8/7/2019 Analyse Numrique 2009 - Sujet

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Chapter 2Etudes du probleme de Dirichlet en ID parElements FinisOn considere le probleme defini dans le chapitre precedent sur le laplacien,

iu"Ix E [0 , J , - d 2x (x ) = f(x)avec u(O) =u() =0 En rappel ant simplement ce qui a ete vu en cours,. donner la formulation variationnelle de ce probleme ainsi que laformulation minimum energetique. .On recherche la solution numerique associee aux Elements Finis de type PI ; Quelle la matrice de dscretisation trouvee si Ie maillage choisi est un maillage a pas constant ~x defini par ~x =_l_?M+lo Que retrouve t- on? On developpe desormais la solution numerique associee aux Elements Finis de type P2 Quelle la matrice de dscretisation trouvee si le maillage choisi est un maillage a pas constant ~x defini par ~x =_l_?,M+loQue trouve-t-on? Quelle conclusion peut-on tirer?

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8yVai

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Chapter 3Etudes de valeurs propres pour Ie cas ID deNeumann en Differences Finies, Soit le probleme de Laplacien pour une variable spatiale. Calculer la solution du probleme

d U kavec U k ( O ) = -d (L)= 0x'On approxime l'operateur Laplacien par un schema a 3 points.Considerons un maillage avec un pas constant Llx tel que Llx = -M 1+1On considere le probleme aux valeurs propres

avec Uo =0 et UM =UM+2I Definir la matrice Ad' ordre M + 1.) Montrer que le vecteur u defini par Ui = Uk (iLlx) est vecteur propre de A. Quelle est la valeur propre associee?

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By Val

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Chapter 4Etudes du probleme d'evolutlon aveccondition de type Neumann en IDSoit desormais le probleme de la diffusion pour une variable spatiale avec", coefficient constant de diffusion (donepositif).

'\Ix E [0 , L], '\It E [0 , T],a u a 2uat ( t, x ) - '" a2 x (t, x ) =

a u .avec u(t-, 0) = ax,t , L) = et

u(t = O,x) = uo(x)verifiant

uo(O) = u~(L ) = Pour cela on approxime la solution par un schema de Diffetrences Finies en temps ou un(x) est une approxima-tion de u ( n D.t, x ) pour un pas de temps D .t donne.Le schema propose s'ecrit

et

ou a est un parametre compris entre et 1.Donner la formulation variationnelle de ce probleme.En deduire la formulation minimum energetique, Que peut-onconclure?On approxime Ie probleme variationnel par un schema de type Elements Finis PI. Que retrouve t on partiellemeent?

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8yVai

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Chapter 5Etudes de valeurs propres pour Ie cas 2D enDifferences Finies associe au probleme deDirichletSoit Q le domaine rectangulaire [0, a] * [0, b], on recherche les fonctions propres et les valeurs propres de

flu B 2u----=.J,uB 2 x B 2 ydans Q avec la condition limite sur BQ , u = 0Montrer a partir de l'etude monodimensionnelle que les solutions sont

p7rX , q'rryu(x, y ) = sin( ----;;-sm(-b-)avec

ou p et q entiers positifs1 1La discretisation par un schema a 5 points sur un quadriage uniforme avec ~x M+ 1 et ~y N + 1 est

l'analogue du cas de l' equation monodimensionnelle, en definissant par Ui,j l'approximation de u au point (i~x, j ~y)soit 1 1--(-U'-1 ' + 2u' , - U'+1 ,)+ --(-U' '-1 + 2u' , - U '+1) = flU' '~X2 ',) ',) ',) ~y2 ',J ',) ',) r: ',)et pour 1 ::; i::;M et 1 ::; j ::;N en y associant

Ui,O= Ui,N+1 = UO,j= UM+1,j = 0Montrer que les vecteurs propres associes sont les vecteurs up,q dont les composantes sont definies par

, ,~x , ,~x , ip , jqu f ' J =sm(2P-)sm(JQ7r-b-) =sm( -M )sm(--)'a +1 N+1Expliciter les valeurs propres associees,Dans le cas ou a =b et ~x = ~y, expliciter la plus grande et la plus petite des valeurs propres. En deduire leconditionnement.

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