Mécanique & Industries 3 (2002) 181–188

Analyse de la coupe vibratoire à basse fréquence appliquée au perçage

Analysis of low frequency vibration cutting applied to drilling

George Morarua,∗, Daniel Brun-Picarda, Alexandre Gouskovb

a Équipe Ingénierie Mécanique Systèmes, École Nationale Supérieure d’Arts et Métiers, 2, cours des Arts et Métiers, 13617, Aix-en-Provence, Franceb Université Technique d’état Bauman de Moscou et Institut National Polytechnique de Grenoble, Laboratoire 3S, Domaine Universitaire, BP 53, 38041

Grenoble cedex 9, France

Reçu le 15 novembre 2001; accepté le 7 décembre 2001

Résumé

Le perçage vibratoire par tête autovibrante utilise l’effet de régénération de la surface usinée, qui est responsable de l’apparition desvibrations autoentretenues. Il s’agit donc de mettre à profit des vibrations qui habituellement sont considérées comme néfastes dans lesprocédés d’usinage. Les vibrations axiales provoquent la fragmentation des copeaux, facilitant leur évacuation. L’ensemble pièce–outil–machine entre en résonance pour certains régimes de coupe (fréquence de rotation, avance, diamètre de l’outil. . . ). Afin d’obtenir des régimesvibratoires convenables du point de vue de la durée de vie de l’outil et de la productivité du procédé, la dynamique du système usinant doitêtre maîtrisée pour stabiliser le niveau de vibration. La stabilité du système, la nature de bifurcations et, notamment, les phénomènes quiinterviennent au-delà de la limite de stabilité (limitation d’amplitude due à l’interruption de coupe) sont étudiés en utilisant un systèmedynamique modélisant la coupe vibratoire interrompue. La modélisation adimensionnelle nous a permis de réduire le nombre de paramètresdu processus et d’obtenir, par simulation, des informations graphiques qui caractérisent le comportement dynamique d’un couple têtevibrante–matériau. L’analyse des bifurcations conduit, en fin d’article, à une hypothèse explicative de l’instabilité des solutions numériqueset de la dispersion des données expérimentales antérieures. Finalement, des remarques importantes sont faites visant les expérimentationsà venir et les régimes de coupe envisagés, pour éviter les problèmes rencontrés dans les études précédentes. Il est à noter que les travauxprésentés dans cet article apportent une contribution à la compréhension des phénomènes de broutement qui affectent les procédés d’usinage. 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved.

Abstract

The self-excited vibration drilling is a promising machining technology that uses the regeneration effect to produce axial chatter, in orderto assist chip breaking. This technique takes advantage from vibrations, which are usually considered as harmful in cutting processes. Themachine–tool–part system becomes unstable for certain process parameters (spindle frequency, feedrate, tool diameter, etc.). In order toachieve high process productivity and a reasonable tool life, the process dynamics has to be mastered. The stability of the system, thebifurcation nature and the phenomena that occur in vibration cutting (amplitude limitation by cutting interruption) are studied by using ageneral vibration cutting model. Dimensionless approach allowed us to reduce the number of meaningful process parameters and to obtainby simulations graphical information on the dynamics of a vibration drilling head–material pair. The analysis of numerical simulations leadsto an explanation of the dispersion of results found in previous experiments. Finally, important conclusions are drawn concerning furtherexperiment planning and adequate process parameters to use for obtaining desired vibration cutting characteristics. One could note that theseresearches bring a contribution to the understanding of chatter phenomenon. 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Allrights reserved.

Mots-clés :Perçage ; Vibrations ; Systèmes dynamiques á retard ; Simulation ; Analyse de stabilité ; Bifurcations

Keywords:Drilling; Vibrations; Retarded dynamical systems; Simulations; Stability analysis; Bifurcation

* Correspondance et tirés à part.Adresses e-mail :George.Moraru@aix .ensam.fr (G. Moraru),

Daniel.Brun-Picard@aix.ensam.fr (D. Brun-Picard).

1. Introduction

La coupe vibratoire est divisée en deux parties selon lesdomaines de fréquences utilisées : vibrations ultrasoniques

1296-2139/02/$ – see front matter 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved.PII: S1296-2139(02 )01155-7

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Nomenclature

c amortissement de la suspensionélastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N·s·m−1

D diamètre du foret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mmf avance instantanée. . . . . . . . . . . . . . . . . . mm·tr−1

f0 avance programmée . . . . . . . . . . . . . . . . mm·tr−1

fz = f/z avance par lèvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . mm·tr−1

F =KfDp[mm]f

q[mm] force de pénétration. . . . . . . . . . . . N

k rigidité de la suspension élastique . . . . . N·m−1

Kf,p etq constante de matériau et exposants du modèled’efforts de Merchant

m masse du système vibrant . . . . . . . . . . . . . . . . . kgr retard entre deux passages consécutifs de

l’arrête coupante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . st temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sX élongation du mouvement vibratoire . . . . . . . . mXa élongation du mouvement d’avance . . . . . . . . mXc élongation du mouvement total . . . . . . . . . . . . mx =X/fz élongation adimensionnelle du mouvement

vibratoirexa =Xa/fz élongation adimensionnelle du mouvement

d’avancexc =Xν/fz élongation adimensionnelle du mouvement

total

z nombre de lèvres de l’outilξ = c/(2

√km) coefficient d’amortissement de la tête

vibranteλ= ν0/νz rapport entre la fréquence propre de la tête

vibrante et la fréquence de passage des arêtestranchantes

κ = (F/fz)/k rapport entre la raideur de la coupestationnaire et la raideur de la tête vibrante

δ position adimensionnelle de la surface généréesous l’arête tranchante

∆ position de la surface générée sous l’arêtetranchante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m

τ = t/r temps adimensionnelν fréquence d’oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hzνr =N/60 fréquence de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . Hzνz = zνr fréquence de passage des arêtes

tranchantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hzν0 = (1/2π)

√k/m fréquence propre de la tête

vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hzη = ν/νz nombre d’oscillations entre deux passages de

lèvresµ= ν/ν0 rapport entre la fréquence d’oscillations et la

fréquence propre de la tête vibrante

et vibrations à basse fréquence. La coupe vibratoire à bassefréquence appliquée au perçage présente comme principalavantage la fragmentation des copeaux due à l’interruptionde la coupe pendant la phase de recul de l’outil vibrant.Ceci facilite l’évacuation des copeaux par le liquide decoupe et supprime les opérations de débourrage. Les gainsde productivité et de qualité de la surface obtenue sontpotentiellement importants, notamment en perçage profond,où les vitesses de coupe et d’avance sont diminuées pourobtenir des régimes de coupe favorisant la formation decopeaux brisés.

En [1] les deux mécanismes de génération de vibrationsdans le processus de coupe ont été présentés (vibrationsforcées et vibrations auto-entretenues). Les vibrations auto-entretenues sont préférables car elles laissent la dynamiquedu système agir librement évitant les contraintes et leschocs. Ce papier marque une avancée dans la formalisationdes phénomènes et l’interprétation des résultats en ce quiconcerne la dynamique de la coupe auto-vibratoire enperçage.

Les vibrations auto-entretenues qui apparaissent dansles procédés d’usinage utilisant des systèmes pièce–outil–machine classiques sont difficilement maîtrisables et les ré-gimes vibratoires obtenus s’avèrent dangereux à la fois pourla machine et pour l’outil. C’est pour cela que l’idée d’intro-duire un élément élastique dans la liaison machine–outil, estparticulièrement intéressante, en permettant d’obtenir des ré-

Fig. 1. Le principe de la tête vibrante en perçage.

gimes de coupe vibratoire de faible énergie et une maîtriseplus facile de la dynamique du système. C’est en fait l’idéede la tête vibrante de perçage, détaillée en [1–3] et présentéedans la Fig. 1.

2. Modélisation de la coupe vibratoire — approcheadimensionnelle

Le modèle physique de la coupe vibratoire est présentédans la Fig. 2. On peut distinguer trois sous-modèles : lemodèle de génération de la surface usinée, le modèle des ef-forts de coupe et le modèle dynamique de la machine outil.Le modèle de génération de la surface usinée décrit la dépen-dance de l’épaisseur coupée vis-à-vis de la surface généréepar les passages précédents. Le modèle d’efforts, utilisé enpremière approche dans le cadre des travaux présentés dansce papier, est de type Merchant [4]. Ce modèle particuliè-

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Fig. 2. Modèle général d’interaction du système pièce–outil–machine encoupe vibratoire.

rement simple est imposé par le manque de connaissancesfines sur les lois de coupe en régime vibratoire. En ce quiconcerne le modèle de comportement dynamique de la ma-chine, l’utilisation d’un élément élastique dans la construc-tion de la machine (tête vibrante de perçage), privilégiantle mouvement vibratoire axial, permet de réduire l’étude àun mouvement unidimensionnel. Cet élément élastique per-met également d’avoir des régimes de coupe vibratoire plusaccessibles qui n’endommagent pas l’outil ou la machine(l’énergie de vibrations est diminuée). Même dans le casd’une machine rigide, on peut toujours réduire son com-portement dynamique dans la direction axiale à un modèlesimple, de type masse–ressort amorti, dans la mesure où lemode propre correspondant est suffisamment éloigné et dé-couplé par rapport aux autres modes propres.

Les principes et la mise en œuvre du formalisme adimen-sionnel pour les lois de coupe sont présentés dans [2]. Laformalisation adimensionnelle du modèle dynamique en per-çage profond est donnée dans [3,5]. Les longueurs sont ré-férencées à l’avance par lèvre et les durées, au temps quis’écoule entre deux passages consécutifs de lèvres. Le sys-tème d’équations décrivant la dynamique du système auto-vibrant s’écrit alors :

δ(τ ≤ 0)= 0

δ(τ )= max(x(τ)+ τ, δ(τ − 1)

)(1)

x(τ )+ 4πξλx(τ )+ 4π2λ2x(τ)

= −4π2λ2κ(δ(τ )− δ(τ − 1)

)qLa première équation décrit la surface initiale (l’absence

du trou). La deuxième équation donne la position instantanéede la surface après le passage actuel. La dernière équation estcelle de la dynamique de la tête vibrante excitée par la forcede pénétration.

Le but de l’étude dynamique est d’obtenir suffisammentde connaissances sur les phénomènes engendrées, pourpouvoir déterminer les paramètres du processus procurantdes régimes vibratoires convenables. Dans ce but, il afallu définir des critères pour apprécier la qualité desdifférents régimes vibratoires en terme d’efficacité pour

la fragmentation des copeaux et de limitation de l’effetvibratoire pour protéger l’outil. En conséquence :

• l’amplitude adimensionnée des vibrations doit être com-prise entre 0,5 et 5,

• le nombre d’oscillations par passage de lèvre est limitéà l’intervalle[0,75;6],

• le taux de coupe, qui est défini comme la proportion dutemps passé à couper pendant une période d’oscillation,doit être le plus proche possible de la valeur maximale,égale à 1 (un taux de coupe égal à 1 caractérise la coupenon-interrompues).

La représentation adimensionnelle (1) montre que lenombre de paramètres significatifs est égal à 4 :q, κ, λ, ζ .Deux processus avec les mêmes nombres adimensionnelsauront le même comportement par rapport aux critèresdéfinis (qui sont également adimensionnels). Ceci permetde réduire l’étude de la dynamique du système à l’étudede l’influence de ces quatre nombres adimensionnels surle comportement du système. On notera que seuls lesparamètresκ, λ, ζ sont accessibles au réglage à traversles paramètres du processus,q ne dépendant que du coupleoutil–matière.

L’approche adimensionnelle peut être utilisée égalementpour l’élaboration d’un plan d’expériences judicieux, ba-sés sur les 3 nombres adimensionnelsκ, λ, ζ , plutôt quesur les 7 paramètres technologiques{N,f,m,k, c,D, z}. Deplus, une fois que le modèle est validé, il est aisé d’obte-nir différents réglages appropriés des paramètres technolo-giques à partir des définitions des nombres adimensionnels.La démarche proposée est simple dans son implémentationet flexible par le nombre de paramètres technologiques ré-glables plus élevé que le nombre de paramètres adimension-nels.

3. Analyse de la stabilité

L’amorçage des vibrations se fait dans des conditionsde faible amplitude d’oscillation. On peut donc simplifierEqs. (1) en considérant un seul passage antérieur dans l’effetde régénération de la surface et en développant le binôme enq . On obtient ainsi une équation différentielle non-linéaire àretard du type Merrit [6] :

x(τ )+ 4πξλx(τ )+ 4π2λ2x(τ)

= −4π2λ2κq(1+ x(τ)− x(τ − 1)

)(2)

Le terme constant à droite relève une solution stationnaireégale au recul de la tête vibrante :x(τ) = −κ . L’équationcaractéristique de l’équation homogène obtenue à partirde (2), en enlevant le terme constant, est :

s2 + 4πζλs + 4π2λ2 = −4π2λ2κq(1− e−s) (3)

Les solutions de cette équation à variable complexe (s =α + jω) conduisent à deux équations réelles :

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Fig. 3. Lobes de stabilité en forme adimensionnelle (ζ = 0,5 etq = 0,8).

α2 −ω2 + 4πζλα + 4π2λ2

= −4π2λ2κq + 4π2λ2κqe−α cosω (4)

2αω+ 4πζλω= −4π2λ2κqe−α sinω

On désigne le nombre d’oscillations entre deux passagesde lèvres parη (η = ω/(2π) = ν/νz) et on introduit lenombreµ = η/λ = ν/ν0. Ce dernier représente le rapportentre la fréquence d’oscillation et la fréquence propre de latête vibrante.

La limite de stabilité est obtenue pourα = 0. On obtientà partir de (4) :

1−µ2 = −κq(1− cos(2πη)

)(5)

2ζµ= −κq sin(2πη)

Le système (5) a une infinité de solutions :

µ+,− =√(

1+ κq − 2ζ 2) ±

√(κq − 2ζ 2

)2 − 4ζ 2

(6)η = i + 1

2πarcsin

(− 2ζ

κqµ+,−(κq, ζ )

)

qui sont valables pour les conditions :

κq ≥ 2ζ(1+ ζ ), 1 ≤ µ≤ κq

2ζ,

κq

2ζ≥ 1+ ζ (7)

ou, en forme dimensionnelle :

ν0 ≤ ν ≤ qKfDp[mm]f

q[mm]

2πfzc (8)qzKfD

p

[mm]103q

f 1−q ≥ c

√k

m+ c2

2m

Les domaines de stabilité sont représentés dans la Fig. 3pour ζ = 0,5 et q = 0,8. La partie gauche de chaque lobe(qui correspond à la solutionµ+) évolue asymptotiquementvers l’axe λ = 0 alors que la partie droite a commeasymptote la verticale définie parλ = i, i étant le numéro

du lobe. En dessous de la valeur critique donnée parκ = κcr = 2ζ(1+ ζ )/q on trouve un domaine de stabilitéinconditionnée. Les points critiques de connexion entreles deux branchesµ+,− sont donnés justement par cettevaleurκcr.

4. Analyse de bifurcation

L’analyse linéaire ne donne aucune indication sur ce quise passe au-delà de la limite de stabilité, ni sur les méca-nismes de limitation de l’amplitude (qui devrait, en approxi-mation linéaire, croître à l’infini), ni sur les phénomènesde saut liés aux points de bifurcation. Pour des questionsde complexité de calcul, l’analyse du comportement non li-néaire n’est faite, dans ce papier, que relativement aux varia-tions du paramètreκ et pour des points de bifurcation choisisparmi les points critiques définis ci-dessus (Fig. 3).

La forme linéaire étudiée dans le paragraphe précédent,obtenue par développement du binôme classique n’est plusvalable pour les fortes amplitudes (du même ordre quel’avance). Cependant, ce qui reste important pour l’analyseest d’avoir les conditions nécessaires pour appliquer laversion du théorème de bifurcation de Hopf appropriée aucas des équations différentielles infini-dimensionnelles. Parune dérivation implicite de (4) par rapport au paramètre debifurcationκ , on peut déduire la dérivée de la partie réelleα

au moment du changement de signe :

dα

dκ

∣∣∣∣λ=λcr,i

= πλcr,iq

(1+ ζ )(1+ 2πζλcr,i)= f (ζ, i) > 0 (9)

En [7] le calcul de bifurcation de Hopf sur une formeéquivalente du système dynamique a révélé l’existence d’uncomportement sous-critique dans les points de bifurcationdéfinis par κ = κcr (les minimums de chaque lobe destabilité). Cela signifie qu’il y a une solution instable dans

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Fig. 4. Diagramme de bifurcation.

un certain voisinage de la valeur critique deκ (Fig. 4). Cecycle limite instable existe pour des valeurs du paramètreκ < κcr et il peut intervenir dans la définition du domained’attraction du cycle limite asymptotiquement stable de lacoupe stationnaire (l’absence de vibration). Ces bifurcationsexistent et elles gardent leur nature sous-critiques pour despoints choisis arbitrairement sur la frontière de stabilité.L’incertitude permanente en ce qui concerne la force decoupe (comportement stochastique issu de phénomènes peuconnus ou mal maîtrisés et à des non-homogénéités desmatériaux) fait que ces bifurcations sous-critiques jouent unrôle important dans le comportement global du système.

Le comportement dans le voisinage du point de saut(perte de stabilité) a été étudié et mis en évidence du pointde vue expérimental en fraisage [8] et en tournage [9] (fi-nite amplitude chatter) et explicité du point de vue mathé-matique en [7]. Les équations qui dirigent ce comportementsont manifestement similaires à celles utilisées ici pour lamodélisation du perçage vibratoire.

Pourtant, au-delà des points de bifurcation, les loisqui établissent l’amplitude et la fréquence d’oscillationne restent pas les mêmes. L’amplitude des vibrations auvoisinage de points de bifurcation peut être calculée par desformules approximatives issues du calcul mais elles évoluentd’une manière inconnue pour les régimes éloignés de lafrontière de stabilité.

Pour étudier le système dynamique complet en prenanten compte la discontinuité de la coupe, un modèle desimulation a été mis en place sur la base des logicielsMatlab/Simulink®. Un domaine rectangulaire a été balayédans le plan{κ,λ}, choisi après l’analyse de la stabilitélinéaire, afin d’obtenir les caractéristiques d’amplitude et defréquence des régimes vibratoires. La Fig. 5 présente lesrésultats obtenus pourζ = 0,5 etq = 0,8.

La variation de taux de coupe (Fig. 5) montre quel’évolution des régimes vibratoires part de la frontière destabilité. Le taux de coupe a une évolution convenable (versles valeurs maximales) pour les points d’intersection dedeux lobes (Fig. 3) mais la stabilité de ces régimes est trèssensible aux petites variations deλ. Du point de vue de lastabilité, les meilleurs choix restent les voisinages des pointscritiques définis parλ = λcr,i et κ = κcr. En ces points, par

Fig. 5. Résultats de simulations.

contre, on trouve une amplitude de démarrage maximale(et aussi au-delà des points de bifurcation pourκ > κcr).Ce comportement est aussi en concordance avec l’étudeexpérimentale [7,8].

Dans la Fig. 6, pour les même paramètres de simulation,le nombre d’oscillations entre deux passages consécutifs estprésenté. On observe qu’au-delà de l’intersection des deux

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lobes de stabilité c’est le lobe correspondant au nombrei leplus élevé qui s’impose.

Un autre phénomène dû à la nature non linéaire du sys-tème est l’existence de plusieurs cycles limites pour unmême ensemble de paramètres du système. Ce fait a été misen évidence, en simulation, par l’effet d’une impulsion per-turbant la force de coupe après la stabilisation sur un cyclelimite (Fig. 7). Selon la valeur de l’impulsion, le comporte-ment du système évolue vers un cycle limite stable diffèrent.

L’existence de plusieurs cycles limites, avec des transi-tions entre eux, conduit à la considération de domaines d’at-traction de chaque cycle limite. On peut ainsi dire que lesinformations données par les Figs. 4 et 5 décrivent les cycleslimites atteints en partant de conditions initiales nulles. Lesautres cycles limites sont atteints suite à des perturbations.La sensibilité du régime vibratoire par rapport aux perturba-tions est d’autant plus grande que le régime s’approche de lafrontière entre deux cycles. Ces transitions et dépendancesdes conditions initiales peuvent expliquer, d’ailleurs, la dis-persion des résultats dans certaines expérimentations [1]. Ensimulations on a observé aussi que pour certains domainesde paramètres (qui correspondent à des valeursκ � κcr) onobtient un comportement imprévisible qui dépend fortementdes conditions initiales. C’est la route vers le chaos.

Fig. 6. Les fréquences d’oscillations en simulation.

5. Asservissement des vibrations — solutions possibles

Pour stabiliser les amplitudes et les fréquences d’unrégime, et pour obtenir des taux de coupe proches de 1, ilpeut être envisagé un asservissement soit par la fréquence derotation (paramètreλ), soit par l’avance (paramètreκ). Lasensibilité deκ par rapport à l’avance dépend de l’exposantq et donc du couple outil–matière. Siq = 1 l’avancen’a aucune influence surκ et seul l’asservissement par lafréquence de rotation reste efficace. Les régions où on peututiliser l’asservissement parλ sont, quant à elles, limitéesaux points de la courbe de limite de stabilité où la pente estsuffisante (Fig. 8).

L’Eq. (9) établit localement le comportement de lapartie réelle de la solution de l’équation caractéristique (quicontrôle la croissance de l’amplitude). L’asservissement doitutiliser cette variation connue pour amener ou sortir lerégime (qui doit se trouver sur la frontière de stabilité) dansle domaine d’instabilité. De cette manière on peut réaliser unasservissement de l’amplitude parκ dans les points critiquesou parλ dans des points situés sur les parties latérales dechaque lobe de stabilité. L’approche pour l’asservissementpar la fréquence de rotation a été développée en [10].

6. Conclusions

Une conclusion de cette discussion du comportementdynamique en perçage vibratoire réside dans l’observationque la sensibilité par rapport aux perturbations et conditionsinitiales du régime vibratoire est d’autant plus forte qu’ons’éloigne des points critiques (les minimums de lobes destabilité). Par contre, en choisissant ces points pour lesapplications expérimentales, on est obligé de payer le tributd’une amplitude d’oscillation plus grande et d’un taux decoupe diminué. Les régimes de coupe qui se situent dansles régions convenables (correspondant à une amplitudede vibration faible et un taux de coupe élevé) demandentdes vitesses de rotation très élevées (les premiers lobes destabilité) et une raideur de la suspension importante, ce quipeut poser des problèmes au niveau de la durée de vie del’outil. Pour dissiper l’énergie vibratoire (en vue d’obtenirun régime plus doux) l’amortissement de la tête vibrante doit

Fig. 7. Changement de cycle limite.

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Fig. 8. Asservissement de l’amplitude d’oscillation.

être prévu plus grand que celui habituellement présent dansles structures mécaniques classiques de machines outils.

L’analyse du système dynamique de la coupe vibratoireet des domaines d’instabilité, le comportement aux pointsde perte de stabilité ainsi que l’aspect qualitatif et quantitatif(amplitude, fréquence) des phénomènes dynamiques au-delàde la limite de stabilité ont été étudiés. On a pu voir que dansles points de bifurcation le système a un comportement sous-critique et que les dépendances de conditions initiales et deparamètres du processus peuvent rendre le système chao-tique pour les régions éloignées de la frontière de stabilité.

La Fig. 9 montre les régimes envisagés par l’expéri-mentation systématique du perçage vibratoire qui va êtreconduite au Centre ENSAM d’Aix-en-Provence, à l’aide

d’un banc d’essai spécialement conçu et instrumenté dansce but. Les régimes de coupe vibratoire dans le plan{κ,λ}seront amenés à proximité de la limite de stabilité en ajus-tant la fréquence de rotation, l’avance, la masse, la raideuret l’amortissement de la tête vibrante. Ainsi, nous pouvonsespérer avoir des résultats plus fidèles et reproductibles quedans les expérimentations déjà réalisées, évitant les régionsde forte sensibilité par rapport aux conditions initiales et auxperturbations, toujours présentes dans le processus de coupe.

Références

[1] D. Brun-Picard, A. Gouskov, D. Lesage, J. Vincenti, Perçage vibratoirepar tête auto-vibrante. Approche théorique et premières experimenta-tions, in : Seminaire PPF Maîtrise globale du procédé d’enlèvement dematière et des techniques associées, Aix-en-Provence, France, 1999,pp. 11–22.

[2] A. Gouskov, A. Moisan, D. Brun-Picard, G. Moraru, Application ofthe dimensional analysis to the determination of cutting forces, in :The Third International Conference on Metal Cutting and High SpeedMachining, Metz, France, Vol. 1, 2001, pp. 35–42.

[3] A. Gouskov, D. Brun-Picard, Instabilité du perçage vibratoire, in :Colloque PRIMECA, Nantes, France, 1996.

[4] E. Merchant, Mechanics of metal cutting process, J. Appl. Phys. 5(1945) 267–275.

[5] G. Moraru, D. Brun-Picard, A. Gouskov, F. Malburet, Dynamicsof self-vibrating drilling process, in : International Conference onManufacturing Systems ICMAS 2000, Tehnica, Bucarest, Roumanie,2000, pp. 95–100.

[6] H.E. Merritt, Theory of self-excited machine tools chatter, J. Engrg.Industry, Trans. ASME (1965) 447–454.

[7] G. Stépan, T. Kalmar-Nagy, Nonlinear regenerative machine toolvibrations, in : Proceedings of DETC’97, ASME Design EngineeringTechnical Conferences, Sacramento, CA, 1997.

Fig. 9. Régimes vibratoires et stationnaires en perçage.

188 G. Moraru et al. / Mécanique & Industries 3 (2002) 181–188

[8] H.M. Shi, S. Tobias, Theory of finite amplitude machine tool instabi-lity, Int. J. Mach. Tool. Des. Res. 1 (1984) 45–69.

[9] J.R. Pratt, M.A. Davies, C.J. Evans, M.D. Kennedy, Dynamic interro-gation of a basic cutting process, Annals of the CIRP 1 (1999) 39–42.

[10] D. Brun-Picard, G. Moraru, An approach for the control of self-vibrating drilling process, in : The Third International Conference onMetal Cutting and High Speed Machining, Metz, France, Vol. 2, 2001,pp. 163–168.