, e3) y sea ’=(e’1,e’2,e’3) con e’1 = e1, e’2=e1+e2, e’3= e1+e2+e3.

1- Demostrar que ’ es una base de E y escribir P la matriz de pasaje de à ’. 2- Determinar P-1 buscando una matriz Q = (bij) tal que PQ = I. 3- Determinar P-1 calculando e1, e2, e3 en función de e’1,e’2,e’3 y escribiendo que P-1 es

la matriz de pasaje de ’ a .



302


Ejercicio 1. P-1=1 1 00 1 10 0 1

.



303

EJERCICIOS Ejercicio 1. Sean f y g dos aplicaciones lineales definidas por:

2 3

fx, y x y, x y,2x

y

3 2

gx, y,z 2y z, x y z

1- Determinar la matriz B CMat (f ) en cada uno de los casos siguientes: (a) B y C on las bases canónicas respectivas de 2 et 3. (b) B ((11) (1 1)) y C es la base canónica de 3. (c) B ((11) (1 1)) y C ((111) (0 11) (0 0 1)) .

2- Determinar la expresión de de f g con la ayuda de sus expresiones, y encontrar este resultado con la ayuda de sus matrices. 3- Misma cuestión para g f .

Ejercicio 2. Consideramos las funciones 1f y 2f definidas por:

x 2x1f (x) e y 2x

2f (x) xe Sea E={f1+f2, (,)2}.

1- Mostrar que E es un espacio vectorial real de base 1 2B (f f ) . 2- Sea la aplicación definida por (f ) f . Mostrar que es un endomorfismo de E, y determinar su matriz M en la base B 3- Escribiendo 2M 2I N , calcular nM para todo n.

4- Deducir la derivada enésima la función: 2xfx (3x 1)e

Ejercicio 3. Sea f el endomorfismo de 2 donde la matriz en la base canónica es:

17 45F

6 16

Suponemos g=f-2Id y h=f+Id. 1. Determinar la matrices asociadas a los endomorfismos g y h. 2. Determinar el núcleo de g y el de h. Determinaremos una base de cada uno de estos

espacios. 3. Con la ayuda de la pregunta precedente, determinar dos vectores v1 y v2 (no nulos) tales

que: 1 1f v 2v y 2 2f v v .

4. Demostrar que la familia 1 2v , v es una base de 2 y determinar la matriz de pasaje P de la base canónica a esta nueva base.

5. Calcular P-1 después P-1FP. Que representa este producto?



304

Ejercicio 4. B 1 2 3e ,e ,e designa la base canónica de 3.

Sea f el endomorfismo de 3 donde la matriz en la base B es 3 1 1

A 2 0 11 1 2

.

Sea B ’ 1 2 3, , con 1 2 30,1,1 , 1,1,0 , 1,1,1 . 1. Mostrar que B ’ es una base de 3. 2. Expresar f(1) et f(2) en la base B ’ y verificar que 3 2 3f 2 . 3. Deducir la matriz en esta nueva base.

Ejercicio 5. Sea f el endomorfismo de 3 donde la matriz en la base canónica es:

5 8 7F 2 3 2

2 4 4

Suponemos g=f+Id, h=f+2Id y k=f-Id. 1. Determinar las matrices asociadas a los endomorfismos g, h y k. 2. Determinar los núcleos de g, h y k. 3. Con la ayuda de la pregunta precedente, determinar tres vectores v1, v2 y v3 (no nulos)

tales que : f(v1)=-v1, f(v2)=-2v2 y f(v3)=v3

4. Demostrar que (v1, v2, v3) es una base de 3 y determinar la matriz F’ de f en esta base. Que puede constatar?

Ejercicio 6. E es un espacio vectorial de dimensión n.

1- Definimos la traza de una matriz M cuadrada de orden n (notada Tr(M)) como la suma de los términos diagonales de esta matriz. Si A y B son dos matrices cuadradas de orden n , admitimos que Tr(AB) = Tr(BA). Mostrar que las trazas de las matrices de un endomorfismo f con relación a las diversas bases de E son iguales. Definimos así la traza del endomorfismo f.

2- Sea f un proyector de (E). Si 1 y 2 son respectivamente las bases de Im(f) y Ker(f), justificar que =12 es una base de E. Dar la matriz asociada a f en esta base. Mostrar que la traza de f es igual al rango de f. Ejercicio 7. E es el -espacio vectorial de los polinomios con un grado máximo de 5 y del polinomio nulo. 1- Sea f la aplicación definida en E por :

Para todo P(X) elemento de E , f(P(X)) = P(X+1) + P(X-1) - 2P(X) 1-1- Mostrar que f es un endomorfismo de E. 1-2- Escribir la matriz de f en la base canónica de E. 1-3- Determinar Im(f), rg(f), Ker(f). 2- Sea F = {P(X) E / P(0) = P'(0) = 0}. 2-1- Mostrar que F es un subespacio vectorial de E. Encuentre una base de F. 2-2- Se escribe g la restricción de f a F, es decir g: F E ; P(X) f(P(X)). Determinar Im(g), rg(g), Ker(g). Ejercicio 8. Se coloca en el -espacio vectorial 4[X]. a- Mostrar que para todo P elemento de 4[X], P(1+X)-P(1-X) es divisible por X.



305

b- Se considera la aplicación P(1 X) P(1 X) : P (P)2X

. Mostrar que es un

endomorfismo de 4[X]. c- Determinar la matriz de en la base 2 3 41,X,X ,X ,X . d- Determinar una base de Ker(),así como una base de Im(). Ejercicio 9. En el -espacio vectorial 4[X], se consideran las aplicaciones siguientes:

(P(X))=P(X+1) y (P(X))=P(X-1) a- Mostrar que y son unos automorfismos de 4[X].

b- Determinar la matriz M de

2 en la base ( 2 3 41,X,X ,X ,X ).

c- Mostrar que M puede invertirse. Deducir que: Q 4[X], !P 4[X], P(X+1) + P(X-1) = 2Q(X)

d- Sea Pn el único polinomio de 4[X] tal que P (X +1) + P (X -1) = 2Xn nn. Mostrar

que para n elemento de {0;1;2;3;4}, P nPn n' 1. e- Determinar Pn para n elemento de {0,1,2,3,4} y deduzca en M1. Ejercicio 10. El espacio vectorial n[X] está provisto con su base canónica B igual a

k{X /0 k n} . Para k incluido entre 0 y n, escribamos E k el polinomio: E k (X) = C X .(1 X)n

k k n k a- Mostrar que el conjunto de los E k es una base B’ de n[X]. b- Escribir la matriz de paso P de B hacia B’ y aclarar P -1. Ejercicio 11. Se considera el espacio vectorial 3 referido con respecto a su base ortonormal canónica B=(i, j, k).

1- ¿Cuál es la aplicación lineal cuya matriz en relación a B es A =-1 0 00 1 00 0 1

?

2- Sea P el plano de ecuación "x - y + z = 0". Sea s la simetría ortogonal en relación con P. Determinar una base B' de 3 tal que s admite A como matriz en B'. 3- a- Determinar la matriz de s en B. b- Determinar la matriz mat(s,B’,B).



306

Problema recapitulativo

Sea E un -espacio vectorial de dimensión 3. Se escribe id el endomorfismo identidad de E y 0 el endomorfismo nulo. 1- f es un endomorfismo de E, a y b dos reales distintos. Se escribe g = f - a.id, h = f - b.id, F = Ker(g), G = Ker(g g), H = Ker(h). 1- 1- Mostrar que G H = {0E }. (Se utilizará g = f - a.id y h = f - b.id) 1- 2- Se supone que g g h = 0 y g h 0. Mostrar que F G y que la inclusión es estricta. 1- 3- Se supone además que F {0E } y H {0E }. Utilizando las dimensiones de F, G, H, mostrar que G y H son complementarios en E y precisar las dimensiones de F, G y H. 1- 4- Sea v un vector de G que no pertenece a F; mostrar que “g(v)” y “v” son linealmente independientes y constituyen una base de G. 1- 5- Siendo u un vector que no es nulo de H, mostrar que (g(v),v,u) es una base de E. Escribir la matriz M de f en esta base. (Se utilizará f = g + a.id y f = h + b.id). 2- Se supone ahora que con respecto a una base B dada de E, el endomorfismo f tiene como matriz:

A =8 -1 -5-2 3 14 -1 -1

2- 1- Calcular los productos matriciales : (A - 4I).(A - 2I) y (A - 4I)².(A - 2I)

y deducir los dos números reales « a » y « b » para los cuales se comprueban las hipótesis de la pregunta 1-2-. 2-2- Determinar un vector de base de F con primera coordenada 1 en la base B. Determinar un vector v de G que no pertenece a F, cuyas dos primeras coordenadas sean 1 en la base B. Determinar un vector de base, u, de H, con primera coordenada 1 en B. Escribir la matriz M de f en la base B'= (g(v),v, u). 2- 3- Siendo P la matriz de paso de B a B', calcular P, P -1, M n para n entero natural que no es nulo. Expresar A n en función de las matrices anteriores ; el calculo explícito no se pide.



307

Algunos ejercicios corregidos Ejercicio 12. Consideramos el espacio vectorial E = 3[X] y la aplicación f definida por f(P)=P'–P.

1- Mostrar que f es un endomorfismo de E. 2- Determinar Ker f e Im f. 3- Cuál es la matriz M de f en la base canónica de E ? 4- Demostrar que M es invertible.

Corrección: 1- f es una aplicación lineal por linealidad de la derivada y de la suma. Por otro lado, tenemos deg(P ) deg(P) y deg A B max deg(A),deg(B) entonces

deducimos que deg f P deg(P) 3 y entonces que f P E . Concluimos entonces que f es un endomorfismo de E.

2- Por definición tenemos: Ker f P E / f P 0 . Sea entonces P Ker f y supongamos que P 0 . Tenemos deg f P deg(P) 0 , pero como f P 0 , esto es absurdo, entonces P=0.

Concluimos que K er f 0 . Por otro lado, de acuerdo con el teorema del rango, tenemos : dimE rgf dimKer f , entonces, con lo anterior, esto implica que dimE rgf , y así que Imf E . También hubiéramos podido utilizar el razonamiento siguiente : como K er f 0 , f es inyectiva. f siendo un endomorfismo inyectivo, deducimos que f es biyectiva y entonces Imf E .

3- La base canónica de E es 2 31,X,X ,X , y la matriz M de f en esta base se obtiene escribiendo las imágenes de los elementos de la base en línea y los de la base en columnas:

2 3

2

3

f 1 f X f X f X

1 1 0 0 10 1 2 0 X

M0 0 1 3 X0 0 0 1 X

4- Para demostrar que M es invertible, podríamos verificar, resolviendo un sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, que existe una matriz N tal que MN I . No obstante, podemos simplemente observar que f es una biyección (ver pregunta 2-) f siendo biyectiva, es invertible y entonces la matriz M asociada a f es también invertible. Ejercicio 13. Sea E un -espacio vectorial de dimensión 3 y B = (e1 ; e2 ; e3) una base de E.

Sea f el endomorfismo de E cuya matriz en la base B es M =

1 –1 2

–2 1 –3–1 1 –2

.

1- Determinar una base de Ker f y de Im f. 2- Anotamos u = e1 + e2. Mostrar que B ’ = (u ; f(u) ; f 2(u)) es una base de E. 4- Cuál es la matriz T de f en esta base ? 5- Calcular T 2 y T 3. Deducir M n para todo entero natural n no nulo.

Corrección : Por definición tenemos:



308

x 0 x y 2z 0 x y 2z 0

x y 2z 0X y K er f MX 0 2x y 3z 0 2x y 3z 0

2x y 3z 0z 0 x y 2z 0 x y 2z 0

x y 2z x y 2z

2y 4z y 3z 0 y z

x zy z

Anotemos v=-e1+e2+e3. Deducimos entonces que Ker f Vect v , es un espacio vectorial de dimensión 1. Por otro lado, tenemos por definición:

1 2 3

x ' x y 2zImf x 'e y 'e z 'e / y ' 2x y 3z

z ' x y 2z

. Anotemos w1=e1-2e2-e3 et w2=2e1-3e2-2e3.

Entonces, Imf=Vect({w1,w2}). Es un sub-espacio vectorial de dimensión 2 cuya base es (w1,w2). Hubiésemos podido también utilizar los ceros escalonados… 2- f siendo una aplicación lineal , tenemos: 1 2 1 2f u f e e f e f e .

Conociendo la matriz de f en la base B, tenemos: 2f u e .

Deducimos entonces que 22 2 1 2 3f u f f u f e f e e e e .

Para mostrar que B’ es una base de E, basta con mostrar que es una familia libre. Sean entonces 1 2 3λ , λ , λ tales que 2

2u f u f u 0 .

22 1 2 2 2 1 2 3

3 1 2 3

u f u f u 0 e e e e e e 0

e e e 0

Por libertad de la familia 1 2 3e , e , e , deducimos:

3 0 00 0

00

Entonces la familia B’ es libre, y es una base de E. 3- Para expresar la matriz T de f en esta base, hay que calcular 3f u :

3 21 2 3f u f f u f e e e 0 .

Concluimos entonces que :

2 3

2

f u f u f u

uf uf u

0 0 0

T 1 0 00 1 0

4- Tenemos 2

0 0 0T 0 0 0

1 0 0

, y 3

0 0 0T 0 0 0

0 0 0

.



309

B’ y B siendo dos bases de E, sabemos que existe una matriz invertible que permite de pasar de una base a otra. Llamemos P la matriz de pasaje de la base B a la base B’ :

2

1

2

3

u f u f u

1 0 1 eP 1 1 1 e

0 0 1 e

Tenemos entonces 1M PTP . Es fácil ver por recurrencia inmediata que : n n 1M PT P . Para calcular nM , entonces basta con calcular nT . De acuerdo con lo que precede tenemos nT 0 para n 3 , de por lo cual nM 0 para n 3 .

Sólo queda calcular M²que vale 1 0 11 0 11 0 1

.

Observemos que aquí no era necesario determinar explícitamente la matriz P. Ejercicio 14. Sea f la aplicación lineal de 2 en 3 definida por f(x ; y) = (x ; x + y ; x).

1- Determinar la matriz de f relativamente a las bases canónicas B1 y B2 de 2 y 3 respectivamente.

2- Sea B'1 = ((2 , 3) ; (-1 , 7) ). Mostrar que B'1 es una base de 2, luego escribir la matriz de pasaje P de B1 a B'1.

3- Sea B'2 = ( (2 , 0 , 1) ; (1 , 1 , 1) ; (2 , 1 , 0) ). Mostrar que B'2 es una base de 3, luego escribir la matriz de pasaje Q de B2 a B'2.

3- Calcular Q-1. Deducir la matriz N de f relativamente a las bases B'1 y B'2. Corrección : La base canónica 1B de ² es ((1,0), (0,1)), y tenemos:

f 1,0 1,1,1 y f 0,1 0,1,0 Deducimos entonces que la matriz de f relativamente a las bases 1 2B y B es :

1 2

1

2

3

f e f e

1 0 eM 1 1 e

1 0 e

2- Sea B'1 = ( (2 ; 3) ; (-1 ; 7) ). Para mostrar que 1B es una base de ², basta con mostrar que la familia es libre. Sean entonces dos reales tales que : 2,3 1,7 0 .

2 2 0

2,3 1,7 01

Deducimos entonces que la familia es libre, y entonces que es una base de ². P es la matriz de pasaje de la base B1 a B'1 ; tenemos:

2 1P

3 7

3- Del mismo modo que antes, para mostrar que tenemos una base basta con mostrar que la familia es libre.



310

Sean entonces λ, μ, ν tres reales tales que : 2,0,1 1,1,1 2 0 0 .

2 2 3 02,0,1 1,1,1 2 0 0

Deducimos entonces que la familia es libre, y entonces que es una base de 3. Q es la matriz de pasaje de B2 a B'2 ; tenemos:

2 1 2Q 0 1 1

1 1 0

4- Para calcular 1Q , hay que escribir Y=QX y expresar X en función de Y, lo que quiere decir que debemos resolver el siguiente sistema con incógnita X :

1 1 1 2 3 1 1 2 3 1

2 2 2 3 2 2 3 2

3 3 1 2 3 1 2 3

3 2 2 2 2 1 2 1 2

3 2 2

1 3 2

2 1 2 x y 2x x 2x y 2x x 2x yQX Y 0 1 1 x y x x y x x y

1 1 0 x y x x y x x y

2 y x x 2 y x y 3x y 2y 2x y xx y x

2 1 2 3

3

3 2 2 3 1 2 3

1 3 2

1 1 2 3

1x y 2y 2y3y

1x y x x y y 2y3

x y x 1x y 2y y3

Concluimos entonces que el inverso de Q es la matriz:

1

1 2 11Q 1 2 23

1 1 2

La matriz N de f relativamente a las bases B'1 y B'2 es: 1N Q MP . Esto nos da entonces :

1 2 1 1 0 6 142 11 1N 1 2 2 1 1 12 113 73 3

1 1 2 1 0 3 7

.

Ejercicio 15. Mostrar que las matrices A =

2 1

1 2 y B =

1 0

0 3 son las matrices de un mismo endomorfismo relativamente a bases diferentes. Corrección : Decir que las matrices representan el mismo endomorfismo en bases diferentes, significa que A y B son semejantes, quiere decir que existe una matriz inversible P tal que tenemos :

1A P BP Esto es equivalente a: PA BP . Observemos que la segunda relación nos da un sistema más fácil ya que no tenemos que invertir la matriz. Todo el problema está entonces en demostrar la existencia de una matriz P que verifique la relación enunciada anteriormente.



311

Llamamos: a b

Pc d

.

Tenemos entonces : a b 2 1 2a b a 2b

PAc d 1 2 2c d c 2d

y

1 0 a b a bBP

0 3 c d 3c 3d

.

Obtenemos entonces : 2a b a a b 0

2a b a 2b a b a 2b b a b 0 a bPA BP

2c d c 2d 3c 3d 2c d 3c c d 0 c dc 2d 3d c d 0

La matriz siendo invertible, tenemos también la siguiente condición suplementaria: detP 0. Como, det P 0 ad bc 0 .

Entonces :

a ba b

PA BP c dc d

det P 0 a 02ac 0

d 0

.

Una solución al sistema es, por ejemplo, la matriz : 1 1

P1 1

.

Concluimos que las matrices A y B representan la misma aplicación en bases diferentes.



312


Determinantes

313

Capítulo 19

DETERMINANTES

1- Forma n-lineal alternada Definición. Sea E un -espacio vectorial de dimensión n entero natural que no es nulo. Una aplicación de En en es una forma n-lineal si por definición es lineal con relación a cada una de sus variables. Una forma n-lineal es alternada si por definición cambia de signo cuando se permutan 2 de sus variables:

(…,ui,…,uj,…) = - (…,uj,…,ui,…) Observaciones:

1- Una forma n-lineal alternada se anula cuando dos de sus variables son planas. 2- Una forma n-lineal alternada se anula cuando una de las variables es una

combinación lineal de otras variables. 2- Expresión de una forma n-lineal alternada relativamente a una base

1- De dimensión 2: Sea E un -espacio vectorial de dimensión 2 y una forma n-lineal alternada en E. Sea B=(e1,e2) una base de E. Se consideran dos vectores “u” y “v” de E con coordenadas respectivas en B (x, y) y (x’, y’). Entonces, (u, v)=(xy’-yx’)(e1,e2).

2- De dimensión 3 Sean E un -espacio vectorial de dimensión 3 y una forma n-lineal alternada sobre E. Sea B=(e1,e2,e3) una base de E. Consideramos tres vectores u, v y w de E de respectivas coordenadas en B (x,y,z), (x’,y’,z’) y (x’’,y”,z’’). Entonces, (u,v,w)=(xy’z’’+yz’x’’+zx’y’’-xz’y’’-yx’z’’-zy’x’’)(e1,e2,e3).

3- De dimensión n entero natural que no es nulo Sean E un -espacio vectorial de dimensión n y una forma n-lineal alternada en E. Entonces está enteramente determinada por su valor en una base de E.


Determinantes

314

3- Determinantes de n vectores en una base fija Definición: Sea E un -espacio vectorial de dimensión n entero natural que no es nulo. Sea B =(e1,…,en) una base fija de E. El determinante en la base B es la única forma n-lineal alternada que toma el valor 1 en B. Se escribe detB. Observación: detB(e1,…,en)=1.

a- Estudio del determinante de dimensión 2 Sea E un -espacio vectorial de dimensión 2. Sea B=(e1,e2) una base de E. Se consideran dos vectores «u» y «v» de E con matrices con coordenadas respectivas en

B xy

y x 'y '

.

Entonces, detB(u,v)=xy’-yx’=x x 'y y '

.

b- Estudio del determinante de dimensión 3

Sea E un -espacio vectorial de dimensión 3. Sean B=(e1,e2,e3) una base de E. Se consideran tres vectores «u», «v» y «w» de E con matrices con coordenadas respectivas en

B xyz

, x 'y 'z '

y x"y"z"

.

Entonces, detB(u,v,w)=xy’z’’+yz’x’’+zx’y’’-xz’y’’-yx’z’’-zy’x’’=x x ' x"y y ' y"z z ' z"

.

Observación: Regla de Sarrus (franceses, 1798-1861) Procedimiento mnemotécnico: escribimos a la derecha del determinante las dos primeras columnas (o debajo las dos primeras líneas). Para obtener el valor D, sumamos el producto de los te términos diagonales p1 + p2 + p3, como indicado, y le restamos la suma p4 + p5 + p6.


Determinantes

315

4 5 6p p p

x x ' x" x x '

y y ' y" y y '

z z ' z" z z '

1 2 3p p p

CUIDADO : esta regla sólo es válida para un espacio vectorial de dimensión 3. No está generalizada para un espacio vectorial de dimensión estrictamente superior a 3. c- Expresión de una forma n-lineal alternada relativa a una base Sea E un -espacio vectorial de dimensión n entero natural que no es nulo. Sea B =(e1,…,en) una base fija de E. Sea una forma n-lineal alternada en E. (u1,…,un)En, (u1,…,un)=detB(u1,…,un). e1,…,en). d- Teorema. Sea E un -espacio vectorial de dimensión n entero natural que no es nulo. Sea B =(e1,…,en) una base fija de E. Sean u1,…,un n vectores de E. Las propiedades siguientes son equivalentes:

a- {u1,…,un} es una base de E b- detB(u1,…,un) 0

4- Determinante de una matriz

Definición: Sea A un elemento de Mn(). A= i 1 à ni, jj 1 à n

a

=11 1n

n1 nn

a a

a a

.

Sea E un - espacio vectorial de dimensión n entero natural que no es nulo. Sea B =(e1,…,en) una base fija de E.

Se plantea para todo j=1 hasta n, uj=n

ij ii 1

a e

, es decir mat(uj,B)=1j

nj

a

a

.

Por definición, det(A)=detB(u1,…,un). Observaciones: 1- Este número, det(A), no depende de la base elegida ya que solamente los datos de los vectores intervienen. 2- det(In)=1.


Determinantes

316

Notación: det(A)=11 1n

n1 nn

a a

a a.

Propiedad: Sean A y B dos elementos de Mn().

det(AB) = det(A).det(B) Demostración : (Hacer un cálculo directo para n = 2 o 3) Consideremos A y B dos matrices nn. Podemos considerarlas como las matrices de dos endomorfismos de n, f y g. Notamos B=(e1, ..., en) la base canónica de n. La jésima columna de A es igual a f(ej) ; la de B es igual a g(ej) ; la de AB es igual f g(ej). La función definida por:

(V1, ..., Vn) = detB(f(V1), ..., f(Vn)) es una forma n-lineal alternada. Ella es entonces proporcional a detB(V1, ..., Vn), el coeficiente de proporcionalidad siendo (e1,...,en). Tenemos entonces:

(V1, ..., Vn) = (e1, ..., en). detB(V1, ..., Vn) detB(f(V1), ..., f(Vn)) = detB(f(e1), ..., f(en)).detB(V1, ..., Vn)

Como detB(f(e1), ..., f(en)) no puede ser otro que det(A). Así :

detB(f(V1), ..., f(Vn)) = det(A). detB(V1, ..., Vn). Tomemos ahora Vi = g(ei). Obtenemos:

detB(f(g(el)), ..., f(g(en))) = det(A).detB(g(e1), ..., g(en)) Como detB(f(g(el)), ..., f(g(en))) = det(AB) y detB(g(e1), ..., g(en)) = det(B) Así :

det(AB) = det(A).det(B)

Consecuencia: Sea A un elemento de Mn()y m un entero natural. det mA = det(A)m

Observación: Sean A y B dos elementos de Mn(). En general,

det(A+B) det(A)+det(B) Teorema: Sea A un elemento de Mn(). A se puede invertir si y solamente si det(A) 0.

En este caso, det 1A = 1det(A)

.

Observación : Sea E un -espacio vectorial de dimensión n entero natural no nulo. Sea B una base de E.


Determinantes

317

Sea vj el vector de E tal que mat(vj,B) = 1j

nj

a

a

para j=1 a n. Anotamos A=11 1n

n1 nn

a a

a a

.

Las siguientes propiedades son equivalentes : 1- det(A) 0

2- (v1, v2, …,vn) es una base de E 5- Cálculo práctico Propiedad: Sea A un elemento de Mn(). det(A)=det t A .

Definición: Sea A un elemento de Mn(). A= i 1 a ni, jj 1 a n

a

=11 1n

n1 nn

a a

a a

.

Sea 0 0i j el determinante de la matriz cuadrada de orden (n-1) obtenido suprimiendo la línea i0

y la columna j0 de det(A). 0 0i j es el menor del coeficiente

0 0i ja y 0 0i j1

0 0i j es el adjunto del coeficiente

0 0i ja . Desarrollo de un determinante con ayuda de los adjuntos: Sea A un elemento de Mn(). Entonces para todo i0 y j0 incluido entre 1 y n:

det(A)= 0

0 0

ni j

i j i jj 1

( 1) a

= 0

0 0

ni j

ij iji 1

( 1) a

6-Propiedades de los determinantes Propiedades : 1- Un determinante es nulo si una línea (respectivamente una columna) es una combinación lineal de las otras líneas (respectivamente de las otras columnas). 2- Un determinante cambia de signo si permutamos 2 líneas ( o 2 columnas ).

3- Puesta en factor por la n-linealidad De esta manera, para todos y A Mn(), det(A) = ndet(A).

4- El determinante no cambia si añadimos a 1 línea (respectivamente 1 columna) una combinación lineal de las otras líneas (respectivamente columnas). 5- El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los términos de su diagonal. 7- Matriz inversa Propiedad : Sea A un elemento de Mn(). A es invertible si y solamente si det(A) 0.


Determinantes

318

En ese caso, A-1= t1 comA

det(A) donde comA es la matriz de Mn() obtenida a partir de

A reemplazando cada término aij por su adjunto (-1)i+jij. comA es la matriz de adjuntos de A 8- Rango de una matriz Propiedad : Sea A un elemento de Mnp(). Denominamos rango de A, notado rg(A), el rango de la familia de vectores columna de A. Caso particular : si A es elemento de Mn(). rg(A)=n si y solamente si det(A) 0. 9- Determinante de un endomorfismo Definición : Sea f un endomorfismo de E -espacio vectorial. El determinante de f es el determinante de una matriz de f en una base establecida (misma base de salida que de llegada). Teorema : Sea E un -espacio vectorial de dimensión n entero natural no nulo, y sea f un endomorfismo de E de matriz A en una base de E. Las propiedades siguientes son equivalentes :

1- f es un automorfismo 2- det(f) 0 3- det(A) 0 4- A es invertible.

Teorema : Sea E un -espacio vectorial de dimensión n entero natural no nulo. Sea f y g dos endomorfismos de E.

det(g f ) det(g).det(f )


Determinantes

319


Ejercicio 1. Calcular el determinante 1

1 4 52 0 23 1 6

desarrollándolo según la 2da

columna, luego según la 2da línea.

Ejercicio 2. Mostrar, sin desarrollar, que el determinante 2

1 2 32 3 43 4 5

es nulo.

Ejercicio 3. Transformar 3

1 1 12 3 43 5 6

en un determinante de una matriz triangular.

Deducir el valor de 3 .

Ejercicio 4. Calcular el inverso de la matriz 2 3 1

A 0 1 12 1 2

.

Ejercicio 5. Calcular los determinantes: 1

1 1 1 11 1 1 1

D1 1 1 11 1 1 1

, 2

a 00 b 0

Dc

0 0 0 d

,

3

a b c d1 x 0 0

D0 1 x 00 0 1 x

.


Determinantes

320

EJERCICIOS Ejercicio 1. a- Encontrar dos matrices A y B tales que :

det(A + B) det(A) + det(B)

b- Sea A = 1 23 4

. Demostrar que el conjunto de las matrices B comprobando que

det(A+B)=det(A)+det(B) es un subespacio vectorial del espacio vectorial de las matrices 2 2 . Determinar una base de este subespacio vectorial. Ejercicio 2. Cuáles son los valores posibles del determinante de la matriz A de Mn() en los siguientes casos? : a- A diagonal d- A idempotente (es decir A² = A) b- A triangular e- A involutiva (es decir A² = I) c- A nilpotente (es decir p

n

p( )/A 0 M ) f- A antisimétrica de carácter impar

Ejercicio 3. Calcular los siguientes determinantes :

1

2 13D

3 20

; 2

a bD

c d ; 3

2 1 1D 5 2 2

1 3 0

; 4

1 1 0 11 2 1 3

D4 1 2 35 1 2 1

; 5

d 1 1 11 d 1 1

D1 1 d 11 1 1 d

Ejercicio 4.Dado E=3 y sean tres vectores de E :

1 2 3V 1,2,m ,V 2,1,m ,V 3m,0,1 Para que valores de m estos vectores están ligados? Ejercicio 5. Sean 1 2 3 4u 1,1,a,0 , u 1,a,1,0 , u a,1,1,0 , u 0,1,1,a .

Para que valores de a la familia 1 2 3 4u ,u ,u ,u de 4 es libre?

Ejercicio 6. Sea

2 3

3 2

2 3

2 3

11

11

.

1- Designemos por 1 2 3 4K ,K ,K y K los vectores columnas de . Aclarar, con la ayuda de , el determinante =det(K1+K3, K2, K3-K1, K4). 2- Calcular .


Determinantes

321

3- Deducir el valor de .

Ejercicio 7. Sea A =

a b c db a d cc d a bd c b a

. Calcular AtA. Deducir det(A).

Ejercicio 8. Calcular el determinante siguiente de orden n:

n n 1 n 2 3 2 1n 1 n 2 n 3 2 1 0n 2 n 3 n 4 1 0 0

1 0 01 0 0

1 0 01 0 0

1 0 0

Ejercicio 9. Sea x un parámetro real y sea D(x) el determinante

siguiente:5 x 1 1

2 4 x 21 1 3 x

1- Calcular D(0). 2- Mostrar que D(x) es un polinomio de grado 3. 3- Calcular D(x). (Indicación: sustituir por ejemplo C1 por C1+C2) y determinar para

cuales valores de x el se anula.

Ejercicio 10. Sea

2m 9 4B 2m 3 4

8 3m 8

con m. Para que valores de m esta matriz es

invertible? Ejercicio 11. Sea n un entero no nulo. A todo polinomio P de n[X], asociamos Q(P) cociente de su división por X, y R(P) resto de su división por Xn . Demostrar que la aplicación f definida sobre n[X] por : f(P)=Q(P) + X.R(P) es un endomorfismo de n[X]. Determinar la matriz M de f en la base canónica. M es invertible? Ejercicio 12. Sea E un espacio vectorial de dimensión 3, sea (el, e2, e3) una base de E y sea m. Sean Vl = el + 2e2 + me3, V2 = 2e1 + e2 + me3 y V3 = 3me1 + e3. ¿Para cuál valor de m forman estos vectores una familia ligada? Ejercicio 13. ¿Las matrices siguientes son inversibles? Si sí, calcular su inverso con la ayuda de la comatriz:


Determinantes

322

A=1 5 77 1 55 7 1

, B=m 1 3

1 m 1

, C=1 3 52 7 10 1 9

, D=1 1 11 j j²1 j² j

con j=2i3e

Ejercicio 14. Calcular cuando es posible la inversa de la matriz 0 0

A 0 10 1

.

Ejercicio 15. Sea A la matriz:

13 8 1212 7 126 4 5

1- ¿Se puede invertir A? En caso afirmativo, determinar A -1. 2- Determinar para todo entero natural n, A n en función de A.


Determinantes

323


Ejercicio 16. Sea 1 4

A2 3

y 3 0 3

B 2 1 60 1 0

.

1- Calcular el determinante de A. 2- Calcular el determinante de B de tres maneras diferentes :

a- mediante la regla de Sarrus. b- desarrollando según 1era columna. c- desarrollando según 1era línea.

Corrección : 1- Tenemos det( ) 3 1 4 2 11A 2- a- mediante la regla de Sarrus. De acuerdo con la regla de Sarrus, tenemos:

det B 3 1 0 2 1 3 0 0 6 0 1 3 2 0 0 1 6 36 18 24

2-b- Desarrollando según la primera columna tenemos :

1 1 2 1 3 11 6 0 3 0 3det B 1 3 1 2 1 0

1 0 1 0 1 6

3 6 2 3 18 6 24

2-c- Desarrollando según la primera línea tenemos :

1 1 1 2 1 31 6 2 6 2 1det B 1 3 1 0 1 3

1 0 0 0 0 1

3 6 3 2 18 6 24

Ejercicio 17. Sea f la aplicación lineal de 3 en 3 definida por:

f x, y,z x y, x y z, x y z Llamamos A su matriz asociada en la base canónica de 3.

1- Determinar A. 2- Calcular det(A). Qué podemos deducir sobre f ? 3- Determinar 1f x, y,z .

Corrección : 1- 1 1 0

A 1 1 11 1 1

.

2- Utilizando la regla de Sarrus tenemos : det A 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 2

Deducimos que la aplicación f es biyectiva. 3- Para determinar la aplicación recíproca de f, hay que determinar el inverso de la

matriz A.


Determinantes

324

Tenemos: 1

0 1 11A 2 1 12

2 0 2

.

Entonces obtenemos: 1 1f x, y,z y z;2x y z;2x 2z2

.

Ejercicio 18. Sea n un elemento de \{0,1] y n21 a,...,a,a elementos de un cuerpo conmutativo . El objetivo de este ejercicio es de calcular el siguiente determinante, dicho de Vandermonde :

2 n-11 1 1

2 n-12 2 2

n

2 n-1n n n

1 a a a1 a a a

V

1 a a a

1- Definimos la aplicación de en por:

2 n-11 1 1

2 n-12 2 2

n

2 n 1n 1 n 1 n 1

2 n-1

1 a a a1 a a a

P X

1 a a a1 X X X

Demostrar que nP es un polinomio perteneciente a n-1[X] cuyo coeficiente dominante es

n 1V . (Podremos para ello desarrollar el determinante según la última línea.)

2- Explicar por qué los elementos ia para i 1;n 1 son las raíces del polinomio nP . 3- Gracias a las preguntas anteriores, deducir una expresión factorizada de nP . 4- Calcular n nP a , y deducir una relación entre n 1V y nV .

5- Con ayuda de las preguntas anteriores, demostrar que : n j i1 i j n

V a a

.

Corrección : Desarrollemos el determinante nP X según la última línea:


Determinantes

325

2 n 1 2 n 1 n 11 1 1 1 1 1 1

2 n 1 2 n 1 n 1n 1 n 2 n 22 2 2 2 2 2 2

n

2 n 1 2 n 1 n 1n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1

n 21 1

n 2n n n 1 2 2

n

a a a 1 a a 1 a aa a a 1 a a 1 a a

P X ( 1) 1 ( 1) X ( 1) X

a a a 1 a a 1 a a

1 a a1 a a

( 1) X

1 a

n 21 n 1a

Los determinantes que aparecen son los elementos del cuerpo , y tenemos entonces un polinomio de grado como máximo (n-1). Por otro lado, esta relación nos permite ver que el coeficiente dominante de nP es:

n 21 1

n 22 2

n 1

n 2n 1 n 1

1 a a1 a a

V

1 a a

2- Reemplazando X por ia para i 1;n 1 en nP X , es claro que vamos a tener dos líneas idénticas entonces ligadas. Como sabemos que si dos líneas (o dos columnas) están ligadas en un determinante, entonces este determinante es nulo. Esto implica que n iP a 0 , esto significa justamente que los elementos ia para i 1;n 1 son dos raíces de nP . Gracias al grado de este polinomio, podemos afirmar que obtenemos así todas las raíces de ese polinomio.

3- Por hipótesis los elementos ia para i 1;n 1 son todos distintos, el polinomio nP posee entonces , de acuerdo con la pregunta 2, (n-1) raíces distintas, podemos entonces factorisarlo bajo la forma :

n 1

n ii 1

P X X a

donde es el coeficiente dominante de nP .

De acuerdo con la pregunta 3, concluimos que: n 1

n n 1 ii 1

P X V X a

.

4- Por definición de nP , tenemos: n n nP a V .

De acuerdo con la pregunta anterior, deducimos que : n 1

n n 1 n ii 1

V V a a

.

5- Vamos a hacer una demostración por recurrencia. Llamaos H n la propiedad:

n j i1 i j n

V a a

Fundación: Paran=2, tenemos 12 2 1

2

1 aV a a

1 a y admite además, j i 2 1

1 i j 2

a a a a

.

Entonces, H(2) está verificada. Herencia : Sea n un entero natural superior a 2. Supongamos H n .

De acuerdo con la anterior pregunta, tenemos : n 1

n n 1 n ii 1

V V a a

.


Determinantes

326

Utilizando la hipótesis de recurrencia, esto nos da :

n 1

n j i n i j i n i j i1 i j n 1 i 1 1 i j n 1 1 i n 1 i j n

V a a a a a a a a a a

.

Entonces, H(n+1) está verificada. Concluimos por recurrencia que para todo entero natural n 2 , tenemos:

n j i1 i j n

V a a


Sistema de ecuaciones lineales

327

Capítulo 20

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

1- Definición e interpretaciones

Definición: (S)

11 1 12 2 1p p 1

i1 1 i2 2 ip p i

n1 1 n2 2 np p n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Interpretación vectorial Sea E un -espacio vectorial de dimensión n entero natural que no es nulo. Sea B una base de E.

Sea vj el vector de E tal que mat(vj,B) = 1j

nj

a

a

para j=1 hasta p.

Sea b el vector de E tal que mat(b,B) = 1

n

b

b

.

(S) tiene soluciones si y solamente si b es una combinación lineal de los vj con j=1 hasta p. Interpretación matricial

Sean A=11 1p

n1 np

a a

a a

, X=1

p

x

x

y B=1

n

b

b

.

Entonces (S)AX=B Interpretación con las aplicaciones lineales Sea E un -espacio vectorial de dimensión p provisto con la base B. Sea F un -espacio vectorial de dimensión n provisto con la base B ’.



328

Sea f un elemento de L(E,F) de matriz A=mat(f,B,B ’)= 11 1p

n1 np

a a

a a

.

Sea b el elemento de F de matriz B=mat(b,B ’)= 1

n

b

b

.

(S) tiene unas soluciones si y solamente si b es un elemento de Im(f). Definiciones: Si (S) admite al menos una solución, se dice que (S) es compatible. Si no, se dice que (S) es incompatible. Cuando los coeficientes b1,…,bn son nulos, se dice por definición que (S) es homogéneo. Propiedad: El conjunto de las soluciones de un sistema homogéneo es un espacio vectorial sobre .

Definición: El rango del sistema (S) es el rango de la matriz A= i 1 a ni, jj 1 a p

a

=11 1p

n1 np

a a

a a

.

2- Sistema de Cramer

Cramer Gabriel (suizo, 1704-1752), profesor de matemáticas y de filosofía en Ginebra, amigo de su compatriota Jean Bernoulli. Sus trabajos llevan esencialmente sobre las curvas algebraicas y sobre la re-solución de sistemas lineales : : "Introducción al análisis de las líneas curvas algebraicas " (1750).

Definición: Sea (S)

11 1 12 2 1n n 1

i1 1 i2 2 in n i

n1 1 n2 2 nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

.

(Número de ecuaciones = número de incógnitas)

Sea A= i 1 a ni, jj 1 a n

a

=11 1n

n1 nn

a a

a a

.

El sistema (S) se llama sistema de Cramer si A se puede invertir. Volviendo de nuevo a la interpretación vectorial,



329

xj= 1 j 1 j 1 n

1 j 1 j j 1 n

det(v ,..., v ,b, v ,..., v )det(v ,..., v , v , v ,..., v )

para j=1 hasta n

Fórmulas de Cramer 2- Método de Gauss El método de eliminación de Gauss es un método de resolución sistemático de un sis-tema lineal (S) de tipo (n, p). El permite una discusión sobre la existencia eventual de una solución, seguido en el caso donde la existencia está establecida, de un cálculo de su forma general. El método está compuesto de dos etapas: una primera etapa dicha de eliminación, seguido de una segunda etapa (eventualmente) dicha de remontada. Etapa de eliminación Esta primera etapa apunta a escribir un sistema triangular equivalente al sistema (S) en una forma escalonada utilizando las siguientes operaciones elementales:

– multiplicación de una ecuación por un escalar no nulo. – adición de un múltiplo de una ecuación a una otra ecuación.

--Intercambio de ecuaciones y o intercambio de columnas. Si después de esta etapa, obtenemos una ecuación no compatible, entonces el sistema (S) es incompatible. Etapa de remontada El sistema obtenido después de la etapa precedente es un sistema triangular superior donde la resolución se efectúa partiendo de la última ecuación, después montando hasta la primera ecuación. Para esto utilizaremos eventualmente parámetros.



330


Ejercicio 1. Sea el sistema de ecuaciones: 3x 2y z 1x y z 0x y 2z 1

. Mostrar que es un

sistema de Cramer. Resolver con las fórmulas de Cramer.

Ejercicio 2. Resolver en el sistema: 3x 4y z 2t 36x 8y 2z 5t 79x 12y 3z 10t 13

.

Ejercicio 3. Resolver en el sistema: x y z t 4x y z 2t 1x 2y z t 1

.

Ejercicio 4. Resolver en el sistema:

2x y z t 3x 2y z t 1x y 2z t 2x y z 2t 4x y z t 0

.



331

EJERCICIOS

Ejercicio 1. a- Calcular la inversa de la matriz A=2 2 31 1 01 2 1

.

b- Resolver el sistema 2 2 3 1

42 2

x y zx yx y z

Ejercicio 2. Resolver el sistema en 3:

2 4 13 2 2

2 5

x y zx y zx y z


x yy z

x y

43 4 1

2 2 8


x y zx y zx y zx y z

3 2 12 4 3

4 2 45 6 10 10

Ejercicio 5. Resolver los sistemas siguientes por las fórmulas de Cramer:

(S1) 3x 7y 145x 3y 8

, (S2)

x y 3z 82x y z 3x 2y z 3

, (S3) x my a

mx y b

Ejercicio 6. Resolver los siguientes sistemas con la ayuda de las formulas de Cramer :



332

a.

4x y 9z 712x 3y z 24

4y 6z 4

b. 5x y z 3

y 2z 010x 3y 10z 2

Ejercicio 7. con la ayuda del algoritmo del pivote de Gauss, resolver el siguiente sistema:

a b c d e 02a b 4c 4e 0a 2b 3c d e 0

Donaremos una base del conjunto de las soluciones.

Ejercicio 8. Resolver en el siguiente sistema :

x y z t 62x 2y 4z 2

x 3z 3t 03x 5y 2z 3t 4

.

Ejercicio 9. Sean «a» y «b» dos reales. Resolver el sistema en 4:

x y z at ax by z t bx y z t

22

2 2 2 2 1

Ejercicio 10. Discutir el sistema lineal con dos parámetros “m” y”n” :

x y z

x y z

x y mz n

2 31

2 3 41

3 4

Ejercicio 11. Discutir según los valores del parámetro el sistema:

2 1 3 44 1 1 2 1 2 4

4 1 3 4 1

( )( ) ( ) ( )(5 ) ( ) ( )

x y zx y zx y z

Ejercicio 12. Solucionar y discutir el sistema con cuatro incógnitas x, y, z, t, en el cuerpo de los complejos (h, parámetros):

hx y z tx hy z tx y hz tx y z ht

1

2

3

Ustedes darán s=x+y+z+t y calcularán las soluciones, cuando existen, en función de s, cuyo valor habrán precisado previamente. Ejercicio 13. Sea (S) el siguiente sistema con incógnitas x, y, z y con el parámetro :



333

(S) ( )2 5

5 3 7 73 2 4

x y zx y z

x y z

1- Determinar para que (S) sea un sistema de Cramer. 2- Mientras (S) es de Cramer, determinar la incógnita y.

Resolver (S) mientras el sistema no es de Cramer.



334

Algunos ejercicios corregidos Ejercicio 14. Discutir y resolver el siguiente sistema S :

2x y z 5( 5)x 3y 7z 7

x 3y 2z 4

Comenzaremos por determinar para qué valores de el sistema es de Cramer. Corrección : Antes de determinar las soluciones, hay que comenzar por estudiar el determi-nante del sistema para determinar los valores de para los cuales el sistema no será de Cramer (si existe). El determinante del sistema es:

2

Sarrus

2 2

2 1det S 5 3 7 12 7 3 5 3 42 2 5 2 7 3 10 27 15

1 3 2

2 14 12 2 7 6

Debemos entonces resolver la ecuación 2 7 6 0 .

Hay dos soluciones: 1 27 25 7 256 y 1

2 2

.

Finalmente, hay que distinguir tres casos : Caso 1 : 1

2 2 13 3 1

L L 2LL 2L L

2x y z 5 2x y z 5S 4x 3y 7z 7 5y 5z 17

x 3y 2z 4 5y 5z 3

Es claro que el sistema es incompatible, entonces en ese caso, tenemos el conjunto de solu-ciones igual a .

Caso 2 : 6

2 2 13 3 1

L 2L LL 2L L

14x 3t2x 6y z 5 2x 6y z 5 5S x 3y 7z 7 15z 9 y t t

x 3y 2z 4 5z 3 3z5

Caso 3 : 1;6

En este caso el sistema es de Cramer, entonces sabemos que hay una única solución. Sabiendo que el sistema es de Cramer, tenemos dos métodos para resolverlo. El primero consiste en resolver el sistema inicial de manera usual (por el método del pivote de Gauss, por substitución,…). La otra solución consiste a utilizar las fórmulas de Cramer. Esto es más rápido ya que tene-mos directamente la forma de la solución. Sin embargo, para obtener la solución bajo la forma explícita, hay que calcular igual números de determinantes que de incógnitas, y mientras más grande sea el número de incógnitas, más grande es el tamaño de los determinantes …



335

Primer método : Resolución directa Aquí vamos a utilizar el método de Gauss, pero contrariamente a los casos anteriores, vamos a comenzar por eliminar z porque los coeficientes de z son constantes e independientes de .

2 2 13 3 1

L L 7LL L 2L

2x y z 5 2x 6y z 5 2x 6y z 5S 5 x 3y 7z 7 5 14 x 3 7 y 7 35 9 x 3 7 y 42

x 3y 2z 4 5x 3 2 y 14 5x 3 2 y 14

Ahora, podemos seguir mediante substitución para resolver las dos últimas ecuaciones:

2

2x 6y z 52x 6y z 5

9S 9 x 3 7 y 42 3 2 y 14 3 7 y 42

51 1x 3 2 y 14 x 3 2 y 145 5

2x 6y z 5 2x 6y z 59 3 2 14 9 2y 3 7 y 42 7 6 y 42

5 5 511 x 3 2 yx 3 2 y 14 55

14 9...

5

14

(terminar …) Obtenemos finalmente la solución del sistema en función del parámetro . Segundo método : Fórmulas de Cramer Utilizamos directamente las fórmulas de Cramer :

5 11x 7 3 7

det S4 3 2

2 5 11y 5 7 7

det S1 4 2

2 51z 5 3 7

det S1 3 4

Quedan todavía tres determinantes por calcular. Estos últimos siendo de tamaño 3 3 , pode-mos calcularlos directamente con la regla de Sarrus (recordamos que

2det S 2 7 6 ). Obtenemos finalmente:

x= 22

14 84 7 42 7 62 7 6

y= 22

14 -84 7 42 7 62 7 6

z= 22

4 ²-42 +108 2 ² 21 54 7 62 7 6

Podemos ver en este ejemplo la ventaja de utilizar las fórmulas de Cramer.



336


Reducción de las matrices cuadradas

337

Capítulo 21

REDUCCIÓN DE LAS MATRICES CUADRADAS

En este capítulo, E designa un - espacio vectorial de dimensión n, entero natural que no es nulo, B=(e1,…,en) una base de E, f un endomorfismo de E de matriz A en B.

1- Definiciones 1- Valor propio y vector propio u es un vector propio asociado a f para el valor propio elemento de si por definición u no es nulo y f(u)=u. Se dice entonces que es el valor propio asociada a u. Propiedad: es un valor propio de f si y solamente si det(f-Id)=0 si y solamente si det(A-I)=0. 2- Polinomio característico El polinomio característico de f (respectivamente A) es el polinomio Pf (respectivamente PA) definido por Pf()=det(f-Id). Propiedad: Los valores propios son las raíces del polinomio característico.

Ejemplo: Sea A=1 1 11 3 11 1 1

. Determinar los valores propios de A.

2- Subespacio propio Definición : Sea f un endomorfismo de E y un valor propio de f. El sub-espacio propio de E asociado al valor propio es por definición E=Ker(f-Id). Observación: E es el conjunto de los vectores propios asociados al valor propio unión {0E}. Propiedad: De acuerdo con las notaciones anteriores, E es un sub-espacio vectorial de E y 1Dim(E) n.



338

Ejemplo: Sea A=1 1 11 3 11 1 1

. Determinar los sub-espacios propios de A.

3- Diagonalización Definición: Se puede diagonalizar f si por definición existe una base de E formada con vectores propios de f. Propiedad: Si 1, 2, …, p son p valores propios distintos de f, entonces:

1 p 1 p k

p

k 1E ... E E ... E E

Caso particular: Si f admite n valores propios distintos, entonces f se puede diagonalizar.

Ejemplo: M=4 1 20 2 12 1 0

.

Teorema: Sean 1,…,p los p valores propios distintos de f (p n).

f se puede es diagonalizar si y solamente si E=i

p

i 1E

.

4- Orden de multiplicidad de un valor propio Definición: El orden de multiplicidad de un valor propio de f es el orden de multiplicidad de este valor considerado como raíz del polinomio característico de f. Propiedad: Sea un valor propio de f de multiplicidad . Entonces, 1Dim(

0E ).

Teorema: E designa un -espacio vectorial de dimensión n entero natural que no es nulo, f un endomorfismo de E. f se puede diagonalizar si y solamente si se comprueban las dos condiciones siguientes:

1- El polinomio característico de f, Pf, se divide, es decir que Pf admite n raíces (distintas o confundidas) en .

2- La dimensión de cada sub-espacio propio es igual al orden de multiplicidad del valor propio correspondiente.

Ejemplo: Tomar de nuevo la matriz A=1 1 11 3 11 1 1

y estudiar su diagonalización.



339

Interpretación geométrica : Sea E=² considerada como un -espacio vectorial con su base canónica B=(i, j).

Sea f el endomorfismo de E definida por su matriz: A=mat(f,B)=

5 1 2 21 5 2 2

.

f es diagonalizable. Podemos escoger: e1=i+j, e2=-i+j. Entonces, B’=(e1, e2) es una base de ² y en esta base, la matriz de f es:

D=mat(f,B’)=2 00 3

Observación: Con P=1 11 1

, P-1=

1 1 2 21 12 2

, tenemos: D=P-1AP.

Qué interpretación geométrica podemos hacer sobre f? Sea E2 (resp. E3) la recta de base e1 (resp. e2). Sea u un vector. Construyamos geométricamente f(u). Descomponemos u en : u=u1+u2 con u1 elemento de E2 y u2 elemento de E3. Obtenemos: f(u)= f(u1+u2)=f(u1)+f(u2)=2u1+3u2 porque f restringido a E2 (resp. E3) es una homotecia de razón 2 (resp. 3).

i

j e1 e2

u

f(u)

E2 E3



340

5- Aplicaciones

1- Reconocer la naturaleza de una aplicación lineal Sea f un endomorfismo de matriz A en relación a una base B de E. Suponemos que A es diagonalizable y semejante a una matriz D. Además suponemos que la estructura de D permite reconocer un tipo de endomorfismo particular: Por ejemplo una simetría vectorial o una proyección vectorial o una mezcla de simetrías o proyecciones con una homotecia vectorial. Entonces podemos deducir la naturaleza de f.

2- Potencia mésima de una matriz

Sea A una matriz diagonalizable. Existe una matriz P invertible y una matriz D diagonal tales que A = PDP-1. Entonces para todos enteros m, positivos : Am = PDmP-1. Como D es diagonal, Dm se calcula fácilmente y nos queda solamente 2 productos de matrices a realizar para calcular Am.

Ejemplo: Calcular Am para m entero natural con A=1 1 11 3 11 1 1

.

3- Sistema de ecuación diferencial lineal

Ejemplo: Resolver el sistema de ecuación diferencial

dx 4x y 2zdtdy 2y zdtdz 2x ydt

4- Secuencia

6- Complemento: triangularizacion



341


Ejercicio 1. Determinar los valores propios y los sub-espacios propios de las matrices:

A =

4213 y B =

011101110

Ejercicio 2. Determinar en luego en los valores propios y los sub-espacios propios de la

matriz: A =

010001100

.

Ejercicio 3. Determinar si las siguientes matrices son diagonalizables:

A =

131311

115 y B =

101310002

Ejercicio 4. Determinar una base de vectores propios para las matrices:

A =

111001010

y B =

22424186142

Ejercicio 5. Calcular An para A =

0211 .

Ejercicio 6. Sea la sucesión recurrente (un)n definida por: n \{0,1} , un = 12

( un-1 + un-2 ),

u0=1 y u1=2.

1- Mostrar que n n 1

n 1 n 2

1 1u u2 2

u u1 0

.

2- Sea A = 1 12 21 0

. De n*, calcular An-1.

3- Deducir: u n = n 11 15

3 2

luego lim un=53

.



342


Ejercicio 1. Para A : 1 = 5, E5 = vect( V=(1,2)) 2 = 2, E2 = vect( V=(1,-1)). Para B : 1 = 2, E2 = vect( V=(1,1,1)) 2 = -1, E-1 = vect( (1,-1,0), (1,0,-1) ). Ejercicio 2. En , 1 = 1, E1= vect( V=(1,1,0)) En , 1=1 y 2 =j, Ej = vect( (j,1,j2) , (j2,1,j)). Ejercicio 3. A sí, B no.

Ejercicio 4. Para A : P=

110101101

Para B : P =

044111101

.

Ejercicio 6. An =

2)1(2)1(22)1(2)1(2

31

nn1n1n

nnn1n.



343

EJERCICIOS APLICACIONES DEL CURSO

Ejercicio 1. Se considera en un espacio vectorial E de dimensión n un endomorfismo f que se puede diagonalizar, pues posee solamente dos valores propios distintos 1 y 2 de sub-espacios propios asociados 1 2E y E . Llamamos 1 el proyector de E en E1 en paralelo a E2 2 el proyector de E en E2 en paralelo a E1. ¿Porqué 1 y 2 están bien definidos? Determinar 1 + 2 ; 1 2 ; 2 1 ; 11 + 22. Ejercicio 2. Sea u un endomorfismo de un espacio vectorial E de dimensión finita sobre . Justificar si las aserciones siguientes son verdaderas o falsas: - valor propio de u 2 valor propio de u2 = u u.

- x vector propio de u x vector propio de u2. - u diagonalizable u2 diagonalizable.

Ejercicio 3. Sea E un espacio vectorial sobre de dimensión n y sea f L(E). Suponemos que f admite un solo valor propio 0 y que f es diagonalisable. Determinar la aplicación f, y deducir la matriz de f en cualquier base. Ejercicio 4. Sea A M.(). On Suponemos que existe k tal que Ak = In.

1 - ¿Cuáles son los valores propios posibles de A en ? en ? 2 - Si A es en Mn() y es diagonalisable en , mostrar que A es la matriz de una

simetría. Ejercicio 5. Las siguientes matrices son diagonalizables en M3()? Y en M3() ?

1

5 3 2M 6 4 4

4 4 5

2

4 5 0M 2 2 0

0 0 1

3

2 2 0M 2 4 2

0 2 2

4

2 1 2M 2 3 4

1 1 1

En el caso donde las matrices son diagonalizables en M3(), dar una base de vectores propios.

Ejercicio 6. Sea A = 5 1 11 3 12 2 4

. Mostrar que A es diagonalisable. Dar una matriz D

diagonal similar à A y P matriz invertible tal que D=P-1AP. Determinar P-1.



344

Ejercicio 7. Sea A=

i 1 i 11 1 1 1i 1 i 1

1 1 1 1

. Mostrar que A es diagonalisable. Dar una matriz D

diagonal similar à A y P matriz invertible tal que D=P-1AP. Ejercicio 8.

1. Mostrar que los vectores u 3,0,1 ,v 2, 1, 1 y w 1,0,0 forman una base de 3.

2. Sea f el endomorfismo de 3 donde la matriz en la base canónica es: 1 2 6

A 1 0 31 1 4

a. Determinar f(u), f(v) y f(w). Deducir la matriz M de f en la base (u,v,w). b. Verificar que 1 es valor propio triple de M y comprobar que f no es

diagonalizable.

Ejercicio 9. Discutir las posibilidades de diagonalizar M = 10 10 0 1

.

Ejercicio 10. ¿Se puede diagonalizar la matriz siguiente? Si es el caso, diagonalizarla.

0 a a²1 0 aa1 1 0a² a

Ejercicio 11. Sea M=

011111101111110111111011111101111110

. Designamos por u el endomorfismo de 6 por el

cual la matriz en la base canónica de 6 es M y por id la identidad de 6. 1- Determinar Ker(u+id). Dar una base así que su dimensión. 2- Deducir que (-1) es n valor propio de u, de orden por lo menos 5. 3- Calcular el 6imo valor propio de u. Determinar el sub-espacio propio asociado al

cual daremos una base . u es diagonalizable ? Decir por qué es una base B’ de 6.

4- Escribir la matriz M’ de u en la base B’. Calcular det(u) y deducir que u es invertible.



345

5- Mostrar que u u=5id + 4u. Deducir la matriz M-1. Ejercicio 12. ¿ Se puede diagonalizar la matriz siguiente en o en ?

M = 0 -2 01 0 -10 2 0

Determinar M n en M3(),donde n es un entero natural que no es nulo.

Ejercicio 13. Encontrar una solución de la ecuación Xn

3 11 3 para n fijo en y X

incógnita en M2(). Ejercicio 14. a- Mostrar que si X es un vector propio asociado al valor propio de un endomorfismo “u” de un espacio vectorial que no es nulo E, entonces X es un vector propio de todas las potencias u n de u donde n es un entero natural que no es nulo. b- Sea E un -espacio vectorial de dimensión 4 y u un endomorfismo de E con matriz :

M =

0 1 0 02 0 -1 00 7 0 60 0 3 0

en una base dada B = (e ,e ,e ,e1 2 3 4) de E. 1- ¿Se puede diagonalizar la matriz M? Determinar los sub-espacios propios de u. 2- ¿Se puede diagonalizar la matriz M n , donde n es un entero natural que no es nulo? Determinar los sub-espacios propios de u n . Ejercicio 15. Resolver el sistema diferencial:

dx 4x 3y 9zdtdy 3x 4y 9zdtdz 3x 3y 8zdt

Ejercicio 16. Sea la secuencia "doble" definida por :

u 10u 28vv 6u 16v

n 1 n n

n 1 n n

Determinar u n y v n en función de u0 ,v0 y n. Ejercicio 17. Sea f el endomorfismo de 3 donde la matriz en la base canónica es :

2 2 01A 1 3 12

1 1 3



346

1. f es diagonalizable ?

2. Mostrar que la matriz A es semejante a la matriz 2 0 0

T 0 1 10 0 1

.

Ejercicio 18. Consideramos el endomorfismo f de 3 donde la matriz en la base canónica es :

3 2 4A 1 3 1

2 1 3

1. Verificar que los valores propios de f son -1 et 2, y determinar la multiplicidad de cada valor.

2. Demostrar que f no es diagonalizable. 3. Suponemos u=(-1,0,1) y v=(-2,-1,1). Verificar que 1E Vect u y que

2E Vect v .

4. Sea 2H Ker f 2Id .

Verificar que v H después determinar una base {v,w} de H conteniendo el vector v. 5. Verificar que la familia {u,v,w} es una base de 3 después determinar la matriz de f en

esta base. Que puede constatar?

Ejercicio 19. Mostrar que la matriz M=1 3 11 3 1

2 2 2

es similar a la matriz

T=0 1 00 0 10 0 0

.

Ejercicio 20. Mostrar que la matriz A=0 1 04 4 02 1 2

es similar a la matriz T=2 1 00 2 00 0 2

.

Ejercicio 21. Consideramos la matriz A asociada a un endomorfismo f de 3 relacionada a su

base canónica: A=1 0 00 0 10 1 2

1- Mostrar que = 1 es el único valor propio de A. 2- Determinar el espacio propio E dando una base. A es diagonalizable? 3- Sea B = (el, e2) una base de E tal que el = (1, 0, 0) y e2 = (0,1, -1). a- Completar B en una base (el, e2 , e3) de 3 en la cual la matriz del endomorfismo f se escribe:



347

A’=1 0 00 1 10 0 1

b- Tomaremos e3 = (0, -1, 0). Calcular An para n 0 ( utilizando A’ y una demostración por recurrencia).



348

PROBLEMA DE SÍNTESIS

Problema Sea E un -espacio vectorial de dimensión 2, y u un elemento de (E). El endomorfismo de identidad se escribe Id.

1- Se supone que u no se puede diagonalizar, pero posee un valor propio doble 1. Mostrar que el sub-espacio propio E1

es de dimensión 1. Sea B=(e1,e2) una base de E tal que

e1 pertenece a E1. Mostrar que M uB ( )

1

10 con que no es nulo. Sea B’=(e1,e2).

Dar MB’(u).

2- Se supone ahora que u no posee valores propios (reales). Sea A=

la matriz

de u en una base. Se recuerda que la traza de A, escrita Tr(A), es . Se plantea a=½ tr(A), y v=u-aid. Mostrar que tr(A-aI)=0, que v no posee valores propios y que su polinomio característico P() se escribe:

P()=²+b² con b que no es nulo Mostrar que si Q() es el polinomio característico de v², tenemos a Q(²)=P()P(-) y que

Q()=(+b²)². Sea x un vector propio de v² para el valor propio -b². Mostrar que B= x v xb

, ( )

es una base de E. Dar MB(v) y MB(u). 3- Deducir de lo anterior que para todo u de (E), existe una base B de E tal que

MB(u) es diagonal, o bien de la forma

1

1

10

, o bien de la forma

a bb a

con b que no

es nulo.



349

Solución abreviada

1- Tenemos 2dimE11 . Pues,

1dimE =1.

u(e1)=1e1, de ahí la 1era columna. El 2do 1 de la diagonal procede del hecho que 1 es un valor propio doble (y de la traza …) no es nulo porque u no se puede diagonalizar.

Se obtiene: MB’(u)=

1

1

01

2- tr(A-aI)=tr(A) – atr(I)=0. 2 valor propio de v si y solamente si 2 + a valor propio de u: Absurdo. No hay término en en P() porque la traza es nula. Como no hay valor propio real, el término constante es estrictamente positivo; se puede pues escribirlo b² con b que no es nulo. Q(²) = det(v² - ²id) = det(v - id).det(v + id) = P().P(-) = (²+b²)². Se trabaja en el cuerpo , entonces Q()=( + b²)².

Si

b)x(v,x es una familia vinculada, x sería un vector propio. Absurdo. De ahí el resultado.

Tenemos v(x)=bb

)x(v y v

b)x(v =

b1 v²(x)=

b1 (-b²x)=-bx.

Entonces MB(v)=

0bb0

.

Tenemos u(x)=(v+aid)(x)=v(x)+ax=ax+bb

)x(v

Además u

b)x(v =(v+aid)

b)x(v =

b)x²(v +a

b)x(v =-bx+a

b)x(v .

Entonces MB(u)=

abba

.

3- Basta con hacer la distinción entre diagonalizable, no diagonalizable con un valor propio doble y sin valor propio doble.



350

Algunos ejercicios corregidos Ejercicio 22. Trabajamos en E=3. Las siguientes matrices son diagonalizables en M3() ? en M3() ?

1- 1

0 1 0M 1 0 1

0 2 0

; 2- 2

0 1 1M 1 0 1

1 1 0

; 3- 3

1 1 2M 2 1 3

1 1 2

;

4- 4

1 1 0M 1 2 1

1 0 1

.

Determinar una base de vectores propios para M2. Corrección: Para determinar si esas matrices son diagonalizables o no, comencemos buscando los valores propios de cada una de esas matrices, y para ello determinaos las raíces del polinomio característico. 1- Tenemos :

1 1 segun1era linea

2 3 2

X 1 0X 1 1 0

P X det M X Id 1 X 1 X2 X 2 X

0 2 X

X X 2 X X 3X X X 3

Este polinomio admite tres raíces simples 0, 3, 3 . Deducimos que la matriz M1 es diagonalizable en M3(), y entonces en M3(). 2- Tenemos:

1 1 2 3

2 2 13 3 1

2 2 L L L L

2

C C CC C C

X 1 1 X 2 X 2 X 2 1 1 1P X det M X Id 1 X 1 1 X 1 X 2 1 X 1

1 1 X 1 1 X 1 1 X

1 0 0X 2 1 X 1 0 X 2 X 1

1 0 X 1

Este polinomio admite una raíz simple 2, y una raíz doble (-1). No podemos entonces concluir directamente, tenemos que estudiar la dimensión del sub espacio asociado al valor propio (-1) que lo llamamos E-1. Por definición, tenemos a 1 2E Ker M Id , entonces tenemos:

1 2 2

y z xu E M u u 0 M u u x z y x y z 0

x y z

con mat(u)=xyz

.

Deducimos que 1E es un espacio de dimensión 2 (es un plano!). Concluimos que la matriz M2 es diagonalizable en M3(), y entonces en M3(). Busquemos ahora una base de vectores propios para M2.



351

De acuerdo con lo que venimos de ver, tenemos: 1E x, y, x y E x 1,0, 1 y 0,1, 1 Vect 1,0, 1 , 0,1, 1 .

La familia 1,0, 1 , 0,1, 1 es obviamente libre, entonces es una base de 1E . Por otro lado, tenemos 2 2E Ker M 2Id .

1 1 2 32 2 L L L L

y z 2x 2x 2y 2z 2x 2y 2zx y

u E M u 2u x z 2y x z 2yz y

x y 2z z 2y y 2z

.

De donde 2E y, y, y Vect 1,1,1 . Finalmente, concluimos que una base de vectores propios para 2M está dada por la familia:

1,0, 1 , 0,1, 1 , 1,1,1 . 3- Tenemos:

3 3

2 3

Sarrus

1 X 1 2P X det M X Id 2 1 X 3

1 1 2 X

1 X 2 X 4 3 2 1 X 3 1 X 2 2 X X .

Este polinomio admite una raíz triple 0. - Primer método: Para saber si esta matriz es diagonalizable, determinaremos la

dimensión de 0 3E Ker M . Terminar… - Segundo método: Si M3 fuera diagonalizable, entonces ella sería semejante la matriz

nula. Absurdo. Entonces, M3 no es diagonalizable. 4- Tenemos:

24 4 Sarrus

2

1 X 1 0P X det M X Id 1 2 X 1 1 X 2 X 1 1 X

1 0 1 X

X 2 X 2X 2 .

El polinomio 2X 2X 2 posee un discriminante negativo, lo que significa que no tiene raíces reales. Deducimos que M4 no es diagonalizable en M3(). Por el contrario, el discriminante no es nulo, entonces esto significa que él posee dos raíces complejas distintas. El polinomio característico P4 posee entonces tres raíces simples en , y concluimos que la matriz M4 es diagonalizable en M3(). Ejercicio 23. Sea u el endomorfismo de 3 cuya matriz en la base canónica es:



352

1 2 41A 1 221 1 14 2

1- Calcular det A . 2- Determinar el rango de A. 3- Cuál es la dimensión de Ker u ? Determinar una base en este espacio. 4- Calcular los valores propios de A y mostrar que A es diagonalizable. 5- Determinar una base de vectores propios de A y dar la matriz de pasaje P de la base

canónica a esta base. Calcular 1P . 6- Deducir la expresión de nA para n 1.

Corrección: 1- Por la regla de Sarrus (por ejemplo), encontramos det A 0 . Podemos también observar que al menos dos líneas o dos columnas están ligadas (la tercera y la segunda columna) y entonces det A 0 .

2- Utilizamos el método de los ceros escalonados:

2 2 13 3 1

C C 2CC C 4C

1 2 4 1 0 0rang A rg 1/ 2 1 2 rg 1/ 2 0 0 1

1/ 4 1/ 2 1 1/ 4 0 0

.

Esto significa que dimImu 1 . 3- De acuerdo con el teorema del rango, tenemos: dimE dimImu dimKer u .

Entonces, de acuerdo con al pregunta precedente, deducimos que : dimKer u 3 1 2 . Una base de Ker u está entonces constituida de dos vectores libres de Ker u .

x 2y 4z 01 2 4 x 01AX 0 1/ 2 1 2 y 0 x y 2z 0 x 2y 4z 02

1/ 4 1/ 2 1 z 0 1 1x y z 04 2

De donde Ker u x, y,z / x 2y 4z 0 2y 4z, y,z Vect 2,1,0 , 4,0,1

La familia 2,1,0 , 4,0,1 es obviamente libre, entonces es bien una base de Ker u .

3A Sarrus

2 3 2 3 2

1 X 2 44 P X det A X Id 1/ 2 1 X 2 1 X 1 1 1 X 1 1 1

1/ 4 1/ 2 1 X

1 3X 3X X 2 3 3X 3X X X 3 X

Los valores propios de A son 0 y 3 de multiplicidad 2 y 1 respectivamente. A es diagonalizable si y solamente si si 0dimE 2 . Como, por definición, 0E Ker u entonces de acuerdo con la pregunta precedente, 0dimE 2 y así A es diagonalizable.

5- Para determinar una base de vectores propios de A, hay que determinar una base de 3E :



353

2x 2y 4z 02 2 4 x 0 x y 2z 01A 3I X 0 1/ 2 2 2 y 0 x 2y 2z 0 x 4y 4z 02

1/ 4 1/ 2 2 z 0 x 2y 8z 01 1x y 2z 04 2

x y 2z 0x 4z

3y 6z 0y 2

3y 6z 0

z

De donde: 3E x, y,z / x 4z, y 2z 4z,2z,z Vect 4,2,1 . Deducimos que la familia 4,2,1 , 2,1,0 , 4,0,1 es una base de vectores propios de A y la matriz de pasaje asociada es :

4 2 4P 2 1 0

1 0 1

Para calcular 1P , podemos utilizar la transpuesta de la matriz de adjuntos y obtenemos:

1

1 2 41P 2 8 8

121 2 8

6- Tenemos la relación 1A PDP donde D es la siguiente matriz diagonal: 3 0 0

D 0 0 00 0 0

Mediante una recurrencia inmediata, tenemos entonces: n n 1A PD P .

Como, también tenemos:

n

n

3 0 0D 0 0 0

0 0 0

Concluimos que:

n

n n 1 n 1

4 2 4 3 0 0 1 2 41A PD P 2 1 0 0 0 0 2 8 8 3 A

121 0 1 0 0 1 1 2 8

.



354


Sucesiones de reales

355

Capítulo 22

SUCESIONES DE REALES

I- Acerca de las sucesiones

Definición: una sucesión es una función de en . La imagen de n para u es escrito un. La sucesión n n

u

ou (un)n y a veces si no hay ambigüedad (un).

a. Sucesiones aritméticas y geométricas El cuadro siguiente reúne los principales resultados que deben conocerse sobre las sucesiones. 1 Sucesión aritmética de razón

“r”, teniendo como primer término “u0=a”

Sucesión geométrica de razón “q” teniendo como primer termino “u0=a”

Caracterización por una relación de recurrencia

un+1=un+r un+1=q.un

Caracterización por una fórmula explícita

un= rn + a un=a.qn

Suma de N términos consecutivos Na + N(N 1)

2 r a q1

q1 N

(si q 1)

Ejemplo :

Una utilización muy común de las sucesiones geométricas interviene en los préstamos con créditos. Un prestamista dispone de una cantidad M que él va a prestar con una tasa de interés mensual t. El que pide el préstamo desea recibir esta suma M a cambio de un pago mensual de una cantidad a, durante n mensualidades. Cuál es el valor de a en función M, t y de n ?

Del punto de vista del prestamista, la tasa de interés corresponde a lo que el podrá

ganar ahorrando su dinero. Así, el capital M se volvería M(1+t) al cabo del primer mes , M(l+t)2 al cabo del segundo, ..., M(l+t)n al cabo de los n meses. El puede consentir el préstamo de la cantidad M solamente si los rembolsos regulares le permitieran obtener un capital equivalente a M(l+t)n al cabo del n mes, y ahorrando sus rembolsos en condiciones comparables. Así, recibiendo una cantidad a al cabo de un mes, y ahorrando esta cantidad a la tasa t, él tendrá a(l+t)n-1 al cabo del n-1 mes restante. Recibiendo otra cantidad a al cabo de dos meses, tendrá a(l+t)n-2 al cado de n-2 meses restantes, etc... La última cantidad recibida, al enésimo mes es a y no aporta ningún interés. Su capital final será entonces:

a(1+t)n-1 + a(1+t)n-2 + ... + a(l+t) + a = an(1 t) 1

t



356

que debe ser igual a M(1+t)n, de donde proviene la relación:

a = n

Mt1 (1 t)

Otra explicación de esta fórmula será dada en aplicación de las sucesiones aritmético-geométricas.

Indiquemos, por otro lado, que existen dos métodos para pasar del tasa mensual t a la tasa anual T :

1- El método exacto de la tasa actuarial (teniendo en cuenta los intereses acumulados) :

1 +T=(1 +t)12 Así, una tasa anual de 6% corresponde a una tasa mensual de 0,4868 %.

2- El método de tasa proporcional consiste a anunciar la fórmula t = T12

(utilizando los

intereses acumulado). Así, una tasa proporcional anunciada al 6% corresponde a una tasa mensual de 0,5 %, y entonces a una tasa anual actuarial real de 6,17 % = 1,00512 - 1. El prestamista tiene ventaja cuando habla de tasa proporcional. Y el que pide préstamo tendrá que hacer la conversión a la tasa actuarial que es la que será aplicada verdaderamente. Aplicación numérica : préstamo de 40 000 Euros con una tasa anual del 6% sobre 10 años. El monto mensual de rembolsos es de 440,90 Euros en tasa actuarial, y de 444,08 en tasa proporcional. La diferencia es mínima, pero, en 120 meses, esto representa incluso 381,60 Euros. A propósito de las sucesiones aritmético-geométricas : Tal sucesión tiene la forma:

n, un+1 = aun + b Observaciones: con b = 0, volvemos a encontrar las sucesiones geométricas. Con a = 1, volvemos a encontrar las sucesiones aritméticas. Una solución particular es obtenida en la sucesión constante tal que = a + b. Este valor es, por otro lado, el límite eventual de la sucesión si ella converge. Sea (vn) la sucesión auxiliar definida por:

n, vn=un - Tenemos entonces :

n, vn+l= a.vn tenemos:

vn = an v0 y

un = + an (u0 - )

La sucesión converge entonces, si y solamente si |a| < 1 o u0 = . Ejemplo :

Un prestamista dispone de una cantidad M que cuenta prestar a una tasa de interés mensual t. El que desea el préstamo pide recibir esta cantidad M a cambio de un pago mensual de una cantidad a, durante n mensualidad. Cuál es el valor de a en función de M,t y de n?



357

Al momento de pagar la kesima mensualidad, el que pidió el préstamo ha pagado una

parte del capital. Sea Ck-1 el capital que falta por pagar después del k-1esimo pago, de manera que C0=M y Cn=0. El pago de la mensualidad a consiste, por un lado, a rembolsar la parte del capital Ck-1 - Ck, y por el otro, a pagar intereses sobre el capital Ck-1 durante un mes, de manera que: a = Ck-1 - Ck + tCk-1 Entonces, Ck = (l+t)Ck-1 - a Reconocemos en (Ck)k una sucesión aritmético-geométrica, con punto fijo = (l+t) - a, sea

= at

.

De donde : Ck - at

= (l+t) k 1aCt

Ck - at

= (1+t)k(C0 - t) = (1+t)k aMt

- at

= (1 +t)n aMt

ya que Cn = 0

a = n

Mt1 (1 t)

.

b. Sucesiones crecientes, sucesiones decrecientes Definición: Sea (un)n una sucesión de números reales. Se dice que: • La sucesión (un)n es creciente cuando un un+1 para todo entero n. • La sucesión (un)n es decreciente cuando un un+1 para todo entero n. • La sucesión (un)n es monótona cuando es creciente o decreciente. Técnicas: Tres técnicas permiten esencialmente estudiar la monotonía de una sucesión.. 1. La técnica funcional Se aplica a las sucesiones cuyo término general es de la forma un =f(n) (donde f es una función). Esta técnica consiste en estudiar las variaciones de f. 2. La técnica algebraica Consiste: - sea estudiar el signo de la diferencia un+1-un

- o bien comparar el cociente n

1n

uu a 1 si un>0.

3. El razonamiento por recurrencia. c. Sucesiones mayoradas, minoradas Definición: Sea (un)n una sucesión de números reales. Se dice que: • La sucesión (un)n está mayorada si existe un real M tal que unM para todo entero n. • La sucesión (un)n está minorada si existe un real m tal que m un para todo entero n. • La sucesión (un)n está borneada si es a la vez agrandada y disminuida.



358

II- Comportamiento asintótico

a- Generalidades Sucesión convergente: Una sucesión convergente es una sucesión que admite un límite finito 1, es decir:

0, N , n , nn N u

Una sucesión convergente admite un límite único. Sucesión divergente: Se dice que una sucesión es divergente si no es convergente. En este caso puede: - tener un límite infinito - o no tener límite Teorema:. Toda sucesión convergente es limitada. Observación: la recíproca es falsa. Ejemplo: un=(-1)n. b. Operaciones Todos los resultados que conciernen a las operaciones sobre los límites se extienden a las sucesiones. Teorema: Sean (un)n y (vn)n dos sucesiones convergentes hacia los reales y ’, respectivamente. Entonces

1- La sucesión (un+vn)n converge hacia ( + ’)

2- Sea un real. La sucesión (un)n converge hacia

3- La sucesión (un.vn)n converge hacia ( . ’)

4- Si para todo entero n, vn no es nulo y si ’ no es nulo, la sucesión n

n n

uv

converge

hacia '.

c. Comparación 1era hipótesis: desigualdades (a partir de un determinado rango)

2da hipótesis: comportamiento al infinito

conclusión

un 0 (un)n converge hacia vn un (un)n converge hacia

(vn)n converge hacia ’

’

un vn (un)n tiende a + (vn)n tiende a + vn un (un)n tiende a - (vn)n tiende a - |vn - |un (un)n converge hacia 0 (vn)n tiende a



359

unwn vn (un)n y (vn)n convergen hacia el mismo límite

(wn)n converge hacia (teorema de los gendarmes)

d. Imagen de una sucesión por aplicación de una función Teorema: Sea f una función definida y continua en un intervalo I y (un)n una sucesión de puntos de I. Si Lim un =a y

axLim

f(x)= entonces Lim f(un) = (con a y finitos o infinitos).

e. Sucesiones monótonas, borneadas Teorema: 1- Toda sucesión real creciente y mayorada a partir de un cierto rango convergen. 2- Toda sucesión real decreciente y minorada a partir de una cierta fila converge. f. Sucesiones y equivalencias Teorema: Si (un)n y (vn)n son dos sucesiones equivalentes y si una de ellas posee un limite finito o infinito, la otra posee el mismo limite. Atención: la reciproca de este teorema es falsa. III- SUCESIONES ADYACENTES Definición: Se dicen que dos sucesiones (un)n y (vn)n son adyacentes si por definición:

a- (un)n es creciente b- (vn)n es decreciente c- Lim(vn-un)=0

Teorema: Dos sucesiones adyacentes convergen y tienen el mismo límite. Aplicación: Método de dicotomía. IV- SUCESIONES EXTRAIDAS Definición: Sea (un)n una sucesión de reales. La sucesión (vn)n se dice extraída de (un)n si por definición existe una aplicación estrictamente creciente de en tal que para todo entero natural n, vn=u(n). Teorema: Si la sucesión (un)n converge hacia , entonces toda sucesión extraída de

(un)n converge hacia . Teorema: Sea (un)n una sucesión tal que las dos sucesiones extraídas (u2n+1)n y (u2n)n convergen hacia un mismo real , entonces la sucesión (un)n converge hacia el real .



360

V- SUCESIONES RECURRENTES Localización del problema: Sea I un intervalo Sea f una función de I en I.

Se considera la sucesión definida por: 0

n 1 n

u Iu f (u ) para todo entero natural n

.

Estudio de la sucesión (un)n. Interpretaciones gráficas:



361

Teorema: Sea f una función creciente de I en I. Sea la sucesión definida por: 0

n 1 n


1- Si u0u1, entonces la sucesión (un)n es creciente. 2- Si u0u1, entonces la sucesión (un)n es decreciente.

Teorema: Sea f una función decreciente de I en I. Sea la sucesión definida por:

0

n 1 n


Entonces las series extraídas (u2n+1)n y (u2n)n son monótonas: una es creiente y la otra decreciente. Definición: Sea f una función. Las soluciones de la ecuación «f(x)=x» son por definición los puntos fijos de f. Teorema: Sea f una función continua de I en I. Sea la sucesión definida por:

0

n 1 n

u Iu f (u )para todo entero natural n

Si la sucesión (un)n converge hacia el real de I, entonces es un punto fijo de f.

Ejemplo : Sean (un)n y (vn)n las 2 sucesiones definidas por : 0

n 1 n

u 5

u u

y 0

n 1 n

1v 4

v v

.

Estudio de la monotonía y de la convergencia (un)n y (vn)n.

Representación de (un)n Representación de (vn)n Teorema del punto fijo: Sea f una función definida y derivable en I=[a,b] que comprueba:

1- Para todo x de I, f(x) es elemento de I, 2- Existe un real k de ]0,1[ tal que para todo x de I, |f ’(x)| k(entonces decimos que f

es k-contratante), Entonces existe un único real de I tal que f()=. es llamado punzado sueldo fijo de f.



362

Además la sucesión definida por: 0

n 1 n


converge y

tiene por límite . Tenemos: |un-|kn|b-a| para todo entero natural n.



363

Algunos métodos numéricos de resolución de la ecuación f(x)= 0 1 Dicotomía

Sea f continua en [a,b] y tal que f(a)f(b)<0. 1- Mostrar que existe al menos una raíz de la ecuación f(x) = 0 en ]a,b[. 2- El método de dicotomía consiste en localizar una raíz eligiendo uno de los intervalos

[a1,b1]=

2ba,a o

b,2

ba tal que f(a1)f(b1) 0, luego a iterar. Sea [an,bn] el intervalo

obtenido en la nésima etapa.

a) Mostrar que las sucesiones (an)n y (bn)n convergen hacia una raíz r de la ecuación f(x)=0.

b) Dar un mayorando n del error de método cometido dando para un valor próximo de r, el valor medio de [an,bn].

c) Aplicación numérica: ¿Cuántas iteraciones son necesarias prever si se quiere un

valor con una exactitud de 10-15 para 3 5 , utilizando f(x)=x3-5, a =23 , b = 2 ?

2 Teorema del punto fixo 1- Sea contratante en [a,b] y admite entonces un punto fijo único r y sea (un)n la sucesión recurrente: u0 [a,b], un+1=(un). Citar la expresión de un mayorando del error de método |un-r|. 2- Sea fC1[a,b] tal que la ecuación f(x) = 0 admita una raíz única r en [a,b]. r es entonces punto fijo de toda aplicación de la forma

(x) = x + f(x), ( ). a) Por qué sería juicioso de escoger tal que ’(r) = 0?

En la práctica podemos escoger = )x('f

10

donde x0 es una aproximación de r.

b) Aplicación numérica: Aplicar el método para encontrar 3 5 con un 10-15 de

proximidad. 3- Método de Newton Sea f una función de clase C² en [a,b] tal que f(a)f(b)<0, f ’ y f ’’ de signo constante y que no se anulan en [a,b]. Sea Cf el gráfico de f.

1- Trazar unos esbozos de Cf haciendo aparecer las propiedades de f (hay 4 casos de figura).

2- Mostrar que la ecuación f(x)=0 admite una raíz única r en [a,b]. Se supone en adelante para fijar las ideas que f(a)<0, f ’ y f ’’>0 en [a,b].

3- Se define geométricamente la sucesión (un)n de la siguiente forma: u0=b la recta de ecuación x=un corta Cf en un punto Mn. La tangente a Cf que va de Mn corta Ox en el punto de abscisa un+1.

Representar gráficamente la sucesión (un)n, luego calcular un+1 en función de un.



364

4- Se supone en esta pregunta n fijo con r<un b. a- Mostrar que un+1<un. b- Probar la existencia de c elemento de ]a,b[ tal que:

f(r)=f(un)+(r-un)f ’(un)+2

)²ur( n f ’’(c) (1)

c- Observando que f(r)=0, mostrar que r<un+1. 5- Probar la convergencia de (un)n hacia r. 6- Sea n=|un-r| el error de método cometido cuando se detiene la iteración en la nésima

etapa. Mostrar, utilizando (1), que n+1=)u('f2

)c(''f

n

n², luego que nK1

(K0)n2 , con

K=1

2

m2M

, M2=[a,b]Sup f " , m1= 'fInf

]b,a[.

Aplicación numérica: f(x)=x3-5, a=23 , b=2. ¿Cuánto es necesario prever de iteraciones para

obtener 3 5 con 1000 decimales exactos? (¡con un calculador perfecto!)



365


Ejercicio 1 : Calcular las siguientes sumas:

8 n n nk

2k 0 k 0 k=0 k 0

n12n k(3k 1) ; ; (3 k 1) ; k6n 3

Ejercicio 2 : Consideremos la sucesión n n

u

, para n entero natural, expresar nu en función de 0u .

1. n 1 nu 3u 2. n 1 nu u 2n 1 3. n 1 nu 2u 3 4. 2

n 1 nu (u ) Ejercicio 3 :

1. Gracias a la definición, mostrar que la sucesión n nu

de término general n

2un 1

converge. 2. Gracias a la definición, mostrar que la sucesión n n

u

de término general 2nu n

diverge hacia .

Ejercicio 4 : Definimos para n entero natural no nulo, n

n 2k 1

1uk

.

1. Escribir los términos 1 2 3 4u , u , u y u , por otro lado, escribir con ayuda del signo el término 2 nn

u u , para n entero dado.

2. Dar (sin calcularlos) los cuatro primeros términos de la sucesión extraída 2n nu .

3. Cuál es la monotonía de la sucesión *n nu

?

Ejercicio 5 : Estudiar la convergencia de la sucesión *n n

u

donde nu está dado por:

1. nnu sen n2 2

2. nn

n 1u ( 1)n

3. nu ln(n 1) ln(n)

4. 2

n 2

3n cos(n)u4(n 1) sen(3n)

5. 2nu n n n

6. n n

k 0

1unk

.



366


Ejercicio 1 : 117 ; 2

25n(n 1)2 6n 3

;

n 13 3 n(n 1)2

; n2

Ejercicio 2 :

1. nn 0u 3 u

2. n

2n 0 0

k 1u u (2k 1) u (n 1) 1

3. nn 0u ( 2) (u 1) 1

4. n2

n 0u u Ejercicio 4 :

1. 1 2 3 45 49 205u 1,u ,u ,u4 36 144

; si n es un entero, 2

2

n

n 2nk n 1

1u uk

.

2. Los cuatro primeros términos son 1 4 9 16u , u , u y u .

3. Si n es un entero, n 1 n 2

1u u 0(n 1)

entonces la sucesión *n nu

es

estrictamente creciente.

Ejercicio 5 : 1. La sucesión es divergente (Las sucesiones extraídas 4n 4n 1n n

u y u son convergentes con límites diferentes).

2. La sucesión es divergente. (Las sucesiones extraídas 2n 2n 1n nu y u son

convergentes con límites diferentes). 3. *n n

u

tiende hacia 0.

4. *n nu

tiende hacia

43 (Poner 2n en factor en el numerador y en el denominador).

5. n nu

converge hacia

21 .

6. Simplificando obtenemos n n

1u2

, entonces n nu

converge hacia 0.



367

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Se considera la sucesión ( )un n definida por unnn

3 12 3

para todo entero natural

n. a- Mostrar que la sucesión ( )un n es creciente y agrandada.

b- Demostrar utilizando la definición de límite de una sucesión que nnLim u

= 32

.

Ejercicio 2. Mostrar que la sucesión con término general n

n

n

1 converge hacia e.

Ejercicio 3. Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones definidas por su término general:

a- un

nnn

( )1

1 e- u n n a nn .( )

b- un

nn 1

f- u n nn 1 33

c- un

nn 1 g- n

n nu .sen2 2

d- u n n nn ² h- 2 3

nsen (n) cos (n)u

n

Ejercicio 4. Sea la sucesión (un)n definida por uun

n 1 1

1 y u0=1.

El propósito es mostrar la convergencia de (un)n y de determinar su límite por tres métodos distintos.

Mostrar que el límite eventual de (un)n solo puede ser 1 5α2

(Número de oro).

1- a- Mostrar que: n 1 n1n , u u

.

b- Deducir que (un)n converge hacia el número de oro. 2-a- Estudiar el signo de un+1- en función del de un- y el signo de un+1- un en función del de un- un-1. b- Mostrar por recurrencia que: 2pp , u y 2p+1p , u . c- Mostrar que (u2p)p es una sucesión creciente y que (u2p+1)p es una sucesión decreciente y que estas dos sucesiones extraídas de (un)n son sucesiones convergentes. d- Mostrar que los límites de (u2p)p y (u2p+1)p son iguales. e- Mostrar que entonces (un)n es una sucesión convergente. 3- Sea la segunda raíz de la ecuación: x²=x+1.



368

a- Sea la sucesión (vn)n definida por nn

n

uv nu

. La sucesión (vn)n esta

definida ? b- Mostrar que la sucesión (vn)n es una sucesión geométrica. c- Deducir que la sucesión (un)n converge hacia . Ejercicio 5. Sea “a” un real positivo. Se considera la sucesión ( )un n definida por n ,

n 1 nn

1 a²u u2 u

con u0>0. Estudiar la convergencia de la sucesión ( )un n .

Ejercicio 6. Estudiar la convergencia de la sucesión ( )un n definida por:

n , uu

nn

1

12

²

Ejercicio 7. Sea f la función definida por: f(x) = - x - 1x

. Consideramos la sucesión ( )un n

definida por 0u 1 et n , un+1=f(un). 1- Estudiar las variaciones de f. Determinar eventualmente las asíntotas y los puntos

fijos de f. Trazar el grafo de f en 1 15, ,55 5

(Unidad: 1 cm).

2- Representar gráficamente los u n para n elemento de {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 3- Determinar los conjuntos (f f)([1 ;+ [) y (f f)(]- ;-2]). Deducir de eso las inclusiones: (f f)([1 ;+ ) [1 ;+ [ y (f f)(]- ;-2]) ]- -2]. 4-a- Mostrar que la sucesión ( )u n n2 es creciente y que la sucesión ( )u n n2 1 es decreciente. b- Cuáles son los límites eventuales de ( )u n n2 y de ( )u n n2 1 ? Concluir. Ejercicio 8. El objetivo de este ejercicio es estudiar la sucesión ( )un n definida por :

n , u un n 1 1 2ln a- Estudiar el signo de la función definida por :x ln(1+2x) – x. b- Estudiar la convergencia de la sucesión ( )un n . Ejercicio 9. Nos proponemos calcular un valor aproximado de la solución positiva de la ecuación “x²+x-1=0”.

1-a- Demostrar que en el intervalo 1 ,12

, esta ecuación admite una única raíz,

llamada r.

b- Demostrar que es equivalente a la ecuación: “g(x) = x” donde g(x)= 1x 1

.

2- Definimos una sucesión (un)n por u0= 1 y n , un+1=g(un). a- Con ayuda del teorema del punto fijo, demostrar que (un)n converge hacia r. b- determinar un valor cercano de r con una precisión de 10-2.

Donamos: 24

9

0,1975; 34

9

0,0878; 44

9

0,039; 54

9

0,0173; 64

9

0,0077.



369

Ejercicio 10. Sea f : [0, + [ la función definida por f(x) = xe

x 2. Consideramos la

secuencia numérica n nu

definida por su primer termo u0 = 1

2 y por la relación de

recurrencia n, un+1 = f(un). 1- Mostrar que, para todo n, un [0,1]. 2- Mostrar que existe un real único [0, 1] tal que f ( ) = . 3- Probar, con la ayuda de la desigualdad de los crecimientos terminados, que:

Para todo n, |un+1- | 23

|un- |

4- Deducir que nnLim u

= , y dar un valor acercado de a 10-3 cerca.

Ejercicio 11. Sea n nu la sucesión definida por :

0

nn 1

n

u 22un , u

3 u

.

1- Consideramos la función f definida por 2xf x

3 x

y I 3;0 .

Las condiciones de aplicación del teorema del punto fijo están reunidas?

2- Deducir la convergencia de la sucesión n nu también su límite .

3- A partir de qué valor de n, un es un valor cercano de con una precisión de 10 –3 ?

Ejercicio 12. Se considera la sucesión ( )un n definida por uabn

n

n donde :

n *, n n 1 n 1 n n 1 n 1 0 0 a 2a 3b y b a 2b con a 0 y b 0 a- Mostrar que para todo entero n, a n y b n son estrictamente positivos. b- Determinar un1 en función de u n . c- Estudiar la convergencia de la sucesión ( )un n . Ejercicio 13. Sea la sucesión ( )un n tal que ( )u n n2 1 , ( )u n n2 , ( )u n n3 convergen. Mostrar que la sucesión ( )un n converge. Ejercicio 14. El objetivo de este ejercicio es estudiar la sucesión ( )un n definida por :

u0=52

y n , un+1=1+n

41 u

a- Representar gráficamente los primeros términos de esta sucesión b- Estudiar la convergencia de la sucesión ( )un n . Ejercicio 15. Sea 0 < b < a. consideramos las sucesiones imbricadas definidas por 0u a ,

0v b y para todo n :

n nn 1

u vu2

y n n

n 1n n

2u vvu v

1- Demostrar que n0 u y n0 v para todo entero n. Deducir que n nu v .



370

2- Demostrar que la sucesión n nv es creciente y que n n

u es decreciente.

3- Verificar que para todo entero n, n 1 n 1 n n10 u v u v2 .

4- Deducir que las sucesiones n nu y n n

v

son adyacentes.

5- Mostrar que la sucesión n n nu v es constante y deducir el límite de las sucesiones

n nu y n n

v

. Ejercicio 16. Sucesión de Fibonacci Consideramos la sucesión (un)n definida por 0 1 n 2 n 1 nu u 1 y u u u , n . 1-a- Determinar los límites posibles de la sucesión (un)n. b- Mostrar que (un)n es creciente y que ella tiende hacia + . 2- Demostrar por recurrencia la relación (1) siguiente:

(1) Para todo entero n no nulo, un²-un+1un-1=(-1)n

3- Anotamos, para todo entero n, vuun

n

n

1 .

a- Utilizando la relación (1), desarrollar vn+1-vn en función de un y de un+1. b- Deducir que las sucesiones (v2p)p y (v2p+1)p son adyacentes. c- Mostrar que (vn)n es convergente y determinar su límite. Ejercicio 17. para todo entero n 2 , definimos la función fn : para n

nf x x x 1 para x real.

1- Mostrar que existe un único real nx 1 tal que n nf x 0 .

2- Mostrar que n 1 nf x 0 . 3- Deducir que la sucesión (xn)n converge.

Ejercicio 18. Para todo n, escribimos nx la solución de la ecuación « tan x x »sobre el

intervalo nI n ; n2 2

.

El fin de este ejercicio es determinar un desarrollo generalizado de la sucesión n nx .

1- Justificar la existencia y la unicidad de xn y dar un equivalente de xn en .

2- Suponemos n nu x n . Verificar que n 0u I ;2 2

y demostrar que

n nu arctan x .

Deducir que la sucesión n nu converge y determinar su límite.

3- suponemos n nv u2

. Verificar que nn

1tan vtan x

. Deducir un equivalente de vn

en . 4- Deducir de las preguntas precedentes un desarrollo generalizado de la sucesión n n

x .



371

Algunos ejercicios corregidos Ejercicio 19. Determinar los límites eventuales de las sucesiones de término general:

1- n

n 2k 1

kun

2- n 1 n 1

n n n

2 3v2 3

3-

nk

n kk 0

1w 13

Corrección : 1- n

n 2k 1

kun

De hecho, tenemos : n

n 2 2k 1

n n 11 1u kn n 2

entonces nn

1lim u2

.

2- n 1 n 1

n n n

2 3v2 3

Factorizamos el numerador y el denominador por el término preponderante : n 1 n 1

n 1

n 1 n 1

n n n n nn

2 23 1 13 32 3v 3

2 3 2 23 1 13 3

.

Sabemos que : n n 1

n n

2 2lim lim 03 3

entonces nn

lim v 3

.

3- n

kn k

k 0

1w 13

Reconocemos la suma de términos de una sucesión geométrica de razón 13

.

Tenemos entonces:

n

n

n

113 13w 1

1 4 313

, de donde nn

3lim w4

.

Ejercicio 20. Para todo n, llamamos n1

n 20

xI dx1 x

. Mostrar que la sucesión n nI

decrece y que nnlim I 0

.

Corrección: Observemos primero que la aplicación: n

2

xx1 x

es continua en 0;1

entonces la integral nI está bien definida. Por el contrario, no podemos expresar fácilmente los términos de la sucesión en función de n. Calculamos entonces n 1 nI I :

nn 1 n n 1 n1 1 1 1

n 1 n 2 2 2 20 0 0 0

x x 1x x x xI I dx dx dx dx1 x 1 x 1 x 1 x



372

En 0;1 , n

2

x x 10

1 x

, entonces n 1 nI I 0 , y la sucesión es decreciente.

Particularmente, es evidente que nI 0 . Se trata entonces de una sucesión decreciente y minorada, entonces ella converge.

Además, en 0;1 , 2

1 11 x

entonces : 1n 11 n

n n 00

x 1I I x dxn 1 n 1

.

Deducimos, de acuerdo con el teorema de gendarmes que la sucesión n nI tiende hacia 0.

Ejercicio 21. Estudiar la sucesión n nu definida por: u0+ y n ,

2n

n 1u 1u

2

.

Corrección : Llamamos: 21 xf x

2

.

La función f está definida y se puede derivar de + en +, y tenemos que para todo x de +, f x x .

Esta función es entonces creciente de + en + entonces la sucesión n nu es monótona.

Por otro lado, tenemos : 20

1 01 uu u

2

. En efecto, 2 2

0 0 0u 1 0 u 1 2u .

La sucesión n nu

es entonces creciente. Debemos entonces distinguir dos casos:

0u 0;1 :

En este caso, verificamos por una recurrencia inmediata que: nu 1 .

En efecto, es verdad al rango 0 y si nu 1 entonces 2n

n 11 u 1 1u 1

2 2

.

La sucesión n nu es creciente y mayorada, deducimos que elle converge. Llamamos su

límite.

Pasando al límite en la relación 2n

n 1u 1u

2

, obtenemos:

2

221 1 2 0 1 0 12

.

Concluimos que la sucesión converge hacia 1.

0u 1; :

Esta vez, debemos estudiar si la sucesión es mayorada. Observemos que :

22n n nu 1 u 1 2u . Por otro lado, tenemos: 0u 1 con 0 .

Deducimos que: 2

n 1 nu u2

. Por una recurrencia inmediata, verificamos que :

2

n 0u n u2

Particularmente, la sucesión no está mayorada, y deducimos que : nnlim u

.



373

Ejercicio 22. Vamos a estudiar la sucesión n nu definida por:

u0=32

y n , n 1 nn

1 2u u2 u

1- Consideramos la función f definida en I 1;2 por : 1 2f x x2 x

.

Las condiciones de aplicación del teoremas del punto fijo estás reunidas ? 2- Deducir la convergencia de la sucesión n n

u así que su límite . 3- Desde qué valor de n, nu es un valor cercano de a 10 –3 aproximativamente?

Corrección : 1- La función f está definida en I, y tenemos, para todo x de I, 2

1 1f x2 x

.

Además, para x I , 1 1 12 x , entonces 21 1 x 2 2

x , y así 1 f x 2 , entonces

f I I .

Por otro lado, para x I , 2

1 1 14 x , entonces 2

1 11x 4

et 2

1 1 1 12 2 x 4

.

Deducimos que: para x I , 1f x2

.

Las condiciones para aplicar el teorema del punto fino estás todas verificadas. 2- De acuerdo con la pregunta anterior, podemos aplicar el teorema del punto fijo: Existe un único I tal que f , y la sucesión n n

u converge hacia . No queda más que determinar la valor del real :

21 2 1 1 1 1f 2 2 o 2 2 2 2

Siendo dado que I , concluimos que 2 . 3- De acuerdo con el teorema del punto fijo , tenemos la relación:

n

n n

1 1u 2 12 2

.

nu es entonces un valor cercano de a 10 –3 aproximativamente de que 3n

1 102

:

3 n 3n

1 ln1010 2 10 n ln 2 3ln10 n 32 ln 2

Sabiendo que ln103 9,97ln 2

, escogemos n 10 .

Ejercicio 23. Para todo entero n*, consideramos la aplicación nf : 0;1 definida por:

3nnf x x 1 x

1- Mostrar que para todo n*, existe un único n 0;1 tal que : n nf 0 .

2- Mostrar que : para todo entero n 2 , n 1 nf 0



374

3- Deducir que la sucesión n n converge hacia un límite 0;1 .

Demostrar por lo absurdo que 1 . Corrección : 1- La función nf es continua y se puede derivar en 0;1 , y tenemos :

2n 1

nf x nx 3 1 x .

Particularmente, para x elemento de 0;1 , nf x 0 , y entonces la función es estrictamente

creciente en 0;1 . Además, fn función 0;1 .

Por otro lado, tenemos : nf 0 1 , y nf 1 1 , entonces 0 f 0 ;f 1 .

Concluimos que existe un único n 0;1 tal que : n nf 0 .

2- Por definición, tenemos: n nf 0 y esto implica que : 3n

n n1 .

Obtenemos entonces: 3n 1 n 1 n n 1

n 1 n n n n n n nf 1 1

.

Sabiendo que n 0;1 , deducimos que : n 1 nf 0 .

3- De acuerdo con la pregunta anterior, tenemos : n 1 nf 0 .

Como por definición, n 1 n 1f 0 , y hemos visto en la pregunta 1 que la función n 1f es

estrictamente creciente en el intervalo 0;1 . Deducimos que: n 1 n , lo que quiere decir que la sucesión (n)n es creciente. Por otro lado, siendo dado que n 0;1 , ella es mayorada por 1.

Concluimos que ella converge hacia un real 0;1 . Particularmente, la sucesión siendo estrictamente creciente, tenemos n para todo n, y así 0 . Entonces, 0;1 . Demostramos por el absurdo que 1 . Supongamos que 1 , tenemos 0 1 . De acuerdo con lo que precede, tenemos entonces n 1 para todo n.

Como por definición, tenemos : 3n

n n1 , y ya que n nn , deducimos que

3

nnlim 1 0

.

Como 3 3

nnlim 1 1

, concluimos que 1 , lo que contradice nuestra hipótesis.


A proposito de la redaccion

375

Capítulo 23

A PROPOSITO DE LA REDACCIÓN

Uno de los problemas para los estudiantes (fuera de los problemas puramente matemáticos) es la redacción. Qué escribimos? Qué cosas no podemos escribir? Es que mi demostración es correcta y es que ha sido redactada correctamente ?.... El objetivo de este capítulo no consiste en responder globalmente todas esas preguntas sino el de simplemente dar ejemplos (reales) de las hojas de exámenes con el fin de dar una idea de lo que es posible (y conveniente) de escribir en una redacción. A través los ejercicios y los problemas de exámenes de años anteriores (basados en el mismo programa) ofrecemos de manera similar a las hojas de examen. No se trata de modelos perfectos de redacción que hay que seguir al pie de la letra, sino simplemente de ejemplos…



376

Ejercicio 1. Sea n un entero natural estrictamente positivo.

Mostrar que : n(n+1)(n+2)(1×2)+(2×3)+(3×4)+......+n(n+1)=3

.



377

Ejercicio 2. Sea u un endomorfismo de un espacio vectorial E de dimensión finita sobre . Justificar si las siguientes implicaciones son verdaderas o falsas : - valor propio de u 2 valor propio de u2 = u ou.

- x vector propio de u x vector propiode u2. - u diagonalizable u2 diagonalizable.



378



379

Ejercicio 3. 3 tiene por base canónica B = i, j, k .

Notamos f al endomorfismo de 3 tal que Mat (f,B )= M = 21

2 1 - 1 0 1 1 0 1 1

.

1- Dar una base de Kerf , de Imf. 2- Calcular M 2 . Qué podemos deducir ? 3- Tomamos u = k ; v = i + j + k y w = i - j - k .

3-1- Demostrar que la familia B ’= w ,v ,u es una base de 3 . Escribir la matriz de

paso P de B a B ’.

3-2- Desarrollar i , j et k en función de u , v y w .

3-3- Deducir la matriz de paso Q de B ’a B . Podemos obtener Q de otra manera ?



380

Ejercicio 4. Consideramos la sucesión de polinomios Pn definida por: 0 1 n+1 n n-1P (X)=1 P (X)=X et P (X)=2XP (X)-P (X) para n .1

1-1- Calcular P2 ,P3 ,P4. 1-2- Determinar para n en * el grado de Pn y su término de grado más alto. 2-1- Mostrar por recurrencia sobre el entero natural n, que para x>1 , n n+1P (x) P (x) . 2-2- Deducir que : para n entero natural, x>1 nP (x)>0 . 2-3- Admitiremos que Pn tiene la misma paridad que n.

Mostrar entonces que las raíces de Pn están entre [-1, 1]. 3- Para x [ 1, 1] ,tomamos : x = cos , [0, ] . 3-1- Mostrar que para todo n en , tenemos : Pn (cos . ) = cos(n ).

Deducir que para x entre [-1, 1], Pn(x) = cos (n arccos (x)). 3-2- Resolver la ecuación: cos (n arccos (x))=0 . Deducir que para n * y x :

Pn(x) = 2n-1 n 1

k 0

2k 1x cos

2n



381



382

Ejercicio 5. (Extracto) Sea f la función definida sobre 0, par : f (x) ln(cos x)2

.

1- Mostrar que f es un bijección de 0, 2

sobre un intervalo a determinar. Dar su

bijección recíproca f -1 y calcular (f -1)’ de dos maneras diferentes

2-1- Mostrar que existe un real entre ]0, 1[ tal que : f(x) = 2

2

xln(cos x)2cos ( x)

.

A continuación, admitiremos la unicidad de este real . Definimos así una función u : θ=u(x) . 2-2- Desarrollar u(x) en función de x.



383



384



385



386

Ejercicio 6. 1. Sea a un real estrictamente positivo.

1.1 Mostrar que a

cos u duu²

existe

1.2 Utilizando una integración por partes, demostrar que a

sin u duu

existe.

Admitimos, del mismo modo: a

cos u duu

existe.

1.3 Demostrar que 0

sin u duu

existe.

2. Sean a y x dos reales estrictamente positivos. Utilizando un cambio de variables, demostrar:

x a x a x

0 a a

sin t sin u cos udt cos a du - sin a dut+a u u

Deducir que 0

sin t dtt+a

existe y vale : a a

sin u cos ucos a du - sin a duu u

.

3. Demostrar que 1

a

cos ua 0,1 , 0 du ln au

.

Deducir que aa 0

cos uLim sin a du 0u

luego que

0 0a 0

sin t sin uLim dt dut+a u

.



387



388


Documents

Amerinsa - Portail documentaire SCD Doc'INSA | INSA de Lyon